二次函数与相似
二次函数及相似形知识点
第一部分二次函数知识点总体把握✧ 相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． ✧ 二次函数各种形式之间的变换二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.✧ 二次函数解析式的表示方法一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数2ax y =的性质✧ 二次函数2y ax c =+的性质✧ 二次函数y a x h =-的性质：✧ 二次函数()2y a x h k =-+的性质✧ 抛物线2y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2bx a=-.特别地，y 轴记作直线0=x . 顶点坐标坐标：），（ab ac a b 4422--顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. ✧ 抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,与函数图像的关系二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴当0a >时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵当0a <时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大 小．一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 总结：常数项c⑴当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． ✧ 求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. ✧ 用待定系数法求二次函数的解析式一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. 顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. ✧ 直线与抛物线的交点y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0,c ).与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.平行于x 轴的直线与抛物线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 2y kx ny ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a ac b a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121✧ 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．✧ 二次函数图象的平移平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．✧ 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形
2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形1.在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为C，直线y＝1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果△PBC与△BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；（3）将∠CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线平移，使平移后的抛物线C2经过点A （﹣3，0），B（1，0），与y轴的交点为E．（1）求抛物线C2的函数解析式；（2）点P（m，n）（﹣3＜m＜0）是抛物线C2上的动点，设四边形OAPE的面积为S，求S与m的函数关系式，并求四边形OAPE的面积的最大值；（3）若y＝x2与平移后的抛物线对称轴交于D点，在抛物线C2的对称轴上，是否存在一点M，使得以M，O，D为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．3．如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣1与x轴，y轴的交点分别为A、B，以x＝﹣1为对称轴的抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于点A、C，直线x＝﹣1与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）在线段AB上是否存在一点P，使以A，D，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）若点Q在第三象限内，且tan∠AQD＝2，线段CQ是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．4．已知直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、C，抛物线y＝﹣+bx+c过点A、C，且与x轴交于另一点B，在第一象限的抛物线上任取一点D，分别连接CD、AD，作DE⊥AC于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）求△ACD面积的最大值；（3）若△CED与△COB相似，求点D的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与坐标轴分别交于A、B两点，抛物线y ＝﹣x2+bx+c过A、B两点，点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）求△ABE面积的最大值．（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求出点D坐标；若不存在，说明理由．6．如图，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴相交于点C．（1）求该函数的表达式；（2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为点Q，连接PC．①求线段PQ的最大值；②若以点P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．7．如图所示，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴分别交于A、B两点，交y轴于点C，（1）求cos∠CAO的值；（2）求直线AC的函数关系式；（3）如果有动点P是y轴上，且△OP A与△OAC相似，求P点坐标．8．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），与y轴相交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC的面积最大时，求点E 的坐标，并求出四边形ABEC的最大面积；（3）若点M在抛物线上，且在y轴的右侧．⊙M与y轴相切，切点为D．以C，D，M 为顶点的三角形与△AOC相似，求点M的坐标．9．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．10．如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、点C，与y轴交于点B（0，﹣5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标，并求出△ABP周长的最小值；（3）在线段AC上是否存在点E，使以C、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似？若存在写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．11．已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为C（1，﹣2），直线y＝kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（3，0），B点在y轴上．点P为线段AB 上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于x轴的直线与这个二次函数的图象交于点E．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设点P的横坐标为x，求线段PE的长（用含x的代数式表示）；（3）点D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点P、E、D为顶点的三角形与△AOB相似，请求出P点的坐标．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点M，连接AC．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线对称轴上存在一点H，连接AH、CH，当△AHC周长最小时，求此时点H 坐标．（3）设对称轴与x轴交于点E，在对称轴上是否存在点G，使以B、E、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+8与x轴相交于A，B两点，与y 轴相交于点C，OA＝4，OB＝2，点D是抛物线上一动点，且在y轴的左侧，连接AD，BC，AC，CD．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线m：y＝kx+8（不经过点B），同时与x轴和y轴相交，若直线m与x轴和y轴围成的三角形与△BCO相似，求k的值；（3）连接OD，若△ACD的面积是△ABC的面积的时，求△DOC的面积．14．如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+1与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点E是直线BC上一动点，求出△ADE周长的最小值；（3）点P，M分别是抛物线和直线BC上的动点，是否存在以P，M，C为顶点的三角形与△AOC相似．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，点A（0，2），B（1，0），连接AB并将线段AB绕点B顺时针旋转90°，点A 转到点C处．一抛物线经过C、B两点，与x轴交于另一点D（3.5，0）．（1）求点C的坐标和抛物线的解析式．（2）在BC上方抛物线上是否存在一点P，使得四边形PBDC的面积最大？若存在，求出P的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由．（3）连接CD，①求证：CD∥AB；②直线CD上是否存在一点M，使得△MBC与△AOB相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，且4CO＝2BO＝OA＝4，点D是线段AB 上的动点，过点D作DF⊥x轴，交x轴于点F，交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D的坐标是多少时，DE最长，最长是多少？（3）当DE最长时，在直线DE上是否存在点P，使得以P、A、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．17．已知抛物线与直线AC相交于A、C两点，且A（﹣2，0）、C（4，3）．（1）填空：b＝，c＝；（2）长度为的线段DE在线段AC上移动，点G与点F在上述抛物线上，且线段DG 与EF始终平行于y轴．①连接FG，求四边形DEFG的面积的最大值，并求出对应点D的坐标；②CH⊥AB，垂足为点H，线段DE在移动的过程中，是否存在点D，使△DEG与△ACH相似？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，试说明理由．18．如图1，抛物线y＝ax2+bx+4的顶点为（1，），抛物线交x轴于A，B两点（A在B 的左边），交y轴于C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，沿射线AC方向平移抛物线y＝ax2+bx+4，分别记A、C两点的对应点为E、F，在平移过程中，是否存在以A，E，B为顶点的三角形与△ABF相似，若存在，请求出此时平移后的E的横坐标；若不存在，请简要说明理由；（3）如图3，点N在y轴负半轴上，点A绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M处，且∠ANM+∠ACM＝180°，求N点坐标．19．如图，二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）（a＞0）的图象与x轴交于点A，B（A在B的左边），与y轴交于点C，点P是二次函数图象上一动点．（1）若点C的坐标为（0，﹣3），求二次函数及直线BC的函数关系式．（2）如图①，在（1）的条件下，若点P在第四象限，过P作PQ∥AC，交直线BC于点Q，求线段PQ长的最大值．（3）如图②，若点P在第一象限，且△ABP有△ABC相似，求点P的坐标．20．如图，若抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，与y轴相交于点C，直线y＝﹣x+3经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线位于第二象限上的一点，连接BP交线段AC于点Q，若△AQB与△AOC相似，求点P的坐标；（3）若点D为抛物线位于第一象限上的一点，过点D作x轴的垂线，垂足为F，直线DF交直线BC于点E，若△CDE为等腰三角形，请直接写出点D的坐标．参考答案：1．【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式中可得：a的值，从而得抛物线的解析式，配方得顶点C的坐标；（2）根据∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不为1，所以只能△CBP∽△DBC，列比例式可得BP的长，从而得点P的坐标；（3）连接AC，过E作EH⊥BD于H，先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，由等角三角函数得tan∠ABC＝tan∠EBD＝＝，设EH＝m，则BH＝2m，表示E（2m，m+1），代入抛物线的解析式，可得结论．【解答】解：（1）∵点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，∴A（3，0），把A（3，0）代入抛物线y＝ax2﹣4ax+3中得：0＝9a﹣12a+3，∴a＝1，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴C（2，﹣1）；（2）当y＝1时，x2﹣4x+3＝1，解得：x1＝2﹣，x2＝2+，由题意得：D（2+，1），∵B（0，1），C（2，﹣1），∴BC＝＝2，BD＝2+，∵∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不为1，只能△CBP∽△DBC，∴，即，∴BP＝8﹣4，∴P（0，4﹣7）；（3）连接AC，过E作EH⊥BD于H，由旋转得：∠CBD＝∠ABE，∴∠EBD＝∠ABC，∵AB2＝32+12＝10，BC2＝22+22＝8，AC2＝12+12＝2，∴AB2＝BC2+AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴tan∠ABC＝＝，∴tan∠EBD＝＝，设EH＝m，则BH＝2m，∴E（2m，m+1），∵点E在抛物线上，∴（2m）2﹣4×2m+3＝m+1，4m2﹣9m+2＝0，解得：m1＝2，m2＝（舍），∴E（4，3）．2．【分析】（1）设抛物线C2的函数解析式为y＝x2+bx+c，把A、B的坐标代入上式，即可求解；（2）S＝S△OAP+S△OEP＝（﹣m2﹣2m+3）+×3（﹣m）即可求解；（3）分、，两种情况分别求解即可．【解答】解：（1）设抛物线C2的函数解析式为y＝x2+bx+c，把A、B的坐标代入得，解得：，故抛物线C2的函数解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）连接OP，作PH⊥x轴，作PQ⊥y轴，把P（m，n）代入y＝x2+2x﹣3得n＝m2+2m ﹣3，由抛物线y＝x2+2x﹣3得：点E（0，﹣3），则S＝S△OAP+S△OEP＝（﹣m2﹣2m+3）+×3（﹣m）＝﹣（m+）2+，所以四边形OAPE的面积最大值是；（3）由y＝x2+2x﹣3得对称轴是直线x＝﹣1，所以D（﹣1，1），则DF＝OF＝1，则△DOF为等腰直角三角形，∴∠DOF＝∠ODF＝45°，OD＝，BD＝，∠BOD＝135°，∴点M只能在点D上方，∵∠BOD＝∠ODM＝135°，∴当时，以M、O、D为顶点的三角形与△BOD相似．①，则解得DM＝2，此时点M坐标为（﹣1，3）；②若，则解得DM＝1，此时点M坐标为（﹣1，2）；综上，点M坐标为（﹣1，3）或（﹣1，2）．3．【分析】（1）利用对称性和待定系数法求函数关系式；（2）分类讨论三角形相似情况即可；（3）由已知，满足条件的Q点在以A、D、F（﹣1，﹣1）的圆E在第三象限的部分，连接CE交圆于Q，则CQ最小．【解答】解：（1）由已知，点A坐标为（﹣3，0）∵直线x＝﹣1为对称轴∴点C坐标为（1，0）∴抛物线解析式为：y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3（2）存在由已知点D坐标为（﹣1，0）设点P的横坐标为（a，﹣a﹣1）当△AOB∽△ADP时∴a＝﹣1点P坐标为（﹣1，）当△AOB∽△APD时过点P作PE⊥x轴于点E则△APE∽△APDE∴PE2＝AE•ED∴（﹣a﹣1）2＝（a+3）（﹣a﹣1）解得a1＝﹣3（舍去），a2＝﹣∴点P坐标为（﹣，﹣）（3）存在，CQ最小值为如图，取点F（﹣1，﹣1），过点ADF作圆，则点E（﹣2，﹣）为圆心．∵tan∠AFD＝2∴（A、D除外）上的点都是满足条件的Q点．连CE交⊙E于点Q，则CQ为满足条件的最小值此时CE＝，⊙E半径为∴CQ最小值为4．【分析】（1）根据题意求得点A、C的坐标，将它们分别代入函数解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值；（2）如图1，过点D作DG⊥x轴于点G，交AC于点F．利用三角形的面积公式得到二次函数关系式，由二次函数最值的求法解答；（3）需要分类讨论：①当∠DCE＝∠BCO时，∠DCE＝∠OAC；②当∠DCE＝∠CBO 时，∠DCE＝∠OCA．根据相似三角形的对应边成比例求得相关线段的长度，从而得到点D的坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、C，∴A（4，0），C（0，2），OA＝4，OC＝2，（1分）将A（4，0），C（0，2）分别代入y＝﹣+bx+c中，解得，∴y＝﹣+x+2；（2）如图1，过点D作DG⊥x轴于点G，交AC于点F，设D（t，﹣t2+t+2），其中0＜t＜4，则F（t，﹣t+2）∴DF＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2tS△ACD＝S△CDF+S△ADF＝DF•OG+DF•AG＝DF•（OG+AG）＝DF•OA＝×4×（﹣t2+2t）＝﹣（t﹣2）2+4．∴当t＝2时，S△ACD最大＝4．（3）设y＝0，则﹣t2+t+2＝0，解得x1＝4，x2＝﹣1，∴B（﹣1，0），OB＝1∵tan∠OCB＝＝，tan∠OAC＝＝＝∴∠OCB＝∠OAC∴∠OCA＝∠OBC；①当∠DCE＝∠BCO时，∠DCE＝∠OAC，∴CD∥OA，点D的纵坐标与点C纵坐标相等，令y＝2，则﹣t2+t+2＝2，解得x1＝0，x2＝3，∴D1（3，2）；②如图2，当∠DCE＝∠CBO时，∠DCE＝∠OCA，将△OCA沿AC翻折得△MCA，点O的对称点为点M，过点M作MH⊥y轴于点H，AN⊥MH于点N，则CM＝CO＝2，AM＝AO＝4，设HM＝m，MN＝HN﹣HM＝OA﹣HM＝4﹣m，由∠AMC＝∠AOC＝∠ANM＝∠MHC＝90°易证△CHM∽△MNA，且相似比＝，∴AN＝2MH＝2m，CH＝MN＝2﹣m，在Rt△CMH中，由勾股定理得：m2+（2﹣m）2＝22，解得m1＝0，m2＝∴MH＝，OH＝，M（，）．设直线CM的表达式为y＝kx+n，则，解得，∴y＝x+2，由解得，∴D2（，）综上所述，点D的坐标为D1（3，2）、D2（，）．5．【分析】（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则点E坐标为（m，﹣m2﹣3m+4），从而得出OC＝﹣m、OF＝﹣m2﹣3m+4、BF＝﹣m2﹣3m，根据S△ABE＝S梯形AOFE﹣S△AOB﹣S△BEF 得出S＝﹣2（m+2）2+8，据此可得答案；（3）由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形．分两种情况讨论，要点是求出点E的坐标，由于点E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数．【解答】解：（1）在直线解析式y＝x+4中，令x＝0，得y＝4；令y＝0，得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，4）．∵点A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，∴，解得：b＝﹣3，c＝4，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4．（2）如图，连接AE、过点E作EF⊥y轴于点F，设点C坐标为（m，0）（m＜0），则点E坐标为（m，﹣m2﹣3m+4），则OC＝﹣m，OF＝﹣m2﹣3m+4，∵OA＝OB＝4，∴BF＝﹣m2﹣3m，则S△ABE＝S梯形AOFE﹣S△AOB﹣S△BEF＝×（﹣m+4）（﹣m2﹣3m+4）﹣×4×4﹣×（﹣m）×（﹣m2﹣3m）．＝﹣2m2﹣8m＝﹣2（m+2）2+8，∵﹣4＜m＜0，∴当m＝﹣2时，S取得最大值，最大值为8．即△ABE面积的最大值为8．（3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC＝﹣m，CD＝AC＝4+m，BD＝OC＝﹣m，则D（m，4+m）．∵△ACD为等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似∴△DBE必为等腰直角三角形．i）若∠BED＝90°，则BE＝DE，∵BE＝OC＝﹣m，∴DE＝BE＝﹣m，∴CE＝4+m﹣m＝4，∴E（m，4）．∵点E在抛物线y＝﹣x2﹣3x+4上，∴4＝﹣m2﹣3m+4，解得m＝0（不合题意，舍去）或m＝﹣3，∴D（﹣3，1）；ii）若∠EBD＝90°，则BE＝BD＝﹣m，在等腰直角三角形EBD中，DE＝BD＝﹣2m，∴CE＝4+m﹣2m＝4﹣m，∴E（m，4﹣m）．∵点E在抛物线y＝﹣x2﹣3x+4上，∴4﹣m＝﹣m2﹣3m+4，解得m＝0（不合题意，舍去）或m＝﹣2，∴D（﹣2，2）．综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（﹣3，1）或（﹣2，2）．6．【分析】（1）设交点式y＝a（x+1）（x﹣4），再展开可得到﹣4a＝2，解得a＝﹣，然后写出抛物线解析式；（2）①作PN⊥x轴于N，交BC于M，如图，先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+2，设P（t，﹣t2+t+2），则M（t，﹣t+2），用t表示出PM＝﹣t2+2t，再证明△PQM∽△BOC，利用相似比得到PQ＝﹣t2+t，然后利用二次函数的性质解决问题；②讨论：当∠PCQ＝∠OBC时，△PCQ∽△ABC，PC∥x轴，利用对称性可确定此时P点坐标；当∠CPQ＝∠OBC时，△CPQ∽△ABC，则∠CPQ＝∠MPQ，所以△PCM为等腰三角形，则PC＝PM，利用两点间的距离公式得到t2+（﹣t2+t+2﹣2）2＝（﹣t2+2t）2，然后解方程求出t得到此时P点坐标．