用参数的迭代研究数列(几何画板)
精编几何画板迭代图案图文版
精编几何画板迭代图案图文版一、中点三角形图案．下图是通过三角形的中点三角形迭代而成的图案，制作过程为：任意作△ABC ，构造三边中点得△DEF ，用同样方法得△MNP ，如下图．度量AD 的距离给线段MN 、MP 、NP 作颜色参数着上色彩，然后隐藏线段AB 、BC 、AC 、DE 、DF 、EF ，选择点A 、B 、C 进行迭代(迭代次数先设为1次，构造10次映射)，结果为“最终迭代”．隐藏点D 、E 、F 、M 、N 、P ，选择点A 、B 、C 和迭代象，创建自定义工具，名称为“三角形图案”．制作一个水平放置的矩形(可随意改变大小)，打开【自定义工具】，选择“三角形图案”，依次点击矩形相邻三个顶点就得到上图．你还可以将这个“三角形图案”放进正方形、菱形、正三角形等里面，如图．二、迭代函数图案．利用函数2221)1()(xx a ax x f +-+=(a 为参数)绘制点进行迭代构图．新建参数(精确到十万分之一)09799.0=a ，00000.1=b ，新建函数2221)1()(x x a ax x f +-+=．在画板任意作一点A ，度量其横坐标A x 和纵坐标A y ，构造两个算式，标签分别设为1x ，1y ：)(1A A x f by x +=，)(11x f x y A +-=． 依次选择点1x ，1y ，打开【图表】，选择“绘制点”命令作出点，用1y 这个度量值给这个点作颜色参数着上色彩，设上色后的点为B ，构造A 到B 的迭代，迭代次数取最大值4000，拖动点A 或横轴上的单位点，可以得到不同的图案，如图．如果把参数值改为39861=b，则可以得到下面图案．.0a，99800.0=如果把参数值改为45=b，则可以得到下面图案．.0a，95-=.0。
几何画板制作深度迭代的方法探究
对应规则：A→A'。
6、选中参数用加减键调整参数，可得到变化的多边形。
7、对参数创建“动画”。
温馨提示：最好在制作之前将精确度精确到个位。
最后制作的效果图：
二、正方形深度迭代
先看最终效果图，如何制作呢?
制作方法：
1、构造正方形、确定原象：
从左至右画线段AB（A、B即为原象）；
双击A点→选中AB→变换→旋转→逆时针旋转90°→得C；
双击C点→选中CA→变换→旋转→逆时针旋转90°→得D；
连续BD。
2、构造初象：
在线段AB上任取一点E（其中一个初象），按顺序选中A、B、E→度量→比→标记比；
双击B→将D按标记比进行缩放得另一初象F。
3、新建参数：n=25；
制作方法：
1、构造下图：
构造线段AB→以B为中心将A顺时针旋转90°得点C→以C为中心将B顺时针旋转90°得点D，连结BC、CD、DA得正方形ABCD。
2、以O为中心，分别将E、F、G、H按1：2的缩放比缩放得E’、F’、G’、H’，连结EE’、FF’、GG’、HH’和E’F’G’H’。
3、新建参数n=2
3、构造初象：
选中DC→按ctrl+M得DC的中点E→顺次选定E、C、D→构造→圆上的弧→在弧上构造点
F，连结DF、CF→隐藏弧。
4、新建参数n=3
5、深度迭代：
选中原象A、B和参数→变换→按住shift键→深度迭代；
对应规则：A对D，B对F；（新添映射）A对F，B对C。
6、设置F的“动画”；
7、系列按钮的创建：
4、深度迭代：选定A、B和n，按如下方式进行深度迭代。（注意：在下图显示中一定要选“最终迭代”）
利用几何画板制作数学课件(六)
• 单击工作区的计算值a2＝4，来映射 a a2， 工作区显示如（图2）；
• （3）单击【迭代】按钮后，最后效果参数a 的值，初象a2 的值相应改 变，如（图4）；
• 选中迭代产生的表格，按小键盘上的“＋” 号键可以 • 增加迭代的次数，如（图5），按“－”键 则减少迭代的次数。
• （5） 依次选中参数a 和b， 从【变换】菜 单选择【迭代】命令，打开迭代对话框， 如（图18）；
• （6） 在对话框中，a 映射的初象反白显示 时，单击工作区中的a+1 的计算值;b 映射 的初象反白时，单击工作区中b+2 的计算 值。工作区如（图19）；
• （7）单击迭代完成，最后效果如（图20）。
• 4.新建参数n＝4，顺次选择A、B两点和参 数n，作深度迭代，（A，B）（G，P）； （P，O）；（O，J）；（F，M）；（M， N）；（N，K）；（A，E）；（E，L）； （L，B）。注意迭代中点的对应，当迭代 框遮住图像的时候可用鼠标选中拖动开。 单击迭代，隐藏不必要的点。
• （2）依次单击a＋1 和b＋2 两个计算值， 选择【图表】菜单下的【绘制（x，y）】 命令，如（图15）；
• （3）单击该命令后系统自动调出坐标系， 并绘制出以所选计算值为坐标的点，如 （图16）；
• （4）用同样方法绘制出以参数a、b 为坐标 的点， 选中绘制的两个点构造线段，如 （图17）；
• 【例6】画圆的内接正7边形。 • 【分析】由正7边形的特征，我们知道，每一个点 都相当于前面的点逆时针旋转，抓住这个规律， 我们可以用迭代功能来解决。 • 【步骤】 • 1.新建圆O，在圆O上任取一点A。 • 2.双击圆心O作为旋转中心。选中A点，单击菜单 【变换】【缩放】，旋转参数选为选择固定角度， 然后在框中输入360/7，得到B点。连接线段AB。
几何画板小白学画板经历：求等差数列1,3,5,7,9(n=1,2......)的前n项和
我是一个几何画板小白，自己在学习画板的使用，为更好的教学，因为人要随时代成长。
好了，我将自己学习的过程记录并分享给需要的人（可能还有比我更小白的），同时也希望大神多指正。
今天我们来学习一下迭代选项的使用，解决下面的问题。
求数列1，3，5，7，9(n=1,2......)的前n项和。
我们首先来做一个分析。
公差为d，假设前n项和为Sn。
在平面上描出（n,Sn）。
因此我们做法如下：
【步骤】
第一步：新建参数x=1,计算x+1。
我们用x代表（n-1），计算出来x+1的值就代表n，表示数列的项数。
第二步：新建参数a=1,d=2。
分别表示数列首项和公差。
第三步：新建参数s=1,计算s+a+x*d。
其实你会发现，这个式子计算的是前两项的和了，值为4。
