K3.06-离散系统状态方程的建立
状态方程的建立一路状态方程的列写二由输入输出方
解 选状态变量 x1(t) = iL(t), x2(t) = uC(t)
iR2 uS2
L
C
(t)+R x (t)+x (t) = u x
1 1 1 2
S1(t)
x 2(t) + iR2(t) = x1(t)
1 (t ) L x 1 x 2 (t ) C
yangtzenormaluniversity物理学及电子信息工程系第八章系统的状态变量分析81状态变量与状态方程一状态变量与状态方程二动态方程的一般形式82状态方程的建立一电路状态方程的列写二由输入输出方程建立状态方程83离散系统状态方程的建立84连续系统状态方程的解85离散系统状态方程的解yangtzenormaluniversity物理学及电子信息工程系第八章系统的状态变量分析前面的分析方法称为外部法它强调用系统的输入输出之间的关系来描述系统的特性
物理学及电子信息工程系
第八章
系统的状态变量分析
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
例：电路如图，以电阻R1上的电压uR1和电阻R2上的电流iR2为输出，列写电路的状态方程和输 出方程。
R1 u R1 (t ) i (t ) 0 R2
0 0 u a (t ) 0 x ( t ) 1 s1 1 1 x2 (t ) 0 R u s 2 (t ) R2 2
y1 c11 x1 c12 x 2 c1n x n d11 f1 d12 f 2 d1 p f p y 2 c 21 x1 c 22 x 2 c 2n x n d 21 f1 d 22 f 2 d 2 p f p y q c q1 x1 c q 2 x 2 c qn x n d q1 f1 d q 2 f 2 d qp f p
离散时间系统状态方程和输出方程的求解
2
5
0
D
0 0
q[0]
2 3
x[k] u[k]
离散系统的状态方程和输出方程的时域求解
离散系统的状态方程为：
q[k +1] Aq[k] Bx[k]
在给定系统的初始状态q[k0]后，可直接用迭代法进行求解。
q[k0 1] Aq[k0] Bx[k0] q[k0 2] Aq[k0 1] Bx[k0 1]
2
5 q1[k]
0
q2 [k ]
系统状态变量的初始状态及系统输入为：
q1[0] q2[0]
2
3
x[k] u[k]
在时域求解该系统的状态变量和输出。
离散系统的状态方程和输出方程的时域求解
解：状态方程和输出方程写成矩阵形式：
q[k +1] Aq[k] Bx[k]
在z域求解该系统的完全响应。
离散系统的状态方程和输出方程的z域求解
解：状态方程和输出方程写成矩阵形式：
离散系统的状态方程和输出方程的时域求解
[例] 已知描述某离散系统的状态方程和输出方程为
q1[k q2[k
1] 1]
0
1
6
1
5
q1[k ] q2 [k ]
0 1
x[k ]
6
y1[k ] y2 [k ]
1
zq[0]
[C (
zI
A)1
B
D]X
(
z)
Yzi (z)
Yzs ( z)
然后再对Q(z)和Y(z)进行z反变换即可得到q[k]和y[k]。
离散系统的状态空间表达式
（1）连续系统：用微分方程来表示，采用拉 普拉斯变换传递函数进行分析。
离散系统：用差分方程来描述，用Z变 换脉冲传递函数进行分析。
因此，离散系统的状态空间表达式可通过差 分方程或脉冲传递函数。
（2）离散系统的信号采用数字形式，输入和 输出都是脉冲序列或数字序列。计算机控制 系统属离散系统。
试写出其状态方程和输出方程 。
解：
x1 (k 1) 0
1
0 x1(k) 0
x2
(k
1)
0
0
1
x
2
(k
)
0
u(k)
x3 (k 1) 6 5 2x3 (k) 1
x1(k)
y(k) x(k) 1
0
0x2 (k)
x3 (k )
例1.10 已知 y(k+3)+2y(k+2)+5y(k+1) +6y(k)=3u(k+2)+2u(k+1)+6u(k)
脉冲传递函数：
G(z)
Y (z) u(z)
bmzm bm1zm1 b1z b0 zn an1zn1 a1z a0
二 、状态方程的建立
1、由差分方程
设T=1 输入仅有(kT)项，b0=1 整个方程可以写为： y(k+n)+an-1y（k+n-1)+……+a0y（k）=u（k） 设x1(k)=y(k) x2(k)=y(k+1)=x1(k+1) x3(k)=y(k+2)=x2(k+1) ……
