第四节任意激励的响应
振动力学-激励及响应的有关概念
振动力学-激励及响应的有关概念
一．激励及响应的有关概念
1、激励：直接作用于机械运动部件上的力，旋转机械（p21，例
2.2）或往复运动机械中不平衡量引起的惯性力，另一类是由于支承运动（p33，例2.8）而导致的位移激励、速度激励和加速度激励；
2、激励分类：按时间的变化规律分类：简谐激励、周期激励和任意激励；
3、系统响应：系统对周期激励的响应通常指稳态响应，可以借助周期激励的谐波分析来研究。
任意激励或者作用时间极短的脉冲激励下，系统通常没有稳态响应，只有瞬态响应，可以通过脉冲响应或阶跃响应来分析。
激励一旦去除，系统即按自身的固有频率做自由振动。
4、简谐激励下的受迫振动：虽然简单、存在场合较少，但掌握响应的规律，是理解系统对周期激励或更一般激励的响应的基础。
二．平衡位置的选择
对于有重力势能影响的弹性系统，如果以平衡位置为零势能位置，则重力势能与弹性势能之和相当于由平衡位置（不由自然位置）处计算变形的单独弹性力的势能。
三．瑞利（Rayleigh）法计算固有频率瑞利法计算固有频率ωn:先假设振型，与真实振型存在差异，相当于对系统附加了某些约束，增加了系统的刚度，因此固有频率ωn略高于精确值；
以静变形曲线作为振动形状，所得结果误差很小。
本例中，如果对梁的弹性曲线假设任一适当形状，可以期望得到接近振动真实周期的近似值，如果选得精确形状，就会得到精确的周期。
四．等效刚度、等效质量
使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度；使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量。
激励为任意波形的响应与卷积积分
§5.9 激励为任意波形的响应与卷积积分 5.9.1 卷积积分首先，设两个相同函数)(1t f 和)(2t f ，且0<t 时两函数的值均为零，则)(1t f 与)(2t f 的卷积通常用)()(21t f t f *来表示，并由下列积分形式来定义：ξξξd f t f t f t f t)()()()(20121⎰-=* （5-65）1.交换律如果令ξτ-=t ，则ξτd d -=，则有ττξd t f t f t f t ttf ⎰⎰--=-021201)()()()(τττd f t f t)()(102⎰-==)(*)(12t t f f即 )()()()(1221t f t f t f t f *=* （5-66） 2.分配律)()()()()]()([)(3121321t f t f t f t f t f t f t f *+*=+* （5-67）3.结合律)]()([)()()]()([321321t f t f t f t f t f t f **=** （5-68）4.卷积的微分 dtt df t f dtt df t f dtt f t f d )()()()()]()([122121*=*=* （5-69）卷积的积分ξξξξξξξξd f f d f t f d f f ttt ⎰⎰⎰∞-∞-∞-*=*=*)()()()()()(122121 （5-70）)()()(*)(2121t f t f d f dtt df t *=⎰∞-ξξ （5-71）5.9.2 任意输入的零状态响应如果电路的激励)(t e 的波形如图5-52所示，定义的时间区间是（0t ，t ），ξ表示从0t 到t 之间的任意时刻。
对于任意输入电路的激励作用，可以看成是一系列冲激强度不同的时间上依次延迟dt 的冲激激励波的叠加。
首先用一系列具有相同宽度的矩形脉冲来近似表示)(ξe 。
把时间区间(0t ，t )分成相等的几段，每段宽度为△，即∆==-==-=-+ k k t t t t t t 11201。
任意波形激励下的动态响应与卷积积分
任意波形激励下的动态响应与卷积积分湖北民族学院信息工程学院湖北恩施445000摘要：在一二阶电路分析中，卷积积分具有十分重要的意义，特别是在一些内部网络未知的电路结构中，由于给出描述电路系统的微分方程十分的困难，目前只能通过实验获得相应的数据和单位冲激响应的曲线，据此响应，利用卷积积分的方法即可求解出电路中对任意波形激励信号的响应。
