参数方程单元测试题
参数方程和极坐标方程单元测试
参数方程和极坐标方程单元测试在进行参数方程和极坐标方程的学习过程中，单元测试是非常重要的一环。
通过单元测试，可以检验学生对参数方程和极坐标方程的理解程度，帮助他们发现学习中的不足之处，进一步提高学习效果。
下面将针对参数方程和极坐标方程进行单元测试，具体内容如下：一、选择题1. 下列不是参数方程的是（）。
A. x = cos t, y = sin tB. x = t^2, y = t^3C. x = e^t, y = ln tD. x = 2t, y = 3t2. 参数方程 x = 2cos t, y = 3sin t 表示的图形是（）。
A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 圆3. 极坐标方程r = 2cosθ 表示的图形是（）。
A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 圆4. 下列不是极坐标方程的是（）。
A. r = cosθB. r = 3θC. r = e^θD. r = 1 - sinθ5. 若直角坐标方程为 y = x^2 在极坐标下的表示形式为（）。
A. r = sinθB. r = cosθC. r = θ^2D. r = θ二、填空题1. 参数方程 x = 2cos t, y = 3sin t 在t = π/2 时对应的点的坐标为（）。
2. 同心圆的极坐标方程为r = 2cosθ 和r = 4cosθ，这两个圆的圆心坐标分别为（）。
三、解答题1. 请用参数方程表示直角坐标方程 x^2 + y^2 = 4 的图形。
2. 极坐标方程r = 2cos3θ 表示的图形是什么？请画出对应的图形。
通过以上单元测试题目，可以对学生在参数方程和极坐标方程的学习情况进行全面的检验和评估。
希望学生能够认真对待单元测试，查漏补缺，进一步加深对参数方程和极坐标方程的理解。
祝各位同学考试顺利！。
12参数方程与极坐标单元测试卷(附答案)
阶段质量检测(十二)(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b答案：C解析：∵ b <0，∴ －b >0，∴ a >－b >0， ∴ －a <b <0，故－a <b <0<－b <a .2．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为( )A.23 B ．－23C.32 D ．－32答案：D解析：∵ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t y ＝2－3t ，∴ y －2x －1＝－32，∴ 直线的斜率为－32.3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝2，CD ⊥AB 于D ，则S △ACD ∶S △BCD ＝( ) A ．3∶2 B.3∶ 2 C ．9∶4 D ．2∶3答案：C解析：由射影定理得，AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ，∴ AC 2∶BC 2＝AD ∶BD ，∴ AD ∶BD ＝9∶4，又S △ACD ∶S △BCD ＝AD ∶BD ，∴ S △ACD ∶S △BCD ＝9∶4.4．已知|x －a |<b 的解集为{x |2<x <6}，则实数a 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：D解析：由|x －a |<b 得a －b <x <a ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2a ＋b ＝6，解得a ＝4，b ＝2.5．在极坐标系中，若A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫1，π4和B ⎝⎛⎭⎫2，－π4则△AOB 的形状为( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形答案：C解析：∵ A ⎝⎛⎭⎫1，π4，∴ θ1＝π4，∵ B ⎝⎛⎭⎫2，－π4， ∴ θ2＝－π4，∴ θ1－θ2＝π2，即OA ⊥OB .6．已知：如图PM 为⊙O 的切线，M 为切点，若P A ＝1，圆的半径为1，则PM 的长为( )A ．1 B. 3 C ．2 D. 2答案：B解析：∵ ⊙O 的半径为1，∴ PB ＝3，由切割线定理得PM 2＝P A ·PB ，∴ PM 2＝1×3＝3，∴ PM ＝ 3.7．不等式2|x －3|>2的解集为( )A ．{x |2<x <4}B ．{x |x <2或x >4}C ．{x |0<x <2或x >4}D ．以上都不正确答案：B解析：∵ 2|x －3|>2，∴ |x －3|>1，∴ x －3>1或x －3<－1，∴ x >4或x <2.8．直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，则圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ为参数)的圆心位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B解析：∵ 直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，∴ ⎩⎨⎧a <0b >0又圆的圆心坐标为(a ，b )∴ 圆心在第二象限． 9．如图，P A 、PB 为⊙O 的切线，∠D ＝100°，∠CBE ＝40°，则∠P ＝( )A ．60°B ．40°C ．80°D ．70°答案：A解析：∵ A 、B 、C 、D 四点共圆，∴ ∠D ＋∠ABC ＝180°，又∠D ＝100°，∴ ∠ABC ＝80°，∵ ∠CBE ＝40°，∴ ∠PBA ＝60°，∵ P A ＝PB ，∴ △P AB 为等边三角形，∴ ∠P ＝60°.10．设x ∈R ，若a ≥lg(|x －3|＋|x ＋7|)的解集为∅，则( ) A ．a ≥1 B ．a >1 C ．0<a ≤1 D ．a <1答案：D解析：令f (x )＝lg(|x －3|＋|x ＋7|)， 由已知可得，a <f (x )min .∵ |x －3|＋|x ＋7|≥|(x －3)－(x ＋7)|＝10， ∴ f (x )≥1，∴ a <1.11．参数方程⎩⎨⎧x ＝1t y ＝1tt 2－1(t 为参数)所表示的曲线是( )答案：D解析：∵ x ＝1t ，∴ t ＝1x 代入y ＝1t t 2－1得y ＝x ·⎝⎛⎭⎫1x 2－1∴ y 2＝x 2·1－x 2x2，∴ x 2＋y 2＝1，且x ≠0，x ，y 同号，故选D.12．设f (x )＝|2－x 2|，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则ab 的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．(0,2]C ．(0,4)D ．(0，2)答案：A解析：|2－a 2|＝|2－b 2|.若0<a <b ≤2，则2－a 2＝2－b 2⇒a ＝b ，矛盾．若0<a ≤2<b ，则2－a 2＝b 2－2⇒a 2＋b 2＝4⇒ab ≤a 2＋b 22＝2，又a ≠b ，∴ ab <2.∴ 0<ab <2.若2≤a <b ，则a 2－2＝b 2－2⇒a ＝b 矛盾．故选A.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中的横线上)13．设m ＝a 2b 2＋5，n ＝2ab －a 2－4a ，若m >n ，则实数a ，b 满足的条件是________． 答案：ab ≠1或a ≠－2解析：∵ m >n ，∴ m －n >0，∴ a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a >0，∴ (ab －1)2＋(a ＋2)2>0，∴ ab ≠1或a ≠－2.14．若两条曲线的极坐标方程分别为ρ＝1与ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，它们相交于A 、B 两点，则线段AB 的长＝________.答案： 3解析：∵ ρ＝1，∴ x 2＋y 2＝1，∵ ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，∴ ρ＝cos θ－3sin θ∴ x 2＋y 2＝x －3y ，∴ 直线AB ：x －3y ＝1，∴ (0,0)到直线AB 的距离为d ＝12，∴ |AB |＝21－⎝⎛⎭⎫122＝ 3.15．如图：已知P A 、PB 为⊙O 的切线，A 、B 为切点，C 为⊙O 上与A 、B 不重合的点，且∠ACB ＝60°，则∠APB ＝________.答案：60°解析：连结OA 、OB ，∵ ∠ACB ＝60°， ∴ ∠AOB ＝120°，∵ P A 、PB 为⊙O 的切线， ∴ OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，∴ ∠P ＋∠AOB ＝180° ∴ ∠P ＝60°.16．设函数f (x )的定义域为R ，若存在常数m >0，使|f (x )|≤m |x |对一切实数x 均成立，则称f (x )为F 函数．给出下列函数：①f (x )＝0；②f (x )＝x 2；③f (x )＝2(sin x ＋cos x )；④f (x )＝xx 2＋x ＋1；⑤f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数x 1，x 2均有|f (x 1)－f (x 2)|≤2|x 1－x 2|.其中是F 函数的序号是________． 答案：①④⑤解析：由|f (x )|≤m |x |，知m ≥|f (x )||x |(x ≠0)， 对于①，当x ≠0时，|f (x )||x |＝0，当x ＝0时，0≤m ·0，故取m >0即可； 对于②，由|x 2|＝|x |2，∴|f (x )||x |＝|x |(x ≠0)无最大值； 对于③，由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 而|f (x )||x |＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4|x |(x ≠0)无最大值；对于④，x ≠0时，由|f (x )||x |＝1x 2＋x ＋1≤43，x ＝0时，0≤m ·0，只要取m ＝43即可；对于⑤，令x 2＝0，x 1＝x ，由f (0)＝0，知|f (x )|≤2|x |，只要取m ＝2即可．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝|2x －1|＋x ＋3， (1)解不等式f (x )≤5； (2)求函数y ＝f (x )的最小值．解析：(1)当x <12时，f (x )＝1－2x ＋x ＋3≤5，∴ －x ≤1，∴ x ≥－1，所以－1≤x <12.当x ≥12时，f (x )＝2x －1＋x ＋3≤5，∴ x ≤1，所以12≤x ≤1，综上所述解集为[－1,1]．(2)f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋2 ⎝⎛⎭⎫x ≥12－x ＋4 ⎝⎛⎭⎫x <12可知当x ＝12时，[f (x )]min ＝72.18．(本小题满分12分)(2010·杭州模拟)如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别在AC 、BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，BD ＝DC ＝FC ＝1，求AC .解析：在△ABC 中，设AC 为x (x >1)， ∵ AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，∴ 由射影定理得AC 2＝CF ·BC ，又CF ＝1∴ BC ＝x 2 过D 作DE ⊥BC 于E ，∵ BD ＝DC ，∴ BE ＝EC∴ EC ＝12BC ＝x 22∵ DE ⊥BC ，AF ⊥BC ，∴ AF ∥DE ， ∴ △DEC ∽△AFC ，∴DC AC ＝ECFC∴ 1x ＝x 221，∴ x 32＝1，∴ x 3＝2，∴ x ＝32，∴ AC ＝32.19．(本小题满分12分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ＋1y ＝22t求直线l 与曲线C 相交所成弦的弦长．解析：曲线C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝22t ＋1y ＝22t化为普通方程为x －y －1＝0.曲线C 的圆心(2,0)到直线l 的距离为12＝22，所以直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长为24－12＝14. 20．(本小题满分12分)(2010·济南模拟)如图所示，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过B 引⊙O 的切线分别交DA 、CA 的延长线于E 、F .(1)求证：AB 2＝AE ·BC ；(2)已知BC ＝8，CD ＝5，AF＝6，求EF 的长．解析：(1)∵ BE 切⊙O 于B ，∴ ∠ABE ＝∠ACB . 又AD ∥BC ，∴ ∠EAB ＝∠ABC ，∴ △EAB ∽△ABC ，∴ AE AB ＝ABBC，∴ AB 2＝AE ·BC . (2)由(1)△EAB ∽△ABC ，得BE AC ＝ABBC.又AE ∥BC ， ∴EF AF ＝BE AC ，∴ AB BC ＝EF AF.又AD ∥BC ，∴ AB ＝CD ，∴ AB ＝CD ，∴ 58＝EF6，∴ EF ＝308＝154.21．(本小题满分12分)(2010·辽宁沈阳)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数，α为倾斜角，且α≠π2)与曲线x 216＋y 212＝1交于A 、B 两点．(1)写出直线l 的一般方程及直线l 通过的定点P 的坐标； (2)求|P A ||PB |的最大值．解析：(1)∵ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数，α为倾斜角，且α≠π2)，∴ y x －2＝t sin αt cos α＝tan α，∴ 直线l 的一般方程为x tan α－y －2tan α＝0.直线l 通过的定点P 的坐标为(2,0)．(2)∵ l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos αy ＝t sin α椭圆的方程为x 216＋y 212＝1，右焦点坐标为P (2,0)，∴ 3(2＋t cos α)2＋4(t sin α)2－48＝0， 即(3＋sin 2α)t 2＋12cos α·t －36＝0.∵ 直线l 过椭圆的右焦点，∴ 直线l 恒与椭圆有两个交点， ∴ |P A ||PB |＝363＋sin 2α.∵ 0≤α≤π，且α≠π2，∴ 0≤sin 2α<1，∴ |P A ||PB |的最大值为12.22．(本小题满分14分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ＋1(a >0)的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2.(1)证明：(1＋x 1)(1＋x 2)＝1； (2)证明：x 1<－1，x 2<－1；(3)若x 1，x 2满足不等式⎪⎪⎪⎪lg x 1x 2≤1，试求a 的取值范围． 解析：(1)由题意知，x 1，x 2是关于x 的一元二次方程ax 2＋x ＋1＝0的实数根， ∴ x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a ，∴ x 1＋x 2＝－x 1x 2，∴ (1＋x 1)(1＋x 2)＝1.(2)由于关于x 的一元二次方程ax 2＋x ＋1＝0有实数根x 1，x 2，故有a >0且Δ＝1－4a ≥0.∴ 0<a ≤14，∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－1a≤－4x 1·x 2＝1a≥4，⎩⎪⎨⎪⎧(x 1＋1)＋(x 2＋1)≤－2<0(x 1＋1)(x 2＋1)＝1>0， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1<0x 2＋1<0，即x 1<－1，x 2<－1得证． (3)由⎪⎪⎪⎪lg x 1x 2≤1⇔－1≤lg x 1x 2≤1⇔110≤x1x 2≤10， 由(1＋x 1)(1＋x 2)＝1得x 1＝11＋x 2－1＝－x 21＋x 2， ∴ x 1x 2＝－11＋x 2. ∴110≤－11＋x 2≤10，111≤－1x 2≤1011. ∴ a ＝1x 1·x 2＝－1＋x 2x 22＝－⎝⎛⎭⎫－1x 22＋⎝⎛⎭⎫－1x 2 ＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－1x 2－122＋14， 当－1x 2＝12时，a 取最大值为14.当－1x 2＝111或－1x 2＝1011时，a 取最小值10121.∴ a 的取值范围是10121<a <14.。
