全等三角形判定方法四种方法”_
全等三角形的四种判定方法
全等三角形的四种判定方法方法一：SSS（边边边）判定法SSS法是指当两个三角形的三边相互对应相等时，这两个三角形是全等的。
具体步骤如下：1.假设有两个三角形ABC和DEF，边长分别为AB、BC、AC和DE、EF、DF。
2.检查AB/DE、BC/EF和AC/DF是否相等，如果这三组比值相等，则可以判断三角形ABC和DEF是全等的。
方法二：SAS（边角边）判定法SAS法是指当两个三角形的两边和夹角互相对应相等时，这两个三角形是全等的。
具体步骤如下：1.假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB/DE、∠B/∠E、BC/EF。
2.检查AB/DE和BC/EF是否相等，并且检查∠B/∠E是否相等，如果这两组比值相等，则可以判断三角形ABC和DEF是全等的。
方法三：ASA（角边角）判定法ASA法是指当两个三角形的两角和夹边互相对应相等时，这两个三角形是全等的。
具体步骤如下：1.假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠A/∠D、BC/EF、∠C/∠F。
2.检查∠A/∠D和∠C/∠F是否相等，并且检查BC/EF是否相等，如果这两组比值相等，则可以判断三角形ABC和DEF是全等的。
方法四：RHS（直角边斜边）判定法RHS法是指当两个三角形的一个直角边和斜边，以及对应的斜边分别相等时，这两个三角形是全等的。
具体步骤如下：1.假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠C为直角，AC/DF和BC/EF。
2.检查AC/DF和BC/EF是否相等，并且检查∠C是否为直角，如果这两组比值相等，并且∠C是直角，则可以判断三角形ABC和DEF是全等的。
这四种判定方法是判断全等三角形最常用的方法。
根据给定的条件，可以选择适用的方法进行判定。
值得注意的是，判定全等三角形时需要满足条件的对应关系，不能只满足其中一部分条件。
同时，在实际问题中，可能需要组合使用多种方法来判断三角形的全等关系。
直角三角形全等的判定
直角三角形全等的判定
直角三角形同余的判断:1。
对应边相等的两个三角形的三组同余。
2.两条边和它们的夹角相等的两个三角形。
3.两个三角形有两个角，它们的夹紧边全等。
判定方法
方法一：SSS（边边边），即三边对应相等的两个三角形全等。
方法二：SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等。
方法三：ASA（角边角），即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等。
方法四：AAS（角角边），即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等。
方法五：HL（斜边、直角边），即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
性质
1．全等三角形的对应角相等。
2．全等三角形的对应边相等。
3.。
能够完全重合的顶点称为对应顶点。
4．全等三角形的对应边上的高对应相等。
5．全等三角形的对应角的角平分线相等。
6．全等三角形的对应边上的中线相等。
7．全等三角形面积和周长相等。
8．全等三角形的对应角的三角函数值相等。
三角形全等五个判定方法
三角形全等五个判定方法
一、视图判定
从三角形的外形几何图形来判定三角形是否相等，通常分为三种情况：
1、三角形三边相等：当三角形的三边长都相等时，我们称这三角形为等边三角形，这种三角形的三个内角的角度都是相等的，其面积也是相等的。
2、三角形两边相等：当三角形的两边长度相等，且两条边之间的夹角为直角时，我们称这三角形为等腰直角三角形，此时三角形的面积也是相等的。
3、三角形三个角度相等：当三角形的三个角度都相等时，我们称之为等角三角形，此时三角形的三边长也是相等的，其面积也是相等的。
二、测量距离判定
要判定三角形是否全等，我们可以利用放射线的性质，将三角形各边的距离进行测量，将三边的距离写出来，如果三边的距离相同，则该三角形为全等三角形。
三、勾股定理判定
判定三角形是否相等，也可以利用勾股定理，即如果存在三条直线，当满足其中两条直线的长度平方之和等于另外一条直线的长度平方时，这三条直线就可以组成一个三角形，且该三角形是全等的。
四、测量角度判定
要判定三角形是否全等，我们可以利用圆规将三角形的三角的度数进行测量，如果三角形的三个角的角度都相同，则该三角形就是全等的。
五、勾股定理判定
判定三角形是否相等，也可以利用勾股定理，即如果存在三条直线a,b,c，当满足a/b=b/c的条件时，则该三角形为全等的。
全等三角形的判定方法五种的证明
全等三角形的判定方法五种的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全等三角形（即三角形的所有对应边和角都相等）在几何学中具有重要意义，因为它们有着很多共性特征和性质。
在实际问题中，我们常常需要判定两个三角形是否全等，以便解决一些几何问题。
下面我们将介绍五种判定方法，并给出它们的证明。
一、SSS法则（边边边全等）首先我们来介绍SSS法则，即如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，AC=DF，BC=EF。
我们要证明三角形ABC全等于三角形DEF。
【证明过程】由已知条件可知，三角形ABC和三角形DEF的三边分别相等。