【解答】解：（1）抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），即y＝ax2﹣3ax﹣4a，则﹣4a＝2，解得a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）①作PN⊥x轴于N，交BC于M，如图，BC＝＝2，当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，则C（0，2），设直线BC的解析式为y＝mx+n，把C（0，2），B（4，0）得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，设P（t，﹣t2+t+2），则M（t，﹣t+2），∴PM＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t，∵∠NBM＝∠NPQ，∴△PQM∽△BOC，∴＝，即PQ＝，∴PQ＝﹣t2+t＝﹣（t﹣2）2+，∴当t＝2时，线段PQ的最大值为；②当∠PCQ＝∠ABC时，△PCQ∽△ABC，此时PC∥OB，点P和点C关于直线x＝对称，∴此时P点坐标为（3，2）；当∠CPQ＝∠OBC时，△CPQ∽△ABC，∵∠OBC＝∠NPQ，∴∠CPQ＝∠MPQ，而PQ⊥CM，∴△PCM为等腰三角形，∴PC＝PM，∴t2+（﹣t2+t+2﹣2）2＝（﹣t2+2t）2，解得t＝，此时P点坐标为（，），综上所述，满足条件的P点坐标为（3，2）或（，）．7．【分析】（1）根据抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴分别交于A、B两点，交y轴于点C，可以求得A、B、C三点的坐标，从而可以求得OA、OC、AC的长，进而可以得到cos∠CAO 的值；（2）根据点A、C两点的坐标，可以求得直线AC的函数关系式；（3）根据第三问的条件，可知符合要求的三角形OP A存在三种情况，然后分别画出相应的图形，即可求得点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴分别交于A、B两点，交y轴于点C，∴x2﹣4x+3＝0，得x＝1或x＝3，x＝0时，y＝3，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴OA＝1，OC＝3，∴，∴cos∠CAO＝；（2）设直线AC的解析式为：y＝kx+b，∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，3），∴解得k＝﹣3，b＝3．即直线AC的解析式为：y＝﹣3x+3；（3）如果有动点P是y轴上，且△OP A与△OAC相似，则有如下三种情况，第一种情况如下图1所示，当∠OP A＝∠OCA，∠AOC＝∠AOP时，△OP A∽△OAC，∴，∵点C的坐标为（0，3），∴OP＝OC＝3，∴点P的坐标为（0，﹣3）；第二种情况如下图2所示，点P位于y轴正半轴，当∠OP A＝∠OAC，∠AOC＝∠AOP时，△OP A∽△OAC，∴，∵点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（1，0），∴OA＝1，OC＝3，即点P的坐标为（0，）；第三种情况如下图3所示，点P位于y轴负半轴，当∠OP A＝∠OAC，∠AOC＝∠AOP时，△OP A∽△OAC，∴，∵点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（1，0），∴OA＝1，OC＝3，∴，即点P的坐标为（0，﹣）．由上可得，点P的坐标为：（0，﹣3），（0，），（0，﹣）．8．【分析】（1）根据题意把点A（﹣1，0），B（2，0）代入二次函数解析式，得到b和c 的二元一次方程组，求出b和c的值即可；（2）设E（a，b），且a＞0，b＞0，首先用a和b表示出S四边形ABEC，再结合点E在二次函数的图象上，得到S四边形ABEC＝﹣a2+2a+3，即可求解；（3）首先画出图形，以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，得到，或，根据n的取值范围求出m的值即可．【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0），B（2，0），∴，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2．（2）如图1．∵二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2与y轴相交于点C，∴C（0，2）．设E（a，b），且a＞0，b＞0．∵A（﹣1，0），B（2，0），∴OA＝1，OB＝2，OC＝2．则S四边形ABEC＝＝1+a+b，∵点E（a，b）是第一象限的抛物线上的一个动点，∴b＝﹣a2+a+2，∴S四边形ABEC＝﹣a2+2a+3＝﹣（a﹣1）2+4，当a＝1时，b＝2，∴当四边形ABEC的面积最大时，点E的坐标为（1，2），且四边形ABEC的最大面积为4．（3）如图2．设M（m，n），且m＞0．∵点M在二次函数的图象上，∴n＝﹣m2+m+2．∵⊙M与y轴相切，切点为D，∴∠MDC＝90°．∵以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，∴，或．①当n＞2时，或，解得m1＝0（舍去），m2＝，或m3＝0（舍去），m4＝﹣1（舍去）．②同理可得，当n＜2时，m1＝0（舍去），m2＝，或m3＝0（舍去），m4＝3．综上，满足条件的点M的坐标为（，），（，），（3，﹣4）．9．【分析】（1）把点A、B的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后判断出平行于AC的直线与二次函数图象只有一个交点时△ACP的面积最大，再联立直线与二次函数解析式，消掉y，利用根的判别式Δ＝0时方程只有一个根求解即可；（3）设点E的横坐标为c，表示出BE、QE，然后根据相似三角形对应边成比例，分OA 和BE，OA和QE是对应边两种情况列出比例式求解即可．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，∴，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；（2）令x＝0，则y＝2，∴点C（0，2），设直线AC的解析式为y＝kx+m（k≠0），则，解得，∴直线AC的解析式为y＝x+2，由三角形的面积可知，平行于AC的直线与二次函数图象只有一个交点时△ACP的面积最大，此时设过点P的直线为y＝x+n，联立，消掉y得，﹣x2﹣x+2＝x+n，整理得，2x2+6x﹣6+3n＝0，△＝62﹣4×2×（﹣6+3n）＝0，解得n＝，此时x1＝x2＝﹣＝﹣，y＝×（﹣）+＝，∴点P（﹣，）时，△ACP的面积最大；（3）存在点Q（﹣2，2）或（﹣，）使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC 相似．理由如下：设点E的横坐标为c，则点Q的坐标为（c，﹣c2﹣c+2），BE＝1﹣c，①OA和BE是对应边时，∵△BEQ∽△AOC，∴＝，即＝，整理得，c2+c﹣2＝0，解得c1＝﹣2，c2＝1（舍去），此时，﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2＝2，点Q（﹣2，2）；②OA和QE是对应边时，∵△QEB∽△AOC，∴＝，即＝，整理得，4c2﹣c﹣3＝0，解得c1＝﹣，c2＝1（舍去），此时，﹣×（﹣）2﹣×（﹣）+2＝，点Q（﹣，），综上所述，存在点Q（﹣2，2）或（﹣，）使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似．10．【分析】（1）利用A（﹣1，0）、点B（0，﹣5）代入解析式求出即可；（2）利用轴对称图形的性质得出P点位置，进而得出直线BC的解析式，进而求出P点坐标；（3）利用相似三角形的性质利用对应边不同分别得出E点坐标即可．【解答】解：（1）根据题意，得，解得，故二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣5；（2）令y＝0，得二次函数y＝x2﹣4x﹣5的图象与x轴的另一个交点坐标C（5，0）．由于P是对称轴x＝2上一点，连接AB，由于AB＝＝，要使△ABP的周长最小，只要P A+PB最小．由于点A与点C关于对称轴x＝2对称，连接BC交对称轴于点P，则P A+PB＝BP+PC＝BC，根据两点之间，线段最短，可得P A+PB的最小值为BC＝5，故△ABP的周长最小值为：+5．因为BC与对称轴x＝2的交点P就是所求的点．设直线BC的解析式为y＝kx+b，根据题意，可得：，解得，所以直线BC的解析式为y＝x﹣5．因此直线BC与对称轴x＝2的交点坐标是方程组的解，解得，所求的点P的坐标为（2，﹣3）．（3）存在．∵A（﹣1，0），C（5，0），∴AC＝6，∵P（2，﹣3），C（5，0），∴PC＝3，∵B（0，﹣5），C（5，0），∴BC＝5，当△PEC∽△ABC，∴＝，∴＝，解得：EC＝5，∴E（0，0）；当△EPC∽△ABC，∴＝，∴＝，解得：EC＝3.6，∴OE＝5﹣3.6＝1.4，故E点坐标为：（1.4，0），综上所述：以C、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似，点E的坐标为：（0，0），（1.4，0）．11．【分析】（1）首先设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，由A点坐标为（3，0），则可将A点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法即可求得这个二次函数的解析式；（2）首先利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后由P在直线上，将x代入直线方程，即可求得P的纵坐标，又由E在抛物线上，则可求得E的纵坐标，它们的差即为PE 的长；（3）分别从当∠EDP＝90°时，△AOB∽△EDP与当∠DEP＝90°时，△AOB∽△DEP 两种情况去分析，注意利用相似三角形的对应边成比例等性质，即可求得答案，注意不要漏解．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，∵A（3，0）在抛物线上，∴0＝a（3﹣1）2﹣2∴a＝，∴y＝（x﹣1）2﹣2，（2）抛物线与y轴交点B的坐标为（0，），设直线AB的解析式为y＝kx+m，∴，∴，∴直线AB的解析式为y＝x﹣．∵P为线段AB上的一个动点，∴P点坐标为（x，x﹣）．（0＜x＜3）由题意可知PE∥y轴，∴E点坐标为（x，x2﹣x﹣），∵0＜x＜3，∴PE＝（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）＝﹣x2+x，（3）由题意可知D点横坐标为x＝1，又D点在直线AB上，∴D点坐标（1，﹣1）．①当∠EDP＝90°时，△AOB∽△EDP，∴．过点D作DQ⊥PE于Q，∴x Q＝x P＝x，y Q＝﹣1，∴△DQP∽△AOB∽△EDP，∴，又OA＝3，OB＝，AB＝，又DQ＝x﹣1，∴DP＝（x﹣1），∴，解得：x＝﹣1±（负值舍去）．∴P（﹣1，）（如图中的P1点）；②当∠DEP＝90°时，△AOB∽△DEP，∴．由（2）PE＝﹣x2+x，DE＝x﹣1，∴，解得：x＝1±，（负值舍去）．∴P（1+，﹣1）（如图中的P2点）；综上所述，P点坐标为（﹣1，）或（1+，﹣1）．12．【分析】（1）运用待定系数法把点A、B、C的坐标代入求解即可；（2）连接BC与对称轴的交点即为点H，此时AH+CH＝BH+CH＝BC最小，故△AHC 周长最小，运用待定系数法求得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，即可求得答案；（3）当以B、E、G为顶点的三角形与△AOC相似时，分两种情况：①△BEG∽△AOC，②△GEB∽△AOC，分别利用相似三角形性质建立方程求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∵点A（﹣1，0）和点B（3，0）关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC与对称轴的交点即为点H，此时AH+CH＝BH+CH＝BC最小，如图，∴AC+AH+CH＝AC+BH最小，即△AHC周长最小，设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∵当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴点H的坐标为（1，2）；（3）存在．理由如下：由题意得：OA＝1，OC＝3，∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴E（1，0），设G（1，m），则EG＝|m|，∵B（3，0），∴BE＝3﹣1＝2，当以B、E、G为顶点的三角形与△AOC相似时，①△BEG∽△AOC，∴＝，即＝，∴|m|＝6，解得：m＝±6，∴点G的坐标为（1，6）或（1，﹣6）；②△GEB∽△AOC，∴＝，即＝，∴|m|＝，解得：m＝±，∴点G的坐标为（1，）或（1，﹣）；综上所述，以B、E、G为顶点的三角形与△AOC相似时，点G的坐标为（1，6）或（1，﹣6）或（1，）或（1，﹣）．13．【分析】（1）由OA和OB的长得到点A和点B的坐标，然后用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）先求得点C的坐标得到OC的长，然后求得直线m与坐标轴的两个交点的坐标，最后利用相似三角形的性质分类讨论求得k的值；（3）先求得直线AC的解析式，过点D作DE⊥x轴，交AC于点E，设点D的坐标得到点E的坐标，从而表示出△ACD的面积，再求得△ABC的面积，从而列出方程求得点D 的坐标，最后求得△COD的面积．【解答】（1）解：∵OA＝4，OB＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0），将点A和点B的坐标代入y＝ax2+bx+8，得，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+8．（2）对y＝﹣x2﹣2x+8，令x＝0，得y＝8，∴点C的坐标为（0，8），∴OC＝8，对直线y＝kx+8，当x＝0时，y＝8，当y＝0时，x＝﹣，∴直线y＝kx+8与y轴的交点为点C（0，8），与x轴的交点为（﹣，0），记为点M，∴OM＝|﹣|，如图1，当△MOC∽△BOC时，∴＝1，∴MO＝BO＝2，∴M1（﹣2，0），代入y＝kx+8中，得﹣2k+8＝0，解得：k＝4；当△MOC∽△COB时，，∴＝＝4，∴MO＝32，∴M2（﹣32，0），M3（32，0），分别代入y＝kx+8中，得﹣32k+8＝0或32k+8＝0，解得：k＝或k＝﹣；综上所述，k＝4或k＝或k＝﹣．（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝2x+8，如图2，当点D在AC之间的抛物线上时，过点D作DE⊥x轴，交AC于点E，设点D的坐标为（x，﹣x2﹣2x+8），则点E的坐标为（x，2x+8），∴DE＝﹣x2﹣2x+8﹣（2x+8）＝﹣x2﹣4x，∴S△ACD＝S△AED+S△ECD＝＝，∴S△ACD＝＝﹣2x2﹣8x，∵OA＝4，OB＝2，OC＝8，∴S△ABC＝＝24，又∵S△ACD＝S△ABC，∴﹣2x2﹣8x＝×24，解得：x＝﹣2+或x＝﹣2﹣，∵S△COD＝，∴S△COD＝＝8﹣4或S△COD＝＝8+4；如图3，当点D在点A左侧抛物线上时，过点D作DE⊥x轴，交AC于点E，设点D的坐标为（x，﹣x2﹣2x+8），则点E的坐标为（x，2x+8），∴DE＝2x+8﹣（﹣x2﹣2x+8）＝x2+4x，∴S△ACD＝S△ECD﹣S△AED＝＝，∴S△ACD＝＝2x2+8x，∵OA＝4，OB＝2，OC＝8，∴S△ABC＝＝24，又∵S△ACD＝S△ABC，∴2x2+8x＝×24，解得：x＝﹣2﹣或x＝﹣2+（舍），∵S△COD＝，∴S△COD＝＝8+4；综上所述，△COD的面积为8﹣4或8+4或8+4．14．【分析】（1）把A（1，0）代入y＝a（x﹣2）2+1即可求解；（2）作A点关于直线BC的对称点A'，连接A'D交BC于点E，连接AE，A'B，当A'、D、E三点共线时，△ADE的周长最小，求出A'（3，﹣2），再求A'D＝，AD＝，即可求解；（3）分三种情况讨论：①当∠CMP＝90°时，过点M作MG⊥y轴交于点G，过点P作PH⊥y轴交于点H，可得△GCM∽△HPC，设M（t，t﹣3），当∠CPM＝∠ACO时，＝，则P（3t，﹣3﹣3t），可求P（5，﹣8）；当∠CMP＝∠ACO时，＝3，可求P（5，﹣8）；②当∠CMP＝90°时，过点M作EF∥x轴，交y轴于点E，过点P作PF ⊥EF交于点F，证明△ECM∽△FMP，设M（t，t﹣3），则P（4t，﹣2t﹣3），可求P （，﹣）；当∠CMP＝∠OCA时，＝3，则P（t，t﹣3），可求P（，﹣）；③当∠CPM＝90°时，过点P作KL⊥y轴交于点L，过点M作MK⊥LK交于K 点，证明△CLP∽△PKM，设P（m，﹣m2+4m﹣3），则M（3m2﹣11m，﹣m2+7m﹣3），可求P（，﹣）；当∠MCP＝∠OCA时，＝3，M（m2﹣m，﹣m2+m﹣3），可求P（，﹣）．【解答】解：（1）把A（1，0）代入y＝a（x﹣2）2+1得：a+1＝0，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3，在y＝﹣x2+4x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣3，作A点关于直线BC的对称点A'，连接A'D交BC于点E，连接AE，A'B，∴AE+DE+AD＝A'E+DE+AD≥A'D+DE，当A'、D、E三点共线时，△ADE的周长最小，∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，∴∠ABA'＝90°，∵AB＝A'B，∴A'（3，﹣2），∵D（2，1），∴A'D＝，AD＝，∴△ADE周长的最小值为+；（3）存在以P，M，C为顶点的三角形与△AOC相似，理由如下：∵A（1，0），C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，∴tan∠OCA＝，①当∠CMP＝90°时，过点M作MG⊥y轴交于点G，过点P作PH⊥y轴交于点H，∴∠GCM+∠HCP＝90°，∵∠GCM+∠GMC＝90°，∴∠HCP＝∠GMC，∴△GCM∽△HPC，∴＝＝，设M（t，t﹣3），∴GM＝t，GC＝t，当∠CPM＝∠ACO时，＝，∴CH＝3t，HP＝3t，∴P（3t，﹣3﹣3t），∴﹣3﹣3t＝﹣9t2+12t﹣3，解得t＝0（舍）或t＝，∴P（5，﹣8）；当∠CMP＝∠ACO时，＝3，∴CH＝t，HP＝t，∴P（t，﹣3﹣t），∴﹣3﹣t＝﹣t2+t﹣3，解得t＝0（舍）或t＝15，∴P（5，﹣8）；②当∠CMP＝90°时，过点M作EF∥x轴，交y轴于点E，过点P作PF⊥EF交于点F，∴∠EMC+∠FMP＝90°，∵∠EMC+∠ECM＝90°，∴∠FMP＝∠ECM，∴△ECM∽△FMP，∴＝＝，设M（t，t﹣3），∴EM＝EC＝t，当∠CPM＝∠OCA时，＝，∴MF＝FP＝3t，∴P（4t，﹣2t﹣3），∴﹣2t﹣3＝﹣16t2+16t﹣3，解得t＝0（舍）或t＝，∴P（，﹣）；当∠CMP＝∠OCA时，＝3，∴MF＝FP＝t，∴P（t，t﹣3），∴﹣t﹣3＝﹣t2+t﹣3，解得t＝0（舍）或t＝，∴P（，﹣）；③如图3，当∠CPM＝90°时，过点P作KL⊥y轴交于点L，过点M作MK⊥LK交于K点，∴∠CPL+∠MPK＝90°，∵∠CPL+∠PCL＝90°，∴∠MPK＝∠PCL，∴△CLP∽△PKM，∴＝＝，设P（m，﹣m2+4m﹣3），∴LP＝m，CL＝m2﹣4m，当∠CMP＝∠OCA时，＝，∴MK＝3m，PK＝3m2﹣12m，∴M（3m2﹣11m，﹣m2+7m﹣3），∴﹣m2+7m﹣3＝3m2﹣11m﹣3，解得m＝0（舍）或m＝，∴P（，﹣）；当∠MCP＝∠OCA时，＝3，∴MK＝m，PK＝m2﹣m，∴M（m2﹣m，﹣m2+m﹣3），∴﹣m2+m﹣3＝m2﹣m﹣3，解得m＝0（舍）或m＝，∴P（，﹣）；综上所述：P点坐标为（5，﹣8）或（，﹣）或（，﹣）或（，﹣）或（，﹣）．15．【分析】（1）过点C作CE⊥x轴于点E，先求得点C的坐标，然后由点B和点D的坐标设函数的交点式，再将点C的坐标代入求得函数的解析式即可；（2）过点P作PH⊥x轴，交BC于点H，先求得直线BC的解析式，再设点P的坐标，得到点H的坐标，然后求得△PBC的面积，结合点B、C、D求得△BCD的面积，从而求得四边形PBDC的面积，最后由二次函数的性质求得四边形PBDC的面积最大值，及点P的坐标；（3）①分别求得tan∠ABO和tan∠CDE的大小，从而得到∠ABO＝∠CDE，然后得证CD∥AB；②由∠ABO＝∠CDE，∠ABC＝90°得到BC⊥CD，即∠BCD＝90°，由旋转得BC＝AB，然后分情况讨论，（i）△BCM∽△AOB；（ii）△BCM∽△BOA，先由相似三角形的性质求得CM的长，再求得直线CD的解析式，设点M的坐标，借助两点间的距离公式求得点M的坐标即可．【解答】（1）解：如图1，过点C作CE⊥x轴于点E，则∠BEC＝∠AOB＝90°，由旋转得，∠ABC＝90°，AB＝CB，∴∠ABO+∠CBE＝90°，∵∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠CBE＝∠OAB，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴BE＝AO，CE＝OB，∵点A（0，2），B（1，0），∴BE＝2，CE＝1，∴点C的坐标为（3，1），由点B（1，0），点D（3.5，0）可设函数的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3.5），将点C（3，1）代入，得a（3﹣1）×（3﹣3.5）＝1，解得：a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣3.5）＝﹣x2+x﹣．（2）解：过点P作PH⊥x轴，交BC于点H，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣，设点P的坐标为（x，﹣x2+x﹣），则点H的坐标为（x，x﹣），∴PH＝﹣x2+x﹣﹣x+＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∵S△PBC＝S△PBH+S△PCH＝，∴S△PBC＝×2×[﹣（x﹣2）2+1]＝﹣（x﹣2）2+1，∵B（1，0），C（3，1），D（3.5，0），∴BD＝2.5，CE＝1，∴S△BCD＝＝，∴S四边形PBDC＝S△PBC+S△BCD＝﹣（x﹣2）2+1+＝﹣（x﹣2）2+，∴当x＝2时，四边形PBDC的面积最大值为，此时，点P的坐标为（2，）．（3）①证明：由（1）得，AO＝BE＝2，BO＝CE＝1，BD＝2.5，∴tan∠ABO＝，ED＝BD﹣BE，2.5﹣2＝0.5，∴tan∠CDE＝＝2，∴∠ABO＝∠CDE，∴CD∥AB．②解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBD＝90°，由①得，∠ABO＝∠CDB，∴∠CBD+∠CDB＝90°，∴∠BCD＝90°，由旋转得，BC＝AB＝＝，设直线CD的解析式为y＝mx+n，则，解得：，∴直线CD的解析式为y＝﹣2x+7，设点M（x，﹣2x+7），则CM＝，如图2，（i）当△BCM∽△AOB时，，∴，∴CM＝，∴＝，解得：x1＝，x2＝，∴点M1（，2），M2（，0）；（ii）当△BCM∽△BOA时，，∴，∴CM＝2，∴＝2，解得：x3＝1，x4＝5，∴点M3（1，5），M4（5，﹣3）；综上所述，当点M的坐标为（，2）或（，0）或（1，5）或（5，﹣3）时，△MBC 与△AOB相似．16．【分析】（1）根据线段关系求出A点、B点、C点的坐标，用待定系数法求出解析式即可；（2）求出直线AB的解析式，设出D点坐标，得出DE的表达式，根据二次函数的性质求出最大值即可；（3）根据（2）设出P点的坐标，分请款根据线段比例关系求出P点的坐标即可．【解答】解：（1）∵4CO＝2BO＝OA＝4，∴OA＝4，OB＝2，OC＝1，即A（4，0），B（0，2），C（﹣1，0），设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，∵抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）由（1）知A（4，0），B（0，2），设直线AB的解析式为y＝kx+d，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2，设D（t，﹣t+2），则E（t，﹣t2+t+2），∴DE＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，∴当t＝2时DE有最大值，最大值为2，即D点坐标为（2，1）时，DE有最大值为2；（3）存在，由（2）知F点和P点的横坐标为2，OA＝4，OB＝2，OC＝1，∴F（2，0），AB＝＝2，BC＝＝，AC＝4+1＝5，。
专题 二次函数与全等、相似存在性问题(学生版)
