3讲义特殊的二次函数图像三(教师版)
特殊二次函数的图象PPT课件
1. 二次函数的图像都是抛物线. 2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点（0，0）.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点 （0，0）是抛物线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点 （0，0）是抛物线的最高点;
y
a>0
o
x
第13页/共16页
抛物线y=-x2 与y轴的交点是原点(0,0); 除这个交点外,抛物线上的所有点都 在x轴的下 方,这个交点是抛物线的最高点.
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的 顶点.抛物线 y=-x2 的顶 3 4 5 x -2
-3 -4
-5 -6 -7 -8 -9
它是轴对称图形,对称轴是y轴,即直线x=0.
y 10
9 8
抛物线y=x2 与y轴的交点是原点O(0,0);
7
6
除这个交点外,抛物线上的所有点都
5
在x轴的上方,这个交点是抛物线的最低点.
4 3
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的
2
顶点.抛物线 y=x2 的顶点是原点O(0,0).
1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
-10
第8页/共16页
例1.在同一直角坐标系中画出函数y= 21x2和y=2x2的图像
解: (1) 列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
(2) 描点
y=
1 2
x2
…8
2
0
2
8…
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
26.2(2)(3)特殊二次函数的图像
巩固训练
3、 (1)抛物线y x 向
2
平移
个单位就可以
2 得到y （x 1 ） 1 2 (2)抛物线y x 向 平移 个单位就 2 1 2 可以得到y （x 2） 2 (3)抛物线y ax 2 (a 0)向 平移 个单位
就可以得到y a ( x 2) 2 (4)抛物线y ax (a >0)向
26.2特殊二次函数的图像（2）
教学目标：
1.理解和掌握二次函数y=ax2 +c的图像并从图像观察出二次函 数y=ax2 +c的性质. 2.通过观察、实验、猜想、总结和类比，提高归纳问题的能力
教学重点：
通过二次函数y=ax2 +c的图像总结出有关性质
教学难点：
二次函数y=ax2 +c的图像和性质
教材分析：
总结归纳
抛物线y a( x m) 2 (其中a、m是常数，且a 0) 对称轴:直线x m， 顶点坐标:(m, 0)， 当a 0时，抛物线开口向上， 顶点是抛物线的最低点； 当a 0时，抛物线开口向下， 顶点是抛物线的最高点.
巩固训练
1、函数y=ax2与函数y= -3x2图像的形状相同， 开口方相反.将函数y=ax2图像沿y轴方向向上平 移2个单位，所得的函数 . 2、函数y= -4x2+1图像是 ，开口 ，对 称轴是 ，顶点坐标 ，它的图像有最 __点，此图像由y=-4x2的图像向 平移____ 个单位得到的.
议一议
1 2 函数y x 和 2 1 2 y x 2图像的 2 开口方向、对称轴、 顶点坐标？
总结归纳
抛物线y=ax2+c(其中a,c是常数,且 像a≠0)的图形特征
二次函数的图像和性质、解析式求法(教师版)
二次函数一．二次函数的概念1．二次函数的定义：一般地，形如 2y ax bx c =++（a b c ，，为常数，0a ≠）的函数称为关于x 的二次函数，其中x 为自变量，y 为因变量，,,a b c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．2．二次函数2y ax bx c =++的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x知识图谱错题回顾知识精讲的最高次数是2．一．考点：二次函数的概念．二．重难点：二次函数的概念．三．易错点：二次函数的二次项系数不能等于零，一次项系数和常数项都没有限制．题模一：概念例1.1.1 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）A ． y=3x ﹣1B ． y=ax 2+bx+c C ． s=2t 2﹣2t+1D ． y=x 2+【答案】C【解析】 A 、y=3x ﹣1是一次函数，故A 错误； B 、y=ax 2+bx+c （a≠0）是二次函数，故B 错误； C 、s=2t 2﹣2t+1是二次函数，故C 正确； D 、y=x 2+不是二次函数，故D 错误；例1.1.2 若21(1)3m y m x mx +=-++是二次函数，则m 的值是（ ）A ． 1-B ． 2C ． 1±D ． 1【答案】A【解析】 根据二次函数的定义可得212m +=且10m -≠，解得1m =-，故答案为A 选项．例1.1.3 若()()2322231my m x m x x -=--++-是二次函数，则m 的值是__________．【答案】 2【解析】 由二次函数的定义可知2m =．例1.1.4 二次函数y=ax 2+bx-1（a ≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1-a-b 的值为（ ） A ． -3 B ． -1 C ． 2 D ． 5 【答案】B 【解析】∵二次函数y=ax 2+bx -1（a≠0）的图象经过点（1，1）， ∵a+b -1=1，三点剖析题模精讲∵a+b=2，∵1-a -b=1-（a+b ）=1-2=-1． 故选：B ．随练 1.1 已知函数①54y x =-，②2263t x x =-，③32283y x x =-+，④2318y x =-，⑤2312y x x =-+，其中二次函数的个数为（ ） 【答案】 B 【解析】 本题考查的是二次函数概念． ①54y x =-，③32283y x x =-+，⑤2312y x x=-+不符合二次函数解析式， ②2263t x x =-，④2318y x =-符合二次函数解析式，有两个． 故选B ．随练1.2 已知函数()2113m y m x x +=-+，当m =_________时，它是二次函数．【答案】 1-【解析】 本题考查的是二次函数概念． ∵()2113m y m x x +=-+是二次函数，∴212m +=，∴1m =-或1m =（舍去，因为此时二次项系数10m -=）． 故答案为1-．随练1.3 中考）抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过点（1，2）和（-1，-6）两点，则a+c=____． 【答案】 -2 【解析】把点（1，2）和（-1，-6）分别代入y=ax 2+bx+c （a≠0）得： 26a b c a b c ++=⎧⎨-+=-⎩①②， 随堂练习∵+∵得：2a+2c=-4， 则a+c=-2； 故答案为：-2．y=ax^2的图象和性质一．2y ax =的图象与性质a 的符号图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质0a >向上y 轴()00，0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．0a <向下y 轴()00，0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．一．考点：2y ax =的图象与性质．二．重难点：1．2y ax =的图象与性质；2．对于211y a x =和222y a x =，若12a a =，则1y 和2y 的函数图像是全等的．三．易错点：开口大小由a 决定，a 越大，开口越小．题模一：y=ax^2的图象和性质例2.1.1 若二次函数y=ax 2的图象经过点P （-2，4），则该图象必经过点（ ） A ． （2，4） B ． （-2，-4） C ． （-4，2） D ． （4，-2） 【答案】A知识精讲三点剖析题模精讲【解析】∵二次函数y=ax 2的对称轴为y 轴， ∵若图象经过点P （-2，4）， 则该图象必经过点（2，4）． 故选A ．例2.1.2 若二次函数22my mx -=有最大值，则m =__________．【答案】 2-【解析】 二次函数有最大值，则开口向下，得出2m =-．例2.1.3 在同一直角坐标系下，画出二次函数2y x =，2y x =-，212y x =-和22y x =的图象．【答案】【解析】 由描点法画出函数图像．例2.1.4 已知1a <-，点()11,a y -，()2,a y ，()31,a y +都在函数2y x =的图象上，则（ ） A ． 123y y y << B ． 132y y y << C ． 321y y y << D ． 213y y y <<【答案】C【解析】 因为1a <-，所以110a a a -<<+<，因为2y x =对称轴为y 轴，且开口向上，所以321y y y <<，故答案为C 选项．随练2.1 已知二次函数2y ax =经过点()3,3A ，点B 也在该二次函数图像上，且AB x ∥，则点B 的坐标为（ ）A ． ()3,3-B ． ()3,3-C ． ()3,1-D ． ()1,3- 【答案】A【解析】 由二次函数的对称性可知点()3,3B -．随练2.2 若二次函数21my mx +=有最小值，则m =__________．【答案】 1【解析】 二次函数有最小值，则开口向上，得出1m =．随堂练习随练2.3 在同一坐标系中画出二次函数214y x =，212y x =，2y x =的函数图像．【答案】【解析】 有描点法画出函数图像．y=a （x-h ）^2+k 的图象和性质一．()2y a x h k =-+（0a ≠）的图像和性质()2y a x h k =-+（0a ≠）是二次函数()20y ax bx c a =++≠的顶点式，其中(),h k 为其顶点坐标，x h =为其对称轴．一般式配成顶点式的方法：222222242224b c b b c b b ac b y ax bx c a x x a x x a x a a a a a a a a ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+++-=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． a 的符号 图象开口方向对称轴顶点坐标 性质0a >向上 x h =(,)h kx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．0a <向下 x h =(,)h kx h <时，y 随x 的增大而增大；x h >时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最大值k ．二．()2y a x h k =-+（0a ≠）图像的平移变换函数()2y a x h k =-+的图象可以看做是由函数2y ax =的图象先向左或向右平移||h 个单位，再向上或向下平移||k 个单位得到的；当0h >时，向右平移，当0h <时，向左平移；0k >时，向上平移，0k <时，向下平移．平移原则：左加右减，上加下减．例如：将()2y a x h k =-+向左或右平移m ()0m >个单位变为()2y a x h m k =-±+，向右平移m ()0m >个单位变为()2y a x h m k =--+；向上或下平移()0n n >个单位后变为()2y a x h k n =-+±，先向左平移m ()0m >个单位再向下平移()0n n >个单位后变为()2y a x h m k n =-++-．知识精讲三点剖析一．考点：()()20y a x h k a =-+≠的图像和性质，()()20y a x h k a =-+≠图像的平移变换．二．重难点：()()20y a x h k a =-+≠的图像和性质，平移变换左加右减，上加下减的原则．三．易错点：1．在判断()()20y a x h k a =-+≠图像的增减性时一定要先确定开口方向；2．左右平移是针对x ，上下平移是针对y ．题模一：y=a （x -h ）^2+k 的图象和性质例3.1.1 抛物线()223y x =++的顶点坐标是（ ） A ． ()2,3-B ． ()2,3C ． ()2,3--D ． ()2,3-【答案】A【解析】 该题考查的是二次函数．二次函数顶点式：()2y a x h k =-+，顶点坐标为(),P h k ，本题中，()223y x =++，顶点坐标()2,3-，故答案是A ．例3.1.2 将二次函数223y x x =--化成()2y x h k =-+形式，则h k +结果为（ ） A ． 5- B ． 5 C ． 3D ． 3-【答案】D【解析】 该题考查的是配方法．()2221414y x x x =-+-=--∴1h =，4k =-∴3h k +=-，故答案选D ．例 3.1.3 已知二次函数()231y x k =--+的图象上有三点()12,A y ，()22,B y ，()35,C y ，则1y 、2y 、3y 的大小关系为（ ）A ． 123y y y >>B ． 213y y y >>C ． 312y y y >>D ． 321y y y >>【答案】A【解析】 该题考查的是二次函数性质． ∵二次函数的解析式()231y x k =--+，∴二次函数的对称轴为1x =， 根据二次函数解析式可知，当1x >时，y 随x 的增大而减小，题模精讲∴123y y y >>，故选A ．题模二：y=a （x -h ）^2+k 平移变换例3.2.1 抛物线2(2)1y x =-+是由抛物线2y x =平移得到的，下列对于抛物线2y x =的平移过程叙述正确的是（ ）A ． 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B ． 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C ． 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D ． 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 【答案】A【解析】 该题考查的是二次函数图象的几何变换． 因为函数2y x =的图象沿y 轴向上平移1个单位长度， 所以根据左加右减，上加下减的规律， 直接在函数上加1可得新函数21y x =+；然后再沿x 轴向右平移2个单位长度，可得新函数()221y x =-+． 故选A随练3.1 已知抛物线()21533y x =--+，下列说法正确的是（ ）A ． 开口向下，顶点坐标()5,3B ． 开口向上，顶点坐标()5,3 C ． 开口向下，顶点坐标()5,3-D ． 开口向上，顶点坐标()5,3-【答案】A 【解析】 由()2y a x h k=-+的性质可知，开口向下，顶点为()5,3．随练3.2 将二次函数2281y x x =--化成2()y a x h k =-+的形式，结果为（ ） A ． 22(2)1y x =-- B ． 22(4)32y x =-+ C ． 22(2)9y x =--D ． 22(4)33y x =--【答案】C【解析】 该题考查的是二次函数一般式与顶点式的转换． 通过配方，可得22(2)9y x =--．故选C随堂练习随练3.3 设A （-2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线y=-（x+1）2+a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ） A ． y 1＞y 2＞y 3 B ． y 1＞y 3＞y 2 C ． y 3＞y 2＞y 1 D ． y 3＞y 1＞y 2 【答案】A 【解析】∵函数的解析式是y=-（x+1）2+a ，如右图， ∵对称轴是x=-1，∵点A 关于对称轴的点A′是（0，y 1），那么点A′、B 、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边y 随x 的增大而减小， 于是y 1＞y 2＞y 3． 故选A ．随练3.4 抛物线23(1)2y x =-+-经过平移得到抛物线23y x =-，平移的方法是（ ） A ． 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B ． 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C ． 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D ． 向右平移1个单位，再向上平移2个单位 【答案】D【解析】 该题考查的是二次函数图像平移． 二次函数的平移法则是：左右平移变动的是x ，如将()20y ax bx c a =++≠左平移m 个单位，即可得到 ()()()2++0y a x m b x m c a =++≠，右平移m 个单位，即可得到 ()()()20y a x m b x m c a =-+-+≠，上下平移变动的是y ，如将()20y ax bx c a =++≠上平移m 个单位，即可得到()2+0y ax bx c m a =++≠，下平移m 个单位，即可得到()20y ax bx c m a =++-≠总结为：左加右减在括号，上加下减在末梢，本题中，()2312y x =-+-经过向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到23y x =-，故答案是D ．随练3.5 在平面直角坐标系中，如果抛物线221y x =+不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）A ． ()2223y x =-+ B ． ()2221y x =-- C ． ()2221y x =+-D ． ()2223y x =++【答案】C【解析】 该题考查的是二次函数的基本性质．当抛物线不动，而把坐标轴平移时，相当于抛物线向反方向平移，故把x 轴、y 轴分别向上、 向右平移2个单位，相当于把抛物线向下、向左平移两个单位， ∴抛物线221y x =+向下平移两个单位变为221y x =-， 再向左平移两个单位变为：()2221y x =+-， 故选C ．y=a^2+bx+c 的图象和性质一．2y ax bx c =++的图象及性质：a 的符号图象开口方向 对称轴顶点坐标性质0a >向上 2b x a =- 24(,)24b ac b a a --2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -． 