数学：1.4《生活中的优化问题举例》教案(1)(新人教A版选修2-2)
高中数学 1.4 1生活中的优化问题举例教案 新人教A版选修2-2
2013年高中数学 1.4 1生活中的优化问题举例教案新人教A
版选修2-2
教学目标：
知识目标：1.利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，
b]上的最大（小）值；
2.利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值。
能力目标：1.通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，
b]上的最大（小）值，
培养学生的数学思维能力；
2.通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力，
以及数学建模能力。
思想目标：逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯
教学重难点：
将实际问题转化成函数问题，利用导数来解决优化问题
教学基本流程：
教学过程：。
高中数学 1.4 生活中的优化问题举例导学案 新人教A版选修2-2
§1.4 生活中的优化问题学习目标：1、通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在实际问题中的作用；2、会利用导数解决生活中的实际问题。
一、典例分析：〖例1〗：要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目，这两栏目的面积之和为218000cm ，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm 。
怎样确定广告的高与宽的尺寸，能使矩形广告的面积最小？〖例2〗：某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2x 万元。
假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元。
（1）试写出y 关于x 的函数关系式；（2）当m =640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？〖例3〗：某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。
经测算，如果将楼房建为()10x x ≥层，则每平方米的平均建筑费用为56048x +560+48x （单位：元）。
为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）二、课后作业：1、某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时的时候，原油温度（单位：C ）为()()3218053f x x x x =-+≤≤，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是（ ） A 、8 B 、203 C 、1- D 、8- 2、有一长为16m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为（ ）A 、232mB 、214mC 、216mD 、218m3、设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为（ ）A B C D 、4、一张高1.4m 的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼睛1.8m 。
数学：1.4《生活中的优化问题》课件(新人教a版选修2-2)
4 3 pr 3
思考2：每瓶满装的饮料的利润(单位： 分)是多少？ 4
0.2 ?
思考3：设每瓶满装饮料的利润为f(r)， 则函数f(r)的定义域是什么？ （0，6]
3
pr
3
0.8 p r
2
r 思考4：函数 f (r ) = 0.8p ( - r 2 )(0 < r ? 6) 3
3
是否存在最值？若存在，如何求其最值？
3.生活中经常遇到求利润最高，产量最大， 成本最低，用料最省等实际问题，这些问题 通常称为优化问题.解决优化问题的本质就是 求函数的最值，因此，以函数为载体导数为 工具，解决生活中的优化问题，是数学应用 领域的一个重要课题.
探究（一）：海报版面尺寸的设计
【背景材料】学校或班级举行活动，通 常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一 张如图所示的竖向张贴的海报，要求版 心面积为128dm2，上、下两边各空2dm， 左、右两边各空1dm.
的影响
【背景材料】某制造商制造并出售球形 瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是 0.8π r2分，其中r(单位：cm)是瓶子的 半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可 获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最 大半径为6cm.
思考1：1mL饮料所占的体积是多少cm3？ 半径为r的瓶子最多能装多少mL的饮料？
2p r (R - r )(0 < r < R ) 磁盘的存储量 f (r ) = mn
如何变化？有何最值？
R
r
R r = 时，存储量最大. 2
思考6：如果每条磁道存储的信息与磁道 的长度成正比，那么如何计算磁盘的存 储量？此时，是不是r越小，磁盘的存储 R 量越大？
m r = 时，存储量最大. 2
新人教A版选修(2-2)《生活中的优化问题举例》word教案
学校：临清一中学科：数学编写人：张华审稿人：张林§1.4.1生活中的优化问题举例【教学目标】1、会解决使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，深入体会导数在解决实际问题中的作用；2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。
【教学重难点】教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题。
【教学过程】(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标教师：我们知道，汽油的消耗量w（单位：L）与汽车的速度v（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量w是汽车速度v的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：①是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？②“汽油的使用率最高”的含义是什么？通过实际问题引发学生思考，进而导入本节课，并给出本节目标。
（三）合作探究、精讲点拨（1）提出概念生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．（2）引导探究例1：海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？探究1：在本问题中如何恰当的使用导数工具来解决最优需要？例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响①你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？②是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米。
已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.8r0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm问题：①瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？②瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？探究2：换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？例3．磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。
数学：1.4《生活中的优化问题举例》学案(新人教A版选修2-2)
§1.4 生活中的优化问题举例【学习目标】1． 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用2． 提高将实际问题转化为数学问题的能力【重点难点】学习重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．学习难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．【问题探究】一、生活中的优化问题导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与利润及其成本有关的最值问题；3、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．【典例分析】例1．海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为________dm,此时四周空白面积为()S x例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是20.8r 分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米。