xn(k)=y(k+n-1)=xn-1(k+1) xn(k+1)=y(k+n)=-a0 x1(k)-a1 x2(k)-
离散系统的数学模型
2326.4 离散系统的数学模型为研究离散系统的性能，需要建立离散系统的数学模型。
线性离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种。
本节主要介绍差分方程及其解法，脉冲传递函数的定义，以及求开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的方法。
有关离散状态空表达式及其求解，将在第8章介绍。
6.4.1 线性常系数差分方程及其解法对于线性定常离散系统，k 时刻的输出)(k c ，不但与k 时刻的输入)(k r 有关，而且与k 时刻以前的输入 ),2(),1(--k r k r 有关，同时还与k 时刻以前的输出 ),2(),1(--k c k c 有关。
这种关系一般可以用n 阶后向差分方程来描述，即∑∑==-+--=mj jni i j k r bi k c a k c 01)()()( (6-34)式中，i a ，i =1，2，…，n 和j b ，j ＝0，1，…，m 为常系数，n m ≤。
式(6-34)称为n 阶线性常系数差分方程。
线性定常离散系统也可以用n 阶前向差分方程来描述,即∑∑==-++-+-=+mj jni i j m k r bi n k c a n k c 01)()()( (6-35)工程上求解常系数差分方程通常采用迭代法和z 变换法。
1. 迭代法若已知差分方程式(6-34)或式(6-35)，并且给定输出序列的初值，则可以利用递推关系，在计算机上通过迭代一步一步地算出输出序列。
例6-10 已知二阶差分方程)2(6)1(5)()(---+=k c k c k r k c输入序列1)(=k r ，初始条件为1)1(,0)0(==c c ，试用迭代法求输出序列)(k c ， ,5,4,3,2,1,0=k 。
解 根据初始条件及递推关系，得0)0(=c 1)1(=c6)0(6)1(5)2()2(=-+=c c r c 25)1(6)2(5)3()3(=-+=c c r c 90)2(6)3(5)4()4(=-+=c c r c301)3(6)4(5)5()5(=-+=c c r c2. z 变换法233设差分方程如式(6-34)所示，对差分方程两端取z 变换，并利用z 变换的实数位移定理，得到以z 为变量的代数方程，然后对代数方程的解)(z C 取z 反变换，可求得输出序列)(k c 。
(第8讲)离散系统状态方程及解
X ( z ) ( zI G ) 1 zx(0) HU ( z )
25 17 z z0.2 22 z z0.8 18 z z 1 9 176 z 88 7 z z 30 z 0.2 45 z 0.8 18 z 1
Φ(t ) Φ(t, 0) eAt
Φ(t, t0 ) Φ(t t0 ) e
A(t t0 )
Φ1 (t ) Φ(t )
Φ(t1 t2 ) Φ(t1 )Φ(t2 ) Φ(t2 )Φ(t1 )
Φ(t2 , t1 )Φ(t1 , tt ) u (nT ) t nT t (n 1)T , A( t nT ) x(t ) e x(nT ) e A(t )bu* ( )d nT ( n 1)T AT x[(n 1)T ] e x(nT ) e A( nT T )bu* ( )d
25 17 (0.2) k 22 (0.8) k 18 9 x(k ) 176 7 (0.2) k 88 (0.8) k 18 45 30
tgq77@
Symbolic Math Toolbox of MATLAB
已知系统x(n 1) Gx(n) Hu(n), 求状态方程的解。其中 1 0 1 1 G , H 1, x(0) 1, u (n ) 1, n 1,2, 0.16 1
零输入响应自由响应零状态响应强迫响应tgq77126com状态转移矩阵就是将系统由一个状态转移到另外一个状态即制理论上叫状态转移矩数学上叫矩阵指数控tgq77126com信号在时间上不连续的信号叫离散信号
Modern Control Theory
现代控制理论离散系统
精选ppt
考虑初始条件为零时的z变换关系有
Z[ y(k)] Y (z)