0a <向下 2b x a =- 24(,)24b ac ba a --2bx a<-时，y 随x 的增大而增大；2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-． 二．二次函数2y ax bx c =++图象的画法：知识精讲1．五点绘图法：利用配方法将二次函数()20y ax bx c a =++≠化为顶点式2()y a x h k =-+，一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）． 2．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与y 轴的交点，与x 轴的交点．一．考点：2y ax bx c =++的图象和性质．二．重难点：2y ax bx c =++的图象和性质，参数对图像的影响．三．易错点：利用函数图像推断参数的取值范围或者利用参数的取值范围推断函数图像．题模一：y=a^2+bx+c 的图象和性质例4.1.1 已知二次函数y=（x ﹣h ）2+1（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（ ） A ． 1或﹣5 B ． ﹣1或5 C ． 1或﹣3 D ． 1或3 【答案】B【解析】 ∵当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小， ∴①若h ＜1≤x ≤3，x=1时，y 取得最小值5， 可得：（1﹣h ）2+1=5，解得：h=﹣1或h=3（舍）；②若1≤x ≤3＜h ，当x=3时，y 取得最小值5， 可得：（3﹣h ）2+1=5， 解得：h=5或h=1（舍）． 综上，h 的值为﹣1或5例4.1.2 点P 1（﹣1，y 1），P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数y=﹣x 2+2x+c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ． y 3＞y 2＞y 1 B ． y 3＞y 1=y 2 C ． y 1＞y 2＞y 3 D ． y 1=y 2＞y 3 【答案】D【解析】 ∵y=﹣x 2+2x+c ， ∵对称轴为x=1，P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， ∵3＜5， ∵y 2＞y 3，根据二次函数图象的对称性可知，P 1（﹣1，y 1）与（3，y 1）关于对称轴对称， 故y 1=y 2＞y 3，三点剖析题模精讲例4.1.3 二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m+n 的值为（ ） A ． B ． 2C ．D ．【答案】D【解析】 二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5的大致图象如下：．①当m≤0≤x≤n ＜1时，当x=m 时y 取最小值，即2m=﹣（m ﹣1）2+5， 解得：m=﹣2．当x=n 时y 取最大值，即2n=﹣（n ﹣1）2+5， 解得：n=2或n=﹣2（均不合题意，舍去）；②当当m≤0≤x≤1≤n 时，当x=m 时y 取最小值，即2m=﹣（m ﹣1）2+5， 解得：m=﹣2．当x=1时y 取最大值，即2n=﹣（1﹣1）2+5， 解得：n=，所以m+n=﹣2+=．例4.1.4 阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1x m ≤≤，求二次函数267y x x =-+的最大值．他画图研究后发现，1x =和5x =时的函数值相等，于是他认为需要对m 进行分类讨论． 他的解答过程如下：∵二次函数267y x x =-+的对称轴为直线3x =，∴由对称性可知，1x =和5x =时的函数值相等． ∴若15m ≤<，则1x =时，y 的最大值为2；若5m ≥，则x m =时，y 的最大值为267m m -+． 请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当24x -≤≤时，二次函数2241y x x =++的最大值为_______； （2）若2p x ≤≤，求二次函数2241y x x =++的最大值；（3）若2t x t ≤≤+时，二次函数2241y x x =++的最大值为31，则t 的值为_______．【答案】 （1）49（2）17或2241p p ++（3）1或5- 【解析】 该题考查二次函数的最值． （1）∵抛物线的对称轴为直线∴当24x -≤≤时，二次函数2241y x x =++的最大值为：22444149⨯+⨯+= （2）∵二次函数2241y x x =++的对称轴为直线1x =-， ∴由对称性可知，4x =-和2x =时函数值相等. ∴若42p -<≤，则2x =时，y 的最大值为17. 若4p ≤-，则x p =时，y 的最大值为2241p p ++. （3）2t <-时，最大值为：224131t t ++=，整理得，22150t t +-=，解得13t =（舍去），25t =- 2t ≥-时，最大值为：()()22242131t t ++++=整理得，()()2222150t t +++-=，解得11t =，27t =-（舍去） 所以t 的值为1或5-题模二：参数对图象的影响例4.2.1 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：①b ＜0，c ＞0；②a+b+c ＜0；③方程的两根之和大于0；④a ﹣b+c ＜0，其中正确的个数是（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个【答案】B【解析】 ∵抛物线开口向下， ∴a ＜0，∵抛物线对称轴x ＞0，且抛物线与y 轴交于正半轴， ∴b ＞0，c ＞0，故①错误；由图象知，当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0，故②正确， 令方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2， 由对称轴x ＞0，可知122x x +＞0，即x 1+x 2＞0，故③正确； 由可知抛物线与x 轴的左侧交点的横坐标的取值范围为：﹣1＜x ＜0，∴当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＜0，故④正确．例4.2.2 一次函数y=ax+b （a ≠0）与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】 A 、由抛物线可知，a ＜0，由直线可知，故本选项错误； B 、由抛物线可知，a ＞0，x=﹣＞0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误； C 、由抛物线可知，a ＜0，x=﹣＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＜0，故本选项正确； D 、由抛物线可知，a ＜0，x=﹣＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＞0故本选项错误．例4.2.3 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围．【答案】 10a -<<【解析】 由图像可知，0a <，且满足1002c a b c b a ⎧⎪=⎪++=⎨⎪⎪-<⎩，解得a 的取值范围是10a -<<．随练 4.1 若1134A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，254B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，314C y ⎛⎫⎪⎝⎭，为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ． 123y y y << B ． 213y y y << C ． 312y y y << D ． 132y y y <<【答案】BO y x11随堂练习【解析】 因为抛物线对称轴为22bx a=-=-，所以A ，B ，C 三点到对称轴的距离分别为135244-+=，53244-+=，19244+=，因为开口向上，所以213y y y <<，故答案为B 选项．随练4.2 y=x 2+（1-a ）x+1是关于x 的二次函数，当x 的取值范围是1≤x ≤3时，y 在x=1时取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ） A ． a ≤-5 B ． a ≥5 C ． a=3 D ． a ≥3 【答案】B 【解析】 第一种情况：当二次函数的对称轴不在1≤x≤3内时，此时，对称轴一定在1≤x≤3的右边，函数方能在这个区域取得最大值， x=12a -＞3，即a ＞7， 第二种情况：当对称轴在1≤x≤3内时，对称轴一定是在区间1≤x≤3的中点的右边，因为如果在中点的左边的话，就是在x=3的地方取得最大值，即： x=12a -≥132+，即a≥5（此处若a 取5的话，函数就在1和3的地方都取得最大值） 综合上所述a≥5． 故选B ．随练4.3 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc ＞0；②4ac ＜b 2；③2a+b=0；④a ﹣b+c ＞2．其中正确的结论的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4【答案】C【解析】 ∵抛物线开口向下， ∵a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，∵b=2a ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∵c ＞0，∵abc ＞0，所以①正确； ∵抛物线与x 轴有2个交点， ∵∵=b 2﹣4ac ＞0，所以②正确； ∵b=2a ，∵2a ﹣b=0，所以③错误； ∵x=﹣1时，y ＞0，∵a ﹣b+c ＞0，所以④正确．随练4.4 在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-+-（m 是常数，且0m ≠）的图像可能是（ ）A ． A 图B ． B 图C ． C 图D ． D 图 【答案】D【解析】 该题考查的是函数的图象． 本题考虑0m >和0m <两种情况：当0m >时，一次函数图象斜率为正且纵截距为正，二次函数图象开口向下且当0x =时与坐标轴交于y 轴下方，没有符合要求的图象；当0m <时，一次函数图象斜率为负且纵截距为负，二次函数图象开口向上且当0x =时与坐标轴交于y 轴下方，只有D 图符合． 所以该题的答案是D ．随练4.5 如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称轴为直线1x =-，下列5个结论：①0abc >；②240a b c ++=；③20a b ->；④320b c +>；⑤()a b m am b -≥-其中正确的结论__________．（注：只填写正确结论的序号）【答案】 ②④【解析】 该题考察的是二次函数图象与系数的关系．∵抛物线开口向上， ∴0a >∵抛物线对称轴为直线x b =-，2 1a =-， ∴2b a =，则20a b -=，所以③错误； ∴0b >，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方， ∴0c <，∴0abc <，所以①错误；∵12x =时，0y =， ∴11042a b c ++=，即240a b c ++=，所以②正确； ∵12a b =，0a b c ++>，∴1202b bc ++>，即320b c +>，所以④正确； ∵1x =-时，函数最大小，∴()21a b c m a mb cm -+<-+≠，∴()a b m am b -≤-，所以⑤错误．故答案是②④．随练4.6 已知函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象，如图所示．求证：()22a c b +<．【答案】 见解析 【解析】()()()22a c b a c b a c b +-=+-++，由图像可知0a c b +-<，0a c b ++>，故()220a c b +-<，即()22a c b +<二次函数解析式的求法一．二次函数的解析式1. 一般式：()20y ax bx c a =++≠；2. 顶点式：()2y a x h k =-+()0a ≠；3. 两根式（交点式）：()()()120y a x x x x a =--≠（1x ，2x 是方程0y =的两个解）.二．如何设解析式1. 已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式；2. 已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式；4. 已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式（交点式可视为对称点式的特例）．一．考点：二次函数解析式的求法．二．重难点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．三．易错点：顶点式中符号容易代错，例如顶点为()1,3-，错把解析式设为()213y a x =-+．题模一：待定系数法例5.1.1 已知抛物线2y ax bx c =++经过点()0,3A ，()4,3B ，()1,0C ．（1）填空：抛物线的对称轴为直线x = ，抛物线与x 轴的另一个交点D 的坐标为 ； （2）求该抛物线的解析式．【答案】 （1）2x =；()3,0（2）243y x x =-+ 【解析】 该题考查二次函数解析式的求法．（1）抛物线的对称轴为直线2x =，抛物线与x 轴的另一个交点D 的坐标为()3,0；…2分； （2）∵抛物线经过点()1,0C ，()3,0D ，∴设抛物线的解析式为()()13y a x x =--．…………………3分； 由抛物线经过点()0,3A ，得1a =．…………………………4分；知识精讲三点剖析题模精讲∴抛物线的解析式为243y x x =-+．………………………5分．题模二：顶点式例5.2.1 将二次函数223y x x =--化成()2y x h k =-+形式，则h k +结果为（ ） A ． 5- B ． 5 C ． 3D ． 3-【答案】D【解析】 该题考查的是配方法．()2221414y x x x =-+-=--∴1h =，4k =-∴3h k +=-，故答案选D ．例5.2.2 若抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则抛物线的函数关系式为____．【答案】 y=-x 2+4x -3 【解析】设抛物线的解析式为y=a （x -2）2+1， 将B （1，0）代入y=a （x -2）2+1得， a=-1，函数解析式为y=-（x -2）2+1， 展开得y=-x 2+4x -3． 故答案为y=-x 2+4x -3． 题模三：两根式例5.3.1 已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点的横坐标是方程220x x +-=的两个根，且抛物线过点()2,8，求二次函数的解析式． 【答案】 2224y x x =+-【解析】 该题考查的是抛物线性质． 解方程220x x +-=可得，11x =，22x =-， ∴抛物线与x 轴交点坐标为()1,0，()2,0-，将三点代入解析式可得， ()()220022822a b c a b c a b c=++⎧⎪=⨯-+⨯-+⎨⎪=⨯+⨯+⎩ 解得2a =，2b =，4c =-，所以抛物线解析式为2224y x x =+-．例 5.3.2 已知抛物线2y ax bx c =++经过()0,6-，()8,6-两点其顶点的纵坐标是2，求这个抛物线的解析式．【答案】 21462y x x =-+-【解析】 该题考查的是抛物线的性质．由题可知，抛物线对称轴为0842x +==， ∴顶点坐标为()4,2， 将三点坐标代入解析式可得，226688244c a b c a b c-=⎧⎪-=⨯+⨯+⎨⎪=⨯+⨯+⎩ 解得12a =-，4b =，6c =- ，所以抛物线解析式为21462y x x =-+-．随练5.1 已知一个二次函数过()0,0，()1,11-，()1,9三点，求二次函数的解析式． 【答案】 210y x x =-【解析】 设二次函数的解析式为2y ax bx c =++（0a ≠），因为抛物线经过点()0,0，()1,11-，()1,9，所以0119c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得1010a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以二次函数解析式为210y x x =-．随堂练习随练5.2 将二次函数241y x x =--化为2()y x h k =-+的形式，结果为（ ） A ． ()225y x =++ B ． ()225y x =+- C ． ()225y x =-+ D ． ()225y x =--【答案】D【解析】 该题考查的是配方法．根据完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±，()2224144525y x x x x x =--=-+-=--，故答案是D随练5.3 已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，-2），求这个二次函数的关系式． 【答案】 y=2x 2-4x 【解析】设这个二次函数的关系式为y=a （x -1）2-2， ∵二次函数的图象过坐标原点， ∵0=a （0-1）2-2 解得：a=2故这个二次函数的关系式是y=2（x -1）2-2，即y=2x 2-4x ．随练 5.4 已知二次函数y=x 2+bx+c 经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是____． 【答案】 y=x 2-7x+12 【解析】设二次函数的解析式为y=a （x -3）（x -4）， 而a=1，所以二次函数的解析式为y=（x -3）（x -4）=x 2-7x+12． 故答案为y=x 2-7x+12．随练 5.5 已知抛物线()20y ax bx c a =++≠经过点()1,3A -和点()3,3B ，且顶点到x 轴的距离为1，求抛物线的解析式．【答案】 21322y x x =-+或22y x x =- 【解析】 由题意可得抛物线的顶点坐标为()1,1或()1,1-，设抛物线解析式为()()133y a x x =+-+，将顶点坐标分别代入可得21322y x x =-+或22y x x =-．