第四步：选择x,x+1,s,s+a+x*d,和n做深度迭代。
绘制数据表，x列为x＋1，y列为s＋a+x*d。
第五步：绘制表中数据。
选中表格，右键选择绘制表中数据，选择列x选择x+1,选择列y选择s+a+x*d，点击绘制。
这就得到了我们所需要的坐标（n,Sn），也就是这个等差数列n不同取值的前n项和。
等比数列的制作也是同理哦。
好了，今天跟大家一起学习到这里，我们下次见。
几何画板迭代全解
第二章：迭代与分形几何
分形作为现代数学的一个分支，从诞生的那天起，就有着独特的魅力。分形的特点是整体 与部分之间存在某种自相似性， 整体具有多种层次结构。 分形图片具有无可争议的美学感召力， 特别是对于从事分形研究的科学家来说。欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识， 但相对而言，分形美是通俗易懂的。分形就在我们身边，我们身体中的血液循环管道系统、肺 脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道小肠绒毛等等都是分形，参天大树、连绵的山脉、奔涌的 河水、漂浮的云朵等等，也都是分形。人们对这些东西太熟悉了，当然熟悉不等于真正理解。 分形的确贴近人们的生活， 因而由分形而来的分形艺术也并不遥远， 普通人也能体验分形之美。 因为分形几何的迭代的原像一般不止一个，而且均为多映射迭代，为了叙述的方便，我们 先作以下两个约定。 1.用(A,B,C)表示有顺序的三点 A、B 和 C。 2.(A,B,C)(D,E,F,)，(G,H,I)表示 A 映射到 D，B 映射到 E，C 映射到 F,然后添加映射 A 映射到 G，B 映射到 H，C 映射到 I,以此类推。
例 2.1 Sierpinski 三角形
波兰著名数学家谢尔宾斯基在 1915-1916 年期间， 为实变函数理论构造了几个典型的例子， 这些怪物常称作“谢氏三角” 、 “谢氏地毯” 、 “谢氏海绵” 、 “谢氏墓垛” 。如今，几乎任何一本讲
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《几何画板迭代全解》
图 1.1
图 1.2 在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。图 1.2 中 A、B、C、D、E、F、G，各点 相距 1cm，那么怎么由 A 点和 B 点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右， 每一个点相当于前面一个点向右平移了 1cm。所以我们以 A 点作为原像，B 点作为初像，迭代一 次得到 B 点，二次为 C 点，以此类推。 所以，迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数，迭代的终点就 是最后的那个像。那么下面我们通过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念。 几何画板中迭代的控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代， 后者我们称之为深度迭代。两者没有本质的不同，但前者需要手动改变迭代的深度，后者可通 过修改参数的值来改变迭代深度。我们先通过画圆的正 n 边形这个例子来看一下它们的区别。
几何画板迭代详解
几何画板迭代详解迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。
通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。
最典型的例子就是对阶乘运算可看作一下的定义：!(1)!(1)!(1)(2)!n n n n n n =⨯--=-⨯- 。
递归算法的特点是书写简单，容易理解，但是运算消耗内存较大。
我们先来了解下面这几个最基本的概念。
迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。
原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。
初象：原象经过一系列变换操作而得到的象。
与原象是相对概念。
更具体一点，在代数学中，如计算数列1，3，5，7，9......的第n 项。
我们知道12n n a a -=+，所以迭代的规则就是后一项等于前一项加2。
以1作为原像，3作为初像，迭代一次后得到5，再迭代一次得到7，如此下去得到以下数值序列7 , 9，11, 13, 15......如图1.1所示。
在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。
图1.2中A 、B 、C 、D 、E 、F 、G ，各点相距1cm ，那么怎么由A 点和B 点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右，每一个点相当于前面一个点向右平移了1cm 。
所以我们以A 点作为原像，B 点作为初像，迭代一次得到B 点，二次为C 点，以此类推。
所以，迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数。
那么下面我们通过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念。
几何画板中迭代的控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代，我们称为深度迭代。
两者没有本质的不同，但前者需要手动改变迭代的深度，后者可通过修改参数的值来改变迭代深度。
我们先通过画圆的正n 边形这个例子来看一下它们的区别。
【例1】画圆的内接正7边形。
【分析】由正7边形的特征，我们知道，每一个点都相当于前面的点逆时针旋转360，抓住这个规律，我们可以用迭代功能来解决。
7【步骤】1.新建圆O，在圆O上任取一点A。
几何画板中的迭代和带参数的迭代实验报告：圆的面积公式转化