专题29二次函数与相似、全等存在性问题题型一相似三角形存在性问题在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．【相似判定】判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题【题型分析】通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．【思路总结】根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．然后再找：思路1：两相等角的两边对应成比例；思路2：还存在另一组角相等．事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．一、如何得到相等角？二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？搞定这两个问题就可以了．1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（4，1）．（1）求抛物线C的对称轴．（2）当a＝﹣1时，将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1．①求抛物线C1的解析式．②设抛物线C1与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，连接BC．点D为第一象限内抛物线C1上一动点，过点D作DE⊥OA于点E．设点D的横坐标为m．是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与△BOC 相似，请直接写出点P的坐标．3．如图，直线y＝﹣x+分别交x轴、y轴于点A，B，过点A的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一交点为C，与y轴交于点D（0，3），抛物线的对称轴l交AD于点E，连接OE交AB于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：OE⊥AB；（3）P为抛物线上的一动点，直线PO交AD于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点．（1）求证：∠ACB＝90°；（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F，点G是AC 的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标．5．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（﹣3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝﹣2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．（1）求抛物线的解析式和m的值；（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；题型二全等三角形存在性问题6．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．（1）求该抛物线的表达式；（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．7．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（﹣2，5）和（2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．（1）求该抛物线的表达式；（2）求出点A，B，C的坐标；（3）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P，D，E为顶点的三角形与△BOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．8．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）直线BC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，请直接写出△PCE与△ACD全等时点P的坐标．9．如图1，抛物线y1＝ax2﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．10．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l 上任意一点（点M，B，C三点不在同一直线上）．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在抛物线上找出两点P1，P2，使得△MP1P2与△MCB全等，并求出点P1，P2的坐标；。
2023年中考数学压轴题专题04 二次函数与相似问题-【含答案】
专题4二次函数与相似问题函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。
根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
相似三角形常见的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．判定定理“两边及其夹角法”是常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分AB DEAC DF=和AB DFAC DE=两种情况列方程．应用判定定理“两角法”解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理“三边法”解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．【例1】（2022•贵港）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3）和B（，﹣）两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若PE∥x轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；（3）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．【例2】．（2022•衡阳）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】．（2022•桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y 轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）求CP+PQ+QB的最小值；（3）过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标．【例4】（2022•玉林）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由；（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．1．（2020秋•兴城市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，连接AC，BC，DA，DB，DB与AC相交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，设△ADE的面积为S1，△BCE的面积为S2，当S1＝S2+5时，求点D的坐标；（3）如图2，过点C作CF∥x轴，点M是直线CF上的一点，MN⊥CF交抛物线于点N，是否存在以C，M，N为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．2．（2020秋•郴州期末）已知抛物线y＝x2﹣3x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）求A，B两点的坐标；（2）如图1，若点D是抛物线上在第四象限的点，连接DA并延长，交y轴于点P，过点D作DE⊥x轴于点E．当△APO与△ADE的面积比为＝时．求点D的坐标；（3）如图2，抛物线与y轴相交于点F．若点Q是线段OF上的动点，过点Q作与x轴平行的直线交抛物线于M，N两点（点M在点N的左边）．请问是否存在以Q，A，M为顶点的三角形与△QNA相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2020秋•长垣市期末）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴分别交于点B（6，0）和点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，其横坐标为m，连接PB、PC，当△PBC的面积为时，求m 值；（3）如图2，点M是线段OB上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线BC和抛物线交于D，E 两点，是否存在以C，D，E为顶点的三角形与△BDM相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2021秋•邹城市期末）如图，已知抛物线y＝x2+2x的顶点为A，直线y＝x+2与抛物线交于B，C两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．5．（2021秋•攸县期末）如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M和点N的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点Q，使|AQ﹣BQ|的值最大，请直接写出点Q的坐标；③是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．6．（2022•禹城市模拟）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M 为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；＝S△ABC，直接写出点D （3）若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得S△DCA的坐标．7．（2022•祥云县模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C（0，3），点M是该抛物线上第一象限内的一个动点，ME垂直x轴于点E，交线段BC于点D，MN∥x轴，交y轴于点N．（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的表达式；（2）若四边形MNOE是正方形，求该正方形的边长；（3）连结OD，AC，抛物线上是否存在点M，使得以C，O，D为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．8．（2022•松江区校级模拟）如图，抛物线y＝x2﹣bx+c过点B（3，0），C（0，﹣3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）连接BC，CD，DB，求∠CBD的正切值；（3）点C关于抛物线y＝x2﹣bx+c对称轴的对称点为E点，连接BE，直线BE与对称轴交于点M，在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点，是否存在点P使△CDB和△BMP相似，若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由．9．（2022•平江县一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，设四边形PBOC和△AOC的面积分别为S四边形PBOC ，记S＝S四边形PBOC﹣S△AOC，求S最大值点P的坐标及S的最大值；和S△AOC（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2022•莱州市一模）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+c经过点A（4，3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，﹣2）且垂直于y轴的直线，连接PO．（1）求抛物线的表达式，并求出顶点B的坐标；（2）试证明：经过点O的⊙P与直线l相切；（3）如图②，已知点C的坐标为（1，2），是否存在点P，使得以点P，O及（2）中的切点为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2022•巩义市模拟）已知，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，点A的坐标为（﹣1，0），且OB＝OC．（1）求二次函数的解析式；（2）当0≤x≤4时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？（3）设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC'与△POB相似，且PC 与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2022•澄迈县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求该抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；（2）设该抛物线上一动点P的横坐标为t．①在图1中，当﹣3＜t＜0时，求△PBO的面积S与t的函数关系式，并求S的最大值；②在图2中，若点P在该抛物线上，点E在该抛物线的对称轴上，且以A，O，P，E为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；③在图3中，若P是y轴左侧该抛物线上的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．（2022•丰南区二模）如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角板CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将三角板CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置．（1）直接写出C′的坐标，并求经过O、A、C′三点的抛物线的解析式；（2）点P在第四象限的抛物线上，求△C′OP的最大面积；（3）如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，抛物线上是否存在一点M，使得△BOF与△AOM相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2022•莱芜区三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A和点C（0，﹣3）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，平移线段AC，点A的对应点D落在二次函数在第一象限的图象上，点C的对应点E落在直线AB上，直接写出四边形ACED的形状，并求出此时点D的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，连接CD，交x轴于点M，点P为直线CD下方抛物线上一个动点，过点P作PF⊥x轴，交CD于点F，连接PC，是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△COM相似？若存在，求出线段FP的长度；若不存在，请说明理由．15．（2022•临清市三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点D坐标为（1，4），且与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧，与y轴相交于点C，点E在x轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称，作矩形EFGH，其中点G，H都在x轴上．（1）求抛物线解析式；（2）设点F横坐标为m，①用含有m的代数式表示点E的横坐标为（直接填空）；②当矩形EFGH为正方形时，求点G的坐标；③连接AD，当EG与AD垂直时，求点G的坐标；（3）过顶点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FP⊥AD于点P，直接写出△DFP与△DAM相似时，点F 的坐标．16．（2022•成都模拟）如图①，已知抛物线y＝﹣（x﹣1）2+k交x轴于A，B两点，交y轴于点C，P是抛物线上的动点，且满足OB＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限，直线y＝x+b经过点P且与直线BC交于点E，设点P的横坐标为t，当线段PE 的长度随着t的增大而减小时，求t的取值范围；（3）如图②，过点A作BC的平行线m，与抛物线交于另一点D．点P在直线m上方，点Q在线段AD 上，若△CPQ与△AOC相似，且点P与点O是对应点，求点P的坐标．17．（2022•东莞市校级一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2kx+2k2+1与x轴的左交点为A，右交点为B，与y轴的交点为C，对称轴为直线l，对于抛物线上的两点（x1，y1），（x2，y2）（x1＜k＜x2），当x1+x2＝2时，y1﹣y2＝0恒成立．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M是第二象限内直线AC上方的抛物线上的一点，过点M作MN⊥AC于点N，求线段MN的最大值，并求出此时点M的坐标；（3）点P是直线l右侧抛物线上的一点，PQ⊥l于点Q，AP交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PQF与△ACO相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．18．（2022•碑林区校级模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，AC＝4，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若C（0，2）．（1）请直接写出A、B的坐标；（2）求经过A、B、C三点的抛物线表达式；（3）l为抛物线对称轴，P是直线l右侧抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△ABC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．【例1】（2022•贵港）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3）和B（，﹣）两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若PE∥x轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；（3）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出解析式；（2）先求出点C的坐标，然后证明Rt△DPE∽Rt△AOC，再由二次函数的最值性质，求出答案；（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：当△AOC∽△APD时；当△AOC∽△DAP时；分别求出两种情况的点的坐标，即可得到答案．【解析】（1）将A（0，3）和B（，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，，解得，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n，把A（0，3）和B（，﹣）代入，，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，当y＝0时，﹣x+3＝0，解得：x＝2，∴C点坐标为（2，0），∵PD⊥x轴，PE∥x轴，∴∠ACO＝∠DEP，∴Rt△DPE∽Rt△AOC，∴，∴PE＝PD，∴PD+PE＝PD，设点P的坐标为（a，﹣a2+2a+3），则D点坐标为（a，﹣a+3），∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣（a﹣）2+，∴PD+PE＝﹣（a﹣）2+，∵﹣＜0，∴当a＝时，PD+PE有最大值为；（3）①当△AOC∽△APD时，∵PD⊥x轴，∠DPA＝90°，∴点P纵坐标是3，横坐标x＞0，即﹣x2+2x+3＝3，解得x＝2，∴点D的坐标为（2，0）；∵PD⊥x轴，∴点P的横坐标为2，∴点P的纵坐标为：y＝﹣22+2×2+3＝3，∴点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）；②当△AOC∽△DAP时，此时∠APG＝∠ACO，过点A作AG⊥PD于点G，∴△APG∽△ACO，∴，设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则D点坐标为（m，﹣m+3），则，解得：m＝，∴D点坐标为（，1），P点坐标为（，），综上，点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）或P点坐标为（，），D点坐标为（，1）．【例2】（2022•衡阳）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）令x＝0和翻折的性质可得C（0，2），令y＝0可得点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出图象W的解析式；（2）利用数形结合找出当y＝﹣x+b经过点C或者y＝﹣x+b与y＝x2﹣x﹣2相切时，直线y＝﹣x+b与新图象恰好有三个不同的交点，①当直线y＝﹣x+b经过点C（0，2）时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值；②当y＝﹣x+b与y＝x2﹣x﹣2相切时，联立一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式Δ＝0，即可求出b值．综上即可得出结论；（3）先确定△BOC是等腰直角三角形，分三种情况：∠CNM＝90°或∠MCN＝90°，分别画图可得结论．【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣2，∴C（0，2），当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，（x﹣2）（x+1）＝0，∴x1＝2，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（2，0），设图象W的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣2），把C（0，2）代入得：﹣2a＝2，∴a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣2）＝﹣x2+x+2，∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y＝﹣x2+x+2（﹣1＜x＜2）；（2）由图象得直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点时，存在两种情况：①当直线y＝﹣x+b过点C时，与图象W有三个交点，此时b＝2；②当直线y＝﹣x+b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，如图1，﹣x+b＝﹣x2+x+2，x2﹣2x+b﹣2＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（b﹣2）＝0，∴b＝3，综上，b的值是2或3；（3）∵OB＝OC＝2，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，如图2，CN∥OB，△CNM∽△BOC，∵PN∥y轴，∴P（1，0）；如图3，CN∥OB，△CNM∽△BOC，当y＝2时，x2﹣x﹣2＝2，x2﹣x﹣4＝0，∴x1＝，x2＝，∴P（，0）；如图4，当∠MCN＝90°时，△OBC∽△CMN，∴CN的解析式为：y＝x+2，∴x+2＝x2﹣x﹣2，∴x1＝1+，x2＝1﹣（舍），∴P（1+，0），综上，点P的坐标为（1，0）或（，0）或（1+，0）．