所以可以得到以下对应关系：AB=DEAC=DFBC=EF三角形的两边之和大于第三边，所以我们有以下结论：AB+AC>BCDE+DF>EF由于AB=DE，AC=DF，BC=EF，所以根据上述两个不等式可得：AB+AC>BCAB+AC>BC所以三角形ABC与三角形DEF全等。
由于∠C=∠F，所以我们有以下结论：∠A+∠C+∠B=180°∠A+∠F+∠E=180°由于∠C=∠F，所以可以将两个等式相减，得到：∠B-∠E=0∠B=∠E四、HL法则（斜边-直角-斜边全等）由于∠A=∠D，∠B=∠E，所以可以使用AA法则证明三角形ABC 与三角形DEF全等。
我们介绍了五种全等三角形的判定方法以及它们的证明。
这些方法在解决几何问题中起着至关重要的作用，希望大家能够掌握并灵活运用这些方法。
如果遇到类似的题目，可以根据不同情况灵活选择合适的方法来判定三角形的全等关系。
通过不断练习和思考，相信大家能够在几何学习中取得更好的成绩。
【2000字】第二篇示例：全等三角形是指具有完全相同的三边和三角形的一种特殊情况。
在几何学中，全等三角形之间具有一些特殊的性质和关系。
正确判断两个三角形是否全等是解决几何问题的关键。
三角形全等的判定方法6种
三角形全等的判定方法6种
1、SSS（Side-Side-Side）（边边边）：三边对应相等的三角形是全等三角形。
2、SAS（Side-Angle-Side）（边角边）：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。
3、ASA（Angle-Side-Angle）（角边角）：两角及其夹边对应相等的三角形全等。
4、AAS（Angle-Angle-Side）（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。
5、RHS（Rightangle-Hypotenuse-Side）（直角、斜边、边）（又称HL定理（斜边、直角边））：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。
（它的证明是用SSS原理）
下列两种方法不能验证为全等三角形：
1、AAA（Angle-Angle-Angle）（角角角）：三角相等，不能证全等，但能证相似三角形。
2、SSA（Side-Side-Angle）（边边角）：其中一角相等，且非夹角的两边相等。
两三角形全等的几种判定方法
两三角形全等的几种判定方法
两个三角形是否全等，是初中数学重要的一部分。
在确定两个三
角形全等之前，需要掌握以下几种判定方法：
1. SAS判定法：如果两个三角形的两个边和夹角分别相等，则它们是全等的。
即如果两个三角形的一边、夹角和另一边能一一对应，
则这两个三角形是全等的。
2. SSS判定法：如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等的。
即如果两个三角形各边分别相等，则这两个三角形是全等的。
3. ASA判定法：如果两个三角形的两个角和夹边分别相等，则它们是全等的。
即如果两个三角形的一角、夹边和另一角能一一对应，
则这两个三角形是全等的。
4. RHS判定法：如果两个三角形的两个直角边和一条斜边分别相等，则它们是全等的。
即如果两个三角形的直角边和斜边能一一对应，则这两个三角形全等。
5. AAS判定法：如果两个三角形的两个角和一边分别相等，则它们是全等的。
但要注意，这个一边不能是夹角边。
即如果两个三角形
的两个角和一边能一一对应，则这两个三角形是全等的。
掌握了以上五种判定方法，我们就能准确地判断两个三角形是否
全等，从而解决一些相关的问题。
全等三角形的判定方法五种证明
全等三角形的判定方法五种证明方法一：SSS判定法（边边边判定法）该方法基于全等三角形的定义，即三角形的三边相等。
假设有两个三角形ABC和DEF，若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则可以得出两个三角形全等。
证明：假设有两个三角形ABC和DEF，且已知AB=DE，BC=EF，AC=DF。
通过图形可以发现，若容器DAB将图形DEF旋转并平移后完全重合于ABC，则两个三角形全等。
因此，通过旋转和平移操作，将DEF旋转至直线AC上的点F与C匹配，同时将点F移动至点C。
由于线段DE和线段AC相等，而由已知条件可知线段DF与线段AC相等，所以线段DC也与线段AC相等。
因此，可以得出点C与点D重合，即三角形DEF重合于三角形ABC，证明了两个三角形全等。
方法二：SAS判定法（边角边判定法）该方法基于全等三角形的定义，即当两个三角形的两边和夹角分别相等时，它们全等。
假设有两个三角形ABC和DEF，若AB=DE，角A=角D，BC=EF，则可以得出两个三角形全等。
证明：假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，角A=角D，BC=EF。
根据已知条件可以得出角D与角A相等，以及线段DE与线段AB相等。
通过这两个已知条件可以得出点D与点A重合，即三角形DEF与三角形ABC重合，证明了两个三角形全等。
方法三：ASA判定法（角边角判定法）该方法基于全等三角形的定义，即当两个三角形的两角和一边分别相等时，它们全等。
假设有两个三角形ABC和DEF，若角A=角D，角B=角E，AB=DE，则可以得出两个三角形全等。
证明：假设有两个三角形ABC和DEF，已知角A=角D，角B=角E，AB=DE。
根据已知条件可以得出角D与角A相等，角E与角B相等，以及线段AB与线段DE相等。
通过这三个已知条件可以得出三角形DEF与三角形ABC完全重合，证明了两个三角形全等。
方法四：HL判定法（斜边和高判定法）该方法基于全等三角形的定义，即当两个三角形的斜边和高分别相等时，它们全等。