二次函数与一元二次方程一．二次函数与x 轴交点1．抛物线与x 轴的交点：二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离.2．平行于x 轴的直线与抛物线的交点：可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是2ax bx c k ++=的两个实数根.3．抛物线与x 轴两交点之间的距离．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()10A x ，，()20B x ，，由于1x 、2x 是方程20ax bx c ++=的两个根，故1212b cx x x x a a+=-⋅=，： ()()222212121212444b cb ac AB x x x x x x x x a a a a -∆⎛⎫=-=-=--=--==⎪⎝⎭.二．二次函数与一元二次方程根的分布问题如下表（以0a >为例）：判别式:24b ac ∆=-0∆>0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图象一元二次方程:20ax bx c ++=(0)a ≠的根有两相异实根 12,x x = 242b b aca -±-12()x x <有两相等实根122bx x a==-没有实根一．考点：二次函数与x 轴交点问题，利用二次函数解决一元二次方程根的分布问题．二．重难点：1．二次函数与x 轴交点问题即当0y =时，转化为一元二次方程20ax bx c ++=；2．在利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时要结合函数图像的性质来分析．x 2x 1Oyxx 1=x 2O yxO xy知识精讲三点剖析三．易错点：利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时首先确定开口方向，然后再结合函数的增减性，对称轴的位置，函数值等因素最终确定一元二次方程根的分布情况．题模一：一元二次方程根的分布问题例6.1.1 “如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m 、n （m ＜n ）是关于x 的方程1-（x-a ）（x-b ）=0的两根，且a ＜b ，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ） A ． m ＜a ＜b ＜n B ． a ＜m ＜n ＜b C ． a ＜m ＜b ＜n D ． m ＜a ＜n ＜b 【答案】A【解析】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算． 依题意画出函数y=（x -a ）（x -b ）图象草图，根据二次函数的增减性求解．依题意，画出函数y=（x -a ）（x -b ）的图象，如图所示．函数图象为抛物线，开口向上，与x 轴两个交点的横坐标分别为a ，b （a ＜b ）． 方程1-（x -a ）（x -b ）=0 转化为（x -a ）（x -b ）=1，方程的两根是抛物线y=（x -a ）（x -b ）与直线y=1的两个交点． 由m ＜n ，可知对称轴左侧交点横坐标为m ，右侧为n ．由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y 随x 增大而减少，则有m ＜a ；在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，则有b ＜n ．综上所述，可知m ＜a ＜b ＜n ． 故选：A ．例6.1.2 求实数a 的取值范围，使关于x 的方程()221260x a x a -=＋＋＋． （1）有两个实根12x x 、，且满足1204x x <<<； （2）至少有一个正根．题模精讲【答案】 （1）715a -<<-（2）1a ≤-【解析】 （1）设2()2(1)26f x x a x a =-＋＋＋；则有:0042(0)0(4)0b af f ∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩解得：715a -<<-（2）可以利用韦达定理来解决此题①由图1、图2，可得：121200x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩；解得：31a -<≤-②由图3，可得：121200x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪⋅=⎩；解得：3a =-；③由图4，可得：1200x x ∆>⎧⎨⋅<⎩；解得：3a <-综上可得1a ≤-．题模二：二次函数与x 轴交点例6.2.1 抛物线y=x 2+2x+m ﹣1与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ） A ． m ＜2 B ． m ＞2 C ． 0＜m ≤2 D ． m ＜﹣2 【答案】A【解析】 ∵抛物线y=x 2+2x+m ﹣1与x 轴有两个交点， ∵∵=b 2﹣4ac ＞0， 即4﹣4m+4＞0， 解得m ＜2，例6.2.2 已知关于x 的方程()231220mx m x m --+-=（1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根．（2）若关于x 的二次函数()23122y mx m x m =--+-的图象与x 轴两交点间的距离为2时，求二次函数的表达式．【答案】 （1）见解析；（2）函数解析式为22y x x =-或218233y x x =-+-【解析】 （1）①当0m =时，原方程可化为20x -=，解得2x =； ②当0m ≠时，方程为一元二次方程，图1图3()()231422m m m ∆=----⎡⎤⎣⎦ 221m m =++()210m =+≥，故方程有两个实数根；故无论m 为何值，方程恒有实数根．（2）设1x ，2x 分别为抛物线()23122y mx m x m =--+-与x 轴两交点的横坐标， 令0y =，则()231220mx m x m --+-=， 由求根公式得，12x =，21m x m-=∴抛物线()23122y mx m x m =--+-不论m 为任何不为0的实数时，恒过定点()2,0， ∴20x =或24x =，即10m m -=或14m m-=， 解得11m =，213m =-则函数解析式为22y x x =-或218233y x x =-+-随练6.1 已知关于x 的方程()()2131220k x k x k ++-+-=．（1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若抛物线()()2131220k x k x k ++-+-=与x 轴的两个交点之间的距离为3，求k 的值． 【答案】 （1）见解析（2）1；3（3）0；3-【解析】 该题考查的是二次函数与一元二次方程的综合题．（1）当1k =-时，方程44x --=0为一元一次方程，此方程有一个实数根； 当1k ≠-时，方程2(1)(31)22k x k x k ++-+-=0是一元二次方程， ()()()()223141223k k k k ∆=--+-=-．∵()230k -≥，即0∆≥，∴ k 为除1-外的任意实数时，此方程总有两个实数根． 2分 综上，无论k 取任意实数，方程总有实数根．（2）13(3)2(1)k k x k -±-=+，11x =-，2x =421k -+．∵ 方程的两个根是整数根，且k 为正整数，随堂练习∴ 当1k =时，方程的两根为1-，0； 当3k =时，方程的两根为1-，1-．∴ 1k =，3． 4分（3）∵ 抛物线()()213122y k x k x k =++-+-与x 轴的两个交点之间的距离为3， ∴，123x x -=，或213x x -=．当123x x -=时，3k =-；当213x x -=时，0k =．综上，0k =，-3． 6分随练6.2 若二次函数2(2)31y m x x =+-+与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（ ）A ． 14m <B ． 124m m <≠--且C ． 14m <-D ． 124m m <≠-且【答案】D【解析】 该题考查的是一元二次方程根的判别式． 对于一元二次方程20ax bx c ++= ，判别式24b ac ∆=-： 0∆>，二次函数()20y ax bx c a =++≠与x 轴有两个交点， 0∆=，二次函数()20y ax bx c a =++≠与x 轴有一个交点， 0∆<，二次函数()20y ax bx c a =++≠与x 轴没有交点，本题中，二次函数()2231y m x x =+-+与x 轴有两个交点，故()()22034210m m +≠⎧⎪⎨∆=--⨯+⨯>⎪⎩，解得：14m <且2m ≠-，故答案是D ．随练6.3 如图，平面直角坐标系中，点M 是直线y=2与x 轴之间的一个动点，且点M 是抛物线y=12x 2+bx+c 的顶点，则方程12x 2+bx+c=1的解的个数是（ ）A ． 0或2B ． 0或1C ． 1或2D ． 0，1或2【答案】A【解析】 考查了二次函数的性质，本题涉及分类思想和方程思想的应用．分三种情况：点M 的纵坐标小于1；点M 的纵坐标等于1；点M 的纵坐标大于1；进行讨论即可得到方程12x 2+bx+c=1的解的个数． 分三种情况：点M 的纵坐标小于1，方程12x 2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根； 点M 的纵坐标等于1，方程12x 2+bx+c=1的解是2个相等的实数根； 点M 的纵坐标大于1，方程12x 2+bx+c=1的解的个数是0． 故方程12x 2+bx+c=1的解的个数是0或2． 故选：D ．随练 6.4 实数a 在什么范围内取值时，关于x 的方程2(2)50x a x a --+-=的一个根大于0而小于2，另一个根大于4而小于6．【答案】 2955a -<<-【解析】 设2()(2)5f x x a x a =--+-；则有:(0)0(2)0(4)0(6)0f f f f >⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩ 解得2955a -<<-．自我总结作业1 下列函数是二次函数的是（ ） A ． 21y x =+B ． 21y x =-+C ． 22y x =+D ． 2122y x x =-【答案】C【解析】 由二次函数的概念可知22y x =+为二次函数．作业2 二次函数227y x x =+-的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ） A ． 3B ． 5C ． 35-和D ． 35-和【答案】D【解析】 由题意得2278x x +-=，解得3x =或5x =-，故答案为D 选项．作业3 已知函数2222()(32)2m my m m x m m x m m -=++++++，当m 是什么数时，函数是二次函数？【答案】 2m =【解析】 根据二次函数定义，只要满足20m m +≠且22m m -=即可，解得2m =作业4 已知二次函数2y ax =经过点()3,1A ，点A 与点'A 关于y 轴对称，则点'A （ ）A ． 在2y ax =图像上B ． 不在2y ax =图像上C ． 不确定是否在2y ax =图像上D ． 以上说法都不对【答案】A【解析】 由二次函数2y ax =的对称性可知点'A 在2y ax =的图像上．作业5 已知点()11,y -，()22,y -，()33,y 都在函数()20y ax a =>的图像上，则（ ） A ． 123y y y <<B ． 132y y y <<C ． 321y y y <<D ． 213y y y <<【答案】A【解析】 由二次函数()20y ax a =>的对称性和增减性可知123y y y <<．作业6 若二次函数2y ax =有最大值，则21y ax =+有__________值（填最大或最小），且为__________．【答案】 最大；1【解析】 由二次函数2y ax =的最值可得出结论．课后作业。
二次函数的图像及性质ppt课件
同一数值时，这两个
7
函数的函数值之间有
6
什么关系?反映在图
象上，相应的两个点
5
之间的位置又有什么 4
关系?
3
y 2x2 1
（0，1）
2 y 2x2
1
24
函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系? 1、函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，
但顶点坐标不同，函数y＝ 2x2的图象的顶点坐标是(0，
6
y=2x²的图象有
5
什么关系？
4
y 2x2 1
3
（0，1）
2 y 2x2
1
23
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y=2x2+1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 …
问题1：当自变量x取
y 1 (x 2)2 y 1 (x 2)2
2
2
观察三条抛物线的相互关系,并分别指
出它们的开口方向,对称轴及顶点.
6
y 1 x 22
2
5
4
y 1 x2 2
y 1 x 22
2
3
2
1
-8
-6
-4
-2 B
-1
2
4
6
37
在同一坐标系中作出下列二次函数:
y 1 x 2 y 1 (x 2)2
5
3、画函数图像的基本步骤是： 列表 、 描点 、 连线 。
6
7
1. y=ax2的函数图像
8
1、画函数y=x2的图像； 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
中考专题3二次函数动点探究教师版
为 x，则下列图象中能大致表示 y 与 x 之间函数关系图象的是（ ） B
QC
A．
B．
P
C．
D．
A
D
【分析】： 分两种情况：①当动点 Q 在 BC 边上运动时；②当动点 Q 在 CD 边上运动时； 结合“正负大法”，确定正确选项．
【答案】：
B
Q CB
C
①当动点 Q 在 BC 边上运动时，△APQ 的底在增加，高在 增加，所以图象是抛物线，开口向上，自左向右上升；
考查对称性： 已知抛物线图象上有定点 A、B、C，在对称轴上有动点 M，问： ①求 MA+MC 最小值？ ②求|MB﹣MC|最大值？
1. 线段和最小：将两个定点对称到定直线异侧； 2. 线段差最大：将两个定点对称到定直线同侧．
正负大法：
若△ABC 的底为 a，高为 h，随着时间的增加，a 和 h 中至少有一个在变化，且变化 的量是关于时间的一次函数，现在探究△ABC 的面积随时间变化的图象．
【总结】 （1）定值减去开口向上的抛物线：开口向下的抛物线； （2）定值减去开口向下的抛物线：开口向上的抛物线．
7
第三部分 达标练习
【A 组】
1．如图，抛物线 y＝﹣x2+2x+3 交 x 轴与点 A（a，0）和 B（b，0），交 y 轴于点 C，点 E 是
抛物线对称轴上的一点， AE+CE 的最小值是
5
【B 组】
【例 1】如图，四边形 ABCD 是矩形，AB＝8，BC＝4，动点 P 以每秒 2 个单位的速度从点
A 沿线段 AB 向 B 点运动，同时动点 Q 以每秒 3 个单位的速度从点 B 出发沿 B﹣C﹣D 的
方向运动，当点 Q 到达点 D 时 P、Q 同时停止运动，若记△PQA 的面积为 y，运动时间
二次函数的图像说课稿(精选6篇)
二次函数的图像说课稿（精选6篇）二次函数的图像说课稿 1尊敬的各位评委、各位老师：大家好！今天我说课的题目是《二次函数的图像》，这是北师大版必修1第二章的第四节课。
下面我将围绕本节课“教什么？”、“怎样教？”、“为什么这样教？”三个问题，从教材内容、教法学法、教学过程这三个方面逐一分析说明。
一、教材内容分析：１、本节课内容在整个教材中的地位和作用。
概括地讲，二次函数的图像在教材中起着承上启下的作用，它的地位体现在它的思想的基础性。
一方面，本节课是对初中有关内容的深化，为后面进一步学习二次函数的性质打下基础；另一方面，二次函数解析式中的系数由常数转变为参数，使学生对二次函数的图像由感性认识上升到理性认识，能培养学生利用数形结合思想解决问题的能力。
2、教学目标定位。
根据教学大纲要求、新课程标准精神和高一学生心理认知特征，我确定了三个层面的教学目标。
第一个层面是基础知识与能力目标：理解二次函数的图像中a、b、c、k、h的作用，能熟练地对二次函数的一般式进行配方，会对图像进行平移变换，领会研究二次函数图像的方法，培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力；第二个层面是过程和方法：让学生经历作图、观察、比较、归纳的学习过程，使学生掌握类比、化归等数学思想方法，养成即能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯；第三个层面是情感、态度和价值观：在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦。
3、教学重难点。
重点是二次函数各系数对图像和形状的影响，利用二次函数图像平移的特例分析过程，培养学生数形结合的思想和划归思想。
难点是图像的平移变换，关键是二次函数顶点式中h、k的正负取值对函数图像平移变换的影响。
二、教法学法分析：数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，感受数学的自然美。
九年级同步第15讲：二次函数的概念及特殊二次函数的图像-教师版
