高中数学第2章圆锥曲线与方程章末高效整合课件
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高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程课件 a选修21a高二选修21数学课件
解：设 M(x，y)，则 kMA＝x＋y 1，kMB＝x－y 1(x≠±1)， ∴x＋y 1×x－y 1＝－2， ∴x2＋y22＝1(x≠±1)． 故动点 M 的轨迹方程为 x2＋y22＝1(x≠±1)．
12/12/2021
第二十五页，共三十九页。
设动点 P 在圆 x2＋y2＝1 上移动，M(3,0)，求 PM 的中点 Q 的轨迹方程．
12/12/2021
第四页，共三十九页。
‖知识梳理‖ 1．在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都 是 __这__个__(z_h_è_ge_)方__程__的_解____ ； (2) 以 这 个 方 程 的 解 为 坐 标 的 点 ______都__是__曲__线__(q_ūx_ià_n_)上__的__点__．那么这个方程叫做曲线的方程， 这种曲线叫做方程的曲线．
第二章 圆锥曲线 与方程 (yuán zhuī qǔ xiàn)
12/12/2021
第一页，共三十九页。
2．1 曲线 与方程 (qūxiàn)
12/12/2021
第二页，共三十九页。
12/12/2021
自主(zìzhǔ)学习导航
梳理知识(zhī shi) 夯实基础
第三页，共三十九页。
目标导学
1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2．理解曲线的方程和方程的曲线的意义．
12/12/2021
第二十三页，共三十九页。
[名 师 点 拨] 直接根据动点所满足的条件，把几何关系用 x，y 表示，从 而得到动点的轨迹方程，这种方法叫做直接法．在求曲线方程 时，若没有坐标系，首先要建系．若有，只需设点代入关系式 即可．
12/12/2021
第二十五页，共三十九页。
设动点 P 在圆 x2＋y2＝1 上移动，M(3,0)，求 PM 的中点 Q 的轨迹方程．
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‖知识梳理‖ 1．在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都 是 __这__个__(z_h_è_ge_)方__程__的_解____ ； (2) 以 这 个 方 程 的 解 为 坐 标 的 点 ______都__是__曲__线__(q_ūx_ià_n_)上__的__点__．那么这个方程叫做曲线的方程， 这种曲线叫做方程的曲线．
第二章 圆锥曲线 与方程 (yuán zhuī qǔ xiàn)
12/12/2021
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2．1 曲线 与方程 (qūxiàn)
12/12/2021
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梳理知识(zhī shi) 夯实基础
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目标导学
1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2．理解曲线的方程和方程的曲线的意义．
12/12/2021
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[名 师 点 拨] 直接根据动点所满足的条件，把几何关系用 x，y 表示，从 而得到动点的轨迹方程，这种方法叫做直接法．在求曲线方程 时，若没有坐标系，首先要建系．若有，只需设点代入关系式 即可．
高中数学《第二章圆锥曲线与方程小结》212PPT课件 一等奖名师
x a
2 2
y2 b2
1(a
b 0)上的两个点,
B
O
x
M x0 , y0 是弦AB的中点,则由点差法可知
k AB
b2 a2
x0 y0
.
kAB
y0 x0
b2 a2
k AB
y0 0 x0 0
kAB kOM
b2 a2
y A
M
B
O
x
性质3：若A,
B是椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
上(不是长轴的端点)两个点, M 是AB的中
点, 则直线AB, OM的斜率之积为-
b2 a2
(或e2
1).
例2
练1
（2013 高考全国 1 卷 10）已知椭圆 E：xa22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线
交 E 于 A，B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为（ D ）
点, 则直线AB, OM的斜率之积为-
b2 a2
(或e2
1).
性质的联系一
y
P
A
kPA kPB
b2 a2
e2
1
O
x
B
kAB kOM
b2 a2
e2 1
B
y A
M
B
O
x
性质的联系二
y
P
A
y
P
A
OxOຫໍສະໝຸດ xBkPA kPB 1
B
B
y A
kPA kPB
b2 a2
e2
1
M
B
垂径定理
高中数学课件-圆锥曲线与方程2
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
方法二：设所求双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn＜0)． 将点 M(1,1)，N(－2,5)代入上述方程，得
m＋n＝1， 4m＋25n＝1，
解得mn＝＝－87，17.