Z[ y(k i)] zY (z)
对式两端取z变换加以整理，可得
G(z)
Y (z) U (z)
bnz n bn zn an
1z n1 b1z b0 1z n1 a1z a0
其解为
x(k
)
G
k
x(0)
G k 1
k
1i
Hu(i)
i0
y(k
)
CG
k
x(0)
C
G k 1
k
1i
Hu(i)
Du(k
)
i0
精选ppt
不失一般性，可将动态方程简化为
x(k 1) Gx(k), y(k) Gx(k)
对应的解为
x(k) Gk x(0), y(k) CGk x(0)
将y(k)写成展开式
bn
zn
n1z n1 1z 0
an1z n1 a1z
a0
bn
N(z) D(z)
精选ppt
在N(z)/D(z)的串联分解中引入中间变量Q(z)
u
1
zn
a z n1 n1
a1z
a0
z
n1zn1 1z 0
y
精选ppt
可以得到
znQ(z) an1zn1Q(z) a1zQ(z) a0Q(z) U (z)
Y (z) n1zn1Q(z) 1Q(z) 0Q(z) 设 X1(z) Q(z)
X 2 (z) zQ(z) zX1(z) X n (z) z n Q 1 (z) zX n1(z)
信号与系统王明泉第八章习题解答
第8章 系统分析的状态变量法8.1 学习要求（1）了解状态变量、状态、初始状态、状态空间、状态方程、输出方程、系统方程等概念及内涵；（2）能根据系统结构图、微分方程、差分方程、转移函数、系统框图，正确的选择状态变量，列出系统的状态方程和输出方程，并写成标准矩阵形式；（3）能采用时域方程和变换域方法求解系统状态方程和输出方程； （4）能根据状态方程和输出方程画出系统的框图。
8.2 本章重点（1）连续系统状态方程和输出方程的建立与求解；8.4 本章的内容摘要8.4.1状态方程的建立状态方程是描述系统的状态变量之间及其与激励之间关系的一阶微分方程，而输出方程是用状态变量和激励(有时还可能有激励的某些导数)表示的函数关系式。
（1）连续时间系统状态方程的建立通常，标准形式的状态方程为 )()()(t t t f x x B A +=•系统输出方程的标准形式为 )()()(t t t f x D C y +=式中)(t •x 表示状态变量的一阶导数，)(t f 是与外加信号有关的项，A 、B 、C 和D 为常数矩阵。
直接法：利用系统实际结构及系统所遵循的物理规律直接列出方程的方法。
间接法：根据已知的输入输出方程、系统框图或系统函数列写状态方程的方法。
（2）离散时间系统状态方程的建立对于一个有p 个输入和q 个输出的离散系统，如有k 个状态变量，其状态方程的一般形式为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++)()()()()()()1()1()1(212122221112112121222211121121n f n f n f b b b b b b b b b n x n x n x a a a a a a a a a n x n x n x p kp k k p p k kk k k k k k输出方程的一般形式为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡)()()()()()()()()(212122221112112121222211121121n f n f n f d d d d d d d d d n x n x n x c c c c c c c c c n y n y n y p qp q q p p k qk q q k k q可简写为)()()1(n n n f x x B A +=+ )()()n n n f x D C y(+=式中C B A 、、和D 是常数矩阵。
6.2 离散系统状态空间模型的建立
教学模块6 基于状态空间模型的极点配置设计方法教学单元2 离散系统状态空间函数模型的建立离散系统状态空间模型差分方程连续系统状态空间模型脉冲传递函数建立被控对象离散状态空间模型的方法：•由连续系统状态空间模型求取•由差分方程求取•由脉冲传递函数求取2.1 由连续状态空间模型建立离散状态空间模型()()()()()t A t B t t C t =+⎧⎨=⎩x x u y x （1）设连续控制对象的模型可用如下的状态空间表达式描述：其中设x 为n 维状态向量，u 为m 维控制向量，y 为r 维输出向量。