二次函数是九年级上学期第三章的内容．本讲首先讲解二次函数的概念，需学会判断一个函数是否是二次函数，重点是学会在实际问题中用二次函数描述两个变量之间的依赖关系，并确定函数定义域．其次，在理解了二次函数概念的基础上，本讲讲解了特殊二次函数2y ax=的图像，重点是学会利用描点法画出二次函数的图像，并通过观察和分析，归纳出抛物线2y ax=的特征，掌握其直观性质，为学习其他形式的二次函数的图像做好准备．1、二次函数一般地，解析式形如2y ax bx c=++（其中a、b、c是常数，且0a≠）的函数叫做二次函数．二次函数2y ax bx c=++的定义域为一切实数．而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定．二次函数的概念与特殊二次函数的图像1内容分析知识结构模块一：二次函数的概念知识精讲【例1】 判断下列函数是否是二次函数．（1）23y x =； （2）2112y x =-+；（3）21y x=； （4）()2y x x =-； （5）()212y x =+-；（6）()222y x x =+-．【难度】★【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）是；（5）是；（6）不是 【解析】（1）没有二次项；（2）符合()20y ax bx c a =++≠；（3）不是整式； （4）()222y x x x x =-=-+，符合()20y ax bx c a =++≠； （5）()221221y x x x =+-=+-，符合()20y ax bx c a =++≠；（6）()22244y x x x =+-=+，没有二次项．【总结】本题考察二次函数的概念，判断一个函数是否是二次函数，关键看是否符合()20y ax bx c a =++≠的形式．【例2】 ()()222231y m m x m x m =--+-+是关于x 的二次函数需要满足的条件是_____________．【难度】★【答案】3m ≠且1m ≠-．【解析】2230m m --≠，解得3m ≠且1m ≠-．【总结】本题考察二次函数的概念，二次函数需满足二次项系数不为零．【例3】 二次函数()22y x =-+的二次项系数为a ，一次项系数为b ，常数项为c ，则24b ac -=_____．【难度】★ 【答案】0．【解析】()22244y x x x =-+=-+，所以1a =，4b =-，4c =，代入得240b ac -=． 【总结】本题考察二次项系数、一次项系数、常数项的概念，做题的关键是把函数化为一般式．例题解析【例4】 已知二次函数2253y x x =-+．（1）当12x =-时，求函数值；（2）当x 取何值时，函数值为0？【难度】★★【答案】（1）6；（2）1或32． 【解析】（1）把12x =-代入2253y x x =-+得6y =；（2）把0y =代入22530x x -+=得11x =，232x =． 【总结】本题一方面考察了函数值求解问题，已知自变量的值代入函数解析式即可，另一方面考察了已知函数值求自变量的值的问题．【例5】 下列函数中（x ，t 为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项．（1）2132y x =-+；（2）()()23422y x x x =--+； （3）253s t t =++；（4）236y x x =-．【难度】★★【答案】（1）是，二次项是23x 、一次项系数是0、常数项是12-； （2）不是；（325t 、一次项系数是1、常数项是3； （4）不是【解析】形如2y ax bx c =++（0a ≠）的函数叫做二次函数，其中2ax 叫做二次项、b 叫 做一次项系数、c 是常数项．【总结】本题考察二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念．xx68【例6】 已知函数()()22932y m x m x =---+．（1）当m 为何值时，这个函数是二次函数？ （2）当m 为何值时，这个函数是一次函数？【难度】★★【答案】（1）3m ≠±；（2）3m =-．【解析】（1）当函数()()22932y m x m x =---+为二次函数时，则290m -≠时，即3m ≠±．（2）当函数()()22932y m x m x =---+为一次函数时，则()29030m m ⎧-=⎪⎨--≠⎪⎩，得3m =-．【总结】本题考察了二次函数与一次函数的概念．【例7】 如图，有一矩形纸片，长、宽分别为8厘米和6厘米，现在长宽上分别剪去宽为x 厘米（6x <）的纸条，则剩余部分（图中阴影部分）的面积y 关于x 的函数关系式为____________．【难度】★★【答案】()2144806y x x x =-+<<．【解析】阴影部分的长方形的的长为()8x cm -，宽为()6x cm -，所以面积()()()286144806y x x x x x =--=-+<<．【总结】此题主要利用长方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．【例8】 某公司4月份的营收为80万元，设每个月营收的增长率相同，且为x (0x >)，6月份的营收为y 万元，写出y 关于x 的函数解析．【难度】★★ 【答案】()2801y x =+【解析】因为4月份的营收为80万元，5月份起，每月增长率都为x ，所以5月份的营收为()801x +万元，12月份的营收为()2801x +万元．【总结】本题是平均增长率的问题，可用公式()21a x b +=来解题．【例9】 用长为15米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过15米），围成一个矩形花圃．设花圃的宽为x 米，面积为y 平方米，求y 与x 的函数解析式及函数的定义域．【难度】★★【答案】21521502y x x x ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭．【解析】设花圃的宽为x 米，则长为()152x -米， ∴面积()2152215y x x x x =-=-+1502x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．【总结】此题主要利用长方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量 的等量关系是解决问题的关键．【例10】 三角形的两边长的和为10厘米，它们的夹角为30°，设其中一条边长为x 厘米，三角形的面积为y 平方厘米，试写出y 与x 之间的函数解析式及定义域．【难度】★★【答案】()21501042y x x x =-+<<．【解析】如图，过点A 作AH ⊥BC 于点H ．设AB x =厘米，则()10BC x =-厘米，∵30B ∠=︒，∴1122AH AB x ==， 三角形面积()()211151001022242x y BC AH x x x x =⋅⋅=⋅-⋅=-+<<．【总结】此题主要利用三角形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量 的等量关系是解决问题的关键．【例11】 设12y y y =-，1y 与1x成反比例，2y 与2x 成正比例，则y 与x 的函数关系是（ ） A ．正比例函数B ．反比例函数C ．二次函数D ．一次函数【难度】★★ 【答案】C ． 【解析】∵1y 与1x成反比例，∴设1111k y k x x==，∵2y 与2x 成正比例，∴设222y k x =，∴21212y y y k x k x =-=-，∴y 与x 的函数关系是二次函数．【总结】本题主要考察反比例、正比例和二次函数的定义，属于基础题．ABCDP 【例12】 已知正方形的周长是C 厘米，面积是S 平方厘米．（1）求S 关于C 的函数关系式；（2）当S =1平方厘米，求正方形的边长．【难度】★★【答案】（1）216C S =；（2）1cm ．【解析】（1）因为正方形的周长是C 厘米，所以边长为4Ca =厘米，所以216C S =；（2）当S =1平方厘米，代入216C S =得正方形的边长为1a =厘米．【总结】此题主要利用正方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到面积与周长之间的等量关系是解决问题的关键．【例13】 某商店将每件进价为8元的某种商品以每件10元出售，一天可售出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.10元，其销售量可增加10件，将这种商品的售价降低x 元时，设销售利润为y 元，求y 关于x 的函数关系式．【难度】★★★【答案】()210010020002y x x x =-++≤≤． 【解析】∵每降低0.10元，其销售量可增加10件，∴降低x 元，其销售量可增加100x 件， ∵原来每件的利润为2元，现在降价x 元， ∴现在每件的利润为()2x -元，应保证20x -≥∴销售利润()()()210810010010010020002y x x x x x =--+=-++≤≤【总结】解决本题的关键是找到销售利润的等量关系，难点是得到降低价格后增加的销售量．【例14】 如图，线段AB 长为10，点P 自点A 开始在AB 上向点B 移动，并分别以AP 、PB 为边作等边APC ∆和等边PBD ∆．设点P 移动的距离为x ，APC ∆与PBD ∆的面积之和为y ，求y 关于x 函数解析式及函数定义域．【难度】★★★ 【答案】)2353253010y x x =-+<<．【解析】作CH 垂直于AP ，垂足为H 点．∵APC ∆是等边三角形，AP x =，∴12AH x =，得32CH x = ∴211332224APC S AP CH x x x ∆=⋅⋅=⋅⋅=， ∵10AB =，∴10PB x =-，同理()23104PBD S x ∆=-， ∴()()2223331053253010442y x x x x x =+-=-+<<【总结】此题主要利用三角形的面积公式列出函数关系式，其中已知等边三角形的边长会求面积是做题的关键．H ABCDP1、 2y x =的图像在平面直角坐标系xOy 中，按照下列步骤画二次函数2y x =的图像． （1）列表：取自变量x 的一些值，计算相应的函数值y ，如下表所示：x … -2112- -112- 01211122 …2y x = (4)1241141411244 …（2）描点：分别以所取的x 的值和相应的函数值y 作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数2y x =的图像，如图2所示．二次函数2y x =的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数2y x =的图像就称为抛物线2y x =． 2、 二次函数2y ax =的图像抛物线2y ax =（0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线x = 0；顶点是原点．当0a >时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当0a <时，抛物线开口向下，顶点为最高点．模块二：二次函数y = ax 2的图像知识精讲12 3 4 12 3 4 xyxyOO1212-2 -1 -2 -1 图1 图2【例15】（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数212y x=、22y x=的图像；（2）函数212y x=、22y x=的图像与函数2y x=的图像，有何异同？【难度】★【答案】（1）如图：（2）相同点：开口方向都向上；顶点都是()0,0点；对称轴都是y轴；不同点：开口大小不同．【解析】（1）略；（2）()20y ax a=≠图像顶点为坐标原点；对称轴为y轴；a>，开口向上，0a<，开口向下；a决定开口大小，a越大，开口越小．【总结】本题考察特殊二次函数的图像画法及二次函数图像的性质．例题解析【例16】 （1）在同一平面直角坐标系中，画出函数2y x =-、212y x =-、22y x =-的图像；（2）函数2y x =-、212y x =-、22y x =-的图像与函数2y x =、212y x =、22y x =的图像有何异同？【难度】★【答案】（1）如图：（2）相同点：a 相同的开口大小一样；顶点都是原点；对称轴都是y 轴；不同点：开口方向不同．【解析】（1）略；（2）()20y ax a =≠图像顶点坐标为()0,0；对称轴为y 轴；0a >，开口向上，0a <，开口向下；a 决定开口大小，a 越大，开口越小．【总结】本题考察特殊二次函数的图像画法及二次函数的性质．【例17】 二次函数223y x =-的图像是______，它的对称轴是______，顶点坐标是______，开口方向是______．【难度】★【答案】抛物线；y 轴；()0,0；向下．【解析】()20y ax a =≠图像为抛物线，顶点坐标为()0,0；对称轴为y 轴； 0a >，开口向上，0a <，开口向下 【总结】本题考察二次函数的性质．【例18】 抛物线22y x =除了点______以外，都位于______上方． 【难度】★【答案】()0,0；x 轴．【解析】抛物线22y x =的图像为顶点是()0,0点，开口向上的抛物线，∴只有()0,0点在x 轴上，其余的都位于x 轴上方．【总结】本题考察了二次函数的图像．【例19】 抛物线2y ax =与225y x =的形状相同，则a 的值为______． 【难度】★【答案】25±．【解析】∵抛物线2y ax =与225y x =的形状相同，∴25a =，得25a =±． 【总结】本题考察二次函数的性质．【例20】 已知点P （32，6）在抛物线2y ax =上，那么a 的值为______． 【难度】★【答案】83．【解析】把P （32，6）代入2y ax =得83a =． 【总结】本题考察待定系数法确定函数关系式，直接把点的坐标代入解析式即可．【例21】 抛物线23y x =经过点A （3，n ），则n = ______，且点A 关于抛物线对称轴的对称点A 1的坐标是______．【难度】★★【答案】27；()3,27-．【解析】把A （3，n ）代入23y x =得27n =；∵抛物线23y x =的对称轴为y 轴， ∴()13,27A -．【总结】本题考察了二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握抛物线上关于对称轴的对称点到对称轴的距离相等的性质．【例22】 已知关于x 的二次函数()21y k x =+，当k 为何值时，它的图像开口向上？当k为何值时，它的图像开口向下？【难度】★★【答案】1k >-时，图像开口向上；1k <-时，图像开口向下． 【解析】当10k +>，即1k >-，抛物线图像开口向上；当10k +<，即1k <-，抛物线图像开口向下．【总结】本题考察二次函数的开口方向与二次项系数a 的关系．【例23】 已知直线423y x =+上有两个点A 、B ，它们的横坐标分别是3和-2，若抛物线2y ax =也经过点A ，试求该抛物线的表达式．该抛物线也经过点B 吗？请说出你的理由．【难度】★★【答案】223y x =；抛物线不经过B 点．【解析】把3和-2分别代入423y x =+得()3,6A 、22,3B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，把()3,6A 代入2y ax =得23a =，∴抛物线的表达式为223y x =；把2x =-代入223y x =得83y =，与B 点纵坐标不同， ∴抛物线不经过点B ．【总结】本题考察利用待定系数法确定函数关系式．【例24】 抛物线212y x =上一点到x 轴的距离为8，求该点的坐标． 【难度】★★【答案】()4,8、()4,8-． 【解析】∵抛物线212y x =上一点P 到x 轴的距离为8，则P 点纵坐标为8， 把8y =代入212y x =得()14,8P 、()24,8P -． 【总结】本题考察了二次函数图像上点的坐标特征．x y x y x y xyO OOO B ．C ．D ．【例25】 抛物线2y ax =与直线23y x =-交于点（1，b ）．（1）求a 和b 的值；（2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴； （3）当x 取何值时，二次函数的y 值随x 的增大而增大．【难度】★★【答案】（1）1a =-，1b =-；（2）2y x =-，顶点坐标为()0,0，对称轴为y 轴； （3）当0x <时，二次函数的y 值随x 的增大而增大．【解析】（1）把（1，b ）代入23y x =-得1b =-，∴交点坐标为()1,1-．把()1,1-代入2y ax =得1a =-，∴2y x =-；（2）由（1）得抛物线的解析式为2y x =-，顶点坐标为()0,0，对称轴为y 轴； （3）∵抛物线开口向下，在对称轴的左侧二次函数的y 值随x 的增大而增大，即当0x <时，二次函数的y 值随x 的增大而增大．【总结】本题考察了待定系数法确定函数关系式及二次函数的性质．【例26】 函数2y ax =-与y ax b =+的图像可能是（ ）【难度】★★ 【答案】D ．【解析】当0a >时，抛物线开口向下，一次函数一定过第一、三象限，当0a <时，抛物线开口向上，一次函数一定过第二、四象限．【总结】本题考察抛物线和直线的性质，用假设法来解决这种数形结合是一种很好的方法．【例27】 若把抛物线2y ax =（0a ≠）沿着顶点旋转180°，所得抛物线的表达式是__________；若把抛物线2y ax =（0a ≠）沿着x 轴翻折，所得的抛物线的表达式是__________；由这样的旋转与翻折分别得到的两条抛物线______重合的（选填“是”或“不是”）．【难度】★★【答案】2y ax =-；2y ax =-；是．【解析】若把抛物线2y ax =（0a ≠）沿着顶点旋转180°，则新的抛物线顶点和对称轴不变，方向相反，∴新的抛物线的表达式为2y ax =-； 若抛物线2y ax =（0a ≠）沿着x 轴翻折， 则新的抛物线顶点和对称轴不变，方向相反， ∴新的抛物线的表达式为2y ax =-．【总结】本题主要考察了二次函数图像与几何变换．【例28】 已知二次函数()24125m y m x +=-的图像开口向下，求m 的值．【难度】★★★【答案】12m =．【解析】由题意得2412250m m ⎧+=⎨-<⎩，得12m =．【总结】本题考察了二次函数的概念和性质．xyABC DO【例29】 如图，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB 时宽20米，水位上升3米到达警戒线CD ，这时水面宽度10米． （1）在如图所示的坐标系中，求抛物线解析式；（2）若洪水到来时，水位以0.2米/时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少时间才能达到拱桥顶？【难度】★★★ 【答案】（1）2125y x =-；（2）5小时． 【解析】（1）设抛物线解析式为2y ax =（0a ≠），如图，设()10,B m ，则()5,3D m +，把()10,B m 、()5,3D m +代入2y ax =得253100a m a m =+⎧⎨=⎩，解得1254a m ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为2125y x =-． （2）由（1）知()5,1D -，∴10.25t =÷=（小时）【总结】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．ABOxy【例30】 如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线2y ax =（0a >）上有两个点A 、B ，它们的横坐标分别为-1，2．若AOB ∆为直角三角形，求a 的值．【难度】★★★【答案】2a ，1a =．