已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解：由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是令()0f r '= 解得 ___r =（0r =舍去）例3．在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解:事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例4*．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=__________________例5．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得湿周l =AB +BC +CD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b . 【目标检测】1．已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．2.A 、B 两村距输电线（直线）分别为1km 和1.5km （如图），CD 长3.km 现两村合用一台变压器供电. 问变压器设在何处,输电线总长 AE BE + 最小.3.在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。
人教A版选修2-2 1.4 生活中的优化问题举例 学案
1.4 生活中的优化问题举例[学习目标]1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． [知识链接]设两正数之和为常数c ，能否借助导数求两数之积的最大值，并由此证明不等式a ＋b 2≥ab (a ，b ＞0)?答 设一个正数为x ，则另一个正数为c －x ，两数之积为f (x )＝x (c －x )＝cx －x 2(0＜x ＜c )，f ′(x )＝c －2x . 令f ′(x )＝0，即c －2x ＝0，得x ＝c2.故当x ＝c2时，f (x )有最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＝c 24，即两个正数的积不大于这两个正数的和的平方的14.若设这两个正数分别为a ，b ，则有a ＋b 24≥ab (a ＞0，b ＞0)，即a ＋b 2≥ab(a ，b ＞0)，当且仅当a ＝b 时等号成立． [预习导引]1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值． 3．解决优化问题的基本思路是 优化问题→用函数表示的数学问题优化问题的答案←用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．要点一用料最省问题例1 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？解如图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点C距点D为x km，则BC＝BD2＋CD2＝x2＋402，又设总的水管费用为y元，依题意有y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0<x<50)．∴y′＝－3a＋5axx2＋402.令y′＝0，解得x＝30，(x＝－30舍去)在(0,50)上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30处取得最小值，此时AC＝50－x＝20 (km)．∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．规律方法用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．跟踪演练1 一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？ 解 设速度为每小时v 海里的燃料费是每小时p 元，那么由题设的比例关系得p ＝k ·v 3，其中k 为比例系数(k ≠0)，它可以由v ＝10，p ＝6求得，即k ＝6103＝0.006，于是有p ＝0.006v 3.又设当船的速度为每小时v 海里时，航行1海里所需的总费用为q 元，那么每小时所需的总费用是0.006v 3＋96(元)，而航行1海里所需时间为1v小时，所以，航行1海里的总费用为：q ＝1v (0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v.q ′＝0.012v －96v 2＝0.012v2(v 3－8 000)，令q ′＝0，解得v ＝20.∵当v <20时，q ′<0； 当v >20时，q ′>0，∴当v ＝20时，q 取得最小值，即速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小． 要点二 面积、容积的最值问题例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解 设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20 cm ，y －252cm ，其中x >20，y >25. 两栏面积之和为2(x －20)·y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25.广告的面积S ＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫18 000x －20＋25＝18 000xx －20＋25x ，∴S ′＝18 000[x －20－x ]x －202＋25＝－360 000x －202＋25.令S ′>0得x >140，令S ′<0得20<x <140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S (x )的最小值为S (140)．当x ＝140时，y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小．规律方法 (1)解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值． (2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤①找关系：分析实际问题中各量之间的关系；②列模型：列出实际问题的数学模型；③写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；④求导：求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；⑤比较：比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；⑥结论：根据比较值写出答案． 跟踪演练2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？ 解如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S ＝2πRh ＋2πR 2， 由V ＝πR 2h ，得h ＝VπR2，则S (R )＝2πR V πR 2＋2πR 2＝2V R＋2πR 2，令S ′(R )＝－2VR 2＋4πR ＝0，解得R ＝3V 2π，从而h ＝V πR 2＝Vπ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3V 2π2＝ 34V π＝2 3V2π，即h ＝2R .因为S (R )只有一个极值，所以它是最小值． 所以，当罐的高与底面直径相等时，所用材料最省． 要点三 成本最省，利润最大问题例3 甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v 千米/时的平方成正比，比例系数为b (b >0)；固定部分为a 元． (1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解 (1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为sv，全程运输成本为y ＝a ·s v ＋bv 2·s v ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv ，∴所求函数及其定义域为y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv ，v ∈(0，c ] (2)由题意s 、a 、b 、v 均为正数． y ′＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a v 2＝0得v ＝ab.但v ∈(0，c ]． ①若ab≤c ，则当v ＝ ab时，全程运输成本y 最小； ②若ab>c ，则v ∈(0，c ]， 此时y ′<0，即y 在(0，c ]上为减函数． 所以当v ＝c 时，y 最小．综上可知，为使全程运输成本y 最小， 当ab≤c 时，行驶速度v ＝ a b； 当ab>c 时，行驶速度v ＝c . 