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初三上学期9月份数学月考试卷及解析

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九年级上月考数学试卷(9月份)含解析

九年级上月考数学试卷(9月份)含解析

九年级（上）月考数学试卷（9月份）一、选择题（请在答题卡上将正确答案的序号涂黑,每小题3分,共30分）1．在下列交通标志中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．若a＞b,则下列式子正确的是（）A．﹣4a＞﹣4b B．a＜b C．4﹣a＞4﹣b D．a﹣4＞b﹣43．如图,用不等式表示数轴上所示的解集,正确的是（）A．x＜﹣1或x≥3B．x≤﹣1或x＞3C．﹣1≤x＜3D．﹣1＜x≤34．若凸n边形的内角和为1260°,则n的值是（）A．9B．10C．11D．125．反比例函数的图象位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限6．若ax2﹣5x+3=0是一元二次方程,则不等式3a+6＞0的解集是（）A．a＞﹣2B．a＞﹣2且a≠0C．a D．a＜﹣27．方程x2﹣kx﹣1=0根的情况是（）A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个相等的实数根C．方程没有实数根D．方程的根的情况与k的取值有关8．下列各式从左到右的变形是分解因式的是（）A．2a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）+a2B．2a（b+c）=2ab+2acC．x3﹣2x2+x=x（x﹣1）2D．（x﹣1）（y﹣1）=xy﹣x﹣y+19．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图,则下列结论：①当x＜3时,y1＞0；②当x＜3时,y2＞0；③当x＞3时,y1＜y2中,正确的个数是（）A．0B．1C．2D．310．甲、乙两名工人加工某种零件,已知甲每天比乙多加工5个零件,甲加工80个零件和乙加工70个零件所用的天数相同．设甲每天加工x个零件,则根据题意列出的方程是（）A．B．C．D．二．填空题（每小题4分,共20分）11．函数y=的自变量x取值范围是12．x2﹣10x+21可以分解为（x+n）（x﹣7）,则n=．13．已知点P（2﹣a,﹣3a）在第四象限,那么a的取值范围是．14．如图所示,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=5,BC=8,则EF的长为．15．在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,AE=4,AF=6,平行四边形ABCD的周长为40,则平行四边形ABCD的面积为．三、解答题：（16题每小题18分,17、18每题6分,19题10分,20题10分）16．（1）解不等式组（2）分解因式（x﹣1）（x﹣3）﹣8（3）解方程：=+17．当+|b+2|+c2=0时,求ax2+bx+c=0的解．18．先化简,后求值,其中x为0、1、2、4中的一个数．19．如图,在直角坐标系中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC的顶点均在格点上,点A的坐标是（﹣3,﹣1）．（1）先将△ABC沿y轴正方向向上平移3个单位长度,再沿x轴负方向向左平移1个单位长度得到△A1B1C1,画出△A1B1C1,点C1坐标是；（2）将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°,得到△A2B1C2,画出△A2B1C2,并求出点C2的坐标是；（3）我们发现点C、C2关于某点中心对称,对称中心的坐标是．20．如图1,四边形ABCD是菱形,过点A作BC的垂线交CB的延长线于点E,过点C作AD的垂线交AD的延长线于点F．（1）说明△AEB≌△CFD的理由；（2）连接AC、BD,AC与DB交于点O（如图2）,若BE=1．①当DC=2时,求FC的长度；②当CD是∠ACF的平分线时,求DB的长度与菱形ABCD的边长．一．填空题（每题4分,共20分）21．如果a+b=8,ab=15,则a2b+ab2的值为．22．关于x的方程的解是非正数,则m的取值范围是．23．如图,点D、E分别在△ABC的边AB,AC上,DE∥BC,点G在边BC上,AG交DE于点H,点O是线段AG的中点,若AD：DB=3：1,则AO：OH=．24．已知=k,则k=．25．如图,OA⊥OB,等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上,∠ECD=45°,将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°,点E的对应点N恰好落在OA上,则的值为．二．解答题（26题8分,27题10分,28题12分,共20分）26．某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出,每天可销售200件,通过一段时间摸索,该店主发现这种商品每涨价0.5元,其销售量就减少10件．（1）将售价定为多少元的时候,使每天利润为700元吗？（2）当售价定为x元时,这天所获利润为y,请写出y与x的关系式．（3）根据（2）问中的关系式,求出这天所获利润y的最大值？27．如图1,在正方形ABCD中,BD是对角线,点E在BD上,△BEG是等腰直角三角形,且∠BEG=90°,点F是DG的中点,连结EF与CF．（1）求证：EF=CF；（2）求证：EF⊥CF；（3）如图2,若等腰直角三角形△BEG绕点B按顺时针旋转45°,其他条件不变,请判断△CEF的形状,并证明你的结论．28．在矩形OABC中,OA=4,OC=2,以点O为坐标原点,OA所在的直线为x轴,建立直角坐标系．（1）将矩形OABC绕点C逆时针旋转至矩形DEFC,如图1,DE经过点B,求旋转角的大小和点D,F 的坐标；（2）将图1中矩形DEFC沿直线BC向左平移,如图2,平移速度是每秒1个单位长度．①经过几秒,直线EF经过点B；②设两矩形重叠部分的面积为S,运动时间为t,写出重叠部分面积S与时间t之间的函数关系式．九年级上月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、选择题（请在答题卡上将正确答案的序号涂黑,每小题3分,共30分）1．在下列交通标志中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形,不是中心对称图形；B、不是轴对称图形,也不是中心对称图形；C、是轴对称图形,也是中心对称图形；D、是轴对称图形,不是中心对称图形．故选：C．【点评】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念,以及对轴对称图形和中心对称图形的认识,熟记概念是解题的关键．2．若a＞b,则下列式子正确的是（）A．﹣4a＞﹣4b B．a＜b C．4﹣a＞4﹣b D．a﹣4＞b﹣4【分析】根据不等式的性质（①不等式的两边都加上或减去同一个数或整式,不等号的方向不变,②不等式的两边都乘以或除以同一个正数,不等号的方向不变,③不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变）逐个判断即可．【解答】解：A、∵a＞b,∴﹣4a＜﹣4b,故本选项错误；B、∵a＞b,∴a b,故本选项错误；C、∵a＞b,∴﹣a＜﹣b,∴4﹣a＜4﹣b,故本选项错误；D、∵a＞b,∴a﹣4＞b﹣4,故本选项正确；【点评】本题考查了对不等式的性质的应用,主要考查学生的辨析能力,是一道比较典型的题目,难度适中．3．如图,用不等式表示数轴上所示的解集,正确的是（）A．x＜﹣1或x≥3B．x≤﹣1或x＞3C．﹣1≤x＜3D．﹣1＜x≤3【分析】不等式的解集表示﹣1与3之间的部分,其中不包含﹣1,而包含3．【解答】解：由图示可看出,从﹣1出发向右画出的折线且表示﹣1的点是空心圆,表示x＞﹣1；从3出发向左画出的折线且表示3的点是实心圆,表示x≤3．所以这个不等式组为﹣1＜x≤3故选：D．【点评】此题主要考查利用数轴上表示的不等式组的解集来写出不等式组．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞,≥向右画；＜,≤向左画）,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示；“＜”,“＞”要用空心圆点表示．4．若凸n边形的内角和为1260°,则n的值是（）A．9B．10C．11D．12【分析】根据多边形内角和定理列式计算即可．【解答】解：由题意得,（n﹣2）×180°=1260°,解得,n=9,故选：A．【点评】本题考查的是多边形的内角与外角,掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）是解题的关键．5．反比例函数的图象位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限【分析】因为k=2＞0,根据反比例函数性质,可知图象在一、三象限．【解答】解：∵k=2＞0,∴图象在一、三象限．【点评】对于反比例函数（k≠0）,（1）k＞0,反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0,反比例函数图象在第二、四象限内．6．若ax2﹣5x+3=0是一元二次方程,则不等式3a+6＞0的解集是（）A．a＞﹣2B．a＞﹣2且a≠0C．a D．a＜﹣2【分析】由于ax2﹣5x+3=0是一元二次方程,故a≠0；再解不等式即可求得a的取值范围；这样即可求得不等式的解集．【解答】解：不等式移项,得3a＞﹣6,系数化1,得a＞﹣2；又∵ax2﹣5x+3=0是一元二次方程,∴且a≠0；所以,a＞﹣2且a≠0；故选：B．【点评】一元二次方程必须满足三个条件：（1）只含有一个未知数,未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程．同时解不等式时,两边同时乘或除一个负数时,不等号的方向要改变．7．方程x2﹣kx﹣1=0根的情况是（）A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个相等的实数根C．方程没有实数根D．方程的根的情况与k的取值有关【分析】求出方程的判别式后,根据判别式与0的大小关系来判断根的情况．【解答】解：∵方程的△=k2+4＞0,故方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．8．下列各式从左到右的变形是分解因式的是（）A．2a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）+a2B．2a（b+c）=2ab+2acC．x3﹣2x2+x=x（x﹣1）2D．（x﹣1）（y﹣1）=xy﹣x﹣y+1【分析】根据把一个多项式转化成几个整式积的形式,可得答案．【解答】解：∵x3﹣2x2+x=x（x﹣1）2,∴C是因式分解,故选：C．【点评】本题考查了因式分解,因式分解的关键是把多项式转化成几个整式积的形式．9．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图,则下列结论：①当x＜3时,y1＞0；②当x＜3时,y2＞0；③当x＞3时,y1＜y2中,正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据一次函数图象的位置进行判断,从函数图象来看,就是确定直线y=kx+b是否在在x 轴上（或下）方．【解答】解：根据图象可知：①当x＜3时,一次函数y1=kx+b的图象在x轴上方,故y1＞0；②当x＜3时,一次函数y2=x+a的图象一部分在x轴上方,一部分在x轴下方,故y2＞0或y2=0或y2＜0；③当x＞3时,一次函数y1=kx+b的图象在一次函数y2=x+a的图象的下方,故y1＜y2,所以正确的有①和③．故选：C．【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系,从函数的角度看,就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．10．甲、乙两名工人加工某种零件,已知甲每天比乙多加工5个零件,甲加工80个零件和乙加工70个零件所用的天数相同．设甲每天加工x个零件,则根据题意列出的方程是（）A．B．C．D．【分析】根据题意列出乙每天加工零件的个数x﹣5,由等量关系式甲加工80个零件和乙加工70个零件所用的天数相同,列出方程即可．【解答】解：据题意列出方程得,,故选：D．【点评】解决此题的关键是：找对等量关系．二．填空题（每小题4分,共20分）11．函数y=的自变量x取值范围是x≤4且x≠3【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据题意得,x﹣3≠0且4﹣x≥0,解得x≠3且x≤4．故函数y=的自变量x取值范围是x≤4且x≠3．故答案为：x≤4且x≠3．【点评】本题考查函数自变量的取值范围,涉及的知识点为：分式有意义,分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．12．x2﹣10x+21可以分解为（x+n）（x﹣7）,则n=﹣3．【分析】先多项式x2﹣10x+21分解因式可得n的值．【解答】解：x2﹣10x+21=（x﹣3）（x﹣7）,∵x2﹣10x+21可以分解为（x+n）（x﹣7）,∴n=﹣3,故答案为：﹣3．【点评】本题考查了因式分解与原多项式的关系,解决此类问题,由于多项式因式分解是恒等变形,根据相同项的系数相等,得到方程并求出其解．13．已知点P（2﹣a,﹣3a）在第四象限,那么a的取值范围是0＜a＜2．【分析】根据点所在的象限,列不等式组,求解即可．【解答】解：∵点P（2﹣a,﹣3a）在第四象限,∴,由①得a＜2,由②得a＞0,∴a的取值范围是0＜a＜2,故答案为0＜a＜2．【点评】本题考查了象限内点的符号特点,以及不等式组的解法,是基础知识比较简单．14．如图所示,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=5,BC=8,则EF的长为．【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可求出DF的长,再利用三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半,可求出DE的长,进而求出EF的长【解答】解：∵∠AFB=90°,D为AB的中点,∴DF=AB=2.5,∵DE为△ABC的中位线,∴DE=BC=4,∴EF=DE﹣DF=1.5,故答案为：1.5．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半．15．在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,AE=4,AF=6,平行四边形ABCD的周长为40,则平行四边形ABCD的面积为48．【分析】由平行四边形的对边相等可得一组对边的和为20,设BC为未知数,利用两种方法得到的平行四边形的面积相等,可得BC长,乘以4即为平行四边形的面积．