【例3】（2022•桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）求CP+PQ+QB的最小值；（3）过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标．【分析】（1）由y＝﹣x2+3x+4可得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，可知四边形CC'QP是平行四边形，及得CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，而B，Q，C'共线，故此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，由勾股定理可得BC'＝5，即得CP+PQ+BQ最小值为6；（3）由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），知BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，①当＝时，＝，可解得Q（，）或（，）；②当＝时，＝，得Q（，）．【解析】（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，如图：∵CC'＝PQ，CC'∥PQ，∴四边形CC'QP是平行四边形，∴CP＝C'Q，∴CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，∵B，Q，C'共线，∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，∵C（0，4），CC'＝PQ＝1，∴C'（0，3），∵B（4，0），∴BC'＝＝5，∴BC'+PQ＝5+1＝6，∴CP+PQ+BQ最小值为6；（3）如图：由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），∵B（4，0），C（0，4）；∴BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，∵∠CMP＝∠QNB＝90°，∴△CPM和△QBN相似，只需＝或＝，①当＝时，＝，解得t＝或t＝，∴Q（，）或（，）；②当＝时，＝，解得t＝或t＝（舍去），∴Q（，），综上所述，Q的坐标是（，）或（，）或（，）．【例4】（2022•玉林）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由；（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．【分析】（1）把点B（2，0）代入y＝﹣2x2+bx+c中，再由对称轴是直线x＝列方程，两个方程组成方程组可解答；（2）当△POD是等边三角形时，点P在OD的垂直平分线上，所以作OD的垂直平分线与抛物线的交点即为点P，计算OD≠PD，可知△POD不可能是等边三角形；（3）分种情况：①当PC∥x轴时，△CPM∽△BHM时，根据PH的长列方程可解答；②②如图3，△PCM ∽△BHM，过点P作PE⊥y轴于E，证明△PEC∽△COB，可得结论．【解析】（1）由题意得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4；（2）△POD不可能是等边三角形，理由如下：如图1，取OD的中点E，过点E作EP∥x轴，交抛物线于点P，连接PD，PO，∵C（0，4），D是OD的中点，∴E（0，1），当y＝1时，﹣2x2+2x+4＝1，2x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝，x2＝（舍），∴P（，1），∴OD≠PD，∴△POD不可能是等边三角形；（3）设点P的坐标为（t，﹣2t2+2t+4），则OH＝t，BH＝2﹣t，分两种情况：①如图2，△CMP∽△BMH，∴∠PCM＝∠OBC，∠BHM＝∠CPM＝90°，∴tan∠OBC＝tan∠PCM，∴＝＝＝＝2，∴PM＝2PC＝2t，MH＝2BH＝2（2﹣t），∵PH＝PM+MH，∴2t+2（2﹣t）＝﹣2t2+2t+4，解得：t1＝0，t2＝1，∴P（1，4）；②如图3，△PCM∽△BHM，则∠PCM＝∠BHM＝90°，过点P作PE⊥y轴于E，∴∠PEC＝∠BOC＝∠PCM＝90°，∴∠PCE+∠EPC＝∠PCE+∠BCO＝90°，∴∠BCO＝∠EPC，∴△PEC∽△COB，∴＝，∴＝，解得：t1＝0（舍），t2＝，∴P（，）；综上，点P的坐标为（1，4）或（，）．1．（2020秋•兴城市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，连接AC，BC，DA，DB，DB与AC相交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，设△ADE的面积为S1，△BCE的面积为S2，当S1＝S2+5时，求点D的坐标；（3）如图2，过点C作CF∥x轴，点M是直线CF上的一点，MN⊥CF交抛物线于点N，是否存在以C，M，N为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法将A（4，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4，解方程组即可求得答案；（2）根据题意，当S1＝S2+5，即S△ABD＝S△ABC+5，设D（x，y），表示出△ABD和△ABC的面积，列方程求解即可；（3）分情况讨论，列出三角形相似的三种情况，画出相应图形，设M（m，4），则N（m，﹣m2+3m+4），运用相似三角形性质，建立方程求解即可．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4，0），B（﹣1，0）两点，∴，解得：，∴y＝﹣x2+3x+4；（2）∵抛物线y＝﹣x2+3x+4与y轴交于点C，令x＝0，则y＝4，∴C（0，4），∵S1＝S2+5，∴S1+S△AEB＝S2+S△AEB+5，＝S△ABC+5，即S△ABD∵A（4，0），B（﹣1，0），∴AB＝5，设D（x，y），∴×5×y＝×5×4+5，∴y＝6，∴﹣x2+3x+4＝6，解得：x1＝1，x2＝2，∴D1（1，6），D2（2，6）；（3）设M（m，4），则N（m，﹣m2+3m+4），①如图2，△BOC∽△NMC，则＝，∴＝，解得：m＝0（舍去），m＝，经检验，m＝是原方程的解，∴M（，4）；②如图3，△BOC∽△CMN，则＝，∴＝，解得：m＝0（舍去），m＝﹣1，经检验，m＝﹣1是原方程的解，∴M（﹣1，4）；③如图4，△BOC∽△NMC，则＝，∴＝，解得：m＝0（舍去），m＝，经检验，m＝是原方程的解，∴M（，4）；④如图5，△BOC∽△CMN，则＝，∴＝，解得：m＝0（舍去），m＝7，经检验，m＝7是原方程的解，∴M（7，4）；综上所述，点M的坐标为（，4）或（﹣1，4）或（，4）或（7，4）．2．（2020秋•郴州期末）已知抛物线y＝x2﹣3x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）求A，B两点的坐标；（2）如图1，若点D是抛物线上在第四象限的点，连接DA并延长，交y轴于点P，过点D作DE⊥x轴于点E．当△APO与△ADE的面积比为＝时．求点D的坐标；（3）如图2，抛物线与y轴相交于点F．若点Q是线段OF上的动点，过点Q作与x轴平行的直线交抛物线于M，N两点（点M在点N的左边）．请问是否存在以Q，A，M为顶点的三角形与△QNA相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）在抛物线解析式中，令y＝0则可求得A、B的坐标；（2）证明△AOP∽△AED，根据相似三角形面积的比等于对应边的比的平方列比例式可得AE＝2，从而得点D的横坐标为3，代入抛物线的解析式可得点D的坐标；（3）如图2所示，若以Q，A，M为顶点的三角形与△QNA相似，有两种情况，但是∠QAM与∠QAN不可能相等，所以最后只存在一种情况：△AQM∽△NQA，列比例式可得结论．【解析】（1）当y＝0时，x2﹣3x+＝0，解得：x1＝1，x2＝5，∴A（1，0），B（5，0）；（2）∵DE⊥x轴，∴∠AED＝90°，∴∠AOP＝∠AED＝90°，∵∠OAP＝∠DAE，∴△AOP∽△AED，∴＝＝，∴＝，∵OA＝1，∴AE＝2，∴OE＝3，当x＝3时，y＝﹣3×3+＝﹣2，∴D（3，﹣2）；（3）如图2，设Q（0，m），当x＝0时，y＝，∴F（0，），∵点Q是线段OF上的动点，∴0≤m≤，当y＝m时，x2﹣3x+＝m，x2﹣6x+5﹣2m＝0，x＝3，∴x1＝3+，x2＝3﹣，∴QM＝3﹣，QN＝3+，在Rt△AOQ中，由勾股定理得：AQ＝，∵∠AQM＝∠AQN，∴当△AQM和△AQN相似只存在一种情况：△AQM∽△NQA，∴，∴AQ2＝NQ•QM，即1+m2＝（3+）（3﹣），解得：m1＝﹣1+，m2＝﹣1﹣（舍），∴Q（0，﹣1+）．3．（2020秋•长垣市期末）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴分别交于点B（6，0）和点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，其横坐标为m，连接PB、PC，当△PBC的面积为时，求m 值；（3）如图2，点M是线段OB上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线BC和抛物线交于D，E 两点，是否存在以C，D，E为顶点的三角形与△BDM相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出该抛物线的函数关系式；（2）根据点P是直线BC下方抛物线上一动点，其横坐标为m，表示PH的长，根据三角形的面积列方程解出即可得出结论；（3）先根据两三角形相似判断出∠CED＝∠BMD＝90°或∠DCE＝∠DMB＝90°，进而分两种情况讨论即可得出结论．【解析】（1）把点B（6，0）和点C（0，﹣3）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）设直线BC的解析式为：y＝ax+n，由点B（6，0）和C（0，﹣3）得：，解得：，∴直线BC的解析式为，如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点H，∵点P的坐标为（m，），PH∥y轴，∴点H的坐标为（m，），∴PH＝y H﹣y P＝﹣（）＝﹣，x B﹣x C＝6﹣0＝6，＝PH×6＝（﹣）×6＝﹣＝，∵S△PBC解得：m1＝1，m2＝5，∴m值为1或5；（3）如图2，∵∠CDE＝∠BDM，△CDE与△BDM相似，∴∠CED＝∠BMD＝90°或∠DCE＝∠DMB＝90°，设M（x，0），①当∠CED＝∠BDM＝90°，∴CE∥AB，∵C（0，﹣3），∴点E的纵坐标为﹣3，∵点E在抛物线上，∴x2﹣x﹣3＝﹣3．∴x＝0（舍）或x＝5，∴M（5，0）；②当∠DCE＝∠DMB＝90°，∵OB＝6，OC＝3，∴BC＝＝3，由（2）知直线BC的关系式为y＝x﹣3，∴OM＝x，BM＝6﹣x，DM＝3﹣x，由（2）同理得ED＝﹣+3x，∵DM∥OC，∴，即，∴CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝﹣x，∵△ECD∽△BMD，∴，即＝，∴＝x（3﹣x）2，x（6﹣x）（1﹣x）＝0，x1＝0（舍），x2＝6（舍），x3＝1，∴M（1，0）；综上所述：点M的坐标为（5，0）或（1，0）．4．（2021秋•邹城市期末）如图，已知抛物线y＝x2+2x的顶点为A，直线y＝x+2与抛物线交于B，C两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将抛物线配方后可得顶点A的坐标，将抛物线和一次函数的解析式联立方程组，解出可得B 和C的坐标；（2）先根据两点的距离计算AB、BC、AC的长，根据勾股定理的逆定理可得：∠ABC＝90°，最后根据两边的比相等且夹角为90度得两三角形相似；（3）存在，设M（x，0），则P（x，x2+2x），表示OM＝|x|，PM＝|x2+2x|，分两种情况：有＝或＝，根据比例式代入可得对应x的值，计算点P的坐标即可．【解答】（1）解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴顶点A（﹣1，﹣1）；由，解得：或∴B（﹣2，0），C（1，3）；（2）证明：∵A（﹣1，﹣1），B（﹣2，0），C（1，3），∴AB＝＝，BC＝＝3，AC＝＝2，∴AB2+BC2＝AC2，＝＝，∴∠ABC＝90°，∵OD＝1，CD＝3，∴＝，∴，∠ABC＝∠ODC＝90°，∴△ODC∽△ABC；（3）存在这样的P点，设M（x，0），则P（x，x2+2x），∴OM＝|x|，PM＝|x2+2x|，当以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似时，有＝或＝，由（2）知：AB＝，CB＝3，①当＝时，则＝，当P在第二象限时，x＜0，x2+2x＞0，∴，解得：x1＝0（舍），x2＝﹣，当P在第三象限时，x＜0，x2+2x＜0，∴＝，解得：x1＝0（舍），x2＝﹣，②当＝时，则＝3，同理代入可得：x＝﹣5或x＝1（舍），综上所述，存在这样的点P，坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）或（﹣5，15）．5．（2021秋•攸县期末）如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M和点N的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点Q，使|AQ﹣BQ|的值最大，请直接写出点Q的坐标；③是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①函数的对称轴为：x＝﹣＝，故点M（，），即可求解；②设抛物线与x轴左侧的交点为R（﹣1，0），则点A与R关于抛物线的对称轴对称，连接RB并延长交抛物线的对称轴于点Q，则点Q为所求，即可求解；③四边形MNPD为菱形，首先PD＝MN，即（﹣2x2+2x+4）﹣（﹣2x+4）＝，解得：x＝或（舍去），故点P（，1），而PN＝＝≠MN，即可求解；（2）分∠DBP为直角、∠BDP为直角两种情况，分别求解即可．【解析】（1）①函数的对称轴为：x＝﹣＝，故点M（，），当x＝时，y＝﹣2x+4＝3，故点N（，3）；②设抛物线与x轴左侧的交点为R（﹣1，0），则点A与R关于抛物线的对称轴对称，连接RB并延长交抛物线的对称轴于点Q，则点Q为所求，将R、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线RB的表达式为：y＝4x+4，当x＝时，y＝6，故点Q（，6）；③不存在，理由：设点P（x，﹣2x+4），则点D（x，﹣2x2+2x+4），MN＝﹣3＝，四边形MNPD为菱形，首先PD＝MN，即（﹣2x2+2x+4）﹣（﹣2x+4）＝，解得：x＝或（舍去），故点P（，1），而PN＝＝≠MN，故不存在点P，使四边形MNPD为菱形；（2）当点P的横坐标为1时，则其坐标为：（1，2），此时点A、B的坐标分别为：（2，0）、（0，4），①当∠DBP为直角时，以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似，则∠BAO＝∠BDP＝α，tan∠BAO＝＝2＝tanα，则sinα＝，PA＝，PB＝AB﹣PA＝2﹣＝，则PD＝＝，故点D（1，）；②当∠BDP为直角时，以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似，则BD∥x轴，则点B、D关于抛物线的对称轴对称，故点D（1，4），综上，点D的坐标为：（1，4）或（1，），将点A、B、D的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+bx+c并解得：y＝﹣2x2+2x+4或y＝﹣x2+3x+4．6．（2022•禹城市模拟）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M 为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；＝S△ABC，直接写出点D （3）若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得S△DCA的坐标．。
二次函数与相似
分 析
（2）题中要使AC为斜边，在Y轴 上找一点D，使点D为直角顶点，既 可以用勾股定理，也可以用相似建 立方程求解。
（3）题中，要分在对称轴的左右侧：①、当点P在对称轴的 （ 右侧时，利用两点间的距离公式和勾股定理或利用相似建立方 程求解；②、当点P在对称轴的左侧时，要用到相似中的 三 角形内角平分线定理建立方程求解。
A1及C两点的
(3)平行于x轴的一条直线交抛物线 于E、F两点，若以EF为直径的圆恰好与 1 x轴相切，求此圆的半径。
y
l
A
o C
B
x
四、作业《中考精典》P T6和P T18 116 124
内容：二次函数与相似
太好了，我们的老师准备出场了！
他（她）…………是谁？
My god
一、复习与提问
1、函数图象与函数解析式之间的关系是什么？
①函数图象上的点的坐标满足函数的解析式；
②满足函数解析式的点一定在函数图象上。
2、二次函数的表达式有哪些？
（1) 一般式：y=ax²+bx+c(a≠0,a、b、c常数） +k[顶点﹙h, k﹚] （2）顶点式：y=a(x-h) ² (3)两点式：y＝a﹙x－
)
②、当点P△CHA只 有一种情况。
在抛物线上取一点P，使∠PCA=∠ACH, 作PQ⊥AC于 Q， 则△PCQ∽△ACH, 延长CP交x轴于N，设N（n，0） 在△NCH中AC平分∠NCH, ∴有 P
C Q
CN NA CH AH
CN (1 n) 2 42 ∵
小结：本题用到了 ①待定系数法 ②两点间的距离公式 ③勾股定理 ④相似三角形的判定定理 ⑤三角形内角平分线定理
三、巩固与练习
二次函数结合相似练习题
一、二次函数性质1. 已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
若f(x)的对称轴为x = 1，且f(0) = 2，求f(x)的解析式。
2. 设二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且f(1) = 3，f(1) = 1，求f(x)的解析式。
3. 已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象与x轴有两个交点，且f(0) = 1，f(1) = 3，求f(x)的解析式。
4. 设二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向下，且f(1) = 3，f(1) = 1，求f(x)的解析式。
5. 已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象与x轴有两个交点，且f(0) = 1，f(2) = 3，求f(x)的解析式。
二、二次函数图像1. 已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且顶点坐标为(1, 2)，求f(x)的解析式。
2. 设二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向下，且顶点坐标为(1, 3)，求f(x)的解析式。
3. 已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象与x轴有两个交点，且顶点坐标为(0, 1)，求f(x)的解析式。
4. 设二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且顶点坐标为(2, 3)，求f(x)的解析式。
5. 已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向下，且顶点坐标为(1, 2)，求f(x)的解析式。
三、二次函数图像变换1. 已知二次函数f(x) = x^2的图象，求函数g(x) = (x 1)^2 + 2的图象。
2. 设二次函数f(x) = x^2的图象，求函数g(x) = (x + 2)^2 3的图象。
3. 已知二次函数f(x) = x^2的图象，求函数g(x) = (x 1)^22的图象。
一模压轴分类
一、二次函数与相似：例1、（虹口）如图9，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，二次函数图像经过(1,2)A -、(3,2)B -和(0,1)C 三点，顶点为P ．（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点P 的坐标； （2）联结PC 、BC ，求BCP ∠的正切值；（3）能否在第一象限内找到一点Q ,使得以Q 、C 、A 三点为顶点的三角形与以C 、P 、B 三点为顶点的三角形相似？若能，请确定符合条件的点Q 共有几个，并请直接写出它们的坐标；若不能，请说明理由．B C D EA练习：1、（徐汇）已知：如图，抛物线221412-+=x x y 与y x 、轴分别相交于A 、B 两点，将△AOB 绕着点O 逆时针旋90°到△''A OB ，且抛物线22(0)y ax ax c a =++≠过点''B A 、。