规律方法 正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路．另外需注意：①合理选择变量，正确给出函数关系式． ②与实际问题相联系．③必要时注意分类讨论思想的应用．跟踪演练3 已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q .求产量q 为何值时，利润L 最大？解 收入R ＝q ·p ＝q ⎝⎛⎭⎪⎫25－18q ＝25q －18q 2，利润L ＝R －C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25q －18q 2－(100＋4q )＝－18q 2＋21q －100(0<q <200)L ′＝－14q ＋21令L ′＝0，即－14q ＋21＝0，求得唯一的极值点q ＝84.所以产量为84时，利润L 最大．1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( ) A ．8 B ．203C ．－1D ．－8答案 C解析 原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时底面边长为( ) A.3V B ．32V C ．34VD ．23V答案 C解析 设底面边长为x ，则表面积S ＝32x 2＋43x V (x >0)．∴S ′＝3x2(x 3－4V)．令S′＝0，得x＝34V.3．在边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解设箱底边长为x cm，则箱高h＝60－x2cm，箱子容积V(x)＝x2h＝60x2－x32(0＜x＜60)．V′(x)＝60x－32x2令V′(x)＝60x－32x2＝0，解得x＝0(舍去)或x＝40，并求得V(40)＝16 000.由题意知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值．答当x＝40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm3.4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝1128 000x3－380x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)，h ′(x )＝x640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)．令h ′(x )＝0，得x ＝80.因为x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数；x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，h (x )是增函数，所以当x ＝80时，h (x )取得极小值h (80)＝11.25(升)． 因为h (x )在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答 汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．1．解有关函数最大值、最小值的实际问题，在分析问题中的各个变量之间的关系的基础上，列出合乎题意的函数关系式，并确定函数的定义域．注意所求得的结果一定符合问题的实际意义．2．利用导数解决生活中的优化问题时，有时会遇到在定义域内只有一个点使f ′(x )＝0，如果函数在该点取得极大(小)值，极值就是函数的最大(小)值，因此在求有关实际问题的最值时，一般不考虑端点．一、基础达标1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( ) A ．4 B ．6 C ．4.5 D ．8答案 A解析 设底面边长为x ，高为h ， 则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x 2，∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2.令S ′(x )＝0，解得x ＝8，∴h ＝25682＝4.2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x ∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为( ) A ．0.016 2 B ．0.032 4 C ．0.024 3 D ．0.048 6答案 B解析 依题意，得存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，获得的贷款利息是0.048 6kx 2，其中x ∈(0,0.048 6)．所以银行的收益是y ＝0.048 6kx 2－kx 3(0<x <0.048 6)，则y ′＝0.097 2kx －3kx 2.令y ′＝0，得x ＝0.032 4或x ＝0(舍去)． 当0<x <0.032 4时，y ′>0； 当0.032 4<x <0.048 6时，y ′<0.所以当x ＝0.032 4时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．3．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫l 33πC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43πD ．14⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π答案 A解析 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则4r ＋2h ＝l ，∴h ＝l －4r 2，V ＝πr 2h ＝l2πr 2－2πr 3⎝⎛⎭⎪⎫0<r <l 4. 则V ′＝l πr －6πr 2，令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l6，而r >0，∴r ＝l6是其唯一的极值点．∴当r ＝l6时，V 取得最大值，最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π.4．用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( ) A ．120 000 cm 3 B ．128 000 cm 3 C ．150 000 cm 3 D ．158 000 cm 3答案 B解析 设水箱底边长为x cm ，则水箱高h ＝60－x2(cm)．水箱容积V ＝V (x )＝x 2h ＝60x 2－x 32(0<x <120)．V ′(x )＝120x －32x 2.令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝80.可判断得x ＝80 cm时，V 取最大值为128 000 cm 3.5．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________． 答案 3解析 设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π，∴L ＝27R 2，要使用料最省，只须使圆柱表面积最小，由题意，S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋2π·27R，∴S ′(R )＝2πR －54πR 2＝0，∴R ＝3，则当R ＝3时，S 表最小．6．电动自行车的耗电量y 与速度x 之间的关系为y ＝13x 3－392x 2－40x (x ＞0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________． 答案 40解析 由题设知y ′＝x 2－39x －40， 令y ′＞0，解得x ＞40，或x ＜－1，故函数y ＝13x 3－392x 2－40x (x ＞0)在[40，＋∞)上递增，在(0,40]上递减．∴当x ＝40时，y 取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.7．学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm 2，上、下两边各空2 dm ，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？ 解设版心的高为x dm ，则版心的宽为 128xdm ，此时四周空白面积为S (x )＝(x ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫128x ＋2－128＝2x ＋512x＋8，x >0.求导数，得S ′(x )＝2－512x 2.令S ′(x )＝2－512x 2＝0，解得x ＝16(x ＝－16舍去)．于是宽为128x ＝12816＝8.当x ∈(0,16)时，S ′(x )<0；当x ∈(16，＋∞)时，S ′(x )>0.因此，x ＝16是函数S (x )的极小值点，也是最小值点．所以，当版心高为16 dm ，宽为8 dm 时，能使四周空白面积最小． 二、能力提升8．把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( ) A.323 cm 2 B ．4 cm 2 C ．3 2 cm 2 D ．