流体力学1

1.2.3 粘性和粘度
一、粘度与牛顿内摩擦定律
1、粘性 即在运动的状态下，流体所产生的抵抗剪切变形的性质。
2、粘度
（1）定义
流体的粘度：
粘性大小由粘度来量度。 流体的粘度是由流动流体的内聚力和分子的动量交换所 引起的。
（2）分类 动力粘性系数μ：又称绝对粘度、动力粘度、粘度，是反映流体粘滞性
大小的系数，单位：N•s/m2 。
T(℃) 0° 2° 4° 6° 8° 10° 12°
ν(cm2 0.0177 0.0167 0.0156 0.0147 0.0138 0.0131 0.0123
/s)
5
4
8
3
7
0
9
T(℃) 14° 16° 18° 20° 22° 24° 26°
ν(cm2
/s)
0.0117 6
0.0118
0.0106 2
0.0101 0
0.0098 9
0.0091 9
0/0087 7
T(℃) 28° 30° 35° 40° 45° 50° 60°
ν(cm2 0.0083 0.0080 0.0072 0.0065 0.0060 0.0055 0.0047
/s)
9
3
5
9
3
6
8
3、牛顿内摩擦定律
牛顿内摩擦定律： 液体运动时，相邻液层间所产生的切应力与剪切变
解 ： dr 微元上摩阻力为：
u = ω r = π n r dT = μ dA u = μ ⋅ 2π rdr ⋅ 1
30
δ
δ
而圆盘微元所受粘性摩擦阻力矩为：
dM=dTr=μπ2r3ndr/15δ
⋅πn r
30
δ
则克服总摩擦力矩为：
∫ ∫ M =
R dM
0
=
μπ 2
n 15δ
R r3dr
=
μπ
2nR4
任何物理量均可表示为：
[ x ] = [ Lα T β M γ ]
• 几何学量: • 运动学量: • 动力学量: • 无量纲量:
α ≠ 0; β = γ = 0
β ≠ 0;γ = 0
γ ≠0
α =β =γ =0
流体力学中常用物理量量纲：
•体积 •速度 •密度 •力 •重度 •系数
[V ] = [ L3 ]
第一章 绪论
本章学习要点：
1. 水力学的研究对象与任务 2. 液体的连续介质模型。流体质点 3. 量纲和单位 4. 液体的主要物理性质：密度、重度、粘性、压缩性、
毛细现象、汽化压强 5. 作用在液体上的力：表面力和质量力
1.1.1 水力学的任务及研究对象
• 液体的平衡规律
研究液体处于平衡状态 时，作用于液
h2 μ2
切应力分布
上层： 下层：
τ1
=
μ1
U− h1
u
τ2
=
μ2
u−0 h2
在液层分界面上： τ = τ1 = τ 2
y
U
h1
h2
u
U
U
τ
∴ u = μ1h2U μ2h1 + μ1h2
μ1大还是μ2大？如果是 理想流体， μ和τ如何？
流速分布：
上层：
u1
=
u
+
U− h1
u
(
y
−
h2
)
下层：
u2
=
u h2
1、压缩性
流体的可压缩性（Compressibility）：作用在流体上的压力变化可
引起流体的体积变化或密度变化，这一现象称为流体的可压缩性。压缩
性可用体积压缩系数β来量度。
2、体积压缩系数β
体积压缩系数β（Coefficient of Volume Compressibility）：流
体体积的相对缩小值与压强增值之比，即当压强增大一个单位值时，流
密度（Density）：是指单位体积流体的质量。 单位：kg/m3 。
ρ
=
lim
ΔV →0
ΔM ΔV
均质流体内部各点处的密度均相等：
ρ
=
M V
水的密度常用值： ρ=1000 kg/m3
ρ = 1000 kg / m 3
• 惯性：液体具有的保持原有运动状态的 物理性质；
• 质量：质量是惯性大小的量度；
宏观：考虑宏观特性，在流动空间和时间上所采用的一切特征尺度和特征时 间都比分子距离和分子碰撞时间大的多。
1、定义
连续介质（Continuum Medium）：质点连续地充满所占空间的流体或固体。
连续介质模型（Continuum Medium Model）：把流体视为没 有间隙地充满它所占据的整个空间的一种连续介质，且其 所有的物理量都是空间坐标和时间的连续函数的一种假设 模型。u=u(t,x,y,z)
问题，而不去追求数学上的严密性。