【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为40,∴BC+CD=20,=BC•AE=CD•AF,设BC为x,∵S平行四边形ABCD∴4x=（20﹣x）×6,解得x=12,∴平行四边形ABCD的面积为12×4=48．故答案为48．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质,平行四边形的对边相等,面积等于底×高．三、解答题：（16题每小题18分,17、18每题6分,19题10分,20题10分）16．（1）解不等式组（2）分解因式（x﹣1）（x﹣3）﹣8（3）解方程：=+【分析】（1）先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分即可；（2）先化简整理多项式,再根据十字相乘法进行因式分解即可；（3）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．【解答】解：（1）解不等式①,可得x≥﹣2,解不等式②,可得x＜3.5,∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜3.5；（2）（x﹣1）（x﹣3）﹣8=x2﹣4x+3﹣8=x2﹣4x﹣5=（x﹣5）（x+1）；（3）=+方程两边同乘（x+2）（x﹣2）,可得（x﹣2）2=（x+2）2+16,解得x=﹣2,检验：当x=﹣2时,（x+2）（x﹣2）=0,∴x=﹣2是原方程的增根,∴原方程无解．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组,因式分解以及解分式方程,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应检验．17．当+|b+2|+c2=0时,求ax2+bx+c=0的解．【分析】先根据算术平方根、绝对值和平方的非负性可得a、b、c的值,代入方程解出即可．【解答】解；当+|b+2|+c2=0时,则,∴,∴4x2﹣2x=0,2x2﹣x=0,x（2x﹣1）=0,x1=0,x2=【点评】本题考查了算术平方根、绝对值和平方的非负性和利用因式分解解一元二次方程,熟练掌握算术平方根、绝对值和平方的非负性是关键．18．先化简,后求值,其中x为0、1、2、4中的一个数．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=﹣•=﹣,当x=0时,原式=1．【点评】此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．如图,在直角坐标系中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC的顶点均在格点上,点A的坐标是（﹣3,﹣1）．（1）先将△ABC沿y轴正方向向上平移3个单位长度,再沿x轴负方向向左平移1个单位长度得到△A1B1C1,画出△A1B1C1,点C1坐标是（﹣2,1）；（2）将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°,得到△A2B1C2,画出△A2B1C2,并求出点C2的坐标是（﹣5,0）；（3）我们发现点C、C2关于某点中心对称,对称中心的坐标是（﹣3,﹣1）．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）直接利用关于点对称的性质得出对称中心即可．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1,即为所求,点C1坐标是：（﹣2,1）；故答案为：（﹣2,1）；（2）如图所示：△A2B1C2,即为所求,点C2坐标是：（﹣5,0）；故答案为：（﹣5,0）；（3）点C、C2关于某点中心对称,对称中心的坐标是：（﹣3,﹣1）．故答案为：（﹣3,﹣1）．【点评】此题主要考查了旋转变换和平移变换,根据题意得出对应点位置是解题关键．20．如图1,四边形ABCD是菱形,过点A作BC的垂线交CB的延长线于点E,过点C作AD的垂线交AD的延长线于点F．（1）说明△AEB≌△CFD的理由；（2）连接AC、BD,AC与DB交于点O（如图2）,若BE=1．①当DC=2时,求FC的长度；②当CD是∠ACF的平分线时,求DB的长度与菱形ABCD的边长．【分析】（1）首先这两个三角形是直角三角形,可根据菱形的性质四边相等,对边平行,可得到AB=DC,AE=CF；（2）因为三角形AEB是直角三角形,可根据勾股定理求解；（3）用角平分线上的点到两边的距离相等的性质以及勾股定理可求出DB的长度与菱形ABCD 的边长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CD,AD∥BC,又∵AE⊥CE,CF⊥AF,∴AE=CF,∴在直角三角形AEB和直角三角形CFD中,∴△AEB≌△CFD；（2）①∵△AEB≌△CFD,∴DF=BE=1,∴FC==,②当CD是∠ACF的平分线时∵∠DOC=90°,∠CFD=90°,∴DO=DF=1,∴DB=2,∵CD是∠ACF的平分线,∴∠ECA=∠DCA=∠DCF=30°,∴∠BCD=60°,∴△BCD是等边三角形,∴菱形ABCD的边长为2．【点评】本题考查菱形的性质,勾股定理以及角平分线上的点到两边的距离相等,和直角三角形全等的判定,关键是熟记这些性质定理和判定定理．一．填空题（每题4分,共20分）21．如果a+b=8,ab=15,则a2b+ab2的值为120．【分析】把所求的代数式整理为和所给代数式相关的式子,代入求值即可．【解答】解：a2b+ab2=ab（a+b）=15×8=120．【点评】本题考查因式分解的运用,有公因式时,要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解．22．关于x的方程的解是非正数,则m的取值范围是m≥．【分析】先解方程求得x,然后根据x≤0,求出m的取值范围即可．【解答】解：去分母得,2（x+m）﹣3（2x﹣1）=6m,去括号得,2x+2m﹣6x+3=6m,移项合并得,﹣4x=4m﹣3,系数化为1得,x=,∵关于x的方程的解是非正数,∴≤0,∴m≥．故答案为：m≥．【点评】本题考查了解一元一次方程以及一元一次不等式,是一道综合题,难度不大．23．如图,点D、E分别在△ABC的边AB,AC上,DE∥BC,点G在边BC上,AG交DE于点H,点O是线段AG的中点,若AD：DB=3：1,则AO：OH=2：1．【分析】根据平行线分线段成比例定理求出,,推出AO=AG,OH=OG﹣HG=AG﹣AG,代入求出即可．【解答】解：∵DE∥BC,AD：DB=3：1,∴===,==,∴OH=OG﹣HG=AG﹣AG,∵点O是线段AG的中点,∴OA=OG=AG,∴AO：OH=（AG）：（AG﹣AG）=2：1,故答案为：2：1．【点评】本题考查学生对平行线分线段成比例定理的灵活运用,关键是检查学生能否熟练地运用平行线分线段定理进行推理．24．已知=k,则k=2或﹣1．．【分析】先根据比例的性质得出bk=a+c,ck=b+a,ak=c+b,再将这三个式子相加,整理得出（a+b+c）k=2（a+b+c）．然后分a+b+c≠0与a+b+c=0两种情况,分别求出k的值即可．【解答】解：∵=k,∴bk=a+c,ck=b+a,ak=c+b,∴bk+ck+ak=a+c+b+a+c+b,∴（a+b+c）k=2（a+b+c）．①如果a+b+c≠0,那么k=2；②如果a+b+c=0,那么a+c=﹣b,k==﹣1．故答案为2或﹣1．【点评】本题考查了比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．即若a：b=c：d,则ad=bc．分情况讨论是解题的关键．25．如图,OA⊥OB,等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上,∠ECD=45°,将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°,点E的对应点N恰好落在OA上,则的值为．【分析】根据旋转得出∠NCE=75°,求出∠NCO,设OC=a,则CN=2a,根据△CMN也是等腰直角三角形设CM=MN=x,由勾股定理得出x2+x2=（2a）2,求出x=a,得出CD=a,代入求出即可．【解答】解：∵将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°,点E的对应点N恰好落在OA上,∴∠ECN=75°,∵∠ECD=45°,∴∠NCO=180°﹣75°﹣45°=60°,∵AO⊥OB,∴∠AOB=90°,∴∠ONC=30°,设OC=a,则CN=2a,∵等腰直角三角形DCE旋转到△CMN,∴△CMN也是等腰直角三角形,设CM=MN=x,则由勾股定理得：x2+x2=（2a）2,x=a,即CD=CM=a,∴==,故答案为：．【点评】本题考查了等腰直角三角形性质,勾股定理,含30度角的直角三角形性质,旋转性质,三角形的内角和定理等知识点,主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力,题目比较好,但有一定的难度．二．解答题（26题8分,27题10分,28题12分,共20分）26．某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出,每天可销售200件,通过一段时间摸索,该店主发现这种商品每涨价0.5元,其销售量就减少10件．（1）将售价定为多少元的时候,使每天利润为700元吗？（2）当售价定为x元时,这天所获利润为y,请写出y与x的关系式．（3）根据（2）问中的关系式,求出这天所获利润y的最大值？【分析】（1）如果设每件商品提高x元,用x表示出单件的利润以及每天的销售量,然后根据总利润=单价利润×销售量列出关于x的方程,进而求出未知数的值．（2）首先设应将售价提为x元时,才能使得所赚的利润最大为y元,根据题意可得：y=（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]；（3）将（2）中关系式化简配方,即可得y=﹣20（x﹣14）2+720,即可求得答案．【解答】解：（1）设每件商品提高x元,则每件利润为（10+x﹣8）=（x+2）元,每天销售量为（200﹣20x）件,依题意,得：（x+2）（200﹣20x）=700．整理得：x2﹣8x+15=0．解得：x1=3,x2=5．∴把售价定为每件13元或15元能使每天利润达到700元；（2）设利润为y：则y=（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]=﹣20x2+560x﹣3200；（3）y=﹣20x2+560x﹣3200,=﹣20（x﹣14）2+720,则当售价定为14元时,获得最大利润；最大利润为720元．【点评】此题考查的是二次函数在实际生活中的应用．此题难度不大,解题的关键是理解题意,找到等量关系,求得二次函数解析式．27．如图1,在正方形ABCD中,BD是对角线,点E在BD上,△BEG是等腰直角三角形,且∠BEG=90°,点F是DG的中点,连结EF与CF．（1）求证：EF=CF；（2）求证：EF⊥CF；（3）如图2,若等腰直角三角形△BEG绕点B按顺时针旋转45°,其他条件不变,请判断△CEF的形状,并证明你的结论．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=DF=DG,CF=DF=DG,从而得证；（2）根据等边对等角可得∠FDE=∠FED,∠FCD=∠FDC,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠EFC=2∠BDC,然后根据正方形的对角线平分一组对角求出∠BDC=45°,求出∠EFC=90°,从而得证；（3）延长EF交CD于H,先求出EG∥CD,再根据两直线平行,内错角相等求出∠EGF=∠HDF,然后利用“角边角”证明△EFG和△HFD全等,根据全等三角形对应边相等可得EG=DH,EF=FH,再求出CE=CH,然后根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．【解答】（1）证明：∵∠BEG=90°,点F是DG的中点,∴EF=DF=DG,∵正方形ABCD中,∠BCD=90°,点F是DG的中点,∴CF=DF=DG,∴EF=CF；（2）证明：∵EF=DF,CF=DF,∴∠FDE=∠FED,∠FCD=∠FDC,∴∠EFC=∠EFG+∠CFG=∠FDE+∠FED+∠FCD+∠FDC=2∠FDE+2∠FDC=2∠BDC,在正方形ABCD中,∠BDC=45°,∴∠EFC=2×45°=90°,∴EF⊥CF；（3）解：△CEF是等腰直角三角形．理由如下：如图,延长EF交CD于H,∵∠BEG=90°,∠BCD=90°,∴∠BEG=∠BCD,∴EG∥CD,∴∠EGF=∠HDF,∵点F是DG的中点,∴DF=GF,在△EFG和△HFD中,,∴△EFG≌△HFD（ASA）,∴EG=DH,EF=FH,∵BE=EG,BC=CD,∴BC﹣EB=CD﹣DH,即CE=CH,∴EF⊥CF（等腰三角形三线合一）,CF=EF=EH,∴△CEF是等腰直角三角形．【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,等腰直角三角形的判定,熟记各性质是解题的关键,（3）作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．28．在矩形OABC中,OA=4,OC=2,以点O为坐标原点,OA所在的直线为x轴,建立直角坐标系．（1）将矩形OABC绕点C逆时针旋转至矩形DEFC,如图1,DE经过点B,求旋转角的大小和点D,F 的坐标；（2）将图1中矩形DEFC沿直线BC向左平移,如图2,平移速度是每秒1个单位长度．①经过几秒,直线EF经过点B；②设两矩形重叠部分的面积为S,运动时间为t,写出重叠部分面积S与时间t之间的函数关系式．【分析】（1）根据OA=4,OC=2,BC=OA,因而就可求得BC=2CD,则可以求出∠BCD=60°,则旋转角即可求得；作DM⊥CB于点M,FN⊥CB于点N,根据三角函数即可求得：DM,CM的长,从而求得D的坐标,在Rt△CFN中,根据三角函数即可求得CN,FN的长,即得F的坐标；（2）①HB即为直线EF经过点B时移动的距离．在Rt△C′DH中利用三角函数即可求得DH,从而得到HE,再在△HEB中,利用三角函数求得BH,即可求得时间．②重合的部分可能是四边形,也可能是三角形,应分两种情况进行讨论．【解答】解：（1）如图1．在矩形OABC中,OA=4,OC=2,所以在RT△BCD中,BC=2CD,即所以∠BCD=60°．所以旋转角∠OCD=30°作DM⊥CB于点M,FN⊥CB于点N．在RT△CDM中,CM=CD•cos60°=1,DM=CD•sin60°=．所以点D到x轴的距离为．在RT△CFN中,,所以点F到x轴的距离为4．故D（1,）,F（（2）①如图2,HB即为直线EF经过点B时移动的距离．在RT△C′DH中,,所以．在RT△BEH中,HE=BHcos30°,则．所以直线EF经过点B时所需的时间秒②过点D作DM⊥BC于点M．在RT△DMC′中,C′M=．在RT△DHC′中,C′D=C′Hcos60°=2．当0＜t＜1时,重叠部分面积为四边形DGCH,如图2,C′C=t,CG=C′Ctan60°=t．．当1≤t＜4时,重叠部分的面积为△GCH,如图3,．所以重叠部分的面积S=CG•CH=×（4﹣t）（4﹣t）=t2﹣t+．【点评】本题是三角函数与图形的旋转相结合的题目,注意旋转变化前后,对应线段、对应角分别相等,图形的大小、形状都不改变．得到相等关系是解决本题的关键．。