2 3 cm 2答案 D解析 设一个正三角形的边长为x cm ，则另一个正三角形的边长为(4－x )cm ，则这两个正三角形的面积之和为S ＝34x 2＋34(4－x )2＝32[(x －2)2＋4]≥23(cm 2)，故选D.9．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎨⎧－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，90 090，x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300答案 D解析 由题意得，总利润P (x )＝⎩⎨⎧－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，70 090－100x ，x >390，令P ′(x )＝0，得x ＝300，故选D.10．为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长为a 米，高为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a ＝________，b ＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)．答案 6 3解析 设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y ＝k ab ，其中k (k >0)为比例系数．依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小，根据题设，4b ＋2ab ＋2a ＝60(a >0，b >0)得b ＝30－a 2＋a .于是y ＝k ab ＝k 30a －a 22＋a＝k 2＋a 30a －a 2.(0<a <30)令y ′＝a 2k ＋4ak －60k30a －a 22＝0得a ＝6或a ＝－10(舍去)．∵只有一个极值点，∴此极值点即为最值点．当a ＝6时，b ＝3，即当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．11．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元． (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx－1.所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256mx＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512)．令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数，所以f (x )在x ＝64处取得最小值．此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．12．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h 时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h ，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解 设速度为x km/h ，甲、乙两城距离为a km.则总费用f (x )＝(kx 3＋200)·a x ＝a (kx 2＋200x)．由已知条件，得40＝k ·203，∴k ＝1200，∴f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1200x 2＋200x (0＜x ＜100)． 令f ′(x )＝a x 3－20 000100x 2＝0，得x ＝10320. 当0<x <10320时，f ′(x )<0；当10320<x <100时，f ′(x )>0.∴当x ＝10320时，f (x )有最小值， 即速度为10320 km/h 时，总费用最少．三、探究与创新13．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元．设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋43πr3，又V＝80π3，故l＝V－43πr3πr2＝803r2－4r3＝43⎝⎛⎭⎪⎫20r2－r.由于l≥2r，因此0<r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×43⎝⎛⎭⎪⎫20r2－r×3＋4πr2c，因此y＝4π(c－2)r2＋160πr，0<r≤2.(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－160πr2＝8πc－2r2(r3－20c－2)，0<r≤2.由于c>3，所以c－2>0.当r3－20c－2＝0时，r＝320c－2.令320c－2＝m，则m>0，所以y′＝8πc－2r2(r－m)(r2＋rm＋m2)．①当0<m<2，即c>92时，令y′＝0，得r＝m.当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2]时，y′>0，所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2，即3<c≤92时，当r∈(0,2]时，y′≤0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．综上所述，当3<c≤92时，建造费用最小时r＝2；当c>92时，建造费用最小时r＝320c－2.。
人教版数学高二A版选修2-2教案 1.4 生活中的优化问题举例(2)
课题：生活中的优化问题举例（2）课时：15课型：新授课例3．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 20.8r π分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米。
已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解：由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是()332240.20.80.8,0633r y f r r r r r πππ⎛⎫==⨯-=-<≤ ⎪⎝⎭令()20.8(2)0f r r r π'=-= 解得 2r =（0r =舍去） 当()0,2r ∈时，()0f r '<；当()2,6r ∈时，()0f r '>．当半径2r >时，()0f r '>它表示()f r 单调递增，即半径越大，利润越高；当半径2r <时，()0f r '< 它表示()f r 单调递减，即半径越大，利润越低．（1） 半径为2cm 时，利润最小，这时()20f <，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．（2） 半径为6cm 时，利润最大．换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？有图像知：当3r =时，()30f =，即瓶子的半径为3cm 时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当3r >时，利润才为正值．当()0,2r ∈时，()0f r '<，()f r 为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm 时，利润最小．说明：四．课堂练习1．用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．（高为1.2 m ，最大容积31.8m ）5．课本 练习五．回顾总结12．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。
最新人教版高中数学选修2-2第一章《生活中的优化问题举例》教学设计
教学设计1．4生活中的优化问题举例教材分析本节内容是导数知识的应用，是利用前面所学的导数知识来解决生产生活中的实际问题．要使问题解决达到最优化，首先要建立合适的函数关系，并确定函数的定义域，然后通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决．在这个过程中，可以利用导数分析函数单调性、极值和最值，从而得出像利润最大、用料最省、效率最高等优化问题的结论．因此，导数是解决生活中优化问题的一个有力工具．课时分配1课时．教学目标1．知识与技能目标会利用导数求利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力．2．过程与方法目标在利用导数解决实际问题中的优化问题的过程中，进一步巩固导数的相关知识，学生通过自主探究，体验数学发现与创造的历程，提高学生的数学素养．3．情感、态度与价值观在学习应用数学知识解决问题的过程中，培养学生善于发现问题、解决问题的自觉性，以及科学认真的生活态度，并以此激发他们学习知识的积极性．重点难点重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．难点：将实际问题转化为数学问题，根据实际利用导数解决生活中的优化问题．教学过程引入新课提出问题1：将一根长为1米的铁丝弯成一个矩形，怎么弯才能使矩形的面积最大？活动设计：学生讨论，主动发言，教师评论，提醒学生说明理由．