高中数学各类函数图像规律及变换规律和练习 (修复的)
函数的图像及其变换(完整版)
函数的图像及其变换(完整版)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN函数的图像及变换一、函数图像的变换对称变换(||)翻折翻折变换|()|翻折左右平移平移变换上下平移横坐标不变，纵坐标伸缩伸缩变换纵坐标不变，横坐标伸缩y f x y f x ⎧⎪⎧=⎪⎨⎪=⎩⎪⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩关于x 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于y 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于原点对称：(,)(,)x y x y →-- 关于y x =对称：(,)(,)x y y x →关于y x =-对称：(,)(,)x y y x →-- 关于直线x a =对称：(,)(2,)x y a x y →-（轴对称） 关于y x b =+对称：(,)(,)x y y b x b →-+ 关于y x b =-+对称：(,)(,)x y b y x b →--+ 关于点(,)P a b 对称：(,)(2,2)x y a x b y →--（点对称）例1：已知2()2f x x x =-，且()g x 与()f x 关于点(1,2)对称，求()g x 的解析式.（相关点法）例2：已知函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，有1()f x x=，则当 (,2)x ∈-∞-时，()f x 的解析式是（ ）.A. 1x -B. 12x +C.12x -+D. 12x- 例3：下列函数中，同时满足两个条件“①x R ∀∈，()()01212f x f x ππ++-=；②当6π-<x 3π<时，'()0f x >”的一个函数是（ ）A.()sin(2)6f x x π=+B. ()cos(2)3f x x π=+C. ()sin(2)6f x x π=-D. ()cos(2)6f x x π=-①关于形如()y f x =的图像画法：当0x ≥时，()y f x =；当0x ≤时，()y f x =-()y f x =为偶函数，关于y 轴对称，即把0x ≥时()y f x =的图像画出，然后0x ≤时的图像与 0x ≥的图像关于y 轴对称即可得到所求图像.②关于形如()y f x =的图像画法当()0f x ≥时，()y f x =；当()0f x ≤时，()y f x =-先画出()y f x =的全部图像，然后把()y f x =的图像x 轴下方全部关于x 轴翻折上去，原x 轴上方的图像保持不变，x 轴下方的图像去掉不要即可得到所求图像.例3：画出下列函数的图像.（1）12log y x = （2）228y x x =--例4:设函数2()45f x x x =--.（1）在区间[2,6]-上，画出函数()f x 的图像；（2）设集合{}()5A x f x =≥，(,2][0,4][6,)B =-∞-+∞.试判断集合A B 、之间的关系，并给出证明；（3）当2k >时，求证：在区间[1,5]-上，3y kx k =+的图像位于函数()f x 图像的上方.①左右平移把函数()y f x =的全部图像沿x 轴方向向左（0a >）或向右（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像②上下平移把函数()y f x =的全部图像沿y 轴方向向上（0a >）或向下（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像例4：将函数lg(32)1y x =-+按向量(2,3)a =-平移后得到新的图象解析式为 例5:把一个函数的图象按向量(,2)8a π=-平移后得到的图象的解析式为sin(2)24y x π=+-，则原来函数的解析式 .Ⅰ.将函数()y f x =的全部图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的a 倍得到函数()(0)y af x a =>的图像.Ⅱ. 将函数()y f x =的全部图像中的每一点纵坐标不变，横坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的1a倍得到函数()(0)y f ax a =>的图像. 例6：已知函数21()2lg(2)-=++x f x x ，把函数()y f x =的图像关于y 轴对称，然后向右平移1个单位，最后纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.例7：已知函数2()log (1)f x x =+，将()y f x =的图像向左平移1个单位，再将图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图像. （1）求()y g x =的解析式和定义域；（2）求函数()(1)()F x f x g x =--的最大值.【练习】1.为了得到函数321x y -=-的图像，只需要把函数2x y =的图像上所有的点（ ）.A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 2.下面四个图形中，与函数22log (1)yx x =+≥的图像关于y x =对称的是（ ）.3.若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()f x x=，则函数()y f x =的图像与函数4log y x =的图像的交点的个数为（ ）.A.3B.4C.6D.84.将函数by a x a=++的图像向右平移2个单位长度后又向下平移2个单位，所得到的函数图像与原图像如果关于直线y x =对称，那么（ ）.A. 1,0a b =-≠B. 1,a b R =-∈C.1,0a b =≠D. 0,a b R =∈ 5.已知21()f x x x =+，且()g x 与()f x 关于点(1,0)-对称，求()g x 的解析式.6.画出下列函数的图像.（1）ln y x = （2）26y x x =--7. 函数()2xf x =和3()g x x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且12x x <.（1）请指出示意图中曲线12,C C 分别对应于哪一个函数；（2）若12[,1],[,1]x a a x b b ∈+∈+，且{},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12a b ∈，指出,a b 的值，并说明理由；（3）结合函数图像的示意图，判断(6),(6),(2010),(2010)f g f g 的大小关系.8.