2023-2024学年北京市西城区回民中学九年级(上)月考数学试卷(9月份)(含解析)

2023-2024学年北京市西城区回民中学九年级(上)月考数学试卷(9月份)(含解析)

2023-2024学年北京市西城区回民中学九年级第一学期月考数学试卷（9月份）一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）A．y＝﹣（x﹣1）2+3B．y＝﹣（x+1）2+3C．y＝﹣（x+1）2﹣3D．y＝﹣（x﹣1）2﹣32．抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线（ ）A．x＝﹣3B．x＝1C．x＝﹣D．x＝﹣13．P（﹣2，y1），Q（4，y2）是函数y＝图象上两点，则y1，y2的大小关系是（ ）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．y1，y2大小不确定4．用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（ ）A．（x﹣2）2＝5B．（x﹣2）2＝3C．（x+2）2＝5D．（x+2）2＝3 5．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．无法确定6．函数y＝与y＝kx﹣k（k为常数且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．7．抛物线上y＝（m﹣4）x2有两点A（﹣3，y1）、B（2，y2），且y1＞y2，则m的取值范围是（ ）A．m＞4B．m＜4C．m≥4D．m≠48．已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y2＜y3＜y1，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（ ）A．y3最小，y1最大B．y3最小，y4最大C．y2最小，y4最大D．无法确定二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．已知反比例函数的图象位于一、三象限，则m的取值范围为 ．10．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ．11．某地为了解决市民看病贵的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，则可列得方程为 ．12．某抛物线满足：①开口向上；②顶点（﹣1，4）．请写出任意一个满足题意的二次函数的表达式 ．13．若关于x的方程x2+2kx+k﹣4＝0的一个根是1，则k的值为 ．14．如图，A，B两点在函数（x＜0）图象上，BD垂直x轴于点D，△AOC1，S2，则S1 S2．（填“＜”，“＝”，或“＞”）．15．已知双曲线y＝﹣与直线y＝kx+b交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）若x1+x2＝0，则y1+y2＝ ；（2）若x1+x2＞0时，y1+y2＞0，则k 0，b 0（填“＞”，“＝”或“＜”）．16．抛物线y＝ax2+bx+c．的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共68分，其中17题10分，18题9分，19题5分，20题7分，21题8分，22题8分，23题7分，24题7分，25题7分）17．解一元二次方程．（1）x2﹣3＝0；（2）x2﹣6x﹣4＝0．18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2+m＝0．（1）求证：对于任意实数m，该方程总有实数根；（2）若这个一元二次方程的一根大于2，求m的取值范围．19．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣10123…y…50﹣3﹣4﹣30…（1）并画出图象．（2）求此抛物线的解析式．（3）结合图象，直接写出方程ax2+bx+c＝﹣3的根．（4）结合图象，直接写出当0＜x＜3时y的取值范围．20．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠θ）的图象交于A （﹣1，n），B（3，﹣2）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）结合函数图象，直接写出kx+b﹣＞0时x的取值范围；（3）点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于4，请直接写出点P的坐标．21．2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？22．小朋在学习过程中遇到一个函数y＝x3.下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：（1）观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是 ，函数值y的取值范围是 ；（2）进一步研究，y与x的几组对应值如下表：x…﹣2﹣﹣1012…y… 0 …（3）结合上表，画出函数图象：（4）结合函数图象，写出两条性质 ．23．探照灯的内部可以看成是抛物线的一部分经过旋转得到的抛物曲面，其原理是过某一特殊点的光线，经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴2，则抛物线的焦点为（0，）．如图，在平面直角坐标系xOy中，某款探照灯抛物线的表达式为y＝（1）点F的坐标是 ；（2）过点F的直线与抛物线交于A，B两点，已知沿射线FA方向射出的光线，AM所在直线与x轴的交点坐标为（4，0）．①画出沿射线FB方向射出的光线的反射光线BP；②BP所在直线与x轴的交点坐标为 ．24．在平面直角坐标系xOy中，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上任意两点．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）若x1＝m﹣2，x2＝m+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）若对于﹣1≤x1＜4，x2＝4，都有y1≤y2，直接写出m的取值范围．25．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a，b）．对于点P（x，y），若实数k满足|y﹣b|＝k|x﹣a|，则称k为点P关于点A的距离系数．若图形M上所有点关于点A的距离系数存在最小值（1）当点A与点O重合时，在P1（2，2），P2（﹣2，1），P3（﹣4，4）中，关于点A 的距离系数为1的是 ；（2）已知点B（﹣2，1），C（1，1），若线段BC关于点A（m，﹣1）的距离系数小于 ；（3）已知点A（4，0），T（0，t），其中2≤t≤4．以点T为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，E为该正方形上的动点，线段DE的长度是一个定值（0＜DE＜2）．①线段DE关于点A的距离系数的最小值为 ；②若线段DE关于点A的距离系数的最大值是2，则DE的长为 ．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）A．y＝﹣（x﹣1）2+3B．y＝﹣（x+1）2+3C．y＝﹣（x+1）2﹣3D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3【分析】根据二次函数图象平移的方法即可得出结论．解：抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移2个单位2+3．故选：B．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．2．抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线（ ）A．x＝﹣3B．x＝1C．x＝﹣D．x＝﹣1【分析】把二次函数解析式配方成顶点式的形式，然后即可写出对称轴．解：∵y＝2x2﹣7x+1＝2（x6﹣2x+1﹣7）+1＝2（x﹣7）2﹣1，∴对称轴是直线x＝2．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质，配方成顶点式是解题的关键，也可以利用对称轴公式直接求解．3．P（﹣2，y1），Q（4，y2）是函数y＝图象上两点，则y1，y2的大小关系是（ ）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．y1，y2大小不确定【分析】根据反比例函数的性质，可以判断出y1，y2的大小关系．解：∵函数y＝，∴该函数图象位于第一、三象限，y随x的增大而减小，∵P（﹣2，y7），Q（4，y2）是函数y＝图象上两点，∴y1＜0＜y6，故选：A．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．4．用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（ ）A．（x﹣2）2＝5B．（x﹣2）2＝3C．（x+2）2＝5D．（x+2）2＝3【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．解：方程x2+4x+6＝0，整理得：x2+7x＝﹣1，配方得：（x+2）7＝3．故选：D．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．无法确定【分析】把a＝2，b＝﹣3，c＝1代入判别式Δ＝b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．解：∵a＝2，b＝﹣3，∴Δ＝b5﹣4ac＝（﹣3）8﹣4×2×5＝1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ＝b2﹣4ac．掌握当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根是解题关键．6．函数y＝与y＝kx﹣k（k为常数且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．解：A、∵由反比例函数的图象在一，k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三，故本选项错误；B、∵由反比例函数的图象在二，k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二，故本选项错误；C、∵由反比例函数的图象在一，k＞7，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三，故本选项正确；D、∵由反比例函数的图象在一，k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答．7．抛物线上y＝（m﹣4）x2有两点A（﹣3，y1）、B（2，y2），且y1＞y2，则m的取值范围是（ ）A．m＞4B．m＜4C．m≥4D．m≠4【分析】把A、B两点的坐标分别代入抛物线解析式可用m分别表示出y1和y2，利用条件可得到m的不等式，可求得m的取值范围．解：∵A（﹣3，y1）、B（4，y2）在抛物线上，∴y1＝7（m﹣4），y2＝5（m﹣4），∵y1＞y6，∴9（m﹣4）＞2（m﹣4），∴m＞4，故选：A．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．8．已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y2＜y3＜y1，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（ ）A．y3最小，y1最大B．y3最小，y4最大C．y2最小，y4最大D．无法确定【分析】根据题意判断抛物线开口向上，对称轴在直线x＝0与直线x＝﹣1之间，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断．解：∵二次函数图象经过P1（﹣3，y4），P2（﹣1，y2），P3（1，y8），P4（3，y2）四点，且y2＜y3＜y2，∴抛物线的开口向上，且对称轴在直线x＝0与直线x＝﹣1之间，∴P4（3，y4）离对称轴的距离最大，P4（﹣1，y2）离对称轴的距离最小，∴y7最小，y4最大，故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象开口方向及对称轴的位置是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．已知反比例函数的图象位于一、三象限，则m的取值范围为　m＞1　．【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可求解．解：∵反比例函数y＝的图象位于一，∴m﹣1＞8，解得：m＞1．故答案为：m＞1．【点评】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数y＝，当k＞0时，图象位于第一、三象限内是解题的关键．10．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标是　（1，﹣4）　，与y轴的交点坐标是　（0，﹣3）　．【分析】先把y＝x2﹣2x﹣3进行配方得到抛物线的顶点式y＝（x﹣1）2﹣4，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标；令x＝0，则可得与y轴的交点坐标．解：由题意，把y＝x2﹣2x﹣7进行配方得到抛物线的顶点式y＝（x﹣1）2﹣8，∴顶点坐标为（1，﹣4）．令x＝3，∴y＝﹣3．∴与y轴的交点坐标是（0，﹣8）．故答案为：（1，﹣4），﹣3）．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．11．某地为了解决市民看病贵的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，则可列得方程为　200（1﹣x）2＝162　．【分析】设这种药品平均每次降价的百分率为x，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：设这种药品平均每次降价的百分率为x，依题意，得：200（1﹣x）2＝162．故答案为：200（2﹣x）2＝162．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12．某抛物线满足：①开口向上；②顶点（﹣1，4）．请写出任意一个满足题意的二次函数的表达式　y＝（x+1）2+4（答案不唯一）　．【分析】根据二次函数的性质解答即可．解：∵抛物线开口向上，顶点（﹣1，∴二次函数的解析式可以为：y＝（x+1）8+4（答案不唯一）．故答案为：y＝（x+1）3+4（答案不唯一）．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解题的关键．13．