几何画板中的迭代和带参数的迭代实验报告一、实验目的1、新建参数以及参数动画按钮的制作2、掌握带参数的迭代思想和操作步骤3、学会通过了解父对象和子对象的关系来逆向分析已有的几何画板课件二、实验原理通过带参数的迭代建立参数与图形之间的关系。
制作参数动画按钮时，参数的变化引起图形个数的变化。
三、实验内容运用几何画板逆向分析圆的面积公式推导课件，并将课件还原制作出来。
四、实验课时：8课时五、实验步骤（略）一、方法：分割拼凑法、划曲为直展开法（等腰三角形）、划曲为直展开法（直角三角形）。
二、实施步骤方法一：分割拼凑法1.新建文件新建页：【文件】-【文档选项】-【增加页】-【空白页面】，命名为：圆的面积推导分割拼凑法。
2.构建参数：【数据】—【新建参数】—构建两个参数：半径r=3厘米，t1=6。
【数据】—【计算参数】—【计算2个数据：分别是2*trunc(t1) 和360度/ 2*trunc(t1) 】。
3.做圆和分割圆：选择【点工具】—在空白处做点A—（保持A为选中状态）+选中r—【构造】—【以圆心和半径作圆】—（保持圆为选中状态）【构造】—【圆上的点】（为点B）。
选中参数360度/ 2*trunc(t1) —鼠标右击—【标记角度】，【双击点A+选中点B】—【变换】—【旋转】—【确定】（得到点B’）。
依次选中点A，点B，点B’—【构造】—【圆上的弧】—（保持弧选中状态）【构造】—【弧内部】—【扇形内部】。
选中点B+选中参数2*trunc(t1)—【按住shift 键】—【变换】—【深度迭代】—【将点B迭代到点B’】—【确定】(得到一个分割好扇形的圆)。
4.做分割后的一个扇形：选中点B+选中点B’—【度量】—【距离】—（保持参数选中状态）鼠标右击【标记距离】。
选择【点工具】—在空白处作点C—【变换】—【平移】（按标记距离平移，得到点C’）。
选中点C和点C’+选中参数r —【构造】—【以圆心和半径作圆】—取两圆上面交点D.。
例析用几何画板深度迭代功能制作数学课件.docx
例析用几何画板深度迭代功能制作数学课件摘要：在教学极限的概念和定积分的定义等涉及图形的无限分割或与操作次数有关的数学内容时，借助几何画板的深度迭代功能，能快速制作出集动态性、交互性、实用性于一体的辅助教学课件，有效突破了教学难点。
关键词：几何画板；深度迭代；数学课件几何画板操作简单、功能强大，是广大数学教师的首选教育软件。
笔者在用几何画板辅助教学的实践中，深感几何画板的深度迭代功能十分强大。
现将有关辅助教学课件的设计思想和制作步骤与大家分享，以期抛砖引玉，共同提高。
•深度迭代功能在数学上，迭代是指把某些数学结构、计算或其他操作的过程重复应用于先前的相同操作的结果。
这些操作必须根据某些输入来定义输出，迭代则是用每一步的输出作为下一步的输入。
几何画板中的迭代是按一定的迭代规则，从原象到初象反复映射的过程。
原象是产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。
初象是原象经过一定规则变换操作而得到的第一个象。
几何画板中的深度迭代是一种带参数的迭代，通过改变参数的值可改变迭代深度，从而使我们能对某些数学对象反复进行相同操作的工作变得简单易行，可实现人机交互、动态变换。
•课件制作案例1.动态演示圆的内接与外切正多边形(1)设计思想在高中数学极限的概念教学或选修课《数学史选讲》中，一般都会讲到我国古代数学家刘徽的“割圆术"，其体现了朴素的极限思想。
在教学中我们若用几何画板动态演示圆的分割过程(如图1),随着分割的份数n的值越来越大，圆的内接和外切正多边形越来越接近于圆，并动态计算圆周率的精确度也越来越高，这有助于提高学生的学习兴趣和对极限概念的理解。
(2)制作步骤①画一个圆，在圆上取一点A,圆心标记为0。
将角度、距离和其他的精确度设为“十万分之一”，新建参数n,参数值为6,计算和的值。
②双击圆心0,将点A按标记角度旋转得点，构造线段、，过作线段的垂线a,将点A按标记角度旋转得点B,构造射线0B,与直线a交于点C。
几何画板实验报告10
实验报告姓名学号日期一、实验目的：初步理解迭代功能的若干要素，通过实例的操作领会迭代功能的含义。
二、实验内容及步骤1. 做出数列()nn n a ⎪⎭⎫⎝⎛+=1092的图形（要求绘出十个实点以上，并用参数控制迭代次数）。
步骤：①设置参数n 以及参数t②计算数据()()nn n a n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-++109211n 1以及，③选中参数n 和t ，选中shift 键的同时点击深度迭代，点击()111n =-+，再点击迭代，即可得到迭代表格。
④选中表格，绘图，以()()为纵坐标为横坐标，以nn ⎪⎭⎫⎝⎛+=-+1092111n 。
2. 绘出数列nn n a a 221+=+的图形，其中11=a ，要求，绘出十个实点。
步骤：①设置参数n 以及参数1a②计算数据1+n ，122a n +③选中参数n 和1a ，迭代，点击11n =+，122a n +再增加迭代次数至10，即可得到迭代表格。
④选中表格，绘图，以11n =+为横坐标，122a n +为纵坐标。
3. 绘制数列n n n a a a +=++12，其中1,121==a a步骤：①设置参数n ，1a 以及参数2a②计算数据1+n ，12a a +③选中参数n ，1a 和2a ，迭代，点击11n =+，2a ，12a a +再增加迭代次数至10，即可得到迭代表格。
④选中表格，绘图，以11n =+为横坐标，12a a +为纵坐标。
4. 绘制等分圆周，用参数控制迭代次数。
步骤：①设置参数n，做出圆E，构造直径DC②以E为中心，选中点D以及C旋转30°③选中参数n，D，选中shift键的同时点击深度迭代，点击D’，再点击迭代,即可得到等分圆三、实验的结论及实验中存在的问题。
利用几何画板深度迭代解决数列问题
利⽤⼏何画板深度迭代解决数列问题已知a∈R，f(x)＝ax(1－x)，数列{a n}的递推公式是a n+1＝f(a n)，n∈N*。
求当a和a1取以下特殊值时，lim a n(n→∞)，并得到其中的规律。