全等三角形五大判定方法(两篇)
引言概述：三角形是几何学中最基本的形状之一。
在三角形中，全等三角形是指具有相等的三个角度和相等的三条边的三角形。
全等三角形的判定是几何学中的重要内容之一，它具有广泛的应用。
本文将介绍全等三角形的五大判定方法——边边边（SSS）、角边角（ASA）、边角边（SAS）、角角边（AAS）和直角边（HL）。
正文内容：一、边边边（SSS）判定方法：1.说明边边边（SSS）判定方法是三边相等的三角形判定方法。
2.介绍边边边（SSS）判定方法的步骤和要点。
3.详细解释如何利用边边边（SSS）判定方法来判断两个三角形是否全等。
4.举例说明边边边（SSS）判定方法的应用场景。
5.总结边边边（SSS）判定方法的特点和注意事项。
二、角边角（ASA）判定方法：1.介绍角边角（ASA）判定方法是角度和边相等的三角形判定方法。
2.说明角边角（ASA）判定方法的步骤和要点。
3.详细解释如何利用角边角（ASA）判定方法来判断两个三角形是否全等。
4.举例说明角边角（ASA）判定方法的实际应用。
5.总结角边角（ASA）判定方法的特点和适用条件。
三、边角边（SAS）判定方法：1.说明边角边（SAS）判定方法是一边、一角和另一边相等的三角形判定方法。
2.介绍边角边（SAS）判定方法的具体步骤和要点。
3.详细解释如何利用边角边（SAS）判定方法来判断两个三角形是否全等。
4.引用实际问题，说明边角边（SAS）判定方法的应用场景。
5.总结边角边（SAS）判定方法的特点和限制条件。
四、角角边（AAS）判定方法：1.介绍角角边（AAS）判定方法是两个角和一边相等的三角形判定方法。
2.说明角角边（AAS）判定方法的步骤和要点。
3.详细解释如何利用角角边（AAS）判定方法来判断两个三角形是否全等。
4.举例说明角角边（AAS）判定方法在实际问题中的应用。
5.总结角角边（AAS）判定方法的特点和使用条件。
五、直角边（HL）判定方法：1.介绍直角边（HL）判定方法是直角边和斜边相等的三角形判定方法。
全等三角形的判定方法五种的证明
全等三角形的判定方法五种的证明全等三角形的判定方法有五种，分别是SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）和HL（斜边和直角边）。
下面我将从多个角度为你解释这五种判定方法的证明。
首先，我们来看SSS（边边边）判定方法。
假设有两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应边长分别相等，即AB=DE，BC=EF，AC=DF，那么根据三角形的性质，这两个三角形是全等的。
这可以通过边长相等所确定的三个顶点的位置关系来证明。
其次，SAS（边角边）判定方法。
假设有两个三角形ABC和DEF，如果它们的一个对应边和夹角分别相等，即AB=DE，∠BAC=∠EDF，BC=EF，那么根据三角形的性质，这两个三角形是全等的。
这可以通过两个边和夹角所确定的三个顶点的位置关系来证明。
第三，ASA（角边角）判定方法。
假设有两个三角形ABC和DEF，如果它们的一个对应角和夹边分别相等，即∠A=∠D，BC=EF，∠B=∠E，那么根据三角形的性质，这两个三角形是全等的。
这可以通过两个角和夹边所确定的三个顶点的位置关系来证明。
其次，AAS（角角边）判定方法。
假设有两个三角形ABC和DEF，如果它们的两对应角和一对应边分别相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE，那么根据三角形的性质，这两个三角形是全等的。
这可以通过两个角和一对边所确定的三个顶点的位置关系来证明。
最后，HL（斜边和直角边）判定方法。
假设有两个直角三角形ABC和DEF，如果它们的斜边和一个直角边分别相等，即AB=DE，AC=DF，并且它们的一个锐角相等，那么根据三角形的性质，这两个三角形是全等的。
这可以通过斜边和直角边所确定的三个顶点的位置关系来证明。
综上所述，我们可以根据SSS、SAS、ASA、AAS和HL五种全等三角形的判定方法来证明两个三角形是否全等。
这些证明可以从边长、角度和边的组合等多个角度来进行推导和验证。
这些方法在几何推导和证明中起着重要的作用。
全等三角形的判定方法
关于三角形的知识点有很多，本篇文章主要介绍全等三角形的五种判定方法，同学们要深刻体会。
三角形全等判定方法：1.三边对应相等的两个三角形全等，简称SSS（边边边）举例：在△ABC中，AC=BD，AD=BC，求证∠A=∠B.证明：在△ACD与△BDC中{AC=BD，AD=BC，CD=CD.∴△ACD≌△BDC.（SSS）∴∠A=∠B.（全等三角形的对应角相等）2：三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等。
简称SAS（边角边）。
举例：如下图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证∠C=∠D.证明：∵AB平分∠CAD.∴∠CAB=∠BAD.在△ACB与△ADB中{AC=AD，∠CAB=∠BAD，AB=AB.∴△ACB≌△ADB.（SAS）∴∠C=∠D.（全等三角形的对应角相等）3：三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等。
简称ASA（角边角）。
举例：如下图，AB=AC，∠B=∠C，求证△ABE≌△ACD.证明：在△ABE与△ACD 中{∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C.∴△ABE≌△ACD.（ASA）4：三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等。
