专题4------实对称矩阵的对角化
§4 对称矩阵的对角化
于是得正交阵
1 0 0 P = ( P1 , P2 , P3 ) = 1 2 0 1 2 − 1 2 0 1 2 2 0 0 −1 P AP = 0 4 0 . 0 0 4
则
利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为： 1. 求A的特征值 λ1 , λ2 ,, λn ; 2. 由( A − λi E ) x = 0, 求出 A的特征向量; 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化得 P1 , P2 ,, Pn . 5. 写出正交阵 P = ( P1 , P2 , , Pn ) ，
由于 ξ 1 , ξ 2 , ξ 3是属于 A的3个不同特征值 λ1 , λ2 ,
λ3的特征向量 , 故它们必两两正交 . 第四步 将特征向量单位化 ξi , i = 1,2,3. 令 Pi = ξi
得
− 2 3 23 P1 = 2 3 , P2 = 1 3 , −1 3 − 2 3
2−λ −2 0 A − λE = − 2 1 − λ − 2 = (4 − λ )(λ − 1)(λ + 2) = 0 0 −2 −λ 得 λ1 = 4, λ2 = 1, λ3 = −2.
第二步 由( A − λi E ) x = 0, 求出A的特征向量
对 λ1 = 4,由( A − 4 E ) x = 0, 得 2 x1 + 2 x2 = 0 − 2 2 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 0 解之得基础解系 ξ1 = 2 . − 1 2x + 4x = 0 2 3 对 λ2 = 1,由( A − E ) x = 0, 得
− x1 + 2 x2 = 0 2 x1 + 2 x3 = 0 2x &#ξ 2 = 1 . − 2
线性代数 4-3实对称矩阵的相似对角化
(ii ) 对每一个重特征值λi，求出对应的ri 个线性无关的特 征向量ξ i1 , ξ i 2 , L , ξ iri ； = 1,2, L , m ),由性质知∑ ri = n. (i
i =1 m
(iii ) 用施密特正交化方法将每一个重特征值λi 所对应的 ri 个线性无关的特征向量ξ i1 , ξ i 2 , L , ξ iri ； = 1,2, L , m ) (i 先正交化再单位化为ηi1 ,ηi 2 , L ,ηiri ； = 1,2, L , m )， (i 它们仍为属于λi的特征向量。
Q A对称, A = AT ,
∴ λ1 p1 = (λ1 p1 ) = ( Ap1 ) = p1 T AT = p1 T A,
T T T
(λ 2 p2 ) = λ 2 p1T p2 , 于是 λ1 p p2 = p Ap2 = p
T 1 T 1 T 1
(λ1 λ 2 ) p1T p2 = 0.
Q λ1 ≠ λ2 , ∴ p p2 = 0. 即p1与p2正交.
x1 + x2 + x3 = 0 2 x1 + 2 x2 + x3 = 0 1 1 1 → 1 1 1 → 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1
x2 = x1 α 3 = 1， 1， T （ 0） x3 = 0
对于一般矩阵， 对于一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向 量线性无关，但不一定是正交的； 量线性无关，但不一定是正交的；实对称矩阵相异特 征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。 征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。
T
P = (ξ1 ξ 2
1 2 2 ξ3 ) = 2 1 0 2 0 1
4.4 实对称矩阵的对角化
便有P1APPTAP
注意中对角元的排列次序与P中列向量的排列次序相对应
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习题4-3, P154
5 1 2 4 相似 4 设矩阵 A 2 x 2 与 y 4 2 1 4 求x y 并求一个正交阵P 使P1AP
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2 1 求An 例4.2设 A 1 2 解 因为|AE|(1)(3) 所以A的特征值为11 23
对应11 解方程(AE)x0 得p1(1 1)T 对应13 解方程(A3E)x0 得p2(1 1)T 于是有可逆矩阵P(p1 p2) 及diag(1 3) 使
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小结 :实对称矩阵的性质
定理4.1 实对称阵的特征值为实数
定理4.2 实对称阵的对应于不同特征值的特征向量正交. 设1 2是实对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特 征向量 若12 则p1与p2正交 定理4.3 设A为n阶实对称阵 是A的特征方程的k重根 则对应特 征值恰有k个线性无关的特征向量 定理4.4 设A为n阶实对称阵 则必有正交阵P 使P1APPTAP 其中是以A的n个特征值为对角元的对角矩阵
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0 1 1 例4.1 设 A 1 0 1 求正交阵 P 使P1AP为对角阵 1 1 0 解 由|AE|(1)2(2) 得特征值12 231
对应12 解方程(A2E)x0 得基础解系1(1 1 1)T 将1单位化 得 p1 1 ( 1, 1, 1)T 3 对应231 解方程 (AE)x0 即 x1 +x2－x30 2(1 1 0)T 3(1 0 1)T 得基础解系 将2 3正交化、单位化得
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0 1 1 例4.1 设 A 1 0 1 求正交阵 P 使P1AP为对角阵 1 1 0
线性代数课件-对称矩阵的对角化
所以正交阵不唯一。
4 0 0 (2) A 0 3 1
0 1 3
4 0 A E 0 3
0
1 2 4 2,
0 1 3
得特征值 1 2, 2 3 4.
