均值不等式求最值的十种方法

用均值不等式求最值的方法和技巧

一、几个重要的均值不等式

①，、)(2

22

22

2

R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，

、)(222

+

∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3

33

333

3

3

+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；

④)(333

3+

∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

② 熟悉一个重要的不等式链：b

a 112

+2a b

ab +≤≤≤

2

2

2b a +。 一、拼凑定和

通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。 例１ (1) 当

时，求(82)y x x =-的最大值。

(2) 已知01x <<，求函数3

2

1y x x x =--++的最大值。

解：()()()()()()2

2

2111111y x

x x x x x x =-+++=+-=+-

()()3

11111322241422327

x x x x x x ++⎛⎫

++- ⎪++=•••-≤=

⎪ ⎪⎝⎭

。 当且仅当

112x x +=-，即13x =时，上式取“=”

。故max 32

27

y =。 评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，

求“积”的最大值。 例2 求函数)2101y x

x x =-<<的最大值。

解：()()22

4

2

214122

x x y x x x =-=•••-。

因()()3

2222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=

⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭

， 当且仅当()2

212

x x =-，即6x =时，上式取“=”。故max 239y =。

评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。

例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。

解：()

()()2

2

2

222236418244y x

x x x x =-=⨯--

()()3

2223

24418818327x x x ⎡⎤+-+-⨯⎢⎥≤=⎢⎥⎣⎦

。

当且仅当()

2224x x =-

，即3

x =

时，上式取“=”。 故max

32

18827

y ⨯=

，又max 0,3y y >=。

二、 拼凑定积

通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件。

例4 (1)已知5

4x <

，求函数14245

y x x =-+-的最大值 (2)设1x >-，求函数()()

521

x x y x ++=

+的最小值。

解：()())

141144

155911

1

x x y x x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=

=+++≥+=+++。 当且仅当1x =时，上式取“=”。故min 9y =。

评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑定积”，往往是十分方便的。

例5 已知1x >-，求函数()

()

2

2413x y x +=

+的最大值。

解：

1,10x x >-∴+>，()

()

()()2

24124

24

34

224

1414

141

x y x x x x +∴=

=

≤

=⨯+++++++

++。

当且仅当1x =时，上式取“=”。故max 3y =。

评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法

将分母“拼凑定积”。

例6 已知0x π<<，求函数2cos sin x

y x -=

的最小值。

解：因为0x π<<，所以022x π<<，令tan 2

x

t =，则0t >。

所以211cos 11333sin sin 2222

x t t t y t x x t t t -+=

+=+=+≥=。

当且仅当

1322

t

t =，即3t x π==时，上式取“=”。故min y =。 评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式的

环境。

三、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。

例5、已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围 四、拼凑常数降幂

例7 若332,,a b a b R ++=∈，求证：2a b +≤。

分析：基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化中架设桥梁，能为解题提供信息，开辟捷径。本题已知与要求证的条件是1a b ==，为解题提供了信息，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。 证明：

33333333333333113113,113113a a a b b b ++≥=++≥=。

()33463, 2.a b a b a b ∴++=≥+∴+≤当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”

， 故原不等式得证。

评注：本题借助取等号的条件，创造性地使用基本不等式，简洁明了。

例8 若332,,x y x y R ++=∈，求225x y xy ++的最大值。

解：

333333311,311,311,x x x x y y y y x y x y ⨯⨯⨯≤++⨯⨯⨯≤++⨯⨯⨯≤++

()

()

3333333322115177573

3

x x y y x y x y x y xy ++++++++++∴++≤

=

=。

当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”，故2

2

5x y xy ++的最大值为7。

例9 已知,,0,1a b c abc >=，求证：333a b c ab bc ca ++≥++。

证明：3

3

3

3

3

3

131,131,131a b a b b c b c c a c a ++≥⨯••++≥⨯••++≥⨯••，

()

()333323a b c ab bc ca ∴+++≥++，又3ab bc ca ++≥=， ()()3333333223,a b c ab bc ca a b c ab bc ca ∴+++≥+++∴++≥++。

当且仅当1a b c ===时，上述各式取“=”，故原不等式得证。

五、拼凑常数升幂

例10

若,,a b c R +∈，且1a b c ++=≤。

分析：已知与要求证的不等式都是关于,,a b c 的轮换对称式，容易发现等号成立的条件是1

3

a b c ===

，