设在连续的对象前面有零阶保持器，即()() (1)t k kT t k T=≤<+u u （2）将控制对象与保持器一起进行离散化处理，得到离散系统模型。
对式（1）求解：()()()t A t B t -=xx u 两边同乘，得到Ate-(()())()AtAtet A t e B t ---=x x u 由于(()())[()]At Atd e t A t e t dt---=x x x 于是[()]()AtAt d e t e B t dt--=x u 两边积分，有：00[()]()tt A A t t d e d e B d d τττττττ--=⎰⎰x u 其中00000[()] [()]() ()()tt t A A A t t t At At d e d d e e d e t e t ττττττττ-----===-⎰⎰x x x x x (a)(c)因此，有：0()()()tAt AtA t et et eB d τττ---=+⎰x x u 两边同乘，有：00()()0()()()tA t t A t t t et eB d τττ--=+⎰x x u Ate （3）令，由（2）式，即考虑零阶保持器，得T k t kT t )1( ,0+==(1)()(1)()()k TATA kT T kTk e k e d B k ττ++-⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦⎰x x u （4）()() (1)t k kT t k T=≤<+u u令，（4）式化为：(1)()()k F k G k +=+x x u （5）τ-+=T kT t 其中⎰==TAt ATdtBe G eF 0,（6）式（1）中，输出方程的离散形式为：()()k C k =y x （7）故连续模型等效离散状态空间表达式为：(1)()()()()k F k G k k C k +=+⎧⎨=⎩x x u y x （8）矩阵指数及其积分的计算⎰==TAtATdtBe G e F 0,拉氏变换法可以证明：11()At e L sI A --=-因此，求F 、G 的步骤如下：（1）求得的逆矩阵（2）取其拉氏反变换，获得（3）求F 和G)(A sI -1)(--A sI Ate （9）（10）幂级数计算法At e 的幂指数形式为!3!23322 ++++=t A t A At I eAt令!4!3!243322++++==⎰TA T A AT IT dt e H TAt（11）（12）于是22332232!3! 2!3! ATTAtA T A TF e I AT AT A TI A IT I A e dt I AH==++++⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭=+=+⎰()0TAt G e dt B HB==⎰（13）（14）!4!3!243322++++==⎰T A T A AT IT dt e H TAt例2.1设连续系统的状态空间模型为求其离散化状态空间模型。
信号与系统第八章系统的状态变量分析
X(s)
H(s)
Y(s)
看出简单的方框图，变成流图形式是用一有始有终的 线段表示。起始点标为X(s),终点标为Y(s).
4、流图中的名词
结点：表示系统中变量或信号的点。 线段（支路）：两个结点之间的定向线段，表示信 号传输的路径。 箭头：表示信号的传输方向；
转移函数： 两个结点之间的增益称为转移函数，标 注在箭头附近。
三状态方程引入??t??????t????1111lldrdtddlll0ietit????????????????????????????????????????????????????????????状态方程?在状态空间分析方法中将状态方程以矢量和矩阵形式表示
第八章 系统的 状态变量分析
本章的主要内容
有二种方法。第一种方法：把所有输入支路增益除以 -G H （1+G2H2）
1 2
1 G2 H 2
X
H1 H 2 1 G2 H 2
1
X2 X3
-G3
X5 X4 H4 -G 4
1
H3
Y
另一种方法是把输出支路增益除以（1+G2H2）。
这两种方法等同。
H1 H 2
-G1 H 2 -G3
1
X2
X5 X4 H4 -G 4
H1 H 2 H 3 H 4 (1+G 2 H 2 ) (1+G3 H 3 )
1