0
对 1 2,由A 2E x 0,得基础解系
1 1
1
对 2 3 4,由 A 4E x 0,得基础解系
4 0 0
(1)A 2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1) 第一步 求 A 的特征值
2 2 0
A E 2 1 2 4 1 2 0
0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
第二步 由A i Ex 0,求出A的特征向量
1
2 0,
0
0
3 1.
1
2与3恰好正交 ,
所以 1, 2 , 3两两正交.
再将
1
,
2
,
3单位化,
令p i
i i
i 1, 2, 3得
0
p1 1 2 ,
1
2
1
p2
0
,
0
0
p3 1 2 .
1
2
于是得正交阵
0 1 0
P
p1
,
p2
,
p3
1
2
0 1 2
1
2
01
对 1 4,由A 4E x 0,得
2
2x1 2x2 0 x1 3 x2 2 x3
0
解之得基础解系
1
2 2 .
2x2 4x3 0
1
对 2 1,由A E x 0,得
2
x1 x1
2 x2 2 x3
实对称矩阵的对角化线性代数课件典型实例
虽然目前已经存在多种实对称矩阵对角化的方法，但这些方法可能不适用于某些特殊情况或具有较大的计算复杂度。 因此，需要不断探索新的实对称矩阵对角化方法，以提高计算效率和精度。
扩展实对称矩阵对角化的应用领域
目前实对称矩阵对角化主要应用于自然科学和工程领域。未来可以尝试将其应用到社会科学和人文学科 等领域，以解决一些实际问题或提供新的研究视角。
总结词
利用实对称矩阵的对角化，可以求解线性方 程组。
详细描述
对于给定的线性方程组 $Ax = b$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过 对角化后的矩阵进行求解，可以得到线性方 程组的解。
实例三：矩阵分解和矩阵求逆的实例
总结词
实对称矩阵的对角化可以用于矩阵分解 和矩阵求逆。
VS
详细描述
04
典型实例分析
实例一：二次型的最小值问题
总结词
通过实对称矩阵的对角化，可以找到二次型的最小值。
详细描述
对于给定的二次型 $f(x) = x^T Ax$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过实对称矩阵对角化， 可以将二次型转换为对角线形式，从而更容易找到最小值。
实例二：线性方程组的求解问题
性质
实对称矩阵具有一些重要的性质，如特征值和特征向量都是实数，且存在正交 矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵。
对角化的概念和重要性
对角化
对角化是将一个矩阵转化为对角矩阵的过程。如果存在一个可 逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵，则称矩阵A可对角化。
重要性
对角化在数学和工程领域中具有广泛的应用，如求解线性方 程组、计算行列式、判断矩阵是否可逆等。此外，对角化还 可以用于解决一些优化问题，如线性回归和主成分分析等。
实对称矩阵的对角化
例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
011 . 求正交阵 P 使P1AP为对角阵.
方阵P为正交阵的充分必要条件
方阵P为正交阵 ÛPTPE PPTE P1PT P的列向量都是两两正交的单位向量. P的行向量都是两两正交的单位向量.
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例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
将2 3正交化、单位化得
p2
1 (1, 2
1,
0)T p3
1 (1, 6
1,
2)T .
2
于是P(p1
p2
p3)为正交阵
并且P1AP
1
.
1
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二、利用正交矩阵把实对称矩阵化为对称阵的方法
v实对称矩阵对角化的步骤
(1)求出A的全部互不相等的特征值1 2 s
它们的重数依次为k1 k2 ks(k1k2 ksn).
§4.4 实对称矩阵的对角化
一个n阶方阵可以对角化是有条件的, 比如有n个线性无关的特征向量 . 也就是说并非所有n阶方阵都能对角化 但任何实对称矩阵都是可以对角化的.
§4.4 实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵
把实对称矩阵化为对角阵的方法
一、实对称矩阵的性质
v定理4.1 实对称阵的特征值为实数.