(1) a＝1，a1＝0.1； (2) a＝1，0＜a1＜1； (3) a＝1.6，a1＝0.3；(4) a＝2，0＜a1＜1； (5) a＝3，a1＝0.5； (6) a＝4，a1＝0.1；(7) a＝0.5，a1＝0.1； (8) a＝﹣2，a1＝0.1； (9) a＝1，a1＝2；下⾯，我们利⽤⼏何画板探究这个问题：1. 创建参数a＝1，a1＝0.1，m＝100000（m为迭代次数）。
2. 新建函数f(x)＝ax(1－x)，计算得到f(a1)＝0.09。
3. 选中参数a1、m，然后按住<Shift>键，选择“迭代→深度迭代”命令，在迭代数据框中设置a1→f(a1)，即可得到数据表(1)。
由此可以推测，a＝1，a1＝0.1时，lim a n(n→∞)＝0。
4. 画任意直线AB和直线上⼀点C，依次选中点A、B、C，选择“测量→⽐”命令，得到AC/AB的⽐值。
编辑参数a1，使其等于这个⽐值。
5. 拖动点C，可以发现a1的值随之⽽改变。
观察表中的数据，可以发现：对所有的0＜a1＜1，lim a n(n→∞)＝0。
由此可以推测，a＝1，0＜a1＜1时，lim a n(n→∞)＝0。
6. 取a＝1.6，a1＝0.3，得到数据表(3)，这时lim a n(n→∞)＝0.375。
7. 取a＝2，拖动点C改变a1的值。
可以发现，对所有的0＜a1＜1，lim a n(n→∞)＝0.5。
8. 改变参数，分别取(5)(6)(7)(8)组对应值，对应的极限值如下：a＝3，a1＝0.5时，lim a n(n→∞)≈0.66741； a＝4，a1＝0.1时，lim a n(n→∞)≈0.79635；a＝0.5，a1＝0.1时，lim a n(n→∞)≈0.00000；a＝﹣2，a1＝0.1时，lim a n(n→∞)≈﹣0.475569. 取a＝1，a1＝2，发现lim a n(n→∞)＝﹣∞。
(完整word版)几何画板迭代详解之迭代与分形几何
几何画板迭代详解之:迭代与分形几何佛山市南海区石门中学谢辅炬分形的特点是,整体与部分之间存在某种自相似性，整体具有多种层次结构。
分形图片具有无可争议的美学感召力，特别是对于从事分形研究的科学家来说。
欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识，但相对而言，分形美是通俗易懂的.分形就在我们身边，我们身体中的血液循环管道系统、肺脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道小肠绒毛等等都是分形，参天大树、连绵的山脉、奔涌的河水、漂浮的云朵等等,也都是分形。
人们对这些东西太熟悉了，当然熟悉不等于真正理解。
分形的确贴近人们的生活,因而由分形而来的分形艺术也并不遥远，普通人也能体验分形之美。
因为分形几何的迭代的原像一般不止一个，而且均为多映射迭代，为了叙述的方便，我们先作以下两个约定。
1.用（A，B，C）表示有顺序的两点A、B和C.2.(A,B,C)(D,E,F,),(G,H,I)表示A映射到D，B映射到D，C映射到F,然后添加映射A映射到G,B映射到H,C映射到I，如此类推。
【Sierpinski三角形】波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子，这些怪物常称作“谢氏地毯"、“谢氏三角”、“谢氏海绵”、“谢氏墓垛"。
如今，几乎任何一本讲分形的书都要提到这些例子。
它们不但有趣,而且有助于形象地理解分形。
著名的Sierpinski三角形，它是很有代表性的线性分形，具有严格的自相似特点。
不断连接等边三角形的中点，挖去中间新的小三角形进行分割——-随着分割不断进行Sierpinski三角形总面积趋于零，总长度趋于无穷。
Sierpinski三角形在力学上也有实用价值，Sierpinski 三角形结构节省材料，强度高，例如埃菲尔铁塔的结构与它就很相似。
【步骤】1.在平面上任意画一个三角形ABC,取三边中点为D、E、F，连接DEF.2.新建参数n＝33.顺次选择B，C,A三点和参数n，作深度迭代,(B,C,A)(D,F,A)⇒。
在几何画板中运用“迭代”构图的几个问题
在几何画板中运用“迭代”构图的几个问题在几何画板中，以“迭代”方式来构图是构图的重要的手段，特别是一些较为复杂的组合图案更是离不开“迭代”功能的运用；“迭代”构图要弄清以下几个方面问题：1.关于迭代迭代可以理解为是不停的代换的意思，简单点说“迭代”就是一种重复操作，将上一步的参数保持不变，再执行一次的意思. （“参数保持不变”在几何画板中可以形象的理解为图形的旋转角度、平移距离、放缩比例等等保持不变）. 迭代分为两种类型：第一种类型是简单迭代：先选中原象（通常是一个点或多个点，亦称原象点） → 然后变换 → 迭代 → 在迭代对话框中选取与原象点相对应的一组或多组映射点（初象点） → 最后按迭代按钮，即可得到固定迭代的图.默认的迭代次数是3次.（后面的图②③④都是简单迭代）第二种类型是深度迭代：按照设定参数确定迭代次数，不用进入迭代菜单，直接控制参数的增减就能控制迭代的深度（次数的多少）.①.构造方法：选中选择你要迭代的原象点、新建的参数按钮并按住Shift 键 → 然后点开“变换”菜单下的迭代自然显示为“深度迭代” → 点击打开“深度迭代”的对话框 → 点入对应的初象点 → 迭代.（见下面的截图①） ②.作用：简化重复作图过程，选定参数按钮后操作“+”、“-”号键可以控制作图重复次数的效果.选中参数按钮后按Shift 键，按“＋”号增加迭代，选中参数按钮直接按“-”号键减少迭代. 若把参数按钮设置动画可以自动增减.2.原象点的确立.原象：产生迭代序列的初始对象（起点的位置），通常称为“种子”.原象点的确定：第一次迭代的出发点为原象点，取决于绘制基本图形的起始条件，原象点必须是自由的点或自由路径上的点（主要不受其它路径控制的端点！“自由”是个关键词，即使在初始对象上任取在该路径活动的点都不算自由点）. 如：正方形ABCD 是由线段AB “变换”（这里是旋转）和“构造”方式得到的，所以线段AB 的端点A B 、可以作为原象点（见组图②）；而线段BC CD DA 、、 以因此其端点C D 、是不能作为迭代关系的原象点.