所以所求双曲线的标准方程为x72－y72＝1. 8
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
程． 题．
1．理解双曲线的定义、几何图形和原则方程的推导过
2．掌握双曲线的原则方程． 3．会运用双曲线的定义和原则方程解决简朴的应用问
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰构成第四批护航编 队远赴亚丁湾，在索马里流域执行护航任务．
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
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高效测评 知能提升
(3)当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，双 曲线的方程才具有标准形式．
(4)双曲线的标准形式的特征是数xⅠ2 ＋数yⅡ2 ＝1，数Ⅰ与数Ⅱ 异号，因此双曲线的方程又可写为 mx2＋ny2＝1(m·n<0)，这种形 式是焦点所在的坐标轴不易判断时的统一写法．
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
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(2)由已知得 c＝6，且焦点在 y 轴上，因为点 A(－5,6)在双 曲线上，所以点 A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数 2a，即 2a＝| －5－02＋6＋62－ －5－02＋6－62|
高中数学第二章圆锥曲线与方程本章整合课件新人教A版选修2_1
������ 离心率:������ = (0 < ������ < 1) ������
定义:||������������1 |-|������������2 || = 2������ < |������1 ������2 | = 2������
������2 ������2 焦点在������轴上: 2 - 2 = 1(������,������ > 0) ������ ������ 标准方程 ������2 ������2 焦点在������轴上: 2 - 2 = 1(������,������ > 0) ������ ������
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
2.直线与圆锥曲线的位置关系,涉及函数、方程、不等式、平面 几何等诸多方面的知识,形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、 线段的长度等多种问题.解决此类问题应注意数形结合,以形辅数 的方法,还要多结合圆锥曲线的定义、根与系数的关系以及“点差 法”等.这些问题也是以往高考的重点和热点,高考中,大多以解答题 的形式出现而且难度较大.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
应用1已知直线y=(a+1)x-1与y2=ax恰有一个公共点,求实数a的值. 提示:本题主要考查直线与抛物线的位置关系,应转化为直线方 程与曲线方程恰有一个公共解,同时注意分类讨论思想的运用.
解:联立方程,得
������ = 1, 当 a=0 时,此方程组恰有一组解为 ������ = 0. ������+1 当 a≠0 时,得 ������2 − ������ − 1 = 0.
如消去y后,得ax2+bx+c=0. (1)若a=0,当圆锥曲线M是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行; 当圆锥曲线M是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合). (2)若a≠0,设Δ=b2-4ac. 当Δ>0时,直线和圆锥曲线M相交于不同的两点; 当Δ=0时,直线和圆锥曲线M相切于一点; 当Δ<0时,直线和圆锥曲线M没有公共点.
[数学]第2章 圆锥曲线与方程高效整合
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工具
第二章 圆锥曲线与方程
已知椭圆的一个顶点为 A(0，－1)，焦点在 x 轴上．若 右焦点到直线 x－y＋2 2＝0 的距离为 3.
(1)求椭圆的方程； (2)设椭圆与直线 y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点 M、 N.当|AM|＝|AN|时，求 m 的取值范围．
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第二章 圆锥曲线与方程
解析： (1)依题意可设椭圆方程为ax22＋y2＝1，
工具
第二章 圆锥曲线与方程
圆锥曲线的定义
1．平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)的点P的轨迹叫 做椭圆，定义可实现椭圆上的点到两焦点的距离的相互转化．
2．平面内满足||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫 做双曲线，|PF1|－|PF2|＝2a(2a＜|F1F2|)表示焦点F2对应的一支， 定义可实现双曲线上的点到两焦点的距离的相互转化．
工具
第二章 圆锥曲线与方程
解析： (1)不妨设点 M 在 x 轴上方，
由 MF1⊥Ox 可设 M(－c，y0)， 则－a2c2＋by202＝1，解得 y0＝ba2. ∴kOM＝－y0c＝－abc2，即 kAB＝－ba， ∵OM∥AB，∴kOM＝kAB，即－abc2＝－ba，
∴b＝c.∴a＝
2c，∴e＝ac＝
∴p＝8.因此抛物线方程为 x2＝16y. 又点 M(m,8)在抛物线上，于是 m2＝128，∴m＝±8 2.
