二次函数与相似

二次函数与相似 例1 抛物线y=ax 2-3ax+b 经过A(-1,0),C(0,2),交x 轴于另一点B. (1) 求此抛物线的解析式；
(2) 点M 为y
使AN 平行且等于BM 的一半？若存在，请求出点N 的坐标；
若不存在，请说明理由；
(3) 若点P 为抛物线上一点，ta n ∠ACP=3,求出点P 的坐标。

① 一般相似：
1
、 如图，在坐标系中，把抛物线2
x y =平移，平移所得到的抛物线与x 轴交于A （-3,0）、B （
1,0）两点，与y 轴交于C 点。

（1） 求平移后的抛物线的解析式；
（2）在线段AC 上是否存在点M ，使△AOM 与△ABC 相似，若存在，求出点M 的坐标。

②直角相似： 2、P 为抛物线322++-=x x y 上一动点，以AC 为斜边构造直 角三角形，使直角顶点P 落在抛物线的对称轴上，求点P 的坐标． （若无斜边的指定）
③K 型相似：
3、如图，在直角坐标系中，抛物线32
++=bx ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且OB=OC=3OA 。

（1）求此抛物线的解析式；
（2）过C 点作C D ⊥y 轴交抛物线于D 点，连接AC 、BD ，E 为BD 上一点，DE:BE=7：3，P 为线段AB 上一点，若∠CPE=∠CAP ，求P 点的坐标；
（3）如图2，将（1）中抛物线沿x 轴正方向平移，平移后的抛物线交y 轴于点F ，与x 轴的右交点为E 点，G 为AC 中点，延长GO 交EF 于点H ，是否存在这样的抛物线，使得G H ⊥EF ，若存在，求平移后的抛物线的解析式，若不存在，请说明理由。

专题训练 1、抛物线y=ax 2+2ax+b 与x 轴交于A(-4,0)、B 两点，与y
(1) 求抛物线的解析式；
(2) P 的抛物线上一点且P C ⊥BC,Q 是PC 延长线上一点，QC=3
1
将抛物线向右平移m 个单位后恰好经过点Q ，将原抛物线
向下平移n 个单位后与线段PQ 只有一个公共点，请求出m
n
（3）在（2）的条件下，原抛物线上是否存在一点M,使得S △若存在，请求出M 点的坐标，若不存在，请说明理由。

2、 抛物线y=-x 2+bx+c 与直线y=x+5都经过x 轴上的点B 和y 轴上的点C ，抛物线交x
轴于另一点A.
(1) 求此抛物线的解析式；
(2) 如图1，点P 在抛物线上，PN ⊥x 轴，垂足为N,直线BC 将△PBN 的面积分成相等的两部
分，求P 的点坐标；
(3) 如图2，在（2）的条件下，点M 为第四象限的抛物线上一点，且∠BOM+∠PBO=180°,
求出点M
3、抛物线y=a （x-1）2-4的顶点为
D,与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴负半轴交于点C ，对称轴与x 轴交于H 点，且HD=AB. (1) 求此抛物线的解析式；
(2)
若M 为对称轴右侧抛物线上一点，M N ∥x 轴交抛物线与另一点N,以MN 为斜边的直角三
角形的直角顶点在x 轴上，当这个直角顶点至少有一个时，求M 点纵坐标的取值范围； (3) 经过C ，D 两点的直线与x 轴交于E 点，P 为对称轴右侧抛物线上一点，CP 交对称轴于
点F ，是否存在这样的一点P,使△CDF 与△EAC 相似？若存在，求P 点的坐标；若不存
4、 y=ax 2-4ax+m 与x 轴交于A(1,0),B 两点，与y 轴负半轴交于点C,且△ABC 的面积是
3.
（1） 求此抛物线的解析式；
（2） 如图1抛物线上方存在点P ，使C,B 两点到OP 的距离之比为2:1，若存在，求出点
P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 如图2，过点F(5,0)作x 轴的垂线交抛物线于点M,该抛物线的顶点为H,连接
MH,BH,FH,问∠MHB 与∠ACB 是否存在某种确定的数量关系？若存在，请写出并证明你的结论；若不存在，请书说明理由。

5、 抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A,B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，
其顶点的横坐标为1，且过点（2,3）和（-3，-12）。

（1） 求此抛物线的解析式；
（2） 若直线y=kx(k ≠0)与线段BC 交于D,问是否存在这样的直线1，使以B,O,D 为顶点
的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出该直线的解析式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 设抛物线的顶点为E,并将直线CE 向下平移，交抛物线与P,Q 两点（P 在Q 的右边）。

当PQ CE =21
时，求P
6、抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，
其顶点的横坐标为1，且过点（2,3）和（-3，-12）。

(1)求此抛物线的解析式；
(2)设点D为第一象限抛物线上一点，D E⊥x轴交BC于F，连接DC,若△CDF与△BEF 相似，求点D的坐标；
(3)点M为y轴负半轴上一点，在第一象限的抛物线上是否存在点N,使AN平行且等于BM的一半？若存在，求出N的坐标，若不存在，请说明理由。