已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且2()2f x x x =+. （1）求函数()g x 的解析式； （2）解不等式()()1g x f x x ≥--；（3）若()()()1h x g x f x λ=-+在[1,1]-上是增函数，求实数λ的取值范围.6. 已知函数()y f x =，把函数()y f x =的图像向左平移1个单位，然后横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍再向下平移3个单位得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.补充：请把相应的幂函数图象代号填入表格.①32x y =；②2-=x y；③21xy =；④1-=x y ；⑤31x y =；⑥23x y =；⑦34x y =； ⑧21-=x y ；⑨35x y =.函数代号 ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩图象代号HI常规函数图像有：指数函数：逆时针旋转，底数越来越大 .对数函数：逆时针旋转,底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。
高中数学三角函数图像与变换解析
高中数学三角函数图像与变换解析在高中数学中，三角函数是一个重要的概念，它在解析几何、微积分等数学领域中都有广泛的应用。
掌握三角函数的图像与变换解析，对于理解数学概念、解决实际问题都具有重要意义。
本文将通过具体题目的举例，分析三角函数图像的特点和变换的规律，帮助高中学生更好地理解和应用三角函数。
一、正弦函数的图像与变换解析正弦函数是三角函数中最基本的一种函数，它的图像是一条连续的波浪线。
我们以函数y=sin(x)为例，来讨论正弦函数的图像与变换解析。
1. 图像特点：正弦函数的图像是一条周期性的波浪线，它的振幅为1，周期为2π。
在一个周期内，正弦函数的取值范围在[-1, 1]之间。
当自变量x增加时，正弦函数的值先增大后减小，在x=0、x=π/2、x=π、x=3π/2等点上取得极值。
2. 变换规律：正弦函数可以进行平移、伸缩和翻转等变换。
平移变换可以通过改变函数中的常数项实现，例如y=sin(x-a)表示将函数图像向右平移a个单位；伸缩变换可以通过改变函数中的系数实现，例如y=2sin(x)表示将函数图像在y轴方向上伸缩2倍；翻转变换可以通过改变函数中的符号实现，例如y=-sin(x)表示将函数图像关于x轴翻转。
举例说明：考虑函数y=sin(x-π/4)，我们来分析它的图像特点和变换规律。
首先，平移变换中的常数项π/4表示将函数图像向右平移π/4个单位，即图像在x轴上的所有点的横坐标都增加了π/4。
其次，由于函数中的系数为1，所以函数图像在y轴方向上没有发生伸缩。
最后，由于函数中的符号为正，所以函数图像没有发生翻转。
综合上述分析，我们可以得出结论：函数y=sin(x-π/4)的图像在y=sin(x)的基础上向右平移π/4个单位。
二、余弦函数的图像与变换解析余弦函数是三角函数中另一种基本的函数，它的图像是一条连续的波浪线。
我们以函数y=cos(x)为例，来讨论余弦函数的图像与变换解析。
1. 图像特点：余弦函数的图像也是一条周期性的波浪线，它的振幅为1，周期为2π。
高中数学探究函数的性质和图像的变化规律
高中数学探究函数的性质和图像的变化规律函数作为数学中重要的概念之一，是数学建模和问题求解中常见的工具，具有很强的实际应用价值。
本文将探究函数的性质以及图像的变化规律，帮助高中数学学习者更好地理解和应用函数。
一、函数的性质1. 定义域和值域函数的定义域是指函数输入的取值范围，也即自变量的取值范围。
而函数的值域则是指函数输出的值所在的范围，也即因变量的取值范围。
通过研究函数的定义域和值域，可以帮助我们确定函数的可行性和实际应用的范围。
2. 奇偶性函数的奇偶性是指函数的对称性。
如果对于函数中的任意一个值x，有f(-x) = f(x)成立，则称该函数为偶函数；如果对于函数中的任意一个值x，有f(-x) = -f(x)成立，则称该函数为奇函数。
通过研究函数的奇偶性，可以帮助我们简化计算和图像的绘制。
3. 单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减规律。
如果对于函数中的任意两个不同的值x1和x2，有x1 < x2蕴含着f(x1) < f(x2)成立，则称该函数为严格递增函数；如果对于函数中的任意两个不同的值x1和x2，有x1 < x2蕴含着f(x1) > f(x2)成立，则称该函数为严格递减函数。
通过研究函数的单调性，可以帮助我们判断函数的趋势和求解不等式。
二、图像的变化规律1. 平移变换函数图像的平移是指将函数图像沿着坐标轴平行移动的操作。
平移可以分为水平平移和垂直平移。
通过水平平移可以改变函数图像的位置，通过垂直平移可以改变函数图像与坐标轴的相对位置。
2. 翻折变换函数图像的翻折是指将函数图像围绕某个点或某条线进行对称的操作。
常见的翻折变换包括对称于x轴、y轴、原点等。
通过翻折变换可以改变函数图像的形态和特征。
3. 缩放变换函数图像的缩放是指将函数图像按比例进行拉伸或压缩的操作。
缩放操作可以分为水平缩放和垂直缩放。
通过缩放变换可以改变函数图像的幅度和形状。
通过以上对函数性质和图像变化规律的探究，我们可以更进一步地理解和应用函数。
高中数学中的三角函数的基本变换规律
高中数学中的三角函数的基本变换规律在高中数学的学习过程中，三角函数是一个重要的内容。
它们在解决几何问题、物理问题以及工程问题中发挥着重要的作用。
而要理解三角函数的性质和应用，我们首先需要掌握它们的基本变换规律。
一、平移变换规律平移是指将函数图像沿着横坐标或纵坐标方向进行平移。
对于三角函数而言，平移变换规律可以用以下形式表示：1. 正弦函数的平移变换规律：y = a*sin(b(x-c)) + d其中，a表示振幅的变化，b表示周期的变化，c表示横坐标方向的平移量，d表示纵坐标方向的平移量。
2. 余弦函数的平移变换规律：y = a*cos(b(x-c)) + d同样地，a、b、c、d分别表示振幅、周期、横坐标方向平移量和纵坐标方向平移量。
通过平移变换规律，我们可以将函数图像在平面上进行移动，从而观察到函数图像的变化。
二、伸缩变换规律伸缩是指将函数图像沿着横坐标或纵坐标方向进行拉伸或压缩。
对于三角函数而言，伸缩变换规律可以用以下形式表示：1. 正弦函数的伸缩变换规律：y = a*sin(b(x-c)) + d其中，a表示纵坐标方向的伸缩倍数，b表示横坐标方向的伸缩倍数，c表示横坐标方向的平移量，d表示纵坐标方向的平移量。