简称AAS（角角边）。
举例：如下图，AB=DE，∠A=∠E，求证∠B=∠D.证明：在△ABC与△EDC中{∠A=∠E，∠ACB=∠DCE，AB=DE.∴△ABC≌△EDC.（AAS）∴∠B=∠D.（全等三角形的对应角相等）5：在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
简称HL（斜边、直角边）。
定义举例：如下图，Rt△ADC与Rt△BCD，AC=BD，求证AD=BC.证明：在Rt△ADC与Rt△BCD中{AC=BD，CD=CD.∴Rt△ADC与Rt△BCD.（HL）∴AD=BC.（全等三角形的对应边相等）相关概念及性质能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”。
直角三角形的全等 一、三角形全等的四种判定方法
A D
C
B F
E
B
C F
E
如果两个直角三角形 的斜边和一条直角边 对应相等，那么这两 个直角三角形全等 （H.L）
如图 在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB， BD=CE。说明△EBC≌ △DCB的理由。
解 ∵CE ⊥AB， BD⊥AC（已知） ∴ △EBC和△DCB都是直角三角形
A
在Rt △EBC和Rt△DCB中，
一、三角形全等的四种判定方法
角边角 （A.S.A） 角角边 （A.A.S）
边角边
（S.A.S） （S.S.S）
边边边
如图在△ABC中,若∠C=90°, 则称△ABC为 直角三角形,记为Rt △ ABC
A
在一般三角形中全等的四种判定 方法对直角三角形适用吗?
C
是否有(S.S.A)这样的判定定理?
B
如图Rt △ABC和Rt DEF，AB=DE=10cm， AC=DF=8cm， ∠C= ∠F= 90°， Rt △ABC 和Rt DEF是否全等？ D
对直角三角形全等的判定可先 考虑一般的方法，若不行，再 考虑H.L的判定方法
｛BC=CB（公共边）
∴Rt △EBC≌ Rt△DCB(H.L)
BD=CE （已知）
E
D
B
C
如图 在△ABC中，BD、CE是高， BD、CE相 交于点O，OB=OC，说明AB=AC的理由。
解 ∵ BD、CE是高（已知）
∴ ∠CDB= ∠BEC= 90°（垂直的定义） 又∵ OB=OC （已知）
∴ ∠1= ∠2（等边对等角）
在△EBC和△DCB中 ∠CDB= ∠BEC BC=CB（公共边） ∴△EBC≌ △DCB(A.A.S) E ∴ ∠ABC= ∠ACB(全等三角形的对应 ）1 角相等) B ∴1= ∠2
12.2三角形全等的判定-小结4种方法
D
1
A
2
B
E
C
基本图形证明全等
• 已知：如图，AC=BD，AC∥BD • 求证：△AOC≌△BOD
C A O B D
基本图形证明全等
• • • • 如图，AD＝AE, 若要判定△ADC≌△AEB 1利用“SAS” ，则需添加条件________ 2利用“ASA” ，则需添加条件________ 3利用“AAS” ，则需添加条件________
A D E
B
C
基本图形证明全等
• 已知：如图，AB∥DC，AD∥BC • 求证：△ABC≌△CDA
D
C
A
B
基本图形证明全等
• 已知：AB＝AD,BE＝DE,C为AE延长线上一点. • 求证：CB＝CD
D C
A B=DF，BE=CF • 求证：⑴△ABC≌△DEF； • ⑵AB∥DE； • ⑶AC∥DF
A D
B
E
C
F
基本图形证明全等
• 已知：如图，AB=DC，∠A=∠D • 求证：⑴△ABE≌△DCE； • ⑵△ABC≌△DCB
A E
D
B
C
基本图形证明全等
• 已知：如图，AD=AB，AE=AC，∠1=∠2 • 求证：⑴△ADE≌△ABC； • ⑵∠D=∠B
12.2 三角形全等的判定
利用“三边”判断全等
利用“两边及夹角”判断 全等
利用“两角及夹边”判断 全等
利用“两角及一角对边”判断全 等
基本图形证明全等
• 已知：如图，AD=CE，DC=EB，C是AB中点， • 求证：⑴△ACD≌△CBE； • ⑵AD∥CE； • ⑶DC∥EB
D
E
全等三角形判定四种方法学习总结
三角形全等一．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”（SSS ）图2－1 图2－2 图2－3 1．已知：如图2－1，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点． 求证：RM 平分∠PRQ ．分析：要证RM 平分∠PRQ ，即∠PRM ＝______， 只要证______≌______证明：∵ M 为PQ 的中点（已知）， ∴______＝______在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(____________,),(PM RQ RP 已知∴______≌______（ ）． ∴ ∠PRM ＝______（______）． 即RM ．2．已知：如图2－2，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF . 求证：∠A ＝∠D ．分析：要证∠A ＝∠D ，只要证______≌______． 证明：∵BE ＝CF （ ）， ∴BC ＝______．在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧===______,______,______,AC BC AB ∴______≌______（ ）． ∴ ∠A ＝∠D （______）．