（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求抛物线22y ax ax c =++的解析式；（3）点D 在x 轴上，若以'B D 、B 、为顶点的三角形与△B B A ''相似，求点D 的坐标． 2、（黄浦）如图，在梯形ABCD 中，AB ‖CD ，∠A =90︒，AB=3，CD =6，BE ⊥BC 交直线AD 于点E . （1）当点E 与D 恰好重合时，求AD 的长； （2）当点E 在边AD 上时（E 不与A 、D 重合），设AD =x ，ED =y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）问：是否可能使△ABE 、△CDE 与△BCE 都相似？若能，请求出此时AD 的长；若不能，请说明理由.3、（卢湾）已知抛物线24y ax ax c =-+与y 轴交于点()0,3A ，点B 是抛物线上的点，且满足AB ∥x 轴，点C 是抛物线的顶点.（1）求抛物线的对称轴及B 点坐标；（2）若抛物线经过点()2,0-，求抛物线的表达式；（3）对（2）中的抛物线，点D 在线段AB 上，若以点A 、C 、D 为顶点的三角形与AOC ∆相似，试求点D 的坐标.4、（徐汇）24. 如图，抛物线225212-+-=x x y 与x 轴相交于A 、B ，与y 轴相交于点C ，过点C 作C D ∥x 轴，交抛物线点D ． （1）求梯形ABCD 的面积；(2) 若梯形ACDB 的对角线AC 、BD 交于点E ，求点E 的坐标，并求经过A 、B 、E 三点的抛物线的解析式；（3）点P 是射线CD 上一点，且△PBC 与△ABC 相似，求符合条件的P 点坐标．二、二次函数与分面积：例2、（闸北）如图十二，四边形OABC 是矩形，OA=4，OC=8，将矩形OABC 沿直线OB 折叠，使点A 落在D 处，BD 交OC 于点E ．(1)求OE 的长；(2)）求过O ，D ，C 三点抛物线的解析式；(3)若F 为过O ，D ，C 三点抛物线的顶点，一动点P 从 点A 出发，沿射线AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运 动，当运动时间t （秒）为何值时，直线PF 把△FOB 分成 面积之比为1:3的两部分？练习： 1、（普陀）如图，AB =16cm ，AC =12cm ，动点P 、Q 分别以每秒2cm 和1cm 的速度同时开始运动，其中点P 从点A 出发沿AC 边一直移到点C 为止，点Q 从点B 出发沿BA 边一直移动到点A 为止． （1） 写出AP 的长1y 和AQ 的长2y 关于时间t 的函数； （2） 经过多少时间后，△APQ 与△ABC 相似？（3） 在整个过程中，是否存在使△APQ 的面积恰好为△ABC 面积一半的情况，若存在，请问此时点Q 运动了多少时间？若不存在，请说明理由． (图十二）ABCQ P第25题2、（黄浦）已知二次函数k x k x y -++-=)1(2的图像经过一次函数4+-=x y 的图像与x 轴的交点A .（如图）（1）求二次函数的解析式；（2）求一次函数与二次函数图像的另一个交点B 的坐标；（3）若二次函数图像与y 轴交于点D ，平行于y 轴的直线l 将四边形ABCD 的面积分成1∶2的两部分，则直线l 截四边形ABCD 所得的线段的长是多少？（直接写出结果）三、压轴与等腰三角形及直角三角形：例3（闸北）如图十二，在边长为1的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上(与端点不重合)，点F 在射线DC 上．（1）若AF =AE ，并设CE =x ，△AEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）当CE 的长度为何值时，△AEF 和△ECF 相似? （3）若41=CE ，延长FE 与直线AB 交于点G ，当CF 的长度为何值时，△EAG 是等腰三角形？（图十二）E BBＡ（备用图一）BＡ（备用图二）BＡ（备用图三）P GADEF练习：1、如图，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5,AB DC ==AD =2，BC =8，MEN B ∠=∠．MEN ∠的顶点E 在边BC 上移动，一条边始终经过点A ，另一边与CD 交于点F ，联接AF ．（1）设y DF x BE ==,，试建立y 关于x 的函数关系式，并写出函数定义域； （2）若AEF △为等腰三角形，求出BE 的长．2、（普陀）已知△ABC 为等边三角形，AB =6，P 是AB 上的一个动点（与A 、B 不重合），过点P 作AB 的垂线与BC 相交于点D ，以 点D 为正方形的一个顶点，在△ABC 内作正方形DEFG ，其中 D 、E 在BC 上，F 在AC 上，（1）设BP 的长为x ，正方形DEFG 的边长为y ，写出y关于x 的函数解析式及定义域；（2）当BP =2时，求CF 的长；（3）△GDP 是否可能成为直角三角形？若能，求出BP的长；若不能，请说明理由.C DCBA 备用3、（嘉定）已知在梯形ABCD 中，DC AB //，PD AD 2=，PB PC 2=，PCD ADP ∠=∠，4==PC PD ，如图12． （1）求证：BC PD //；（2）若点Q 在线段PB 上运动，与点P 不重合，联结CQ 并延长交DP 的延长线于点O ， 如图13，设x PQ =，y DO =，求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）若点M 在线段PA 上运动，与点P 不重合，联结CM 交DP 于点N ，当△PNM 是等腰三角形时，求PM 的值．A P D CB 图12 A P DC B 图13Q O A PD CB 备用图4、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=BC=6，AD=3．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连结EF．（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；（3）若EF⊥CD,求BE的长．B CM5、如图11，已知2tan =∠MON ，点P 是MON ∠内一点，OM PC ⊥，垂足为点C ,2=PC ，6=OC ， A 是OC 延长线上一点，联结AP 并延长与射线ON 交于点B .（1）当点P 恰好是线段AB 的中点时，试判断△AOB 的形状，并说明理由； （2）当CA 的长度为多少时，△AOB 是等腰三角形；（3）设k AB AP =，是否存在适当的k ，使得k S S OBPCAPC=∆四边形，若存在，试求出k 的值；若不存在，试说明理由.四、压轴与锐角三角比：例4（卢湾）在Rt △ABC 中，∠ACB =90，AB =5，4sin 5CAB ∠=，D 是斜边AB 上一点，过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，AE 交直线BC 于点F ．（1）当1tan 2BCD ∠=时，求线段BF 的长；（2）当点F 在边BC 上时，设AD x =，BF y =，求y 关于x 的函数解析式，及其定义域； （3）当54BF =时，求线段AD 的长．练习：1、（卢湾）已知正方形ABCD 中，AB =5，E 是直线BC 上的一点，联结AE ，过点E 作EF ⊥AE ，交直线CD于点F ．（1）当E 点在BC 边上运动时，设线段BE 的长为x ，线段CF 的长为y ，①求y 关于x 的函数解析式及其定义域；②根据①中所得y 关于x 的函数图像，求当BE 的长为何值时，线段CF 最长，并求此时CF 的长； （2）当CF 的长为65时，求tan EAF ∠的值．2、（长宁）如图，一次函数m x y +-=43的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ，二次函数6412++-=bx x y 的图像经过A 、B 两点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）求二次函数的解析式；（3）如果点C 在这个二次函数的图像上，且点C 的横坐标为5，求tan ∠CAB 的值．3、（嘉定）在平面直角坐标系中，点A 坐标为)11(,，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点B ，AOB ∆绕点O 逆时针方向旋转︒90，得到MON ∆（如图9所示），若二次函数的图像经过点A 、M 、O 三点. （1）求这个二次函数的解析式；（2）如果把这个二次函数图像向右平移2个单位，得到新的二次函数图像与y 轴的交点为C ，求ACO ∠tan 的值；（3）在（2）的条件下，设新的二次函数图像的对称轴与x 轴的交点为D ，点E 在这条对称轴上，如果BCO ∆与以点B 、D 、E 所组成的三角形相似（相似比不为1），求点E 的坐标4、（嘉定）在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为)0,10(-，点B 在第二象限，10=OB ，3cot =∠AOB （如图11），一个二次函数b ax y +=2的图像经过点A 、B ． （1）试确定点B 的坐标；（2）求这个二次函数的解析式；（3）设这个二次函数图像的顶点为C ，△ABO 绕着点O 按顺 时针方向旋转，点B 落在y 轴的正半轴上的点D ，点A 落在点E 上，试求ECD ∠sin 的值．五、压轴与翻折、平移：例5、(宝山）在平面直角坐标系中，已知点A （4，0），点B （0，3）. 点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度向右平移，点Q 从点B 出发，以每秒2个单位的速度向右平移，又P 、Q 两点同时出发. (1) 联结AQ ，当△ABQ 是直角三角形时，求点Q 的坐标；(2) 当P 、Q 运动到某个位置时，如果沿着直线AQ 翻折，点P 恰好落在线段AB 上，求这时∠AQP 的度数； (3) 过点A 作AC ⊥AB ，AC 交射线PQ 于点C ，联结BC ，D 是BC 的中点. 在点P 、Q 的运动过程中，是否存在某时刻，使得以A 、C 、Q 、D 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，试求出这时ABC ∠cot 的值；若不存在，试说明理由。
新-108.二次函数与相似、全等1
PQ = DF = 2 5 = 2 OP CF 5
∴
PM
=
1 x2 4
=2
OM x
解得 x = 8 ．
∴ P2 (8，16)
综上，存在点 P1 (2 ，1) 、 P2 (8，16) 使得 △OPQ 与 △CDF 相似．
4. 【中】（相似）（2013 年上海市初中毕业生统一学业数学考试试卷）如图，在平面直
= =
−
5 2
1 2
．
∴该抛物线的解析式为 y = − 1 x2 + 5 x − 2 ． 22
⑵存在．
如图 1，设 D 点的横坐标为 t (0 < t < 4) ，则 D 点的纵坐标为 − 1 t2 + 5 t − 2 ．
22 过 D 作 y 轴的平行线交 AC 于 E．
由题意可求得直线 AC 的解析式为 y = 1 x − 2 ． 2
3
，解得
a
=
3 3
b
=
−
2 3
3
所以 y = 3 x2 − 2 3x 33
( ) （2）将抛物线配方： y = 3 x2 − 2x + 1 − 3 = 3 ( x −1)2 − 3
3
33
3
∴ M 1, −
3 3
过 M 作 MQ ⊥ x 轴，则 MQ = 3 ， OQ = 1 ， tan ∠QOM = MQ = 3
∴ DF 2 = DE 2 + EF 2 = 42 + 22 = 20 ∴ DF = 2 5 ．
由⑴得 C (−1，−1) ， D (4 ，−1)
∴ CD = 5
∴ CD2 = 52 = 25 ∴ CF 2 + DF 2 = CD2 ． ∴ ∠CFD = 90° ． ∴ CF ⊥ DF ．
二次函数与相似的综合题.docx
解得州=所以点沁标为2,4丿................................................. （2 分）1.已知二次函数y =加+ 3的图像与兀轴交于点A （1,0）与B （3,0）,交y 轴于点C,其图像顶点为£>•（1） 求此二次函数的解析式；（2） 试问与△BCO 是否相似？并证明你的结论；（3） 若点P 是此二次函数图像上的点，月= 试求点P 的坐标..................................................................... （2 分）所以二次函数解析式是y = x 2-4x + 3. ....................................................... （1分）（2） ZVIBD 与△BCO 相似.由（1）知：C （（）,3）, D （2,-l ）. -------------------------------------- （1 分） 于是 AB = 2,AD = BD = 4i , BC = 3y[i,0B = 0C = 3 , 即竺=空=也，—OB OC BC所以△ABD ^/XBCO 相似.(3)设P (X ,X 2-4X + 3),作P0丄x 轴，垂足为0 作丄BC,垂足为H. 易知为等腰直角三处形，则AH = BH=y/2, 由 ZPAB = ZACB , ZAQP = ZCHA = 90°f所以△APQ 与△CAH 相似, ..................................... （2分）于是些=空，AQ CH由题意知9Q + 3b + 3 = 0解得]归]b = -4 ....................................................................................... （1 分）.................................................................. （2 ................................................................. 分）--------------------------------------------------- （1丄25 72.抛物线y = mx 2 - 5mx +兀与y 轴正半轴交于点C,与兀轴分别交于点A 和点5(1,0),且 OC? =OAOB.(1) 求抛物线的解析式；(2) 点P 是y 轴上一点，当AP3C 和\ABC 相似吋，求点P 的坐标.2.解：(1)由题意，得抛物线对称轴是直线% = -, ............................ (1分)2・・•点4和点〃关于直线x = |对称，点B (1,0),・・・4(4,0) ...... (1分)V OC 2 =OA-OB = 4xI = 4f ・・・OC = 2 .......................................... (1 分)•・•点C 在），轴正半轴上，・・・C （0,2） ............................. （1分）1 9 5A y = — x 2 x + 2 ................................................................................ （2 分）2 2（2）由题意，可得AB = 3, BC = V5 , AC = 2^5 .................................. （1 分）•： OC 2 =OA OB ,,又ZBOC = ZCOAOC OA:.\BOC - \COA , A ZOCB = ZOAC ................................................. （1 分）・・・\PBC 和AABC 相似时,分下列两种情况:3 1 1:・OP = OC — CP = 2——=-,/. P （Q-）. ........................................ （2 .............................................................................................................. 分）2 2 22。
二次函数与相似测试卷二(含答案)
考前押题卷二一、选择题：1、在平面直角坐标系中，将抛物线4-2x y =先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）A 、222++=）（x yB 、2-2-2）（x y =C 、22-2+=）（x yD 、2-22）（+=x y2、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）A B C D3、某学生在练习投篮时，篮球被抛出后距离地面的高度)(m h 和飞行时间)(s t 满足下面的函数关系式：2221-2++=t t h ，则篮球距离地面的最大高度是（ ） A 、m 8 B 、m 6 C 、m 4 D 、m 24、手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）A B C D5、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，给出下列说法：①0<abc ；②方程02=++c bx ax 的根为31-21==x x 、；③当x ＞1时，y 随x 值的增大而减小； ④当y ＞0时，-1＜x ＜3． 其中正确的说法是（ ）A 、②③④B 、①③④C 、①②③D 、①②③④6、如图，△PQR 在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，其中点A 、B 、C 、D 也是小正方形的顶点，那么与△PQR 相似的是（ ）A 、以点P 、Q 、A 为顶点的三角形；B 、以点P 、Q 、B 为顶点的三角形C 、以点P 、Q 、C 为顶点的三角形；D 、以点P 、Q 、D 为顶点的三角形7、已知二次函数m m x x y (3-2+=为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1,0），则关于x 的一元二次方程03-2=+m x x 的两实数根是（ ）11=x ，1-2=x B 、11=x ，22=x C 、11=x ，02=x D 、11=x ，32=x8、图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ）A 、点MB 、点NC 、点OD 、点P9、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）A 、04-2>ac b B 、0>a C 、0>c D 、02>ab10、如图，A ，B ，C ，D ，E ，G ，H ，M ，N 都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF 与△ABC 相似，则点F 应是G ，H ，M ，N 四点中的（ ）A 、H 或NB 、G 或HC 、M 或ND 、G 或M11、在同一平面直角坐标系中，函数m mx y +=和函数22-2++=x mx y （m 是常数，且0≠m ）的图象可能是（ ）A B C D12、在平面直角坐标系中，将抛物线2--2x x y =向上（下）或向左（右）平移m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、613、若二次函数c x x y +=6-2的图象经过),23(),2()1-(321y C y B y A +、、，三点，则关于321y y y 、、大小关系正确的是（ ）A 、321y y y >>B 、231y y y >>C 、312y y y >>D 、213y y y >>14、如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的关系式为h=30t-5t 2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是（ ）A 、6sB 、4sC 、3sD 、2s15、抛物线c bx ax y ++=2上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表所示：x ．．． -3 -2 -1 0 1 ．．． y．．．-6466．．．给出下列说法：①抛物线与y 轴的交点为（0，6）；②抛物线的对称轴是在y 轴的右侧；③抛物线一定经过点（3，0）；④在对称轴左侧，y 随x 增大而减小．从表可知，下列说法正确的个数有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个16、某校校园内有一个大正方形花坛，它由四个边长均为3米的小正方形组成，如图（1），且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD 如图（2），DG=1米，AE=AF=x 米，在五边形EFBCG 区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y 与x 的函数图象大致是（ ）A B C D二、填空题17、如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，°=∠60ADE ，则AE 的长为 ．18、在二次函数c bx x y ++=2中，函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表：x -2 -1 0 1 2 3 4 y72-1-2m27则m 的值为 ．19、若把函数32-2+=x x y 化为k m x y +=2-）（，其中k m ，为常数，则=+k m ．20、已知点)5,(1x A 、)5,(2x B 是函数32-2+=x x y 上的两点，则当21x x x +=时，函数值=y ．21、如图，是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB 的高度为36cm ，那么它在暗盒中所成的像CD 的高度应为 cm ．三、解答题22、如图，在34×的正方形方格中，△ABC 和△DEC 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：=ABC ∠ ，=BC ； （2）判断△ABC 与△CED 是否相似，并证明你的结论．23、如图，电线杆AB 的影子恰好落在山坡CD 和地面BC 上，测得CD=4m ，BC=10m ，CD 与地面成30°角，且此时直立的1m 的竹竿的影长是2m ，求电线杆AB 的高．24、如图，等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=3，BC=7,°=60∠B ，P 为BC 边上一点（不与B 、C 重合），过点P 作B APE ∠∠=，PE 交CD 于E ． （1）求证：△APB ∽△PEC ； （2）若CE=3，求BP 的长．25、在某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成如图，若设花园的BC边长为x（m）花园的面积为y（m2）（1）求y与x之间的函数关系式，并求自变量的x的范围．（2）当x取何值时花园的面积最大，最大面积为多少？26、某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价增加x元（x为10的正整数倍）．（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？参考答案满分：100分一、选择题：（每题3分，共30分）1、B2、A3、C4、D5、D6、B7、B8、D9、D 10、C 11、D 12、A 13、B 14、A 15、C 16、A 二、填空题：（每题3分，共30分）17、7 18、-1 19、3 20、3 21、16 三、解答题：（22题8分，23题8分，24题12分，25题12分，合计40分） 22、（1）135°；22 （2）相似，证明略． 23、37+24、（1）相似（一线三等角）；（2）3或4．25、（1）)15≤0(2021-2x x x y <+=；（2）()21-202002y x =-+，∵1-02a =<，∴抛物线开口向下，又抛物线对称轴为：20x =，∴当015x <≤时，y 随x 的增大而增大，∴当15x =，最大面积187．52m ． 26、（1），160≤≤10(50101-x x y +=且x 是10的正整数倍）； （2）21-34800010w x x =++； （3）()21-1701089010w x =-+，∵1-010a =<，∴抛物线开口向下，又抛物线对称轴为：170x =，∴当10160x ≤≤时，w 随x 的增大而增大，∴当160x =，即34间，宾馆利润最大，最大利润是10880元．。
二次函数与相似测试卷一(含答案)
考前押题卷一一、选择题（每小题3分，共48分）1、下列函数关系中，可以看做二次函数)0≠(2a c bx ax y ++=模型的是（ ） A 、在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系；B 、我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系；C 、竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）；D 、圆的周长与圆的半径之间的关系.2、图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ）A.M B 、N C 、O D 、P 3、抛物线13-22+=）（x y 的顶点坐标是（ ）A 、（3,1）B 、（3，-1）C 、（-3,1）D 、（-3，-1）4、若有二次函数c ax y +=2，当x 取1x ，2x （21≠x x ）时，函数值相等，则当21x x x +=时，函数值为（ ）A 、c a +B 、c a -C 、c -D 、c5、把抛物线2--2x y =平移后得到抛物线2-x y =，平移的方法可以是（ ） A 、沿y 轴向上平移2个单位 B 、沿y 轴向下平移2个单位C 、沿x 轴向右平移2个单位D 、沿x 轴向左平移2个单位6、小华同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30cm ，幻灯片到屏幕的距离是1.5m ，幻灯片上小树的高度是10cm ，则屏幕上小树的高度是（ ）A 、50cmB 、500cmC 、60cmD 、600cm7、下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ ）A B C D8、如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判定△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（ ）A 、∠ABD=∠CB 、∠ADB=∠ABC C 、CD CB BD AB = D 、ACABAB AD = 9、如图，若A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使ABC∽△PQR，则点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）A 、甲B 、乙C 、丙D 、丁10、已知二次函数)0≠(2a c bx ax y ++=的y 与x 的对应值如下表： x ...... -1 0 1 3 ...... y......-3131......则下列判断中正确的是（ ）A 、抛物线开口向上B 、抛物线与y 轴交于负半轴C 、当x=4时，y>0D 、方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间11、已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD=（ ）A 、21-5 B 、215+ C 、3 D 、212、如图，在△ABC 中，AB=AC=2，∠BAC=20°．动点P 、Q 分别在直线BC 上运动，且始终保持∠PAQ=100°．设BP=x ，CQ=y ，则y 与x 之间的函数关系用图象大致可以表示为（ ）A B C D13、如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且21==AC AD AB AE ，则BCED AD E S S 四边形△：的值为（ ）A.3:1 B 、1:2 C 、1:3 D 、1:414、如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发，沿着A→B→A 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t＜6），连接DE ，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为（ ）A 、2B 、2.5或3.5C 、3.5或4.5D 、2或3.5或4.515、已知二次函数)0≠(2a c bx ax y ++=的部分图象如图所示，若y<0，则x 的取值范围（ ）A 、-1<x<4B 、-1<x<3C 、x<-1或x>4D 、x<-1或x>316、下列表格是二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程为常数）、、（c b a a c bx ax ,002≠=++的一个解x 的范围是（ ） A 、17.66<<x B 、18.617.6<<x C 、19.618.6<<x D 、20.619.6<<x二、填空题：（每小题3分，共15分） 17、已知抛物线1--2x x y =与x 轴的一个交点为（m,0），则代数式的值为 。