2. 余弦函数的伸缩变换规律：y = a*cos(b(x-c)) + d同样地，a、b、c、d分别表示纵坐标方向的伸缩倍数、横坐标方向的伸缩倍数、横坐标方向平移量和纵坐标方向平移量。
通过伸缩变换规律，我们可以观察到函数图像在平面上的形状发生变化，从而更好地理解函数的性质。
三、反射变换规律反射是指将函数图像沿着横坐标或纵坐标方向进行镜像。
对于三角函数而言，反射变换规律可以用以下形式表示：1. 正弦函数的反射变换规律：y = -a*sin(b(x-c)) + d其中，a表示振幅的变化，b表示周期的变化，c表示横坐标方向的平移量，d表示纵坐标方向的平移量。
2. 余弦函数的反射变换规律：y = -a*cos(b(x-c)) + d同样地，a、b、c、d分别表示振幅、周期、横坐标方向平移量和纵坐标方向平移量。
函数的图像与变化规律
函数的图像与变化规律函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。
而函数的图像则是将这种关系以图形的形式展示出来，使我们更加直观地理解函数的性质和变化规律。
本文将探讨函数的图像与变化规律，并通过一些具体的例子来说明。
一、函数的图像函数的图像是将函数的自变量和因变量的对应关系用图形表示出来。
通常，我们将自变量表示为横轴，将因变量表示为纵轴，然后在坐标系中绘制出函数的图像。
通过观察函数的图像，我们可以了解函数的性质和变化规律。
以一元函数为例，如y = f(x)，我们可以将x的取值范围确定在一个区间内，然后计算出对应的y值，将这些点连成曲线，就得到了函数的图像。
例如，对于线性函数y = 2x + 1，我们可以选择x的取值范围为[-5, 5]，然后计算出对应的y值，绘制出一条直线。
函数的图像可以有不同的形状，如直线、曲线、抛物线等。
这些形状反映了函数的特点和变化规律。
例如，线性函数的图像是一条直线，表明函数的变化是均匀的；而二次函数的图像是一个抛物线，表明函数的变化存在一个极值点。
二、函数的变化规律函数的变化规律是指函数在自变量变化时，因变量的相应变化规律。
通过观察函数的图像，我们可以推断出函数的变化规律。
首先，我们可以观察函数的增减性。
如果函数的图像在某个区间上是上升的，那么函数在这个区间上是递增的；如果函数的图像在某个区间上是下降的，那么函数在这个区间上是递减的。
例如，对于线性函数y = 2x + 1，我们可以看到函数的图像是一条直线，而且斜率为正，表明函数在整个定义域上都是递增的。
其次，我们可以观察函数的极值点。
极值点是函数图像上的一个点，它是函数在某个区间内的最大值或最小值。
通过观察函数的图像，我们可以找到函数的极值点，并推断出函数的变化规律。
例如，对于二次函数y = x^2，我们可以看到函数的图像是一个开口向上的抛物线，而且在顶点处取得极小值。
此外，我们还可以观察函数的周期性。
周期性是指函数图像在一定的区间上重复出现相同的形状。
指数函数与对数函数的像与变换了解指数函数与对数函数的像及其变换规律
指数函数与对数函数的像与变换了解指数函数与对数函数的像及其变换规律指数函数和对数函数是高中数学中常见的两类函数。
它们在数学和实际生活中都有着重要的应用。
本文将探讨指数函数和对数函数的像以及它们的变换规律，并说明它们之间的关系。
一、指数函数的像及其变换规律1. 指数函数的定义指数函数是以底数为常数的自变量来表示的函数，常见的指数函数形式可以写作y=a^x，其中a为底数，x为自变量。
指数函数在实数范围内都有定义。
2. 指数函数的像指数函数的像是指函数图像上的所有纵坐标的值。
根据指数函数的特性，当自变量趋近于负无穷大时，函数的值趋近于0；当自变量趋近于正无穷大时，函数的值趋近于正无穷大。
3. 指数函数的变换规律指数函数的变换可以通过更改底数、指数或者两者同时变化来实现。
当底数a大于1时，函数图像呈现逐渐增大的趋势；当0<a<1时，函数图像呈现逐渐减小的趋势。
指数函数的图像可以通过平移、压缩或拉伸来进行变换，其中平移是指整体向左或向右移动，压缩是指图像变窄，拉伸是指图像变宽。
二、对数函数的像及其变换规律1. 对数函数的定义对数函数是指以一个正实数为底，将正实数x映射为满足a^y=x的实数y。
对数函数的常见表示形式为y=logₐ(x)，其中a为底数，x为正实数。
2. 对数函数的像对数函数的像是指函数图像上的所有纵坐标的值。
根据对数函数的定义，当自变量x为1时，函数的值为0；当自变量x为正无穷大时，函数的值也趋近于正无穷大。
3. 对数函数的变换规律对数函数的变换可以通过更改底数、自变量或者两者同时变化来实现。
当底数a大于1时，函数图像呈现逐渐增大的趋势；当0<a<1时，函数图像呈现逐渐减小的趋势。
对数函数的图像可以进行平移、压缩或拉伸的变换，其中平移可以实现整体向左或向右移动，压缩可以使图像变窄，拉伸可以使图像变宽。
三、指数函数与对数函数的关系指数函数和对数函数是互为反函数的关系。
即如果y=a^x，则x=logₐ(y)。
高一数学 函数图像的变换
函数图像的变换一、知识梳理1.水平平移：函数)(a x f y +=的图像是将函数)(x f y =的图像沿x 轴方向向左（a ＞0）或向右（a ＜0）平移a个单位得到.称之为函数图象的左、右平移变换. 2.竖直平移：函数a x f y +=)(的图像是将函数)(x f y =的图像沿y 轴方向向上（a ＞0）或向下（a ＜0）平移a个单位得到.称之为函数图象的上、下平移变换. 3.要作函数)(x f y =的图象，只需将函数)(x f y =的图象y 轴右侧的部分对称到y 轴左侧去，而y 轴左侧的原来图象消失.称之为关于y 轴的右到左对称变换（简称去左翻右）. 4.要作函数)(x f y =的图象，只需将函数)(x f y =的图象x 轴下方的部分对折到x 轴上方即可.叫做关于x 轴的下部折上变换（简称去下翻上）.5.要作)(x f y -=的图象，只需将函数)(x f y =的图象以y 轴为对折线，把ｙ轴右侧的部分折到y 轴左侧去.同时，将y 轴左侧的部分折到y 轴右侧去.叫做关于y 轴的翻转变换.6.要作函数)(x f y -=的图象，只需将函数)(x f y =的图象以x 轴为对折线，把x 轴上方的图形折到x 轴下方去，同时又把x 轴下方的图象折到x 轴上方去即可.叫做关于x 轴的翻转变换.7.要作函数)(ax f y =（a ＞0）的图象，只需将函数)(x f y =图象上所有点的横坐标缩短（a ＞1）或伸长（0＜a ＜1）到原来的a1倍（纵坐标不变）即可（若a ＜0，还得同时进行关于y 轴的翻转变换.这种变换叫做函数图象的横向伸缩变换.8.要作函数)(x Af y =（Ａ＞0）的图象，只需将函数)(x f y =图象上所有点的纵坐标伸长（Ａ＞1）或缩短（0＜Ａ＜1）到原来的Ａ倍（横坐标不变）即可.