X
Y
G4H 4 1+G3 H 3
并联环路增益相加。
H1 H 2 H 3 H 4 (1+G 2 H 2 ) (1+G3 H 3 ) -G1 H 2 H 3 H 4 G4 H 4 (1 G2 H 2 ) (1 G2 H 2 )(1 G3 H 3 )
3 离散系统分析基础
由Z变换的定义得到
F z f kT z K f 0 f T z 1 f 2T z 2 f 3T z 3
k 0
由上式可以看出采样函数 f * t 的Z变换F z 与采样函数在采 样点的值有关，所以当知道F z 时，便可求得时间序列 f kT
(一)、部分分式法
部分分式法求取Z反变换的过程跟用部分分式法求取拉氏 反变换的过程十分相似。 设有
F z b0 z m b1 z m 1 bm a0 z Pi
i 1 n
展开成
F z z
Ai i 1 z P i
n
F z Ai z Pi z z pi
部分分式法常用的Z变换对如下表
F z
z z 1 1 za
z
f kT
1
ak 1
0 k≥1 k≤0
z za
a
2
k
z a
ka k 1
用部分分式法求Z反变换可以得到脉冲序列或数值序列的 数学解析式
(二)、长除法
将 F z 用长除法展开成Z的降幂级数，再根据Z变换的定 义，可以得到 f kT 的前若干项。 设
其中 n≥m
在初始静止条件下，也可以写成
y KT bi r KT iT ai y KT iT
i 0 i 1 m n
其Z变换形式 Y z bi R z z aiY z z i
i i 0 i 1
m
n
可以用Z变换求解差分方程，使得差分运算变成了代数运 算，大大简化了系统的分析和综合。
对差分方程进行Z变换，并代入初始条件 求得 y z 的表达式 做 y z 解的反变换
状态方程离散化方法
状态方程离散化方法状态方程离散化是个挺有趣的事儿呢。
那什么是状态方程离散化呀？简单来说，就像是把一个连续的故事按照一页一页的方式记录下来。
在连续的状态方程里，变量是随时间连续变化的，就像水流一样不间断。
而离散化呢，就是把这个连续的过程切成一小段一小段的，就像把一长条面包切成一片片的。
常见的离散化方法有好几种哦。
比如说欧拉法，这个方法就像是一个很老实的小伙伴，它是用一种比较简单直接的方式去近似。
就好比你要估算从家到学校的路程，你就简单地按照当前的速度一直走，不考虑路上速度可能会有小变化。
这种方法简单，但是有时候不是特别精确啦。
还有龙格 - 库塔法，这个就像是一个聪明的小机灵鬼。
它会多考虑几步，不只是看当前的状态，还会看看周围的情况来调整。
就像你去学校，你不仅看现在的速度，还会考虑到前面是不是有个小坡会减慢速度，或者有没有什么捷径可以加快速度。
这种方法就比欧拉法要精确一些。
离散化状态方程在很多地方都超级有用哦。
在计算机模拟里，计算机可不能处理那种连续不断的变化，就像电脑不能理解水流到底是怎么连续流动的每一个瞬间。
但是我们把状态方程离散化之后呢，电脑就能明白啦，就像给电脑讲了一个它能听懂的故事。
在控制工程里也很有用，就像是给控制系统制定了一个一个小目标，让系统一步一步地达到我们想要的状态。
不过离散化也不是完美无缺的啦。
有时候切得太粗糙了，就像面包片切得太厚，得到的结果就会和实际情况差很多。
所以要根据具体的情况去选择合适的离散化方法，就像挑选合适的鞋子一样，要找到最适合的那个。
总之呢，状态方程离散化是一个很实用又很有意思的东西，它就像一把神奇的小钥匙，能打开很多科学和工程领域的大门呢。
第五节 离散时间系统状态方程的建立
⋅
二、离散时间系统状态方程的求解
1、时域法
n − 1 n −1 − i n λ ( n ) = A λ (0 ) u (n) + ∑ A B ∗ x ( i ) u ( n − i ) 14243 i = 0 14444244443 零输入解
b)
d m值 有 重 根 （ m 阶 α 1）
α =α1
( i − 1) ! c α i − m =∑ ( i − m )! i −1 1 i=m
d2 若 m = 2, 则 为 ： 2 α j α =α1 = j ( j − 1)α 1j − 2 dα = 2 c 2 + 3 × 2 c3α 1 + L + ( k − 1)( k − 2) c k −1α 1k − 3
举例12-11 举例