若关于x的方程x2+2kx+k﹣4＝0的一个根是1，则k的值为　1　．【分析】把x＝1代入方程x2+2kx+k﹣4＝0得1+2k+k﹣4＝0，然后解关于k的方程即可．解：把x＝1代入方程x2+4kx+k﹣4＝0得6+2k+k﹣4＝3，解得k＝1．故答案为：1．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．14．如图，A，B两点在函数（x＜0）图象上，BD垂直x轴于点D，△AOC1，S2，则S1　＝　S2．（填“＜”，“＝”，或“＞”）．【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得答案．解：由反比例函数系数k的几何意义得，S△AOC＝S△BOD＝|k|＝，故答案为：＝【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提．15．已知双曲线y＝﹣与直线y＝kx+b交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）若x1+x2＝0，则y1+y2＝　0　；（2）若x1+x2＞0时，y1+y2＞0，则k　＜　0，b　＞　0（填“＞”，“＝”或“＜”）．【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论；（2）根据题意画出图象，根据图象即可得出结论．解：（1）∵双曲线y＝﹣与直线y＝kx+b交于点A（x1，y2），B（x2，y2）．∴y6＝﹣，y6＝﹣，∵x8+x2＝0，∴x6＝﹣x1，∴y2＝﹣＝﹣1，∴y1+y3＝0，故答案为0；（2）∵双曲线y＝﹣在二，∴设A（x1，y1）在第二象限，B（x4，y2）在第四象限．则x1＜7，y1＞0，x5＞0，y2＜3，∵x1+x2＞6，y1+y2＞5，∴|x2|＞|x1|，|y3|＞|y2|，如图，∴直线y＝kx+b经过一、二、四象限，∴k＜0，b＞7，故答案为＜，＞．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．16．抛物线y＝ax2+bx+c．的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是　①③　．【分析】由抛物线开口和抛物线与y轴交点判断①，由抛物线的对称性及经过点（5，0）可判断②，由抛物线对称轴为直线x＝2可得b＝﹣4a，由a﹣b+c＝0可得c＝﹣5a，从而判断③，点C对称点横坐标为4﹣t可判断④．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜6，①正确．∵抛物线顶点为A（2，m），∴抛物线对称轴为直线x＝2，∵抛物线过点（8，0），∴由对称性可得抛物线经过点（﹣1，2），∴a﹣b+c＝0，②错误，∵﹣＝7，∴b＝﹣4a，∴5a+c＝5，∴c＝﹣5a，∵（2，m）为抛物线顶点，∴3a+2b+c＝m，∴4a﹣4a﹣5a＝m，即9a+m＝4，∵抛物线经过点C（t，n），∴点C关于对称轴对称点（4﹣t，n）在抛物线上，∴4﹣t为ax4+bx+c＝n的一个根，④错误．故答案为：①③．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质、二次函数与方程及不等式的关系．三、解答题（本大题共68分，其中17题10分，18题9分，19题5分，20题7分，21题8分，22题8分，23题7分，24题7分，25题7分）17．解一元二次方程．（1）x2﹣3＝0；（2）x2﹣6x﹣4＝0．【分析】（1）把原方程化成x2＝3的形式，然后直接开平方即可；（2）先把﹣4改变符号后移到等号右边，然后方程两边同时加9，然后直接开平方求解即可．解：（1）x2﹣3＝6，x2＝3，，；（2）x2﹣3x﹣4＝0，x7﹣6x＝4，x7﹣6x+9＝7+9，（x﹣3）3＝13，，．【点评】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握利用直接开平方法和配方法解一元二次方程．18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2+m＝0．（1）求证：对于任意实数m，该方程总有实数根；（2）若这个一元二次方程的一根大于2，求m的取值范围．【分析】（1）根据一元二次方程判别式为（m﹣1）2≥0即可解答；（2）解方程，求得x1＝m+2，x2＝1，根据题意得到m+2＞2，解不等式即可．【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+4+m＝0，∴Δ＝（m+3）3﹣4×1×（7+m）＝（m+1）2≥6，∴对于任意实数m，该方程总有实数根；（2）解：设方程的两个实数根为x1、x2，∵，∴x3＝m+2，x2＝7，∵这个一元二次方程的一根大于2，∴m+2＞2，解得：m＞0，∴m的取值范围m＞0．【点评】本题考查了根的判别式及解一元二次方程，正确运用判别式是解题的关键．19．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣10123…y…50﹣3﹣4﹣30…（1）并画出图象．（2）求此抛物线的解析式．（3）结合图象，直接写出方程ax2+bx+c＝﹣3的根．（4）结合图象，直接写出当0＜x＜3时y的取值范围．【分析】（1）根据表格描点，画出图象即可；（2）用待定系数法可得抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（3）观察图象可得方程ax2+bx+c＝﹣3的根为x＝0或x＝2；（4）观察图象可得y的取值范围是﹣4≤y＜0．解：（1）根据表格描点，画出图象如下：（2）由已知可知，抛物线与x轴交于（﹣1，（3，设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣3），把（﹣24＝5a，解得a＝1，∴y＝（x+2）（x﹣3）＝x2﹣7x﹣3，∴抛物线解析式为y＝x2﹣8x﹣3；（3）由图象可知，当x＝0或x＝4时，∴方程ax2+bx+c＝﹣3的根为x＝8或x＝2；（4）由图象可知，当0＜x＜6时．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，涉及待定系数法，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是数形结合思想的应用．20．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠θ）的图象交于A （﹣1，n），B（3，﹣2）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）结合函数图象，直接写出kx+b﹣＞0时x的取值范围；（3）点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于4，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点A坐标，再将A，B代入一次函数解析式；（2）由图可得答案；（2）设点P的坐标为（a，0），求出直线AB与x轴交点，再结合△ABP的面积为4得到关于a的方程，解之即可．解：（1）由题意可得：点B（3，﹣2）在反比例函数，∴，则m＝﹣5，∴反比例函数的解析式为，将A（﹣4，n）代入，得：，即A（﹣8，将A，B代入一次函数解析式中，得，解得：，∴一次函数解析式为y6＝﹣2x+4；（2）由图可得：x＜﹣6或0＜x＜3时，kx+b﹣；（2）∵点P在x轴上，设点P的坐标为（a，3），∵一次函数解析式为y1＝﹣2x+2，令y＝0，∴直线AB与x轴交于点（2，2），由△ABP的面积为4，可得：|a﹣2|＝4，即|a﹣6|＝4，解得：a＝1或a＝7，∴点P的坐标为（1，0）或（2．【点评】本题考查一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．21．2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？【分析】（1）根据题意，得y＝200﹣×4（x﹣48），化简即可；（2）根据题意，得W＝（x﹣34）（﹣2x+296），化成顶点式，再根据二次函数的性质求出最大值．解：（1）根据题意，得y＝200﹣＝﹣3x+296，∴y与x之间的函数关系式：y＝﹣2x+296；（2）根据题意，得W＝（x﹣34）（﹣2x+296）＝﹣6（x﹣91）2+6498，∵a＝﹣2＜8，∴抛物线开口向下，W有最大值，当x＝91时，W最大值＝6498，答：每套售价定为：91元时，每天销售套件所获利润最大．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．22．小朋在学习过程中遇到一个函数y＝x3.下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：（1）观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是　x为任意实数　，函数值y的取值范围是　y为任意实数　；（2）进一步研究，y与x的几组对应值如下表：x…﹣2﹣﹣1012…y…　﹣4 ﹣ ﹣　0 ﹣ 4　…（3）结合上表，画出函数图象：（4）结合函数图象，写出两条性质　函数关于原点成中心对称；y随x的增大而增大（答案不唯一）　．【分析】（1）由函数表达式即可求解；（2）将表格x的值代入函数表达式，分别求解即可；（3）结合上表，画出函数图象即可；（4）观察函数图象即可求解．解：（1）从函数表达式看，x的取值范围为：x为任意实数，故答案为：x为任意实数，y为任意实数；（2）当x＝﹣2时，y＝x3＝﹣4，同理可得，x＝﹣时；当x＝﹣1时；当x＝1时；当x＝时；当x＝2时，故答案为：﹣4；﹣；﹣；；；4；（3）结合上表，画出函数图象如下：（4）从函数图象看，函数关于原点成中心对称，故答案为：函数关于原点成中心对称；y随x的增大而增大（答案不唯一）．【点评】本题考查的是函数图象，主要让学生通过描点画出函数图象，从图象读取相关的数据．23．探照灯的内部可以看成是抛物线的一部分经过旋转得到的抛物曲面，其原理是过某一特殊点的光线，经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴2，则抛物线的焦点为（0，）．如图，在平面直角坐标系xOy中，某款探照灯抛物线的表达式为y＝（1）点F的坐标是　（0，1）　；（2）过点F的直线与抛物线交于A，B两点，已知沿射线FA方向射出的光线，AM所在直线与x轴的交点坐标为（4，0）．①画出沿射线FB方向射出的光线的反射光线BP；②BP所在直线与x轴的交点坐标为　（﹣1，0）　．【分析】（1）根据焦点的定义和抛物线解析式即可求得；（2）①根据反射光线平行于y轴作出图形即可；②先求出A点坐标，再用待定系数法求出直线AB的解析式，再联立直线AB解析式和抛物线解析式，解方程组求出交点B的坐标，从而得解．【解答】（1）由题意可得：抛物线y＝，焦点为F（0，故答案为：（0，8）；（2）①画出反射光线BP，如图：②∵AM∥y轴，AM所在直线与x轴的交点坐标为（4．∴当x＝4时，y＝2＝3，∴A（4，4），设AB所在直线解析式为y＝kx+b，则，解得，∴AB所在直线解析式为y＝x+1，联立方程组，解得或，∴B（﹣1，）∵BP∥y轴，∴BP所在直线为x＝﹣1，∴直线BP与x轴的交点为（﹣5，0）．故答案为：（﹣1，6）．【点评】本题考查二次函数的应用和新定义，关键是对新定义的理解和运用．24．在平面直角坐标系xOy中，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上任意两点．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）若x1＝m﹣2，x2＝m+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）若对于﹣1≤x1＜4，x2＝4，都有y1≤y2，直接写出m的取值范围．【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．（2）分别将x1＝m﹣2，x2＝m+2代入解析式求解．（3）求出点（4，y2）关于对称轴对称点为（2m﹣4，y2），根据抛物线开口向上及y1≤y2求解解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m6﹣1＝（x﹣m）2﹣7，∴抛物线顶点坐标为（m，﹣1）．（2）将x＝m﹣2代入y＝（x﹣m）3﹣1得y＝23﹣1＝3，将x＝m+6代入y＝（x﹣m）2﹣1得y＝42﹣1＝7，∴y1＝y2．（3）∵抛物线对称轴为直线x＝m，∴点（2，y2）关于对称轴对称点为（2m﹣5，y2），∵抛物线开口向上，y1≤y2，∴2m﹣4≤x3＜4，∴2m﹣7≤﹣1，解得m≤．【点评】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．25．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a，b）．对于点P（x，y），若实数k满足|y﹣b|＝k|x﹣a|，则称k为点P关于点A的距离系数．若图形M上所有点关于点A的距离系数存在最小值（1）当点A与点O重合时，在P1（2，2），P2（﹣2，1），P3（﹣4，4）中，关于点A 的距离系数为1的是　P1，P3　；（2）已知点B（﹣2，1），C（1，1），若线段BC关于点A（m，﹣1）的距离系数小于　m＜﹣3或m＞2　；（3）已知点A（4，0），T（0，t），其中2≤t≤4．以点T为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，E为该正方形上的动点，线段DE的长度是一个定值（0＜DE＜2）．①线段DE关于点A的距离系数的最小值为 ；②若线段DE关于点A的距离系数的最大值是2，则DE的长为 ．【分析】（1）根据距离系数的定义进行计算即可；（2）利用距离系数的定义，用m表示k，根据距离系数小于，进行计算即可；（3）①根据题意，当正方形上的点到A（4，0），横坐标的距离最大，纵坐标之间的距离最小时，线段DE关于点A的距离系数的最小，得到点点（﹣1，1）关于点A的距离系数的最小，进行计算即可；②根据线段DE关于点A的距离系数的最大值是2，即线段上的所有点关于点A的距离系数存在最小值为2，得到线段DE上的点的横坐标和纵坐标的取值范围，利用勾股定理进行求解即可．解：（1）∵P1（2，8），P2（﹣2，5），P3（﹣4，8），0），∵b|＝k|x﹣a|，∴，，；∴关于点A的距离系数为1的是：P3P3；（2）∵B（﹣2，5），1），﹣1），∴线段BC：y＝7（﹣2≤x≤1），，即：|x﹣m|≠4，∴x﹣m＞4或x﹣m＜﹣2，∴m＜x﹣4或m＞x+4，∴当两个点的横坐标间的距离越远，k越小，∴当B点离A点横坐标最远时：m＞﹣5+4＝2，当C离A点横坐标最远时：m＜3﹣4＝﹣3，综上：m＜﹣3或m＞2；（3）①由可知，0），纵坐标之间的距离最小时，根据题意，点（﹣6；②若线段DE关于点A的距离系数的最大值是2，即线段上的所有点关于点A的距离系数存在最小值为2，∴K＝，由题意知：﹣1≤x≤2，1≤y≤5，∴|4﹣4|≤|x﹣4|≤|﹣6﹣4|，即3≤|x﹣5|≤5，∴，当y＝5时，6≤x≤，DE＝＝＝．【点评】本题考查坐标系下的新定义．熟练掌握距离系数的定义和运算方法是解题的关键．。