学情预测：由于该问题可操作性强，学生积极性应该很高，可以猜想，也可以计算．活动成果：弯成正方形时，面积最大．可以用二次函数或平均值不等式来证明．提出问题2：一条长为l 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别为多少？活动设计：继续讨论，像问题1一样需要学生说明理由．学情预测：除了猜想、证明外，不少学生尝试计算．活动成果：两个小正方形边长都是l 8时，其面积和最小． 教师提问：对于以上两个问题，都是对实际问题中的最优化设计，你对实际生活中的最优化设计有什么办法？能联系导数知识进行说明吗？学情预测：学生会用导数知识重新审视问题1、2，思考之后，部分学生可以答出一些理由．设计意图通过几个比较简单的问题，一是激发学生的学习兴趣，二是引出用代数(函数)的方法解决问题．两个问题都可以用二次函数、不等式等知识解决，同样应用导数也能解决，为应用导数知识解决实际问题做铺垫．探究新知提出问题：如图，在边长为60 cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底边长为多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？活动设计：以小组为单位，研究实施方案，教师巡视、指导．学情预测：由于问题相对复杂，学生在猜想无果时，会尝试用函数知识解决．活动成果：解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高h ＝60－x 2(cm)，得箱子容积V(x)＝x 2h ＝60x 2－x 32(0<x<60)．V ′(x)＝60x －3x 22(0<x<60)． 令V ′(x)＝60x －3x 22＝0，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝40， 并求得V(40)＝16 000.由题意可知，当x 过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积都很小．经检验可知，16 000是最大值．答：当箱底边长为40 cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm 3.解法二：设箱高为x cm ，则箱底边长为(60－2x) cm ，则箱子容积V(x)＝(60－2x)2·x(0<x<30)．(后面同解法一，略)由题意可知，当x 过小或过大时，箱子容积都很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数V(x)＝x 2h ＝60x 2－x 32、V(x)＝(60－2x)2·x 在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值．设计意图对于比较复杂的实际问题，单靠猜想——证明的方法显然不行，这样就更提高了学生用导数知识解决问题的主动性，从而引出本节课的课题，并初步形成解题思路和解题步骤．求实际应用题的最大(最小)值的一般方法是：(1)分析问题中各量之间的关系，把实际问题转化为数学问题，建立函数关系式；(2)确定函数的定义域，并求出极值点；(3)比较各极值与定义域端点函数值的大小，结合实际，确定最值或最值点．理解新知例1圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？活动设计：学生自行设计图形，分组讨论、交流协作．学情预测：对于圆柱体的体积公式，学生可能会遗忘，需要教师提示．解：设圆柱的高为h ，底面半径为R ，容积为V ，则表面积S ＝2πRh ＋2πR 2.由V ＝πR 2h ，得h ＝V πR 2. 则S(R)＝2πR V πR 2＋2πR 2＝2V R＋2πR 2. 令S ′(R)＝－2V R 2＋4πR ＝0，解得R ＝3V 2π， 从而h ＝V πR 2＝V π(3V 2π)2＝34V π＝23V 2π，即h ＝2R. 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值．答：当罐的高与底面直径相等时，所用材料最省．点评：实际应用问题的最优化，可以转化为函数在指定范围内的最大值问题．因此，恰当设变量，准确构建函数关系式(明确定义域)，并用导数法(其他方法也可)求出函数最值是这类问题的基本解题步骤．例2学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm 2，上、下两边各空2 dm ，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？活动设计：两名学生板演，其他学生独立完成，最后教师讲评．学情预测：如何设变量，准确列出函数表达式，明确函数定义域，多数学生还不够规范．解：设版心的高为x dm ，则版心的宽为128xdm ，此时四周空白面积为 S(x)＝(x ＋4)(128x ＋2)－128＝2x ＋512x＋8，x>0. 求导数，得S ′(x)＝2－512x 2. 令S ′(x)＝2－512x 2＝0，解得x ＝16(x ＝－16舍去)．所以版心的宽为128x ＝12816＝8(dm)． 当x ∈(0,16)时，S ′(x)<0；当x ∈(16，＋∞)时，S ′(x)>0.因此，x ＝16是函数S(x)的极小值，也是最小值点．所以，当版心高为16 dm ，宽为8 dm 时，能使海报四周空白面积最小．答：当版心高为16 dm ，宽为8 dm 时，海报四周空白面积最小．运用新知例3饮料瓶大小对饮料公司利润的影响．(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr 2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.问题：(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解：由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是y ＝f(r)＝0.2×43πr 3－0.8πr 2＝0.8π(r 33－r 2)，0<r ≤6. 令f ′(r)＝0.8π(r 2－2r)＝0，解得r ＝2(r ＝0舍去)．当r ∈(0,2)时，f ′(r)<0；当r ∈(2,6)时，f ′(r)>0.因此，当半径r>2时，f ′(r)>0，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高； 半径r<2时，f ′(r)<0，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．(1)半径为2 cm 时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．(2)半径为6 cm 时，利润最大．点评：通过对解答过程的分析，我们可以发现：当r ＝3时，f(3)＝0，即瓶子的半径为3 cm 时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当r>3时，利润才为正值．当r ∈(0,2)时，f ′(r)<0，f(r)为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2 cm 时，瓶子的半径越大，利润越小，当半径为2 cm 时，利润最小．巩固练习一条水渠的断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得四周l ＝AB ＋BC ＋CD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b.解：由梯形的面积公式，得S ＝12(AD ＋BC)h ，其中AD ＝2DE ＋BC ，DE ＝33h ，BC ＝b ， ∴AD ＝233h ＋b.∴S ＝12(233h ＋2b)h ＝(33h ＋b)h. ① ∵CD ＝h cos30°＝23h ，AB ＝CD ，∴l ＝23h ×2＋b. ② 由①，得b ＝S h －33h ，代入②， ∴l ＝433h ＋S h －33h ＝3h ＋S h ， l ′＝3－S h 2＝0.∴h ＝S 43.当h<S 43时，l ′<0；h>S 43时，l ′>0. ∴h ＝S43时，l 取最小值，此时b ＝243·S.点评：1.解决优化问题的方法是：首先要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，创造在闭区间内求函数最值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决．在这个过程中，导数是一个有力的工具．2．利用导数解决优化问题的基本思路：变练演编变式1：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使圆柱形饮料罐的容积最大？变式2：某厂生产某种产品x 件的总成本c(x)＝1 200＋275x 3(万元)，又知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，问产量定为多少时总利润最大？变式3：已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q.求产量q 为何值时，利润L 最大？ 解：变式1：S ＝2πRh ＋2πR 2⇒h ＝S －2πR 22πR ⇒V(R)＝S －2πR 22πR πR 2＝12(S －2πR 2)R ＝12SR －πR 3.V ′(R)＝0⇒S ＝6πR 2⇒6πR 2＝2πRh ＋2πR 2⇒h ＝2R.答：圆柱形金属饮料罐的高为底面半径的2倍时，才能使其容积最大．变式2：设单价为q>0，由题意q 2·x ＝k.