高中数学44参数方程单元测试苏教版选修44
4.4 参数方程单元测试一、选择题（每题只有一个选项是正确的,请把正确选项填在题后的括号内） 1在方程⎩⎨⎧==θθ2cos ,sin y x (θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( ) A.(2,-7) B.(32,31) C.(21,21) D.(1,0) 思路解析：把参数方程化为普通方程要注意范围的等价性,普通方程是y=1-2x 2(-1≤x≤1),再根据选择肢逐个代入进行验证即可.答案：C2下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是…( )A.⎩⎨⎧==ty t x |,| B.⎩⎨⎧==t y t x 2cos ,cos C.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y t x 2cos 12cos 1,tan D.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t t y t x 2cos 12cos 1,tan 思路解析：注意参数范围,可利用排除法.普通方程x 2-y 中的x∈R ,y≥0,A 中x=｜t ｜≥0,B 中x=cost∈［-1,1］,故排除A 和B.而C 中y=tt 22sin 2cos 2=cot 2t=221tan 1x t =, 即x 2y=1,故排除C.答案：D3直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 2y x (θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心思路解析：把圆的参数方程化为普通方程得x 2+y 2=4,得到半径为2,圆心为(0,0),再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,即可判断直线和圆的位置关系.答案：C4参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=2,1y t t x (t 为参数)所表示的曲线是( )A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线思路解析：根据参数中y 是常数可知,方程表示的是平行于x 轴的直线,再利用不等式知识求出x 的范围可得x≤-2,或x≥2,可知方程表示的图形是两条射线.答案：B5双曲线⎩⎨⎧+=+-=θθsec 21,tan 2y x (θ为参数)的渐近线方程为( ) A.y-1=±21(x+2) B.y=±21x C.y-1=±2(x+2) D.y+1=±2(x -2)思路解析：根据三角函数的性质把参数方程化为普通方程得4)1(2-y -(x+2)2=1,可知这是中心在(1,-2)的双曲线,利用平移知识,结合双曲线的渐近线的概念即可.答案：C6设r>0,那么直线xcos θ+ysin θ=r 与圆⎩⎨⎧==ϕϕsin ,cos r y r x （φ是参数）的位置关系是…( ) A.相交 B.相切C.相离D.视r 的大小而定思路解析：根据已知圆的圆心在原点,半径是r,则圆心(0,0)到直线的距离为d=θθ22sin sin |00|+-+r =r,恰好等于圆的半径,所以,直线和圆相切.答案：B7设直线l 1:⎩⎨⎧-=+=ααsin 2,cos 1t y t x (t 为参数),如果α为锐角,那么直线l 1到直线l 2:x+1=0的角是( ) A.2π-α B.2π+α C.α D.π-α 思路解析：根据方程可知,l 1的倾斜角为π-α,l 2的倾斜角为2π,根据直线到角的定义,只需让l 1逆时针旋转2π+α即与l 2重合.所以,直线l 1到l 2的角为2π+α. 答案：B8直线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=ty t x 23,22(t 为参数)上与点P(-2,3)的距离等于2的点的坐标是…( ) A.(-4,5) B.(-3,4)C.(-3,4)或(-1,2)D.(-4,5)或(0,1)思路解析：可以把直线的参数方程转化为标准式,或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得(22)2()2(+-｜t ｜=222±=⇒t ,将t 代入原方程,得⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=2,14,3y x y x 或∴所求点的坐标为(-3,4)或(-1,2).答案：C9半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0,那么其横坐标可能是( )A.πB.2πC.12πD.14π思路解析：根据条件可知圆的摆线的参数方程为⎩⎨⎧-=-=ϕϕϕcos 33,sin 33y x (φ为参数),把y=0代入可得cos φ=1,所以φ=2k π(k∈Z ).而x=3φ-3sin φ=6k π.根据选项可知选C.答案：C二、填空题（请把正确的答案直接填写在题后的横线上）10已知参数方程⎩⎨⎧+=+=θλθλsin ,cos bt y at x (a,b,λ均不为零,0≤θ<2π),当(1)t 是参数时，(2)λ是参数时,(3)θ是参数时,分别对应的曲线为_________,_________,_________.思路解析：本题主要考查参数方程的有关含义,强调在一个方程中,不同的量作为参数会得到不同的含义.把t 作为参数消去t 可得bx-ay-b λcos θ-a λsin θ=0表示直线;把λ看作参数可得y-bt=cot θ(x-at)表示直线;同理,把θ看作参数,消去θ可得(x-at)2+(y-bt)2=λ2表示圆.答案：直线 直线 圆11圆锥曲线⎩⎨⎧==θθsec 3,tan 2y x (θ为参数)的准线方程是____________.思路解析：根据条件和三角函数的性质可知,对应的普通方程为4922x y -=1,表示的曲线是焦点在y 轴的双曲线,且对应的a=3,b=2,c=13,所以准线方程是y=±13139. 答案：y=±13139 12直线l 经过点M 0(1,5),倾斜角是3π,且与直线x-y-32=0交于点M,则｜M 0M ｜的长为____________. 思路解析：直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 235,21(t 为参数),代入方程x-y-32=0中,解得t=-(10+36),根据t 的几何意义,可知｜M 0M ｜=｜t ｜=10+36.答案：10+3613在圆的摆线上有点(π,0),那么在满足条件的摆线的参数方程中,使圆的半径最大的摆线上,参数φ=4π对应点的坐标为____________. 思路解析：首先根据摆线的参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (ϕϕϕr y r x (φ为参数),把点(π,0)代入可得⎩⎨⎧-=-=)cos 1(0),sin (ϕϕϕπr r ,1cos =⇒ϕ则sin φ=0,φ=2k π(k∈Z ),所以r=k k 212=ππ(k∈Z ),又r>0,所以k∈N *,当k=1时r 最大为21.再把φ=4π代入即可. 答案：(422,822--π)三、解答题（请写出详细的解答过程）14A 为椭圆92522y x +=1上任意一点,B 为圆(x-1)2+y 2=1上任意一点,求|AB|的最大值和最小值.v 思路分析：化普通方程为参数方程,再求出圆心坐标,利用两点间距离公式转化为三角函数求值域问题来解决.解：化普通方程为参数方程⎩⎨⎧==θθsin 3,cos 5y x (θ为参数),圆心坐标为C(1,0),再根据平面内两点之间的距离公式可得｜AC ｜=16135)165(cos 1610cos 10cos 16sin 9)1cos 5(2222+-=+-=+-θθθθθ, 所以当cos θ=165时,|AC|取最小值为4153,cos θ=-1时,|AC|取最大值为6,所以当cos θ=165时,|AB|取最小值为4153+1；当cos θ=-1时,|AB|取最大值为6+1=7. 15设抛物线y 2=4x 有内接△OAB,其垂心恰为抛物线的焦点,求这个三角形的周长.思路分析：因为抛物线的焦点恰为三角形的垂心,则抛物线的对称轴即x 轴与AB 垂直,且A 、B 关于x 轴对称,所以△OAB 为等腰三角形.解：抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0),F 为△OAB 的垂心,所以x 轴⊥AB,A、B 关于x 轴对称.设A(4t 2,4t)(t>0),则B(4t 2,-4t),所以k AF =1442-t t ,k OB =t t t 1442-=-.因为AF⊥OB,所以k AF ·k OB =1442-t t ·(t 1-)=-1.所以t 2=45.由于t>0,得t=25,所以A(5,52).所以｜AB ｜=54,｜OA ｜=｜OB ｜=53,这个三角形的周长为510.16已知点M(2,1)和双曲线x 2-22y =1,求以M 为中点的双曲线右支的弦AB 所在的直线l 的方程.思路分析：这是直线和圆锥曲线的综合应用题,首先可以设出直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x (t 为参数),代入双曲线的方程,得到关于t 的二次方程.设方程的两根分别为t 1,t 2,若M 为弦AB 中点,则有t 1+t 2=0,可得α的方程,从而得到直线的斜率,即可得直线的方程.解：设直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x (t 为参数),代入双曲线的方程可得关于t 的二次方程(2+tcos α)22)sin 1(2αt +=1, 即(2cos 2α-sin 2α)t 2+(8cos α+2sin α)t+5=0.并设弦的两个端点A,B 对应的参数分别为t 1,t 2.由于M 是中点,所以t 1+t 2=0,即αααα22sin cos 2sin 2cos 8-+-=0, 所以tan α=-4,即直线的斜率是-4.所以直线的方程是y-1=-4(x-2),即4x+y-9=0.。
参数方程检测题与详解答案
参数方程检测题与详解答案1．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)相切，求直线的倾斜角α.解：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)的普通方程为y ＝x tan α.圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的普通方程为(x －4)2＋y 2＝4.由于直线与圆相切，则|4tan α|1＋tan 2α＝2，即tan 2α＝13，解得tan α＝±33，由于α∈[0，π)，故α＝π6或5π6.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)，设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线l 的距离 d ＝|2s 2－42s ＋8|1222＝2s －22＋45，当s ＝2时，d min ＝455.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.3．已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程． 解：(1)由已知，点M 的极角为π3，且点M 的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3. (2)由(1)知点M 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)．故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t(t 为参数)．4．(2019·长春质检)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π6，圆C 以点C 为圆心，3为半径．(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； (2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |. 解：(1)由题意得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ.(2)由(1)易知圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9， 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t 代入x 2＋(y －3)2＝9，得t 2＋(3－1)t －7＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，∴t 1t 2＝－7， 又|PA |＝|t 1|，|PB |＝|t 2|，∴|PA |·|PB |＝7.5．(2018·南昌一模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t ＋2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 1，l 2的极坐标方程分别为θ1＝π6(ρ1∈R)，θ2＝2π3(ρ2∈R)，设直线l 1，l 2与曲线C 的交点分别为O ，M 和O ，N ，求△OMN 的面积．解：(1)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t ＋2得普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4，得ρ2－4ρsin θ＝0.所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)由直线l 1：θ1＝π6(ρ1∈R)与曲线C 的交点为O ，M ，得|OM |＝4sin π6＝2.由直线l 2：θ2＝2π3(ρ2∈R)与曲线C 的交点为O ，N ，得|ON |＝4sin 2π3＝2 3.易知∠MON ＝π2，所以S △OMN ＝12|OM |×|ON |＝12×2×23＝2 3.6．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k2<1，解得k <－1或k >1， 即α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ， 则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α为参数，π4<α<3π4.7．(2019·洛阳第一次统考)在直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝m ＋t (t 为参数，m ∈R)，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝33－2cos 2θ(0≤θ≤π)． (1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知点P 是曲线C 2上一点，若点P 到曲线C 1的最小距离为22，求m 的值． 解：(1)由曲线C 1的参数方程消去参数t ，可得C 1的普通方程为x －y ＋m ＝0. 由曲线C 2的极坐标方程得3ρ2－2ρ2cos 2θ＝3，θ∈[0，π]， ∴曲线C 2的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1(0≤y ≤1)．(2)设曲线C 2上任意一点P 的坐标为(3cos α，sin α)，α∈[0，π]，则点P 到曲线C 1的距离d ＝|3cos α－sin α＋m |2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋m 2.∵α∈[0，π]，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32，2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6∈[－2， 3 ]，当m ＋3＜0时，m ＋3＝－4，即m ＝－4－ 3. 当m －2＞0时，m －2＝4，即m ＝6.当m ＋3≥0，m －2≤0，即－3≤m ≤2时，d min ＝0，不合题意，舍去． 综上，m ＝－4－3或m ＝6.8．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，且直线l 交曲线C 于A ，B 两点．(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并求θ＝π3时，|AB |的值；(2)已知点P (1,0)，求当直线l 的倾斜角θ变化时，|PA |·|PB |的取值范围．解：(1)曲线C 的普通方程为x 23＋y 2＝1.当θ＝π3时，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝32t(t 为参数)，将l 的参数方程代入x 23＋y 2＝1，得5t 2＋2t －4＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－25，t 1t 2＝－45，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝2215. (2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ代入x 23＋y 2＝1，得(1＋2sin 2θ)t 2＋2t cos θ－2＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 3，t 4，则t 3t 4＝－21＋2sin 2θ， 则|PA |·|PB |＝－t 3t 4＝21＋2sin 2θ. 又0≤sin 2θ≤1，所以23≤|PA |·|PB |≤2，所以|PA |·|PB |的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2.。