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨113中九年级(上)月考数学试卷(9月份)(含解析)

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨113中九年级(上)月考数学试卷(9月份)(含解析)

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨113中九年级第一学期月考数学试卷（9月份）（五四学制）一、选择题（每题3分，共计30分）1．已知直角三角形两直角边长分别为5，12，则斜边长为（）A．13B．14C．15D．162．若cos A＝，则锐角∠A为（）A．30°B．15°C．45°D．60°3．下列四边形中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，飞机于空中A处测得目标B处的俯角为α，此时飞机的高度AC为a米，则AB 的距离为（）米A．a tanαB．C．D．5．如图，菱形ABCD的周长为16，∠C＝120°，E，F分别为AB，AD的中点，则EF的长为（）A．B．C．4D．86．若一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥1B．m≤1C．m＞1D．m＜17．在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣5的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．下列命题，其中是真命题的为（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直平分的四边形一定是矩形C．对角线互相垂直且相等的四边形一定是菱形D．一组邻边相等的矩形是正方形9．如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝10．在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，下列说法正确的是（）A．小莹的速度随时间的增大而增大B．小梅的平均速度比小莹的平均速度大C．在起跑后180秒时，两人相遇D．在起跑后50秒时，小梅在小莹的前面二、填空题（每题3分，共计30分）11．函数中自变量x的取值范围是．12．一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根是x＝3，则a的值为．13．在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣6x+1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1y2．（填“＞”“＜”“＝”）14．已知△ABC中，∠B＝45°，AB＝3，BC＝8，求AC的长为．15．如图，直线OA与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝．16．松花江商场一月份利润为100万元，三月份的利润为121万元，求这个商场二、三月利润的平均增长率．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AEC的面积为．18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，斜边上的中线CO＝10，则AC＝．19．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，△ABO面积是24，则k的值为．20．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AB＝15，AD＝7，则AC ＝．三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25—27题各10分，共计60分）21．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝3tan30°+2cos60°．22．如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中以AB为边画Rt△ABC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC＝90°，且tan ∠ACB＝；（2）在（1）的条件下，在图中画一个以EF为边且面积为12的平行四边形EFGH，点E、F在小正方形的格点上，连接CH，直接写出线段CH的长．23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A（﹣2，1）、B（1，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）连接OA、OB，求△AOB的面积．24．已知：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，E在CB的延长线上，且BE＝2BD，连接AE，F是AC的中点，G是AE的中点，连接BG、BF．（1）如图1，求证：四边形AGBF是平行四边形．（2）如图2，连接GF、DF，GF与AB相交于点H，若GF＝AB，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的等边三角形．25．和兴商店准备从希望机械厂购进甲、乙两种零件进行销售，若一个甲种零件的进价比一个乙种零件的进价多50元，用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍．（1）求每个甲种零件，每个乙种零件的进价分别为多少元？（2）和兴商店将甲种零件每件售价定为220元，乙种零件每件售价定为155元，商店根据市场需求，决定向该厂购进一批零件．且购进乙种零件的数量比购进甲种零件的数量的2倍还多6个，若本次购进的两种零件全部售出后，总获利大于3390元．求该商店本次购进甲种零件至少是多少个？26．菱形ABCD中，∠ABC＝60°，F在CA延长线上．（1）如图1，求证：FB＝FD；（2）如图2，E是BC上一点，EC＝AF，求证：FE＝FB；（3）如图3，在（2）的条件下，过A作AG⊥FC交FD于点G，当BE＝2，G是DF中点时，求GA的长．27．如图在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b分别交x轴，y轴于点A、B，OA＝4，∠OBA的外角平分线交x轴于点D．（1）求点D的坐标；（2）点P是线段BD上一点（不与B、D重合），过点P作PC⊥BD交x轴于点C，设点P的横坐标为t，△BCD的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，PC的延长线交y轴于点E，当PC＝PB时，将射线EP绕点E 旋转45°交直线AB于点F，求F点坐标．参考答案一、选择题（每题3分，共计30分）1．已知直角三角形两直角边长分别为5，12，则斜边长为（）A．13B．14C．15D．16【分析】根据勾股定理即可得到结论．解：由勾股定理得，斜边长为＝13，故选：A．2．若cos A＝，则锐角∠A为（）A．30°B．15°C．45°D．60°【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．解：由cos A＝，则锐角∠A为45°，故选：C．3．下列四边形中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．解：选项A、B、C均能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以它们是轴对称图形；选项D不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以它不是轴对称图形；故选：D．4．如图，飞机于空中A处测得目标B处的俯角为α，此时飞机的高度AC为a米，则AB 的距离为（）米A．a tanαB．C．D．【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．解：由题意得，∠B＝α，在Rt△ABC中，sin B＝，则AB＝＝，故选：C．5．如图，菱形ABCD的周长为16，∠C＝120°，E，F分别为AB，AD的中点，则EF的长为（）A．B．C．4D．8【分析】连接AC，BD交于点O，利用等边三角形的性质求得AC的长，从而利用菱形的性质求得AO和AB的长，利用勾股定理求得OB后即可求得EF的长．解：连接AC，BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝120°，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，AC⊥BD，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵菱形ABCD的周长为16，∴AB＝AC＝4，∴OA＝2，∴OB＝＝＝2，∴BD＝2OB＝4∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF＝BD＝2．故选：B．6．若一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥1B．m≤1C．m＞1D．m＜1【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．解：∵方程x2﹣2x+m＝0有两个不相同的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4m＞0，解得：m＜1．故选：D．7．在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣5的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决．解：∵一次函数y＝2x﹣5，k＝2，b＝﹣5，∴该函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选：B．8．下列命题，其中是真命题的为（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直平分的四边形一定是矩形C．对角线互相垂直且相等的四边形一定是菱形D．一组邻边相等的矩形是正方形【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；B、对角线互相垂直平分的四边形一定是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、一组邻边相等的矩形是正方形，正确，是真命题，符合题意，故选：D．9．如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】本题主要掌握相似三角形的定义，根据已知条件判定相似的三角形．解：根据题意，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例，可知B不正确，因为AE与EC不是对应边，所以B不成立．故选：B．10．在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，下列说法正确的是（）A．小莹的速度随时间的增大而增大B．小梅的平均速度比小莹的平均速度大C．在起跑后180秒时，两人相遇D．在起跑后50秒时，小梅在小莹的前面【分析】A、由于线段OA表示所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，由此可以确定小莹的速度是没有变化的，B、小莹比小梅先到，由此可以确定小梅的平均速度比小莹的平均速度是否大；C、根据图象可以知道起跑后180秒时两人的路程，确定是否相遇；D、根据图象知道起跑后50秒时OB在OA的上面，由此可以确定小梅是否在小莹的前面．解：A、∵线段OA表示所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，∴小莹的速度是没有变化的，故选项错误；B、∵小莹比小梅先到，∴小梅的平均速度比小莹的平均速度小，故选项错误；C、∵起跑后180秒时，两人的路程不相等，∴他们没有相遇，故选项错误；D、∵起跑后50秒时OB在OA的上面，∴小梅是在小莹的前面，故选项正确．故选：D．二、填空题（每题3分，共计30分）11．函数中自变量x的取值范围是x≠1．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．解：根据题意得，x﹣1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．12．一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根是x＝3，则a的值为﹣3．【分析】把x＝3代入方程x2﹣2x+a＝0得9﹣6+a＝0，然后解关于a的方程即可．解：把x＝3代入方程x2﹣2x+a＝0得9﹣6+a＝0，解得a＝﹣3．故答案为﹣3．13．在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣6x+1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1＞y2．（填“＞”“＜”“＝”）【分析】由k＝﹣6＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合x1＜x2，即可得出y1＞y2．解：∵k＝﹣6＜0，∴y随x的增大而减小．又∵一次函数y＝﹣6x+1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，且x1＜x2，∴y1＞y2．故答案为：＞．14．已知△ABC中，∠B＝45°，AB＝3，BC＝8，求AC的长为．【分析】作AH⊥BC于H．在Rt△ABH中，求出AH，BH，再求出CH，然后在Rt△ACH 中利用勾股定理即可求出AC．解：如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，∠B＝45°，AB＝3，∴AH＝HB＝AB•sin∠B＝3×＝3，∴CH＝BC﹣BH＝8﹣3＝5．在Rt△AHC中，∵∠AHC＝90°，∴AC＝＝＝．故答案为：．15．如图，直线OA与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝4．【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|．解：由题意得：S△OAB＝|k|＝2；又由于反比例函数在第一象限，k＞0；则k＝4．故答案为：4．16．松花江商场一月份利润为100万元，三月份的利润为121万元，求这个商场二、三月利润的平均增长率10%．【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），利润的平均月增长率为x，那么根据题意即可得出121＝100（1+x）2．解：设商场的二、三月份的总收入平均增长率为x，由题意得：100（1+x）2＝121，解之得：x＝0.1或﹣2.2；考虑实际应用，﹣2.2不合题意舍去；∴x＝0.1＝10%．答：这个商场的二、三月份的总收入平均增长率为10%，故答案为：10%．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AEC的面积为10．【分析】首先证明AE＝CE，根据勾股定理列出关于线段AE的方程，解方程求出AE的长问题即可解决．解：由题意得：∠DCA＝∠ACE；∵四边形ABCD为矩形，∴DC∥AB，∠B＝90°，∴∠DCA＝∠CAE，∴∠CAE＝∠ACE，∴AE＝CE（设为x）；则BE＝8﹣x；由勾股定理得：x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5，∴△AEC的面积＝×5×4＝10．故答案为：10．18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，斜边上的中线CO＝10，则AC＝16．【分析】根据直角三角形的性质得出AB，进而利用勾股定理解答即可．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，斜边上的中线CO＝10，∴AB＝2CO＝20，∴AC＝，故答案为：16．19．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，△ABO面积是24，则k的值为±．【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，结合△ABO面积是24，即可得出关于k的方程，解之经检验后即可得出k＝±．解：当y＝0时，kx+6＝0，解得：x＝﹣，∴点A的坐标为（﹣，0）；当x＝0时，y＝k×0+6＝6，∴点B的坐标为（0，6）．∴S△ABO＝×|﹣|×6＝24，∴k＝±，经检验，k＝±是原方程的解，且符合题意．故答案为：±．20．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AB＝15，AD＝7，则AC＝．【分析】作辅助线，构建相似三角形，设DG＝x，表示AC的长，再利用等角的三角函数列方程可得结论，也可以运用角平分线和勾股定理列方程来解答，但计算量比较大．解：如图，过点B作BH∥AC，交AD的延长线于H，作BG⊥AH于G，设DG＝x，∵AC∥BH，∴∠CAD＝∠H，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠H，∴AB＝BH＝15，∵BG⊥AH，∴AG＝GH＝7+x，∴DH＝7+2x，∵∠ADC＝∠BDH，∠CAD＝∠H，∴△ACD∽△HBD，∴，即，∴AC＝，∵∠CAD＝∠H，∴cos∠CAD＝cos∠H，∴，即，解得：x1＝﹣16（舍），x2＝5.5，∴AC＝＝．故答案为：．三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25—27题各10分，共计60分）21．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝3tan30°+2cos60°．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．解：原式＝•＝，∵x＝3×+2×＝+1，∴原式＝＝＝．22．如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中以AB为边画Rt△ABC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC＝90°，且tan ∠ACB＝；（2）在（1）的条件下，在图中画一个以EF为边且面积为12的平行四边形EFGH，点E、F在小正方形的格点上，连接CH，直接写出线段CH的长．【分析】（1）如图，作∠BAC＝90°，且边AC＝3，才能满足条件；（2）根据题意作出图形，然后根据勾股定理即可得到结论．解：（1）如图所示，Rt△BAC即为所求；（2）如图所示，平行四边形EFGH即为所求；线段CH＝＝．23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A（﹣2，1）、B（1，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）连接OA、OB，求△AOB的面积．【分析】（1）先设出一次函数和反比例函数的解析式，再把点A代入反比例函数的解析式，求出反比例函数的解析式，再把点B代入反比例函数的解析式，求出n的值，再用待定系数法即可确定一次函数的解析式；（2）设直线与x轴交与点D，求出点D的坐标，分别求出三角形AOD和三角形BOD 的面积，即可确定三角形AOB的面积．解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，设反比例函数的解析式为y＝，把点A（﹣2，1）代入y＝中，得1＝，解得n＝﹣2，∴反比例函数的解析式为y＝，把点B代入y＝，得：n＝＝﹣2，∴B（1，﹣2），把点A，B代入y＝kx+b中，得：，解得：，∴AB的解析式为y＝﹣x﹣1；（2）设AB与x轴的交点为D，取y＝0，得﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣1，∴D（﹣1，0），∴＝，，∴．24．已知：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，E在CB的延长线上，且BE＝2BD，连接AE，F是AC的中点，G是AE的中点，连接BG、BF．（1）如图1，求证：四边形AGBF是平行四边形．（2）如图2，连接GF、DF，GF与AB相交于点H，若GF＝AB，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的等边三角形．【分析】（1）由AB＝AC，AD⊥BC，根据三线合一的知识，可得BC＝2BD，又由BE＝2BD，可得B是EC的中点，又由F是AC的中点，G是AE的中点，根据三角形中位线的性质，即可得BG∥AC，BF∥AE，即可判定：四边形AGBF是平行四边形．（2）易证得四边形BGFC是平行四边形，由GF＝AB，可判定△ABC是等边三角形，继而可得△AHF，△CDF，△GHB是等边三角形．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∵BE＝2BD，∴BC＝BE，∵F是AC的中点，G是AE的中点，∴BG∥AC，BF∥AE，∴四边形AGBF是平行四边形．（2）∵F是AC的中点，G是AE的中点，∴GF∥BC，∵BG∥AC，∴四边形BGFC是平行四边形，∴GF＝BC，∵GF＝AB，AB＝AC，∴AB＝AC＝BC，即△ABC是等边三角形，∵GF∥BC，DF∥AB，BG∥AC，∴△AHF∽△ABC，△CDF∽△CBA，△GBH∽△FAH，∴△AHF，△CDF，△GHB是等边三角形，综上可得：图2中等边三角形有：△ABC，△AHF，△CDF，△GHB．25．和兴商店准备从希望机械厂购进甲、乙两种零件进行销售，若一个甲种零件的进价比一个乙种零件的进价多50元，用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍．（1）求每个甲种零件，每个乙种零件的进价分别为多少元？（2）和兴商店将甲种零件每件售价定为220元，乙种零件每件售价定为155元，商店根据市场需求，决定向该厂购进一批零件．且购进乙种零件的数量比购进甲种零件的数量的2倍还多6个，若本次购进的两种零件全部售出后，总获利大于3390元．求该商店本次购进甲种零件至少是多少个？【分析】（1）设每个乙种零件的进价为x元，则每个甲种零件的进价为（x+50）元，根据数量＝总价÷单价结合用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设该商店本次购进甲种零件m个，则购进乙种零件（2m+6）个，根据总利润＝单个利润×销售数量结合总获利大于3390元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．解：（1）设每个乙种零件的进价为x元，则每个甲种零件的进价为（x+50）元，依题意，得：＝2×，解得：x＝150，经检验，x＝150是分式方程的解，且符合题意，∴x+50＝200．答：每个甲种零件的进价为200元，则每个乙种零件的进价为150元．（2）设该商店本次购进甲种零件m个，则购进乙种零件（2m+6）个，依题意，得：（220﹣200）m+（155﹣150）（2m+6）＞3390，解得：m＞112．∵m为正整数，∴m的最小值为113．答：该商店本次购进甲种零件至少是113个．26．菱形ABCD中，∠ABC＝60°，F在CA延长线上．（1）如图1，求证：FB＝FD；（2）如图2，E是BC上一点，EC＝AF，求证：FE＝FB；（3）如图3，在（2）的条件下，过A作AG⊥FC交FD于点G，当BE＝2，G是DF中点时，求GA的长．【分析】（1）证明△BAF≌△DAF（SAS），可得结论．（2）如图2中，过点F作FH∥AB，交CB的延长线于点H．证明△CFH是等边三角形，再证明△EFC≌△BFH（SAS），可得结论．（3）如图3中，连接BD交AC于点O．证明AG＝OD，求出OD即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴∠CAB＝∠CAD，AB＝AD，∴∠BAF＝∠DAF，∵AF＝AF，∴△BAF≌△DAF（SAS），∴FB＝FD．（2）证明：如图2中，过点F作FH∥AB，交CB的延长线于点H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠CAB＝60°，∵FH∥AB，∴∠H＝∠ABC＝60°，∠CFH＝∠CAB＝60°，∴△FHC是等边三角形，∴CF＝CH＝FH，∵CA＝CB，∴AF＝BH，∵AE＝CE，∴BH＝EC，∵∠H∠FCE＝60°，∴△EFC≌△BFH（SAS），∴FE＝FB．（3）解：如图3中，连接BD交AC于点O．∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，OA＝OC，∵AG⊥AC，∴AG∥BD，∵FG＝GD，∴AF＝AO，∴AG＝OD，∵AC＝BC，AF＝EC，∴BE＝EC＝2，∴OA＝OC＝2，∴OD＝OA＝2，∴AG＝OD＝．27．如图在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b分别交x轴，y轴于点A、B，OA＝4，∠OBA的外角平分线交x轴于点D．（1）求点D的坐标；（2）点P是线段BD上一点（不与B、D重合），过点P作PC⊥BD交x轴于点C，设点P的横坐标为t，△BCD的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，PC的延长线交y轴于点E，当PC＝PB时，将射线EP绕点E 旋转45°交直线AB于点F，求F点坐标．【分析】（1）利用角平分线的性质定理和等面积法解题；（2）求面积先求底和高，利用三角形相似二次求解；（3）直线分逆时针和顺时针两种方向转，然后根据∠BPC＝90°，∠BOC＝90°可得B，P，C，O四点共圆，从而得出角等量的关系，判断三角形相似，再根据相似三角形性质，求出直线的解析式，再与联立方程组，求出F的坐标．解：（1 ）∵OA＝4，∴A（4，0），把A（4，0）代入，得：b＝﹣3，过点D作DH⊥AB于点H，则DH＝DO，BH＝BO，∵当x＝0时，y＝3，∴B（0，﹣3），∴OA＝4，BO＝BH＝3，∴，AD＝DO+OA＝DH+4，∵，∴，解得：DH＝6，∴OD＝6，∴点D的坐标为（﹣6，0），（2）过点P作PE⊥OD于点E，则△DPE∽△DBO，∵点P在直线BD上，且点P的横坐标为t，∴DE＝t+6，∵OD＝6，OB＝3，∴，∵△DPE∽△DBO，∴，∴，解得：，∵PC⊥BD，∴△PDC∽△ODB，∴，∴，∴，∴；（3）作PH垂直于x轴于点H，设射线EP绕点E逆时针旋转45°交x轴于点K，顺时针旋转45°交x轴于点G．∵∠BPC＝90°，∠BOC＝90°∴B，P，C，O四点共圆，∴∠POC＝∠PBC＝45°，∴PH＝HG，∴DH＝6﹣HG＝6﹣PH，∴，得PH＝2，∴HC＝CG＝1，∴OE＝2，∵∠KEP＝∠DBC，∠PEB＝∠BDC，∴∠KEP+∠PEB＝∠DBC+∠BDC，即∠KEO＝∠BCO，∴OE：GK＝CO：BO＝1：3，∴GK＝6，∴K（﹣6，0），∴直线KE为：y＝﹣x﹣2，联立方程组：，解得x＝12，y＝﹣6，∴F1（12，﹣6），∵∠KEP+∠PEG＝90°，∴∠DEG＝90°，∴∠OEG＝∠ODE，∴OG：OE＝OE：OD＝1：3，∴OG＝；∴G（，0），∴直线EG的解析式为：y＝3x﹣2，联立方程组：，解得x＝，y＝2，∴F2（，2），综上所述：F的坐标为（12，﹣6）或（，2）．。