2. 从历史发展角度分： 古典流体力学：在古典力学的基础上，运用严密的数学工具，建
立有关理想流体及实际流体的基本运动方程，但理论中假设与实际 不尽相符。
实验流体力学：工程技术人员用实验方法制定一些经验公式，满 足工程需要，但有些公式缺乏理论基础。
现代流体力学：实验方法和理论分析相结合，实验和理论并重。
dy
4、膨胀流体： τ0=0，n>1
5、理想流体： τ0=0，μ=0
流体分类
流体类别 理想流体
牛顿流体
实际流 体
非牛 顿流 体
宾汉型塑 性流体 假塑性流 体 膨胀性流 体
定义
无粘性 及完全不 可压缩的 流体的一 种假想流 体
有粘性、 可压缩的 流体 μ ≠ 0
τ
= τ0
+ μ( du ) n
dy
μ = 0 、 τ0＝0
= dθ du
dt dy
则
τ
=
μ
du dy
=
μ
dθ
dt
udt
(u+du)dt dc
d'
dθc'
a
b
a'
b'
说明：流体的切应力与剪切变形速率，或角变形率成正比。
例1：试绘制平板间液体的流速分布图
A
与切应力分布图。设平板间的液 体流 动为层流，且流速按直线分布。
h1
μ1
解：设液层分界面上的流速为u，则：
形的速率成正比。即
τ
=
μ
du dy
=
μ
dθ
dt
（N/m2 ，Pa）
τ—粘性切应力，是单位面积上的内摩擦力。
说明：1）流体的切应力与剪切变形速率，或角变形率成正比。 ——区别于固体的重要特性。固体的切应力与角变形的大小 成正比。
2）流体的切应力与动力粘性系数μ成正比。 3）对于平衡流体du/dy=0或理想流体μ=0，所以不产生切应力，τ =0。
非线性变化时， du 即是u对y求导。 dy
y
U
a
Y dy b
yc
o x
d
F u+du u du
τA
F
τ
切应力 分布
图1.2牛顿平板实验
牛顿平板实验与内摩擦 定律
ห้องสมุดไป่ตู้
证明：在两平板间取一方形质点，高度为dy，dt时间后，质点微团从abcd
运动到a′ b′c′d′ 。
由图得：
dθ
≈ tg(dθ )
=
dudt dy
• 液体和气体的区别：
1、 气体易于压缩；而液体难于压缩； 2、液体有一定的体积，存在一个自由液面；气体能充满 任意形状的容器，无一定的体积，不存在自由液面。
• 液体和气体的共同点：
两者均具有易流动性，即在任何微小切应力作用下都会发 生变形或流动，故二者统称为流体。
1.2.1 惯性、质量和密度
1、密度
体体积的相对减小值：
β=
−
dV /V dp
=
dρ /ρ dp
（m2 /N ）
（∵质量m不变，dm=d(ρv)= ρdv+vdρ=0，
∴
− dV dp
=
dρ dp
）
3、体积弹性模量 Ev
流体的压缩性在工程上往往用体积弹性模量来表示。
体积弹性模量Ev（Bulk Modulus of Elasticity）是体积压缩系数的倒数。
0
60δ
μ
=
60δ M μπ 2nR 4
= 85.8 × 10−4
Pa ⋅s
τ0
τ 0
(τ
=
μ
du dy
=
μ
ωr δ
=
μ⋅
πn 30δ
r
0≤ r ≤ r0)
τ0
=
μ
⋅ πn 30δ
r0
二、牛顿流体、非牛顿流体
牛顿流体（Newtonian Fluids）：是指任一点上的剪应力都同剪切变
形速率呈线性函数关系的流体，即遵循牛顿内摩擦定律的流体称为牛 顿流体。
2、优点
1）排除了分子运动的复杂性。 2）物理量作为时空连续函数，则可以利用连续函数这一数学工具
来研究问题。
1.1.3 流体力学的分类
1. 按其研究内容的侧重点不同： 理论流体力学（流体力学）：主要采用严密的数学推理方法，力
求准确性和严密性。 工程流体力学（应用流体力学）：侧重于解决工程实际中出现的
非牛顿流体：不符合上述条件的均称为非牛顿流体。
弹 性
τ
1
宾汉型塑性流体
τ
=τ0
+
μ
(
du dy
)n
体
假(伪)塑性流体
τ0
2
牛顿流体
3
膨胀性流体
1、宾汉型流体： τ0≠0，n=1,μ=Const 2、假(伪)塑性流体： τ0=0，n<1
4 理想流体 5
流体
du
3、牛顿流体： τ0=0，n=1,μ=Const
[LT -1]
[ρ] = [ML-3]
[MLT −2 ]
[γ ] = [ML−2T −2 ]
[1]
1.2 流体的基本性质