椭圆的参数方程和极坐标方程单元测试
椭圆的参数方程和极坐标方程单元测试
椭圆是一种非常常见且重要的几何形状，掌握椭圆的参数方程和极坐标方程对于理解椭圆的性质和特点非常重要。
在本单元测试中，我们将考察学生对椭圆参数方程和极坐标方程的理解和应用能力。
请认真阅读以下问题，并结合所学知识，回答下列问题。
一、选择题
1. 下列关于椭圆参数方程的说法正确的是：
A. 参数方程为x=a*cos(t)，y=b*sin(t)，其中a为椭圆长轴的一半，b 为短轴的一半
B. 参数方程为x=a*sin(t)，y=b*cos(t)，其中a为椭圆长轴的一半，b 为短轴的一半
C. 参数方程为x=a*t，y=b*t^2，其中a为椭圆长轴的一半，b为短轴的一半
D. 参数方程为x=a*t^2，y=b*t，其中a为椭圆长轴的一半，b为短轴的一半
2. 椭圆的极坐标方程为r = a(1 - e*cosθ)，其中e为椭圆的离心率，若椭圆的长轴为4，短轴为2，则椭圆的离心率e为：
A. 1
B. 1/2
C. 1/3
D. 2/3
二、填空题
3. 椭圆的参数方程为x=2cos(t)，y=3sin(t)，则椭圆的长轴为____，短轴为____。
4. 椭圆的极坐标方程为r=5(1-1/2cosθ)，则椭圆的离心率为____。
三、计算题
5. 椭圆的参数方程为x=3cos(t)，y=2sin(t)，求出通过椭圆的一条切线方程。
6. 已知椭圆的参数方程为x=4cos(t)，y=5sin(t)，求出椭圆上一点
P(2,3)处的切线方程。
以上就是本次椭圆的参数方程和极坐标方程单元测试的内容，请同学们认真完成后提交答题结果。
祝你们好运！。
含答案参数方程练习题
《参数方程》练习题一.选择题：1．直线l 的参数方程为()x a t t y b t=+⎧⎨=+⎩为参数，l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与(,)P a b 之间的距离是（ ） A ．1t B ．12t C1 D1 2．直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心3．直线112()2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为（ ）A ．(3,3)- B．( C．3)- D．(3,4．曲线的参数方程为321x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 是参数)，则曲线是（ ）A 、线段B 、双曲线的一支C 、圆D 、直线5．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上，则PF 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56.直线003sin 201cos 20x t y t ⎧=-⎨=+⎩ (t 为参数)的倾斜角是 ( ) A.200 B.700 C.1100 D.1600 7.实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ ） A 、27 B 、4 C 、29 D 、5 二、填空题： 7．曲线的参数方程是211()1x t t y t ⎧=-⎪≠⎨⎪=-⎩为参数,t 0，则它的普通方程为_____8．点P(x,y)是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为___________。
9．直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩（t 为参数）与圆42cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）相切，则θ=_______________。
10.设曲线C 的参数方程为2x=t y=t ⎧⎨⎩（t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为__ _____.三、解答题：11．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。
参数方程章节测试卷
参数方程章节测试卷一、 选择题1．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 2．参数方程12x t y t =-⎨=+（t 为参数）的曲线与坐标轴的交点坐标为（ ）(A)（1,0），（0，-2） (B) （0,1），（-1,0）(C)（0，-1），（1,0） (D) （0,3），（-3,0）3其中a 是参数)，则该曲线是( )A ．线段B ．圆C ．双曲线的一部分D ．圆的一部分4．已知过曲线()3cos 024sin x y θθθπθ=⎧≤<⎨=⎩为参数，上一点P ，原点为O ，直线PO 的 P 点坐标是（ ） A ．（3，4）B C ．(4，3) D 5和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为A ．(3,3)-B 6． 在直角坐标系中，以坐标原点为极点x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线I 的参数方程是.（r 为参数），曲线C 的极坐标方程是=2，直线l 与曲线C 交于A 、B,则|AB| =( ) A.B.C. 4D.7和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点 坐标为（ ）A ．(3,3)- BCD8． 经过点M(1，5)M 到动 点P 的位移t 为参数的参数方程是 ( )9．⊙O 1极坐标方程为θρcos 4=，⊙O 2参数方程为θθθ(sin 22cos 2⎩⎨⎧+-==y x 为参数)，则⊙O 1与⊙O 2公共弦的长度为( )A．．110．参数方程22sin 1cos 2x y θθ⎧=+⎨=-+⎩(θ为参数)化成普通方程是( )Ａ.240x y -+= Ｂ.240x y +-= Ｃ.[]240,2,3x y x -+=∈ Ｄ.[]240,2,3x y x +-=∈11（t 为参数）与圆2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的位置关系是( )Ａ.相离 Ｂ.相切 Ｃ.过圆心 Ｄ.相交不过圆心 12．极坐标θρcos 2=和参数方程)(3231为参数t ty tx ⎩⎨⎧+=--=所表示的图形分别是 （ ）A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线 二、填空题14_________.15（t 为参数）的曲线的焦距为 ．16．已知圆在直角坐标系中的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin 2cos 22y x ，现以直角坐标系的原点为极点，以X 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则该圆的极坐标方程是_______________17．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t=+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[0,2]θπ∈），则圆C 的圆心坐标为_______，圆心到直线l 的距离为______. 18．在直角坐标系xoy 中，设点A 在曲线C 1：θθθ(sin 4cos 3⎩⎨⎧+=+=y x 为参数)上，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点B 在曲线C 2：1=ρ上，则|AB|的最小值为 ________.三、解答题19．C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右焦点且与直线423x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行的直线的普通方程。
极坐标参数方程全套试题
极坐标与参数方程单元练习1一、选择题（每小题5分，共25分）1、已知点M 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。
A. 53，-⎛⎝ ⎫⎭⎪πB. 543，π⎛⎝ ⎫⎭⎪C. 523，-⎛⎝ ⎫⎭⎪πD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3、在参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ）4、曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ）A 、线段B 、双曲线的一支C 、圆D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ ）A 、27 B 、4 C 、29D 、5二、填空题（每小题5分，共30分）1、点()22-，的极坐标为 。
2、若A 33，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-64π，，则|AB|=___________，S AOB ∆=___________。
（其中O 是极点）3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=的距离是________ _____。
4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-⋅=表示的曲线是_______ _____。
5、圆锥曲线()为参数θθθ⎩⎨⎧==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。
6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是3π，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。
三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分）1、求圆心为C 36，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，半径为3的圆的极坐标方程。
2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。
(整理)参数方程测试题
参数方程测试题
学习目标
参数方程灵活应有
重点难点
参数方程灵活应有
导学过程
备注
1．曲线 与坐标轴的交点是（）．
A． B． C． D．
2．把方程 化为以 参数的参数方程是（）．
A． B． C． D．
3．若直线的参数方程为 ，则直线的斜率为（）．
A． B． C． D．
4．点 在圆 的（）．
A．内部B．外部C．圆上D．与θ的值有关
则圆心 到直线 的距离为 ．
∴点 到直线 的最大距离为 ，
1.建设项目环境影响报告书的内容∴ 的最大值是 ．
20．解：（1）直线的参数方程为 ，即 ，
建设项目环境影响评价技术服务机构（以下简称“环评机构”）应当按照《建设项目环境影响评价资质管理办法》的规定申请建设项目环境影响评价资质（以下简称“环评资质”），经国家环境保护部审查合格，取得《建设项目环境影响评价资质证书》后，方可在环评证书规定的资质等级和评价和范围内从事环境影响评价技术服务。（2）把直线 ，代入 ，
易知倾斜角为 ，或 ．
16． ，当 时， ，或 ；
而 ，即 ，得 ．
17．解：将 ，设直线为 ，代入曲线
并整理得 ，
则 ，
所以当 时，即 ， 的最小值为 ，此时 ．
19．解：设 点的坐标为 ，则 ，
即 为以 为圆心，以 为半径的圆．
∵ ，
∴ ，且 的方程为 ，即 ，
5．参数方程为 表示的曲线是（）．
A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线
6．两圆 与 的位置关系是（）．
A．内切B．外切C．相离D．内含
7．与参数方程为 等价的普通方程为（）．
A． B．
C． D．
人教A版数学选修4单元测评(二) 参数方程.docx