【解析】把横坐标-1，2分别代入2y ax =（0a >）得()1,A a -、()2,4B a ，∴221AO a =+，22416BO a =+，2299AB a =+，当90AOB ∠=︒时，222AO BO AB +=，即222141699a a a +++=+， 解得122a =，222a =（舍）； 当90OAB ∠=︒时，222AO AB BO +=，即222199416a a a +++=+， 解得11a =，21a =-（舍）；当90OBA ∠=︒时，222AB BO AO +=，222994161a a a +++=+， 此方程无解，综上，当AOB ∆为直角三角形，a 的值为12． 【总结】本题主要考察直角三角形的判定和二次函数的应用，要注意在AOB ∆的直角顶点不确定的情况下，要分类讨论，以免漏解．【习题1】下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，请指出a 、b 、c ． （1）21y x =-； （2）21y x x =--； （3）20.3y x =； （4）()()212y x x x =+--； （5）221x x y π--=；（6）2y x =．【难度】★【答案】（1）不是；（2）是，1a =，1b =-，1c =-；（3）是，0.3a =，0b =，0c =；（4）不是；（5）是，1a π=，2b π=-，1c π=-；（6）不是．【解析】形如2y ax bx c =++（0a ≠）的函数叫做二次函数，其中a 叫做二次项系数、 b 叫做一次项系数、c 是常数项，如果不是一般式，先整理成一般式再确定a 、b 、c ． 【总结】本题考察二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念．【习题2】已知二次函数2y ax =的图像经过点Q （-1，-2），求a 的值，并写出它的解析式．在平面直角坐标系中，画出它的图像．【难度】★【答案】2a =-，22y x =-．图像如图所示：【解析】把Q （-1，-2）代入2y ax =得2a =-，解析式为22y x =-． 【总结】本题考查待定系数法确定函数关系式及二次函数图像画法．随堂检测O xy【习题3】 函数226mm y mx --=是y 关于x 的二次函数．当m = ______ 时，其图像开口向上；当m = ______ 时，其图像开口向下．【难度】★★【答案】4m =；2m =-． 【解析】∵函数226mm y mx --=为二次函数，∴2262m m --=，解得14m =，22m =-；当0m >，即4m =时，其图像开口向上；当0m <，即2m =-时，其图像开口向下． 【总结】本题考察二次函数的概念和性质．【习题4】 求直线y x =与抛物线22y x =-的交点坐标．【难度】★★【答案】()0,0，11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【解析】联立方程得22y x y x =⎧⎨=-⎩，解得1100x y =⎧⎨=⎩，221212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线与抛物线的交点坐标为()0,0、11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【总结】本题考察了直线与抛物线的交点坐标求法．【习题5】如图所示，在同一坐标系中，作出①23y x =；②212y x =；③2y x =的图像，则图像从里到外的三条抛物线对应的函数依次是____________（填序号）．【难度】★★ 【答案】①③②【解析】()20y ax a =≠图像开口大小由a 决定，a 越大，开口越小．【总结】本题考察二次函数的图像及性质．A BOxyhxx1224【习题6】自由下落的物体的高度h （米）与下落的时间t （秒）的关系为24.9h t =．现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部自由下落，到达地面需要的时间是______秒．【难度】★★ 【答案】2秒．【解析】把19.6h =代入24.9h t =得219.6 4.9t =，解得12t =，22t =-（舍）． 【总结】本题考查二次函数的实际应用．【习题7】如图，桥拱是抛物线形状，其函数解析式为214y x =-，当水位线在AB位置时，水面的宽为12米，此时水面离桥顶的高度h 是______米．【难度】★★ 【答案】9米．【解析】由题意知：()6,A h --，把()6,A h --代入214y x =-得9h =．【总结】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．【习题8】如图，园林工人要在一块长24米，宽12米的矩形土地中砌一个小矩形花坛，四周铺上草，其宽都相等，如果设草地的宽为x ，花坛的面积为S 平方米，求出S 关于x 的函数解析式及其定义域．【难度】★★【答案】()2=47228806S x x x -+<<．【解析】∵花坛的长为()242x -米，宽为()122x -米，∴()()()224212247228806S x x x x x =--=-+<<【总结】此题主要利用长方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．xyA B C D O1 2 12【习题9】已知一个二次函数的的顶点为原点，其抛物线开口方向与抛物线()2221mm y m m x +-=-的开口方向相反，而抛物线形状与它相同，求这个二次函数的解析式．【难度】★★★【答案】212y x =-． 【解析】∵()2221m m y m m x +-=-为二次函数，∴2212m m +-=，解得11m =，23m =-，又∵20m m -≠，∴1m ≠，可得3m =-，∴二次函数为212y x =． ∵要求的抛物线与212y x =开口方向相反，形状相同， ∴要求的这个二次函数的解析式为212y x =-．【总结】本题考查二次函数的概念及性质．【习题10】 如图，若一抛物线2y ax =与四条直线x = 1，x = 2，y = 1，y = 2围成的正方形ABCD 有公共点，求a 的取值范围．【难度】★★★【答案】124a ≤≤．【解析】由题意知：()1,2A ，()2,1C ，再根据抛物线的性质a 越大开口越小， 把()1,2A 代入2y ax =得2a =， 把()2,1C 代入2y ax =得14a =，则a 的范围介于这两者之间，即124a ≤≤．【总结】本题考察二次函数的综合题，此题先画出图像，结合图形根据抛物线的性质， a 越大开口越小，代入点的坐标计算即可；考察学生的观察能力，把函数性质与正方形连接起来，要学会数形结合．【作业1】下列函数，不属于二次函数的是（ ）A ．()()12y x x =-+B ．()2112y x =+C ．213y x =-D ．()22232y x x =+-【难度】★ 【答案】D ．【解析】∵()222321218y x x x =+-=+，二次项系数为0，∴不是二次函数． 【总结】本题考查二次函数的概念．【作业2】在同一平面直角坐标系中，作2y x =，212y x =-，213y x =的图像，它们的共同特点是（ ）A ．抛物线的开口方向向上B ．抛物线的开口方向向下C ．都是关于x 轴对称的抛物线D ．都是关于y 轴对称的抛物线【难度】★ 【答案】D ．【解析】二次函数()20y ax a =≠的图像，对称轴为y 轴；顶点为坐标原点；当0a >时，开口向上，当0a <时，开口向下．【总结】本题考察二次函数的图像．【作业3】 二次函数23y x bx =++中，当x = 3时，y = 0，则b 的值为______．【难度】★ 【答案】4b =-．【解析】把3x =，0y =代入得：9330b ++=，解得4b =-． 【总结】本题考察了待定系数法确定函数关系式．课后作业xy12 34 【作业4】 如果抛物线2y ax =过点（cos60°，sin30°），那么a = ______，它的函数表达式是______．【难度】★★【答案】2a =，22y x =． 【解析】∵1cos602︒=，1sin302︒=，∴抛物线2y ax =过点11,22⎛⎫⎪⎝⎭， 把11,22⎛⎫⎪⎝⎭代入2y ax =得2a =，∴函数表达式是22y x =． 【总结】本题考查待定系数法确定函数关系式．【作业5】如图，四个二次函数图像，分别对应的是12y ax =；22y bx =；32y cx =；42y dx =，则a 、b 、c 、d 的大小关系为（ ）A ．a b c d >>>B ．a b d c >>>C ．b a c d >>>D ．b a d c >>>【难度】★★ 【答案】A ．【解析】∵①、②函数图像开口向上，∴0a >，0b >；∵③、④函数图像开口向下，∴0c <，0d <；∵二次函数()20y ax a =≠中，a 越大，开口越小，∴a b c d >>>．【总结】本题考查了二次函数的图像及性质．【作业6】若函数()2221mm y m m x --=+是二次函数，则m = ______，它的图像开口______，顶点是它的最______点，它的对称轴是______．【难度】★★【答案】3；向上；低；y 轴． 【解析】∵函数()2221mm y m m x --=+是二次函数，∴2212m m --=，解得13m =，21m =-，∵20m m +≠，∴1m ≠-，∴3m =，∴函数解析式为212y x =． ∴图像开口向上，顶点是它的最低点，对称轴是y 轴．【总结】本题考查了二次函数的概念、图像及性质．【作业7】 求直线21y x =+与抛物线23y x =的交点坐标．【难度】★★【答案】()1,3，11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】将21y x =+代入23y x =得：2213x x +=，解得11x =，213x =-．当1x =时，3y =；当13x =-，13y =，∴线21y x =+与抛物线23y x =的交点坐标()1,3，11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．【总结】本题考察了直线与抛物线的交点坐标求法．【作业8】一个正方形的面积为16平方厘米，当把边长增加x 厘米时，正方形的面积为y 平方厘米，则y 关于x 的函数关系式为____________．【难度】★★【答案】2816y x x =++．【解析】∵正方形的面积为16平方厘米，∴原正方形边长为4厘米，∴现在正方形的边长为()4x +厘米，∴()224816y x x x =+=++．【总结】此题主要利用正方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．【作业9】抛物线的顶点为原点，以y 轴为对称轴，且经过点A （-2，8）．（1）求这个函数的解析式；（2）写出抛物线上与点A 关于y 轴对称的点B 的坐标，并计算OAB ∆的面积．【难度】★★【答案】（1）22y x =；（2）()2,8B ，16OAB S ∆=．【解析】（1）设函数解析式为2y ax =，把A （-2，8）代入2y ax =得2a =，∴函数的解析式为22y x =． （2）∵点B 与点A 关于y 轴对称，∴B 与A 横坐标互为相反数，纵坐标相等，即()2,8B ∴4AB =，设AB 与y 轴交于点D ，则()0,8D ，11481622OAB S AB OD ∆=⋅⋅=⨯⨯=．【总结】本题考察了待定系数法确定函数关系式，二次函数的图像及性质．A BCDEF【作业10】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，90C ∠=︒，2AB =，D 是边AB 的中点，动点E 在边AC 上移动，且在边CB 上截取CF = AE ，联结DE 、DF ． （1）在点E 移动的过程中，判断DE 与DF 的关系？说明你的理由；（2）联结EF ，在E 移动的过程中，DEF ∆的面积是否会变化？若不会，说明你的理由；若会，设AE = x ，DEF S y ∆=，求出y 关于x 的函数解析式及其定义域．【难度】★★★【答案】（1）DE DF =；（2）()211101224y x x x =-+≤≤． 【解析】（1）DE DF =，证明如下：联结DC ，∵ABC ∆是等腰直角三角形，90C ∠=︒， ∴45A B ∠=∠=︒，∵D 是边AB 的中点，∴12CD AB AD ==，∴45DCF A ∠=∠=︒．在DAE ∆和DCF ∆中，DA DC A DCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DAE ∆≌DCF ∆，∴DE DF =． （2）DEF ∆的面积会变化；方法一：∵2AB =，∴1AC BC ==，∵AE=x ，∴CF x =，1EC BF x ==-， DEF ABC AED ECF BDF S S S S S ∆∆∆∆∆=---()()1111112424x x x x =-----()211101224x x x =-+≤≤方法二：∵DAE ∆≌DCF∆，∴DAC DECF S S ∆=四边形， ∴DEF ECF DAC ECFDECF S S S S S ∆∆∆∆=-=-四边形()()21111110142224x x x x x =--=-+≤≤【总结】本题主要考查学生对全等三角形的判定和等腰直角三角形的理解和掌握，同时 考查了利用三角形的面积公式列出函数关系式．ABCDEF。
初三数学暑期讲义 第03讲.二次函数实际应用 教师版
卖花进行中漫画释义满分晋级3函数13级 二次函数的基本解析式与图象变换函数14级 二次函数 实际应用 函数15级 二次函数 图象综合应用暑期班 第二讲暑期班 第三讲秋季班第三讲二次函数实际应用中考内容中考要求A B C二次函数了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过分析实际问题的情境确定二次函数的解析式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综合的有关问题二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。
这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。
年份2010年2011年2012年题号24 7，8，23 8，23分值8分11分11分考点确定抛物线的解析式，二次函数与等腰直角三角形综合抛物线顶点坐标；函数图象；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数与一元二次方程（判别式、求根）函数图象；二次函数的对称性；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标）；二次函数图象平移，利用函数图象求取值范围中考考点分析中考内容与要求知识互联网实际应用问题主要考查涨降价、面积等问题，讲解时要明确等量关系．【例1】 如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE ，则求DE 长的最小值．（2012扬州）EDB C A EDBC A【解析】 如图，连接DE ．设x AC =则x BC -=2，∵△ACD 和△BCE 分别是等腰直角三角形，∴∠DCA ＝45°，∠ECB ＝45°，DC ＝x 22，CE ＝()x -222， ∴∠DCE ＝90°， 故()()1122221212222222+-=+-=-+=+=x x x x x CE DC DE ， 当1=x 时，2DE 取得最小值，DE 也取得最小值，最小值为1． 故答案为：1．夯实基础模块一 实际应用问题知识导航【例2】 某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。
九年级数学中考复习-函数及其图像专题-二次函数的图像3教案
一、素质教育目标（一）知识教学点1．使学生会用描点法画出二次函数y=ax2+k与y=a（x-h的图象；2．使学生了解抛物线y=ax2+k与y=a（x-h）2的对称轴与顶点；3．了解抛物线y=ax2+k与y=a（x-h）2同y=ax2的位置关系．（二）能力训练点：1．继续通过画图的教学，培养学生的动手能力；2．培养学生观察、分析、总结的能力；3．继续向学生进行数形结合的数学思想方法的渗透．（三）德育渗透点：向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点．二、教学重点、难点和疑点1．教学重点：画出形如y=ax2+k与形如y=a（x-h的二次函数的图象；能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标．因为画出函数图象，是我们研究函数性质的重要方法，只有在准确的图象启发下，我们才能正确得出函数图象的变化趋势和性质，而这些特殊二次函数问题的研究，又是我们研究一般二次函数的基础．2．教学难点：恰当地选值列表，正确地画出形如y=ax2+k和形如y=a（x-h的函数图象．因为二次函数的图象，随着我们研究越来越深入，越来越一般，画起来也就越来越复杂，而恰当地选值，是画出二次函数图象，并能使我们从图象正确得出结论的关键．三、教学步骤（一）明确目标提问：1．什么是二次函数？2．我们已研究过了什么样的二次函数？3．形如y=ax2的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？通过这三个问题，进一步复习巩固所学的知识点，同时引出本节课要学习的问题．从这节课开始，我们就来研究二次函数y=ax2+bx+c的图象．（板书）（二）整体感知复习提问：用描点法画出函数y=x2的图象，并根据图象指出：抛物线y=x2的开口方向，对称轴与顶点坐标．教师可边提问边在黑板上列出表格，同时在事先准备好的有坐标系的小黑板上画出该函数的图象，然后可以找层次较低的学生来指出抛物线y=x2的开口方向，对称轴及顶点坐标，针对学生的回答情况加以总结，评价．下面，我们来看一下如何完成下面的例题？（出示幻灯）例1 在同一平面直角坐标系内画出函数y=与y=的图象．可以由学生先选择好自变量的值列表，就列在刚才复习中画函数y=x2的图象所列的表下面．如下表：列完表之后，可以让一名同学上黑板，把这两个函数的图象画在刚才复习中画有函数y=x2的图象的小黑板上，以便于下面的比较，其他同学在练习本上完成，教师巡回指导，等上黑板的同学画完，再集中加以总结即可．然后，由学生来观察小黑板上画出的三条抛物线，让学生思考下列问题：（1）抛物线y=的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？（2）抛物线y=x2-1的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？这两个问题可以由图象直接得到，可适当找一些层次较低的学生来回答，给他们以表现的机会．（3）抛物线y=x2+1，y=x2-1与y=x2的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？（4）抛物线y=x2+1，y=x2-1与y=x2有什么关系？通过这两个问题，可使学生深入理解这三条抛物线之间的联系与区别，便于学生以后分析问题．答：形状相同，位置不同．关于上述回答可继续提问：（可按学生的层次不同来选择问题的深度）①你所说的形状相同具体是指什么？答：抛物线的开口方向和开口大小都相同．②根据你所学过的知识能否回答：为何这三条抛物线的开口方向和开口大小都相同？答：因为a的值相同．通过这一问题，使学生对此类问题形成规律：抛物线的形状相同就说明a的值相同，而a的值相同就可以说抛物线的形状相同．加深学生对系数a的作用的理解．③这三条抛物线的位置有何不同？它们之间可有什么关系？先由学生思考，讨论之后，给出答案．答：若沿y轴平移，这三条抛物线可重合．④抛物线y=x2+1是由抛物线y=x2沿y轴怎样移动了几个单位得到的？抛物线y=x2-1呢？答：抛物线y=x2+1是由抛物线y=x2沿y轴向上平移1个单位得到的；而抛物线y=x2-1是由抛物线y=x2沿y轴向下平移1个单位得到的．⑤你认为是什么决定了会这样平移？答：y=ax2+k中的k的值决定了会这样平移．若k＞0，则向上平移，若k＜0，则向下平移．练习题1由学生独立完成，口答．下面，我们再来看一类二次函数的图象：（出示幻灯）的图象．注意：画这两个图形时，参考前面画图列表时x的取值都是关于某一个值对称的，可先让学生猜测画这两个图时x的取值各以应什么数为中间点，然后左右能对称．通过这样的训练能帮助学生以后自主考虑问题时怎样找思路．列完表之后，与例1一样处理，找一名同学板演，教师最好能事先。