一、物质的三态
在地球上，物质存在的主要形式有：固体、液体和气体。
• 流体和固体的区别：
从力学分析的意义上看，在于它们对外力抵抗的能力不同。
固体
流体
固体：既能承受压力，也能承受拉力，抵抗拉伸变形。 流体：只能承受压力，一般不能承受拉力，抵抗拉伸变形。
y
例2：一底面积为40 ×45cm2，高为1cm的木块，质量为5kg，
沿着涂有润滑油的斜面向下作等速运动，如图所示，已知木块运 动速度u=1m/s，油层厚度δ=1mm，由木块所带动的油层的运动 速度呈直线分布，求油的粘滞系数。
解：∵等速 ∴as=0 由牛顿定律： ∑Fs=mas=0 mgsinθ－τ·A=0
体上的各种力之间的关系（水静力学） • 液体的运动规律
研究液体处于运动状态 时，作用于液
体上的力与运动之间的关系，以及液体的 运动特性与能量转化等（水动力学）
1.1.2 流体的连续介质模型
（一）连续介质模型的建立与假设
微观：流体是由大量做无规则运动的分子组成的，分子之间存在空隙，但在 标准条件下，1立方毫米流体含有3×1021个左右的分子，分子 间距离是 10-7cm。
实例
满 足 牛 顿 内 摩 擦 水、空气、汽油、 定律 τ0 ＝0 、 μ ≠ 0 、 煤油、甲苯、乙醇等 n=1
τ 0≠ 0 、μ = Const 、 牙膏、泥浆、血浆等 n=1
τ0 ＝0 、μ ≠ 0 、n < 1 橡胶、油漆、尼龙等
τ0 ＝0 、μ ≠ 0 、n > 1 生面团、浓淀粉糊
1.2.4 压缩性和膨胀性
δ
5
u θG
τ
=
μ
du dy
=
μ
u
δ
（呈直线分布）
12
mgsinθ
τ
∵ θ=tg-1(5/12)=22.62°
s
∴ μ = mg sinθ ⋅δ = 0.105N ⋅ s / m2
Au
例3: 直径10cm的圆盘，由轴带动在一平台上旋转，圆盘与平 台间充有厚度δ=1.5mm的油膜相隔，当圆盘以n=50r/min旋转 时，测得扭矩M=2.94×10-4 N·m。设油膜内速度沿垂直方向为 线性分布，试确定油的粘度。
运动粘度ν：又称相对粘度，运动粘性系数。
ν
=
μ ρ
(m2/s)
水的运动粘度ν 通常可用经验公式计算：
ν = 0.01775 1+0.0337 t +0.000221t 2
(cm2/s)
（3）粘度的影响因素
流体粘度μ的数值随流体种类不同而不同，并随压强、温度变化而变化。
1）流体种类。一般地，相同条件下，液体的粘度大于气体的粘度。
牛顿平板实验与内摩擦定律
设板间的y向流速呈直线分布，即：
u( y)
=
U Y
y
则
= du U
dy Y
实验表明，对于大多数流体满足：
F
∝
AU Y
引入动力粘性系数μ，则得牛顿内 摩擦定律
τ
=
F A
=
μ
U Y
=
μ
du dy
du 式中：流速梯度 dy 代表液体微团的剪切
= du u
变形速率。线性变化时，即 dy y ；
2）压强。对常见的流体，如水、气体等， μ值随压强的变化 不大，一般可忽略不计。
3）温度。是影响粘度的主要因素。当温度升高时，液体的粘度
减小，气体的粘度增加。
a.液体：内聚力是产生粘度的主要因素，当温度升高，分 子间距离增大，吸引力减小，因而使剪切变形速度所产生 的切应力减小，所以 μ 值减小。
b.气体：气体分子间距离大，内聚力很小，所以粘度主要是 由气体分子运动动量交换的结果所引起的。温度升高，分子 运动加快，动量交换频繁，所以 μ值增加。
安
东
康
江
3. 按学科专业分
二 滩
水利类：
水工、水动、海洋等
机械类：
机械、冶金、化工、水机等
土木类：
市政、工民建、道桥、城市
防洪，环境保护等
1.1.4 量纲和单位
单位：国际单位制 • 长度（m,cm,mm…）， • 时间(s,h,min,d)， • 质量(kg,g,mg) 量纲：表示物理量物理性质的符号； 长度：[L] 时间：[T] 质量：[M]
1.2.2 重力和重度
1、重力 流体受到地球的万有引力作用，称为重力。
G = Mg
2. 重度（容重）（Specific Weight）： 指单位体积流体的重量。 单位： N/m3 。
γ
=
lim
ΔV →0
ΔG ΔV
均质流体内部各点处的容重均相等：
γ =G/V =ρg
水的容重常用值： γ =9800 N/m3