单元测评(二) 参数方程(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos2θ(θ为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是( )A ．(2，－7)B ．(1,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 解析：由y ＝cos2θ得y ＝1－2sin 2θ， ∴参数方程化为普通方程是y ＝1－2x 2(－1≤x ≤1)，当x ＝12时，y ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，故选C.答案：C2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长为( )A.125B.125 5 C.955 D.9510 解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5t ×25，y ＝1＋5t ×15，把直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t代入x 2＋y 2＝9得(1＋2t )2＋(2＋t )2＝9,5t 2＋8t－4＝0，|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－852＋165＝125，弦长为5|t 1－t 2|＝1255. 答案：B3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－15ty ＝－1＋25t (t 为参数)的斜率是( )A ．2 B.12 C ．－2D ．－12解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－15t ， ①y ＝－1＋25t ， ②①×2＋②得2x ＋y －1＝0，∴k ＝－2.答案：C4．若圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝6t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是( )A ．过圆心B ．相交而不过圆心C ．相切D ．相离解析：直线与圆的普通方程分别为3x －y ＋2＝0与(x ＋1)2＋(y －3)2＝4，圆心(－1,3)到直线的距离d ＝|－3－3＋2|10＝410＝2105，而d ＜2且d≠0，故直线与圆相交而不过圆心． 答案：B5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θ(θ为参数)所表示的曲线为( )A ．抛物线的一部分B ．一条抛物线C ．双曲线的一部分D ．一条双曲线解析：x ＋y 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，即y 2＝－x ＋1. 又x ＝cos 2θ∈[0,1]，y ＝sin θ∈[－1,1]， ∴为抛物线的一部分． 答案：A6．点P (x ，y )在椭圆(x －2)24＋(y －1)2＝1上，则x ＋y 的最大值为( )A ．3＋ 5B ．5＋ 5C ．5D ．6解析：椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)，x ＋y ＝2＋2cos θ＋1＋sin θ＝3＋5sin(θ＋φ)，∴(x ＋y )max ＝3＋ 5. 答案：A7．过点(3，－2)且与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)有相同焦点的椭圆方程是( )A.x 215＋y 210＝1B.x 2152＋y 2102＝1 C.x 210＋y 215＝1 D.x 2102＋y 2152＝1 解析：化为普通方程是x 29＋y 24＝1.∴焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，排除B 、C 、D. 答案：A8．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数且0≤θ≤π2)上一点P 与原点O 的距离为13，则P 点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332，52 B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322，522 C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，532 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125解析：设P (3cos θ，5sin θ)， 则|OP |2＝9cos 2θ＋25sin 2θ ＝9＋16sin 2θ＝13， 得sin 2θ＝14.又0≤θ≤π2，∴sin θ＝12，cos θ＝32.∴x ＝3cos θ＝332.y ＝5sin θ＝52.∴P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332，52. 答案：A9．设曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ与x 轴交点为M 、N ，点P 在曲线上，则PM与PN 所在直线的斜率之积为( )A ．－34B ．－43C.34D.43解析：令y ＝0得：sin θ＝0，∴cos θ＝±1. ∴M (－2,0)，N (2,0)． 设P (2cos θ，3sin θ)．∴k PM ·k PN ＝3sin θ2cos θ＋2·3sin θ2cos θ－2＝3sin 2θ4(cos 2θ－1)＝－34. 答案：A10．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ＋a cos θ，y ＝a cos θ＋a sin θ(θ为参数)的图形是( )A ．第一、三象限的平分线B ．以(－a ，－a )、(a ，a )为端点的线段C ．以(－2a ，－2a )、(－a ，－a )为端点的线段和以(a ，a )、(2a ，2a )为端点的线段D ．以(－2a ，－2a )、(2a ，2a )为端点的线段解析：显然y ＝x ，而x ＝a sin θ＋a cos θ＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，－2|a |≤x ≤2|a |.故图形是以(－2a ，－2a )、(2a ，2a )为端点的线段．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θ＋4cos θ，y ＝4sin θ－3cos θ(θ为参数)，则此圆的半径为__________．解析：平方相加得x 2＋y 2＝9sin 2θ＋24sin θcos θ＋16cos 2θ＋16sin 2θ－24sin θcos θ＋9cos 2θ＝25，所以圆的半径为5.答案：512．设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝a ＋3t (t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x －4，若直线l 1与l 2间的距离为10，则实数a 的值为__________．解析：将直线l 1的方程化为普通方程得3x －y ＋a －3＝0，直线l 2方程即3x －y －4＝0，由两平行线的距离公式得|a －3＋4|10＝10⇒|a ＋1|＝10⇒a ＝9或a ＝－11.答案：9或－1113．直线y ＝2x －12与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin φ，y ＝cos2φ(φ为参数)的交点坐标为__________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin φ，y ＝cos2φ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin φ， ①y ＝1－2sin 2φ， ②将①代入②中，得y ＝1－2x 2(－1≤x ≤1)， ∴2x 2＋y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －12，2x 2＋y ＝1解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝－72(舍去)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1214．已知圆O ：x 2＋y 2＝9，圆O 1：(x －3)2＋y 2＝27.则大圆被小圆截得的劣弧MN ︵的长为__________．解析：设O 1的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋33cos θ，y ＝33sin θ(0≤θ＜2π)．将上式代入圆O 的方程得： (3＋33cos θ)2＋(33sin θ)2＝9. 整理得：cos θ＝－32，∴θ1＝5π6，θ2＝7π6.∠MO 1N ＝7π6－5π6＝π3.∴MN ︵的长为：33·π3＝3π.答案：3π三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t (t 为参数)被曲线ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4所截的弦长．解：将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t ，ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4分别化为普通方程3x ＋4y ＋1＝0，x 2＋y 2－x ＋y ＝0，(6分)圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，半径为22，圆心到直线的距离d ＝110，弦长＝2r 2－d 2＝2 12－1100＝75. (12分)16．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a ＞b＞0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．解：(1)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x 29＋y 2＝1.因此C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b )，因为这两点重合，所以b ＝1.(6分)(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x 29＋y 2＝1.当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010.当α＝－π4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形，故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(2x ′＋2x )(x ′－x )2＝25.(12分)17．(12分)已知经过A (5，－3)且倾斜角的余弦值是－35的直线与圆x 2＋y 2＝25交于B 、C 两点．(1)求BC 中点坐标；(2)求过点A 与圆相切的切线方程及切点坐标．解：(1)直线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ，y ＝－3＋45t (t 为参数)，代入圆的方程得t 2－545t ＋9＝0.∴t M ＝t 1＋t 22＝275，则x M ＝4425，y M ＝3325，中点坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4425，3325.(6分)(2)设切线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋t cos α，y ＝－3＋t sin α(t 为参数)，代入圆的方程得t 2＋(10cos α－6sin α)t ＋9＝0.Δ＝(10cos α－6sin α)2－36＝0，cos α＝0或tan α＝815.∴过A 点切线方程为x ＝5,8x －15y －85＝0.又t 切＝－b2a＝3sin α－5cos α，t 1＝3，t 2＝－3.将t 1，t 2代入切线的参数方程知，相应的切点为(5,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫4017，－7517.(12分)18．(14分)在双曲线x 2－2y 2＝2上求一点P ，使它到直线x ＋y ＝0的距离最短，并求这个最短距离．解：设双曲线x 22－y 2＝1上一点P (2sec α，tan α)(0≤α＜2π，且α≠π2，α≠32π)，则它到直线x ＋y ＝0的距离为d ＝|2sec α＋tan α|2＝& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷 |2＋sin α|2|cos α|. 于是d 2＝2＋22sin α＋sin 2α2cos 2α，化简得：(1＋2d 2)sin 2α＋22sin α＋2(1－d 2)＝0.(4分)∵sin α是实数，∴Δ＝(22)2－8(1＋2d 2)(1－d 2)≥0，∴d ≥22.(6分) 当d ＝22时，sin α＝－22， ∴α＝54π或74π，这时x 0＝－2，y 0＝1. 或x 0＝2cos 7π4＝2，y 0＝tan 74π＝－1.(10分) 故当双曲线上的点P 为(－2,1)或(2，－1)时，它到直线x ＋y ＝0的距离最小，这个最小值为22. (14分)。
2019_2020学年高中数学第二章参数方程单元测试卷北师大版选修4_4
第二章 参数方程单元测试卷[时间：120分钟 满分：150分]一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与参数方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝21－t(t 为参数)等价的普通方程为( )A ．x 2＋y24＝1B ．x 2＋y24＝1(0≤x≤1)C ．x 2＋y24＝1(0≤y≤2)D ．x 2＋y24＝1(0≤x≤1，0≤y ≤2)答案 D2．对于任意实数k ，方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t ，y ＝4＋kt 表示的图形经过的定点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 对于任意实数k ，方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t ，y ＝4＋kt 表示的图形是经过定点(－3，4)的直线，所以定点在第二象限．3．(2016·石景山区高二检测)点(1，2)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋3cos θ，y ＝3sin θ的位置关系是( )A ．点在圆内B ．点在圆外C ．点在圆上D ．与θ的值有关答案 A解析 圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋3cos θ，y ＝3sin θ的普通方程为(x ＋1)2＋y 2＝9cos 2θ＋9sin 2θ＝9，点(1，2)的坐标满足(1＋1)2＋22＝8<9，所以点在圆内．4．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)上与点P(－2，3)的距离为2的点的坐标是( )A ．(－4，5)B ．(－3，4)C ．(－3，4)或(－1，2)D ．(－4，5)或(0，1)答案 C5．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)的极坐标方程为( )A ．ρ＝sin θB ．ρ＝sin2θC ．ρ＝2sin θD ．ρ＝2cos θ答案 C解析 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1，即x 2＋y 2＝2y.化为极坐标方程为ρ＝2sin θ.6．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t ，y ＝b ＋t ，(t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，则点P 1与P(a ，b)之间的距离是( ) A ．|t 1| B ．2|t 1| C.2|t 1| D.22|t 1| 答案 C解析 直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22×（2t ），y ＝b ＋22×（2t ），(t 为参数) 令2t ＝t ′，化为标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ′，y ＝b ＋22t ′(t ′为参数)点P 1对应的参数是2t 1，则点P 1与P(a ，b)之间的距离是2|t 1|.7．过点(0，2)且与直线⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)互相垂直的直线方程为( )A.⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2＋tB.⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝2＋tC.⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝2－tD.⎩⎨⎧x ＝2－3t ，y ＝t答案 B解析 直线⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t 化为普通方程为y ＝3x ＋1－23，其斜率k 1＝3，设所求直线的斜率为k ，由kk 1＝－1，得k ＝－33，故参数方程为⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝2＋t(t 为参数)． 8．若动点(x ，y)在曲线x 24＋y 2b2＝1(b>0)上变化，则x 2＋2y 的最大值为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧b 24＋4 （0<b≤4）2b （b>4） B.