在我们的学习过程中，最常见的就是由电阻、电容、电感组成的RC、RL一阶电路网络和RLC二阶电路网络，而这些网络结构在零状态下产生的响应的求解已非常清晰，但是对于复杂的冲激波形的响应，用现有的方法求解显得十分棘手，而本文将通过探究卷积积分的性质及计算方法，分别浅析一阶、二阶电路在此类输入状态下的响应。
关键词：卷积积分一阶电路二阶电路一、引言：由于至今我们分析的电路主要是线性电路，且线性电路满足齐次性、可加性和延时性，任意波形的时间函数)(t f可以被看成是一系列强度不同的、时间上依次延迟dt的冲击函数叠加。
在前面的学习中我们基本了解了用微分方程描述动态电路的基本方法，并对不同动态元件的初始条件进行了讨论，在分析一阶二阶电路的过程中，分别讨论了RC电路和LC电路的各种状态的响应，但是以前所分析的各种情形都是相对独立的，而卷积积分作为时域电路分析的一种基本工具在分析电路响应状态的过程中有着极其广泛的应用，卷积积分对于信号处理、控制理论和动态电路分析均具有重要意义，因此，本文将综合一、二阶电路的各种响应状态将卷积积分的方法做一个初步的探究。
二、卷积积分：2.1 先看卷积积分(Convolution)的定义：设有两个时间函数f1(t)和f2(t)（在t<0时均为零），则f1(t)和f2(t)的卷积通常用f1(t)*f2(t)表示，并定义ξξξd f t f t f t f t)()()(*)(20121-=⎰，称为)(1t f 与)(2t f 的卷积。
当)(t δ作用于电路时，其对应的冲激激励的响应设为)(t h ；当)(t A i δ作用于电路时，那么其对应的冲激响应应为)(t h A i ；如果)(t δ延迟i t 秒作用，那么其对应的延迟冲激响应为)(i t t h -；则)(i i t t A -δ作用于为)(i i t t h A -。
机械动力学——任意周期激励讲解
振幅放大因子
(s)
1
(1s 2 )2 (2 s)2
相位差 (s) tan 1 2 s
1s 2
3
任意周期激励的响应
•已知：
xc
xe
it
,x
H
(
)
F0
,H
(
)
1 k
e
i
•则可以得到：
xc
1 k
ei
F0 e it
F0 k
eit
F0 cost isint
bn
sin
nt )
任意周期激励的响应
系统的稳态响应为:
x(t) a0 an cos(nt n ) bn sin(nt n )
2k n1 k [1 (n / 0 )2 ]2 (2 n / 0 )2
其中
0
k c
周期函数F(t)可展开成Fourier级数，即可分解为无穷个谐波函 数之和。
F (t )
a0 2
(an
n1
cos nt
bn
sin nt)
其中
a0
2 T
T
F (t)dt
an
2 T
T
F (t)cos ntdt
bn
2 T
T
F (t)sin ntdt
2
2F0 T
T
2 sin ntdt
0
T
T sin ntdt
2
2F0 T
系统的激励与响应概念
系统的激励与响应概念系统的激励与响应是指在一个系统中，激励是引起系统变化的外部因素或内部动力，而响应是系统对激励所做出的调整和变化。
在一个系统中，激励和响应之间存在着复杂的关系。
激励可以分为内部因素和外部因素两种。
内部因素是指系统本身内部因素所产生的激励，如系统内部的力学、化学、生物、社会等因素。
例如，一个机械系统中，内部的摩擦力、惯性力等可以作为内部激励影响系统的变化。
外部因素是指系统外部环境对系统所产生的激励，如气候变化、市场需求、政策变化等。
例如，一个企业的经营活动受到市场需求、竞争对手等外部因素的影响，从而产生对产量、定价等策略的调整。
响应是系统对激励所做出的反应和调整。
系统的响应可以是稳定和周期性的，也可以是不稳定和不可预测的。
例如，一个化学反应系统中，当外部因素改变时，化学反应速率和产物浓度等会相应发生变化。
响应的方式可以是系统的增长、减少、转换、适应等。
例如，环境对一个物种的变化激励下，该物种可以凭借适应能力，改变行为、生理、形态等方面来应对环境变化。
激励和响应之间存在着正反馈和负反馈两种关系。
正反馈是指激励和响应之间的相互促进关系，即激励增加导致响应增加，响应增加又进一步促使激励增加。
例如，一个市场的需求增加引起企业产量增加，而企业产量的增加又刺激市场需求继续增加，形成正反馈循环。