这种变换叫做函数图象的纵向伸缩变换（若Ａ＜0，还要再进行关于x 轴的翻转变换）.9.要作函数)(x a f y -=的图象，只需将函数)(x f y =的图象发生关于直线x ＝2a的翻转变换即可. 实质上，这种变换是函数图象左右平移变换与关于y 轴翻转变换的复合，即先把)(x f y =图象发生左右平移得到函数)(a x f y +=的图象，再关于y 轴翻转便得到)(x a f y -=的图象. 10.要作函数)(x f h y -=的图象，只需将函数)(x f y =的图象发生关于直线y ＝2h的翻转变换即可.实质上，这种变换是函数图象的关于x 轴的翻转变换与上下平移变换的复合，即先把函数)(x f y =的图象发生关于x 轴的翻转变换得到)(x f y -=的图象，再把)(x f y -=的图象向上（h ＞0）或向下（h ＜0）平移｜h ｜个单位便得到函数)(x f h y -=的图象.综合第9、第10变换，要作函数)(x a f h y --=的图象，只需做出函数)(x f y =图象的关于点（2a ，2h）的中心对称图形即可. 二、方法归纳1.作图象：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法.作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质（即单调性、奇偶性、周期性、有界性及变化趋势（渐进性质）；④描点连线，画出函数的图象.用图象变换法作函数图象，①要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换；②是确定实施怎样的变换.2.识图象：对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势、对称性等方面的观察，获取有关函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等方面的信息.3.关注函数图像的变换对函数的性质的影响.三、典型例题精讲【例1】函数)10(1||log )(<<+=a x x f a 的图象大致为（ ）错解分析：错解一：由||log x a ≥0，得1||log +x a ≥1，即)(x f ≥1，故选B.错误在于误将||log x a 等同于|log |x a ，做出误判||log x a ≥0.错解二：没注意10<<a ，而默认为1>a ，故选Ｃ.解析：考虑10<<a ，当0>x 时，1log )(+=x x f a 为减函数，淘汰B 、Ｃ.当1=x 时，1)(=x f ，故选A. 又例：函数xy 3log 3=的图象大致是（ ）解析： 由x 3log ≥0，得x y 3log 3=≥1，故选A.【例2】函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）解析：因函数x x f 2log 1)(+=的图象是由x y 2log =的图象向上平移1个单位得到，故B 、C 、D 满足； 又函数11)21(2)(-+-==x x x g ，其图象为x y )21(=的图象向右平移1个单位得到， 故A 、C 满足.由此选C.技巧提示：本题中的错误答案均为对函数进行错误变换而得，因此只要变换正确，就能做出正确的选择.本题亦可用特殊值法得到正确的选项.由1)1(=f ，可知B 、C 、D 满足；又2)0(=g ，可知A 、C 满足.故选C.又例：函数)32(-x f 的图象，可由函数)32(+x f 的图象经过下述哪个变换得到（ ）A.向左平移6个单位B.向右平移6个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位解析：将函数)32(+x f 中的x 用3-x 代之，即可得到函数)32(-x f ，所以将函数)32(+x f 的图象向右平移3个单位即可得到函数)32(-x f 的图象， 故选D.【例3】函数xy 3=的图象与函数2)31(-=x y 的图象关于（ ）A.点（－1，0）对称B.直线x ＝1对称C.点（1，0）对称D.直线x ＝－1对称解析：若记xx f y 3)(==，则)2(3)31(22x f x x -==--， 由于)(x f y =与)2(x f y -=的图象关于直线x ＝1对称，∴ 选B.技巧提示：若)(x f 自身满足)2()(x a f x f -=，则)(x f y =的图象关于直线x ＝a 对称；若)(x f 自身满足)2()(x a f x f --=，则)(x f y =的图象关于点（a ，0）对称. 两个函数)(x f y =与)2(x a f y -=的图象关于直线x ＝a 对称； 两个函数)(x f y =与)2(x a f y --=的图象关于点（a ，0）对称.【例4】设22)(x x f -=，若0<<b a ，且)()(b f a f =，则ab 的取值范围是（ ）A.(0,2)B.(0,2]C.(0,4]D.(0,解析：保留函数22x y -=在x 轴上方的图象，将其在x 轴下方的图像翻折到x 轴上方区即可得到函数22)(x x f -=的图象.通过观察图像，可知)(x f 在区间]2,(--∞上是减函数，在区间]0,2[-上是增函数， 由0<<b a ，且)()(b f a f =.可知02<<-<b a ， 所以2)(2-=a a f ，22)(b b f -=， 从而2222b a -=-，即422=+b a ，又ab ab b a b a 242)(222-=-+=-＞0，所以20<<ab .故选A.技巧提示：本题考查函数图象的翻折变换，体现了数学由简到繁的原则，通过研究函数22x y -=的图象和性质，进而得到22)(x x f -=的图像和性质.由0<<b a ，且)()(b f a f =，得到422=+b a 才使得问题变得容易.又例：直线1=y 与曲线a x x y +-=2有四个交点，则a 的取值范围是 .解析：因为函数a x xy +-=2是偶函数，所以曲线a x x y +-=2关于y 轴对称.当x ≥0时，a x x y +-=2＝41)21(2-+-a x ， 其图象如下：由直线1=y 与曲线有四个交点，得⎪⎩⎪⎨⎧<->1411a a ，解得451<<a .故a 的取值范围是)45,1(.再例：已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足)()4(x f x f -=-，且在区间[0，2]上是增函数，若方程m x f =)( (m ＞0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，1234_________.x x x x +++=解析：因为定义在R 上的奇函数，满足)()4(x f x f -=-，所以)()4(x f x f =-，函数图象关于直线2x =对称，且(0)0f =，再由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数， 又因为)(x f 在区间[0，2]上是增函数，所以)(x f 在区间[－2，0]上也是增函数. 