3．如图2－3，CE ＝DE ，EA ＝EB ，CA ＝DB ， 求证：△ABC ≌△BAD ．证明：∵CE ＝DE ，EA ＝EB ，∴______＋______＝______＋______， 即______＝______． 在△ABC 和△BAD 中， ＝______（已知），⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______已证已知 ∴△ABC ≌△BAD （ ）．练习4．已知：如图2－4，AD ＝BC ．AC ＝BD ．试证明：∠CAD ＝∠DBC .如图2－45．“三月三，放风筝”．图2－5是小明制作的风筝，他根据DE ＝DF ，EH ＝FH ，不用度量，就知道∠DEH ＝∠DFH ．请你用所学的知识证明．图2－5二．理解和掌握全等三角形判定方法2——“边角边”(SAS)图3－1 图3－21．已知：如图3－1，AB 、CD 相交于O 点，AO ＝CO ，OD ＝OB ． 求证：∠D ＝∠B ．分析：要证∠D ＝∠B ，只要证______≌______ 证明：在△AOD 与△COB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=),______(),______(______),(OD CO AO∴ △AOD ≌△______ （ ）． ∴ ∠D ＝∠B （______）．2．已知：如图3－2，AB ∥CD ，AB ＝CD ．求证：AD ∥BC ． 分析：要证AD ∥BC ，只要证∠______＝∠______， 又需证______≌______． 证明：∵ AB ∥CD （ ）， ∴ ∠______＝∠______ （ ）， 在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______ ∴ Δ______≌Δ______ （ ）． ∴ ∠______＝∠______ （ ）． ∴ ______∥______（ ）．练习4．已知：如图3－3，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ． 求证：∠B ＝∠C ．图3－35．已知：如图3－4，AB＝AC，BE＝CD．求证：∠B＝∠C．图3－46．已知：如图3－5，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．图3－57．如图3－6，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．图3－6三．理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”(ASA)，判定方法4——“角角边”(AAS)图4－12．已知：如图4－1，PM ＝PN ，∠M ＝∠N ．求证：AM ＝BN ． 分析：∵PM ＝PN ，∴ 要证AM ＝BN ，只要证P A ＝______， 只要证______≌______．证明：在△______与△______中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),______(______),______(______),______(______∴ △______≌△______ （ ）． ∴P A ＝______ （ ）． ∵PM ＝PN （ ），∴PM －______＝PN －______，即AM ＝______．3．已知：如图4－2，AC BD ．求证：OA ＝OB ，OC ＝OD ． 分析：要证OA ＝OB ，OC ＝OD ，只要证______≌______． 证明：∵ AC ∥BD ，∴ ∠C ＝______． 在△______与△______中，⎪⎩⎪⎨⎧==∠∠=∠),______(______),______(),______(C AOC∴______≌______ （ ）． ∴ OA ＝OB ，OC ＝OD （ ）．图4－2练习4．能确定△ABC ≌△DEF 的条件是 （ ） A ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠E B ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠C ＝∠E C ．∠A ＝∠E ，AB ＝EF ，∠B ＝∠D D ．∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E5．如图4－3，已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC 全等的图形是 （ ）图4－3A ．甲和乙B ．乙和丙C ．只有乙D ．只有丙6．AD 是△ABC 的角平分线，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，下列结论错误的是（ ） A ．DE ＝DF B ．AE ＝AF C ．BD ＝CD D ．∠ADE ＝∠ADF 7．阅读下题及一位同学的解答过程：如图4－4，AB 和CD 相交于点O ，且OA ＝OB ，∠A ＝∠C ．那么△AOD 与△COB 全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．答：△AOD ≌△COB ．证明：在△AOD 和△COB 中，图4－4⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),(),(),(对顶角相等已知已知COB AOD OB OA C A∴ △AOD ≌△COB （ASA ）．