表示成矩阵形式为： 状态方程为: λ1 ( n + 1) a1 = λ 2 ( n + 1) 0 输出方程为： y1 ( n ) a1 = y2 ( n ) 0 0 λ1 ( n ) 1 λ n + 0 a2 2 ( ) 0 x1 ( n ) x n 1 2 ( )
离散时间系统状态方程的求解
（2）Z域求法
A n =z-1 ( zI − A) −1 z = z-1 ( I − z −1 A) −1
a) A特征 值不同（ α i）
α i j = c0 + c1α i + L + c k −1α i k −1 b ) A特 征 值 有 重 根 （ m 阶 α 1） k ( i − 1) ! c α i − m d m −1 j α =∑ m −1 dα ( i − m )! i −1 1 i=m α =α
K3.04 连续系统状态方程的建立—由框图、流图
(2) 状态方程：
x1 x2
x2 a0
x1
a1x2
f
(3) 输出方程： y b0 x1 b1x2 b2 (a0 x1 a1x2 f ) (b0 a0b2 )x1 (b1 a1b2 )x2 f
(4) 矩阵形式：状态来自程： x1 x2
连续系统状态方程的建立-由框图/流图
知识点K3.04
连续系统状态方程的建立-由框图/流图
主要内容：
1.由框图/流图建立连续系统状态方程的方法 2.利用Matlab建立状态方程
基本要求：
掌握由框图/流图方程建立连续系统状态方程/输出方程的方法
1
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
状态方程：
x1 x2
5 1
10 0
x1
x2
1 0
f
输出方程：
y 0
1
x1 x2
%运行可得 A=
-5 -10 10 B= 1 0 C= 01 D= 0
5
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
例2 已知系统函数为
H (s)
1
s2 5s 10
利用Matlab建立系统的状态空间方程。
4
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
连续系统状态方程的建立-利用Matlab
解：% 详见扩展资源F8001 b = [0 0 1]; a = [1 5 10]; [A,B,C,D]=tf2ss(b,a)
《自动控制原理》线性定常离散系统状态方程的建立及求解
向量－矩阵形式为
x1 (k + 1) 0 1 0 0 x1 (k) 0
x2 (k
+ 1)
0
0
1
0
x2 (k)
0
= 0 0 0 0 + u(k)
xn−1
(k
+
1)
0
0
0
1
x
n−1
(k
)
0
xn (k + 1) − a0 − a1 − a2 − an−1 xn (k) 1
量和输入量：ai ,bi (i = 0,1,2,, n且an = 1) 为表征系统特性的常系
数。考虑初始条件为零时的z变换关系有
[ y(k)] = Y (z), [ y(k + i)] = ziY (z)
对式(9—87)两端取z变换并加以整理可得
G(z)
=
Y (z) U (z)
=
bn z n + bn−1 z n−1 + + b1 z + b0 z n + an−1 z n−1 + + a1 z + a0
（9－95）
三、线性定常离散动态方程的解
求解离散动态方程的方法友递推法和z变换法，这里只介绍常
用的递推法，对z变换法感兴趣的读者可参阅有关书籍。下面以解
离散化状态方程为例来说明如何使用递推法求解。令式（9－93）
中的k = 0,1,, k −1可得到 T,2T,, kT 时刻的状态，即
k = 0 : x(1) = (T )x(0) + G(T )u(0)
=
bn
+
z n−1 n−1
+
离散时间系统状态方程的建立
ZT 1[C(zI A)1 B D]
x(n)
H(z)
Y (z)
C(zI
A)1 B D
X (z)
Hrm (z) Crk (zI A)k1k Bkm Drm
9
二、用状态变量法分析离散系统举例
例12 16 求图示离散系统的系统 函数H12 (z).
输出方程
:
yr1(n)
Crk
k 1 (n)
Drm
xm1(n)
2
状态方程
:
k 1 (n
1)
Akk k1 (n)
Bkm
xm1
(n)
输出方程
:
yr1(n)
Crk k1 (n)
Drm
xm1
(n)
延时单元
z 1
状态变量
3
例12 11 给定离散系统的方框图 ,列出系统的状态方程 .
