第七章光的量子性德布罗意波

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按照德布罗意假设，不仅电子，而且任何实物粒子也都 应该具有波动性。单粒子的质量越大，波长越短，实验 上越不容易观察。
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例题（例7.6）
试计算氦原子在0º C时，与其热运动的平均能量相 对应的德布罗意波长。 3 Ek kT 解：按照题意，氦原子的平均动能为： 2 在非相对论的情况下，氦原子的动能Ek与动量的 关系为： p2 p 2m Ek Ek 即 2m
这种波，既不是机械波，也不是电磁波，称为德布罗 意波或物质波。
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对于光，先发现波动图象（和），其后在量子论中补充 了它的粒子性（E和p）。
而对于实物粒子，则先建立了它的粒子性（E和p），再引 用德布罗意波的概念补充了它的波动性（和） 。 注意，所谓波动和粒子，实际上仍然都是经典物理学的 概念，后来的补充仅是形式上的。 因此，德布罗意的推想基本上是爱因斯坦1905年关于 光子的波粒二象性理论的推广，使之包括了所有的物 质微观粒子。
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出于以上考虑，德布罗意提出假设：实物粒子和光一 样，也具有波粒二象性。上述的能量、动量与频率、 波长之间的关系也同样成立。 所不同之处是实物粒子的静止质量不等于零，速度 也可以任意改变。 实物粒子的速度为，质量为m，动量为m，因而与 实物粒子联系着的波应该具有波长为：
h h p m
h 6.6 1027 cm 1g 1cm / s
质量越大或运动速度越大波长就越短。 因此，可能正是由于这种运动物体的波长是如此小，在 以往的力学中即使把它完全忽略去不计，也没有什么显 著影响。
就好像几何光学所研究的是波长趋近于零的极限情况 一样，忽略了波动性不会引起重大偏差。
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但是，对于微观粒子（电子、质子等）由于它们的质 量是非常小，情况就不一样了。
E h
p
h

这种二象性是一切物质（包括实物和场）所共有 的特性。
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关于粒子和波的统一性，可以通过电子和光子的衍射 实验来认识。在电子衍射实验中，如果入射电子流的 强度很大，即单位时间内有许多电子穿过晶体，则照 相底片上立即出现衍射图样。 如果入射电子流的强度很小，在整个衍射过程中，电 子几乎是一个一个地穿过晶体，则照相底片上就出现 一个一个的感光点。这些感光点在照相底片上的位置 并不是重合在一起。 开始时，它们毫无规则地散布着，但随着时间的延长， 感光点数目逐渐增多，它们在照相底片上的分布最终 形成衍射图样。
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另外，与光子相联系的波是电磁波，和电子相联系的 波是物质波；这两种波分别可决定它们在空间分布的 概率。从波动的观点来看，它们同样是波。
但是，光子和电子还是有区别的。例如光在真空中 的传播速度只有一个；而电子可以有小于光速的任 何速度；在质量方面，电子有静止质量，而光子的 静止质量为零。 光子和电子也有一些内部联系。近代已发现约为千 分之一纳米的光子（射线）在强电场中可以转化为 正负电子对；高速运动的电子也可以向外辐射具有 连续谱的光波。
§7.7 德布罗意波
光的干涉、衍射、偏振等现象证明了光的波动性；而黑体 辐射、光电效应和康普顿效应等现象则显示出光的粒子性。 光的粒子性质，可用光子能量E和动量P来表征；光的波 动性质，则用频率和波长来描述。并且两者之间具有 如下关系: h h 2 p
E mc h
c

1924年，法国物理学家德布罗意(L. de Broglie ,1892-1987) 推想，自然界在许多 方面是对称的，光既然具有波粒二象性， 实物粒子也应该具有波粒二象性。
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X射线衍射实验原来是X射线波动性的最直接的证据。 1927年戴维孙（Dvission）和革末（Germer）用电子做了 类似的实验。证实了德布罗意的假设，德布罗意因此于 1929年获得诺贝尔物理学奖。戴维孙也因其成功的电子衍 射实验获1937年诺贝尔物理学奖。
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电子衍射实验装置如图所 D B 示。电子从灯丝K飞出， K G 经过加速电场，再经过一 0 组小孔称为一组平行的电 子射线。 电子射线射到晶体上，反射后进入接收器B，由电流计G测 出电流。 如果电子射线具有波动性，德布罗意假设正确，那么也应该 有干涉最大和最小值出现。设晶格常数d，波长和掠射角0 之间也应符合布拉格公式： 2d sin j
这种统计的观点统一了粒子和波动的概念。一方面 光和实物粒子具有集中的能量、质量、动量，也就 是具有粒子性；另一方面，它们在各处的出现，各 有一定的概率，由此可以算出它们的空间分布，这 种空间分布又与波动的概念一致。 前面的分析表明了物质波粒二象性的统计关系。但 必须注意，电子或光子等微观客体既不是经典的波， 也不是经典的粒子。很难用经典物理学的概念来完 全描述。
例如：电子的运动通常是用电场来控制的。在加速电 压V不大、质量还可以认为不随速度而变的情况下，电 子的速度可由下式决定:
1 m 2 eV 2 h h p m
可得