如图所示，那么方程m x f =)( (m ＞0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ， 不妨设1234x x x x <<<，由对称性知1212x x +=-344x x +=所以12341248x x x x +++=-+=-.【例5】定义在R 函数)(x f ＝mx xm +-2)2(的图象如下图所示，则m 的取值范围是（ ） A.（－∞，－1） B.(－1，2) C.(0，2) D.(1，2)解析：方法一（排除法）：若m ≤0，则函数mx xm x f +-=2)2()(的定义域不为R ，与图象信息定义域为R 不符，故排除掉A 、B. 取m ＝1，)(x f ＝12+x x，此函数当x ＝±1时，)(x f 取得极值， 与所给图形不符，排除C.选D.方法二：显然)(x f 为奇函数，又)1(f ＞0，)1(-f ＜0，即mm +-12＜0，解得－1＜m ＜2. 又)(x f 取得最大值时，x ＝m ＞1， ∴ m ＞1，∴ 1＜m ＜2.故选D.技巧提示：根据已给图形确定解析式，需要全面扑捉图象信息.m 对奇偶性影响不大，但对定义域、极值点影响明显.又例：当参数21,λλ=λ时，连续函数xx y λ+=1)0(≥x 的图像分别对应曲线1C 和2C ，则（ ） A.210λ<λ< B.120λ<λ< C.021<λ<λ D.012<λ<λ 解析：由条件中的函数是分式无理型函数，先由函数在(0,)+∞是连续的，可知参数0,021>λ>λ，即排除C ，D 项， 又取1x =，知对应函数值1111λ+=y ，2211λ+=y ，由图可知12,y y <所以12λλ>，即选B 项.【例6】定义区间)](,[2121x x x x <的长度为12x x -，已知函数|log |)(21x x f =的定义域为],[b a ，值域为]2,0[，则区间],[b a 的长度的最大值与最小值的差为 .错解分析：函数|log |)(21x x f =的图象如图.令2|log |)(21==x x f ，得41=x 或4=x . ∴2)4()41(==f f ，又0)1(=f ，∴],[b a 长度的最大值为314=-；最小值为43411=-. 故所求最大值与最小值的差为49433=-. 解析：函数|log |)(21x x f =的图象如上图.令2|log |)(21==x x f ，得41=x 或4=x . ∴],[b a 长度的最大值为415414=-；最小值为43411=-. 故所求最大值与最小值的差为343415=-. 技巧提示：准确作出函数的图象，正确理解区间长度的意义是解决此类问题的关键.又例:已知函数)12(log )(-+=b x f xa )1,0(≠>a a 的图象如图所示，则ab ，满足的关系是（ ）A.101a b -<<< B.101b a -<<< C.101ba -<<<-D.1101ab --<<<解析：由图易得1>a ，∴101<<-a取特殊点0=x ，0log )0(1<=<-b f a . 即1log log 1log 1a a ab a<<=-， x∴101<<<-b a .故选A.【例7】若不等式2)2(92-+≤-x k x 的解集为区间[]b a ,，且b －a ＝2，则k = .分析:本题主要考查解不等式、直线过定点问题，我们可以在同一坐标系下作出219x y -=，2)2(2-+=x k y 的图像，根据图像确定k 的值。
高中数学函数图象的4种简单变换知识点总结(平移、对称、翻折、伸缩)
高中数学函数图象的简单变换知识点总结 高中阶段，函数图象的简单变换有：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换。
一、函数图象的平移变换①左右平移变换：()y f x =与()y f x a =+()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向左平移个单位时，向右平移个单位 如：1y x =+的图象可由y x =的图象向右平移一个单位得到； 1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。
②上下平移变换()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向上平移个单位时，向下平移个单位 如：1y x =+的图象可由y x =的图象向上平移一个单位得到。
1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。
【注】变换的口诀为：“上加下减，左加右减”。
二、函数图象的对称变换①()()y y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象②()()x y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象 ③()()y f x y f x =−−−−−−−−−→=--作关于原点对称的图象 如：（i ）()sin sin y x y x ϕ=→=+①0ϕ>时，把sin y x =的图象向左平移ϕ个单位得到； ②0ϕ<时，把sin y x =的图象向右平移ϕ个单位得到；（ii ）已知()2f x x x =-，则()()2g x f x x x =-=+的图象可由()2f x x x =- 的图象做关于y 轴对称的图象得到；函数()h x ()2f x x x =-=-+的图象可由 ()2f x x x =-的图象作关于x 轴对称后的图象得到；函数()()u x f x =--= 2x x --的图象可由()2f x x x =-的图象做关于坐标系原点对称的图象得到。
高中数学教案：函数图像的变换及性质
高中数学教案：函数图像的变换及性质一、引言在高中数学教学中，函数图像的变换及性质是学习函数的重要内容之一。
理解函数图像的变换规律和性质，有助于学生更好地理解函数的概念、掌握函数的运算和图像的变化规律，进一步提高数学思维和解题能力。
本教案将介绍函数图像的平移、伸缩和翻转等变换，并探究函数的奇偶性、周期性和单调性等性质。
二、函数图像的平移1. 平移的概念与特点平移是指保持图形形状不变，仅仅改变位置的变换方式。
在函数图像中，平移可以通过改变函数的自变量（x）和因变量（y）的关系来实现。
平移有平行于x轴的水平平移和平行于y轴的垂直平移两种形式。