问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？8．已知：如图4－5，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．图4－59．已知：如图4－6，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.图4－610．已知：AM是ΔABC的一条中线，BE⊥AM的延长线于E，CF⊥AM于F，BC＝10，BE ＝4．求BM、CF的长．11．填空题（1）已知：如图4－7，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E.欲证明BD＝CE，需证明Δ______≌△______，理由为______．（2）已知：如图4－8，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证ΔACE≌ΔDBF，需要添加条件______,证明全等的理由是______；或添加条件______，证明全等的理由是______；也可以添加条件______，证明全等的理由是______．图4－7 图4－812．如图4－9，已知ΔABC≌ΔA'B'C'，AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线．（1）请证明AD＝A'D'；（2）把上述结论用文字叙述出来；（3）你还能得出其他类似的结论吗？图4－913．如图4－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．图4－10（2）如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系．①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．图4－11。
三角形全等的判定方法
三角形全等的判定方法——SSA——探究SSA 三角形全等的判定方法的可行情况通过学习三角形全等，我们可以知道，三角形全等的判定方法只有“SSS”、“AAS”、“SAS”、“ASA”四种，“SSA ”的判定方法是不可行的，但是在某些情况下，“SSA ”是成立的，下面开始分类讨论。
一、直角三角形的SSA 全等判定有一个特殊的名字——“HL ”定理1、定理内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
2、定理证明HL 定理可以用勾股定理证明如图，已知Rt △ABC 与Rt △DEF, ∠B=∠E=90°，AC=DF,AB=DE在Rt△ABC 中，BC=， 在Rt△DEF 中，EF=，∵AC=DF，AB=DE.∴BC=EF在△ABC 与△DEF 中 ∵∴△ABC≌△DEF（SSS ）这样HL 定理成立了，我们在后续证明中需要运用到HL 定理。
A B C D E F那么，当两个三角形都为锐角三角形时，SSA 成立吗锐角三角形有三种情况，但三种情况都是相同的，所以在这里只选择一种证明。
二、锐角三角形如图，已知锐角△ABC 与锐角三角形DEF 中，∠A=∠D ，AB=DE,BC=EF证明△ABC ≌△DEF作AG ⊥BC,EH ⊥DF∵AG ⊥BC,EH ⊥DF∴∠AGB=∠EHD=90°在△ABG 与△DEH 中 ∵∴△ABG ≌△DEH （AAS ）∴BG=EH （全等三角形对应边相等）在Rt △BGC 与Rt △EHF 中BC=EFBG=EH∴△BGC ≌△EHF(HL)∴∠C=∠F （全等三角形对应角相等）在△ABC 与△DEF 中 A B CD EFG H ∵∵∴△ABC ≌△DEF （AAS ）通过上述证明，我们可以知道，在两三角形都为锐角三角形的情况下，SSA 成立。
那么问题来了，在直角、锐角三角形中都成立的SSA 证明方法在钝角三角形中会不会成立呢因为钝角三角形有三条高，且位置各不相同，所以需要分类讨论。
判定三角形全等的方法
判定三角形全等的方法三角形全等是几何学中重要的概念之一，它指的是两个三角形的所有对应边长和对应角度完全相等。
判定三角形全等的方法有多种，下面将逐一介绍这些方法。
一、SSS全等定理。
SSS全等定理是指当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。
这是最直观的判定方法之一，也是最简单的方法之一。
例如，当三角形ABC的三条边分别与三角形DEF的三条边相等时，可以断定三角形ABC全等于三角形DEF。
二、SAS全等定理。
SAS全等定理是指当两个三角形的一条边和与其相邻的两个角分别与另一个三角形的一条边和与其相邻的两个角相等时，这两个三角形全等。
这个定理也是常用的判定方法之一。
例如，当三角形ABC的一条边AB和与其相邻的两个角A、B分别与三角形DEF的一条边DE和与其相邻的两个角D、E相等时，可以断定三角形ABC全等于三角形DEF。
三、ASA全等定理。
ASA全等定理是指当两个三角形的两个角和夹在它们中间的一条边分别与另一个三角形的两个角和夹在它们中间的一条边相等时，这两个三角形全等。
这个定理也是常用的判定方法之一。
例如，当三角形ABC的两个角A、B和夹在它们中间的一条边AB分别与三角形DEF的两个角D、E和夹在它们中间的一条边DE相等时，可以断定三角形ABC全等于三角形DEF。
四、HL全等定理。
HL全等定理是指当两个直角三角形的一条直角边和与其相邻的一条直角边分别与另一个直角三角形的一条直角边和与其相邻的一条直角边相等时，这两个直角三角形全等。
这个定理适用于直角三角形的情况，也是常用的判定方法之一。