工具
第二章 圆锥曲线与方程
1．圆锥曲线的标准方程 椭圆、双曲线有两种形式的标准方程，抛物线有四种形式 的标准方程．根据曲线方程的形式来确定焦点的位置，根据焦 点的位置选择恰当的方程形式．
工具
2．常考题型及分值情况：在每年的高考试卷中，选择、填 空题2～3道，解答题1道，题目难度兼顾各个层次，既有基础题 又有能力题，本章题目的分值约占全卷的15%.
高中数学第二章圆锥曲线与方程章末整合提升省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
专题三 ⇨圆锥曲线几何性质
(1)圆锥曲线的主要性质有：范围、对称性、焦点、顶点、离心率，另外椭圆 还包括长短轴，双曲线还包括实虚轴，渐近线，抛物线还包括准线．
2．求离心率的主要方法有： (1)定义法：利用平方关系以及 e＝ac，知道 a，b，c 中任意两个求 e． (2)方程法：建立 a 与 c 的齐次关系式，求离心率 e； (3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及 椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系．通过画出图形，观察线段 之间的关系，使问题更形象、直观．
第10页
4．共轭双曲线 (1)双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线． (2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距． (3)与ax22－by22＝1 具有相同渐近线的双曲线系方程为ax22－by22＝k(k≠0)． 5．抛物线方程的设法 对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程，一般可设为 y2＝ax(a≠0)或 x2＝ay(a≠0)．
第16页
典例 1 (1)F1、F2 是椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，
从任一焦点引∠F1PF2 的外角平分线的垂线，垂足为点 Q，则点 Q 的轨迹为
( A)
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
第17页
[解析] 延长垂线 F2Q 交 F1P 的延长线于点 A，如图．则△APF2 是等腰三角 形，∴|PF2|＝|AP|，从而|AF1|＝|AP|＋|PF1|＝|PF2|＋|PF1|＝2a.∵O 是 F1F2 的中点， Q 是 AF2 的中点，
无对称中心 一条对称轴
顶点
四个
两个
一个
离心率
决定形状 的因素
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末复习课课件 a选修21a高二选修21数学课件
2021/12/8
第十页，共三十七页。
(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、 双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知 曲线的方程写出动点的轨迹方程．
2021/12/8
第十一页，共三十七页。
[典例2] 已知直线y＝－2上有一个动点Q，过点Q作直 线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OP⊥OQ(O为坐标原 点)，记点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程； (2)若直线l2是曲线C的一条切线，当点(0，2)到直线l2的 距离最短时，求直线l2的方程． 解：(1)设点P的坐标(x，y)，则点Q的坐标为(x，－2)． 因为OP⊥OQ，所以kOP·kOQ＝－1. 当x≠0时，得xy·－x2＝－1，化简得x2＝2y.
2021/12/8
第十二页，共三十七页。
第二十四页，共三十七页。
2021/12/8
因为点A，C在椭圆上，所以Δ＝－12n2＋64>0，
解得－4
3
34 <n<
3
3 .
设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
Hale Waihona Puke 则x1＋x2＝32n，x1x2＝3n24－4，
y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n，所以y1＋y2＝n2.
所以线段AC的中点坐标为34n，n4.
第二章
圆锥曲线 与方程 (yuán zhuī qǔ xiàn)
2021/12/8
第一页，共三十七页。
章末复习课 [整合·网络构建]
2021/12/8
第二页，共三十七页。
[警示·易错提醒] 1．求曲线与方程的两个关注点 (1)求曲线的方程与求轨迹是有区别的．若是求轨 迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹 是什么样的图形，在何处等，即图形的形状、位置、大 小都要加以说明、讨论等． (2)由方程研究曲线时，要注意准确确定范围，应充 分挖掘题目中的隐含条件和限制条件，避免因考虑不全 面而致误．
高中数学第二章圆锥曲线章末整合课件(4)北师大版选择性必修第一册
2
所以,所求轨迹方程为 x - =1(x≤-1).