⎩⎪⎨⎪⎧b 24＋4 （0<b<2）2b （b≥2） C.b24＋4 D ．2b答案 A9．双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3tan θ，y ＝1cos θ(θ为参数)，那么它的两条渐近线所成的锐角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°答案 C10．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t (t∈R)，它们的交点坐标为( ) A ．(1，55) B ．(1，255)C ．(12，55)D ．(12，255)答案 B解析 将两曲线的参数方程化为一般方程分别为x 25＋y 2＝1(y≥0，x ≠－5)和y 2＝45x ，联立解得交点坐标为(1，255)，故选B.11．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q(－2，23)是圆上一点，则参数θ的值是( ) A.π3 B.23π C.43π D.53π 答案 B解析 由4cos θ＝－2，得θ＝23π或θ＝43π.由4sin θ＝23，得θ＝π3或θ＝23π，故θ＝23π.12．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t (t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为( )A ．7 2B ．4014C.82D.93＋4 3答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)13．(2016·宜昌高二检测)已知直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)有且仅一个公共点，则正实数a 的值为________． 答案 2解析 直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0的直角坐标方程为3x ＋4y ＋a ＝0，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，因为直线与圆有且仅有一个公共点，则d ＝|3＋0＋a|5＝1，解得a ＝2或a ＝－8，所以正实数a 的值为2.14．若过点P(－3，3)且倾斜角为5π6的直线交曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ于A 、B 两点，则|AP|·|PB|＝______． 答案1647解析 直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋tcos 5π6，y ＝3＋tsin 5π6(t为参数)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－3－32t ＝2cos θ，3＋12t ＝sin θ，消去θ，得716t 2＋12＋334t ＋414＝0.设其两根为t 1、t 2，则t 1t 2＝1647， ∴|AP|·|PB|＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝1647.15．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ，则C 上各点到l 的距离的最小值为________． 答案 22－2解析 圆方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4， ∴圆心到直线的距离为d ＝|1－1＋4|12＋（－1）2＝2 2.∴距离最小值为22－2.16．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝3＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)相切，则α＝________． 答案 0或2π3解析 直线l ：⎩⎨⎧x ＝3＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)的普通方程式为y ＝tan α(x －3)，且过定点A(3，0)，倾斜角为α，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.圆心为C(0，1)，半径为r ＝1，且与x 轴相切于点O ，如图，设过A 的直线与⊙C 切于另一点B ，由于|AC|＝（3）2＋12＝2，|OC|＝1，∴∠OAC ＝π6，由对称性知∠OAB＝π3，故直线AB 的倾斜角为2π3.综上所述，α＝0或2π3.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2016·黄冈高二检测)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解析 (1)圆C 的普通方程是(x －1)2＋y 2＝1，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ. (2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝1，θ1＝π3.设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ2（sin θ2＋3cos θ2）＝33，θ2＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝3，θ2＝π3. 由于θ1＝θ2，所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2， 所以线段PQ 的长为2.18．(12分)(2016·太原高二检测)已知点Q(2，0)和点P(2cos α，2sin α＋2)，α∈[0，2π)．线段PQ 的中点为M. (1)求点M 的轨迹的参数方程；(2)设点P 的轨迹与点M 的轨迹交于A ，B 两点，求△QAB 的面积．解析 (1)由中点公式可得M(cos α＋1，sin α＋1)，所以点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋1，y ＝sin α＋1.参数α∈[0，2π)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α＋2，且α∈[0，2π)得点P 的轨迹方程为x 2＋(y －2)2＝4.①由(1)知点M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.② ①－②得公共弦所在直线的方程为x －y ＝12.③将③与①联立方程组，得2x 2－5x ＋94＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝52，x 1·x 2＝98， 可求得|AB|＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝142，点Q 到直线x －y ＝12的距离为324，所以△QAB 的面积为S ＝12×142×324＝378.19．(12分)(2016·太原高二检测)已知平面直角坐标系xOy 中，过点P(－1，－2)的直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋tcos45°，y ＝－2＋tsin45°，(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程ρ·sin θ·tan θ＝2a(a>0)，直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N.(1)求曲线C 和直线l 的普通方程； (2)若|PM|＝|MN|，求实数a 的值．解析 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋tcos45°，y ＝－2＋tsin45°，(t 为参数)直线l 的普通方程为x －y －1＝0， 因为ρsin θtan θ＝2a ， 所以ρ2sin 2θ＝2aρcos θ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 的普通方程为y 2＝2ax(a>0)． (2)因为y 2＝2ax ，a>0，所以x≥0，设直线l 上的点M ，N 对应的参数分别是t 1，t 2(t 1>0，t 2>0)，则|PM|＝t 1，|PN|＝t 2，因为|PM|＝|MN|，所以|PM|＝12|PN|，所以t 2＝2t 1.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋tcos45°，y ＝－2＋tsin45°代入y 2＝2ax 得t 2－22(a ＋2)t ＋4(a ＋2)＝0， 所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝22（a ＋2），t 1t 2＝4（a ＋2），又因为t 2＝2t 1，所以a ＝14.20．(12分)(2016·沈阳高二检测)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t ，(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程是ρ＝sin θ1－sin 2θ，以极点为原点，极轴为x 轴正方向建立直角坐标系，点M(－1，0)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． (1)求直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；(2)线段MA ，MB 长度分别记为|MA|，|MB|，求|MA|·|MB|的值．解析 (1)直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t (t 为参数)的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，所以极坐标方程为2ρcos (θ＋π4)＝－1，曲线C ：ρ＝sin θ1－sin 2θ，即(ρcos θ)2＝ρsin θ，所以曲线的普通方程为y ＝x 2.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t 代入y ＝x 2得t 2－32t ＋2＝0，所以t 1t 2＝2， 所以|MA|·|MB|＝|t 1t 2|＝2.21．(12分)(2016·大同高二检测)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t (t 为参数)．若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos (θ＋π4)．(1)求直线l 被曲线C 所截得的弦长；(2)若M(x ，y)是曲线C 上的动点，求x ＋y 的最大值． 解析 (1)直线l 的参数方程化为普通方程为3x ＋4y ＋1＝0. 曲线C 化为普通方程为x 2＋y 2－x ＋y ＝0.圆心到直线的距离d ＝|32－2＋1|5＝110，圆的半径r ＝22.所以弦长＝2r 2－d 2＝75.(2)设曲线C 上的动点M 为(12＋22cos θ，－12＋22sin θ)，则x ＋y ＝22cos θ＋22sin θ＝sin (θ＋π4)，其最大值为1. 22．(12分)(2015·新课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1: x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解析 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2，|MN|＝ρ1－ρ2＝2，因为C 2的半径为1，则△C 2MN 的面积12×2×1×sin45°＝12.。
4-4测试题3套导学案
教师寄语：迎着朝阳你今天来学什么？1极坐标与参数方程单元测试31、在参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ）2、曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ）A 、线段B 、双曲线的一支C 、圆D 、射线 3、实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6，则x 2＋y 2的最大值为（ ）A 、27B 、29C 、4D 、34、直线αθ=与1)cos(=-αθρ的位置关系是A 、平行B 、垂直C 、相交不垂直5．点()3,1-P ，则它的极坐标是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π6．若直线的参数方程为12()23x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 7．直线l 的参数方程为()x a tt y b t=+⎧⎨=+⎩为参数，l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与(,)P a b 之间的距离是（ ）A ．1tB ．12t C1 D1 8直线112()x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为A ．(3,3)- B．( C．3)- D．(3, 9．圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是（ ）A ．4(5,)3π--B ．(5,)3π-C ．(5,)3πD ．5(5,)3π- 10．直线2()1x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ）AB ．1404CD二、填空题1、点()22-，的极坐标为 。
2、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是3π，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。
高中数学人教A版选修4-4 参数方程 单元测试5 (2)