九年级上月考数学试卷(9月)含答案解析

九年级上月考数学试卷(9月)含答案解析

九年级（上）月考数学试卷（9月份）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3=；④（a2+1）x2﹣a=0；⑤ =x﹣1，其中一元二次方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．若函数y=（m+1）x是二次函数，则m的值是（）A．﹣1 B．﹣1或3 C．2 D．33．用配方法解方程3x2﹣9x+1=0时，配方结果正确的是（）A．（x+）2=B．（x﹣）2=C．（x﹣）2=D．（x﹣）2=4．顶点为（5，1），形状与函数y=x2的图象相同且开口方向相反的抛物线是（）A．y=﹣+1 B．y=﹣x2﹣5 C．y=﹣（x﹣5）2﹣1 D．y=（x+5）2﹣15．已知x=1是关于x的方程（1﹣k）x2+k2x﹣1=0的根，则常数k的值为（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣16．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠07．在平面直角坐标系中，如果抛物线y=2（x﹣1）2不动，而把x轴、y轴分别向下、向左平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）A．y=2（x﹣1）2﹣2 B．y=2（x+1）2﹣2 C．y=2（x+1）2+2 D．y=2（x﹣3）2+28．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，则可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15 C．（x+4）（3﹣0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=159．若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是（）A．B．C．D．10．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．已知实数满足（x2﹣x）2﹣（x2﹣x）﹣6=0，则代数式x2﹣x+1= ．12．若关于x的方程mx2﹣（2m﹣2）x+m=0有实数根，则m的取值范围是．13．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么方程是．14．已知二次函数y=a（x﹣2）2+c（a＞0），当自变量x分别取、3、0时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，则y 1，y2，y3的大小关系是．15．在平面直角坐标系中，先将抛物线y=2x2﹣4x+8关于x轴作对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，所得抛物线的解析式是．16．函数y=ax2﹣ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点，写出a所有可能的值．三、解答题（共7小题，共72分）17．用适当的方法解下列方程（1）（x﹣3）2+2x（3﹣x）=0（2）4（x﹣3）2=9（x﹣2）2（3）（x+2）（x+3）=30（4）x（x+4）=6x+5．18．已知二次函数y=﹣﹣x+3．（1）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（2）画出抛物线的图象；（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？当x取何值时，y 有最大值还是最小值？是多少？19．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．21．如图：已知y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点，A ，B 坐标分别是（﹣1，0）和（3，0）与y 轴交于点C （0，3）．（1）求抛物线解析式，并确定其对称轴；（2）设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形？若存在，求符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知关于x 的一元二次方程：x 2﹣（m ﹣3）x ﹣m=0．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线y=x 2﹣（m ﹣3）x ﹣m 与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，则A ，B 两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x 2﹣x 1|）23．如图，直线y=5x+5交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，过A ，C 两点的二次函数y=ax 2+4x+c 的图象交x 轴于另一点B ．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，点N 是线段BC 上的动点，作ND ⊥x 轴交二次函数的图象于点D ，求线段ND 长度的最大值；（3）若点H 为二次函数y=ax 2+4x+c 图象的顶点，点M （4，m ）是该二次函数图象上一点，在x 轴、y 轴上分别找点F ，E ，使四边形HEFM 的周长最小，求出点F ，E 的坐标．2016-2017学年湖北省孝感市孝昌县九年级（上）月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3=；④（a2+1）x2﹣a=0；⑤ =x﹣1，其中一元二次方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义即可得．【解答】解：根据一元二次方程的定义，是一元二次方程的有②④这两个，故选：B．【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是关键．2．若函数y=（m+1）x是二次函数，则m的值是（）A．﹣1 B．﹣1或3 C．2 D．3【考点】二次函数的定义．【分析】根据形如y=ax2是二次函数，可得答案．【解答】解：由题意，得m2﹣2m﹣1=2且m+1≠0，解得m=3，故选：D．【点评】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义得出方程是解题关键，注意二次项的系数不等于零．3．用配方法解方程3x2﹣9x+1=0时，配方结果正确的是（）A．（x+）2=B．（x﹣）2=C．（x﹣）2=D．（x﹣）2=【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】根据配方法的方法可以对题目中的方程配方，从而可以解答本题．【解答】解：3x 2﹣9x+1=0x 2﹣3x=﹣（x ﹣）2=，故选C ．【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是明确配方法，会用配方法对方程进行变形．4．顶点为（5，1），形状与函数y=x 2的图象相同且开口方向相反的抛物线是（ ）A ．y=﹣+1B ．y=﹣x 2﹣5C ．y=﹣（x ﹣5）2﹣1D ．y=（x+5）2﹣1 【考点】二次函数的性质．【分析】根据抛物线的开口方向由a 的正负决定可求得a 的值，再利用抛物线的顶点式可求得其解析式．【解答】解：∵形状与函数y=x 2的图象相同且开口方向相反，∴a=﹣，∵抛物线顶点坐标为（5，1），∴抛物线解析式为y=﹣（x ﹣5）2+1，故选A ．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x ﹣h ）2+k 中，其对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．5．已知x=1是关于x 的方程（1﹣k ）x 2+k 2x ﹣1=0的根，则常数k 的值为（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．0或﹣1【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题；压轴题．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=1代入原方程即可求得k的值．【解答】解：当k=1时，方程（1﹣k）x2+k2x﹣1=0为一元一次方程，解为x=1；k≠1时，方程（1﹣k）x2+k2x﹣1=0为一元二次方程，把x=1代入方程（1﹣k）x2+k2x﹣1=0可得：1﹣k+k2﹣1=0，即﹣k+k2=0，可得k（k﹣1）=0，即k=0或1（舍去）；故选C．【点评】该题应注意方程与一元二次方程的区别，此题1﹣k可为0，同时此题也考查了因式分解．6．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠0【考点】根的判别式．【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k 的取值范围．【解答】解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1﹣4k＞0，∴≤k＜，且k≠0．故选：D．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次不等式的解法．7．在平面直角坐标系中，如果抛物线y=2（x﹣1）2不动，而把x轴、y轴分别向下、向左平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）A．y=2（x﹣1）2﹣2 B．y=2（x+1）2﹣2 C．y=2（x+1）2+2 D．y=2（x﹣3）2+2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据平移确定出抛物线的顶点在新坐标系中的坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：抛物线y=2（x﹣1）2的顶点坐标为（1，0），∵把x轴、y轴分别向下、向左平移2个单位，∴在新坐标系中抛物线的顶点坐标为（3，2），∴抛物线的解析式为y=2（x﹣3）2+2．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便易懂．8．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，则可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15 C．（x+4）（3﹣0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=15【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】销售问题．【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）=15即可．【解答】解：设每盆应该多植x株，由题意得（3+x）（4﹣0.5x）=15，故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．9．若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；正比例函数的图象．【专题】压轴题．【分析】根据正比例函数图象的性质确定m＜0，则二次函数y=mx2+m的图象开口方向向下，且与y 轴交于负半轴．【解答】解：∵正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，∴该正比例函数图象经过第二、四象限，且m＜0．∴二次函数y=mx2+m的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．综上所述，符合题意的只有A选项．故选A．【点评】本题考查了二次函数图象、正比例函数图象．利用正比例函数的性质，推知m＜0是解题的突破口．10．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】数形结合．【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，则当x=﹣1时，y＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到=n，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，于是可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．∴当x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴=n，∴b2=4ac﹣4an=4a（c﹣n），所以③正确；∵抛物线与直线y=n有一个公共点，∴抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）：抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．已知实数满足（x2﹣x）2﹣（x2﹣x）﹣6=0，则代数式x2﹣x+1= 4或﹣1 ．【考点】换元法解一元二次方程．【分析】设t=x2﹣x，则原方程转化为关于t的一元二次方程t2﹣t﹣6=0，利用因式分解法解该方程即可求得t的值；然后整体代入所求的代数式进行解答．【解答】解：设t=x2﹣x，由原方程，得t2﹣t﹣6=0，整理，得（t﹣3）（t+2）=0，所以t=3或t=﹣2．当t=3时，x2﹣x+1=3+1=4．当t=﹣2时，x2﹣x+1=﹣2+1=﹣1．故答案是：4或﹣1．【点评】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．12．若关于x的方程mx2﹣（2m﹣2）x+m=0有实数根，则m的取值范围是m≤．．【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】分类讨论：当m=0，方程变形为2x=0，一元一次方程有实数解；当m≠0，根据判别式的意义得到△=（2m﹣2）2﹣4m•m≥0，解得m≤，所以m≤且m≠0时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可．【解答】解：（1）当m=0，方程变形为2x=0，解得x=0；（2）当m≠0，△=（2m﹣2）2﹣4m•m≥0，解得m≤，即m≤且m≠0时，方程有两个实数根，综上所述，当m的取值范围为m≤时，方程有实数根．故答案为m≤．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．13．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么方程是50+50（1+x）+50（1+x）2=196 ．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】根据7月份的表示出8月和九月的产量即可列出方程．【解答】解：∵七月份生产零件50万个，设该厂八九月份平均每月的增长率为x，∴八月份的产量为50（1+x）万个，九月份的产量为50（1+x）2万个，∴50+50（1+x）+50（1+x）2=196，故答案为：50+50（1+x）+50（1+x）2=196．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能分别将8、9月份的产量表示出来，难度不大．14．已知二次函数y=a（x﹣2）2+c（a＞0），当自变量x分别取、3、0时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，则y 1，y2，y3的大小关系是y1＜y2＜y3．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】由抛物线开口向上，可知当x的值离对称轴越远时，其对应的函数值越大，可分别计算、3、0与x=2的距离，再比例大小即可．