设1 2是实对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特 征向量. 若12 则p1与p2正交.
v定理4.3
设A为n阶实对称阵 是A的特征方程的k重根 则对应特 征值恰有k个线性无关的特征向量.
v定理4.4 设A为n阶实对称阵 则必有正交阵P 使P1APPTAP
线性代数—实对称矩阵的对角化
T
9
1 − 1 4 例4 将向量组 α 1 = 2 , α 2 = 3 , α 3 = − 1 − 1 1 0 标准正交化. 标准正交化. 解 β1 = α1 , − 1 1 − 1 − 1 4 5 (α 2 , β 1 ) β2 = α2 − β1 = 3 − 2 = 1 , β2 = 1 , ′ ( β1 , β1 ) 1 6 − 1 3 1 1 ′ (α 3 , β 1 ) (α 3 , β 2 ) ′ β3 = α3 − β1 − β2 ′ ′ ( β1 , β1 ) (β 2 , β 2 )
6 1 4 1 − 1 2 − 5 1 ′ = − 1 − 2 − 1 = 0 , β3 = 0 , 1 0 6 − 1 3 1 3 6
10
1 − 1 1 β1 = 2 , β 2 = 1 , β 3 = 0 , ′ ′ − 1 1 1
再单位化, 再单位化
1 1 − 1 1 1 1 γ1 = 2 , γ2 = 0 . 1 , γ3 = 6 2 3 − 1 1 1
n维基本单位向量组 ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n 是两两正交的。 是两两正交的。
ε 1 = (1, 0, ⋯ , 0)T , ε 2 = (0, 1, ⋯ , 0)T , ⋯ ,
ε n = (0, 0, ⋯ , 1)T ,
第四节：实对称矩阵的对角化
−1 1 p1 = −1 3 1
对应
λ2 = λ3 = 1 ，解方程 ( A− I )x = 0
−1 −1 1 1 1 −1 ( A − I ) = −1 −1 1 → 0 0 0 1 1 −1 0 0 0
− P = ( p1 , p 2 , p 3 ) = −
有
−2 0 0 P −1 AP = PT AP = ∧ = 0 1 0 0 0 1
。
，便有
P AP = P AP = ∧
T
−1
∧ 中对角元的排列次序应与
P中列向量的排列次序相对应。 中列向量的排列次序相对应。 中列向量的排列次序相对应
，注意
例1。设 。
0 −1 1 A = −1 0 1 1 1 0
，
求一个正交阵P 使 P−1AP =∧ 求一个正交阵 解：由
( A + 2I ) x = 0
2 −1 1 1 0 1 ( A + 2 I ) = −1 2 1 → 0 1 1 1 1 2 0 0 0
ξ
− 1 = − 1 1
，
得基础解系
1
，将
ξ λi I ) x = 0 的基础解系。得 的基础解系。
个线性无关的特征向量。 个线性无关的特征向量。再把它们 正交化、单位化，因 正交化、单位化，
k1 + L + k s = n
故可得n个两两正交的单位特征向量。 故可得 个两两正交的单位特征向量。 个两两正交的单位特征向量
（3）将这 个两两正交的单位特征向量 ）将这n个两两正交的单位特征向量 构成正交矩阵P， 构成正交矩阵 ，便有
4-4 实对称矩阵的对角化
４－４ 实对称矩阵的对角化一、共轭矩阵及其性质［Ｐ１７９：６－１４行 了解］ 复习：复数α＝ａ＋ｂｉ的共轭复数α＝ａ－ｂｉ。
定义：对矩阵Ａ＝()nm ija ⨯，称A ＝()nm ija ⨯为矩阵Ａ的共轭矩阵，其中ij a 是ij a 的共轭复数。
性质：对任意矩阵Ａ，Ｂ，及任意数λ，有AB ＝B A ，λλ=A A ，Ａ为实矩阵⇔A ＝Ａ。
二、实对称矩阵及其性质定义：若实方阵Ａ是对称矩阵，称Ａ为实对称矩阵。
定理４．５ 实对称矩阵的特征值都是实数。
即：ｎ阶实对称矩阵有ｎ个实特征值（重根按重数计算）。
证明：Ｐ１７９：－１２行－Ｐ１８０：８行。
了解。
不证明。
说明：据定理４．５，在研究实对称矩阵的时候，所有特征值和特征向量都是实的。
［看一下Ｐ１８１例４．７，Ｐ１８３例４．８，帮助理解］定理４．６ 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交。
证明：Ｐ１８０：－１３行至－４行，了解。
对比：Ｐ１５８；性质４。
正交向量组必线性无关；但是线性无关的向量组未必正交。
定理４．７ 实对称矩阵的属于每一个ｋ重特征值的线性无关的特征向量正好有ｋ个。