单元测评（二）（时间120分钟，满分150分）一、选择题（每小题5分，共60分）1.圆（x -1）2+y 2=4上的点可以表示为( )A.（-1+cos θ,sin θ）B.(1+sin θ,cos θ)C.(-1+2cos θ,2sin θ)D.(1+2cos θ,2sin θ)答案：D2.已知直线⎪⎩⎪⎨⎧α+t y=y α,+t x=x sin cos 00 (t 为参数)上的A 、B 两点对应参数分别为t 1、t 2,点P 分−→−AB 成定比λ,那么点P 对应的参数为（ ） A.221t t + B.λ++121t t C. λλ++121t t D.λλ++112t t 答案：C3.与参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==ty t x 12,(t 为参数)等价的普通方程为（ ） A.x 2+y 24=1B.x 2+y 24=1(0≤x ≤1)C.x 2+y 24=1(0≤y ≤2)D.x 2+y 24=1(0≤x ≤1,0≤y ≤2)解析：原参数方程中0≤t ≤1,∴0≤x ≤1,0≤y ≤2.答案：D4.曲线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧12322-y=t ,+t x=(0≤t ≤5),则曲线是（ ） A.线段B.双曲线的一支C.圆弧D.射线解析：∵0≤t ≤5,∴2≤x ≤77,-1≤y ≤24.消去参数t ，得x -3y -5=0.答案：A5.已知a =2+cos θ,b =1+sin θ,θ∈[0,2π],则点M （a ,b ）的集合是（ ） A.圆周B.半圆周C.四分之一圆周D.线段解析：由θ∈［0,π2］,消去参数θ,知选C.答案：C6.直线⎪⎩⎪⎨⎧+bty=y +at,x=x 00(t 为参数)，ab <0,则直线的倾斜角θ为（ ） A.ar c ta nab B.π+arc ta n ab C.-arc ta n ab D.π-arc ta n a b 解析：消去参数t ，得y -y 0=ab (x -x 0). ∴tan θ=ab (ab <0). ∴θ=π+arctan a b . 答案：B7.若曲线⎩⎨⎧222Pt y=Pt,x=(t 为参数)上异于原点的不同两点M 1、M 2所对应的参数分别是t 1、t 2,则弦M 1M 2所在直线的斜率是（ ）A.t 1+t 2B.t 1-t 2C.211t t + D.211t t - 解析：⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,2,2,22222221111pt y pt x tp y pt x ∴弦M 1M 2所在直线的斜率是k =12212212222222pt pt pt pt x x y y --=--=t 1+t 2.8.方程⎪⎩⎪⎨⎧-'=+'=--t t ee y e e x ,(t 为参数)的图形是（ ） A.双曲线左支B.双曲线右支C.双曲线上支D.双曲线下支解析：⎪⎩⎪⎨⎧-'=+'=--t ee y e e x ,1(t 为参数). ∵x 2-y 2=e 2t +2+e -2t -(e 2t -2+e -2t )=4,且x =e t +e -t ≥2t e e -∙'=2,∴表示双曲线的右支.答案：B9.已知点P （a ,b ）、Q （c ,d ），则方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=t dt b y t ct a x 1,1(t 为参数)表示的曲线是（ ） A.直线PQB.线段PQC.除去P 点的直线PQD.除去Q 点的直线PQ答案：D10.过点（5，-4），倾斜角为π-arcta n 54的直线l 的参数方程是（ ） A.⎩⎨⎧t-y=-t,+x=9455(t 为参数) B.⎩⎨⎧t +y=-t,-x=4455(t 为参数) C.⎩⎨⎧+t+y=-t,x=4455(t 为参数) D.⎩⎨⎧-t y=-t,-x=4455(t 为参数) 解析：直线l 的斜率为k =-45，可用消参法验证.答案：B11.若直线⎩⎨⎧-αy=t αx=t sin ,cos (t 为参数)与圆⎩⎨⎧φy=φ+x=sin 2,cos 24(φ为参数)相切，那么直线的倾斜角为A.6π或65π B.4π或43π C.3π或32π D.-6π或-65π 解析：直线的方程可化为y =tanα x ,即sinαx -cosαy =0,圆的圆心坐标为（4，0），半径为2. ∴aa a 2cos sin |sin 4|+=2,即|sinα|=21. ∴tanα=±33. ∴直线y =tanαx 的倾斜角为6π或65π. 答案：A 12.P （x ,y ）是曲线⎩⎨⎧αy=α+x=sin ,cos 2(α为参数)上任意一点，则（x -5）2+(y +4)2的最大值为（ ）A.36B.6C.26D.25解析：方法一：(x -5)2+(y +4)2=(cosα-3)2+(sinα+4)2=cos 2α-6cosα+9+sin 2α+8sinα+16=26+8sinα-6cosα=26+10sin(α-φ)(其中cos φ=45,sin φ=35).其最大值为36.方法二：P (x ，y )是圆⎩⎨⎧αy=α+x=sin ,cos 2上任意一点，而2)4()5(++-y x 表示点P 与点（5，-4）的距离，如图.其最大值为1+22)4()5(++-y x =6.∴（x -5）2+(y +4)2的最大值是36.答案：A二、填空题（每小题4分，共16分）13.二次曲线⎩⎨⎧θy=θx=sin 3,cos 5 (θ为参数)的左焦点是___________. 解析：消去参数θ得92522y x +=1,∴左焦点为（-4，0）. 答案：(-4,0)14.曲线⎪⎩⎪⎨⎧9,222-y=t -t x=t -与两坐标轴的交点坐标分别为___________. 解析：令x =0,得t 2=1,∴y =-8.令y =0,得t 2=9,∴x =9-91=980. 答案：(980,0)、(0,-8) 15.点P （x ,y ）是曲线C :⎩⎨⎧θy=θ+x=-sin ,cos 2(θ为参数，0≤θ<2π）上任意一点，则yx 的取值范围是___________.解析：圆C 的圆心C 坐标为（-2，0），半径为1，yx 表示P 点与原点连线的斜率，如图. ∵|P 1O |=|P 2O |=3,∴tan ∠P 1Ox =-33tan ∠P 2O C=33. ∴yx 的取值范围是［-33,33］. 答案：［-33,33］ 16.直线l 1的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧,7πcos 1,7πsin 1-t y=+t x=直线l 2的极坐标方程为ρcos(θ-4π)=2,则l 1与l 2的夹角为___________.解析：直线l 1的参数方程可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.-t +=-t y=,-t +=+t x=14π9sin )(114π5sin 114π9cos )(114π5cos 1 ∴其倾斜角为14π9. 直线l 2的倾斜角为4π3. ∴l 1与l 2的夹角为|14π9-4π3|=28π3. 答案：28π3 三、解答题（共74分）17.（本小题满分12分）化下列参数方程为普通方程：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t t y t t x 12,11 (t ∈R 且t ≠-1); (2)⎩⎨⎧θθ+y=θθ+x=csc sec ,cot tan 〔θ≠k π,k π+2π(k ∈Z )〕. 解：(1)由x =t t +-11得t =x x +-11,代入y =tt +12,整理得x +y =1(x ≠-1). (2)由x =tan θ+co tθ=θθcos sin 1, ∴sin θcos θ=1x ,又由y =θθcos 1sin 1+=,cos sin cos sin θθθθ+, ∴sin θ+cos θ=yx ,由(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,得x x y 2122+=. ∴x 2+2x -y 2=0,|x |≥2.18.（本小题满分12分）如图，设P 为等轴双曲线x 2-y 2=1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|=|OP |2.证明：设P （s e c φ,tan φ）,∵F 1(-2,0),F 2(2,0),∴|PF 1|=ϕϕ22tan )2(sec ++ =.1sec 22sec 22++ϕϕ|PF 2|=ϕϕ22tan )2(sec +- =.1sec 22sec 22+-ϕϕ|PF 1|·|PF 2|=ϕϕ222sec 8)1sec 2(-+=2s e c 2φ-1. ∵|OP |2=s e c 2φ+tan 2φ=2s e c 2φ-1,∴|PF 1|·|PF 2|=|OP |2.19.（本小题满分12分）如图，已知椭圆42x +y 2=1上任一点M （除短轴端点外）与短轴两端点B 1、B 2的连线分别交x 轴于P 、Q 两点，求证:|OP |·|OQ |为定值.证明：设M （2cos φ,sin φ）,φ为参数，B 1（0，-1），B 2（0，1）.则MB 1的方程为y +1=s ϕϕcos 21sin +x ,令y =0,则x =1sin cos 2+ϕϕ,即|OP |=|ϕϕsin 1cos 2+|. M B 2的方程为y -1=ϕϕcos 21sin -x , ∴|OQ |=|ϕϕsin 1cos 2-|.∴|OP |·|OQ |=|ϕϕsin 1cos 2+|×|ϕϕsin 1cos 2-|=4， 即|OP |·|OQ |=4为定值.20.(本小题满分12分)过点A （-2，4）引倾斜角为135°的直线l 交抛物线y 2=2Px (P >0)于P 1、P 2两点，若|AP 1|、|P 1P 2|、|AP 2|成等比数列，求P 的值.解：设l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=,224,222y t x ,代入抛物线方程整理得t 2+(82+22p )t +32+8p =0.∴|AP 1|·|AP 2|=|t 1·t 2|=32+8p .又|P 1P 2|2=(t 1+t 2)2-4t 1t 2=8p 2+32p ,∴8p 2+32p =32+8p ，即p 2+3p -4=0.∴p =1.21.(本小题满分12分)椭圆2222by a x +=1(a >b >0)与x 轴正向交于A ，若这个椭圆上总存在点P ，使OP ⊥AP （O 为原点），求椭圆离心率的取值范围.解：设P （a cosα,b sinα）,由OP ⊥A P ,得aa a ab a a a b -cos sin ·sin sin =-1, 即（a 2-b 2）cos 2α-a 2cosα+b 2=0.∴Δ=a 4-4b 2(a 2-b 2)=(b 2-c 2)2≥0. ∴关于cosα的方程有解，cosα=.2|2|2||22222222cc a a c c b a -±=-± ∴cosα=222c c a -或cosα=1. 由|cosα|≤1,得a 2-c 2c 2≤1.∴a 2≤2c 2. ∴22a c ≥21. ∴22≤e <1. 22.(本小题满分14分)经过点A （-3，-23），倾斜角为α的直线l 与圆x 2+y 2=25相交于B 、C 两点.（1）求弦B C 的长；（2）当A 恰为BC 的中点时，求直线BC 的方程；（3）当|BC |=8时，求直线BC 的方程；（4）当α变化时，求动弦BC 的中点M 的轨迹方程.解：取A P =t 为参数(P 为l 上的动点)，则l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=,sin 23,cos 3a t y a t x 代入x 2+y 2=25,整理，得t 2-3(2cosα+sinα)t -455=0. ∵Δ=9(2cosα+sinα)2+55>0恒成立， ∴方程必有两相异实根t 1,t 2,且t 1+t 2=3(2cosα+sinα),t 1·t 2=-455. (1)|BC |=|t 1-t 2|=.55)sin cos 2(94)(21221++=-+2a a t t t t(2)∵A 为BC 中点，∴t 1+t 2=0, 即2cosα+sinα=0.∴tanα=-2.故直线BC 的方程为y +23=-2(x +3), 即4x +2y +15=0.(3)∵|BC |=55)sin cos 2(92++a a =8, ∴(2cosα+sinα)2=1.∴cosα=0或tanα=-43. ∴直线BC 的方程是x =-3或3x +4y +15=0.(4)∵BC 的中点M 对应的参数是23221=+=t t t (2cosα+sinα), ∴点M 的轨迹方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)sin cos 2(sin 2332)sin cos 2(cos 233αα+α+y=-,αα+α+x=-(0≤α≤π). ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.αα-=y+,αα+=x+)2cos 212(sin 2343)2sin 212(cos 2323 ∴(x +23)2+(y +43)2=4516, 即点M 的轨迹是以（-23，-43）为圆心，半径为453的圆.。
极坐标与参数方程单元测试卷(含答案)
选修系列4 综合测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t2，y ＝2＋32t (t 为参数)，则其直角坐标方程为( )A.3x ＋y ＋2－3＝0B.3x －y ＋2－3＝0 C ．x －3y ＋2－3＝0 D ．x ＋3y ＋2－3＝0答案 B解析 ∵⎩⎨⎧x －1＝t 2，y －2＝32t ， ∴y －2＝3(x －1)．即3x －y ＋2－3＝0.2.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝5，BC ＝10，AC 与BD 交于点O ，过O 点作EF ∥AD ，交AB 于E ，交DC 于F ，则EF ＝( )A.103B.203 C ．10 D ．20答案 B3．“a ＝2”是“关于x 的不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<a 的解集非空”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 因为|x ＋1|＋|x ＋2|≥|x ＋1－(x ＋2)|＝1，所以由不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<a 的解集非空，得a >1，所以“a ＝2”是“关于x 的不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<a 的解集非空”的充分不必要条件，故选C.4．在极坐标系中，点(2，π3)到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( )A ．2 B.4＋π29C.1＋π29D. 3答案 D解析 由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ＝2cos π3＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π3＝3可知，点(2，π3)的直角坐标为(1，3)，圆ρ＝2cos θ的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心到点(1，3)的距离为 3.5．设x ，y ∈R ，M ＝x 2＋y 2＋1，N ＝x ＋y ＋xy ，则M 与N 的关系是( ) A ．M ≥N B ．M ≤N C ．M ＝N D ．不能确定答案 A解析 x 2＋1≥2x ，y 2＋1≥2y ，x 2＋y 2≥2xy ，三式相加即可．6.如图，E ，C 分别是∠A 两边上的点，以CE 为直径的⊙O 交∠A 的两边于点D ，点B ，若∠A ＝45°，则△AEC 与△ADB 的面积比为( )A ．2∶1B ．1∶2 C.2∶1 D.3∶1答案 A解析 连接BE ，求△AEC 与△ABD 的面积比即求AE 2∶AB 2的值，设AB ＝a ，∵∠A ＝45°， 又∵CE 为⊙O 的直径，∴∠CBE ＝∠ABE ＝90°. ∴BE ＝AB ＝a ，∴AE ＝2a .∴AE 2∶AB 2＝2a 2∶a 2. 即AE 2∶AB 2＝2∶1，∴S △AEC ∶S △ABD ＝2∶1.7．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长为( )A.125 B.125 5 C.95 5 D.9510 答案 B解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t ⇒⎩⎨⎧x ＝1＋5t ×25，y ＝1＋5t ×15.把直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t 代入x 2＋y 2＝9，得(1＋2t )2＋(2＋t )2＝9.5t 2＋8t －4＝0.∴|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(－85)2＋165＝125，弦长为5|t 1－t 2|＝1255. 8．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是( ) A ．[1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，1]答案 A解析 设f (x )＝|x ＋1|－|x －2|，则f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.由f (x )≥1，解得x ≥1，所以解集为[1，＋∞)．9.如图，AC 切⊙O 于D ，AO 延长线交⊙O 于B ，BC 切⊙O 于B ，若AD ∶AC ＝1∶2，则AO ∶OB 等于( )A ．2∶1B ．1∶1C ．1∶2D ．2∶1.5 答案 A解析 如右图所示，连接OD ，OC .∵AD ∶AC ＝1∶2， ∴D 为AC 的中点． 又∵AC 切⊙O 于点D ， ∴OD ⊥AC .∴OA ＝OC . ∴△AOD ≌△COD . ∴∠1＝∠2.又∵△OBC ≌△ODC ，∴∠2＝∠3. ∴∠1＝∠2＝∠3＝60°，∴OC ＝2OB . ∴OA ＝2OB .故选A.10．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，直线l 与曲线C 交于A ，B ，则|AB |＝( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2答案 B解析 依题意得，直线AB 的普通方程是y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.