例如，当直角三角形ABC的一条直角边AB和与其相邻的一条直角边BC分别与直角三角形DEF的一条直角边DE和与其相邻的一条直角边EF相等时，可以断定直角三角形ABC全等于直角三角形DEF。
五、对顶角相等定理。
对顶角相等定理是指当两个三角形的一个角和另一个角分别与另一个三角形的一个角和另一个角相等时，这两个三角形全等。
全等三角形的四种判定方法
全等三角形的四种判定方法
1.SSS判定法（边-边-边）：
SSS判定法是通过比较两个三角形的边长来判断它们是否全等。
当三
个边的长度完全相等时，两个三角形就是全等的。
这是最直观的方法，也
是最易判定的方法之一
2.SAS判定法（边-角-边）：
SAS判定法是通过比较两个三角形的边长和夹角来判断它们是否全等。
当两个三角形的一对相邻边和它们之间的夹角相等时，这两个三角形就是
全等的。
3.ASA判定法（角-边-角）：
ASA判定法是通过比较两个三角形的两个角度和它们之间的夹边来判
断它们是否全等。
当两个三角形的两个角度和它们之间的夹边相等时，这
两个三角形就是全等的。
4.AAS判定法（角-角-边）：
AAS判定法是通过比较两个三角形的两个角度和一个非夹角边来判断
它们是否全等。
当两个三角形的两个角度和一个非夹角边相等时，这两个
三角形就是全等的。
这些判定方法都基于三角形的重要性质：对于两个全等的三角形，它
们的对应边长相等，对应角度相等。
因此，通过比较两个三角形的边长和
角度可以判断它们是否全等。
在实际应用中，这些判定方法可以用来解决各种问题，比如计算三角形的面积、寻找相似三角形等。
此外，全等三角形的概念也是其他几何学概念的基础，比如正方形和正五边形都是全等三角形的特殊情况。
综上所述，全等三角形的判定方法有四种：SSS、SAS、ASA和AAS。
通过比较边长和角度的相等性可以确定两个三角形是否全等。
这些方法在解决几何问题中非常有用，并且为其他几何学概念的理解提供了基础。
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三角形全等的条件（一）学习要求1 •理解和掌握全等三角形判定方法 1―― “边边边”，2•能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.课堂学习检测一、填空题1 •判断 ____ 的 _____ 叫做证明三角形全等.2•全等三角形判定方法 1―― “边边边”（即 ________ ）指的是 _____3•由全等三角形判定方法 1―― “边边边”可以得出：当三角形的三边长度一定时，这个 三角形的 _____ 也就确定了.在厶 ______ 和厶 ______ 中，RP RQ(已知),PM _______ ,_____ _______ (),二 _____ 也 ______ ()• / PRM = _______ ( ______ ) •即RM •5. 已知：如图 2 — 2, AB = DE , AC = DF , BE = CF.求证：/ A =Z D . 4. 已知： 求只要证_证明：如图 2 —〔，△ RPQ 中， RM 平分/ PRQ .要证 RM 平分/ PRQ ，即/ PRM = M 为PQ 的中点（已知），分析：要证/ A =Z D，只要证_________ 也 ______证明：••• BE = CF ( ),二BC = ____ .在厶ABC和厶DEF中，AB _______ ,BC _______ ,AC _______ ,二 _____ 也______ ( ).•••/ A=Z D ( __________ ).6. 如图2- 3, CE = DE, EA = EB, CA = DB , 求证：△ ABCBAD .证明：••• CE= DE , EA= EB,• _____ + _______ = _______ +即 _____ = _______ .在厶ABC和厶BAD中，= ______ (已知)，_____ _______ (已知), (已证),_____ ( ),• △ ABC◎△ BAD ( ).综合、运用、诊断一、解答题7. 已知：如图2 —4, AD = BC . AC= BD .试证明：/ CAD = /DBC .&画一画.已知：如图2 —5,线段a、b、c .求作：△ ABC，使得BC = a, AC= b, AB = c .9•“三月三，放风筝” •图2 —6是小明制作的风筝，他根据就知道/ DEH =Z DFH .请你用所学的知识证明.DE = DF , EH = FH，不用度量,课堂学习检测、填空题全等三角形判定方法 2―― “边角边” （即 2. 已知：如图 3 — 1, AB 、CD 相交于 0 点，AO = CO , OD = OB .求证：/ D =Z B .分析：要证/ D =Z B ,只要证 __________ 也 ______证明：在厶 AOD 与厶COB 中，AO CO(), (),OD ( ),△ AOD ◎△ .( )./ D = / B (). 3.已知：如图 3 — 2, AB // CD , AB = CD .求证：AD //BC 分析：要证 AD // BC ,只要证/ =Z ,又需证 s证明：••• AB // CD ( ), ••• / =Z( ), 在厶和厶中， ( ),三角形全等的条件（二 学习要求 1 •理解和掌握全等三角形判定方法 2―― “边角边”. 2.1. ）指的是_____ (),_____ ( ),• △SA ( ). • /=Z ( ).// ( ).综合、运用、诊断 一、解答题4.已知：如图 3 — 3, AB = AC , / BAD =Z CAD .求证：/ B =Z C .