即，如果Ａ是实对称矩阵，0λ是Ａ的一个ｋ重特征值，那么（0λＥ－Ａ）Ｘ＝０的基础解系恰好含有ｋ个向量。
结论：依据定理４．７和定理４．６：ｎ阶实对称矩阵有ｎ个线性无关的特征向量，故实对称矩阵必可对角化。
三、任意实对称矩阵Ａ，总可以求出一个正交矩阵Ｐ，使Ｐ－１ＡＰ＝ＰＴＡＰ为对角形，且主对角线上元恰好是Ａ的全部特征值。
［熟记］ 原理：Ｐ１８１：３－１０行 了解步骤：Ｐ１８６：－１５行－Ｐ１８７：１行 掌握例４．７ (类型：３阶实对称矩阵有３个互不相同的特征值［讲］)解：A E -λ＝λλλ20212022--＝86323+--λλλ＝)82)(1(2---λλλ ＝)4)(2)(1(-+-λλλ［系数和为０，有根λ＝１，有一次因式（λ－１），作长除法或综合除法］Ａ的全部特征值为：λ１＝－２，λ２＝４，λ３＝１。
4-4 实对称矩阵的相似对角化
得同解方程组
x2 2 x3 , x1 x3 ,
1 特征向量为 2 1
解
1
| E A | 2 1
2
1 2
4
2
1
0 2 0
1 2
( 2) 2 1
2
1 2
( 6) ,
2
则 A 的特征值为 1 6, 2 3 0. 对于 1= 6 有
则有
1 0 0 6 0 0 T P AP 0 2 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 3
令
作业
P255 1 1，4 2
阵 P ( P 的列向量顺序与已规定的特征值顺序必须 是一致的 )，则有
1 T P AP
. n
例 5.9 设
1 2 1 A 2 4 2 , 1 2 1
P T AP P 1 AP 对角阵 . 求正交阵 P，使
定理 5.8 A 为实对称矩阵，则必有正交阵 P，使
PT AP P 1 AP = 对角阵 .
实对称正交相似于对角阵的步骤为: (1) 求| E – A |=0 的全部特征值 1 , , n ; (2) 对每个i ，求ξ
i
，使 (i E A) i 0;
(3) 如无重根，只需将每个ξi 单位化即可 . 如有重根， 对属于重根的几个线性无关的特征向量 正交化，再单位化； (4) 将全部规范正交化的特征向量放在一起，构成矩
实对称矩阵的正交对角化
实对称矩阵的正交对角化摘要：实对称矩阵一定可以对角化，并且可以要求相似变换矩阵是正交矩阵，即实对称矩阵可以正交对角化。
本文对该正交矩阵的构成进行了说明，并做了详细的解释。
关键词：实对称矩阵；正交对角化；特征值；特征向量；正交规范化作为数学基础课之一，线性代数是最抽象、最难的一门课。
线性代数的难点在于不同章节之间隐藏的联系，只有把这种联系在各个章节之间打通，才能真正地学好线性代数。
在学习的过程中，基础要扎实，遇到问题要寻根究底，对于一些证明过程要真正弄明白。
如果对一些本来就比较难的部分，证明过程解释的比较粗糙，学生就会对内容感觉似是而非，从而导致学生基础不牢，只能靠死记硬背。
因此，教师在上课过程中，应对一些重点内容进行必要的解释。
本文就实对称的正交对角化，正交矩阵的构成过程进行了详细的解释，希望能帮助学生真正地理解这部分内容。
Th设A是实对称矩阵，则A可正交对角化，即存在正交矩阵P，使P-1AP=PTAP=∧。
下面说明正交矩阵的求解过程：先求一般的相似变换矩阵P1，然后由P1构造正交矩阵P，使P仍然是相似变换矩阵。
（1）由|A-λE|=0求A的k（k≤n）个不同的特征值λ1，λ2，…，λk，重数分别为n1，n2，…，nk，则■ni=n。
（2）对于A的每一个ni重特征值λi，由（A-λiE）x=0求基础解系Ii――含ni个向量。
Ii：αi1，αi2，…，αini则Ii为A的对应于特征值λi的ni个线性无关的特征向量。
令P1=（I1，I2，…，Ik），则P1可逆，且P-11AP1=∧=diag（■，■，…，■）。
（3）对上述每组基础解系Ii分别进行正交规范化得向量组Ji。
Ji：ei1，ei2，…，eini则Ji为A的对应于特征值λi的ni个长度为1且两两正交的特征向量。
说明：由施密特正交化过程，Ii：αi1，αi2，…，αini正交化得：βi1=αi1，βi2=αi2-■βi1，…，βil=αil-■■βim（l=2，3，…，ni）规范化得，eil=■（l=1，2，，…，ni）从上述过程易知，向量组Ji可由向量组Ii表出，即Ji中的任何向量都是αi1，αi2，…，αini的线性组合，从而一定是A的对应于特征值λi的特征向量。
第四节 实对称矩阵的对角化
4. 令P (11,12 ,L ,1r1 ,L , s1,L , srs ), 则P为正交阵且有 PT AP=P1AP diag(1Er1 , 2Er2 ,L , s Er s ) .