3
2
题型二
圆锥曲线定义的应用
2 2
2 2
例 2 设 F1,F2 为曲线 C1: + =1 的焦点,P 是曲线 C2: -y =1 与 C1 的一个交
6
2
3
点,求 cos∠F1PF2 的值.
2 2
2 2
解 曲线 C1: + =1 与曲线 C2: -y =1 的焦点重合,两曲线共有四个交点,
1.解决与圆锥曲线有关的轨迹问题,第一要明确圆锥曲线的性质,做好对图
形变化可能性的总体分析,选好相应的解题策略并拟定好具体的解题方法,
注意将动点的几何特性用数学语言表达出来.
2.要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件,如曲线上点的坐标的取值范围
等.
变式训练1如图,圆E:(x+2)2+y2=4,点F(2,0),动圆P过点F,且与圆E内切于点
切,则该双曲线的离心率为(
A. 3
B.2
)
C. 5
D. 6
(2)如图,等边三角形OAB的边长为8 3 ,且其三个顶点均在抛物线
E:x2=2py(p>0)上,则抛物线E的标准方程为
.
答案 (1)C
(2)x2=4y
解析 (1)双曲线的渐近线方程为 y=± x,
即bx±ay=0,
由对称性,取切线方程为bx-ay=0,
求弦长),然后代入式子化简求得定值.
变式训练 5(2020 河南洛阳高考模拟)已知 O 为坐标原点,过点 M(1,0)的直线 l
与抛物线 C:y2=2px(p>0)交于 A,B 两点,且 ·=-3.
所以,所求轨迹方程为 x - =1(x≤-1).
3
2
题型二
圆锥曲线定义的应用
2 2
2 2
例 2 设 F1,F2 为曲线 C1: + =1 的焦点,P 是曲线 C2: -y =1 与 C1 的一个交
6
2
3
点,求 cos∠F1PF2 的值.
2 2
2 2
解 曲线 C1: + =1 与曲线 C2: -y =1 的焦点重合,两曲线共有四个交点,
1.解决与圆锥曲线有关的轨迹问题,第一要明确圆锥曲线的性质,做好对图
形变化可能性的总体分析,选好相应的解题策略并拟定好具体的解题方法,
注意将动点的几何特性用数学语言表达出来.
2.要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件,如曲线上点的坐标的取值范围
等.
变式训练1如图,圆E:(x+2)2+y2=4,点F(2,0),动圆P过点F,且与圆E内切于点
切,则该双曲线的离心率为(
A. 3
B.2
)
C. 5
D. 6
(2)如图,等边三角形OAB的边长为8 3 ,且其三个顶点均在抛物线
E:x2=2py(p>0)上,则抛物线E的标准方程为
.
答案 (1)C
(2)x2=4y
解析 (1)双曲线的渐近线方程为 y=± x,
即bx±ay=0,
由对称性,取切线方程为bx-ay=0,
求弦长),然后代入式子化简求得定值.
变式训练 5(2020 河南洛阳高考模拟)已知 O 为坐标原点,过点 M(1,0)的直线 l
与抛物线 C:y2=2px(p>0)交于 A,B 两点,且 ·=-3.
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程本章总结课件 a选修21a高二选修21数学课件
第九页，共三十一页。
【点评】 所谓定值，是与 P 点在曲线上的位置无关，为 了达到目标明确，可先通过特殊的情况，求出一个常数，猜想其 定值．
第十页，共三十一页。
专题二 直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、 平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值 范围、线段的长度等多种问题，是解析几何部分综合性最强的问 题，也是以往高考的重点和热点问题．高考中，大多是以解答题 的形式出现且难度较大，往往成为体现试题区分度的题目．
【证明】 设 P(x0，y0)是双曲线上任意一点， 由双曲线的两条渐近线方程为 bx＋ay＝0 和 bx－ay＝0， 可得 P 到 bx＋ay＝0 的距离 d1＝|bxa0＋2＋aby20|； P 到 bx－ay＝0 的距离 d2＝|bxa0－2＋aby20|.