又如选定B C 、后，点B 可以作为建立迭代关系的后原象点，而C 点不能作为原象点.即使在初始对象AB 用点的工具任意取一点都不能作为原象点.再次提醒直接用画板工具栏中的“工具”作出的自由的点或自由路径上的点（不受其它路径控制，比如起始线段的端点）才是原象点，而以别的图形为基础新建立的点不能作为原象点.①3.初象点的确立初象 ：原象经过一系列变换操作而得到的象（第二个点的位置），与原象是相对概念. 初象点的确定：第二次迭代的出发点为初象点，它是和原象点个数相同且相对应的一组点.对于初象点的确立，不管是“变换”、“构造”还是直接用工具作的点，只要以原象为基础的点都可以作为初象点.比如在正方形ABCD 的的边上任意一处取一个点都可以作为原象点对应的初象点（因为它是以正方形的边为基础），但在正方形ABCD 的边之外的空处随便取一个点就不能作为初象点，抓住关键词“以原象为基础作出来点.”注：通过操作发现作为“原象”线段若已经 “构造”和“变换”的第三点，此时选定原象线段的两个端点同时都可以作为初象点，也就是此时的“原象线段”两个端点具有“原象点”和“初象点”的双重特性.组图②：选定A B 、作为原象点，而边的中点E F 、 作为初象点来迭代构图.组图③：直接用线段工具构造出五边形ABCDE ,以线段FG 为长度依次在边上截取AH EI DJ CK BL ====；此时选定A B C D E 、、、、作为原象点，截取的得到点H I J K L 、、、、 作为初象点进行迭代构图.组图④：以线段AB 绕端点B 逆时针旋转108°得到线段AC ，再以取出连线段的中点E F 、 ,连结EF .以点B A 、为原象点，以A C 、为初象点迭代构图，不但可以构造一个正五边形，还可以把其中点五边形同时构造出来，残缺的边可用键盘“+”键补全.4.初象点是怎样把原象点 “迭代”构图的？②④③利用几何画板的“迭代”功能构图，关键是映射点（初象点）与原象点的“迭代”对应关系，在选择对应的初象点是要注意方向；“迭代”出来的图会显示出初象点把原象点的的特性进行重新操作.下面举例来加以说明：例1.已知线段AB ,以 A 为旋转中心逆时针旋转108°得到AC .⑪.若以点B 为原象点，点C 为初象点，则“迭代”出来的图形体现点C 会按点B 绕点A 逆时针旋转108°的特性重新操作,……，依次类推！.（见截图⑤） ⑫.若以点A 为原象点，点C 为初象点，则点C 会成了下一个旋转中心，……； “迭代”出来的图形，点C 会依次把点A 为旋转中心旋转108°的特性体现出来.（见截图⑥）⑬.若以点B A 、 为原象点，点A C 、分别对应为初象点，则点C 成了下一个旋转中心，则“迭代”出来的图形，会把线段AB 绕着点A 逆时针旋转108°得到AC 的特征在点C 处为旋转中心一一体现出来，后面迭代出来图形依然如此.（见截图⑦，因为默认迭代次数为3次，所以恰好为正五边形.）注：若在线段AB AC 、取点连线，会把“连线”同时进行“迭代”，也就是迭代会“映射”原象点和初象点为基础的整个图形，依次类推！如前面组图④的进行“迭代”操作时同时也把中点连成的线段作了“迭代”构造.例2.如图以初始线段AB 为初始线段构造一Rt ⊿ACB ,在斜边AD 任取一点D ；以A C 、为原象点，分别以D B 、 为初象点，会以边DB 对应边DE AB 所在的Rt ⊿ACB 及其填充色进行“迭代”，但迭代图形依次按DB 所占比例缩小 .（见组图⑧.最右边的图用键盘“+”键增加了迭代次数的，有点近似“勾股螺”图案.）⑤⑥C⑦⑧5.关于“添加新的映射”的问题.映射是高中数学的一个概念，是指按某种规则的两个集合中的集合A 的任何一个元素，在集合B 都有唯一的元素与之对应. 在几何画板中最先的从原象点到初象点可以理解为是第一次映射，初象点就是映射点；因此只要还有新的初象点，那么根据需要就可以继续添加新的的映射.下面我举例说明：例：画勾股树.⑪.画一条线段（见图⑨隐藏了字母标签），并且构造一个矩形，以一边（本例取起始线段的对边）为直径作一个半圆，在半圆上取两点，隐藏半圆和圆心点；进行第一次映射点的添加（操作和前面一样，见迭代对话框和图中标示）.⑫.添加新的映射：在图⑨的基础上→ 迭代对话框 → 结构 → 添加新的映射 → 在图中依次点选半圆上的两点入框（见迭代对话框和图⑩标示）. ⑬.继续添加新的映射：在图⑩的基础上 → 迭代对话框 → 结构 → 添加新的映射 → 在图中依次点选半圆上的两点入框（见迭代对话框和图⑪中的标示）.⑭.点击迭代完成构图.组图⑫的左图是最初成图，中图进行增加迭代次数、点的隐藏、颜色和形状姿态调整等等处理，右图进行颜色填充和色彩变化的处理等.上例可以看作画的三个迭代分支的勾股树.当然“添加新的映射”的次数和映射点对应的位置根据设计图案的需要而定，对应点构成的“基本图案”会在对应的⑨⑩映射点处呈现出来（前提是这些“基本图案”是由原象点为基础作出来的）.下面是其它一些迭代构图的效果图：注：昨天在几何画板上画的，比较漂亮！几何画板中的“迭代”构图在制作组合图案和动画制作确实有优势.郑宗平 2017.12.24。
几何画板讲义(一)
第六章初步认识参数1996年教育部全国中小学计算机教育研究中心推广“几何画板”软件，以几何画板软件为教学平台，开始组织“CAI在数学课堂中的应用”研究课题。
几年来，几何画板软件越来越多的在教学中得到应用。
它简单易学，功能强大。
几何画板动态探究数学问题的功能，使学生原本感到枯燥的数学变得形象生动，极大地调动了学生学习的积极性。
本文主要介绍如何在教学实践中运用几何画板参数的功能。
几何画板中的参数是不同于度量值和计算值的能够独立存在的一种数值，它的建立不依靠具体的对象。
使用参数可以进行计算、构造可控制的动态图形、建立动态的函数解析式、控制图形的变换、控制对象的颜色变化等等。
一、新建参数先让我们建立一个参数，运行几何画板后，单击【图表】菜单，选择【新建参数】命令后出现如图1的对话框，参数默认无单位，也可以建立带单位的参数。
单击确定后，在画板工作区便出现了参数，如图。