专题二 二次函数和相似三角形
专题二、二次函数与相似三角形一、知识梳理二次函数为背景即在平面直角坐标系中，通常是用待定系数法求二次函数的解析式，在求点的坐标过程中需要用到相似三角形的一些性质，如何利用条件找到合适相似三角形是需要重点突破的难点。
其实破解难点以后不难发现，若是直角三角形相似无非是如下图的几种基本型。
若是非直角三角形有如下图的几种基本型。
利用几何定理和性质或者代数方法建议方程求解都是常用的方法。
二、例题讲解 例1.如图，已知抛物线()122+--=x y 的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C.（1）试判断△AOC 与△COB 是否相似;（2）若点D 是抛物线的顶点，DH 垂直于x 轴，垂足为H ，试判断直角三角形DHA 与直角三角形COB 是否相似？说明理由．变式1：若点M在抛物线上且在x轴上方，过点M作MG垂直于x轴，垂足为点G，是否存在M，使得△AMG与△AOC相似．变式2：若点D是抛物线的顶点，点M在抛物线上且在x轴上方，过点M做x轴的垂线，垂足为点G，是否存在M，使得△AMG与△DCB相似．例2．如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．例3．已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．例4.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．例5.已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且∠BDC=90°，求点C的坐标；（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．①求证：∠PDQ=90°；②求△PDQ面积的最小值．例6.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．例7.如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若=，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值．例8.如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．三、课后练习1.如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的横坐标为t （0＜t＜3），求△ABP的面积S与t的函数关系式；（3）条件同（2），若△ODP与△COB相似，求点P的坐标．2.如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣n（n＞0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C．（1）如图1，若△ABC为直角三角形，求n的值；（2）如图1，在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标；（3）如图2，过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D，交y轴于点E，若AE：ED=1：4，求n的值．3.如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣x﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，﹣），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q 从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒．①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．5.如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x 轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（8，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D．①是否存在点P，使线段PD的长度最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；②当△PDC与△COA相似时，求点P的坐标．四、能力提升1.如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴相交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．①求点D的坐标；②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．。
2020秋季创新班第六讲-二次函数与相似(二)
2020秋季初三创新班第六讲补充题二次函数与相似（二）1．（2020•成都）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2020•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝CD．（1）求b，c的值；（2）求直线BD的函数解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．3．（2020•铜仁市）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．4．（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．5．（2020•潍坊）如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P 的坐标；（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2020•聊城）如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．7．（2020•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．8．（2020•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B （1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E 作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD+PC的最小值；②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+OQ的最小值．9．（2020•怀化）如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．（1）求点C及顶点M的坐标．（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O 为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2020•随州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x＝，其图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C．（1）直接写出抛物线的解析式和∠CAO的度数；（2）动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N 以每秒个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t（t＞0）秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90°，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；（3）在（2）的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q 为顶点的三角形与△MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）。
二次函数与相似
二次函数与相似相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探讨两个三角形相似的动态问题，一样情形下第一寻觅一组对应角相等。
判定定理2是最经常使用的解题依据，一样分三步：寻觅一组等角，分两种情形列比例方程，解方程并查验。
若是已知∠A=∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边别离表示出来，依照对应边成比例，分和两种情形列方程。
应用判定定理1解题，先寻觅一组等角，再分两种情形讨论另外两组对应角相等。
应用判定定理3解题不多见，依照三边对应成比例列连比式解方程（组）。
还有一种情形，讨论两个直角三角形相似，若是一组锐角相等，其中一个一个直角三角形的锐角三角比是确信的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题。
1.(河南倒一)如图，直线与轴交于点A(3,0)，与轴交于点B，抛物线通过点A，B.（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线别离交于点P、N，①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为极点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”.请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值.2.（武汉倒一）已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；（3）如图2，直线AB别离交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C动身，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O动身，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．3.（淄博倒一）如图1，通过原点O的抛物线y=a x²+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（,0），在第一象限内与直线y=x 交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，知足以B，O，C为极点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是不是存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4.（海南倒一）抛物线y=ax2+bx+3通过点A(1,0)和点B(5,0).（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线y=+3 相交于C、D两点,点P是抛物线上的动点且位于x轴下方.直线PM⊥x轴,别离与x轴和直线CD交与点M、N.①连结PC、PD,如图1,在点P运动进程中,△PCD的面积是不是存在最大值?若存在,求出那个最大值;若不存在,说明理由；②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2.是不是存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出知足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.5.（2017·山东莱芜）抛物线y=ax2+bx+c过A（2,3）、B（4,3）、C（6，-5）三点.（1）求抛物线的表达式（2）如图①，抛物线上一点D在线段AC的上方，DE⊥AB交AC于点E，若知足，求点D的坐标. （3）如图②，F为抛物线极点，过A作直线⊥AB，若点P在直线上运动，点Q在轴上运动，是不是存在如此的点P、Q，使得以B、P、Q为极点的三角形与△ABF相似，若存在，求P、Q的坐标，并求现在△BPQ的面积；若不存在，请说明理由.6.已知,抛物线y=a x2+bx+3(a<0)与x轴交于A(3,0)、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=1,D为抛物线的极点,点E在y轴C点的上方,且CE=1/2.(1)求抛物线的解析式及极点D的坐标;(2)求证:直线DE是△ACD外接圆的切线;(3)在直线AC上方的抛物线上找一点P,使S△ACP=1/2S△ACD ,求点P的坐标;(4)在座标轴上找一点M,使以点B、C、M为极点的三角形与△ACD相似,直接写出点M的坐标.7.如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象通过点A（3，1），点C（0，4），极点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后取得的二次函数图象的极点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所组成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，没必要写解答进程）．1.【答案】（1）B（0，2），；（2）①点M的坐标为（，0）或M（，0）；②m=-1或m=或m=.试题解析：（1）直线与轴交于点，∴，解得c=2∴B（0，2），∵抛物线通过点，∴，∴b=∴抛物线的解析式为；（2）∵轴，M（m，0），∴N()①有（1）知直线AB的解析式为，OA=3，OB=2∵在△APM中和△BPN中，∠APM=∠BPN, ∠AMP=90°，若使△APM中和△BPN相似，则必需∠NBP=90°或∠BNP =90°，分两种情形讨论如下：（I）当∠NBP=90°时，过点N作NC轴于点C，则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，BC=∵∠NBP=90°，∴∠NBC+∠ABO=90°，∴∠BNC=∠ABO，∴Rt△NCB∽Rt△BOA∴,即，解得m=0（舍去）或m=∴M（，0）；考点：二次函数综合题.3【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式；（2）过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，可设出C点坐标，利用C点坐标可表示出CD的长，从而可表示出△BOC的面积，由条件可取得关于C点坐标的方程，可求得C点坐标；（3）设MB交y轴于点N，则可证得△ABO≌△NBO，可求得N点坐标，可求得直线BN的解析式，联立直线BM与抛物线解析式可求得M点坐标，过M作MG⊥y轴于点G，由B、C的坐标可求得OB和OC的长，由相似三角形的性质可求得的值，当点P在第一象限内时，过P作PH⊥x轴于点H，由条件可证得△MOG∽△POH，由==的值，可求得PH和OH，可求得P点坐标；当P点在第三象限时，同理可求得P点坐标．【解答】解：（1）∵B（2，t）在直线y=x上，∴t=2，∴B（2，2），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=2x2﹣3x；（2）如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，∵点C是抛物线上第四象限的点，∴可设C（t，2t2﹣3t），则E（t，0），D（t，t），∴OE=t，BF=2﹣t，CD=t﹣（2t2﹣3t）=﹣2t2+4t，∴S△OBC =S△CDO+S△CDB=CD•OE+CD•BF=（﹣2t2+4t）（t+2﹣t）=﹣2t2+4t，∵△OBC的面积为2，∴﹣2t2+4t=2，解得t1=t2=1，∴C（1，﹣1）；（3）存在．设MB交y轴于点N，如图1，∵B（2，2），∴∠AOB=∠NOB=45°，在△AOB和△NOB中∴△AOB≌△NOB（ASA），∴ON=OA=，∴N（0，），∴可设直线BN解析式为y=kx+，把B点坐标代入可得2=2k+，解得k=，∴直线BN的解析式为y=x+，联立直线BN和抛物线解析式可得，解得或，∴M（﹣，），∵C（1，﹣1），∴∠COA=∠AOB=45°，且B（2，2），∴OB=2，OC=，∵△POC∽△MOB，∴==2，∠POC=∠BOM，当点P在第一象限时，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，∵∠COA=∠BOG=45°，∴∠MOG=∠POH，且∠PHO=∠MGO，∴△MOG∽△POH，∴===2，∵M（﹣，），∴MG=，OG=，∴PH=MG=，OH=OG=，∴P（，）；当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，同理可求得PH=MG=，OH=OG=，∴P（﹣，）；综上可知存在知足条件的点P，其坐标为（，）或（﹣，）．。
中考总复习专题：二次函数与相似的结合
二次函数与相似的结合题型一：动点在线段上如图，平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)B -，一次函数5y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、C 两点，二次函数2y x bx c =-++的图像经过点A 、点B ；（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P 是该二次函数图像的顶点，求△APC 的面积；（3）如果点Q 在线段AC 上，且△ABC 与△AOQ 相似，求点Q 的坐标；如图，抛物线22y ax ax c =++(0)a >与x 轴交于(3,0)A -、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点(0,3)C -，抛物线的顶点为M ；（1）求a 、c 的值； （2）求tan MAC ∠的值；（3）若点P 是线段AC 上一个动点，联结OP ；问是否存在点P ，使得以点O 、C 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由； 如图，已知抛物线2y ax x c =-+的对称轴为直线x =1，与x 轴的一个交点为A （-1，0），顶点为B . 点C （5，m ）在抛物线上，直线BC 交x 轴于点E . （1） 求抛物线的表达式及点E 的坐标； （2） 联结AB ，求∠B 的正切值；（3） 点G 为线段AC 上一点，过点G 作CB 的垂线交x 轴于点M （位于点E 右侧），当△CGM 与△ABE 相似时，求点M 的坐标. 【参考答案】24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）解：（1）∵抛物线2y ax x c =-+的对称轴为直线x =1，∴12a =. ∵抛物线与x 轴的一个交点为A （-1，0），∴32c =-. ∴抛物线的表达式为21322y x x =--.………………………………………………（2分） ∴顶点B （1，-2）.…………………………………………………………………（1分） ∵点C （5，m ）在抛物线上，∴6m =. ∴C 点坐标为（5，6）. 设直线BC 的表达式为y =kx +b （k ≠0），xyAB EC O （第24题图）则652k b k b=+⎧⎨-=+⎩，∴2,4.k b =⎧⎨=-⎩即BC 的表达式为y =2x -4.∴E （2，0）.……………………………………………………………………………（1分）（2）作CH ⊥x 轴，垂足为H ，作BP ⊥x 轴，垂足为P ， ∵C （5，6），A （-1，0），∴CH =6=AH . ∴∠CAH=45°. ∵B （1，-2），A （-1，0），∴BP =2=AP .∴∠BAP=45°. ∴∠CAB=90°. …………………………………………………………………………（1分）∵CH =6=AH ，CH ⊥x 轴，∴AC =∵BP =2=AP ，BP ⊥x 轴，∴AB =∴tan 3.ACB AB∠==…………………………………………………………………（2分） （3）∵∠CAB=90°，∴∠B +∠ACB =90°. ∵GM ⊥BC ，∴∠CGM +∠ACB =90°.∴∠CGM =∠B . ………………………………（1分） ∵△CGM 与△ABE 相似，∴∠BAE =∠CMG 或∠BAE =∠MCG . 情况1：当∠BAE =∠CMG 时， ∵∠BAE =45°，∴∠CMG =45°. ∵GM ⊥BC ，∴∠MCE =45°.∴∠MCE =∠EAB .∵∠AEB =∠CEM ，∴△ABE ∽△CME . ……………………………………………（1分）∴BE AEEM CE =.即EM =∴EM =5. ∴M （7，0）. ……………………………（1分） 情况2：当∠BAE =∠MCG 时，∵∠BAE =∠CAM ，∴∠MCG =∠CAM .∴MC =MA . ………………………………（1分） 设M （x ，0），∵C （5，6），A （-1，0），∴222(1)(5)6.x x +=-+∴x=5.∴M （5，0）. …………………………………………………………………………（1分） 题型二：动点在线段的延长线上如图7，已知抛物线32++-=bx x y 与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OC OB =，点D 是抛物线的顶点，直线AC 和BD 交于点E 。
专题12 二次函数与相似(解析版)