2. 平移的公式与例题水平平移的公式为f(x ± a)，其中a表示平移的距离和方向。
垂直平移的公式为f(x) ± a，其中a表示平移的距离和方向。
例如，对于函数y = x²-1，向右平移2个单位的函数表达式为y = (x-2)²-1。
三、函数图像的伸缩1. 伸缩的概念与特点伸缩是指通过改变图形的尺寸，保持图形形状与轴线关系不变的变换方式。
在函数图像中，伸缩可以通过改变函数的自变量（x）或因变量（y）的比例系数来实现。
伸缩有水平方向的横向伸缩和垂直方向的纵向伸缩两种形式。
2. 伸缩的公式与例题横向伸缩的公式为f(kx)，其中k表示伸缩的比例系数。
纵向伸缩的公式为kf(x)，其中k表示伸缩的比例系数。
例如，对于函数y = x²-1，横向伸缩2倍的函数表达式为y = (1/2)x²-1，纵向伸缩2倍的函数表达式为y = 2(x²-1)。
四、函数图像的翻转1. 翻转的概念与特点翻转是指通过改变图形的方向，保持图形形状不变的变换方式。
在函数图像中，翻转可以通过改变函数的自变量（x）或因变量（y）的正负号来实现。
翻转有水平方向的左右翻转和垂直方向的上下翻转两种形式。
2. 翻转的公式与例题左右翻转的公式为f(-x)，即将函数关于y轴翻转。
函数变化的一些规律高一兴趣班12
1.两s cos cos sin sin ；⑵ cos cos cos sin sin ；
⑶ sin sin cos cos sin ；⑷ sin sin cos cos sin ；
⑸
tan
1
A．
2
2
B．
2
C． 2 2
D． 2 2
5．已知
3 , cos(
) 12 ,sin(
) 3 ,则sin 2
2
4
13
5
56
A．
65
56
B．－
65
65
C．
56
65
D．－
56
6． sin15 sin 30 sin 75 的值等于
（） （） （） （）
3
A．
4
3
B．
8
1
C．
8
1
D．
4
（2）对称变换：
f x ：与 f x 的图像关于 y 轴对称
f x ：与 f x 的图像关于 x 轴对称
f x ：与 f x 的图像关于原点对称
（3）伸缩变换：
f
kx ：
f
x 图像纵坐标不变，横坐标变为原来的
1 k
k 1： 收缩
0
k
1：拉伸
kf
x：
f
x
图像横坐标不变，纵坐标变为原来的
（） （）
A．1 2
B． 2 1
C． 2
D． 2
3．当 x [
,
] 时，函数
f
(x)
sin
x
3 cos x 的
22
A．最大值为 1，最小值为－1
B．最大值为 1，最小值为 1 2
高中数学讲义：图像变换在三角函数中的应用
图像变换在三⻆函数中的应⽤在高考中涉及到的三角函数图像变换主要指的是形如()sin y A x w j =+的函数，通过横纵坐标的平移与放缩，得到另一个三角函数解析式的过程。
要求学生熟练掌握函数图像变换，尤其是多次变换时，图像变化与解析式变化之间的对应联系。
一、基础知识：（一）图像变换规律：设函数为()y f x =（所涉及参数均为正数）1、函数图像的平移变换：（1）()f x a +：()f x 的图像向左平移a 个单位（2）()f x a -：()f x 的图像向右平移a 个单位（3）()f x b +：()f x 的图像向上平移b 个单位（4）()f x b -：()f x 的图像向下平移b 个单位2、函数图像的放缩变换：（1）()f kx ：()f x 的图像横坐标变为原来的1k（图像表现为横向的伸缩）（2）()kf x ：()f x 的图像纵坐标变为原来的k 倍（图像表现为纵向的伸缩）3、函数图象的翻折变换：（1）()fx ：()f x 在x 轴正半轴的图像不变，负半轴的图像替换为与正半轴图像关于y 轴对称的图像（2）()f x ：()f x 在x 轴上方的图像不变，x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折即可（与原x 轴下方图像关于x 轴对称）（二）图像变换中要注意的几点：1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换？在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：①若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换②若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换例如：()31y f x =+：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤()2y f x =-+：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应？由前面总结的规律不难发现：（1）加“常数”Û平移变换（2）添“系数”Û放缩变换（3）加“绝对值”Û翻折变换3、多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：①横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求②横坐标的多次变换中，每次变换只有x 发生相应变化例如：()()21y f x y f x =®=+可有两种方案方案一：先平移（向左平移1个单位），此时()()1f x f x ®+。
最新高考文科一轮复习09.函数图像及其变换(讲义+习题)
【一轮复习】9．函数图像及其变换【知识要点归纳】 一．初等函数图像二．函数图像的四种变换规律1.平移变换：口诀是 ，即)(a x f y ±=是由y=f(x)向 平移 单位得来的, 即b x f y ±=)(是由y=f(x)向 平移 单位得来的2.对称变换： (1)点的对称（2）函数的对称：利用对称变换，可以由函数y=f(x)的图象变换出以下3种函数图象y=-f(x),y=f(-x),y=-f(-x)的图象。