曲线C 的标准方程是x 2＋y 2＝4，圆心C (0,0)到直线AB 的距离等于22＝2，|AB |＝24－(2)2＝22，选B. 11．若不等式|x ＋a |≤2在x ∈[1,2]时恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0] B ．[0,3] C ．(－3,0) D ．(0,3)答案 A解析 由题意得－2≤x ＋a ≤2，－2－x ≤a ≤2－x ，所以(－2－x )max ≤a ≤(2－x )min .因为x ∈[1,2]，所以－3≤a ≤0.12.如图，AB 是半圆的直径，点C ，D 在AB 上，且AD 平分∠CAB ，已知AB ＝10，AC ＝6，则AD 等于( )A ．8B ．10C ．210D ．4 5答案 D解析 如图，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C ＝∠D ＝90°.又∵AC ＝6，AB ＝10，∴BC ＝8. ∴cos ∠BAC ＝35.又∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝12∠BAC .∴2cos 2∠BAD ＝1＋cos ∠BAC ＝85.∴cos ∠BAD ＝255.又在Rt △ADB 中，AD ＝AB ·cos ∠BAD ＝10×255＝4 5.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．(2014·重庆)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1，12]解析 |2x －1|＋|x ＋2|＝|x －12|＋(|x －12|＋|x ＋2|)≥0＋|(x －12)－(x ＋2)|＝52，当且仅当x ＝12时取等号，因此函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值是52.所以a 2＋12a ＋2≤52，即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12，即实数a的取值范围是[－1，12]．14．(2014·湖北)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.则C 1与C 2交点的直角坐标为________．答案 (3，1)解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3⇒x 2＝3y 2(x ≥0，y ≥0)，曲线C 2的普通方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝4，x 2＝3y 2得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，即C 1与C 2的交点坐标为(3，1)． 15.如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G ，给出下列三个结论：①AD ＋AE ＝AB ＋BC ＋CA ；②AF ·AG ＝AD ·AE ；③△AFB ∽△ADG .其中正确结论的序号是________． 答案 ①②解析 由题意，根据切线长定理，有BD ＝BF ，CE ＝CF ，所以AD ＋AE ＝(AB ＋BD )＋(AC ＋CE )＝(AB ＋BF )＋(AC ＋CF )＝AB ＋AC ＋(BF ＋CF )＝AB ＋AC ＋BC .所以①正确；因为AD ，AE 是圆的切线，根据切线长定理，有AD ＝AE .又因为AG 是圆的割线，所以根据切割线定理有AD 2＝AF ·AG ＝AD ·AE ，所以②正确；根据弦切角定理，有∠ADF ＝∠AGD .又因为BD ＝BF ，所以∠BDF ＝∠BFD ＝∠ADF ，在△AFB 中，∠ABF ＝2∠ADF ＝2∠AGD ，所以③错误．16．已知正实数x ，y 满足2x ＋12y ＋m ＝xy ，若xy 的最小值是9，则实数m 的值为________．答案 3解析 由基本不等式，得xy ≥2xy ＋m ，令xy ＝t ，得不等式t 2－2t －m ≥0.∵xy 的最小值是9，∴t 的最小值是3.∴3是方程t 2－2t －m ＝0的一个根，∴m ＝3.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1. 答案 (1)略 (2)略证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.18．(本小题满分12分)如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED . 答案 (1)略 (2)略证明 (1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA . 又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA . 所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD .从而∠BDA ＝∠PF A .由于AF ⊥EP ，所以∠PF A ＝90°，于是∠BDA ＝90°. 故AB 是直径． (2)连接BC ，DC .由于AB 是直径， 故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ， 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB . 于是∠DAB ＝∠CBA . 又因为∠DCB ＝∠DAB ， 所以∠DCB ＝∠CBA . 故DC ∥AB .由于AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角． 于是ED 为直径，由(1)得ED ＝AB . 19．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，直线l 的极坐标方程为ρ＝42sin θ＋cos θ.(1)写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；(2)设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值． 答案 (1)C 1：x 2＋2y 2＝2，l ：2y ＋x －4＝0 (2)233解析 (1)C 1：x 2＋2y 2＝2，l ：2y ＋x ＝4. (2)设Q (2cos θ，sin θ)，则点Q 到直线l 的距离 d ＝|2sin θ＋2cos θ－4|3＝|2sin (θ＋π4)－4|3≥23，当且仅当θ＋π4＝2k π＋π2，即θ＝2k π＋π4(k ∈Z )时取等号．∴点Q 到直线l 距离的最小值为233.20．(本小题满分12分)如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB ，FC .(1)求证：FB ＝FC ； (2)求证：FB 2＝F A ·FD ；(3)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝6，求AD 的长． 答案 (1)略 (2)略 (3)4 3解析 (1)∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠DAC . ∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC . ∵∠EAD ＝∠F AB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB . ∴FB ＝FC .(2)∵∠F AB ＝∠FCB ＝∠FBC ，∠AFB ＝∠BFD ， ∴△FBA ∽△FDB ，∴FB FD ＝F AFB ，∴FB 2＝F A ·FD .(3)∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∴∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠BAC ＝60°.∴∠D ＝30°.∵BC ＝6，∴AC ＝23，∴AD ＝2AC ＝4 3. 21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．答案 (1)C 1：ρ＝2，C 2：ρ＝4cos θ，⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ⎝⎛⎭⎫－π3≤θ≤π3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t (－3≤t ≤3) 解析 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3.故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t (－3≤t ≤3)．⎝ ⎛⎭⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y (－3≤y ≤3) 方法二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ⎝⎛⎭⎫－π3≤θ≤π3.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x －1|＋2a (a ∈R )． (1)解关于x 的不等式f (x )<3.(2)若不等式f (x )≥ax ，∀x ∈R 恒成立，求a 的取值范围． 答案 (1)当a ≥32时，x ∈∅；当a <32时，x ∈(2a －2,4－2a ) (2)[0,1]解析 (1)由f (x )<3，即|x －1|＋2a <3，得|x －1|<3－2a . 当3－2a ≤0时，即a ≥32，不等式的解集为∅；当3－2a >0时，即a <32，不等式等价于2a －3<x －1<3－2a ，得2a －2<x <4－2a .综上，当a ≥32时，不等式的解集为∅；当a <32时，不等式的解集为{x |2a －2<x <4－2a }．(2)方法一：由f (x )≥ax ，当x <1时，a ≥1－x x －2＝(－1－1x －2)∈(－1,0)．∴a ≥0.当1≤x ≤2时，a (x －2)≤x －1恒成立⇔a ≥x －1x －2恒成立，∵x －1x －2＝(1＋1x －2)∈(－∞，0]，∴a ≥0. 当x ＝2时，1＋2a ≥2a 恒成立，a ∈R . 当x >2时，a ≤x －1x －2恒成立，∵x －1x －2∈(1，＋∞)，∴a ≤1. 综上，∀x ∈R 使得不等式f (x )≥ax 恒成立的a 的取值范围是[0,1]． 方法二：由f (x )≥ax ，即|x －1|＋2a ≥ax ，∴|x－1|≥a(x－2)．依题意，y＝|x－1|的图像恒在y＝a(x－2)图像的上方，而y＝a(x－2)恒过(2,0)点，依图分析得0≤a≤1.。
人教版数学高二《参数方程测试(一)测试题》 名师测试
第一单元 参数方程测试（一） 第I 卷(非选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.圆的参数方程是2cos x θθ=⎧⎨⎩，y=2sin , (θ为参数)，这个圆的半径是（ ）Ａ.１ B. 2 C.2 Ｄ.４ 2.椭圆的参数方程是5cos x y θθ=⎧⎨⎩，=3sin , (θ为参数)，这个椭圆的长轴长是（ ）Ａ.3 B.5 C.6 Ｄ.10 3.已知曲线Ｃ的参数方程是23x t y t =⎧⎨=+⎩，，(t 是参数，且t ≥0)，则下列点在曲线Ｃ上的是（ ）Ａ.(１，2) B.(－1,1) C.(2,3) D.(２，7)4.方程22321x t y t ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，，(t 是参数)表示的曲线是（ ） Ａ.直线 Ｂ.射线 Ｃ.圆 Ｄ.椭圆5.下列以t 为参数所表示的曲线方程中，与方程xy ＝6所表示的曲线完全一致的是（ ）Ａ.x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩B.2||3||x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C.2cos 3cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D. 2tan 3tan x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 6.双曲线3sec x θθ=⎧⎨⎩，y=4tan ,(θ为参数)的两焦点坐标是（ ）A.(±7,0)B.(±5,0) Ｃ.(0，±7) D.(0，±5)7.圆的参数方程是2cos x θθ=+⎧⎨⎩，y=-1+sin , (θ为参数)，则这个圆的圆心坐标是( )A.(2，－1)B.（－2,1）C.（１，－2）D.（－1,2） 8.若直线的参数方程为1223x t y t =+⎧⎨=-⎩，，（t 为参数），则直线的斜率为（ ）A.23 B.23- C.32 D.32- 9.点Ａ(2，a)在椭圆Ｃ：4cos x θθ=⎧⎨⎩，y=2sin ,(θ为参数)上，则a 的值是( )A. 3B.－ 3C.± 3 Ｄ.±2 3 10. 参数方程cos 2x θθ=⎧⎨⎩sin ，y=,(θ为参数)表示的曲线是( )Ａ．椭圆的一段 Ｂ．双曲线的一段 C ．抛物线的一段 D ．线段 11.若θ∈[0，2π]，则椭圆22222cos 4sin 0x y x y θθ+-+=的中心的轨迹是（ ）12.设P(x ，y)是曲线C ：2cos x θθ=-+⎧⎨⎩，y=sin ,（θ为参数，0≤θ≤2π）上任意一点，则yx 的取值范围是（ ）A. [-3，3]B.(-∞，-3)∪（3，+∞）C. [3333-，] D. (-∞，33-)∪（33，+∞） 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．13.点A （3,a ）在曲线Ｃ：22x t y t =⎧⎨=-⎩，，（t 是参数）上，O 是原点，则|OA|= .14.曲线28x t y t t =-⎧⎨=-⎩，，(t 为参数)与x 轴交点的坐标是 . 15.直线314x at y t =+⎧⎨=-+⎩，，（t 为参数）过定点 .16.曲线C 的参数方程是4cos x θθ=⎧⎨⎩，y=4sin ,(θ为参数，且π4≤θ≤3π4)，则曲线Ｃ的长度是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）一架救援直升飞机以50m/s 的速度作水平直线飞行，在离灾区指定目标的水平距离还有200m 时投放救灾物资（不计空气阻力，重力加速度g ＝10m/s 2）,问此时飞机的飞行高度约为多少？xyO 2-1Axy O 2 1B18.（本小题满分12分）已知点A(3，－3)，点Ｐ是圆Ｃ：32cos x θθ=-+⎧⎨⎩，y=1+2sin ,(θ为参数)上一动点，求线段P Ａ中点Ｍ的轨迹的参数方程. 19. （本小题满分12分）已知曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩，，(α是参数)，直线l的参数方程是22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，t ，求直线l 与曲线C 相交所成弦的弦长．20.（本小题满分12分）已知定点Ａ(0,2)，动点Ｍ在双曲线x 2－y 2＝1上，判断线段MA 有最小值吗？如果有，请求出点Ｍ的坐标；如果没有，请说明理由.21.（本小题满分12分）点P 在椭圆221169x y +=上，求点P 到直线3x-4y=24的最大距离和最小距离22.（本小题满分14分）过点P 作倾斜角为α的直线与曲线2221x y +=交于点M ，N ，求|PM|·|PN|的值及相应的α的值.参考答案1.C 易知这个圆的半径是2.2.D 易知这个椭圆的长半轴长是5，所以长轴长是10.3.D 由x=t ，将各选项的横坐标（非负值）看成是t ，检验y 的值，只有Ｄ选项符合.4.B 将其化成普通方程为x －2y+5＝0(x ≥－3)，即曲线是一条射线.5.D Ａ，Ｂ中的选项x 只能取正数，Ｃ选项中的x 值受限，如不能取小于-2或大于2的数，只有Ｄ项符合．6.B 由条件知双曲线的焦点在x 轴上，且实半轴长a=3，虚半轴长b=４，所以焦点坐标是(±5，0).7.A 由题意得，该圆的普通方程为22(1)1y ++=(x-2)，显然，其圆心坐标为（2，-1）. 8.D 233122y t k x t --===--. 