第八页，共三十一页。
∴d1d2＝|bxa0＋2＋aby20|·|bxa0－2＋aby20|＝|b2ax202－＋ab22y20|. 又 P 在双曲线上，∴ax202－by202＝1，即 b2x02－a2y02＝a2b2. ∴d1·d2＝aa2＋2b2b2，即 P 到两条渐近线的距离之积为定值．
第二十四页，共三十一页。
【例 5】 已知双曲线 C：x2－y32＝1. (1)若 a>0，求点 M(a,0)到双曲线 C 上点的距离的最小值 f(a)； (2)已知双曲线 C′与双曲线 C 共渐近线，并且点 M(0,3)到 C′上的点的距离的最小值为 25，求双曲线 C′的方程．
第二十五页，共三十一页。
第二十一页，共三十一页。
则|MN|＝ x＋12＋y＋yx2 ＝x＋x 12＝x＋1x＋2≥2＋2＝4. 当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时，等式成立． ∴当 x＝1 时，|MN|的最小值为 4.
【点评】 所谓定值，是与 P 点在曲线上的位置无关，为 了达到目标明确，可先通过特殊的情况，求出一个常数，猜想其 定值．
第十页，共三十一页。
专题二 直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、 平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值 范围、线段的长度等多种问题，是解析几何部分综合性最强的问 题，也是以往高考的重点和热点问题．高考中，大多是以解答题 的形式出现且难度较大，往往成为体现试题区分度的题目．
【证明】 设 P(x0，y0)是双曲线上任意一点， 由双曲线的两条渐近线方程为 bx＋ay＝0 和 bx－ay＝0， 可得 P 到 bx＋ay＝0 的距离 d1＝|bxa0＋2＋aby20|； P 到 bx－ay＝0 的距离 d2＝|bxa0－2＋aby20|.
第八页，共三十一页。
∴d1d2＝|bxa0＋2＋aby20|·|bxa0－2＋aby20|＝|b2ax202－＋ab22y20|. 又 P 在双曲线上，∴ax202－by202＝1，即 b2x02－a2y02＝a2b2. ∴d1·d2＝aa2＋2b2b2，即 P 到两条渐近线的距离之积为定值．
第二十四页，共三十一页。
【例 5】 已知双曲线 C：x2－y32＝1. (1)若 a>0，求点 M(a,0)到双曲线 C 上点的距离的最小值 f(a)； (2)已知双曲线 C′与双曲线 C 共渐近线，并且点 M(0,3)到 C′上的点的距离的最小值为 25，求双曲线 C′的方程．
第二十五页，共三十一页。
第二十一页，共三十一页。
则|MN|＝ x＋12＋y＋yx2 ＝x＋x 12＝x＋1x＋2≥2＋2＝4. 当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时，等式成立． ∴当 x＝1 时，|MN|的最小值为 4.
高中数学《第二章圆锥曲线与方程小结》222PPT课件 一等奖名师
又 P(3,0)，C1(－3,0)，且|PC1|＝6<10.可见 C 点是以 P，C1 为两焦点的椭圆，且 c＝3,2a＝10，
所以 a＝5，从而 b＝4， 故所求的动圆圆心的轨迹方程为2x52 ＋1y62 ＝1.
• 1．对椭圆定义的三点说明
• (1)椭圆是在平面内定义的， 所以“平面内”这一条件不能 忽视．
明德尚行 笃学日新
椭圆及其标准方程
辉县市第二高级中学
数学 教 研组
职
克
明
2005年10月12日上 午九时整，随着一 声巨响，我国研制 的神州六号载人飞 船，发射升空,不 久，飞船进入了以 近地点200公里， 远地点347公里的 椭圆轨道围绕地球 运行，请问你能利 用所学的知识求出 飞船运行的轨道方 程吗？
(2)因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为ya22＋xb22 ＝1(a>b>0)．
因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)， 所以 a2=4,b2=1 故所求椭圆的标准方程为y42＋x2＝1.
【题后反思】 求椭圆方程中的“两 定”
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对 位置，在中心为原点的前提下，确定 焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程 的形式．
点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆． • (2)求值：椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的
距离之和为2a.