《二次函数的图像》课件
U形抛物线
当二次项系数 a > 0 时，函数图像呈现为U形抛物线，开 口向上。
倒U形抛物线
当二次项系数 a < 0 时，函数图像呈现为倒U形抛物线， 开口向下。
二次函数图像的参数
通过改变二次函数的参数 a、b、c，可以调整图像的位置、形状和大小。
2
表Hale Waihona Puke 式和图像特点掌握二次函数的标准形式、顶点、对称轴等图像特点。
3
回顾知识点和技巧
复习重要知识点和解题技巧，巩固对二次函数的理解。
结束语
1 鼓励继续学习
鼓励学生继续学习数学知识，深入理解二次函数及其应用。
2 提供建议和资源
提供实用的学习建议和资源，帮助学生进一步提升数学能力。
3 感谢参与和学习
感谢学生对本次课程的参与和学习，祝愿他们在数学学习中取得更大的成就。
1
a 的影响
改变 a 的值将扩大或压缩抛物线的形状，同时改变开口方向。
2
b 的影响
改变 b 的值将使抛物线水平平移，改变对称轴的位置。
3
c 的影响
改变 c 的值将使抛物线垂直平移，改变顶点的位置。
练习与应用
通过绘制二次函数图像的练习题，帮助学生巩固对二次函数图像的理解。同时介绍二次函数在物 理学和经济学中的实际应用。
二次函数图像呈现为抛物线形状，具有顶点、对称轴和开口方向。它的图像可以是开口向上或开 口向下，取决于二次项系数 a 的正负。
顶点
抛物线的最高点或最低点，对应函数的最小值或最大值。
对称轴
抛物线的中心线，对称地分割抛物线。
开口方向
中考专题2二次函数图像与系数教师版
2019-2020学年中考专题 (二)——二次函数图象信息探究第一部分必备知识点二次函数是中学阶段的重难点之一，而二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a、b、c与图像有着密切的关系，经过对于历年考题的总结，可将二次函数的图象与系数的关系，分为以下七大类的考点：本专题将结合七大类考点，利用二次函数的图象基本性质、二次函数的对称性以及一些特殊点的坐标得到一些关于系数的方程和不等式，用以解决二次函数图象与系数的关系类题目。
本专题在难度上分为三个梯度：（1）常规题：用我们总结的考点及对应处理方法即可解决的题目；（2）较难题：需要利用特殊点的方程进行消元，求解出需要的不等关系（3）难题：需要利用不等关系和等量关系结合进行消元，求解出需要的不等关系。
从考频可以看出，对于二次函数图象与系数的关系的考察频率非常高，而且基本是在选择填空的压轴题部分出现，所以考察难度较大，对于学生的函数综合能力要求也较高。
第二部分例题精讲【例1】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的结论有．①abc＜0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＜0；④9a+3b+c＜0；⑤m（ma+b）＜a+b（常数m≠0且m≠1）．【分析】：根据图象的开口可确定a．再结合对称轴左同右异，可确定b，根据图象与y轴的交点位置，可确定c，利用对称轴为直线x=1判断a和b的等量关系，根据图象中可知b²−4ac＞0，x＝3时函数值的情况，进而对所得结论进行判断．【答案】：①②④⑤①∵图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正确；②∵对称轴为直线x=−b=1，∴2a＋b＝0，故②正确；2a③∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac＞0，故③错误；④∵抛物线对称轴为x＝1，∴x＝－1与x＝3关于直线x＝1对称，又∵x＝－1时，y＜0，∴当x＝3时，y＜0，∴9a＋3b＋c＜0，故④正确；⑤将不等式两边同时加c得：am2+bm+c＜a+b+c，∵当x＝1时，y有最大值，∴当m≠1时，am2+bm+c＜a+b+c，即m（ma+b）＜a+b，故⑤正确。
26.2特殊二次函数的图像
y=ax2
a>0
a<0
向上
向下
y轴（直线x=0） O(0,0) 最低点
y轴（直线x=0） O(0,0) 最高点
在 y 轴左侧部分下降， 在 y 轴左侧部分上升，
y 轴右侧部分上升
y 轴右侧部分下降
新知探究
问：由右图，猜想抛物线 y=ax2(a≠0)开
口大小与 a 的大小关系？
y
a 越大，抛物线开口就越小；
在 y 轴左侧部分上升， y 轴右侧部分下降
|a|与抛物线 开口大小关 系
a 越大，抛物线开口就越小； a 越小，抛物线开口就越大．
小试牛刀
（1）抛物线 y m2 1 x2 具有性质（ ）
A.它的图像位于第一、三象限 B. 原点是图像的最高点
C.当x取任何实数时，y总是正数 D.它的图像关于y轴对称
探究新知探究新知开口方向对称轴顶点变化趋势向上y轴直线x0o00最低点探究新知探究新知画出函数yx的图像再归纳它的图像特征探究新知探究新知画出函数yx开口方向对称轴顶点变化趋势向下y轴直线x0o00最高点轴右侧部分下降例题在同一个平面直角坐标系xoy中分别画出二次函数的图像
26.2.1 特殊二次函数的图像
有没有其它建立直 角坐标系的方法？
（2）已知点 1, y1, 2, y2 , 3, y3 都在抛物线y 4x2
上，下列说法正确的是（ ）
A y1 y2 y3 B y2 y1 y3 C y3 y1 y2 D y3 y2 y1
（3）已知a≠0，b<0，则一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2的 图像可以是下图中的（ ）
在y轴左侧部分 下降，在y轴右 侧部分上升
二次函数的图象与性质（3）教案
湘教版数学九年级1.2二次函数的图象与性质（3）教学设计课题 1.2二次函数的图象与性质（3） 单元 第一章二次函数 学科 数学年级九年级学习 目标 1、经历用描点法画二次函数y =a (x -h )2+k 的图象的过程，并通过图象认识函数的性质．2、经历函数y =a (x -h )2+k 与y =ax 2（a ≠0）图象平移规律的探究过程．3、会运用二次函数的知识解决简单的问题.重点 会用描点法画出二次函数y =a (x -h )2+k 的图象与性质．难点理解二次函数y =a (x -h )2+k 的图象与抛物线y =ax 2的图象的关系．教学过程教学环节 教师活动学生活动设计意图 导入新课1、二次函数y=ax 2与y=a (x-h )2的关系2、二次函数y=a (x -h )2的性质 抛物线y=a (x -h )2的对称轴 ，顶点坐标 ，开口方向 ，最大值（最小值）___．学生凭借已有的知识经验对提出的问题以个别回答的方式一一作答，教师给予评价． 从学生已经研究过的问题出发，一方面对前面所学的知识起到复习巩固的作用，另一方面为探究新问题提供研究方式和方法，激发学生探究的欲望． 讲授新课一、探究y =a (x -h )2+k 的图象与性质 1、画出二次函数212y x =，21(1)2y x =- ，21(1)32y x =-+的图象，并探究它们的图象特征和性质．列表：自变量x 从顶点的横坐标向右开始取值．描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分．利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分．学生在教师指导下填写表格中相应的函数值并画图，然后画函数图象，让学生对比分析． 让学生亲身经历列表、描点画图的过程，从列表过程中体会二次函数数量间的关系，从画图中体会位置关系 ．观察上表，对于每一个给定的x 值，函数 21(1)32y x =-+的值与函数21(1)2y x =-的值有何关系？ 从上表看出：对于每一个给定的x 值，函数 21(1)32y x =-+的值都要比函数21(1)2y x =-的值大3． 由此你可以得到什么结论？请与同桌交流你发现的结论． 函数21(1)32y x =-+的图象可由二次函数21(1)2y x =-的图象向上平移3个单位而得到．因此，二次函数21(1)2y x =-的图象也是抛物线，它的对称轴为直线x =1（与抛物线 21(1)2y x =- 的对称轴一样），顶点坐标为（1，3）（它是由抛物21(1)2y x =-的顶点（1，0）向上平移3个单位得到的），它的开口向上．2、问题：1、212y x =的图象经过怎样的平移得到21(1)32y x =-+的图像？ 212y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位即可得到21(1)32y x =-+的图象．3、若将抛物线21(1)2y x =-向下平移2个单位，得到的函数解析式是什么？将抛物线21(1)2y x =-向下平移2个单位，得到的函数解析式是21(1)22y x =--．二、二次函数y =a (x -h )2+k 的性质二次函数y =a (x -h )2+k 的图象是抛物线，它具有下述性质：三、二次函数y =a (x -h )2+k 的画法1、画y =a (x -h )2+k 的图象的步骤如下：第一步：写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点；第二步：列表(自变量x 从顶点的横坐标开始取值)，描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分；第三步 利用对称性，画出图象在对称轴左边学生独立完成再小组合作交流．完成例4、例5．让学生从大量实例中，总结得出一般规律，进一步体会特殊到一般的解决数学问题的方法，提高学生抽象概括能力．培养学生应用数学知识解决问题的能力．2、结论：一般地抛物线y=a（x-h）2+k与y=ax2的形状相同，位置不同．。
7-4-3二次函数图象的几何变换讲义教师版
7-4-3二次函数图象的几何变换讲义教师版二次函数的一般形式可以表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c为常数且a ≠ 0。
当a > 0时，二次函数的图像为开口向上的抛物线；当a < 0时，二次函数的图像为开口向下的抛物线。
本讲义将讨论二次函数图像的几何变换，包括平移、伸缩、翻转和旋转等变换。
1.平移变换：平移变换是指将二次函数图像整体上下左右移动一段距离。
设原函数为f(x)，平移后的函数为g(x)，则g(x)=f(x-h)+k，其中h为沿x轴平移的距离，k为沿y轴平移的距离。
当h>0时，函数图像沿x轴正方向平移h个单位长度；当h<0时，函数图像沿x轴负方向平移，h，个单位长度。
当k>0时，函数图像沿y轴正方向平移k个单位长度；当k<0时，函数图像沿y轴负方向平移，k，个单位长度。
2.伸缩变换：伸缩变换是指将二次函数图像沿x轴和y轴分别进行缩放。
设原函数为f(x)，伸缩后的函数为g(x)，则g(x) = af(bx) + c。
当，a，>1时，函数图像沿y轴方向进行纵向伸缩，缩放倍数为，a；当0<，a，<1时，函数图像沿y轴方向进行纵向压缩，缩放倍数为1/，a。
当，b，>1时，函数图像沿x轴方向进行横向压缩，缩放倍数为1/，b；当0<，b，<1时，函数图像沿x轴方向进行横向伸缩，缩放倍数为，b。
3.翻转变换：翻转变换是指将二次函数图像进行对称。
常见的翻转包括关于x轴、y轴和原点的翻转。
关于x轴的翻转：设原函数为f(x)，关于x轴的翻转后的函数为g(x)，则g(x)=-f(x)。
关于y轴的翻转：设原函数为f(x)，关于y轴的翻转后的函数为g(x)，则g(x)=f(-x)。
关于原点的翻转：设原函数为f(x)，关于原点的翻转后的函数为g(x)，则g(x)=-f(-x)。
4.旋转变换：旋转变换是指将二次函数图像按一定角度进行旋转。
2021-2022学年浙教版新九年级暑期数学精品讲义-第二讲 特殊二次函数的图象(教师版)
第二讲 特殊二次函数的图象1.2二次函数的图象（1）【学习目标】1．会用描点法画出二次函数y=ax 2(a≠0) 与()20y ax c a =+≠的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念。
2.会用描点法画出二次函数2()y a x h k =-+(a 、h 、k 常数，a ≠0)的图象．掌握抛物线2()y a x h k =-+与2y ax =图象之间的关系。
3．掌握二次函数图象平移的规律，开口大小与|a|的关系。
【基础知识】一、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象 1.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax 2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x 2关于y 轴对称，所以y 轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x 2的顶点是图象的最低点。
因为抛物线y=x 2有最低点，所以函数y=x 2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.2.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax 2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确. 要点：二次函数y=ax 2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y 轴．y=ax 2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax 2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象 1.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象（1）0a >（2）0a <3.二次函数()20y axa =≠与()20y ax c a =+≠之间的关系；（上加下减）.()20y ax a =≠的图象向上（c ＞0）【或向下（c ＜0）】平移│c │个单位得到()20y ax c a =+≠的图象.要点：抛物线2(0)y ax c a =+≠的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线2(0)y ax a =≠的形状相同． 函数2(0)y ax c a =+≠的图象是由函数2(0)y ax a =≠的图象向上（或向下）平移||c 个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x 轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x ＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a 的值不变，只是位置发生变化而已． 三、函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象 1.函数2()(0)y a x h a =-≠的图象()0c c +>()0c c +<()0c c +>()0c c +<2.函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象要点：二次函数2()+(0y a x h k a =-≠）的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．四、二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．【考点剖析】考点一：二次函数y=ax2（a ≠0）与y=ax2+c(a ≠0)的图象例1．1．抛物线y ＝x 2﹣3的顶点坐标、对称轴是（ ）0a < 向下()0h ，x=ha 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 0a >向上()h k ， x=h0a < 向下 ()h k ，x=hA ．（0，3），x ＝3B ．（0，﹣3），x ＝0C ．（3，0），x ＝3D ．（3，0），x ＝0【答案】B 【解析】按照二次函数y ＝ax 2+k 顶点坐标（0，k ），对称轴y 轴即可求解．解：∵y ＝x 2﹣3， ∴抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），对称轴为y 轴； 故选：B ．例2．抛物线213y x =-的顶点是（ ）A ．(1,3)-B ．(3,1)-C ．(1,0)D ．(0,1)【答案】D 【解析】根据题目中的抛物线解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．解：∵抛物线y =1-3x 2=-3x 2+1，∴该抛物线的顶点坐标为（0，1）， 故选：D ．考点二：二次函数2()(0)y a x h a =-≠与2()(0)y a x h k a =-+≠的图象例3．抛物线y ＝3（x ﹣1）2+1的顶点坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（﹣1，1）C ．（﹣1，﹣1）D ．（1，﹣1）【答案】A 【解析】根据二次函数的顶点式为2()y a x h k =-+时，顶点坐标为()h k ，，换算即可．