正反馈往往会导致系统变化趋势的加速和不稳定。
负反馈是指激励和响应之间的相互抑制关系，即激励增加导致响应减少，响应减少又抑制激励增加。
例如，一个温度控制系统中，当温度升高时，系统会通过控制机制减少加热，使温度下降，从而保持在一个稳定的范围内。
负反馈往往会导致系统的稳定和调节能力。
在系统中，激励和响应之间的关系是相互作用的，同时也受到其他因素的制约和影响。
例如，在生态系统中，不同种类的生物之间存在竞争和互惠关系，它们的相互作用会影响到激励和响应的变化。
此外，系统的结构和特性也会对激励和响应产生重要影响。
例如，一个机械系统的结构和材料特性决定了它对外力的响应和变形程度。
电路系统对任意激励的零状态响应
f( )
t-2 0 h(t )
-1/2 1 t
t
(c) 1 t 3
f( ) h( )
15/16
9/16
-1/2 0 1 3/2 2 3 t (f)
(a)
f(t)h(t)0
(b)
f(t)h(t) t1 211 2(t)dt4 24 t1 16
(c)
f(t)h(t) 11 211 2(t)d3 4 t1 3 6
B B e- t
0
t
（ b）
f(t)
A
0a
(C )
0
（
at d）
（2）计算卷积积分：
y(t)f(t)*h(t)
ⅰ.t<0， f()和h(t)无重叠。
ⅱ.0≤t≤a，tl1=0, tl2=-∞,选tr1=a, tr2=t
界中的最小者。
f()
h(t )
t
t-2
-1/20 1
t
(a) t 1 2
f( )
-1/2 0 t-2 1
h(t )
t t
(d) 1 t 3 2
h(t )
f( )
t-2 -1/20 t 1
t
(b) 1 t 1 2
f( )
h(t )
0 t-2
-1/2 1 t
t
(e) 3 t
(d)
f(t)h (t)11 1(t )d t2t3
t 2 2
4 24
(e)
f(t)h(t)0
例：求如图（a）（b）所说函数f(t)和h(t)的卷积积分。 解： （1）写出表达式：
A f (t) {
0
0
h
(t)
{ B
课件：激励与响应的谱关系
所以
帕塞瓦尔方程 或能量守恒方程
这是能量守恒定律在信号的时域和频域关系中的体现。
令 ε(ω)=|F(ω)|2，将其称为信号 的能量谱密度函数，简 称能量频谱或能量谱。
能量谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对，即
一、能量谱与功率谱
ε(ω)是ω的偶函数，它只决定于频谱函数的模，而与相 位无关，其单位是焦耳•秒。
一、能量谱与功率谱
依据能量谱分析的方法，可以得到功率信号功率谱的定义。 对于功率有限信号 f(t)，截取一段fT(t)
根据式(4.7.5)， fT(t)的能量可以表示为 f(t)的平均功率为
一、能量谱与功率谱
当T→∞ 时， |FT(ω)| 2→∞ ，但|FT(ω)| 2/T可能趋于某一有 限值。 若该有限值存在，则定义它为功率信号 的功率谱密度函 数，记为p系
从自相关函数的角度来看，系统的输入输出为
系统激励与响应的自相关函数关系
二、 LTI系统激励与响应的谱关系
现在我们进一步讨论作为能量谱和功率谱傅里叶逆变 换的激励和响应的自相关函数之间的关系，具体分析 方法就是在谱关系的基础上进行傅里叶逆变换。
两边进行傅里叶逆变换，并根据自相关函数与能量谱为 傅里叶变换对的关系，得到
其中 Rh(τ)=h(t) h*(-t)，为系统单位冲激响应的自相关函 数。
信号与系统
§4.7 激励与响应的谱关系
北京航空航天大学电子信息学院 2021/7/9
一、能量谱与功率谱
相关定理不仅是相关与卷积关系的频域体现，它同时 引出一个重要关系，信号 的自相关函数 R(τ)与 |F(ω)|2 分别构成傅里叶变换对，即
当τ=0时，由上式可得 根据自相关函数定义
，可知
一、能量谱与功率谱
振动力学-激励及响应的有关概念
一．激励及响应的有关概念
1、激励：直接作用于机械运动部件上的力，旋转机械（p21，例 2.2）或往复运动机械中不平衡量引起的惯性力，另一类是由于支承运动（p33，例2.8）而导致的位移激励、速度激励和加速度激励；
2、激励分类：按时间的变化规律分类：简谐激励、周期激励和任意激励；