h 2emV
2eV m
150 10 cm V
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当加速电压为150V时，＝0.1nm和x射线的波长有相同 的数量级。 如果电子的速度很大，则上式不能应用，还必须考虑到 狭义相对论中质量与速度的关系。
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同样，在光子衍射实验中，如果入射光子流的强度很大， 则照相底片上立即出现光子衍射图样。如果入射光子流的 强度很小，开始时，则照相底片上记录了无规则分布的感 光点，但当照相底片受长时间照射后，就会有完全相同的 衍射图样出现。
由此可见，每个电子或光子被晶体衍射的现象和其他电 子或光子无关。也就是说，衍射图样不是电子或光子之 间的相互作用而形成的，而是电子或光子本身具有波动 性的结果，这波动性反映了电子或光子运动轨迹的不确 定性。
它表明，当我们考察每个电子或光子运动时，电子或光子 没有确定的轨迹。当考察组成电子或光子束的全部电子或 光子时，电子或光子的运动就表现出规律性，这种规律与 用波动理论计算的结果相一致。
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电子或光子的波动性和粒子性可以用统计的观点来建立 联系。
在实验中电子或光子的衍射表现为许多电子或光子在同 一实验中的统计结果，或者表现为一个电子或光子在许 多次相同的实验中统计的结果。 因此从统计的观点来看，大量电子或光子被晶体衍射与它 的一个一个地被晶体衍射之间的差别，仅在于前一实验是 对空间的统计平均；后一实验是对时间的统计平均。
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这些现象说明，光子和电子之间具有深刻的联系， 有的用经典理论无法作出解释，有些问题还需要 进一步的去探讨。
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作业 (Page：327)
• （1）题7.13 • （2）题7.14
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复习要点 1.课后作业，ppt习题，重要公式的 推导过程，课本重要概念和作图。 2.分数重点在第一章到第五章。 3.课本打“*”的内容不考试。 4.第六章和第七章(两个简答题)。 5.考试要记住的公式(按作业要求)。 6.试卷要用“签字笔”答题。 7.自带科学计算器，尺子等工具。 8.注意：看清楚考试题目的“数据”
在前一种情况下，如果说在某些地方从空间上看，电子 或光子出现得稠密些，那么在后一种情况下，就是在这 些地方从时间上看，电子或光子出现得频繁些(概率高)。
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因此我们可以从统计的观点把波粒二象性联系起来， 从而得出：
波在某一时刻，在空间某点的强度（振幅绝对值的平 方）就是该时刻在该位置找到粒子的几率。
I
1
2
3
4
5
6
7
8
V
0 5 10 15 20 25
最大值的周期性很明显。箭头指示是由布拉格公式计算的 最大值的位置，j＝1到8，j值越大，符合的就越好。
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X射线穿过细晶体粉末或很薄的金属箔（可看成小晶体的集 合）时，可以观察到衍射条纹。用电子射线代替X射线进行 同样的实验，也得到了典型的衍射图样。如图。
将上式代入下式：
h h h h 0.076nm p m 2m Ek 3m kT
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§7.8 波粒二象性
由理论和实验所得到的结果表明，无论是静止质量为零 的光子，还是静止质量不为零的电子、质子、原子等等 实物粒子，都同时具有波动性和粒子性，也就是具有波 粒二象性。 描述粒子特征的物理量－能量E和动量p，与描述波动特 征的物理量－频率和波长之间存在如下关系：
0
上式可知， 应小于2d； 又不宜过小于d。如果晶体是
镍，镍的晶格常数d＝2.05×10-8cm，由下式可得，加速电 压最好在10～500V之间。 150 8
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Vห้องสมุดไป่ตู้
cm
7
2d sin 0 j
由上式可见，如果改变0或 ，可以观察到不同级次的极 大值。但是电子射线必须在真空中行进，而在真空中转动 晶体困难较大，故实验时维持掠射角0不变，而连续改变 加速电压V，即改变波长 。 如图，镍的单晶体在一定掠射角下得到的电流I随加速电 压的平方根V1/2（反比于波长）而变化的实验曲线。
德布罗意的假设在当时是一个非常大胆的设想，是否正 确，还要由实践进行检验。干涉、衍射是波动性质的特 有表现。如果实物粒子具有波动性，在一定的条件下， 也应该发生衍射现象。
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为了证实粒子具有波动性，先估算一下实物粒子波长的 数量级，看一下实现衍射所需要的条件。
对质量为1g，速度为1cm/s的物体来说，它的波长为：