【解答】解：∵a＞0，∴抛物线开口向上，∴当x的值离对称轴越远时，其对应的函数值越大，∵抛物线对称轴为x=2，∴|﹣2|=2﹣＜1，|3﹣2|=1，|0﹣2|=2，∴|﹣2|＜|3﹣2|＜|0﹣2|，∴y1＜y2＜y3，故答案为：y1＜y2＜y3．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握抛物线开口向上时x的值离对称轴越远其对应的函数值越大是解题的关键．15．在平面直角坐标系中，先将抛物线y=2x2﹣4x+8关于x轴作对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，所得抛物线的解析式是y=﹣2x2﹣4x﹣8 ．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据平面直角坐标系中，二次函数关于x轴、y轴轴对称的特点得出答案．【解答】解：先将抛物线y=2x2﹣4x+8关于x轴作轴对称变换，可得新抛物线为y=﹣2x2+4x﹣8；再将所得的抛物线y=﹣2x2+4x﹣8关于y轴作轴对称变换，可得新抛物线为y=﹣2x2﹣4x﹣8．故答案为：y=﹣2x 2﹣4x ﹣8．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于x 轴、y 对称的点的坐标特点是解答此题的关键．16．函数y=ax 2﹣ax+3x+1的图象与x 轴有且只有一个交点，写出a 所有可能的值 0，1，9 ．【考点】抛物线与x 轴的交点．【专题】计算题．【分析】分类讨论：当a=0时，函数解析式为y=3x+1，此一次函数与x 轴只有一个交点；当a ≠0时，利用△=b 2﹣4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数得到△=（3﹣a ）2﹣4a=0，然后解关于a 的一元二次方程即可．【解答】解：当a=0时，函数为一次函数，此时函数图象与x 轴只有一个交点；当a ≠0时，抛物线y=ax 2+（3﹣a ）x+1的图象与x 轴有且只有一个交点，则△=（3﹣a ）2﹣4a=0，解得a 1=1，a 2=9，综上所述，当a 为0或1或9时，函数y=ax 2﹣ax+3x+1的图象与x 轴有且只有一个交点． 故答案为：0，1，9．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）：△=b 2﹣4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数；△=b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2﹣4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．注意分类讨论：a=0或a ≠0．三、解答题（共7小题，共72分）17． 用适当的方法解下列方程（1）（x ﹣3）2+2x （3﹣x ）=0（2）4（x ﹣3）2=9（x ﹣2）2（3）（x+2）（x+3）=30（4）x （x+4）=6x+5．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】（1）先提公因式x ﹣3，注意第二项中要变为﹣2x ，化成两个一次因式的积，从而求出方程的解；（2）先移项，利用平方差公式分解因式，在化简，从而求出方程的解；（3）去括号，移项，化成一般式，利用十字相乘分解因式，再求方程的解；（4）去括号，化为一般式，利用配方法解方程．【解答】解：（1）（x ﹣3）2+2x （3﹣x ）=0，（x ﹣3）（x ﹣3﹣2x ）=0，x ﹣3=0，﹣x ﹣3=0x 1=3，x 2=﹣3；（2）4（x ﹣3）2=9（x ﹣2）2，4（x ﹣3）2﹣9（x ﹣2）2=0，[2（x ﹣3）+3（x ﹣2）][2（x ﹣3）﹣3（x ﹣2）]=0，（5x ﹣12）（﹣x ）=0，5x ﹣12=0，﹣x=0，x 1=，x 2=0；（3）（x+2）（x+3）=30，x 2+5x+6﹣30=0，x 2+5x ﹣24=0，（x+8）（x ﹣3）=0，x 1=﹣8，x 2=3；（4）x （x+4）=6x+5，x 2+4x ﹣6x ﹣5=0，x 2﹣2x ﹣5=0，（x ﹣1）2=6，x ﹣1=，x 1=1+，x 2=1﹣．【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法；要根据方程的特点灵活选用合适的方法．18．已知二次函数y=﹣﹣x+3．（1）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（2）画出抛物线的图象；（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？当x取何值时，y 有最大值还是最小值？是多少？【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得其顶点坐标及对称轴；（2）可分别求得抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象；（3）结合抛物线图象及增减性可求得答案．【解答】解：（1）∵y=﹣﹣x+3=﹣（x+1）2+，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，），对称轴为x=﹣2；（2）在y=﹣﹣x+3中，令y=0可得﹣﹣x+3=0，解得x=﹣1±，令x=0可得y=3，结合（1）中的顶点坐标及对称轴，可画出其图象如图所示：（3）∵抛物线开口向下，对称轴为x=﹣1，顶点坐标为（﹣1，），∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x＞﹣1时，y随x增大而减小，当x=﹣1时，y有最大值，最大值为．【点评】本题主考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k 中，其对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．19．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+200x 斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】（1）销售量=原来销售量+下降销售量，据此列式即可；（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可．【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20=100+200x（斤）；（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）=300，解得：x=或x=1，当x=时，销售量是100+200×=200＜260；当x=1时，销售量是100+200=300（斤）．∵每天至少售出260斤，∴x=1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．【点评】本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．20．（10分）（2016•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）当x 12+x 22=6x 1x 2时，求m 的值．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）根据一元二次方程x 2﹣2x+m ﹣1=0有两个实数根，可得△≥0，据此求出m 的取值范围；（2）根据根与系数的关系求出x 1+x 2，x 1•x 2的值，代入x 12+x 22=6x 1x 2求解即可．【解答】解：（1）∵原方程有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4（m ﹣1）≥0，整理得：4﹣4m+4≥0，解得：m ≤2；（2）∵x 1+x 2=2，x 1•x 2=m ﹣1，x 12+x 22=6x 1x 2，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2=6x 1•x 2，即4=8（m ﹣1），解得：m=．∵m=＜2，∴符合条件的m 的值为．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解答本题的关键是掌握两根之和与两根之积的表达方式．21．如图：已知y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点，A ，B 坐标分别是（﹣1，0）和（3，0）与y 轴交于点C （0，3）．（1）求抛物线解析式，并确定其对称轴；（2）设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形？若存在，求符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】抛物线与x 轴的交点；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定与性质．【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式，并利用配方法求对称轴；（2）分两种情况：①当以CD 为底边时，如图2，根据两点间距离公式PD=PC ，列式计算，并根据点P 在对称轴右侧，所以x 应该大于1进行取舍；②当DC 为腰时，如图3，则P 、C 关于直线x=1对称，写出点P 的坐标．【解答】解：（1）如图1，把（﹣1，0）和（3，0）与y 轴交于点C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中得：，解得：，∴抛物线解析式为：y=﹣x 2+2x+3，y=﹣x 2+2x+3=﹣（x 2﹣2x+1﹣1）+3=﹣（x ﹣1）2+4，∴对称轴是直线x=1；（2）存在，由（1）得D （1，4），当△PDC 是等腰三角形时，分两种情况：①当以CD 为底边时，如图2，PD=PC ，设P （x ，y ），则（x ﹣1）2+（y ﹣4）2=x 2+（y ﹣3）2，解得：x+y=4，∵P 在抛物线上，∴， 4﹣x=﹣x 2+2x+3，x 1=，x 2=＜1（舍），∴y=4﹣x=4﹣=，∴P （，）， ②当DC 为腰时，如图3，则P 、C 关于直线x=1对称，∴P （2，3），综上所述，点P 的坐标为P （，）或（2，3）．【点评】本题是二次函数的综合问题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，同时根据等腰三角形的判定分两种情况进行讨论；根据两点间距离公式列方程求解．22．已知关于x 的一元二次方程：x 2﹣（m ﹣3）x ﹣m=0．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线y=x 2﹣（m ﹣3）x ﹣m 与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，则A ，B 两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x 2﹣x 1|）【考点】抛物线与x 轴的交点；根的判别式．【分析】（1）根据根的判别式，可得答案；（2）根据根与系数的关系，可得A 、B 间的距离，根据二次函数的性质，可得答案．【解答】解：（1）△=[﹣（m ﹣3）]2﹣4（﹣m ）=m 2﹣2m+9=（m ﹣1）2+8，∵（m ﹣1）2≥0，∴△=（m ﹣1）2+8＞0，∴原方程有两个不等实数根；（2）存在，由题意知x 1，x 2是原方程的两根，∴x 1+x 2=m ﹣3，x 1•x 2=﹣m ．∵AB=|x 1﹣x 2|，∴AB 2=（x 1﹣x 2）2=（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2=（m ﹣3）2﹣4（﹣m ）=（m ﹣1）2+8，∴当m=1时，AB 2有最小值8，∴AB 有最小值，即AB==2【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点，利用了根的判别式，根据根与系数的关系，利用完全平方公式得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．23．如图，直线y=5x+5交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，过A ，C 两点的二次函数y=ax 2+4x+c 的图象交x 轴于另一点B ．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，点N 是线段BC 上的动点，作ND ⊥x 轴交二次函数的图象于点D ，求线段ND 长度的最大值；（3）若点H 为二次函数y=ax 2+4x+c 图象的顶点，点M （4，m ）是该二次函数图象上一点，在x 轴、y 轴上分别找点F ，E ，使四边形HEFM 的周长最小，求出点F ，E 的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A ，C 两点的坐标，再根据待定系数法可求二次函数的表达式；（2）根据坐标轴上点的坐标特征由二次函数的表达式求出B 点的坐标，根据待定系数法可求一次函数BC 的表达式，设ND 的长为d ，N 点的横坐标为n ，则N 点的纵坐标为﹣n+5，D 点的坐标为D （n ，﹣n 2+4n+5），根据两点间的距离公式和二次函数的最值计算可求线段ND 长度的最大值；（3）由题意可得二次函数的顶点坐标为H （2，9），点M 的坐标为M （4，5），作点H （2，9）关于y 轴的对称点H 1，可得点H 1的坐标，作点M （4，5）关于x 轴的对称点HM 1，可得点M 1的坐标连结H 1M 1分别交x 轴于点F ，y 轴于点E ，可得H 1M 1+HM 的长度是四边形HEFM 的最小周长，再根据待定系数法可求直线H 1M 1解析式，根据坐标轴上点的坐标特征可求点F 、E 的坐标．【解答】解：（1）∵直线y=5x+5交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，∴A （﹣1，0），C （0，5），∵二次函数y=ax 2+4x+c 的图象过A ，C 两点，∴，解得，∴二次函数的表达式为y=﹣x 2+4x+5；（2）如图1，∵点B 是二次函数的图象与x 轴的交点，∴由二次函数的表达式为y=﹣x 2+4x+5得，点B 的坐标B （5，0），设直线BC 解析式为y=kx+b ，∵直线BC 过点B （5，0），C （0，5），∴，解得，∴直线BC 解析式为y=﹣x+5，设ND 的长为d ，N 点的横坐标为n ，则N 点的纵坐标为﹣n+5，D 点的坐标为D （n ，﹣n 2+4n+5），则d=|﹣n 2+4n+5﹣（﹣n+5）|，由题意可知：﹣n 2+4n+5＞﹣n+5，∴d=﹣n 2+4n+5﹣（﹣n+5）=﹣n 2+5n=﹣（n ﹣）2+，∴当n=时，线段ND 长度的最大值是； （3）如图2中，由题意可得二次函数的顶点坐标为H （2，9），点M 的坐标为M （4，5），作点H （2，9）关于y 轴的对称点H 1，则点H 1的坐标为H 1（﹣2，9），作点M （4，5）关于x 轴的对称点HM 1，则点M 1的坐标为M 1（4，﹣5），连结H 1M 1分别交x 轴于点F ，y 轴于点E ，所以H 1M 1+HM 的长度是四边形HEFM 的最小周长，则点F 、E 即为所求，设直线H 1M 1解析式为y=k 1x+b 1，直线H 1M 1过点M 1（4，﹣5），H 1（﹣2，9），根据题意得方程组，解得，∴y=﹣x+，∴点F，E的坐标分别为（，0）（0，）．【点评】此题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的表达式，待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的顶点坐标，两点间的距离公式，二次函数的最值，轴对称﹣最短路线问题，方程思想的应用，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会利用对称解决最短问题，属于中考压轴题．。