（说明：还可以通过【度量】/【计算】命令新建参数。
）二、控制参数值的改变参数建立后，如何对参数进行控制呢？常用的有以下三种方法。
方法1：选中工作区中的参数，通过按键盘上的“＋”或“－”键可以使参数值增加或减小。
方法2：双击工作区中的参数，打开【编辑参数】对话框（如图3），可以直接输入需要的参数值。
方法3：选中参数后，选择【编辑】菜单下的【操作类按钮】下拉菜单中的【动画】命令，打开参数的动画属性对话框(如图4)，根据需要进行相关设置。
单击确定后，在工作区中出现一个运动参数按钮，单击此按钮参数按设置进行变化。
三、教学实例1、用参数构造动态图形我们以构造一个用参数控制圆的缩放为例，说明如何用参数构造动态的图形。
在工作区中建立一个以cm为单位的参数R，然后（用画点工具）画出点O，选中参数R和点O，如（图8.1）。
选择【构造】菜单下的【以圆心和半径画圆】命令，画出⊙O，如（图8.2）。
这样构造的圆可以通过改变参数值控制圆的缩放。
用上面的方法1可以使圆的半径递增（减）；方法2可以直接输入想要的半径的值；如果用方法3制作一个运动参数的按钮后（可隐藏参数），单击按钮后，⊙O自动进行缩放，再次单击按钮，圆停止运动。
几何画板使用方法与技巧 深度迭代和参数颜色功能
A
B
AB = 2.96 厘米
2.选中线段AB和AB的度量值；
返回
主菜单
请单击
参数动态地改变颜色
A
B
AB = 2.96 厘米
3.单击菜单“显示”---“颜色”---“参数”选项 ；
请单击
返回
主菜单
参数动态地改变颜色
单击结 构/轨迹
A
B
AB = 2.96 厘米
动态演 示
4.选中线段AB和点A，执行“构造/轨迹”选项 ；
返回
主菜单
参数动态地改变颜色
A
B
AB = 2.96 厘米
1.画一个三角形, 取内部和点A、B，连接AB,并度量长度；
用一个甚至多个参数动态地改变颜色，使得色彩更加丰富， 演示效果更加动感
返回
主菜单
参数动态地改变颜色
A
B
AB = 2.96 厘米
2.选中线段AB和AB的度量值；
返回
主菜单
参数动态地改变颜色
返回
主菜单
万花筒
动态演 示
返回
主菜单
选取映象点
返回Βιβλιοθήκη 主菜单深度迭代功能
动态演示 1
最后按“迭代”按钮。即可得到动态迭代的像。选中参数n，按 “+”号键，增加迭代，按“-”号键，减少迭代。
返回
主菜单
迭代功能
迭代功能 迭代的两种方式：先绘制出一个“循环节”的图形(亦称原像)。 1）简单迭代：先选中原像一个点或多个点，然后执行〈变换/迭代〉命令，在 “迭代”对话框中选取与原像点相对应的一组（初像点）或多组映射点和迭代次 数，最后按“迭代”按钮。即可得到固定迭代的像。 2）深度迭代：新建一个参数n（取正整数），先选中原像一个点或多个点和参数 n，并按住Shift键，然后执行〈变换/深度迭代〉命令，在“迭代”对话框中选 取与原像点相对应的一组（初像点）或多组映射点，最后按“迭代”按钮。即可 得到动态迭代的像。选中参数n，按“+”号键，增加迭代，按“-”号键，减少迭 代。 原像点的确定：取决于绘制基本图形的起始条件，如用线段绘制正多边形，取第 一条边的两个端点为原像点；若用圆绘制正多边形，则取第一个顶点为原像点。 动态演示 2
几何画板的迭代功能(3讲)
《几何画板》新版中的迭代与带参数的迭代应用一、教学目标：知识与技能：理解几何画板中的迭代（Iterate）与带参数的迭代(Iterate To D epth)功能；过程与方法：通过构造分形图形、构造正多边形；构造ICME-7会徽、构造动态勾股定理、构造谢宾斯基三角形、定积分意义的动态演示、构造正弦线等实例，充分理解【变换】菜单下的【迭代】（带参数的迭代）功能。
情感、态度与价值观：培养对几何图形的审美意识和不断追求完美的精神，增强对数学前沿知识的追求意识。
二、教学过程：1．构造分形图案自然界中有许多物体和现象常是它们自身的多次重复，局部与它的整体以某种方式相似。
例如任意一棵大树上的一棵小树枝，它的形状与大树本身相似，这称为自相似性。
还有如海岸线、浮云的边界、波浪起伏的海面、流体的湍流、刚体内的裂缝、山地轮廓等，被经典几何学称为“病态”的被当作个别特例的不规则集被普遍地称为分形。
但这些不光滑曲线或曲面有时比传统几何图形能更好地描述许多自然现象。
1975年，美国的曼德布罗特(B.Manedlbrot)创立了分形几何学用以描述这类曲线，20世纪80年代中期分形几何学得以迅速发展，而今已成为本世纪各个领域中专家学者所注目的前沿焦点学科之一。
新版的《几何画板》中【变换】→迭代（或带参数的迭代）可以制作一些简单的分形图案。
下面就以几何画板4.04（或4.05）来辅于说明。
例1：制作Koch曲线（源文件）（1）画线段AB，以A为中心，缩放点B(固定比为13)，得到'B，把它改为C，再以B为中心，缩放点A，得到'A，把它改为D，隐藏线段AB；（2）双击C点（标记中心），选择点D，旋转60°，得到点E；（3）连接线段AC、CE、ED；（4）【图表】→[新建参数]t，把它的值该为2；（5）依次选择点A、B，t，按Shift键，，选择【变换】→[带参数的迭代]，弹出对话框如图1图1（6）依次选择A、C，按Ctrl＋A，增加一列（对应点），依次选择C、E，再按Ctrl＋A，又增加一列（对应点），依次选择E、D，再按Ctrl＋A，又增加一列（对应点），依次选择D、B，选择“显示”中的最终迭代，如图2所示，单击“迭代”；图2（7）选择参数t，按键盘上的“－”、“＋”可以得到不同迭代次数下的Koch曲线。
几何画板迭代详解之：函数迭代
几何画板迭代详解之：函数迭代佛山市南海区石门中学 谢辅炬【多项式432()f x ax bx cx dx e =++++求根】 【分析】多项式求根的迭代式是1()()n n n n f x x x f x +=-'。
【步骤】1. 新建参数a=-0.1,b=-0.1,c=1,d=2,e=-1，n ＝5。
2. 新建函数432()f x ax bx cx dx e =++++，画出它的图像。
3. 在图像上任取一点A ，度量A 的横坐标A x 。
4. 计算()()A A A f x x f x -'；计算()()()A A A f x f x f x -'。