引申：若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图象关于直线 对称； 若)()(x b f x a f --=+，则)(x f 的图象关于点 对称；3.翻折变换：解析式的形式分别是 口诀是 ，即y=f(|x|)是将)(x f y =的图像在y 轴左边的图像删掉，将将)(x f y =的图像在y 轴右边的图像翻到y 轴左边；y=|f(x)|是将)(x f y =的图像在x 轴下边的图像删掉，在将删掉的这个部分翻到x 轴上边4.伸缩变换：y=af(kx)（a 、k>0）可以看成是由函数y=f(x)伸缩变换得来的，具体为三．综合图像问题【经典例题】例1：求函数)1lg(2+=x y 沿向量)2,1(-=a平移后的解析式例2：为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 （ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度例3：设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x ≥0），则(){}20x f x ->= （ ）（A ）{}24x x x <->或 （B ）{}04 x x x <>或 （C ）{}06 x x x <>或 （D ）{}22 x x x <->或例4：函数22log 2xy x-=+的图像 （A ） 关于原点对称 （B ）关于主线y x =-对称 （C ） 关于y 轴对称 （D ）关于直线y x =对称例5：已知函数y=f(x)与函数y=g(x)上的点关于直线y=-x 对称，且f(7)=-1,f(8)=10，求g(1)+g(-10)=例6：作出下列函数的图象并写出其单调区间： （1）3||22++-=x x y （2）|65|2--=x x y （3）y=1-|1-x|（4）xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21例7：直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 .例8：已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是 (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 例9：设，函数的图像可能是例10：函数2)1()(x ax x f n-=在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n 可能是（A ）1 (B) 2(C) 3 (D) 4【课堂练习】1.函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为( ).【解析】:函数有意义,需使0xxe e--≠,其定义域为{}0|≠x x ,排除C,D,又因为121121112)1(111)(1)(112222222222-+=-+--=-+-=-+=-+=-+=-+=--x x x x x x x x x x xx x x x x x x e e e e e e e e e e ee e e e e e e y ,所以当0x >时,x e 2为增12-⇒xe 为增122-⇒x e 为减1212-+⇒x e 为减函数,故选A.答案:A. 2.用表示a ，b 两数中的最小值。
高中7种常用函数图象及4种函数图象变换规则
高中7种常用函数图象及4种函数图象变换规则函数的图象是高考的必考点，对于研究函数的单调性、奇偶性以及最值（值域）、零点有举足轻重的作用，但是很多同学看到眼花缭乱的函数解析式，就已经晕头转向了，再去画图象，不是这里错，就是那里有问题，图象也画的乱七八糟，更甭提利用图象去解题了！但掌握以下几步，画函数图象将轻而易举：1、首先，观察是否是基本初等函数（也就是我们在课本中学过的那几类函数），如果是，那就可以直接画；2、如果不是，继续第二步，看看是否是经过一系列函数变换的，比如：翻折变换，对称变换，伸缩变换，平移变换等，如果是，那就根据变换的规律画出图象；3、如果还不是，那基本这个函数图象也不需要你独自画出来了，那种题目基本会考查选择题，能从4个选项中选择出来就可以了！一、基本初等函数的图象一次函数性质：一次函数图象是直线，当k>0时，函数单调递增；当k<0时，函数单调递减。
二次函数性质：二次函数图象是抛物线，a决定函数图象的开口方向，判别式b^2-4ac决定了函数图象与x轴的交点，对称轴两边函数的单调性不同。
反比例函数性质：反比例函数图象是双曲线，当k>0时，图象经过一、三象限；当k<0时，图象经过二、四象限。
要注意表述函数单调性时，不能说在定义域上单调，而应该说在（-∞，0），（0，∞）上单调。
指数函数当0<a<b<1<c<d时，指数函数的图象如上右图不同底的指数函数图象在同一个坐标系中时，一般可以做直线x=1，与各函数的交点，根据交点纵坐标的大小，即可比较底数的大小。
对数函数当底数不同时，对数函数的图象是这样变换的。
幂函数性质：先看第一象限，即x>0时，当a>1时，函数越增越快；当0<a<1时，函数越增越慢；当a<0时，函数单调递减；然后当x<0时，根据函数的定义域与奇偶性判断函数图象即可。
对勾函数对于函数y=ax+k/x ，当a>0,k>0时，才是对勾函数，可以利用均值定理找到函数的最值。
函数图像的变换规律
函数图像的变换规律在数学的世界里，函数图像就像是一个个神秘的地图，它们以独特的线条和形状展示着数学的规律和魅力。
而函数图像的变换规律，则是我们解读这些地图的关键密码。
首先，让我们来聊聊平移变换。
想象一下，一个函数图像就像是一个可以在坐标平面上自由移动的图案。
当我们对函数图像进行水平平移时，比如将函数 y ＝ f(x) 向左平移 h 个单位，就得到了 y ＝ f(x ＋ h) 的图像。
这就好像整个图案沿着 x 轴向左滑动了 h 个单位。
相反，如果是向右平移 h 个单位，那么就变成了 y ＝ f(x h) 。
垂直平移也有着类似的规律。
将函数 y ＝ f(x) 向上平移 k 个单位，就得到了 y ＝ f(x) ＋ k 的图像，整个图案像是沿着 y 轴向上爬升了 k 个单位。
要是向下平移 k 个单位，那就是 y ＝ f(x) k 。
接下来，是伸缩变换。
伸缩变换就像是给函数图像进行了“拉伸”或者“压缩”。
对于函数 y ＝ f(x) ，当我们将 x 轴方向上的图像进行伸缩时，如果是横坐标变为原来的 1/a 倍（a ＞ 0），那么函数就变成了 y ＝ f(ax) 。
这时候，图像在 x 轴方向上被压缩了，如果 a ＞ 1 ；而当 0 ＜ a ＜ 1 时，图像则在 x 轴方向上被拉伸了。
在 y 轴方向上的伸缩变换也很有趣。
如果将函数 y ＝ f(x) 的纵坐标变为原来的 b 倍（b ＞ 0），函数就变成了 y ＝ bf(x) 。
当 b ＞ 1 时，图像在 y 轴方向上被拉伸；当 0 ＜ b ＜ 1 时，图像在 y 轴方向上被压缩。
再说说对称变换。
函数图像关于 x 轴对称时，原来的函数 y ＝ f(x)就变成了 y ＝ f(x) 。
图像关于 y 轴对称时，函数变成了 y ＝ f(x) 。
而关于原点对称的变换，则是将函数从 y ＝ f(x) 变为 y ＝ f(x) 。
反射变换也是一种常见的操作。
比如，将函数 y ＝ f(x) 在 y 轴右侧的图像保留，左侧的图像去掉，然后将右侧的图像沿y 轴翻折到左侧，就得到了 y ＝ f(｜x|）的图像。
高中7种常用函数图象及4种函数图象变换规则