二、利用正交矩阵将实对称矩阵对角化的方法
利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为：
1. 由特征方程 E A 0解得 A的所有特征值, 设所有的 不同的特征值为1,L ,s;
2. 对每个i分别求出齐次线性方程组 (iE A) X 0 的 基础解系 , 设之为i1,i2,L ,iri (i 1, 2,L , s);
第二步 由iE A X 0,求出A的正交的特征向量组
对 1 2,解齐次线性方程组2E A X 0,由
1 2 2 1 2 2
2E
A
2
2
4 4
4
4
0 0
0 0
0
0
得基础解系
2 2
1
1
,
2
0
.
0
1
对1,
正交化得
2
2
1
=1
=
1
,
0
2
=2
2 , 1,
1 1
1
=
2 5
4 5
1
.
对 3 7,解齐次线性方程组7E A X 0,由
8 2 2 0 18 18
7E
A
2
2
5 4
4
5
2
0
5 9
4
9
1
0
4-4 实对称矩阵的对角化习题评讲
４－４ 实对称矩阵的对角化习题评讲１４、求正交矩阵Ｐ，使Ｐ－１ＡＰ成为对角矩阵，其中Ａ为（１）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡210131012； （２）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----114441784817 解（１）：A E -λ＝210131012-------λλλ＝210131)2(02--------λλλλ＝21131101)2(-------λλλ＝21023011)2(------λλλ＝2123)2(-----λλλ＝2111)4)(2(----λλλ＝)4)(2)(1(---λλλＡ的特征值为：λ１＝１，λ２＝２，λ３＝４。
对λ１＝１，解方程组（Ｅ－Ａ）Ｘ＝０，由Ｅ－Ａ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------110121011→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----110110011→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-000110101， 通解为：⎩⎨⎧-==3231x x x x （ｘ３任意），基础解系为：ξ１＝（１，－１，１）Ｔ。
单位化，得属于λ１＝１的单位特征向量ｅ１＝T⎪⎪⎭⎫⎝⎛-313131。
对λ２＝２，解方程组（２Ｅ－Ａ）Ｘ＝０，由２Ｅ－Ａ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----010111010→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010010111→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000010101， 通解为：⎩⎨⎧=-=32310x x x x （ｘ３任意），基础解系为：ξ２＝（－１，０，１）Ｔ。
单位化，得属于λ２＝２的单位特征向量ｅ２＝T⎪⎭⎫⎝⎛-21021。
对λ３＝４，解方程组（４Ｅ－Ａ）Ｘ＝０，由４Ｅ－Ａ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----210111012→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---210012111→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---210210111→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000210101， 通解为：⎩⎨⎧==32312x x x x （ｘ３任意），基础解系为：ξ３＝（１，２，１）Ｔ。
单位化，得属于λ３＝４的单位特征向量ｅ３＝T⎪⎪⎭⎫⎝⎛616261。
Ch5.4实对称矩阵的相似对角化
在物理和工程中的应用
量子力学中的哈密顿算子
在量子力学中，哈密顿算子是一个实对称矩阵，其相似对角 化在求解薛定谔方程等量子力学问题中具有重要作用。
结构动力学分析
在工程中，结构动力学分析需要考虑结构的振动和响应，通 过将质量矩阵和刚度矩阵相似对角化，可以简化计算过程并 提高计算精度。
04 实对称矩阵的相似对角化 方法
ch5.4实对称矩阵的相似对角化
目 录
• 引言 • 实对称矩阵的相似对角化 • 实对称矩阵相似对角化的应用 • 实对称矩阵的相似对角化方法 • 实对称矩阵的相似对角化实例
01 引言
实对称矩阵的定义
实对称矩阵
如果一个矩阵A的所有元素都是实数，且A的转置矩阵A'等于其本身，即$A'=A$，则称A为实对称矩阵。
三阶实对称矩阵的相似对角化实例
总结词
三阶实对称矩阵可以通过相似变换化为对角矩阵，需要找到三个线性无关的特征向量。
详细描述
对于三阶实对称矩阵，需要找到三个线性无关的特征向量，并构造一个可逆矩阵，使得 该矩阵与原矩阵相似。通过求解特征值和特征向量，可以找到这三个特征向量，并利用
它们构造可逆矩阵。
n阶实对称矩阵的相似对角化实例
实对称矩阵的相似对角化可以用于矩阵分解，如QR分解、SVD分解等，这些分 解在解决线性代数问题中具有广泛应用。
在微分方程中的应用
线性常微分方程组的求解
通过将微分方程组的系数矩阵相似对角化，可以将问题转化为求解一系列一阶常 微分方程组，简化求解过程。
稳定性分析
通过将线性时变微分方程组的系数矩阵相似对角化，可以分析系统的稳定性和动 态行为。
定义
如果存在一个可逆矩阵P，使得$P^{1}AP=B$，则称矩阵A与B相似。
第4.4节 实对称矩阵的对角化
注 ①实对称矩阵A的重特征值对应的正交特征向量组的取法 不唯一，故Q不唯一； ②由于实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量必正交， 故只需对对应于同一特征值的线性无关的向量正交化即可.