解：∵抛物线23(1)1y x =-+是顶点式，∴顶点坐标是（1，1）． 故选：A ．例4．抛物线2()y x h k =-+的顶点坐标为(3,1)-，则h k -=（ ）A ．2B ．4-C ．4D ．2-【答案】B【解析】由抛物线的顶点坐标求得h 、k ，即可得到答案．解：∵抛物线2()y x h k =-+的顶点坐标为(3,1)-， ∴h =-3，k =1， ∴h -k =-3-1=-4， 故选：B ．例5．二次函数y ＝12（x +4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ） A ．向上，直线x ＝4，（4，5） B ．向下，直线x ＝﹣4，（﹣4，5） B ．向上，直线x ＝4，（4，﹣5） D ．向上，直线x ＝﹣4，（﹣4，5）【答案】D 【解析】根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．解：二次函数y ＝12（x +4）2+5，∵102a => ∴该函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝﹣4，顶点坐标为（﹣4，5）， 故选：D ．例6．k 为任意实数，抛物线y ＝a （x ﹣k ）2﹣k （a ≠0）的顶点总在（ ）A ．直线y ＝x 上B ．直线y ＝﹣x 上C ．x 轴上D ．y 轴上【答案】B 【解析】根据顶点式写出顶点，再根据坐标的特点即可求解．解：∵y ＝a （x ﹣k ）2﹣k （a ≠0）， ∴抛物线的顶点为（k ，﹣k ）， ∵k 为任意实数， ∴顶点在y ＝﹣x 直线上， 故选：B ．考点二：二次函数的平移与开口大小问题例7．把抛物线y=2x 2向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为( ) A ．y=2x 2+5B ．y=2x 2-5C ．y=2（x+5）2D ．y=2（x-5）2【答案】A 将抛物线22y x =向上平移5个单位长度后所得抛物线的解析式为：225y x =+. 故选A.例8．把抛物线2yx 向右平移3个单位，所得抛物线的解析式为（ ）A ．23y x =+B ．2(3)y x =-C ．23y x =-D ．2(3)y x =+【答案】B 【解析】求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可．解：∵二次函数y=x 2的图象向右平移3个单位后的顶点坐标为（3，0）， ∴所得抛物线的解析式为y=（x-3）2， 故选：B ．例9．顶点为(-6，0)，开口方向、形状与函数y=12x 2的图象相同的抛物线所对应的函数是( ) A ．y=12(x-6)2 B ．y=12(x+6)2 C ．y=-12(x-6)2 D ．y=-12(x+6)2 【答案】B 【解析】可设抛物线解析式为y =a （x +6）2，再由条件可求得a 的值，可求得答案． 解：∵顶点为(−6,0)，∴可设抛物线解析式为y =a (x +6)2， ∵开口方向,形状与函数y =12x 2的图象相同， ∴a =12， ∴抛物线解析式为y =12(x +6)2， 故选B.例10．对于y ＝ax 2(a≠0)的图象，下列叙述正确的是( )A ．a 越大开口越大，a 越小开口越小B ．a 越大开口越小，a 越小开口越大C ．|a|越大开口越小，|a|越小开口越大D ．|a|越大开口越大，|a|越小开口越小 【答案】C 【解析】根据2y ax =（a 0≠）中的|a|的特点即可判断.函数2y ax =（a 0≠）中|a|越大开口越小，|a|越小开口越大，选C.【过关检测】一、单选题1．二次函数y = x 2+2的对称轴为（ ） A ．2x = B ．0x = C ．2x =- D ．1x =【答案】B 【解析】根据二次函数的性质解答即可．二次函数y = x 2+2的对称轴为直线0x =． 故选B ． 【点睛】本题考查了二次函数y =a (x -h )2+k (a ，b ，c 为常数，a ≠0)的性质，熟练掌握二次函数y =a (x -h )2+k 的性质是解答本题的关键． y =a (x -h )2+k 是抛物线的顶点式，a 决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是（h ，k ），对称轴是x =h ． 2．二次函数()2213y x =-+的图象的顶点坐标是（ ） A ．()1,3B ．()1,3- C ．()1,3-D ．()1,3--【答案】A 【解析】因为2y 2(x 1)3=-+是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标．解：抛物线解析式为()2213y x =-+，∴二次函数图象的顶点坐标是(1,3)．故选：A ． 【点睛】此题主要考查了二次函数性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标（对称轴），最大（最小）值，增减性等． 3．在同一坐标系中，作22y x =、22y x =-、20.5y x =的图象，它们共同特点是( )A ．都是关于x 轴对称，抛物线开口向上B ．都是关于原点对称，顶点都是原点C ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 【答案】D 【解析】 根据2y ax =类型的二次函数图象性质可得结果.在二次函数2y ax =中，其图象关于y 轴对称，顶点为原点，22y x =、22y x =-、20.5y x =都是2y ax =类型的二次函数，22y x ∴=、22y x =-、20.5y x =的图象关于y 轴对称，且顶点都是原点．故选：D ． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质，掌握2y ax =类型的二次函数图象性质是关键.4．抛物线y=13x 2，y=﹣3x 2，y=﹣x 2，y=2x 2的图象开口最大的是（ ） A ．y=13x 2 B ．y=﹣3x 2C ．y=﹣x 2D ．y=2x 2【答案】A 【解析】根据二次函数中|a|的值越小，则函数图象的开口也越大，可以得出那个选项是正确的．解：∵二次函数中|a|的值越小，则函数图象的开口也越大， 又∵1|1||2||3|3<-<<-， ∴抛物线y=13x 2，y=﹣3x 2，y=﹣x 2，y=2x 2的图象开口最大的是y=13x 2， 故选A ． 【点睛】考查二次函数的图象，解题的关键是明确二次函数图象的特点，知道|a|的值越小，则开口越大．5．不论m 取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点都( ) A ．在y=x 直线上 B ．在直线y=－x 上 C ．在x 轴上 D ．在y 轴上【答案】B 【解析】直接利用配方法可求顶点坐标为（-m ，m ），即可判断顶点所在直线．∵抛物线的解析式为y=a(x+m)2+m(a≠0)， ∴顶点坐标为（-m ，m ）， ∴顶点在直线y=-x 上． 故选B. 【点睛】本题主要考查了二次函数求抛物线的顶点坐标的方法．熟练掌握二次函数解析式顶点式：y=a （x-h ）2+k 的表达形式是解题关键. 6．如果将抛物线2y x 2=+向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是A ．()2y x 12=-+ B ．()2y x 12=++ C ．2y x 1=+ D ．2y x 3=+【答案】C 【解析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．∵抛物线y=x 2+2向下平移1个单位， ∴抛物线的解析式为y=x 2+2-1，即y=x 2+1． 故选C ．7．若二次函数y=mx 2-（m 2-3m ）x+1-m 的图象关于y 轴对称，则m 的值为（ ） A ．0 B ．3C ．1D ．0或3【答案】B 【解析】由于函数图象关于y 轴对称，则函数的解析式形式应该是y=ax 2+c 型，由此求得问题的答案．解：∵二次函数y=mx 2-（m 2-3m ）x+1-m 的图象关于y 轴对称， ∴函数的解析式形式应该是y=ax 2+c 型， ∴-（m 2-3m ）=0， 解得：m=0或m=3，∵二次函数的二次项系数m 不能为0，∴m=3． 故选：B ． 【点睛】本题考查关于y 轴对称的抛物线的表达式是y=ax 2+c ，（a≠0，a 、c 为常数）．熟练掌握此类型二次函数的性质是解答此题的关键．8．将抛物线1C ：()22y x =-向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到抛物线2C ，则抛物线2C 的函数表达式为（ ） A ．()252=-+y x B ．()252=--y x C ．()212y x =++ D ．()=+-2y x 12【答案】A 【解析】根据平移变化,求出新抛物线的顶点坐标,判断即可．解：()22y x =-的顶点坐标为（2,0），向右平移3个单位，再向上平移2个单位，顶点坐标变为（5,2）， ∴得到抛物线解析式为：()252=-+y x ， 故选：A ． 【点睛】本题考查了抛物线平移，解题关键是熟知抛物线平移的变化规律,会利用顶点坐标变化写抛物线解析式． 9．已知(),2020A m ，(),2020B m n +是抛物线()22036y x h =--+上两点，则正数n =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】C 【解析】根据二次函数的对称性可得,20202n A h ⎛⎫-⎪⎝⎭，代入二次函数解析式即可求解．解：∵(),2020A m ，(),2020B m n +是抛物线()22036y x h =--+上两点，∴,20202n A h ⎛⎫-⎪⎝⎭，∴2202020362n h h ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭且n 为正数， 解得8n =， 故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．方程2310x x的解的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 将方程2310xx 变形为231x x，然后分别画出函数2y x 的图象和函数31yx的图象，看图象有几个交点则表明有几个点，注意函数图象中0x =的点不是方程的解．解：由题意可知，方程可变形为231xx， 进一步可将题意变成：函数2yx 的图象和函数31yx的图象有几个交点， 画出它们的函数图象如下：由图象可知，它们只有一个交点，故方程2310xx只有一个解，故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数图象及反比例函数的图象交点问题，熟练掌握常见函数的图象是解决本题的关键． 二、填空题 11．抛物线2(1)2y x =--+的顶点坐标是________．【答案】（1，2） 【解析】根据题目中抛物线的解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标．解：∵抛物线y =-（x -1）2+2， ∴该抛物线的顶点坐标为（1，2）， 故答案为：（1，2）． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 12．抛物线2y (x 1)3=-++与y 轴交点坐标为______.【答案】()0,2【解析】令x=0，求出y 的值即可．解：∵当x=0，则y=-1+3=2， ∴抛物线与y 轴的交点坐标为（0，2）． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知y 轴上点的特点，即y 轴上的点的横坐标为0是解答此题的关键． 13．将抛物线y=2x 2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,移动后的抛物线的解析式为__________. 【答案】y=2（x －2）2＋3 【解析】根据二次函数的平移规律：小括号内左加右减，小括号外上加下减，即可写出移动后的抛物线的解析式解：根据二次函数的平移规律抛物线y=2x 2向右平移2个单位得：y=2（x －2）2 再向上平移3个单位得：y=2（x －2）2＋3 故答案为y=2（x －2）2＋3 【点睛】此题考查的是二次函数的平移，掌握二次函数的平移规律：小括号内左加右减，小括号外上加下减是解决此题的关键.14．把二次函数224y x x =-改写成形如()2y a x m k =-+的形式为_________________.【答案】()2212y x =-- 【解析】先将等号右侧提取公因数2，再利用配方法配方即可.224y x x =-=()222x x - =()22211x x -+- =()22212x x -+- =()2212x --故答案为：()2212y x =-- 【点睛】此题考查的是将一般式化成顶点式，掌握配方法是解决此题的关键. 15．已知抛物线经过点(－3，0)和(1，0)，则该抛物线的对称轴是_____． 【答案】直线x =－1. 【解析】由条件知：点(－3，0)和(1，0)关于抛物线的对称轴对称，据此求出即可.解：∵抛物线经过x 轴上的点(－3，0)和(1，0)，∴这两点关于抛物线的对称轴对称， 故抛物线的对称轴为：直线3112x -+==-； 故答案为直线x =－1. 【点睛】本题考查了抛物线的对称轴，若抛物线上两点的纵坐标相等，则这两点必关于抛物线的对称轴对称，这是解题的关键.16．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出它们的一些特点： 甲：对称轴是4x =；乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数，且以三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数的解析式：______.【答案】答案不唯一.如：218355y x x =-+、218355y x x =-+-、218177y x x =-+、218177y x x =-+-，等等. 【解析】此题是一道以二次函数为背景的结论开放型试题，题目条件已确定，而所要求的结论不唯一.试题构思新颖，对培养阅读理解能力、数学思维的深刻性和创新意识起到良好作用.由二次函数图象的对称性及已知条件不难分析得出，若与x 轴两个交点的坐标分别是()3,0、()5,0，则与y 轴的交点为()0,3或()0,3-，然后由一般式求解.其他情况类似.解 答案不唯一.如：218355y x x =-+、218355y x x =-+-、218177y x x =-+、218177y x x =-+-，等等.【点睛】本题的出发点是利用二次函数的对称轴为4x =这一已知条件，如果分析错误，极易造成切入困难.此外，忽视抛物线与x 轴、y 轴的交点都是整数且面积为3也是造成本题失分的重要原因. 17．抛物线2(0)y ax a =≠沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线”．如果把抛物线2yx 沿直线y x =向上平移，平移距离为那么它的“同簇抛物线”的表达式是_____．【答案】()211y x =-+ 【解析】沿直线y=x 向上平移，平移距离为y=ax 2 (a≠0)向右平移1个单位，向上平移1个单位，即可得到平移后抛物线的表达式．解:∵抛物线2y x =沿直线y x =()2y ax a 0=≠向右平移1个单位，向上平移1个单位，∴根据平移的规律得到:“同簇抛物线”的表达式是()2y x 11=-+． 故答案为:()2y x 11=-+． 【点睛】本题考查了二次函数的几何变换:由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 18．如图1，E 是等边ABC 的边BC 上一点（不与点B ，C 重合），连接AE ，以AE 为边向右作等边AEF ，连接CF ．已知ECF △的面积（S ）与BE 的长（x ）之间的函数关系如图2所示（P 为抛物线的顶点）．（1）当ECF △的面积最大时，FEC ∠的大小为______ ． （2）等边ABC 的边长为______ ．【答案】30 42【解析】（1）过点F 作FD ⊥BC 于点D ，由已知先证ABE △≌ACF ，得BE CF =，60ACF ∠=︒，进可得∠FCD 的度数，所以可求得FD ，设等边△ABC 的边长为a ，则可把△ECF 的面积表示出来，并求出面积的最大值，此时便可求得∠FEC 的度数；（2）由图知△ECF 的最大值，由（1）中计算知道它的面积的最大值，则两者相等，可求得等边△ABC 的边长．过F 作FD BC ⊥，交BC 的延长线于D ，如图：ABC 为等边三角形，AEF 为等边三角形，AB AC ∴=，AE AF =，60BAC ABC ACB EAF AEF ∠=∠=∠=∠=∠=︒， BAE CAF ∴∠=∠，ABE ∴≌ACF ，BE CF ∴=，60ABE ACF ∠=∠=︒，BE x =，CF x ∴=，18060FCD ACB ACF ∠=︒-∠-∠=︒，3sin 60FD CF x ∴=⋅︒=， 设等边ABC 边长是a ，则CE BC BE a x =-=-，()21122ECFSCE FD a x x x ∴=⋅=-=，当12x a ==⎝⎭时，ECFS220a ⎫-⎪=⎝⎭， (1)当ECF △的面积最大时，12BEa =，即E 是BC 的中点， AE BC ∴⊥，90AEB =︒∠，60AEF ∠=︒，18030FEC AEB AEF ∴∠=︒-∠-∠=︒，故答案为：30； （2）当12x a =时，ECF S2， 由图可知ECFS最大值是2=a =a =-边长0a >，舍去）， ∴等边ABC的边长为a =故答案为：【点睛】本题考查等边三角形及二次函数知识，解题关键是证明由ABE △≌ACF ，用x 的代数式表示ECF △的面积．三、解答题19．确定下列函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标. (1)()221y x =+； (2)()245y x =--.【答案】(1)抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，顶点坐标为()1,0-；(2)抛物线开口向下，对称轴为直线5x =，顶点坐标为()5,0.【解析】（1）已知抛物线解析式为顶点式，可根据顶点式求抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）已知抛物线解析式为顶点式，可根据顶点式求抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．