3、系统响应：系统对周期激励的响应通常指稳态响应，可以借助周期激励的谐波分析来研究。
任意激励或者作用时间极短的脉冲激励下，系统通常没有稳态响应，只有瞬态响应，可以通过脉冲响应或阶跃响应来分析。
激励一旦去除，系统即按自身的固有频率做自由振动。
4、简谐激励下的受迫振动：虽然简单、存在场合较少，但掌握响应的规律，是理解系统对周期激励或更一般激励的响应的基础。
二．平衡位置的选择
对于有重力势能影响的弹性系统，如果以平衡位置为零势能位置，则重力势能与弹性势能之和相当于由平衡位置（不由自然位置）处计算变形的单独弹性力的势能。
三．瑞利（Rayleigh）法计算固有频率瑞利法计算固有频率ωn:先假设振型，与真实振型存在差异，相当于对系统附加了某些约束，增加了系统的刚度，因此固有频率ωn略高于精确值；
以静变形曲线作为振动形状，所得结果误差很小。
本例中，如果对梁的弹性曲线假设任一适当形状，可以期望得到接近振动真实周期的近似值，如果选得精确形状，就会得到精确的周期。
四．等效刚度、等效质量
使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度；使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量。
激励响应和频率响应
激励响应和频率响应激励响应和频率响应是信号处理领域中重要的概念。
它们用于描述系统对输入信号的响应和系统在不同频率上的表现。
本文将介绍激励响应和频率响应的概念、计算方法以及应用领域。
一、激励响应激励响应是指系统对外部输入信号的响应。
通常情况下，我们将输入信号表示为x(t)，而系统对输入信号的响应表示为y(t)。
激励响应分析可以帮助我们了解系统是如何处理不同输入信号的。
激励响应的计算方法有很多种，其中最常见的是脉冲响应法。
脉冲响应法基于线性时不变系统的性质，通过输入单位冲激函数δ(t)，得到系统的输出h(t)，即激励响应。
在实际应用中，我们可以利用激励响应的计算结果，来预测系统对不同输入信号的处理效果。
这对于系统设计和性能评估非常有帮助。
二、频率响应频率响应是指系统在不同频率上的表现。
我们知道，信号可以分解为多个不同频率的成分，而频率响应可以帮助我们了解系统对这些频率成分的处理情况。
频率响应通常以幅度响应和相位响应表示。
幅度响应描述了系统在不同频率上对输入信号的增益或衰减情况，相位响应则描述了系统对输入信号的相位变化情况。
计算频率响应的常用方法是傅里叶变换。
通过将输入信号和输出信号分别进行傅里叶变换，我们可以得到系统的频率响应。
频率响应的分析非常重要，它可以帮助我们了解系统在不同频率上的特性，包括滤波、放大和相位变化等。
在信号处理和通信系统设计中，频率响应的分析和设计是必不可少的内容。
三、应用领域激励响应和频率响应在许多领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1.音频信号处理：在音频系统设计中，激励响应和频率响应可以帮助我们优化音频设备的性能，包括音质、音量和音频效果等。
2.图像处理：在图像处理中，激励响应和频率响应可以用于图像滤波、锐化和模糊等处理，以及图像增强和去噪等应用。
3.通信系统：在通信系统中，激励响应和频率响应可以用于调制解调、信道估计和信号检测等关键技术的设计和性能评估。
4.控制系统：在控制系统中，激励响应和频率响应可以用于模型预测控制、自适应控制和系统辨识等关键技术的研究和应用。
10-任意对任意激励的响应-傅里叶积分和拉氏变换解析
注意到f(t)的量纲与位移的量纲相同。
周期激励函数可以利用傅里叶级数来表示，即 表达成为无穷个简谐分量的叠加。对于任意非周 期激励函数F(t)=kf(t)，可视为周期T趋于无穷大 的周期函数，也就是说，非周期函数可视为周期 为无穷大的周期函数。这样，离散频率愈来愈接 近，直到成为连续为止。这时傅里叶级数就成为 傅里叶积分。
3．12 课堂讨论
如图所示为一内燃机排气阀系统简图。已知摇 杆AB对转轴O的转动惯量为I，汽阀BC的质量为 mv，阀簧质量为ms，弹簧刚度为ks，计算时根 据考虑弹簧本身质量的瑞利(Rayleigh)法可近似 地将ms／3集中于B点，挺杆AD的质量为mt， 弹簧刚度为kt。求系统固有频率和响应。