例2 设3阶实对称矩阵Ａ的特征值为 1 0, 2 3 1,
Ａ对应于1的特征向量为1 (0,1,1)T ,求A.
第4.4节
实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵特征值与特征向量的性质 二、实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵特征值与特征向量的性质
定理1 (1) 实对称矩阵A的特征值都是实数;
(2) 实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量相互正交;
(3) 实对称矩阵A的每个k重特征值恰好有k个对应于此特征值的 线性无关的特征向量. 证 (2) 设1, 2为A的两个不同特征值,1,2为对应的特征向量， 即 Ai = ii ( i = 1,2).
例如
1 2 2 A 2 1 2 是实对称矩阵,其特征值 5, 1. 1 2 3 2 2 1 1 对应特征值5的线性无关的特征向量只有一个 1 1 ; 1
对应特征值１的线性无关的特征向量一定有两个
解 Ａ为实对称矩阵，故Ａ必可对角化，对应于二重特征 值2＝ 3＝１的特征向量应该有两个，设为2,3, 则2,3
都与1正交.
T 设与1正交的向量为 ( x1 , x 解得方程组的基础解系为 2 0 , 3 1 . 0 1
1 1 得 x1 x2 x3 , 线性无关的特征向量为 1 1 , 2 0 . 0 1
当3 3，解(3 E A) x 0．由
2 1 1 1 0 1 3 E A 1 2 1 0 1 1 1 1 2 0 0 0
第四章三节实对称矩阵的对角化
对于λ2 = 6，解齐次方程组(6E − A) X = 0，得对应的特征向量 将α3 单位化，得
α3 = (1,2,2)T
α3 1 2 2T γ3 = =( , , ) α3 3 3 3
令矩阵
2 2 − 5 − 3 5 4 1 Q = (γ1,γ 2 ,γ3 ) = − 5 3 5 5 0 3 5 −1 则 Q AQ = Λ
n 定理4.11 设α1,α2 ,L,αs (s ≥ 2)是R中的一个线性无关的向量组， 定理
令 β1 = α1
T α2 β1 β2 = α2 − T β1 β1 β1 T T α3 β1 α3 β2 β3 = α3 − T β1 − T β2 β1 β1 β2 β2
L L L L L L
T T T αs β1 αs β2 αs βs−1 βs = αs − T β1 − T β2 −L− T βs−1 β1 β1 β2 β2 βs−1βs−1
第三节 实对称矩阵的对角化
一、向量的内积
定义4.3 定义4.3 在R 中，设向量α = ( a1, a2 ,L, an ) , β = ( b , b2 ,L, bn ) . 1
n
T T
实数 α β = ab + a2b2 +Lanbn = ∑abi称为向量 α和 的内 β 1 1 i i=1 积，记作(α,β ).