∵当x ＝100时，q ＝50，∴502·100＝k ，k ＝250 000.∴q 2·x ＝250 000，即q ＝500x. ∴总利润y ＝xq －c(x)＝x·500x －1 200－275x 3＝500x －275x 3－1 200. 令y ′＝500·12x －275·3x 2＝6 250－2x 5225x＝0.∴6 250－2x 52＝0，解得x ＝25. 当x<25时，y ′>0；当x>25时，y ′<0.经检验x ＝25时，y 有最大值．答：产量定为25件时，总利润最大．变式3：收入R ＝q·p ＝q(25－18q)＝25q －18q 2， 利润L ＝R －C ＝(25q －18q 2)－(100＋4q)＝－18q 2＋21q －100(0<q<100)，L ′＝－14q ＋21. 令L ′＝0，即－14q ＋21＝0，从而求得唯一的极值点q ＝84，也是最大值点． 答：产量为84时，利润L 最大．达标检测1．江轮逆水行驶300 km ，水速为v(km/h)，船相对于水的速度为x(km/h)．已知行船时每小时的耗油量为cx 2(L)，即与船相对于水的速度的平方成正比．问x 多大时，全程的耗油量最少？2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数关系式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？答案：1.耗油量关于x 的函数为H(x)＝300cx 2x －v(c>0，v>0，x>v)，通过求导运算，可得当x ＝2v 时，全程的耗油量最少．(本题除了用导数求最小值外，还可以运用均值不等式求解：H(x)＝300cx 2x －v ＝300c x 2－v 2＋v 2x －v ＝300c[x －v ＋v 2x －v ＋2v]≥1 200cv.当且仅当x －v ＝v 2x －v ，即x ＝2v 时等号成立．)2．(1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5(小时)， 要耗油(1128 000×403－380×40＋8)×2.5＝17.5(升)． 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．(2)当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h(x)升， 依题意，得h(x)＝(1128 000x 3－380x ＋8)·100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)． h ′(x)＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)． 令h ′(x)＝0，得x ＝80.当x ∈(0,80)时，h ′(x)<0，h(x)是减函数；当x ∈(80,120)时，h ′(x)>0，h(x)是增函数． ∴当x ＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25，也是h(x)的最小值．答：汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少，最少为11.25升．课堂小结解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题，再化归为常规问题，选择合适的数学方法求解．“生活中的优化问题举例”实际上是求实际问题的最大(小)值，其主要步骤如下：(1)列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f(x)；(2)求函数的导函数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f ′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．布置作业课本习题1.4A5，B1.补充练习1．已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另外两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的长和宽．2．一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？解：1.设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x ，y)，且x ＞0，y ＞0，则在抛物线上的另一个顶点为(－x ，y)，在x 轴上的两个顶点为(－x,0)、(x,0)，其中0＜x ＜2.则矩形的面积为S(x)＝2x(4－x 2)，0＜x ＜2.由S ′(x)＝8－6x 2＝0，得x ＝23 3.易知x ＝233是S(x)在(0,2)上的极值点，即是最大值点，所以这种矩形中面积最大者的长、宽分别为83和433. 2．假设每次进书x 千册，手续费与库存费之和为y 元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即x 2，故有 y ＝150x ×30＋x 2×40(x>0)，y ′＝－4 500x2＋20. 令y ′＝0，得x ＝15；令y ′>0可得x>15；令y ′<0可得x<15.所以当x ＝15时，y 取得极小值，且极小值唯一，故当x ＝15时，y 取得最小值，此时进货次数为15015＝10(次)．即该书店分10次进货，每次进15 000册书，所付手续费与库存费之和最少．点评：应用题求解，要正确写出目标函数，并明确题意所给的变量制约条件．应用题的分析中如确定有极小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小值．设计说明生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具．所以，本节课一开始就从同学们比较熟悉的二次函数、平均值不等式等应用问题入手，让学生初步了解用函数的方法解决实际应用问题的思想．由于导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1．与几何有关的最值问题；2．与物理学有关的最值问题；3．与利润及其成本有关的最值问题；4．效率最值问题．教学中选取了其中一部分内容，一方面扩大学生视野，一方面解决了由于对问题背景陌生造成的审题障碍，从而使题目解答难度过大的问题．教学过程的设计，侧重了师生双边活动，既让学生积极参与问题分析，又让学生独立完成部分题目的解答，最大限度地提升课堂容量，降低问题难度，提高课堂效率．备课资料补充例题1．磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上．磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区．磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域．磁道上的定长的弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特(bit)．为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n.为了数据检索的方便，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数．问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域．(1)是不是r越小，磁盘的存储量越大？(2)r为多少时，磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)?解：由题意知，存储量＝磁道数×每磁道的比特数．设存储区的半径介于r 与R 之间，由于磁道之间的宽度必须大于m ，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达R －r m.由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达2πr n .所以，磁盘总存储量f(r)＝R －r m ·2πr n ＝2πmnr(R －r)． (1)它是一个关于r 的二次函数，从函数的解析式上可以判断不是r 越小，磁盘的存储量越大．(2)为求f(r)的最大值，计算f ′(r)＝0，f ′(r)＝2πmn(R －2r)， 令f ′(r)＝0，解得r ＝R 2. 当r<R 2时，f ′(r)>0；当r>R 2时，f ′(r)<0. 因此，当r ＝R 2时，磁盘具有最大存储量，此时最大存储量为2πmn ·R 24＝πR 22mn. 2．工程建设中的选址最优问题有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合建一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？解：设水厂D 点与乙城到岸的垂足B 点之间的距离为x 千米，所需水管总费用为y 元， 则y ＝500(50－x)＋700x 2＋402＝25 000－500x ＋700x 2＋1 600，y ′＝－500＋700×12(x 2＋1 600)－12·2x ＝－500＋700x x 2＋1 600. 令y ′＝0，解得x ＝5063. 当x ∈[0，5063)时，y ′<0；当x ∈[5063，50)时，y ′>0.所以当x ＝5063时，y ′取得极小值，也是最小值． 答：水厂建在距甲距离为(50－5063)千米时，所需水管总费用最省． (设计者：张春生)。