1．设 F1，F2 是椭圆1x62 ＋1y22 ＝1 的两个焦点，P 是椭圆上一
点，且|PF1|－|PF2|＝2.则△PF1F2 是( )
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等腰直角三角形
解析：由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝8. 又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3， 又 |F1F2| ＝ 2c ＝ 4 ， 故 △PF1F2 为 直 角 三 角 形．
所以 a＝5，从而 b＝4， 故所求的动圆圆心的轨迹方程为2x52 ＋1y62 ＝1.
• 1．对椭圆定义的三点说明
• (1)椭圆是在平面内定义的， 所以“平面内”这一条件不能 忽视．
明德尚行 笃学日新
椭圆及其标准方程
辉县市第二高级中学
数学 教 研组
职
克
明
2005年10月12日上 午九时整，随着一 声巨响，我国研制 的神州六号载人飞 船，发射升空,不 久，飞船进入了以 近地点200公里， 远地点347公里的 椭圆轨道围绕地球 运行，请问你能利 用所学的知识求出 飞船运行的轨道方 程吗？
(2)因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为ya22＋xb22 ＝1(a>b>0)．
因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)， 所以 a2=4,b2=1 故所求椭圆的标准方程为y42＋x2＝1.
【题后反思】 求椭圆方程中的“两 定”
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对 位置，在中心为原点的前提下，确定 焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程 的形式．
点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆． • (2)求值：椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的
距离之和为2a.
1．设 F1，F2 是椭圆1x62 ＋1y22 ＝1 的两个焦点，P 是椭圆上一
点，且|PF1|－|PF2|＝2.则△PF1F2 是( )
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等腰直角三角形
解析：由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝8. 又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3， 又 |F1F2| ＝ 2c ＝ 4 ， 故 △PF1F2 为 直 角 三 角 形．
高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习课ppt课件
C.钝角三角形 D.随m，n变化而变化
类型二 圆锥曲线的性质及其运用
∴ba2＝12，ba＝ 22，
答案 解析
(2)知抛物线y2＝4x的准线与双曲线 代入双曲线方程－可得a2＝15， y2＝1交于A，B两点，点F为抛物 线的焦点，假设△FAB为直角三角形，那么该双曲线的离心率于是c＝ a2＋1＝是56. ____.
类型三 直线与圆锥曲线的位置关系
所以 x1＋x2＝1＋4k22k2，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝1－＋22kk2.
(1)求椭圆的规范方程； 解答
所以 AB 的中点坐标为(1＋2k22k2，1＋－2kk2).
(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，假设y轴上一点M(0①当k≠0时，，AB的中垂线方程为y－1＋－2kk2＝－1k(x－1＋2k22k2)， )满足 |MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值. 解答
所以 sin ∠F1PF2＝82711，所以
＝12|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2
S △ F P ＝12×3×9×82711＝4
1
11.即△F1PF2 的面积为 4
F2
11.
跟踪训练 1 已知椭圆xm2＋y2＝1(m>1)和双曲线xn2－y2＝1(n>0)有相同的焦 点 F1，F2，P 是它们的一个交点，则△F1PF2 的形状是
设P为椭圆 xa22＋yb22 ＝1(a>b>0)上恣意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且 ∠F1PF2＝α，那么△PF1F2为焦点三角形(如图).
1.由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方
程中的 1 换成 0，即可得到两条渐近线的方程.如双曲线Байду номын сангаасx22－by22＝1(a>0，b>0)
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末复习课件 a选修21a高二选修21数学课件
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[典例 2] 已知椭圆的一个顶点为 A(0，－1)，焦点在 x 轴上，若右焦点 到直线 x－y＋2 2＝0 的距离为 3.
(1)求椭圆的方程； (2)设椭圆与直线 y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点 M，N，当|AM|＝|AN| 时，求 m 的取值范围．
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答案
因此，直线 F1Q 的斜率 kF1Q＝c－y0x0. 由于 F1P⊥F1Q，所以 kF1P·kF1Q＝x0y＋0 c·c－y0x0＝－1. 化简得 y20＝x20－(2a2－1)．① 将①代入椭圆 E 的方程，由于点 P(x0，y0)在第一象限， 解得 x0＝a2，y0＝1－a2，即点 P 在定直线 x＋y＝1 上．
由x32＋y2＝1， 得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个交点， 所以 Δ>0，即 m2<3k2＋1.① 所以 xP＝xM＋2 xN＝－3k32m＋k1.