β1 = α1 = (−2,1,0)T
4 2 4 T T β2 = α2 − T β1 = (−2,0,1) − (−2,1,0) = (− , − ,1) 5 5 5 β1 β1
T T a2 β1
再将向量 β1, β2单位化，得
γ1 =
β1 2 1 = (− , ,0)T β1 5 5
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专题：实对称矩阵的对角化一、实对称矩阵的定义：如果矩阵A 满足：①A 是对称矩阵，即T A A =；②矩阵A 中所有元素都是实数（事实上，我们目前接触到的矩阵的元素都是实数，全体实数与全体虚数（如a bi +，0b ≠就是虚数）组成复数集）。
那么，称矩阵A 就是实对称矩阵。
注意，因为实对称矩阵就是对称矩阵，而对称矩阵是对方阵而言的，故实对称矩阵必须是方阵。
二、实对称矩阵的性质：① 实对称矩阵必可对角化。
（一般的矩阵，也就是非实对称矩阵，可对角化是有条件的，全书P372页说的很清楚）② 特征值全是实数，特征向量都是实向量。
（关于这一点是没有考点，这只是单纯地作为一条性质提出来的）③ 不同特征值的特征向量相互正交。
（这一点很重要，对于一般矩阵而言，不同特征值的特征向量线性无关，不能保证不同特征值的特征向量正交。
注意向量正交的定义：设12,a a 为n 维列向量，1212211212,(,)0,T Ta a a a a a a a a a ⇔===⇒正交线性无关）④ 假设i λ是实对称矩阵A 的k 重特征值，那么对应于特征值i λ必有k 个线性无关的特征向量，即齐次线性方程组()0i E A x λ-=的基础解系的向量个数为k ，()i n r E A k λ--=。
（对于一般矩阵，若i λ是该矩阵（非实对称矩阵）的k 重特征值，那么对应于特征值i λ的线性无关向量最多为k 个，即齐次线性方程组()0i E A x λ-=（这里的A 为非实对称矩阵）的基础解系的向量个数最多为k 个，即()i n r E A k λ--≤）三、基本情况说明：考虑到考研数三的实际情况，加上为了更加清晰地阐述该问题，我这里论述的实对称矩阵是一个4阶矩阵，在此就不长篇大论一般情况（即A 为n 阶矩阵），希望你从这个特殊例子中看出一般情况。
A 为4阶矩阵，其特征值为1λ、2λ、3λ（3λ为二重特征值）。
特征值1λ对应的特征向量为1a ，即111Aa a λ=，明显11k a （10k ≠）也为1λ对应的特征向量；特征值2λ对应的特征向量为2a ，即222Aa a λ=，明显22k a （20k ≠）也为2λ对应的特征向量； 特征值3λ对应的两个线性无关的特征向量为3a 、4a （因为3λ为二重特征值，所以它必有2个线性无关的特征向量），明显3a 、4a 的线性组合3344l a l a +（34,l l 不全为0）也是特征值3λ对应的特征向量。
根据实对称矩阵性质的第二点，这些特征向量之间的关系满足：1122113344223344(,)(,)(,)0k a k a k a l a l a k a l a l a =+=+=（10k ≠、20k ≠、34,l l 不全为0）注意3a 、4a 一定线性无关，但是不一定正交，那么3344(,)l a l a （34,l l 都不为0）的值不一定为0。
上面1122(,)k a k a 、113344(,)k a l a l a +、223344(,)k a l a l a +、3344(,)l a l a 都表示内积。
四、实对称矩阵的对角化全书P372的矩阵相似对角化的方法适合所有矩阵，那么根据该方法，我们构造矩阵P ，令112233443344(,,,)P k a k a k a k a l a l a =++，（12,k k 都不为0，34,k k 不全为0，34,l l 不全为0，向量3344k a k a +与向量3344l a l a +线性无关，即33340k k l l ≠），那么一定有121123333000000(,,,)00000P AP diag λλλλλλλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦（向量3344k a k a +和向量3344l a l a +线性无关的充要条件是33340k k l l ≠，133443344334433442,,0x k a k a l a l a k a k a l a l a x ⎛⎫++⇔++= ⎪⎝⎭线性无关齐次线性方程组（）只有零解3313334334433443444244(,)0,((,))2kl x k l a a r k a k a l a l a r a a k l x k l ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔=⇔++== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭只有零解（），由于34(,)2r a a =，所以3344kl k l ⎛⎫⎪⎝⎭必然满秩，33340k k l l ≠）为什么我把矩阵P 构造成112233443344(,,,)P k a k a k a k a l a l a =++这种形式，而不是像全书上构造成简单的1234(,,,)P a a a a =。
我先说明这种构造的合理性。
把矩阵P 构造成112233443344(,,,)P k a k a k a k a l a l a =++这种形式的合理性说明：由上面的第三点——基本情况说明里面的论述，可以知道：112233443344,,,k a k a k a k a l a l a ++（12,k k 都不为0，34,k k 不全为0，34,l l 不全为0）这四个向量必然分别是特征值1233,,,λλλλ对应的特征向量，如果向量3344k a k a +和向量3344l a l a +线性无关，那么P 可逆，且11233(,,,)P AP diag λλλλ-=。