新人教版高中数学选修2-2《生活中的优化问题举例》名师教案
新人教版高中数学选修2-2《生活中的优化问题举例》名师教案（此文档为word格式，下载后可以任意修改，直接打印使用！）第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例（税长江）一、教学目标 1．核心素养通过生活中的优化问题举例的学习，提高数学地提出、分析和解决问题的能力，培养数学模的意识． 2．学习目标能利用导数知识解决实际生活中的利润最大、效率最高、用料最省等优化问题，并体会导数在解决实际问题的应用。
（1）1.4.1.1感受教材中的优化案例（2）1.4.1.2提炼运用数学建模，解决生活中的优化问题的方法过程（3）1.4.1.3实际运用，提升能力 3．学习重点：利用导数解决实际生活中简单的最优化问题。
4．学习难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务任务1阅读教材P34－P36，思考：建立函数模型的基本步骤是什么？任务2收集资料，运用数学模型解决实际问题有哪些典型的案例？ 2．预习自测t2（1）某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为f(t)＝100，则在时刻t＝10 min时的降雨强度为（） 1A．5mm/min 1B．4mm/min1C．2mm/min D．1mm/min 答案：A 解析：略12．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－3x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（） A．13万件B．11万件 C．9万件 D．7万件答案：C 解析：略3．某箱子的容积与底面边长x的关系为v(x)?x2(箱子底面边长为（） A．20 B．30 C．40 D．50 答案：C 解析：略（二）课堂设计 1．知识回顾（1）若在(a，b)上，f′(x)≥0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零?f(x)在(a，b)上为单调递增函数；若在(a，b)上，f′(x)≤0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零?f(x)在(a，b)上为单调递减函数．（2）求函数y?f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤：①求函数y?f(x)在区间(a,b)内的极值；②将函数y?f(x)各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
高中数学 1.4生活中的优化问题举例课件 新人教A版选修2-2
人教A版 · 选修 2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章 导数及其应用
第一章 1.4 生活中的优化问题举例
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
课时作业
自主预习学案
• 能利用导数知识解决实际生活中的利润最大、效率 最高、用料最省等最优化问题．
• 重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题．
V′＝S－26πr2， 令V′＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，
又r＝
6Sπ，∴h＝2
6Sπ＝
6πS 3π .
即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为
6πS 3π .
利润最大问题
某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量 x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的关系为P＝24200－15x2， 且生产x吨的成本为R＝50000＋200x元．问该产品每月生产多 少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收 入－成本)．
因此x1是极大值点，且在区间 0，a2 内，x1是唯一的极值 点，所以x＝16a是V(x)的最大值点．
即当截下的小正方形边长为16a时，容积最大． [方法规律总结] 1.利用导数解决实际问题中的最值的一 般步骤： (1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数 学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0；
时，y′≤0；v∈
ab，c
时，y′≥0.所以当v＝ bab时，全程运输成本y最小．
②若
ab b
>c，v∈(0，c]，此时y′<0，即y在(0，c]上为减
函数．
所以当v＝c时，y最小． 综上可知，为使全程运输成本y最小．
高中数学 专题1.4 生活中的优化问题举例教案 新人教A版选修2-2(2021年整理)
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生活中的优化问题举例【教学目标】1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．【教法指导】本节学习重点：利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．本节学习难点:导数在解决实际问题中的作用．【教学过程】☆复习引入☆生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题？这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习,我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题．解析:请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之。
☆探索新知☆探究点一面积、体积的最值问题思考如何利用导数解决生活中的优化问题？例 1 学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解设版心的高为x dm，则版心的宽为错误! dm，此时四周空白面积为S（x)＝（x＋4)错误!－128＝2x＋错误!＋8，x〉0。
求导数，得S′(x）＝2－错误!.令S′(x)＝2－错误!＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．于是宽为128x＝错误!＝8。
当x∈（0,16）时，S′（x)〈0；当x∈(16，＋∞)时,S′（x)〉0。
数学：1.4《生活中的优化问题(2)》教案(新人教A版选修2-2)
1．4 生活中的优化问题（二）教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.---------用材最省的问题----教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值 教学过程：例1圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积 S ＝2πRh ＋2πR 2．,2h R V π=由 ,2R V h π=得 则2222)(R R V R R S πππ+=.222R RV π+= ,042)(2=+-='R R V R S π令,23πV R =解得 从而2R V h π=232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππV V 34πV =,223πV = 即h ＝2R ． 因为S (R )只有一个极值，所以它是最小值． 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．例2 已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的 函数关系式为.8125q p -=求产量q 为何值时，利润L 最大． 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格.由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润． 解：28125)8125(q q q q p q R -=-=⋅=收入 )4100()8125(2q q q C R L +-=-=利润)2000(10021812<<-+-=q q q ，，即令021410'=+-=q L 求得唯一的极值点 q ＝84． 因为L 只有一个极值，所以它是最大值．答：产量为84时，利润L 最大．练习1.某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，应如何定价才能使利润最大？例3．教材P34面的例2课后作业。
数学：1.4《生活中的优化问题(三)》教案(新人教a版选修2-2)
1．4 生活中的优化问题（三）教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.---------用材最省的问题----教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值教学过程：例1 。