解：(1)由()221y x =+可知，二次项系数为20>，∴抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，顶点坐标为()1,0-；(2)由()245y x =--可知，二次项系数为40-<， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线5x =，顶点坐标为()5,0.【点睛】本题考查了二次函数解析式的顶点式与其性质的联系，根据二次项系数的符号确定开口方向，根据顶点式确定顶点坐标及对称轴．20．已知二次函数2y x 4x =-+．()1求函数图象的对称轴和顶点坐标； ()2求这个函数图象与x 轴的交点坐标．【答案】（1）对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4）（2）图象与x 轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）． 【解析】试题分析：（1）可根据配方法的解题步骤，将一般式转化为顶点式，根据顶点式可确定对称轴及顶点坐标； （2）令y=0，解一元二次方程可求抛物线与x 轴两交点的坐标． 试题解析：（1）y=-（x 2-4x ）=-（x-2）2+4， 对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4） （2）当y=0时，-x 2+4x=0，解得x=0或4， ∴图象与x 轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）．考点：1.二次函数的三种形式；2.二次函数的性质；3．抛物线与x 轴的交点． 21．已知一抛物线与抛物线y=-12x 2+3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(-5，0)，根据以上特点，试写出该抛物线的解析式. 【答案】y=12(x+5)2 【解析】已知顶点坐标，则可设顶点式y=a(x+5)2，然后根据二次函数的图象与系数的关系得到a=12，从而确定所求抛物线的解析式．解：∵顶点坐标是(-5，0)，∴可设函数解析式为y=a(x+5)2，∵所求的抛物线与y=-12x2+3形状相同，开口方向相反，∴a=12，∴所求抛物线解析式为y=12(x+5)2.点睛：本题考查了求二次函数的解析式，根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解是解题的关键所在.22．抛物线y＝ax2(a≠0)与直线y＝4x－3交于点A(m，1)．(1)求点A的坐标及抛物线的函数表达式．(2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴．(3)写出抛物线y＝ax2与直线y＝4x－3的另一个交点B的坐标．【答案】(1) 点A(1，1), y＝x2; (2) 开口向上，顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴;(3) 点B(3，9)．【解析】分析：（1）将A坐标代入直线解析式求出m的值，确定出A坐标，将A坐标代入抛物线解析式中求出a的值，即可确定出抛物线解析式；（2）根据a的正负判断出开口方向，找出顶点坐标与对称轴即可；（3）联立两函数解析式求出另一个交点B即可．本题解析：(1)∵点A(m，1)在y＝4x－3上，∴1＝4m－3，∴m＝1，∴点A(1，1)．又∵点A(1，1)在抛物线y＝ax2上，∴1＝a·12，∴a＝1，∴y＝x2.(2)开口向上，顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴．(3)根据题意，得243y xy x⎧=⎨=-⎩解得121213,19x xy y==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩∴点B(3，9)．23．已知抛物线2(3)1y x n x n =+-++经过坐标原点O ，与x 轴交于另一点A ，顶点为B .求：（1）抛物线的解析式； （2）△AOB 的面积；（3）要使二次函数的图象过点（10，0），应把图象沿x 轴向右平移 个单位 【答案】（1）24y x x =-；（2）8；（3）图象沿x 轴向右平移6或10 个单位.【解析】（1）根据题意，得到n +1=0，求得n 的值，即可求出抛物线解析式；（2）将抛物线解析式化为顶点式求顶点B 坐标，再求抛物线与x 轴交点，即可求得△AOB 的面积； （3）根据（2）中求得的抛物线与x 轴交点的坐标，再结合平移即可解答.（1） ∵抛物线2(3)1y x n x n =+-++经过坐标原点O ∴n +1=0，n =﹣1， ∴抛物线解析式为：24y x x =-（2）2242)4y x x x =-=--（，∴顶点B 的坐标（2，-4）；抛物线24y x x =-与x 轴交点为（4，0）（0，0）∴点A 的坐标（4，0） 所以△AOB 的面积是14482⨯⨯= （3）抛物线24y x x =-与x 轴交点为（4，0）（0，0）∴将图象沿x 轴向右平移6或10 个单位，二次函数的图象过点（10，0） 故答案为6或10 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的相关知识点是解题关键.。
26.2(3)特殊二次函数的图像
26.2 特殊二次函数的图像（3）学习目标：1、理解和掌握二次函数y=a(x+m)2的图像并从图像上观察出二次函数y=a(x+m)2的性质. 2、通过观察、实验、猜想、总结和类比，进一步提高归纳问题的能力. 学习重难点：重点：通过二次函数y=a(x+m)2的图像总结出有关性质.难点：二次函数y=a(x+m)2的图像性质的应用.学习过程： 一、课前预习（1）二次函数212y x =与2122y x =-的图像有什么位置关系？（2）画出二次函数212y x =的图像2二、课堂学习1、观察思考观察y=12 (x+1)2的的图像，可以由y=12 x 2的图像向左平移得到，即向左平移1个单位它一定与y=12(x+1)2图像重合，即y=12 (x+1)2的图像通过y=12x 2的图像向左平移1个单位得到.分析y=1 x 2和y=1 (x+1)2得到2、问题拓展试一试画出函数y=12 (x-1)2的图像，并与y=12x 2的图像比较.得到y=a(x+m)2（其中a,m 是常量，且a ≠0）可通过将二次函数y=ax 2的图像向左（m>0）或向右（m<0）平移m个单位得到.由此可得:抛物线y=a(x+m) 2（其中a,m 是常数，且a ≠0）的对称轴是过点（-m,0）且平行（或重合）于y 轴的直线，即直线x=-m ；顶点坐标是(-m,0).当a>0时，它开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，它开口向下，顶点是抛物线的最高点.三、课堂练习1、（1）如何将抛物线23y x =-平移，可以分别得到抛物线23(2)y x =-+和抛物线23(4)y x =--？（2）分别说出抛物线23(2)y x =-+和抛物线23(4)y x =--的开口方向、对称轴和顶点坐标.2、说出抛物线2(3)y a x =-（a 是常数，且a ≠0）的开口方向、对称轴和顶点坐标.四、课堂小结本节课你有什么收获和体会？你还有什么疑惑吗？五、课后练习1．函数y=-2（x+3）2图像是 ，开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它的图像有最 点，值是 ,此函数的图像是由y=-2（x-1）2的图像向 平移 个单位得到的.2．二次函数y=7（x+m ）2的图像关于直线x=-5对称，那么图像的顶点坐标是 .3. 抛物线y=12 x 2绕顶点旋转180°后，再向右平移3个单位得到的抛物线 .4、提高题：已知二次函数29y x ax =-+，当a 为何数时，图像的顶点在x 轴上.友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复习引入:（一）在同一直角坐标系中画出二次函数y = x2与y = （X T）2+1与y = （x-1 ）2+1的图像列表（取点原则：取原点及左右对称点）描点、连线分（1）函数y（x 1）2+1与y（x-1 ）2+1的图像与y =x2图像有哪些相同处及不同处析：（2）产生这三个图像的差异的本质原因是什么平移（3）这三个二次函数若与坐总结：y =a（x m）2 k的图像性质（左加右减，上加下减）a 的符号开口方向 顶点坐标对称轴 性质a >0 向上(-m,k)直线 x = _m x > —m 时，y 随x 的增大而增大；x £ —m 时， y随x 的增大而减小；x = -m 时，y 有最小值k .a cO向下(-m, k)直线 x = -mx > —m 时，y 随x 的增大而减小；x £ —m 时， y随x 的增大而增大；x = -m 时，y 有最大值k .1 •平移步骤:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y =a(x m)2 k ，确定其顶点坐标(-m,k);⑵ 保持抛物线y 二ax 2的形状不变，将其顶点平移到(-m,k)处，具体平移方法如下:2. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”. 概括成八个字“左加右减，上加下减”. 例题分析 1. 填表抛物线开口方向 对称轴 顶点坐标2y = -(x -2) +4下 直线X=2 (2,4)1 2厂尹3)2_5上 直线X=-3 (-3,-5)2,1y = —3(x —2) + —3下直线X=2(2,1/3)—3、2 7 y = ——(x —一) 一 —12 4 12下 直线X=3/4 (3/4,-7/12) 向左平移1个单位，再向下平移 3个单位，得到的抛物线的表达式为y=-5(x+1) 2-3 ___________3. 抛物线y =2x 2沿x 轴向 _______ 左 ___ 平移_2 ____ 单位，再沿y 轴向 _______ 下 _______ 移¥y=a(x-h)2y=ax 2+k!向右(h>0)【或左(h<0)】 平移KI 个单位 y=a(x-h)2+k向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k 个单位向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】 平移kl 个单位匚J曹立方数肓源于名校，成就所托____ 3___单位，可以得到抛物线y=2(x+2)2-314. 抛物线y =-^(x—1)2向左平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的抛物线表达式为______ y=-1/2(x-3) 2+5_5. 抛物线y =2(x+2)2 -1沿x轴向_______ 右―平移_______ 4_个单位，再沿y轴向—下—平移2__个单位，可以得到抛物线y=2(x-2)2-36. 二次函数y = -(x-2)2+1开口向下，顶点坐标为:(2,1)，与x轴的交点为(3,0 ) (1,0 ) ，与y轴的交点为： (0，-3) _______________ ，对称轴为：直线x=2 ________ 。
7. 已知二次函数y = a -1 x2-3x a2-1的图像经过原点，那么a的值是」_________________ 。
8. 抛物线y = x2—4x + c的顶点在x轴，则c的值__4 ___________9. 已知二次函数y = -3(x -2)2(1) __________________ 抛物线开口方向 __________________________________ 下;对称轴直线x=2__;顶点坐标__(2,9)(2) _______________ 当x=__2 _________ 寸，抛物线有最高点，它的坐标是___ (2,9 ) __(3) 该抛物线图像可以由y = -3x2的图像经过怎样的平移得到右2 上910. 已知二次函数y =(x • 1)2 -4(1)指出函数图像的开口方向，对称轴和顶点坐标(2)沿x轴正方向看，该函数图像在对称轴的左右两部分分别是上升还是下降开口向上直线x=-1 (-1,-4)对称轴左侧下降右侧上升11. 已知二次函数y = a(x +m)2 +k的图像的顶点坐标为(3,2 )，这个图像经过平移能与y = -4x2的图像重合，求这个二次函数的解析式Y=-4(x-3) 2+2(二)在平面直角坐标系中画出函数厂x 2x-3的图像列表：配方得到y=(x」)2-4 (五点法：y轴交点以及关于对称轴的对称点，与x轴的交点，顶点。
)若分析：任意抛物线y 二ax 2 • bx c （a =0）都可以利用配方法得到 顶点式总结:1.当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为x = ，顶点坐标为2ai b 4ac-b 2 2a ' 4a当x,P 时，y 随x 的增大而减小；当x .-卫时，y 随x 的增大而增大；当2a2ay 有最小值4a^ •4a时,2•当a ：：：0时，抛物线开口向下，对称轴为^-―，顶点坐标为 2a2 'b 4ac —b 22a' 4a 丿 •当X 」时, 2a 2 y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小；当时，y 有最大值4ac _b2a 2a4a3.任意抛物线y 二ax 2，bx 飞心=0）在平移过程中，都要将其利用配方法配成顶点式进行平4.与x 轴交点坐标为：当L 0时，与x 轴的交点坐标为（-b——2a ，0），（叮 0）与y 轴交点为（0, c ） 例题分析:匚J n 用源于名校，成就所托与x 轴无交点，则取三点即可描点、连线昌立方教冃源于名校，成就所托1. ________________________________ 二次函数y=2x 2—4x —3，当x=___1_______________________________________ 寸，函数y 有最 ____ 小 —值是 ___ -5 _____ 2. __________________________________________________________ 把二次函数y=x 2 -2x —1配方成顶点式为_y=(x-1) 2-2 _____________________________________ 3.先通过配方把下列二次函数的解析式化成 y =a(x • m)2• k 的形式，再指出每个函数的开口方向，对称轴和顶点坐标 1(1) y = —x 2 -2x 1( 2) y = -3x 2 8x -2 2 上 x=2 (2,-1)下 x=4/3 (4/3,10/3)2(4) y =2x 2 -12x 25 上 x=3 (3,7)4. 已知抛物线y =x 2 • (k -1)x -1的顶点的横坐标是2，求k 的值。
K=-341 y = 2x2 -3x -5L(3) y - - —x 2 x _44下 x=2 (2,-3)5. 已知二次函数y = -x2• 4x • m - 2顶点的纵坐标为-5，求m -76. 把抛物线y=-2x2，4x 7沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得抛物线的解析式。
丫=-2(x+1) 2+6巩固练习：1. 二次函数y=x2—1的图象是一条________ ，顶点坐标为：(0,-1 )_，与x轴的交点为 (-1,0 ) (1,0 ) ，与y轴的交点为： (0, -1 ) ，图像有最地点。
2. 二次函数y = —(x-2)27开口向下，顶点坐标为:(2,1 ) _，与x轴的交点为(3,0) (1,0 ) ___ ，与y轴的交点为：(0, -3) _，对称轴为：直线x=2 _______ 。
3. 二次函数y=-(x・2)2-4顶点坐标为：(-2,-4) _，对称轴为：直线x=-2 ________________ ，与y轴的交点为：(0,-8) ______ ，与x轴的交点为_____________ 。
4. 二次函数y=(x-2)2-3的顶点坐标为：(2,-3 ) _,对称轴为：____________ ，与x轴的交点为(2+ , 0) (2- _ x 3 , 0) _,与y轴的交点为：(0,1 ) 。
5. 二次函数y二-3(x 2)2的顶点坐标为：(-2,0 ) _，对称轴为：直线x=-2 ，与x轴的交点为(-2,0) ________________ ，与y轴的交点为：(0,-12) _______________ 。
6. 二次函数y = -3x2-4的顶点坐标为：(0,-4) _________ ，对称轴为：_y ____ ，与x轴的交点为无______________ , y轴的交点为： (0, -4) ________________ 。
2. 用配方法求出下列函数的顶点坐标及对称轴(2) y = -2x2 4x 4z3) 1 2 3 (3)y x -x-2 2 (-1,-1) 直线x=-11 2 (4)y x -3x4(3/4,-49/8) 直线x=3/4 (1,6)直线x=1(6,-9)直线x=-6源于名校，成就所托3.根据图中的抛物线，回答下列问题创新三维学习法让您全面发展11(1) 写出抛物线的对称轴(2) 当x 为何值时，y 随x 的增大而增大；当x 为何值时，y 随x 的增大而减小 当x>2时下降 当x<2时上升4. 将抛物线y=ax 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3, -1)，求移动后的抛物线的解析式Y=-4(x-2) 2+3 5 6轡立方教冃5 已知抛物线y =(x a)2 2a 2 3^5的顶点在坐标轴上，求a 的值，并指出顶点坐标 a=1 (-1,0) a=-5/2 (5/2,0) a=0 (0,-5)6 已知二次函数y=-x 2+bx+c 的图像最高点坐标为(-1，-3)，求b 和c 的值b=-2 c=-4L源于名校，成就所托7. 已知二次函数力=a(x m)7 8 9 10 11 12 13 14 k的图像与y^ x2 2x -1图像开口方向，大小都相同，且最低点的坐标为(-2，-1)，求二次函数％=a(x+m)2+k的解析式，并指出％=a(x + m)2+k能否由y^x2 2x -1平移得到左1上1课后作业:1. 填表7 二次函数y = -x2 +6x +3的图像的顶点坐标在第______ 一________ 限8 抛物线y =3x2 -6x十5的对称轴是—直线x=1 _______________ ，当x___<1 _________ 寸，y 随x的增大而减小，当x ___ >1 _______ 寸，y随x的增大而增大9 抛物线y =ax2 +bx +c的顶点在y轴上则a、b、c中_b__=010 ______________________________________________ 抛物线y =x2 -kx +k -1，过(-1，-2 )，则k=_-1 _____________________________________1 2 511 二次函数y = - —x -3x-—的图象与x轴交点的坐标是(-1,0)(-5,0) 。