注意到1234(,,,)P a a a a =是112233443344(,,,)P k a k a k a k a l a l a =++的一种特殊情况。
五、施密特正交化方法的意义说明考研数三对Schmidt 正交化方法的考察，最多涉及三个向量，因此，我在这里只说明3个向量的Schmidt 正交化。
1a ，2a ，3a 线性无关令11a β=，2122111(,)(,)a a βββββ=-，313233121122(,)(,)(,)(,)a a a βββββββββ=--。
其实不需要严格的证明，通过观察，我们就会发现1β，2β，3β都是1a ，2a ，3a 的线性组合。
注意正交化后的1β，2β，3β是两两正交的。
假设1a ，2a ，3a 都是实对称矩阵A 的关于某一个特征值的i λ的三个线性无关的特征向量，因为1β，2β，3β都是1a ，2a ，3a 的线性组合，那么1β，2β，3β也是实对称矩阵A 的关于同一个特征值的i λ的三个线性无关的特征向量。
六、把矩阵P 构造成112233443344(,,,)P k a k a k a k a l a l a =++这种形式的意义说明矩阵112233443344(,,,)P k a k a k a k a l a l a =++（12,k k 都不为0，34,k k 不全为0，34,l l 不全为0，向量3344k a k a +与向量3344l a l a +线性无关，即33340k k l l ≠）包含了所有情况。
在矩阵112233443344(,,,)P k a k a k a k a l a l a =++中令111k a =，221k a =，331k a =，40k =，43333434333(,)(,)(,)(,)a a a a l a a a a a a =--，44343331(,)(,)l a a a a a a =- 那么得到的矩阵Q 是矩阵112233443344(,,,)P k a k a k a k a l a l a =++的一种特殊情况：431234312333434333(,)1111(,,,()(,)(,)(,)a a Q a a a a a a a a a a a a a a a a =--注意，在这里对34,a a 运用了Schmidt 正交规范化方法，所以此时的矩阵Q 就是一个正交矩阵，即TQ Q E =，1T Q Q -=（矩阵的每一个列向量都是单位向量，且列向量两两正交，无需证明，行向量也满足都是单位向量，且两两正交）。
由于矩阵Q 满足11233(,,,)Q AQ diag λλλλ-=，而1T Q Q -=，那么由11233(,,,)Q AQ diag λλλλ-=可得：1233(,,,)T Q AQ diag λλλλ=七、化二次型为标准型的问题的等价问题 对于二次型（n 元二次方程）12(,,,)T n f x x x x Ax =，其中A 为实对称矩阵，我们的目的是要通过坐标变换（即找到一个可逆矩阵Q ，令y Qx =，注意这里对Q 的表述仅仅是可逆矩阵，没有说找一个正交矩阵——当然正交矩阵也是可逆矩阵，因为我们在这里的目的仅仅是作坐标变换，作坐标变换的矩阵必须是可逆矩阵），把二次型12(,,,)T n f x x x x Ax =化为标准型22212121122112212(,,,)(,,,)0000(,,,)00y QxTT T n n n nn n n f x x x x Axf y y y y Q AQy y y y y y y y y y ηηηηηη==⇔==+++⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥= ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭坐标变换（12,,,n ηηη为n 个实数）这个问题等价的表述就是：对于实对称矩阵A ,找到一个可逆矩阵Q ，使得12(,,,)T n Q AQ diag ηηη=。
注意，这里的Q 不是唯一的，这里的12,,,n ηηη随着Q 的不同而取不同的值，特别的，如果这里的Q 选择的是上面第六点中的431234312333434333(,)1111(,,,()(,)(,)(,)a a Q a a a a a a a a a a a a a a a a =--，那么这里的12,,,n ηηη依次取对应的12,,,n λλλ。
八、化二次型12(,,,)T n f x x x x Ax =为标准型具体步骤：（1） 根据||0E A λ-=求出n 阶实对称矩阵A 的所有特征值i λ（2） 通过解齐次线性方程组()0i E A x λ-=求出每一个特征值所对应的特征向量i a（3） 把一重特征值对应的特征向量单位化，把k 重（2k ≥）特征值对应的k 个特征向量规范正交化，得到n 个两两正交的单位向量i r（4） 构造矩阵Q ，令12(,,,)n Q r r r =。
明显Q 是正交矩阵，即T Q Q E =，1T Q Q -=（5） 作坐标变换，令x Qy =，那么12121122222121122(,,,)(,,,)0000(,,,)00QyTT T n n n n nn n f x x x x Axf y y y y Q AQyy y y y y y y y y λλλλλλ==⇔=⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥==+++ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭坐标变换x其中，12,,,n λλλ为对应的n 个特征值。