5. 依次选择()()A A A f x x f x -'，()()()A A Af x f x f x -'单击【图表】【绘制点】。
得到点B 。
6. 度量B 的横坐标B x 。
7. 选中点A ，和参数n ，按住Shift 键，单击【变换】菜单【深度迭代】，弹出迭代对话框，单击点B 。
结果如图1所示。
图 1图 28. 选择迭代像，单击【变换】菜单【终点】，得到迭代的终点C ，度量C点的横坐标C x 。
9. 观察表格可知，显示方程的一个近似根是0.42。
10. 拖动A 点，改变它的位置。
观察表格可知道方程的另外一个近似根是3.41。
如图2所示。
【MIRA 】【步骤】1. 在平面上取一点A ，度量A 的横坐标A x 和纵坐标A y 。
2. 新建参数a ＝0.4，b=0，99875。
（b 取得尽量接近1）3. 新建函数22(1)()1a x f x ax x-=++。
4. 计算f(A x )＋b A y ,f(f(A x )＋b A y )-A x 。
注意这里用的是函数嵌套。
顺次选择这两个结果，单击【图表】【绘制（x ，y ）】。
得到点B 。
5. 顺次选择点B 和三个计算结果：f(A x )＋bA y ,f(f(A x )＋b A y )-A x ，A x 。
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5.1用参数的迭代研究数列 5.1.1画数列的图像例1：画d n a a n )1(1-+= 的图像 一、制作效果如图：选择表格（或者选择图像迭代得到的点），然后按小键盘上的“＋”或者“－”，可以增加或减少点的个数。
二、思路分析新建参数和函数后，计算出 和 ，然后依次选中它们绘制点，最后迭代参数n ，计算机就会自动画出其余的点。
因为这时构造数列的图像，一定要注意参数的初始值。
三、操作步骤1、新建函数和参数，结果如下图2、 计算函数值f （n+1）和参数值n+1，结果如上右图；3、 绘点（ n+1，f （n ＋1））4、 迭代：选中参数n ，单击【变换】菜单→迭代，出现对话框，单击绘图区的计算值“n ＋1＝1.00”，对话框中的“？”成为“n+1”。
（注意绘图区此时的变化）单击对话框的“迭代”按钮。
四、拓展研究1、构造结果的附属品表格如不想要，选中它，可以删除掉。
还可以在迭代时，单击迭代对话框的“结构”按钮，出现下拉菜单，把“生成迭代数据表”的“√”去掉，就不会出现表格了2、编辑函数，如（其中）可以得到任意您想要的数列的图像（不一定要求是等差数列，注意是“任意”）3、您还可以把这个课件作简单的修饰，如用圆的内部代替点，就是在操作步骤第三步绘制点后，再画一条线段，选中线段和点构造圆及圆内部，然后在迭代。
调整线段的长短可以控制圆的大小。
例2：已知递推公式画数列的图像（以数列，的图像为例）一、制作效果如图：选中参数k，改变它的值，就可以改变点的多少，同时可以看到数列第k项的值（随着k值的变化而变化）。
编辑函数可以得到不同递推数列的图像二、思路分析这里是用参数的计算值k－1控制迭代的次数，想一想为什么不用k的值来控制？数列的第k项，因为有第一项，只要迭代k－1次就行了。
想一想为什么要选用参数n和？仅用参数n的迭代行吗？数列的第k项的值实际上是迭代点的“终点”的纵坐标的值。
三、操作步骤1、新建函数和参数，（注意，初始值）结果如下图：2、计算函数值和参数值，结果如上3、绘制点（）和（）（想一想为什么要绘制两点，试试绘一个点，迭代后情形会如何）。
作一条线段并选中它和刚绘制的点做圆和圆的内部。
调整线段的长，使圆适当大小。
4、迭代依次选中“n”、“”和“k－1”，按住shift键，单击【变换】菜单→带参数的迭代，出现对话框（注意上面的提示文字），单击绘图区的“n＋1＝2”，“”后对话框变为下右图。
单击按钮“迭代”5、构造数列第k项。
选中迭代出来的点，单击菜单【变换】→终点。
（这时终点可能看不见，但处于选中状态）单击【度量】→纵坐标，得到终点的纵坐标，将其标签改为“”四、拓展研究对于一阶的递推数列（，），依样画葫芦，应该没问题。
但对两阶或两阶以上的，如，，，如何做，笔者目前不知道，欢迎您来http：//来讨论。
5.1.2数列的前n项和对于数列已知通项，我们希望不知道求和公式，而求出它前n项的和。
用电脑编程很容易实现，用几何画板也不难例数列的前n项和（以正奇数数列为例）一、制作效果：二、思路分析实现前n项和，是因为类似编程的思想构造了加法器（、），从而实现迭代数字的累加，注意其初始值为零三、操作步骤1、新建函数和参数，（注意初始值的设定）结果如下：2、计算函数值和参数，结果如上：3、绘制点（），任画一条线段并选中它及所绘的点构造圆及内部4、迭代依次选中“n”、“s”单击菜单【变换】→迭代，出现迭代对话框后，在依次单击绘图区的“”。
最后单击迭代面板上的按钮“迭代”5、构造选中迭代出来的点，单击菜单【变换】→终点。
（这时终点可能看不见，但处于选中状态）单击【度量】→纵坐标，得到终点的纵坐标，将其标签改为“”6、简单修饰按制作效果添加说明性文字适当调整对象的位置和迭代的次数。
四、拓展研究由求和构造的加法器（、），我们不难构造乘法器（、），实现迭代数字的连乘。
试一试：用几何画板计算n！（详见范例）制作的效果如下：5.2经典的几何构造5.2.1两圆的外公切线一、制作效果如图，无论是改变两圆的大小，还是圆心距，直线和圆的关系保持不变，即直线始终是两圆的外公切线。
二、思路分析我们在寻求外公切线的作法以前，先看看下图，是否能想起过圆外一个作圆的切线的的尺规作法以PO为直径作圆（先作线段OP的中点，找到圆心）→作两圆的交点C、D（这一步可省）→作直线PC、PD。
是不是很简单？然后看右图，是不是想起外公切线的尺规作图（其实质就是把两圆的外公切线转化为内公切线），想不起试着分析一下。
如果还不行的话，就看看下图：如果还不行的话，就看下面的操作步骤吧。
三、操作步骤1、任画两圆（A,D）（B，C）；2、度量两圆的半径，并计算它们的差3、以AB为直径画圆4、画圆（A，（半径⊙AD）－（半径⊙BC＝0.94厘米）），与以AB为直径画的圆交于E（其中一个交点）。