此系统可以简化为如图左侧所示的单自由度系统。 系统的动能为
式中，为凸轮使挺杆运动的位移，凸轮按简谐规律 运动，有
据此可计算系统的稳态响应。将上式代入方程，并 根据线性系统的叠加原理，可得以下方程，即
令 稳态响应为
式中
由叠加原理得周期激励的稳态响应为
某发动机配气机构转速n=1200r／min，气门间隙 =0.4 mm，升程h=13.5 mm，θ=ωt为凸轮轴转 角，ω=40πrad／s，升程阶段的总转角β=π。已 知：挺杆质量m=0.2 kg，挺杆长度L=237 mm， 截 面 积 A=75mm2 ， 材 料 弹 性 模 量 E=210000 MPa，气门弹簧质量ms=0.092 kg，气门弹簧刚 度ks=26.68 N／mm，气门质量mv=0.155 kg， 挺杆到摇臂轴中心距离a=40 mm，气阀到摇臂轴 中心距离b=64 mm，摇臂转动惯量I=99kg.mm2， 阻尼系数c=5.0 N·s／mm。试求振动系统的固有 特性和稳态响应。
设计实例31系统在任意方波激励下的响应谱分析基本知识在工程
设计实例31 系统在任意方波激励下的响应谱分析基本知识：在工程实际问题中，动态系统的激励形式有各种各样的激励形式，因此，对不同激励形式的仿真有一定的实际应用价值仿真原理：在该模型中，使用了时钟模块和逻辑模块，通过逻辑模块来切断激励形式，从而达到了不同激励形式。
注意：可以通过两个阶跃信号来组合任意脉冲激励。
设计实例32 具有反馈控制的动力消振器的响应分析基本知识：在动力消振器中，通过反馈控制，以增加控制频带，并取得更好的效果仿真原理：按下图建立仿真模型（采用了子系统技术）在本仿真框图中，子系统1和子系统2是偶合的两自由度系统，右下角是一个反馈系统，该反馈系统是根据第一子系统的输出信号通过比例和积分后再加给第一和第二子系统的输入断。
计实例33 一维弹性系统振动的的仿真基本知识弹性体具有连续质量分布与连续刚度分布的模型，具有无穷多自由度问题，因此它也有无穷多阶模态，如果已知系统的固有模态和频率的情况下，可以方便的建立弹性系统的仿真框图。
仿真原理：根据梁的动力学方程：),(),(),(4422t x q xt x y EI t t x y =∂∂+∂∂ρ 其中，)(t q 是作用在上的分布载荷。
在给定边界条件下，设系统的正则归一化模态函数为：)(x i ϕ ∞= 2,1i ，取坐标变换为：)()(),(1t x t x y i i i ηϕ∑∞== 其中，)(t i η是主坐标：并写成矩阵形式代入动力学方程并利用模态函数的正交性，有：dx x t x q t p dt t d i l i i i )(),()()(0222ϕμη⎰=+ N i 2,1=写成有限矩阵形式：)}({}]{[}]{[2t Q p diag I i =+ηη 其中： []nn n i p p p p diag ⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222212 000 000 ，dx x t x q t Q i l i )(),()(0ϕ⎰= 设已知简支梁的长度m l 80=固有模态和频率为x l i c l x y i πρsin 2)(=频率为：222l i EI p i πρ=在中点作用一集中力N p 1000=，作用时间为2秒，试求梁的响应设计实例 34 信号的FFT 变换基本知识:快速傅立叶变换(FFT)在动态系统中经常采用，它是将时间域信号经过FFT 变换到频率域，分析信号的频率成分提供了工具。
第四节任意激励的响应
第四节 任意激励的响应受有任意激励()F t 作用的单自由度系统，其振动微分方程()mx cx kx F t ++=若在0t= 时有初位移0x 和初速度0x ，则系统的总响应为000()()[cos sin ]1()sin ()n n tn d d dt t a d dx x x t ex t t F a et a dtm ζωζωζωωωωωω---+=++-⎰（4-2）上式称为杜哈美（Duhamel ）积分。
注：（1）由杜哈美（Duhamel ）积分所得到的响应包含了强迫振动的稳态响应和瞬态响应两部分。