9.C 把x=2，y=a 代入参数方程得：24cos θθ=⎧⎨⎩，a=2sin ,解得cos θ＝12，所以sin θ＝±32，即得a ＝±3．10.C 条件可化为⎩⎨⎧ x ＝sin θy ＝1－2sin 2θ,得普通方程是y ＝1-2x 2(-1≤x ≤1)，故其表示的曲线是抛物线的一段.11．D把已知方程化成标准方程为22()(sin )12x y θθ++=，所以椭圆中心坐标是sin θθ，-），其轨迹方程是sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，-，（θ为参数，且θ∈[0，2π]），即2212x y +=（0≤x-1≤y ≤0）. 12.C 曲线C 的普通方程为22(2)1x y ++=，令yx=k ，则y=kx.结合右图，运用几何意义及性质，知max 3k =，min 3k =-.所以k ∈[33-，13．5 将曲线C 的参数方程化成普通方程为y=2x-2，代入A （3,a ），得a=4.所以A （3，4）.所以．14．(－7,0)或(－8,0) 由条件知y=0，可得t ＝1或t=0，所以x=－7或x ＝－8，即得交点的坐标是(－7,0)或(－8,0)． 15.（3，-1）143y x a+=-，-（y+1）a+4x-12=0对于任何a 都成立，则x=3，且y=-1. 16．2π 由条件知曲线C 是半径为4，圆心角为π2的一条弧，即所求曲线的长度是4×π2＝2π．17．解：设飞机在点A 将物资投出机舱.在经过飞机航线且垂直于地面的平面上建立平面直角坐标系，其中，x 轴为地平面与这个平面的交线，y 轴经过点A.如图1，记物资出舱时为时刻0，在t 时刻，物资的位置为M(x ，y).易得它的水平位移量为x=50t y=h-52t ， 即2505.x t y h t =⎧⎨=-⎩，当x=200时，得t ＝4，此时y=0.得h ＝80. 故要使物资准确地投入到指定位置，飞行高度约为80m ． 18．解：设点Ｍ(x,y)，点Ｐ (-3+2cos θ，1+2sin θ)，由中点坐标公式可得：x ＝-3+2cos θ+32=cos θ，y ＝1+2sin θ－32＝sin θ－1.因此，点Ｍ的轨迹的参数方程是cos sin 1.x y θθ=⎧⎨=-⎩，(θ为参数).19．解：将曲线C 的参数方程化成普通方程为（x －2）2＋y 2=4，将直线l 的参数方程化成普通方程为x －y －1=0，曲线C 的圆心（2，0）到直线l =， m 图1所以直线l 与曲线C相交所成弦的弦长为20．解：根据题意，设Ｍ的坐标为(sec θ，tan θ)，则|MA|2＝sec 2θ+(tan θ－2)2＝tan 2θ＋1＋(tan θ－2)2＝2tan 2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3，所以|MA|有最小值，且最小值是 3.此时，tan θ＝1，即sec θ＝± 2. 所以Ｍ(2，1)或Ｍ(-2，1)． 21.解：根据题意，设P(4cos θ,3sin θ)，则点P 到直线3x-4y=24的距离12cos 12sin 245d θθ--=，当cos()14πθ+=-时，max 12(25d =； 当cos()14πθ+=时，min12(25d = ２2．解：设直线为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩，，(t 为参数)，代入曲线并整理得223(1sin))02t t αα+++=.则12223321sin 21sin PM PN t t αα⋅===++（）. 因为直线与曲线相交，所以△=2234(1sin )2αα-⨯+）≥0，即2sin α≤14.所以当2sin α=14，即sin α=12（因为0≤α<π）时，α=6π或56π.此时，|PM|·|PN|有最小值为65．。
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参数方程单元测试题一、选择题 1．将参数方程⎩⎨⎧αα cos ＝－1－ cos 2＝y x (a 为参数)化成普通方程为( )．A ．2x ＋y ＋1＝0B ．x ＋2y ＋1＝0C ．2x ＋y ＋1＝0(－3≤x ≤1)D ．x ＋2y ＋1＝0(－1≤y ≤1)2．双曲线xy ＝1的参数方程是( )．A ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧21－21＝＝ty t xB ．⎪⎩⎪⎨⎧t y tx sin 1＝ sin ＝C ．⎪⎩⎪⎨⎧t y tx tan 1＝ tan ＝D ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧t t t t y x －－e ＋e 2＝2＋e ＝e3．对于参数方程和⎩⎨⎧30sin ＋2 ＝ 30 cos －1 ＝ t y t x ⎪⎩⎪⎨⎧30sin 2＝ 30 cos ＋ 1 ＝ t －y t x 的曲线，正确的结论是( )． A ．是倾斜角为30º的平行线B ．是倾斜角为30º的同一直线C ．是倾斜角为150º的同一直线D ．是过点(1，2)的相交直线4．参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)(θθθ sin ＋121＝2sin ＋2cos ＝y x (0≤θ≤2π)的曲线( )． A ．抛物线的一部分，且过点(－1，21) B ．抛物线的一部分，且过点(1，21)C ．双曲线的一支，且过点(－1，21)D ．双曲线的一支，且过点(1，21)5．直线⎩⎨⎧t y tx ＋ 3＝－－ 2＝(t 为参数)上与点A (2，－3)的距离等于1的点的坐标是( )．A ．(1，－2)或(3，－4)B ．(2－2，－3＋2)或(2＋2，－3－2)C ．(2－22，－3＋22)或(2＋22，－3－22) D ．(0，－1)或(4，－5) 6．直线x cos α＋y sin α＝2与圆⎩⎨⎧θθ＝ ＝2sin 2cos y x (θ 为参数)的位置关系是( )．A ．相交不过圆心B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离7．若点P (4，a )在曲线⎪⎩⎪⎨⎧ty tx 2＝2＝(t 为参数)上，点F (2，0)，则|PF |等于( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．78． 已知点(m ，n )在曲线⎪⎩⎪⎨⎧ααsin 6＝ cos 6 ＝ y x (α为参数)上，点(x ，y )在曲线⎩⎨⎧ββsin 24＝ cos 24＝y x (β为参数)上，则mx ＋ny 的最大值为( )．Ａ．12 B ．15C ．24D ．309．直线y ＝kx ＋2与曲线⎪⎩⎪⎨⎧ααsin 3＝ 2cos y x ＝至多一个交点的充要条件是( )．A ．k ∈[－21，21]B ．k ∈(－∞，－21]∪［21，＋∞)C ．k ∈[－22，22] D ．k ∈(－∞，－22]∪［22，＋∞) 10．过椭圆C ：⎪⎩⎪⎨⎧θθsin 3＝ 2cos y x ＝(θ 为参数)的右焦点F 作直线l 交C 于M ，N 两点，|MF |＝m ，|NF |＝n ，则nm 1＋1的值为( )．A ．32B ．34C ．38 D ．不能确定二、填空题11． 弹道曲线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧221 sin ＝ cos ＝00gt －t v y t v x αα(t 为参数，a ，v 0，g 为常数)，当炮弹达到最高点时，炮弹飞行的水平距离为 ．12．直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧20cos ＝－3＋20 sin ＝t y t x (t 为参数)，则直线的倾斜角为 ．13．曲线C 1：y ＝|x |，C 2：x ＝0，C 3的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧ty tx 1－＝＝(t 为参数)，则C 1，C 2，C 3围成的图形的面积为 ． 14．直线⎩⎨⎧θθsin ＝ cos ＝t y t x 与圆⎩⎨⎧ααsin 2 ＝ cos 2＋4＝y x 相切，则该直线的倾斜角＝________．15．变量x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧ty t x －1＝＝2(t 为参数)，则代数式2＋＋x y 2的取值范围是 ． 16．若动点(x ，y )在曲线1＝ ＋4222by x (0＜b ≤4)上变化，则x 2＋2y 的最大值为 ． 三．解答题17．已知直线l 1过点P (2，0)，斜率为34．(1)求直线l 1的参数方程；(2)若直线l 2的方程为x ＋y ＋5＝0，且满足l 1∩l 2＝Q ，求|PQ |的值．18．已知点P (x ，y )为曲线C ：⎩⎨⎧θθθθ － 4sin ＋ 3sin 3cos 4cos y ＝x ＝(θ 为参数)上动点，若不等式x ＋y ＋m ＞0恒成立，求实数m 的取值范围．19．经过点M (2，1)作直线交曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧t t y tt x 1－＝1＋＝ (t 是参数)于A ，B 两点，若点M 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程．20．已知直线l ：⎪⎩⎪⎨⎧θθ sin ＋ － ＋ ＋ 2t y ＝t x ＝1cos 1(t 为参数，θ∈R )，曲线C ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧1 1＝1＝2－t t y t x (t 为参数)．(1)若l 与C 有公共点，求直线l 的斜率的取值范围；(2)若l 与C 有两个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．一、选择题1．D 解析：将cos α＝－y 代入x ＝2cos α－1，得普通方程x ＋2y ＋1＝0， 又因为－1≤cos α≤1，所以有－1≤y ≤1，故选D ． 2．C 解析：由xy ＝1知x ≠0且x ∈R ，又A 中x ＝21t =t ≥0；B 中x ＝sin t ∈[－1，1]；D 中x ＝2＋－tt e e ≥2＋－tte e ＝1；故排除A ，B ，D ．3．C 解析：31＝－1－2－x y ，31＝－1－2－x y ． 4．B 解析：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)(θθθ sin ＋121＝2sin ＋2cos ＝y x (0≤θ≤2π)， 由参数方程得x 2＝1＋sin θ，代入y 得x 2＝2y 为抛物线．又x ≥0，故选B ．5．C 解析：由(－t )2＋(t )2＝12，t ＝±22． 6．C 解析：圆的普通方程为x 2＋y 2＝4，圆心(0，0)到直线x cos α＋y sin α－2＝0的距离 d = 12＝2等于半径，所以直线与圆相切． 7．C 抛物线为y 2＝8x ，准线为x ＝－2，|PF |为P (4，a )到准线x ＝－2的距离，即6.8．A 解析：(利用圆的参数方程)⎩⎨⎧⎩⎨⎧ββααsin 24＝ cos 24＝ sin 6＝ cos 6＝y x n m ，， 则mx ＋ny ＝12(cos α cos β＋sin α sin β)＝12cos (α－β)，且－1≤cos (α－β)≤1.9．A 解析：曲线的普通方程为1 ＝3＋422y x ．与直线方程联立，得一元二次方程．令判别式Δ≤0，得－21≤k ≤21．10．B 解析：曲线C 为椭圆 ，1 ＝3＋422y x 右焦点F (1，0)，设l ：⎩⎨⎧θθsin ＝ cos ＝1＋t y t x ，代入椭圆方程得：(3＋sin 2θ)t 2＋6tcos θ －9＝0，t 1t 2＝－θ2sin ＋ 39，t 1＋t 2＝－θθ2sin ＋ 3cos 6，∴34＝4－＋＝－＝1＋1＝1＋12121221212121|t t |t t t t |t t ||t t ||t ||t |n m )(． 二、填空题11．g v ααcos sin 20．解析：由y ＝v 0t sin α－21gt 2知，当炮弹达到最高点时，t ＝g v sin 0α，代入得x ＝v 0cos αgvsin 0α＝g v ααcos sin 20．12．110º．解析：⎪⎩⎪⎨⎧ 20 cos ＝－3＋20 sin ＝t y t x (t 为参数)即⎪⎩⎪⎨⎧)()( 70sin ＝70 cos ＋ 3＝－t y －t x (t 为参数)，所以倾斜角α＝－70º＋180º＝110º．13．8π．解析：C 3的曲线是圆x 2＋y 2＝1在第一象限的部分(含端点)，则由图形得三曲线围成的图形的面积是圆x 2＋y 2＝1在第一象限部分的21，面积是8π． 14．6π或65π．直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，作出图形，相切时，易知倾斜角为6π或65π． 15．⎥⎦⎤⎢⎣⎡232 ，．解析：参数方程⎪⎩⎪⎨⎧t y t x －1＝＝2(t 为参数)化普通方程为x 2＋42y ＝1(0≤x ≤1，0≤y ≤2)，代数式2＋2＋x y 表示过点(－2，－2)与椭圆x 2＋42y ＝1在第一象限及端点上任意一点连线的斜率，由图可知，k max ＝k PB ＝2，k min ＝k P A ＝32．16．4＋162b ．解析：⎩⎨⎧θθsin ＝ 2cos ＝b y x ，4cos 2θ＋2b sin θ ＝－4sin 2θ＋2b sin θ ＋4，令t ＝sin θ(－1≤t ≤1)，有x 2＋2y ＝－4t 2＋2b ＋4．当t ＝4b 时，x 2＋2y 有最大值为4＋162b ．三、解答题17．(1)解：设直线的倾斜角为α，由题意知tan α＝34，所以sin α＝54，cos α＝53，故l 1的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ty t x 54＝53＋＝2(t 为参数)．(2)解：将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ty t x 54＝53＋＝2代入l 2的方程得：2＋53t ＋54t ＋5＝0，解得t ＝－5，即Q (－1，－4)，所以|PQ |＝5．18．解：x ＋y ＋m ＞0，即7sin θ ＋cos θ ＋m ＞0，m ＞－(7sin θ ＋cos θ )，即m ＞－52sin (θ ＋ϕ )．而－52sin (θ ＋ϕ )的最大值为52．所以m ＞52，即m ∈(52，+∞)．19．解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧②1－＝①1＋＝ t t y tt x0)(第15题)1(第由①2－②2得x 2－y 2＝4 ③，该曲线为双曲线． 设所求直线的参数方程为⎩⎨⎧θθsin ＋ ＋ 2 t y ＝t x ＝1cos (t 为参数)，代入③得：(cos 2θ－sin 2θ )t 2＋(4cos θ－2sin θ )t －1＝0， t 1＋t 2＝－θθθθ22sin cos 2sin cos 4－－，由点M (2，1)为A ，B 的中点知t 1＋t 2＝0，即4cos θ－2sin θ ＝0，所以tan θ＝2，因为θ 是直线的倾斜角， 所以k ＝2，所求直线的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0． 20．(1)解：直线l ：⎪⎩⎪⎨⎧θθsin ＋ － ＋ ＋ 2t y ＝t x ＝1cos 1(t 为参数，θ∈R )经过点(1＋2，－1)，曲线C ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧1 1＝1＝2－t t y t x (t 为参数)表示圆x 2+y 2=1的一部分(如图所示)设直线的方程l ：y ＋1＝k (x －1－2)．当l 与圆相切时，圆心O (0，0)到l 的距离d ＝1＋ 1＋2＋12k k )(＝1，解得k ＝－1或k ＝0．又k PC ＝－1＋ 22＜k P A ＝－21，k PB ＝－2＋21， 如图所示，当l 与C 有公共点时，应有－1≤k ≤k P A 或者k PB ≤k ＜k PD ＝0， 即k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡21－1 ，－∪⎪⎭⎫⎢⎣⎡02＋21－ ，． (2)由图可知，若l 与C 有两个公共点时，应有－1＜k ＜k PC ，即k ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛＋122－ 1，－．。