教材P35面的例3例2．某公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3≤a ≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤a ≤11）时，一年的销售量为(12-x )2万件. （1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q (a ).例3．请您设计一个帐篷。
它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。
试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO 1为x m ，则41<<x由题设可得正六棱锥底面边长为：22228)1(3x x x -+=--，（单位：m ） 故底面正六边形的面积为： (436⋅⋅22)28x x -+=)28(2332x x -+⋅，（单位：2m ） 帐篷的体积为：)28(233V 2x x x -+=）（]1)1(31[+-x )1216(233x x -+= 求导得)312(23V'2x x -=）（。
令0V'=）（x ，解得2-=x （不合题意，舍去），2=x ， 当21<<x 时，0V'>）（x ，）（x V 为增函数； 当42<<x 时，0V'<）（x ，）（x V 为减函数。
∴当2=x 时，）（x V 最大。
答：当OO 1为2m 时，帐篷的体积最大，最大体积为3163m 。
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§1.4生活中的优化问题举例（2课时）
教学目标：
1． 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
2． 提高将实际问题转化为数学问题的能力。
教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题。
教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题。
教学过程：
一．创设情景
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题。
二．新课讲授
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具。
利用导数解决优化问题的基本思路：
三．典例分析
例1．汽油的使用效率何时最高
我们知道，汽油的消耗量w （单位：L ）与汽车的速度v （单位：km/h ）之间有一定的
关系，汽油的消耗量w 是汽车速度v 的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：
（1） 是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？
（2） “汽油的使用率最高”的含义是什么？
分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m ）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果
用G 表示每千米平均的汽油消耗量，那么w G s
=，其中，w 表示汽油消耗量（单位：L ），s 表示汽油行驶的路程（单位：km ）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G 的最小值的问题
通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h ）与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h ）之间有如图所示的函数关系()g f v =。
从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此，我们首先需要将问题转化为汽油
平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h ）与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h ）之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题
解：因为 w
w g t G s
v t
=== 这样，问题就转化为求g v 的最小值．从图象上看，g v
表示经过原点与曲线上点的直线的斜率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90/km h 。
因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此
时的车速约为90/km h ．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即()90f '，约
为 L 。
例2．磁盘的最大存储量问题
计算机把数据存储在磁盘上。
磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成
磁道和扇区。
磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。
磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单
元通常被称为比特（bit ）。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m ，每比特所占用的磁道长度不得小
于n 。
为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数
问题：现有一张半径为R 的磁盘，它的存储区是半径介于r 与R 之间的环形区域．
（1） 是不是r 越小，磁盘的存储量越大？
（2） r 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？
解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。
设存储区的半径介于r 与R 之间，由于磁道之间的宽度必需大于m ，且最外面的磁道不
存储任何信息，故磁道数最多可达
R r m
-。
由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达2r n
π。
所以，磁盘总存储量 ()f r =R r m -×2r n π2()r R r mn π=- （1） 它是一个关于r 的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r 越小，磁盘的存储量越大。
（2） 为求()f r 的最大值，计算()0f r '=。
()2()2f r R r mn
π'=- 令()0f r '=，解得2
R r = 当2R r <时，()0f r '>；当2
R r >时，()0f r '<． 因此2
R r =时，磁盘具有最大存储量。
此时最大存储量为2
24R mn π 例3．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是
20.8r π分，
其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米。
已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 。
问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
解：由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是
()332240.20.80.8,0633r y f r r r r r πππ⎛⎫==⨯-=-<≤ ⎪⎝⎭
令()2
0.8(2)0f r r r π'=-= 解得 2r =（0r =舍去） 当()0,2r ∈时，()0f r '<；当()2,6r ∈时，()0f r '>．
当半径2r >时，()0f r '>它表示()f r 单调递增，即半径越大，利润越高；
当半径2r <时，()0f r '< 它表示()f r 单调递减，即半径越大，利润越低。
（1） 半径为2cm 时，利润最小，这时()20f <，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的
成本，此时利润是负值。
（2） 半径为6cm 时，利润最大。
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？
有图像知：当3r =时，()30f =，即瓶子的半径为3cm 时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当3r >时，利润才为正值
当()0,2r ∈时，()0f r '<，()f r 为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm 时，
瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm 时，利润最小。
说明：
四．课堂练习
1．用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．（高为 1.2 m ，最大容积3
1.8m ）
5．课本 练习
五．回顾总结
1
2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具
六．布置作业。