（2）对于无阻尼系统，杜哈美（Duhamel ）积分为00()cos sin 1()sin ()n n nt n nx x t x t tF a t a dtm ωωωωω=++-⎰例题：确定弹簧质量系统在0t = 时受到突加常力0()F t F = 作用下的响应。
t)t F解：系统振动微分方程为()mx kx F t +=其中 n ω=，周期 2n T πω=由式（4-2），得系统的响应002sin ()(1cos )(1cos )t n nn n n F x t a dam F F t t m kωωωωω=-=-=-⎰系统响应曲线如下图：2可见，当2nT t πω== 时，弹簧的最大变形为02F k ，它是静变形的2倍。
例题：确定上例系统从0t =到1t t = 时受到突加矩形脉冲作用下的响应。
(F t 0F解：1. 在10tt ≤≤ 阶段，其响应与上例相同，为(1cos )n F x t kω=- ， 10t t ≤≤ （a ）2. 在1tt ≥ 阶段，振动系统的响应就是除去激振力后的剩余振动。
此时，系统按固有频率做自由振动，且以在瞬时1t t =的位移1()x t 和速度1()x t 作为初始条件。
则系统剩余振动的响应为1111()()()cos ()sin ()n n nx t x t x t t t t t ωωω=-+-（b ）其中初始位移1()x t 和初始速度1()x t 可由式（a ）求出，为11()(1cos )n F x t t k ω=-011()sin nn F x t t kωω=代入式（b ），得11()[cos ()cos ],n n F x t t t t t t kωω=-+≥ （c ）系统剩余振动的振幅为010122sin sin 2n X F k F t F t k k T ωπ==== （d ） 式中2nT πω=为系统自由振动的周期。
单自由度振动系统对任意激励响应的仿真分析
（４） 则系统对 ｔ＝０ 时作用的脉冲力的响应可表示为 ｘ（ｔ）＝Ｆｈ（ｔ） 如果单位脉冲在 ｔ＝ τ时刻施加，则 （５）
用， 可以把它分割成无限多个在时间区间 ｄ τ上作用的脉冲 力 Ｆ（τ）。根据式（５） ，对在 ｔ＝ τ作用的单个冲量 Ｆ＝Ｆ（τ） ｄ τ，系统的响应为： ｄｘ＝Ｆ（τ）ｄｔｈ（ｔ－ τ） （７）
单 自 由 度 振 动 系 统 对 任 意 激 励 响 应 的 仿 真 分 析
图三 ４ 图二 任意激励时间函数 ｆ（ｔ） 对于线性系统， 在时间ｔ，系统的响应就是在这一时间内 所有单个冲量 Ｆ（τ）ｄ τ的总和，即： （８） 结束语
系统对任意激励 ｆ（ｔ）的响应
对于不同的系统或不同的激励力， 只要直接在程序中改 变系统参数以及激励力的时间函数表达式， 就可以迅速得出 系统的响应，而不需要进行烦琐的计算。 由图三可以看出， 利用Ｍａｔｌａｂ对振动系统对任意激励的 响应进行仿真， 简单直观， 是理论研究及工程实践工作中有 力的工具。 参考文献
Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｔｏ ｔｈｅ ｕｎｉｔ ｉｍｐｕｌｓｅ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｉｎｇｌｅ－ｆｒｅｅｄｏｍ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ， ｔｈｅ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｔｏ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ ｃａｎ ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ Ｄｕｈａｍｅｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｆｏｒｍｕｌａ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｖｅｒｙ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎａｌ ｂｙ ｅｍｕｌａｔｉｎｇ ａｎａｌｙｓｉｓ， ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｂｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ａ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｔｏｏｌ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ； Ａｒｂｉｔｒａｒｙ Ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ； Ｒｅｓｐｏｎｓｅ； Ｅｍｕｌａｔｅ ０ 引言 从线性系统振动理论可知， 当机械系统受到简谐激励作 系统的等效集中质量为 ｍ， 刚度为 ｋ，粘性阻尼系数为 ｃ，振动位移 ｘ，受外力 ｆ（ｔ）作用。 其运动微分方程为： （１） ２ 系统对激励响应的求解 当系统受到任意激励ｆ（ｔ）时， 可以把它分割成无限多个
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
单自由度简谐激励的响应资料
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
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第四节 任意激励的响应
受有任意激励()F t 作用的单自由度系统，其振动微分方程
()mx cx kx F t ++=
若在0t
= 时有初位移0x 和初速度0x ，则系统的总响应为
00
0()
()[cos sin ]
1()sin ()n n t
n d d d
t t a d d
x x x t e
x t t F a e
t a dt
m ζωζωζωωωωωω---+=+
+-⎰
（4-2）
上式称为杜哈美（Duhamel ）积分。
注：（1）由杜哈美（Duhamel ）积分所得到的响应包含了强
迫振动的稳态响应和瞬态响应两部分。
（2）对于无阻尼系统，杜哈美（Duhamel ）积分为
00
()cos sin 1
()sin ()n n n
t n n
x x t x t t
F a t a dt
m ωωωωω=+
+-⎰
例题：确定弹簧质量系统在0t = 时受到突加常力
0()F t F = 作用下的响应。
t
)
t F
解：系统振动微分方程为
()
mx kx F t +=
其中 n ω=，周期 2n T πω=
由式（4-2），得系统的响应
002sin ()(1cos )(1cos )t n n
n n n F x t a da
m F F t t m k
ωωωωω=
-=-=-⎰
系统响应曲线如下图：
2
可见，当2n
T t πω== 时，弹簧的最大变形为
02F k ，它是静变形的2倍。
例题：确定上例系统从0t =到1t t = 时受到突加矩形脉冲
作用下的响应。
(F t 0
F
解：1. 在10t
t ≤≤ 阶段，其响应与上例相同，为
(1cos )n F x t k
ω=- ， 10t t ≤≤ （a ）
2. 在1t
t ≥ 阶段，振动系统的响应就是除去激振力后的剩
余振动。
此时，系统按固有频率做自由振动，且以在瞬时
1t t =的位移1()x t 和速度1()x t 作为初始条件。
则系统剩余
振动的响应为
1111()
()()cos ()sin ()n n n
x t x t x t t t t t ωωω=-+
-（b ）
其中初始位移1()x t 和初始速度1()x t 可由式（a ）求出，为
11()(1cos )n F x t t k ω=-
011()sin n
n F x t t k
ωω=
代入式（b ），得
11()[cos ()cos ],n n F x t t t t t t k
ωω=-+≥ （c ）
系统剩余振动的振幅为
010122sin sin 2n X F k F t F t k k T ωπ==== （d ） 式中2n
T π
ω=为系统自由振动的周期。
由此可见，在除去常
力()F t 后，质量m 的振幅X 随比值1
t T
而改变。
设 12T
t =，则 02F X k
=
设
1t T =，则 0X =，系统在除去激励()F t 后就停
止不动。