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答案
从而 yP＝kxP＋m＝3k2m＋1，所以 kAP＝yPx＋P 1＝－m＋33mkk2＋1.
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(2)直线 l 截圆锥曲线所得的弦长
|AB|＝ 1＋k2x1－x22或
1＋k12y1－y22，其中 k 是直线 l 的斜率，(x1，
y1)，(x2，y2)是直线与圆锥曲线的两个交点 A，B 的坐标，且(x1－x2)2＝(x1＋x2)2
－4x1x2，x1＋x2，x1x2 可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．
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高中数学 第2章 圆锥曲线与方程本章整合提升课件 a选修21a高二选修21数学课件
A．m>n 且 e1e2>1 B．m>n 且 e1e2<1 C．m<n 且 e1e2>1 D．m<n 且 e1e2<1
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【解析】
在椭圆中，a1＝m，c1＝
m2－1，e1＝
m2－1 m.
在双曲线中，a2＝n，c2＝ n2＋1，e2＝ n2n＋1.因为 c1＝c2，所
第十二页，共二十六页。
【解】 (1)设 F(c,0)，又 A(0，－2)，知直线 AF 的斜率为2c ＝233，解得 c＝ 3.
又ac＝ 23，所以 a＝2，所以 b2＝a2－c2＝1. 所以椭圆 E 的方程为x42＋y2＝1.
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第十三页，共二十六页。
(2)依题意当 l⊥x 轴时，不合题意，故设直线 l 的方程为 y
故|MN|的最小值为 2 6.
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内容(nèiróng)总结
第二章 圆锥曲线(yuán zhuī qǔ xiàn)与方程
No Image
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＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将 y＝kx－2 代入x42＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当
Δ＝16(4k2－3)>0，即 k2>34时，x1,2＝8k±12＋44kk22－3，
从而|PQ|＝
k2＋1|x1－x2|＝4
k2＋1· 4k2－3
1＋4k2
.
又点 O 到直线 PQ 的距离 d＝ k22＋1，
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【解析】
在椭圆中，a1＝m，c1＝
m2－1，e1＝
m2－1 m.
在双曲线中，a2＝n，c2＝ n2＋1，e2＝ n2n＋1.因为 c1＝c2，所
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【解】 (1)设 F(c,0)，又 A(0，－2)，知直线 AF 的斜率为2c ＝233，解得 c＝ 3.
又ac＝ 23，所以 a＝2，所以 b2＝a2－c2＝1. 所以椭圆 E 的方程为x42＋y2＝1.
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(2)依题意当 l⊥x 轴时，不合题意，故设直线 l 的方程为 y
故|MN|的最小值为 2 6.
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内容(nèiróng)总结
第二章 圆锥曲线(yuán zhuī qǔ xiàn)与方程
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＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将 y＝kx－2 代入x42＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当
Δ＝16(4k2－3)>0，即 k2>34时，x1,2＝8k±12＋44kk22－3，
从而|PQ|＝
k2＋1|x1－x2|＝4
k2＋1· 4k2－3
1＋4k2
.