求证：/ B =Z C .6.已知：如图 3 — 5, AB = AD , AC = AE ,Z 1 = Z 2. 求证：BC = DE .拓展、探究、思考7.如图3— 6，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 ( EB = DB , / ABC =Z EBD = 90°),连接 AE 、CD ,试确定 并证明你的结论.5.已知：如图 3 — 4, AB = AC, BE = CD .\、B 、D 三点共线，AB = CB ,AE 与CD 的位置与数量关系，图3-3图3— 5三角形全等的条件（三）学习要求1 •理解和掌握全等三角形判定方法3―― “角边角”，判定方法4―― “角角边”；能运用它们判定两个三角形全等.2•能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.课堂学习检测一、填空题1. （1）全等三角形判定方法3―― “角边角”（即______ ）指的是________________________________________________________________________________ ;（2）全等三角形判定方法4―― “角角边”（即______ ）指的是______2.已知：如图4 —1, PM = PN，/ M = Z N .求证：AM= BN . 分析：••• PM = PN ,•••要证AM = BN,只要证PA= ____________________________只要证_______ 也 ______ .证明：在厶_______ 与厶______ 中，(),(),( ),.△◎△ ( )..PA= ( ).PM = PN( ),.PM —=PN—，即AM =3. 已知：如图4 —2, AC^BD .求证：0A = OB, 0C= OD .分析：要证0A = OB, 0C= 0D，只要证__________ 也 ______证明：AC //BD ,• - / C =在厶与厶中,A0C(),C (),(),______ 也______ ( ).0A = 0B , 0C= 0D (二、选择题4. 能确定厶ABC◎△ DEF的条件是（）A . AB = DE , BC = EF，/ A=Z EB . AB= DE , BC = EF，/ C=Z E 图4—1C. Z A =Z E, AB= EF，/ B=Z DD . Z A =Z D , AB = DE , Z B =Z E5. 如图4 —3，已知△ ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）图4 —3A .甲和乙B.乙和丙 C .只有乙 D .只有丙6. AD是厶ABC的角平分线，作DE丄AB于E, DF丄AC于F，下列结论错误的是（）A . DE = DFB . AE= AFC . BD = CD D . Z ADE = Z ADF三、解答题7. 阅读下题及一位同学的解答过程：如图 4 —4, AB和CD相交于点0,且OA = OB , Z A =Z C.那么△ A0D与厶COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由. 答：△ AOD ◎△ COB.证明：在厶AOD和厶COB中，A C （已知）,OA OB（已知）,AOD COB（对顶角相等）,•••△ AOD ◎△ COB （ASA ）.问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么?综合、应用、诊断&已知：如图4 —5, AB丄AE, AD丄AC,Z E=Z B, DE = CB. 求证：AD = AC .图4—59. 已知：如图4 —6,在厶MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ = NQ. 求证：HN = PM.10. 已知：AM是厶ABC的一条中线，BE丄AM的延长线于E, CF丄AM于F, BC = 10, BE=4 .求BM、CF的长.拓展、探究、思考11. 填空题(1)已知：如图4—7, AB= AC, BD丄AC于D, CE丄AB于E.欲证明BD = CE，需证明△ ________ 圣厶 _____ ，理由为________ .(2) _____________________________________________________________________ 已知：如图4—8, AE = DF , / A=Z D，欲证△ ACE DBF，需要添加条件 ___________________ ,证明全等的理由是_______ ;或添加条件______ ,证明全等的理由是________ ;也可以添加条件______ ，证明全等的理由是 ________ .图4—7 图4—812. 如图4—9,已知A ABC BA A'B'C', AD、A'D'分别是A ABC和A A'B'C'的角平分线.(1)请证明AD = A'D';(2)把上述结论用文字叙述出来；(3)你还能得出其他类似的结论吗？13. 如图4—10,在厶ABC中，/ ACB = 90°, AC= BC,直线I经过顶点C,过A、B两点分别作I的垂线AE、BF, E、F为垂足.(1)当直线I不与底边AB相交时，求证：EF = AE+ BF .(2)如图4—11,将直线I绕点C顺时针旋转，使I与底边AB交于点D，请你探究直线I在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系.①AD > BD :②AD = BD :③AD V BD .R。