5、作直线BE；作直线（A，E）交圆（A,D）于F；6、作平行线（F，直线BE）7、作直线FG关于线段BA的对称直线四、拓展研究1、这样尺规作图外公切线的作法，有缺点，当⊙AD的半径小于半径⊙BC时，外公切线不见了（您知道为什么吗？），如何完善？如图：只要在大圆内重复上述步骤，就搞定了，具体如下(1)、计算两圆半径的差（注意是大圆半径减小圆半径）(2)、画圆（B，（半径⊙BC）－（半径⊙AD＝0.94厘米）），与以AB为直径画的圆交于I（其中一个交点）。
(3)、作直线(A,I)；作直线（B，I）交圆（B,C）于H；(4)、作平行线（H，直线AI）(5)、作已作切线关于线段BA的对称直线，即另一条切线。
如下图就算这样作，仍不完善，当两圆半径相等时，切线会不见了。
您能继续完善吗？（见文件）2、尺规作图得分三种情况（半径之间大于、小于、等于），有没有更简单的作法，有，下面讲一种非尺规作图的方法如上图，分析一下作法。
两圆半径固定，位置固定→确定∠BAF→确定F→确定G→确定一条切线→另一条切线。
具体步骤如下(1)、度量AB即圆心距；(2)、计算(3)、B点饶A为中心以计算结果（上图所示）为旋转角旋转得到(4)、作射线（A，）交圆AD于H；(5)、作平行线（B，射线AH），交圆BC于I(6)、作直线（H，I）即两圆的一条外公切线；(7)、作直线HI关于AB对称的直线，得到另一条切线。
试一试您能否作圆的内公切线（分别用代数构造和几何构造）5.2.2 和两圆都相切的圆心的轨迹一、制作结果如图：单击“动画”按钮，D点在圆周上运动，从而圆（C，D）的大小和位置不断发生改变，但始终和圆C1和圆C2相切，圆心C的轨迹是双曲线。
圆C1和圆C2的圆心和半径都能改变，轨迹也会改变，甚至不是双曲线，您想试试？二、思路分析如果按尺规作图的思路，和已知两圆相切要分为同时外切、内切、一内一外。
几何画板号称动态几何，其构造的思路会复杂吗？我们先来看其中一种情况：已知两圆和圆C2上任一点D，求作一圆和两已知圆都外切。
看看下图，是如何确定圆心C的？分析分析作图步骤三、操作步骤1、构造两已知圆的半径画一条水平直线AB，在直线上画三点C、D、E；隐藏点A、B。
→画线段（D，C）(D，E),并把线段DC和线段DE的标签分别改为R、r（想一想为什么在直线上画点，而不直接画线段）2、构造圆心画一条水平直线FG，隐藏点F、G→在直线上画点H、I（这两点就是已知圆的圆心）3、构造已知圆画圆（H，线段R）画圆（I，线段r）4、构造辅助圆画直线（I，J），其中J为圆I上任一点J→画圆（J，线段R）→画圆J和直线IJ的交点为L。
5、构造所求圆作线段（H，L）→作线段HL的中垂线→作直线IJ和中垂线的交点K→作圆（K，J）6、作轨迹（K，J）；7、作J点的动画8、隐藏辅助线，修饰课件。
四、拓展研究通过移动点C、E、H、I，改变两已知圆的大小和位置，我们惊喜的发现，这种构造方法，竟是一箭三雕－同外切；同内切；一外一内，尽在其中。
5.2.3 等长线段在坐标轴上的运动一、制作结果如图，单击“动画”按钮，线段的端点始终在坐标轴上运动，运动过程中线段保持等长。
二、思路分析我们先思考，构造哪一点运动，从而带动线段运动？如图，线段和坐标轴围成的是直角三角形，线段的长不变，即斜边的长不变，则斜边上的中线保持不变。
所以线段运动，其中点的轨迹是圆。
您不难想到下面的构造：画圆（A,H）→画半径（AG）→画圆（G,A）→画线段（E,F）。
（这实际上就是就是尺规作图：已知直角和中线作直角三角形）拖动G点到二、三、四象限，线段没有了。
此种构造不成功，我们换个思路构造直角三角形EAF，如上左图，只要能构造等腰三角形AGF，就能构造出直角三角形AEF。
想想如何构造△AGF？作垂线j（G,x轴）→点（A关于直线j的反射点）→射线（，G）→线段（，I）再拖动G点试试，成功！换个思路我们再思考，当我们看到直角三角形及斜边上中线的图形，熟悉初中几何教学的你不难想到“中线加倍”，如下图：当线段BD运动时，AC也运动且长度不变，则点C的轨迹是圆（点，线段AC）。
并且四边形ABCD 是矩形（为什么？），现在您知道如何构造等长线段在坐标轴上的运动了吗？如不明白，请看操作步骤。
三、操作步骤1、建立直角坐标系；2、画圆（A,E）3、画点C C为圆上任意一点；4、作垂线（点C，x轴，y轴）5、画线段（点B，点D）；6、作点C动画7、隐藏不必要对象。
四、拓展研究1）制作等长线段在坐标轴上的运动，这里讲了两种方法，可能还有其它方法，但几乎都不如这两种方法简洁。
2）坐标轴可用两条垂直的直线代替。
更妙的是第二种构造，坐标轴甚至可用两条相交直线代替。
第二种构造称为“刘天翼构造”，他是东北育才中学的学生的杰作。
用这个课件，可以进行很多研究，详见“求师德构造”。
5.2.4 动滑轮一、制作效果如图：是动滑轮的一个简化模型，绳长固定为L，绳的一端A固定，C点代表动滑轮，B点是绳子的另一端，可以自由移动，但只能在圆内移动（想一想，为什么？）移动过程中，线段AC和线段CB的长度和不变，即绳子的长不变，竖直线CD始终是∠ACB的平分线二、思路分析您不难想到这个思路：取点A（x1y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由AC+CB=L，得竖直线CD始终是∠ACB的平分线，则AC、BC的斜率互为相反数，可得因为为已知条件，您大概以为联立这两个方程，解出x3，y3，绘制点（x3，y3），就搞定了。
要解这样的方程组可不容易至今我没有解出来，不信您试试？我们换个思路，把这个图形当着光路图，AC当作入射光线，CB是反射光线，把这个图形补全，如下图：您现在知道如何构造这个图形吗？三、操作步骤：1）绘制控制绳长的线段画水平射线AC→画线段AB，点B为射线上一点2）画点G，点G是任一点→画圆（G，线段AB）3）画点D，点D是圆内任一点→画垂线（D，线段AB），与圆交于E点4）画线段（D，E）→画线段DE的中垂线；5）画线段（F，E）→线段FE与中垂线交于G点6）画线段（F，G）和（G，D）；7）隐藏不必要对象，修改标签和作简单修饰。