高中7种常用函数图象及4种函数图象变换规则函数的图象是高考的必考点，对于研究函数的单调性、奇偶性以及最值（值域）、零点有举足轻重的作用，但是很多同学看到眼花缭乱的函数解析式，就已经晕头转向了，再去画图象，不是这里错，就是那里有问题，图象也画的乱七八糟，更甭提利用图象去解题了！但掌握以下几步，画函数图象将轻而易举：1、首先，观察是否是基本初等函数（也就是我们在课本中学过的那几类函数），如果是，那就可以直接画；2、如果不是，继续第二步，看看是否是经过一系列函数变换的，比如：翻折变换，对称变换，伸缩变换，平移变换等，如果是，那就根据变换的规律画出图象；3、如果还不是，那基本这个函数图象也不需要你独自画出来了，那种题目基本会考查选择题，能从4个选项中选择出来就可以了！一、基本初等函数的图象一次函数性质：一次函数图象是直线，当k>0时，函数单调递增；当k<0时，函数单调递减。
二次函数性质：二次函数图象是抛物线，a决定函数图象的开口方向，判别式b^2-4ac决定了函数图象与x轴的交点，对称轴两边函数的单调性不同。
反比例函数性质：反比例函数图象是双曲线，当k>0时，图象经过一、三象限；当k<0时，图象经过二、四象限。
要注意表述函数单调性时，不能说在定义域上单调，而应该说在（-∞，0），（0，∞）上单调。
指数函数当0<a<b<1<c<d时，指数函数的图象如上右图不同底的指数函数图象在同一个坐标系中时，一般可以做直线x=1，与各函数的交点，根据交点纵坐标的大小，即可比较底数的大小。
对数函数当底数不同时，对数函数的图象是这样变换的。
幂函数性质：先看第一象限，即x>0时，当a>1时，函数越增越快；当0<a<1时，函数越增越慢；当a<0时，函数单调递减；然后当x<0时，根据函数的定义域与奇偶性判断函数图象即可。
对勾函数对于函数y=ax+k/x ，当a>0,k>0时，才是对勾函数，可以利用均值定理找到函数的最值。
高中数学必修二第章函数变换及其他变形知识点
高中数学必修二第章函数变换及其他变形知识点1. 函数图像的平移函数图像的平移是指将原函数的图像沿横轴或纵轴进行上下左右的平移。
平移后的函数图像与原函数图像相比，形状不变，只改变了位置。
具体而言，平移函数图像的方式如下：1. 沿横轴平移：若有函数f(x)，则平移后的函数表达式为f(x+a)，其中a为正数时向左平移，a为负数时向右平移。
2. 沿纵轴平移：若有函数f(x)，则平移后的函数表达式为f(x)+a，其中a为正数时向上平移，a为负数时向下平移。
2. 函数图像的伸缩函数图像的伸缩是指将原函数的图像按照一定的比例进行纵向或横向的拉伸或压缩。
伸缩后的函数图像与原函数图像相比，形状发生改变，但保持了函数的基本性质。
具体而言，伸缩函数图像的方式如下：1. 纵向伸缩：若有函数f(x)，则伸缩后的函数表达式为k * f(x)，其中k为正数时纵向伸缩，k为小于1的正数时纵向压缩。
2. 横向伸缩：若有函数f(x)，则伸缩后的函数表达式为f(k * x)，其中k为正数时横向伸缩，k为小于1的正数时横向压缩。
3. 函数图像的翻转函数图像的翻转是指将原函数沿横轴或纵轴进行上下或左右的翻转。
翻转后的函数图像与原函数图像相比，形状发生改变，但保持了函数的基本性质。
具体而言，翻转函数图像的方式如下：1. 沿横轴翻转：若有函数f(x)，则翻转后的函数表达式为-f(x)。
2. 沿纵轴翻转：若有函数f(x)，则翻转后的函数表达式为f(-x)。
4. 其他函数变形知识点除了平移、伸缩和翻转外，函数还有其他变形的知识点需要了解：1. 奇函数和偶函数：若有函数f(x)，当对任意x成立f(-x) = -f(x)时，称该函数为奇函数；当对任意x成立f(-x) = f(x)时，称该函数为偶函数。
2. 绝对值函数：绝对值函数y = |x|是一种特殊的函数形式。
当x大于等于0时，y = x；当x小于0时，y = -x。
3. 符号函数：符号函数y = sign(x)是一种特殊的函数形式。
常见函数图像的变化规律
常见函数图像的变化规律随着数学的发展，函数的概念成为数学中的重要组成部分。
函数可以用来研究各种现实问题，在数学中，函数图像是一个重要的概念，它能够让我们更加直观地了解函数的变化规律。
本文将探讨常见函数图像的变化规律。
一、线性函数首先介绍的是线性函数，线性函数是一种以一次方程形式表示的函数。
它的图像是一条直线，因此也叫直线函数。
线性函数的标准式为 y = kx + b，其中 k 和 b 分别表示斜率和截距。
当 k>0 时，该直线呈现向上倾斜的情况；当 k<0 时，该直线呈现向下倾斜的情况；当 k=0 时，该直线为水平线；当 b=0 时，该直线过原点；当 b>0 时，该直线在 y 轴上方平移 b 个单位；当b<0 时，该直线在 y 轴下方平移 -b 个单位。
二、二次函数第二种要介绍的是二次函数，二次函数是一种以二次方程形式表示的函数。
它的标准式为 y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是实数，a≠0。
二次函数的图像可以是一个开口向上或向下的抛物线或者是一条直线。
而二次函数的决定因素在于二次项系数 a 的正负性。
当a>0 时，图像开口向上；当 a<0 时，图像开口向下。
三、幂函数第三种要介绍的是幂函数，幂函数是一种以幂指数形式表示的函数。
它的标准式为 y = x^p，其中 p 是实数。
幂函数的图像性质与指数 p 的奇偶性和正负性有关。
当 p>0 时，图像为右上方至左下方倾斜的曲线；当 p<0 时，图像为右下方至左上方倾斜的曲线；当 p=0 时，函数为常值函数 y=1，图像是一条平行于 x 轴的直线。
四、指数函数第四种要介绍的是指数函数，指数函数是一种以指数形式表示的函数。
它的标准式为 y=a^x，其中 a 是正实数，a≠1。
指数函数的特点是y值大量增加，而x值轻微增加时，y值急剧上升。
当a>1 时，函数逐渐增长；当0<a<1 时，函数逐渐减小；当 a=1 时，函数为常值函数 y=1。
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指数函数图像规律： 在直线x=1的右侧，随着a 值
增大，函数图像从下到上逐渐
仰起，且图像总过点（1，1）。
根据第一象限图像规律再结合奇偶性即可容易的画出任一幂函数图像。
把a 化成形式，n 为偶非奇非偶；n 为奇m 为奇则奇m 为偶则偶
y x () = x
2
1
以下为对数函数图像：从第一象限看从左到右依次是
从第一象限内的图像随着a 的增加由
左向右偏移，a ＜0时是减函数，a ＞0时是增函数。
x
函数图像变换规律
+b
左
正
向左平
个单位
移b个单位
-
y( + 1
指数函数上的特征点：
练习：
在以下坐标系内画出各自对应的函数示意图
x
h g f y
3y
3y
3
f x () = x 2 2∙x 3()
y
y
y
f x () = x 1
2
y
x
-22-2
-11
32-1
o 1。