九年级数学下册解法技巧思维培优专题12 二次函数与相似【典例1】（2019•醴陵市一模）在平面直角坐标系中，抛物线y =−12x 2+32x +m ﹣1交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，若A 点坐标为（x 1，0），B 点坐标为（x 2，0）（x 1≠x 2）．（1）求m 的取值范围；（2）如图1，若x 12+x 22＝17，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，请解答下列两个问题：①如图1，请连接AC ，求证：△ACB 为直角三角形．②如图2，若D （1，n ）在抛物线上，过点A 的直线y ＝﹣x ﹣1交（2）中的抛物线于点E ，那么在x 轴上点B 的左侧是否存在点P ，使以P 、B 、D 为顶点的三角形与△ABE 相似？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．【点拨】（1）△＝（32）2﹣4×（−12）（m ﹣1）=94+2m ﹣2＝2m +14，即可求解； （2）∵x 1+x 2＝3，x 1•x 2＝﹣2（m ﹣1），又x 12+x 22＝17，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2＝17，即可求解；（3）①AC 2＝5，BC 2＝20，AB 2＝25，即可求解；②分△PBD ∽△BAE 、△PBD ∽△EAB 两种情况，分别求解即可．【解析】解：（1）△＝（32）2﹣4×（−12）（m ﹣1）=94+2m ﹣2＝2m +14，由题可得2m +14＞0，∴m ＞−18；（2）∵x 1+x 2＝3，x 1•x 2＝﹣2（m ﹣1），又x 12+x 22＝17，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2＝17∴32+4（m ﹣1）＝17，∴m ＝3，∴抛物线的解析式为y =−12x 2+32x +2；（3）①证明：令y ＝0，−12x 2+32x +2＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝4，∴A （﹣1，0），B （4，0）令x ＝0，y ＝2，∴C （0，2），∴AC 2＝5，BC 2＝20，AB 2＝25∴AC 2+BC 2＝AB 2∴△ACB 为直角三角形；②根据抛物线的解析式易知：D （1，3），联立直线AE 、抛物线解析式：{y =−x −1y =−12x 2+32x +2解得{x =−1y =0或{x =6y =−7， ∴E （6，﹣7），∴tan ∠DBO ＝1，即∠DBO ＝45°，tan ∠EAB ＝1，即∠EAB ＝45°，∴∠DBA ＝∠EAB ，若以P 、B 、D 为顶点的三角形与△ABE 相似，则有两种情况：①△PBD ∽△BAE ； ②△PBD ∽△EAB ．易知BD ＝3√2，EA ＝7√2，AB ＝5，由①得：PB AB=BD AE ，即PB 5=√27√2，即PB =157，OP ＝OB ﹣PB =137． 由②得：PBAE =BD AB ，即7√2=3√25，即PB =425，OP ＝OB ﹣BP =−225， ∴P （137，0）或（−225，0）． 【典例2】（2019•东河区二模）如图1，已知经过原点的抛物线y ＝ax 2+bx 与x 轴交于另一点A （32，0），在第一象限内与直线y ＝x 交于点B （2，t ）（1）求抛物线的解析式；（2）在直线OB 下方的抛物线上有一点C ，点C 到直线OB 的距离为2，求点C 的坐标；（3）如图2，若点M 在抛物线上，且∠MBO ＝∠ABO ，在（2）的条件下，是否存在点P ，使得△POC ∽△MOB ？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．【点拨】（1）点B 在直线y ＝x 上，则点B 的坐标为（2，2），将点A 、B 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）如图，过点C 作CH ∥y 轴交AB 于点H ，则∠MHC ＝∠MCH ＝45°，CM =√2，HC =√2CM ＝2，设点H （t ，t ），则C （t ，2t 2﹣3t ），即可求解；（3）分点P 在第一象限、第三象限两种情况，分别求解即可．【解析】解：（1）点B 在直线y ＝x 上，则点B 的坐标为（2，2），将点A 、B 的坐标代入二次函数表达式得：{0=a(32)2+32b 2=4a +2b ，解得：{a =2b =−3， 故抛物线的表达式为：y ＝2x 2﹣3x …①；（2）如图，过点C 作CH ∥y 轴交AB 于点H ，∵∠BAO ＝45°，∴∠OHC ＝45°，又∵CM ⊥OB ，∴∠MHC ＝∠MCH ＝45°，CM =√2，∴HC =√2CM ＝2，设点H （t ，t ），则C （t ，2t 2﹣3t ），∵点C 在直线BO 的下方，HC ＝t ﹣2t 2+3t ＝2，解得：t ＝1，∴C （1，﹣1）；（3）如图（2）BM 交y 轴于点N ，∵∠MBO ＝∠ABO ，OB ＝OB ，∠NOB ＝∠AOB ＝45°，∴△BON ≌△AOB （AAS ），∴ON ＝OA =32，将点B 、N （0，32）坐标代入一次函数表达式并解得： 直线BM 的表达式为：y =14x +32⋯②，联立①②并解得：x =−38，故点M （−38，4532），∵△POC ∽△MOB ，OB ＝2√2，OC =√2，∴OB OC =OM OP =2，即：OM ＝2OP ，∠MOB ＝∠POC ，①当点P 在第一象限时，过点P 作PQ ⊥OA 于点Q ，过点M 作MG ⊥ON 于点G ，∵∠BON ＝∠AOC ＝45°∴∠MON ＝∠POA ，∴△MOG ∽△POQ ，∵OM ＝2OP ，∴OM OP =MG PQ =OG OQ =2，又OG =4532，MG =38， ∴OQ =4564，PQ =316， 即点P （4564，316）②同理当点P 在第三象限时，点P （−316，−4564）； 综上，点P （4564，316）或（−316，−4564）． 【典例3】（2019•鹿城区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A （1，2），B （5，0），抛物线y ＝ax 2﹣2ax （a ＞0）交x 轴正半轴于点C ，连结AO ，AB ．（1）求点C 的坐标；（2）求直线AB 的表达式；（3）设抛物线y ＝ax 2﹣2ax （a ＞0）分别交边BA ，BA 延长线于点D 、E ．①若AE ＝2AO ，求抛物线表达式；②若△CDB 与△BOA 相似，则a 的值为 1013 （直接写出答案）．【点拨】（1）求得对称轴，由对称性可知C点坐标；（2）利用待定系数法求解可得；（3）①由AE＝3AO的关系，建立K型模型相似，求得点E坐标代入解析式可得；②若△CDB与△BOA相似，则∠A＝∠CDB＝90°，由相似关系可得点D坐标，代入解析式y＝ax2﹣2ax 可得a值．【解析】解：（1）∵x=−b2a=1，O，C两点关于直线x＝1对称∴C（2，0）；（2）设直线AB：y＝kx+b，把A（1，2），B（5，0）代入得{k+b=25k+b=0，解得：{k=−12b=52，∴y=−12x+52．（3）①∵A（1，2），B（5，0），O（0，0）∴OA=√5，OB＝5，AB＝2√5∴OA2+AB2＝OB2∴∠OAB＝90°∴∠OAE ＝90°作EF ⊥AF ，AG ⊥x 轴，∵∠FEA ＝∠OAG ，∠F ＝∠AGO ＝90°∴△EAF ∽△AOG （AA ）∴EF AG =AF OG =AE AO =2，∴EF ＝4，AF ＝2，∴点E 坐标为（﹣3，4）代入解析式y ＝ax 2﹣2ax 可得，9a +6a ＝4，解得a =415，∴y =415x 2−815x ； ②若△CDB 与△BOA 相似，CD AO =BD AB =BC BO ， ∴√5=2√5=35， D （135，65），代入解析式y ＝ax 2﹣2ax 可得，a =1013．故答案为：1013．【典例4】（2020•郑州一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y =−12x +n 与x 轴，y 轴分别交于点B ，点C ，抛物线y ＝ax 2+bx +32（a ≠0）过B ，C 两点，且交x 轴于另一点A （﹣2，0），连接AC ．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点P 为第一象限内抛物线上一点，且点P 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示点P 到直线BC 的距离；（3）抛物线上是否存在一点Q （点C 除外），使以点Q ，A ，B 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【点拨】（1）点C （0，32），则直线y =−12x +n =−12x +32，则点B （3，0），则抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣3）（x +2）＝a （x 2﹣x ﹣6），即可求解；（2）则PH ＝PG cosα=5（−14m 2+14m +32+12m −32）=−√510m 2+3√510m ； （3）分当点Q 在x 轴上方、点Q 在x 轴下方两种情况，分别求解即可．【解析】解：（1）点C （0，32），则直线y =−12x +n =−12x +32，则点B （3，0），则抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣3）（x +2）＝a （x 2﹣x ﹣6），故﹣6a =32，解得：a =−14，故抛物线的表达式为：y =−14x 2+14x +32；（2）过点P 作y 轴的平行线交BC 于点G ，作PH ⊥BC 于点H ，则∠HPG ＝∠CBA ＝α，tan ∠CBA =OC OB =12=tanα，则cosα=25， 设点P （m ，−14m 2+14m +32），则点G （m ，−12m +32），则PH ＝PG cosα=5（−14m 2+14m +32+12m −32）=−√510m 2+3√510m ； （3）①当点Q 在x 轴上方时，则点Q ，A ，B 为顶点的三角形与△ABC 全等，此时点Q 与点C 关于函数对称轴对称，则点Q （1，32）；②当点Q 在x 轴下方时，（Ⅰ）当∠BAQ ＝∠CAB 时，△QAB ∽△BAC ，则AB AC =AQ AB ，由勾股定理得：AC ＝5，AQ =AB 2AC =2552=10，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，由△HAQ ∽△OAC 得：AQ AC =QH OC =AH OA ，∵OC=32，AQ＝10，∴QH＝6，则AH＝8，OH＝8﹣2＝6，∴Q（6，﹣6）；该点在抛物线上；根据点的对称性，当点Q在第三象限时，符合条件的点Q（﹣5，﹣6）；故点Q的坐标为：（6，﹣6）或（﹣5，﹣6）；（Ⅱ）当∠BAQ＝∠CBA时，则直线AQ∥BC，直线BC表达式中的k为：−1 2，则直线AQ的表达式为：y=−12x﹣2…②，联立①②并解得：x＝5或﹣2（舍去﹣2），故点Q（5，−7 2），BC AB =√4545，而ABAQ=√2454，故BCAB≠ABAQ，即Q，A，B为顶点的三角形与△ABC不相似，故舍去，Q的对称点（﹣4，−72）同样也舍去，即点Q的为：（﹣4，−72）、（5，−72）均不符合题意，都舍去；综上，点Q的坐标为：（1，32）或（6，﹣6）或（﹣5，﹣6）．【典例5】（2019•贵港三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形P AOC的周长最小？若存在，求出四边形P AOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，点Q是线段OB上一动点，当△BPQ与△BAC相似时，求点Q的坐标．【点拨】（1）将A （1，0）、B （4，0）、C （0，3）代入线y ＝ax 2+bx +c ，求出a 、b 、c 即可； （2）四边形P AOC 的周长最小值为：OC +OA +BC ＝1+3+5＝9； （3）分两种情况讨论：①当△BPQ ∽△BCA ，②当△BQP ∽△BCA ． 【解析】解：（1）由已知得{a +b +c =016a +4b +c =0c =3，解得{ a =34b =−154c =3所以，抛物线的解析式为y =y =34x 2−154x +3；（2）∵A 、B 关于对称轴对称，如图，连接BC ，与对称轴的交点即为所求的点P ，此时P A +PC ＝BC ， ∴四边形P AOC 的周长最小值为：OC +OA +BC ， ∵A （1，0）、B （4，0）、C （0，3）， ∴OA ＝1，OC ＝3，BC ＝5， ∴OC +OA +BC ＝1+3+5＝9；∴在抛物线的对称轴上存在点P ，使得四边形P AOC 的周长最小，四边形P AOC 周长的最小值为9； （3）如图，设对称轴与x 轴交于点D ．∵A （1，0）、B （4，0）、C （0，3）， ∴OB ＝4，AB ＝3，BC ＝5，直线BC ：y =−34x +3，由二次函数可得，对称轴直线x =52， ∴P （52，98），BP =158，①当△BPQ ∽△BCA ，BQ BA =BP BC，BQ 3=1585=38，∴BQ =98，∴OQ =OB −BQ =4−98=238， Q 1（238，0）②当△BQP ∽△BCA ，BQ BC=BP BA，∴BQ 5=1583=58，∴BQ =258，∴OQ ＝OB ﹣BQ ＝4−258=78， ∴Q 2（78，0），综上，求得点Q 的坐标（238，0）或（78，0）巩固练习1．（2019•相城区校级二模）如图1，抛物线y ＝ax 2﹣6ax +6（a ≠0）与x 轴交于点A （8，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜8），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ． （1）求出抛物线的函数表达式；（2）设△PMN 的面积为S 1，△AEN 的面积为S 2，若S 1：S 2＝36：25，求m 的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为30°，连接E 'A 、E 'B ，在坐标平面内找一点Q ，使△AOE ′～△BOQ ，并求出Q 的坐标．【点拨】（1）运用待定系数法，把A （8，0）代入y ＝ax 2﹣6ax +6，解方程即可；（2）先运用待定系数法求直线AB 解析式，再利用△ANE ∽△PNM 和S 1：S 2＝36：25，可求得AN PN，建立关于m 的方程求解即可；（3）由△AOE ′～△BOQ ，可分两种情况：点Q 在y 轴右侧或点Q 在y 轴左侧；运用相似三角形性质分别求解即可．【解析】解：（1）把A （8，0）代入y ＝ax 2﹣6ax +6，得64a ﹣48a +6＝0，解得a =−38，∴抛物线的函数表达式为：y =−38x 2+94x +6；（2）如图1，在y =−38x 2+94x +6中，令x ＝0，得y ＝6， ∴B （0，6），令y ＝0，得−38x 2+94x +6＝0，解得：x 1＝8，x 2＝﹣2， ∴A （8，0），设直线AB 解析式为y ＝kx +b ，则{8k +b =0b =6，解得{k =−34b =6∴直线AB 解析式为y =−34x +6 ∵PE ⊥x 轴，PM ⊥AB ∴∠AEN ＝∠PMN ＝90°， ∵∠ANE ＝∠PNM ∴△ANE ∽△PNM∴AE PM=EN MN=AN PN，S 1S 2=S △PMN S △AEN=（PM AE）2，∵S 1：S 2＝36：25，∴PM AE =65∴AN PN=56，即6AN ＝5PN∵E （m ，0）（0＜m ＜8），∴P （m ，−38m 2+94m +6），N （m ，−34m +6）∴EN =−34m +6，PN ＝PE ﹣EN =−38m 2+94m +6﹣（−34m +6）=−38m 2+3m OE ＝m ，AE ＝8﹣m ，∵AB =√OA 2+OB 2=√82+62=10∴cos ∠OAB =AE AN =OAAB ，即8−m AN =810 ∴AN =54（8﹣m ），∴6×54（8﹣m ）＝5×（−38m 2+3m ），解得：m 1＝4，m 2＝8（不符合题意，舍去）， ∴m ＝4；（3）如图2，∵线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为30°， ∴OE ′＝OE ＝4，∠AOE ′＝30° ∵△AOE ′～△BOQ ，∴OE′OA =OQ OB ，∠BOQ ＝∠AOE ′＝30°，∴48=OQ 6，即OQ ＝3，过点Q 作QH ⊥y 轴于H ，∴QH =12OQ =32，OH =√OQ 2−QH 2=√32−(32)2=3√32， ∴当点Q 在y 轴右侧时，Q 1（32，3√32）， 当点Q 在y 轴左侧时，Q 2（−32，3√32）． 综上所述，Q 的坐标为：Q 1（32，3√32），Q 2（−32，3√32）．2．（2019•武侯区校级模拟）如图1，以点A（﹣1，2）、C（1，0）为顶点作Rt△ABC，且∠ACB＝90°，tan A ＝3，点B位于第三象限（1）求点B的坐标；（2）以A为顶点，且过点C的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）是否经过点B，并说明理由；（3）在（2）的条件下（如图2），AB交x轴于点D，点E为直线AB上方抛物线上一动点，过点E作EF⊥BC于F，直线FF分别交y轴、AB于点G、H，若以点B、G、H为顶点的三角形与△ADC相似，求点E的坐标．【点拨】（1）由∠ACB＝90°可联想到构造K字形相似．即可得△CNB～△AMC，由相似比＝tan∠BAC=BC AC=3，即可求出BN、NC，从而得到B的坐标．（2）以A 为顶点可设为y ＝a （x +1）2+2，将C 点代入即可求出a =−12，然后将B 代入解析式也成立即可判定抛物线经过点B ，（3）由直线AC 解析式可知∠ACD ＝45°，由EF ⊥BC 可知AC 平行HG ，以点B 、G 、H 为顶点的三角形与△ADC 相似，有两种情况：Ⅰ．∠HGB ＝45°，即BG ⊥y 轴，G 点坐标（0，﹣6），即可求出直线EG 解析式，进而求出E 点．Ⅱ．）．∠HBG ＝∠ACD ＝45°时，∴G 坐标为（0，−133），同理可求此时E 点坐标．【解析】解：（1）过C 点作MN 垂直x 轴．过A 、B 两点分别作AM ⊥MN ，垂足为M ，BN ⊥MN ，垂足为N ，∵∠ACB ＝90°， ∴∠CBN ＝∠ACM ， ∴△CNB ～△AMC ，∴BC AC=BN CM=CN AM，∵A （﹣1，2）、C （1，0）， ∴AM ＝2，CM ＝2，又∵tan A =BCAC=3， ∴BN ＝6，CN ＝6， ∴B 点坐标为（﹣5，﹣6）．（2）设以A （﹣1，2）为顶点的抛物线为y ＝a （x +1）2+2， ∵抛物线经过C （1，0） ∴a （1+1）2+2＝0，∴a =−12，∴函数解析式为y =−12(x +1)2+2，当x ＝﹣5时，y =−12(−5+1)2+2=−6，∴以A 为顶点，且过点C 的抛物线为y =−12(x +1)2+2经过点BB （﹣5，﹣6）． （3）∵点A （﹣1，2）、C （1，0）， ∴直线y AC ＝﹣x +1，∠ACD ＝45°， ∵EF ⊥BC ， ∴∠BHC ＝DAC ，∴以点B 、G 、H 为顶点的三角形与△ADC 相似，有两种情况：Ⅰ．如图2（1）．∠HGB ＝45°，∵EG ∥AC ，∴BG ∥CD ，即BG ⊥y 轴， ∴G 坐标为（0，﹣6） ∴直线y EG ＝﹣x ﹣6，依题意得：{y =−x −6y =−12(x +1)2+2， 解得{x 1=√15y 1=−√15−6（不合题意舍去），得{x 2=−√15y 2=√15−6，∴当∠HGB ＝∠ACD ＝45°时△HBG ∽ADC ，即：E 点坐标为（−√15，√15−6）． Ⅱ．如图2（2）．∠HBG ＝∠ACD ＝45°时，△HBG ∽△ACD ， ∵过B 点作BP ⊥y 轴，∴P 点（0，﹣6） ∵∠CBP ＝45°， ∴∠GBP ＝∠ABC ，又∵tan ∠GBP =GPBP ，tan ∠ABC =13，BP ＝5，∴GP =53，即G 点坐标为（0，−133）， ∴直线y EG =−x −133， 依题意得：{y =−x −133y =−12(x +1)2+2， 解得{x 1=√1053y 1=−√1053−6，（不合题意舍去），得{x 2=−√1053y 2=√1053−6， 即E 点为（−√1053，√1053−6）， 综上所述：E 点坐标为（−√15，√15−6）或（−√1053，√1053−6），3．（2020•崇明区一模）如图，抛物线与x 轴相交于点A （﹣3，0）、点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），点D 是抛物线上一动点，联结OD 交线段AC 于点E ． （1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标； （2）求∠ACB 的正切值；（3）当△AOE 与△ABC 相似时，求点D 的坐标．【点拨】（1）利用待定系数法确定函数解析式，根据函数解析式求得该抛物线的顶点坐标；（2）如图，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，构造等腰直角△ABH 和直角△BCH ，利用勾股定理和两点间的距离公式求得相关线段的长度，从而利用锐角三角函数的定义求得答案；（3）如图2，过点D 作DK ⊥x 轴于点K ，构造直角△DOK ，设D （x ，﹣x 2﹣2x +3），则K （x ，0）．并由题意知点D 位于第二象限．由于∠BAC 是公共角，所以当△AOE 与△ABC 相似时，有2种情况： ①∠AOD ＝∠ABC ．则tan ∠AOD ＝tan ∠ABC ＝3．由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点D 的坐标．②∠AOD ＝∠ACB ．则tan ∠AOD ＝tan ∠ACB ＝2．由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点D 的坐标．【解析】解：（1）设抛物线解析式为：y ＝ax 2+bx +c ，将点A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3）分别代入得：{9a −3b +c =0a +b +c =0c =3，解得：{a =−1b =−2c =3，故抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x +3．由于y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）+4，所以该抛物线的顶点坐标是（﹣1，4）；（2）如图1，过点B作BH⊥AC于点H，∵∠AOC＝90°，OA＝OC＝3，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，AC＝3√2．∵∠BHA＝90°，∴∠HAB+∠HBA＝90°．∴∠HAB＝∠HBA＝45°．∵在直角△AHB中，AH2+BH2＝AB2，AB＝4．∴AH＝BH＝2√2．∴CH＝3√2−2√2=√2．∵∠BHC＝90°，∴∠ACB=BHCH=2√2√2=2；（3）如图2，过点D作DK⊥x轴于点K，设D （x ，﹣x 2﹣2x +3），则K （x ，0）．并由题意知点D 位于第二象限．∴DK ＝﹣x 2﹣2x +3，OK ＝﹣x ．∵∠BAC 是公共角，∴当△AOE 与△ABC 相似时，有2种情况：①∠AOD ＝∠ABC ．∴tan ∠AOD ＝tan ∠ABC ＝3．∴−x 2−2x+3−x=3，解得x 1=1−√132，x 2=1+√132（舍去） ∴D （1−√132，3√13−32）．②∠AOD ＝∠ACB ．∴tan ∠AOD ＝tan ∠ACB ＝2．∴−x 2−2x+3−x =2，解得x 1=−√3，x 2=√3（舍去）∴D （−√3，2√3）．综上所述，当△AOE 与△ABC 相似时，求点D 的坐标是（1−√132，3√13−32）或（−√3，2√3）． 4．（2019•雁塔区校级模拟）抛物线C 1：y ＝ax 2+bx +3与x 轴交于A （﹣3，0）两点，与y 轴交于点C ，点M （﹣2，3）是抛物线上一点．（1）求抛物线C 1的表达式．（2）若抛物线C 2关于C 1关于y 轴对称，点A 、B 、M 关于y 轴的对称分别为A ′、B ′、M ′．过M ′⊥x 轴于点E ，交直线A ′C 于点D ，在x 轴上是否存在点P ，使得以A ′、D 、P 为顶点的三角形与△AB ′C 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【点拨】（1）将点A 、M 的坐标代入函数表达式，即可求解；（2）分当点P 在直线AC 的左侧、点P 在直线AC 的右侧两种情况，分别求解即可．【解析】解：（1）将点A 、M 的坐标代入函数表达式得：{0=9a −3b +33=4a −2b +3，解得：{a =−1b =−2， 故抛物线C 1的表达式为：y ＝﹣x 2﹣2x +3；（2）由题意得：点A （﹣3，0）、B （1，0）、C （0，3）、M （﹣2，3）、B ′（﹣1，0）、A ′（3，0），D （2，1），则AB ′＝2，AC ＝3√2，B ′C =√10，A ′D =√2，①当点P 在直线AC 的左侧时，当点P 在DM ′左侧时，A ′、D 、P 为顶点的三角形与△AB ′C 相似，则△AB ′C ∽△A ′DP ，则AB′A′P =AB′A′D ，即：3√2A′P =√2，解得：A ′P ＝3， 故点P （0，0），当点P 在DM ′左侧时，同理可得点P （P ′）（73，0）；②当点P 在直线AC 的右侧时，则△AB ′C 、△DA ′P ″不相似，综上，点P 的坐标为（0，0）或（73，0）．5．（2020•金山区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =13x 2+mx +n 经过点B （6，1），C （5，0），且与y 轴交于点A ．（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA，交线段OA的延长线于点Q，如果∠P AB＝45°．求证：△PQA∽△ACB；（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长．【点拨】（1）将点B、C代入抛物线解析式y=13x2+mx+n即可；（2）先证△ABC为直角三角形，再证∠QAP+∠CAB＝90°，又因∠AQP＝∠ACB＝90°，即可证△PQA∽△ACB；（3）做点B关于AC的对称点B'，求出BB'的坐标，直线AB'的解析式，即可求出点F'的坐标，接着求直线FF'的解析式，求出其与AB的交点即可．【解析】解：（1）将B（6，1），C（5，0）代入抛物线解析式y=13x2+mx+n，得{1=12+6m+n 0=253+5m+n，解得，m=−83，n＝5，则抛物线的解析式为：y=13x2−83x+5，点A坐标为（0，5）；（2）AC=√52+52=5√2，BC=√(6−5)2+12=√2，AB=√62+(5−1)2=2√13，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，当∠P AB ＝45°时，点P 只能在点B 右侧，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ， ∴∠QAB +∠OAB ＝180°﹣∠P AB ＝135°，∴∠QAP +∠CAB ＝135°﹣∠OAC ＝90°，∵∠QAP +∠QP A ＝90°，∴∠QP A ＝∠CAB ，又∵∠AQP ＝∠ACB ＝90°，∴△PQA ∽△ACB ；（3）做点B 关于AC 的对称点B '，则A ，F '，B '三点共线，由于AC ⊥BC ，根据对称性知点B '（4，﹣1），将B '（4，﹣1）代入直线y ＝kx +5，∴k =−32，∴y AB '=−32x +5，联立{y =−32x +5y =13x 2−83x +5， 解得，x 1=72，x 2＝0（舍去），则F '（72，−14）， 将B （6，1），B '（4，﹣1）代入直线y ＝mx +n ，得，{6k +b =14k +b =−1， 解得，k ＝1，b ＝﹣5，∴y BB '＝x ﹣5， 由题意知，k FF '＝K BB '， ∴设y FF '＝x +b ，将点F '（72，−14）代入， 得，b =−154， ∴y FF '＝x −154， 联立{y =−23x +5y =x −154， 解得，x =214，y =32，∴F （214，32）， 则FF '=√(214−72)2+(32+14)2=7√24．。