选延时器的输出为状态变量
12.4 离散时间系统状态方程的建立
k个状态变
1(n 1) a111(n)量 a122 (n) a1kk (n) m个输入信
b11x1(n) b12 x2 (n) b1m xm (n)
号
2 (n 1) a211(n) a222 (n) a2kk (n)
b21x1(n) b22 x2 (n) b2m xm (n)
k (n 1) ak11(n) ak22 (n) akkk (n)
bk1x1(n) bk 2 x2 (n) bkmxm (n)
状态方程
:
k 1 (n
1)
Akk k1 (n)
Bkm
xm1
(n)
1
离散时间系统的输出方程
K3.02 连续系统状态方程的建立—由RLC电路
5
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
连续系统状态方程的建立-由RLC电路
状态变量: x1 iL1, x2 iL2 , x3 uC
输出变量:
y1 uL2 , y2 uab
列输出方程：
x1 iL1, x2 iL2 , x3 uC
输出变量:
y1 uL2 , y2 uab
列状态方程:
第一步:关于 L1x1, L2x2 (电感电压)列KVL方程：
L1x1 uL1 f1 x3 R(x1 x2 ) f2 Rx1 Rx2 x3 f1 f2
y1
y2
uL2 uab
L2 x2 Rx1 Rx2 x3 f2 ic R f2 Rx1 Rx2 f2
矩阵形式：
y1
y
2
R R
R R
1 0
x1 x2 x3
0 0
1 f1
(1) iL1 、iL2 (2) iL1 、iL3 (3) iL2 、iL3 为状态变量
3
(1)uc、iL1 (2)uc、iL2 为状态变量
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
连续系统状态方程的建立-由RLC电路
（2）直观编写法步骤:
例2
状态变量:
L2 x2 uL2 x3 R(x1 x2 ) f2 Rx1 Rx2 x3 f2
第二步:关于 Cx3 (电容电流)列KCL方程：
Cx3 iC x1 x2
K3.06-离散系统状态方程的建立
K3.06 离散系统状态方程的建立 例1 已知系统方程如下，列状态方程和输出方程。
y(k) a1 y(k 1) a0 y(k 2) bf (k)
解：(1) 状态变量选择：
令 x1(k) y(k 2) , x2 (k) y(k 1)
(2) 状态方程：
x1 (k x2 (k
1) 1)
x2
(k
1)
a0
x1
(k
)
a1x2
(k
)
bf
(k
)
(3) 输出方程：
y(k) x1(k)
4
离散系统状态方程的建立 例3：已知系统方程如下，列状态方程和输出方程。
y(k 2) a1 y(k 1) a0 y(k) b2 f (k 2) b1 f (k 1) b0 f (k)
解： (1)状态变量的选择：
a1
x1(k) x2 (k)
b
f
(k)
3
离散系统状态方程的建立
例2：已知系统方程如下，列系统状态方程和输出方程。
y(k 2) a1 y(k 1) a0 y(k) bf (k)
解： (1)
状态变量选择：
令 x1(k) y(k) , x2 (k) y(k 1)
(2) 状态方程：
x1(k 1) x2 (k)
x2 (k) a0 x1
(k
)
a1x2
(k
)
bf
(k
)
(3) 输出方程：
y(k) a0 x1(k) a1x2 (k) bf (k)
2
离散系统状态方程的建立 (4) 矩阵形式：
状态方程：
x1(k 1) x2 (k 1)
0 a0
1 a1
第7章系统状态变量分析(离散部分)
【例7-4-2】已知离散时间系统的系统函数为
H (z) 8 z 10 z 15
2
z 5 z 12 z 7
3 2
试求该系统的状态方程与输出方程。
解：将
H (z)
写成包含延时器的形式，即
H (z) Y (z) X (z) 8z
1
10 z
1
2
15 z
2
3 3
离散时间系统状态方程的求解包括时域和变换域求解两种方法。 时域求解适用于计算机迭代计算，变换域求解适用于人工计算。
7.5.1 离散时间系统状态方程的时域解法 离散时间系统的状态方程为
λ ( n 1) A λ ( n ) B x ( n )
状态变量 λ ( n ) 可用迭代法求解
λ ( n ) A λ (0 ) u ( n ) [ A
输出方程为