又点 O 到直线 PQ 的距离 d＝ k22＋1，
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数学D 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
知能整合提升
热点考点例析
阶段质量评估
2．圆锥曲线的标准方程与简单性质 (1)圆锥曲线的标准方程： 椭圆、双曲线有两种形式的标准方程，抛物线有四种形式 的标准方程．根据曲线方程的形式来确定焦点的位置，根据焦 点的位置选择恰当的方程形式． (2)圆锥曲线的简单几何性质： ①圆锥曲线的范围往往作为解题的隐含条件．
数学D 选修1-1
第二章 圆锥曲线与评估
双曲线x92－1y62 ＝1 的两个焦点分别为 F1，F2，点 P
在双曲线上，若 PF1⊥PF2，求点 P 的坐标． [思维点击] 题目中的条件涉及曲线上的点与两个焦点，
故应考虑利用双曲线的定义将条件进行转化．
[规范解答] 由双曲线的方程知 a＝3，b＝4，c＝5，不妨
数学D 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
知能整合提升
热点考点例析
阶段质量评估
(3)双曲线： 平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大 于零小于|F1F2|)的点的集合． 圆锥曲线的定义是相对应标准方程和几何性质的“源”，对 于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，
“回归定义”是一种重要的解题策略．
数学D 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
知能整合提升
热点考点例析
阶段质量评估
1．已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1、F2为左 、右焦点．P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝ 12，求双曲线的标准方程．
解析： 如图，设双曲线方程为 ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)．
数学D 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
知能整合提升
热点考点例析
阶段质量评估
②椭圆、双曲线有两条对称轴和一个对称中心，抛物线只 有一条对称轴．
③椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点，抛物线有一个顶 点．
④双曲线焦点位置不同，渐近线方程不同． ⑤圆锥曲线中基本量a，b，c，e，p的几何意义及相互转 化．
设点 P 在第一象限，坐标为(x，y)，F1 为左焦点，
则||PPFF11||－ 2＋|P|PFF2|2＝|2＝6 |F1F2|2＝100
① ②
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第二章 圆锥曲线与方程
知能整合提升
热点考点例析
阶段质量评估
由①两边平方得(|PF1|－|PF2|)2＝36， 所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36. 将②代入，得|PF1|·|PF2|＝32. 在直角三角形 PF1F2 中，|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·y＝32， 所以 y＝156，代入双曲线的方程，得 x＝3 541， 即点 P 在第一象限的坐标是3 541，156，再根据双曲线的 对称性得点 P 的坐标还可以是 －3 541，156，3 541，－156，－3 541，－156.
第二章 圆锥曲线与方程
知能整合提升
热点考点例析
阶段质量评估
圆锥曲线的方程及性质的应用
圆锥曲线的方程和性质的应用主要体现在已知方程求几何 性质，已知圆锥曲线的性质求圆锥曲线的方程，重在考查基础 知识，基本思想方法，属容易题，其中对离心率的考查是重点 ．
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第二章 圆锥曲线与方程
知能整合提升
数学D 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
知能整合提升
热点考点例析
阶段质量评估
所以12|PF1|·|PF2|sin 60°＝12 3， 得|PF1||PF2|＝48， 由以上几式得 c2＝16，c＝4， 则 a＝2，b2＝c2－a2＝12. 故所求双曲线方程为x42－1y22 ＝1.
数学D 选修1-1
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第二章 圆锥曲线与方程
知能整合提升
热点考点例析
阶段质量评估
章末高效整合
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第二章 圆锥曲线与方程
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热点考点例析
阶段质量评估
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数学D 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
知能整合提升
热点考点例析
阶段质量评估
1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆： 平面内到两定点F1、F2距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点 的集合． (2)抛物线： 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的 点的集合．
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第二章 圆锥曲线与方程
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热点考点例析
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第二章 圆锥曲线与方程
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圆锥曲线定义的应用
利用圆锥曲线定义解题，可避免复杂的运算，提高解题效 率，达到事半功倍的效果．
(1)在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义 ，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；
热点考点例析
阶段质量评估
过双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的右焦点 F 作双曲线 的渐近线的垂线 l，若直线 l 与双曲线的左、右两支相交于 A， B 两点，求双曲线的离心率 e 的取值范围．
[思维点击] 利用 l 与双曲线的两支分别相交，建立关于 a、 b、c 的不等式，结合 c2＝a2＋b2 转化为离心率 e 的不等式求解．
∵e＝ac＝2，∴c＝2a.
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第二章 圆锥曲线与方程
知能整合提升
热点考点例析
阶段质量评估
由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝c， 在△PF1F2 中，由余弦定理， 得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60° ＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|·(1－cos 60°)， 即 4c2＝c2＋|PF1||PF2|. 又 S△PF1F2＝12 3
(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题 时，常用定义结合三角形的知识来解决；
(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的 距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解 决，而有关椭圆、双曲线的距离的最值问题，则常用定义把曲 线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离．
[规范解答] 设右焦点 F(c,0)，不妨取渐近线 y＝bax， 则直线 l 的方程为 y＝－ba(x－c)．
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第二章 圆锥曲线与方程
知能整合提升
热点考点例析
阶段质量评估