中考数学二次函数与相似三角形有关的问题知识解读
二次函数与相似三角形有关的问题知识解读【专题说明】二次函数与相似三角形是中考数学的压轴题，具有一定的难度，也是中考考频比较高的，本节未同学们提供解题途径，希望能够助同学们轻松解题。
【解题思路】关于函数与相似三角形的问题一般三个解决途径：(1)求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形．根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论；(2)利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数来推导边的大小；(3)若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解．【典例分析】【典例1】（2019•娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：①当∠ACB＝∠BOQ时，AB＝4，BC＝3，AC＝，过点A作AH⊥BC于点H，S△ABC＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2，则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①②并解得：x＝或﹣，故点Q（，﹣2）或（﹣，2），②∠BAC＝∠BOQ时，tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，则点Q（n，﹣3n），则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，联立①③并解得：x＝，故点Q（，）或（，）；综上，当△OBE与△ABC相似时，Q的坐标为：（，﹣2）或（﹣，2）或（，）或（，）．【变式1-1】（2022•贵港）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3）和B（，﹣）两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．【解答】解：（1）将A（0，3）和B（，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，，解得，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（3）①当△AOC∽△DP A时，∵PD⊥x轴，∠DP A＝90°，∴点P纵坐标是3，横坐标x＞0，即﹣x2+2x+3＝3，解得x＝2，∴点D的坐标为（2，0）；∵PD⊥x轴，∴点P的横坐标为2，∴点P的纵坐标为：y＝﹣22+2×2+3＝3，∴点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）；②当△AOC∽△DAP时，此时∠APG＝∠ACO，过点A作AG⊥PD于点G，∴△APG∽△ACO，∴，设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则D点坐标为（m，﹣m+3），则，解得：m＝，∴D点坐标为（，1），P点坐标为（，），综上，点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）或P点坐标为（，），D 点坐标为（，1）．【变式1-2】（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A（﹣1，0），∴B（3，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入抛物线的解析式，则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠CAP+∠CBP＝180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，由（1）知，OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠APC＝∠ABC＝45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP＝OA＝1，∴P（0，﹣1）．（3）存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∴D（1，4），由抛物线的对称性可知，E（2，3），∵A（﹣1，0），∴AD＝2，DE＝，AE＝3．∴AD2＝DE2+AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．∵点M在直线l下方的抛物线上，∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．【典例2】（2022•玉林）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4；（2）设点P的坐标为（t，﹣2t2+2t+4），则OH＝t，BH＝2﹣t，分两种情况：①如图2，△CMP∽△BMH，∴∠PCM＝∠OBC，∠BHM＝∠CPM＝90°，∴tan∠OBC＝tan∠PCM，∴＝＝＝＝2，∴PM＝2PC＝2t，MH＝2BH＝2（2﹣t），∵PH＝PM+MH，∴2t+2（2﹣t）＝﹣2t2+2t+4，解得：t1＝0，t2＝1，∴P（1，4）；②如图3，△PCM∽△BHM，则∠PCM＝∠BHM＝90°，过点P作PE⊥y轴于E，∴∠PEC＝∠BOC＝∠PCM＝90°，∴∠PCE+∠EPC＝∠PCE+∠BCO＝90°，∴∠BCO＝∠EPC，∴△PEC∽△COB，∴＝，∴＝，解得：t1＝0（舍），t2＝，∴P（，）；综上，点P的坐标为（1，4）或（，）．【变式2-1】（2022•辽宁）抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A（3，0），点C（0，﹣3），直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标．【解答】解：（1）将A（3，0），点C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵C（0，﹣3），D（1，0），F（1，﹣2），∴CD＝，CF＝，DF＝2，∵E（﹣2，5），A（3，0），∴AE＝5，设Q（x，y），①当△CDF∽△QAE时，＝＝，∴＝＝，∴AQ＝5，EQ＝5，∴，解得或（舍去），∴Q（﹣7，5）；②当△CDF∽△AQE时，＝＝，∴＝＝，∴AQ＝5，QE＝10，∴，解得（舍去）或，∴Q（﹣12，5）；③当△CDF∽△EQA时，＝＝，∴＝＝，∴EQ＝5，AQ＝10，∴，解得或（舍去），∴Q（3，﹣10）；④当△CDF∽△QEA时，＝＝，∴＝＝，∴EQ＝5，AQ＝5，∴，解得或（舍去），∴Q（3，﹣5）；综上所述：Q点坐标为（﹣7，5）或（﹣12，5）或（3，﹣10）或（3，﹣5）．【变式2-2】（2022•桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ （点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；（2）如图：由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），∵B（4，0），C（0，4）；∴BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，∵∠CMP＝∠QNB＝90°，∴△CPM和△QBN相似，只需＝或＝，①当＝时，＝，解得t＝或t＝，∴Q（，）或（，）；②当＝时，＝，解得t＝或t＝（舍去），∴Q（，），综上所述，Q的坐标是（，）或（，）或（，）．【变式2-3】（2021•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似，请直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（1，0），B（﹣3，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）令x＝0，y＝3，∴OC＝OB＝3，即△OBC是等腰直角三角形，∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，∴抛物线对称轴为：x＝﹣1，∵EN∥y轴，∴△BEN∽△BCO，∴，∴，∴EN＝2，①若△PQE∽△OBC，如图所示，过点P作PH⊥ED垂足为H，∴∠PEH＝45°，∴∠PHE＝90°，∴∠HPE＝∠PEH＝45°，∴PH＝HE，∴设点P坐标（x，﹣x﹣1+2），∴代入关系式得，﹣x﹣1+2＝﹣x2﹣2x+3，整理得，x2+x﹣2＝0，解得，x1＝﹣2，x2＝1（舍），∴点P坐标为（﹣2，3），②若△EPQ∽△OCB，如图所示，设P（x，2），代入关系式得，2＝﹣x2﹣2x+3，整理得，x2+2x﹣1＝0，解得，（舍），∴点P的坐标为（﹣1﹣，2），综上所述点P的坐标为（﹣1﹣，2）或（﹣2，3）。
第20讲 二次函数与相似(二)
第二十讲二次函数与相似(二)知识点：在二次函数中，已知三点共线(或同一直线上线段有倍数关系)，构造相似.1.如图，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接OP交BC于点D，当S△CPD:S△BPD＝1:3时，求点D和点P的坐标.解：过C作CM⊥OP于M，过B作BN⊥OP于N，过D作DH⊥x轴于H，此时CM∥BN，DH/∥CO.易得A(1，0)，B(－3，0)，C(0，3)，∴OB＝OC＝3. ∵S△CPD:S△BPD＝1：3(12PD·CM)：(12PD·BN)＝1:3，∴CM:BN＝1:3.由CM∥BN，有△CDM∽△BDN，∴CMBD＝CDBD＝13，∴BCBD＝43由DH∥CO，有△BCO∽△BDH.∴BCBD＝BOBH＝CODH＝43，∴BH＝DH＝94，OH＝3－94＝34，∴D(－34，94).易得OD为y＝－3x，联立2233y x xy x⎧=--+⎪⎨=-⎪⎩，得P，).2.如图，抛物线y＝x2－2x＋1的顶点为P，与y轴交于点D，点B(3，4)在抛物线上，过点B作BC⊥x轴于点C，连接BD并延长交x轴于点A.Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接FC(AC＋EC)为定值.2.证明：过点Q作QM⊥AC于点M，作QN⊥BC于点N.易得P(1，0)，D(0，1).设点Q的坐标是(x，x2－2x＋1)，则QM＝CN＝(x－1)2，MC＝QN＝3－x.∵QM∥CE，∴△PQM∽△PEC，QMEC＝PMPC，即()21xEC-＝12x-，得EC ＝2(x－1).∵QN∥FC，∴△BQN∽△BFC，∴QNFC＝BNBC，即3xFC-＝()2414x--，得FC＝41x+，又∵AC＝4，∴FC(AC＋EC)＝41x+[4＋2(x－1)]＝41x+(2x＋2)＝8，即FC(AC＋EC)为定值8.3.如图，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与第二象限内的抛物线交于点D，与AC交于点E，若DEEO＝23，求k的值.AC于点F，设D(a，－a2－2a＋3).易得A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，AC为y＝x＋3，F (a ，a ＋3).由DF ∥OC ，有DE EO ＝DF OC ，∴23＝3DF，∴DF ＝2，∴(－a 2－2a ＋3)－(a ＋3)＝2，a 1＝－1，a 2＝－2，∴D (－1，4)或(－2，3)，∴OD 为y ＝－4x 或y ＝－23x ，∴k ＝－4或－32.4.如图，抛物线y ＝－38x 2＋34x ＋3与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，P 是第一象限内抛物线上的点，连接OP 交AB 于点Q .求出PQ 与OQ 的比值的最大值.解：过P 作PD ∥y 轴交AB 于D .易得A (4，0)，B (0，3)，OB ＝3，AB 为y ＝－34x ＋3.设P (a ，－38a 2＋2a ＋3)，则D (a ，－34a ＋3).由PD ∥y 轴有△PQD ∽△OQB ，∴PQ OQ ＝PD OB ＝3PD ，当PD 最大时，PQ OQ 最大.PD ＝(－38a 2＋2a ＋3)－(－34a ＋3)＝－38a 2＋32a ＝－38(a －2)2＋32，当a ＝2时，PD 最大为32，∴PQ OQ 最大值为12.5.如图，抛物线y ＝－12x 2＋x ＋4与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与抛物线交于点D ，与x 轴交于点H ，P 是x 轴上方抛物线上的一个动点，连接AP 交对称轴于点E ，连接BP 并延长交对称轴于点F ，请探究HE ＋HF 是否为定值.解：易得A (－2，0)，B (4，0)，H (1，0)，AH ＝BH ＝3.过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，设点P 的坐标为(t ，－12t 2＋t ＋4).∵DH ⊥x 轴，∴PG ∥DH ，∴△AHE ∽△AGP ，△BGP ∽△BHF ，∴EH PG ＝AH AG ，PG FH ＝BG BH，∴EH ＝AH PGAG ⋅，PH ＝BH PG BG ⋅，∴AG ＝t ＋2，BG ＝4－t ，PG ＝－12t t 2＋t ＋4，∴HE ＋HF ＝3(2PG t +＋4PG t - )＝3·(－12 )(t ＋2)(t －4)·()()4224t t t t -+++-＝9.即HE ＋HF 为定值.6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－12x 2－32x ＋2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C . D 是AC上方抛物线上一动点，BD 与AC 交于点E ，连接BC ，CD .求CDE BCESS △△的最大值.AC 于M ，过B 作BN ∥y 轴交AC 于N .∴DM ∥BN .易得A (－4，0)，B (1，0)，C (0，2)，AC 为y ＝2x ＋2，N (1，52)，BN ＝52.设D (a ，－12a 2－32a ＋2)，∴M (a ，2a ＋2).由DM ∥BN ，有DE BE ＝DMBN＝22252a a--＝－15(a ＋2)2＋45，当a ＝－2时，－15(a ＋2)2＋45有最大值45，即DE BE 的最大值为45.又CDE BCE S S △△＝DE BE，∴CDE BCE S S △△的最大值为45.7.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx －4(a ＞0)的图象与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧，且OA ＜ OB )，与y 轴交于点C ．(1)写出C 点的坐标，并判断b 的正负性；(2)设这个二次函数图象的对称轴与直线AC 交于点D ，已知DC ：CA ＝1:2，直线BD 与y 轴交于点E ，连接B C ．①若△BCE 的面积为8，求二次函数的解析式；②若△BCD 为锐角三角形，请直接写出OA 的取值范围．解：（1）C （0，－4），b ＜0；(2)①过点D 作DM ⊥y 轴于M ，则12DC DM MC CA OA CO ===， ∴12DM AO =.设A ( －2m ，0)，m .＞0，则AO ＝2m ，DM ＝m . ∵OC ＝4，∴CM ＝2，∴D (m ，－6)，B (4m ，0)．易得DF BF OE OB =，∴OE ＝8 ，S △BCE ＝12×4 ×4rn ＝8，∴m ＝1，∴A （－2，0），B (4，0)．易得CB 2＝16m 2＋16，CD 2＝m 2＋4，DB 2＝9m 2＋36；讨论：①当∠CDB 为锐角时，CD 2＋DB 2＞ CB 2，m 2＋4 ＋9m 2＋36＞16m 2＋16，解得－2＜m ＜2；②当∠BCD 为锐角时，CD 2＋CB 2＞ DB 2．m 2＋4＋16m 2＋16＞9m 2＋ 36，解得m m（舍）m ＜2，∴2m ＜4，∴OA ＜4. 8．如图1，抛物线213222y x x =-++与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，在线段OA 上有一动点P (m ，0)，点P 不与点O ，A 重合，过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点M ，且PN : MN ＝1:3．(1)求m 的值；(2)如图2，将线段OP 绕点0逆时针旋转得到OP 1，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接AP 1，BP 1，求A P 1＋32BP 1的最小值，解：(1)易得A (4，0)．B (0，2)，O A ＝4，OB ＝2,OP ＝m ，AP ＝4－m ，M (m ，－12m 2＋ 32m ＋2)，PM ＝－12m 2＋ 32m ＋2，AB 为y ＝22x -+，N (rn ，22m -+)，PN ＝22m-+，∵PN :MN ＝1:3，∴PN :PM ＝1:4，即PM ＝4PN ，∴－12m 2＋ 32m ＋2＝4（22m-+），∴m ＝3或m ＝4（舍去）；(2)在y 轴上取一点Q ，使132OQ OP =，即OQ ＝92，连接P 1Q ．易得1132OP OQ OB OP ==．∠P 1OB ＝∠QOP 1，∴△OP 1Q ∽△OBP ．∴11132PQ OP BP OB == ，∴P 1Q ＝32BP 1，∴AP 1＋32BP 1＝AP 1＋P 1Q ≥AQ ，∴当A ，P 1，Q 三点在一条直线上时，AP 1＋QP 1有最小值，又∵A (4．0)，Q （0，92），∴AQ＝2=，即AP 1＋32BP 1的最小值为2.图1xx图2。
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二次函数与相似 例1 抛物线y=ax 2-3ax+b 经过A(-1,0),C(0,2),交x 轴于另一点B. (1) 求此抛物线的解析式；
(2) 点M 为y
使AN 平行且等于BM 的一半？若存在，请求出点N 的坐标；
若不存在，请说明理由；
(3) 若点P 为抛物线上一点，ta n ∠ACP=3,求出点P 的坐标。
① 一般相似：
1
、 如图，在坐标系中，把抛物线2
x y =平移，平移所得到的抛物线与x 轴交于A （-3,0）、B （
1,0）两点，与y 轴交于C 点。
（1） 求平移后的抛物线的解析式；
（2）在线段AC 上是否存在点M ，使△AOM 与△ABC 相似，若存在，求出点M 的坐标。
②直角相似： 2、P 为抛物线322++-=x x y 上一动点，以AC 为斜边构造直 角三角形，使直角顶点P 落在抛物线的对称轴上，求点P 的坐标． （若无斜边的指定）
③K 型相似：
3、如图，在直角坐标系中，抛物线32
++=bx ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且OB=OC=3OA 。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过C 点作C D ⊥y 轴交抛物线于D 点，连接AC 、BD ，E 为BD 上一点，DE:BE=7：3，P 为线段AB 上一点，若∠CPE=∠CAP ，求P 点的坐标；
（3）如图2，将（1）中抛物线沿x 轴正方向平移，平移后的抛物线交y 轴于点F ，与x 轴的右交点为E 点，G 为AC 中点，延长GO 交EF 于点H ，是否存在这样的抛物线，使得G H ⊥EF ，若存在，求平移后的抛物线的解析式，若不存在，请说明理由。
专题训练 1、抛物线y=ax 2+2ax+b 与x 轴交于A(-4,0)、B 两点，与y
(1) 求抛物线的解析式；
(2) P 的抛物线上一点且P C ⊥BC,Q 是PC 延长线上一点，QC=3
1
将抛物线向右平移m 个单位后恰好经过点Q ，将原抛物线
向下平移n 个单位后与线段PQ 只有一个公共点，请求出m
n
（3）在（2）的条件下，原抛物线上是否存在一点M,使得S △若存在，请求出M 点的坐标，若不存在，请说明理由。
2、 抛物线y=-x 2+bx+c 与直线y=x+5都经过x 轴上的点B 和y 轴上的点C ，抛物线交x
轴于另一点A.
(1) 求此抛物线的解析式；
(2) 如图1，点P 在抛物线上，PN ⊥x 轴，垂足为N,直线BC 将△PBN 的面积分成相等的两部
分，求P 的点坐标；
(3) 如图2，在（2）的条件下，点M 为第四象限的抛物线上一点，且∠BOM+∠PBO=180°,
求出点M
3、抛物线y=a （x-1）2-4的顶点为
D,与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴负半轴交于点C ，对称轴与x 轴交于H 点，且HD=AB. (1) 求此抛物线的解析式；
(2)
若M 为对称轴右侧抛物线上一点，M N ∥x 轴交抛物线与另一点N,以MN 为斜边的直角三
角形的直角顶点在x 轴上，当这个直角顶点至少有一个时，求M 点纵坐标的取值范围； (3) 经过C ，D 两点的直线与x 轴交于E 点，P 为对称轴右侧抛物线上一点，CP 交对称轴于
点F ，是否存在这样的一点P,使△CDF 与△EAC 相似？若存在，求P 点的坐标；若不存
4、 y=ax 2-4ax+m 与x 轴交于A(1,0),B 两点，与y 轴负半轴交于点C,且△ABC 的面积是
3.
（1） 求此抛物线的解析式；
（2） 如图1抛物线上方存在点P ，使C,B 两点到OP 的距离之比为2:1，若存在，求出点
P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 如图2，过点F(5,0)作x 轴的垂线交抛物线于点M,该抛物线的顶点为H,连接
MH,BH,FH,问∠MHB 与∠ACB 是否存在某种确定的数量关系？若存在，请写出并证明你的结论；若不存在，请书说明理由。
5、 抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A,B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，
其顶点的横坐标为1，且过点（2,3）和（-3，-12）。
（1） 求此抛物线的解析式；
（2） 若直线y=kx(k ≠0)与线段BC 交于D,问是否存在这样的直线1，使以B,O,D 为顶点
的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出该直线的解析式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 设抛物线的顶点为E,并将直线CE 向下平移，交抛物线与P,Q 两点（P 在Q 的右边）。
当PQ CE =21
时，求P
6、抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，
其顶点的横坐标为1，且过点（2,3）和（-3，-12）。
(1)求此抛物线的解析式；
(2)设点D为第一象限抛物线上一点，D E⊥x轴交BC于F，连接DC,若△CDF与△BEF 相似，求点D的坐标；
(3)点M为y轴负半轴上一点，在第一象限的抛物线上是否存在点N,使AN平行且等于BM的一半？若存在，求出N的坐标，若不存在，请说明理由。