y 1 ( n ) c1 1 1 ( n ) c1 2 2 ( n ) c1 k ( n ) k ( n ) d 1 1 x1 ( n ) d 1 2 x 2 ( n ) d 1 p x p ( n ) y 2 ( n ) c 2 1 1 ( n ) c 2 2 2 ( n ) c 2 k ( n ) k ( n ) d 2 1 x1 ( n ) d 2 2 x 2 ( n ) d 2 p x p ( n ) y q ( n ) c q 1 1 ( n ) c q 2 2 ( n ) c q k ( n ) k ( n ) d q 1 x1 ( n ) d q 2 x 2 ( n ) d q p x p ( n )
状态方程和输出方程也可表示成矢量方程，即 状态方程表示为： 输出方程表示为： 其中，
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a1
x1(k) x2 (k)
b
f
(k)
3
离散系统状态方程的建立
例2：已知系统方程如下，列系统状态方程和输出方程。
y(k 2) a1 y(k 1) a0 y(k) bf (k)
解： (1)
状态变量选择：
令 x1(k) y(k) , x2 (k) y(k 1)
(2) 状态方程：
x1(k 1) x2 (k)
知识点K3.06
离散系统状态方程的建立
离散系统状态方程的建立
主要内容：
1. 由差分方程建立离散系统状态方程的方法 2. 由框图流图建立离散系统状态放的方法
基本要求：
1. 掌握由差分方程建立离散系统状态方程/输出方程的方法 2. 掌握由框图流图建立离散系统状态方程/输出方程的方法
1
离散系统状态方程的建立
1) 1)
x2 (k) a0 x1
(k
)
a1
x2
(k
)
f
(k)
(3) 输出方程：
y(k) b2q(k 2) b1q(k 1) b0q(k) b2[a0x1(k) a1x2 (k) f (k)] b1x2 (k) b0x1(k) (b0 a0b2 )x1(k) (b1 a1b2 )x2 (k) b2 f (k )
引入 q(k)： q(k 2) a1q(k 1) a0q(k) f (k)
代入原系统差分方程，可得： y(k) b2q(k 2) b1q(k 1) b0q(k) 令 x1(k) q(k) , x2 (k) q(k 1)
5
离散系统状态方程的建立
(2) 状态方程：
x1 (k x2 (k
6
离散系统状态方程的建立
例4 系统框图、流图如图，列状态方程和输出方程。
F(z) +
∑ +
+
b2
z-1
x2 (k)
a1 a0
b1 z-1 x1(k ) b0
+ + Y(z)
∑ +
F(z) 1
b2 b1
z 1
z 1
b0
a1 x2 (k ) x1(k) a0
1 Y(z)
解：(1)选状态变量：选差分器输出为状态变量，如图；
K3.06 离散系统状态方程的建立 例1 已知系统方程如下，列状态方程和输出方程。
y(k) a1 y(k 1) a0 y(k 2) bf (k)
解：(1) 状态变量选择：
令 x1(k) y(k 2) , x2 (k) y(k 1)
(2) 状态方程：
x1 (k x2 (k
1) 1)
7
离散系统状态方程的建立
(2) 状态方程：
x1(k 1) x2 (k)
x2
(k
1)
a0x1(k)
a1x2 (k)
f
(k)
(3) 输出方程：
y(k) b0 x1(k) b1x2 (k) b2[a0x1(k ) a1x2 (k ) f (k )]
(b0 a0b2 )x1(k ) (b1 a1b2 )x2 (k ) b2 f (k )
x2 (k) a0 x1
(k
)
a1x2
(k
)
bf
(k
)
(3) 输出方程：
y(k) a0 x1(k) a1x2 (k) bf (k)
2
离散系统状态方程的建立 (4) 矩阵形式：
状态方程：
x1(k 1) x2 (k 1)
0 a0
1 a1
x1(k) x2 (k)
0 b
f
(k)
输出方程：
y(k) a0
x2
(k
1)
a0
x1
(k
)
a1x2
(k
)
bf
(k
)
(3) 输出方程：
y(k) x1(k)
4
离散系统状态方程的建立 例3：已知系统方程如下，列状态方程和输出方程。
y(k 2) a1 y(k 1) a0 y(k) b2 f (k 2) b1 f (k 1) b0 f (k)
解： (1)状态变量的选择：
(4) 矩阵形式：
x1(k x2 (k
1) 1)
0 a0
1
a1
x1(k)
x2
(k
)
0 1
f
(k)
y(k) b0 a0b2
b1
a1b2
x1(k) x2 (k)
பைடு நூலகம்
b2
f
(k
)
8