湖南省长沙市长郡教育集团2024-2025学年九年级上学期数学9月月考模拟试卷(含详解)

湖南省长沙市长郡教育集团2024-2025学年九年级上学期数学9月月考模拟试卷(含详解)

湖南省长沙市长郡教育集团2024-2025学年九年级上学期数学9月月考模拟试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）如图各交通标志中，不是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．（3分）地球上的陆地面积约为149000000平方千米，这个数字用科学记数法表示应为（ ）A．0.149×106B．1.49×107C．1.49×108D．14.9×1073．（3分）下列计算正确的是（ ）A．x2•x3＝x5B．（x3）3＝x6C．x（x+1）＝x2+1D．（2a﹣1）2＝4a2﹣14．（3分）下面是2024年丽江市某周发布的最高温度：16℃，19℃，22℃，24℃，26℃，24℃，23℃．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）A．中位数是24B．众数是24C．平均数是20D．方差是95．（3分）下列关于x的一元一次不等式x﹣1＞0的解集在数轴上的表示正确的是（ ）A．B．C．D．6．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝40°，那么∠AOE＝（ ）A．40°B．60°C．80°D．120°7．（3分）关于函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（ ）A．图象必经过点（﹣2，1）B．图象经过第一、二、三象限C．图象与直线y＝﹣2x+3平行D．y随x的增大而增大8．（3分）如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G，若∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）A．60°B．55°C．50°D．45°9．（3分）函数y＝ax+b与y＝ax2+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A．B．C．D．10．（3分）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（ ）A．8B．12C．16D．18二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）因式分解：﹣a2﹣6a﹣9＝ ．12．（3分）请写出一个经过点（0，﹣2），且y随着x增大而增大的一次函数： ．13．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＞0的解集是　．14．（3分）石拱桥的主桥拱是圆弧形．如图，一石拱桥的跨度AB＝16m，拱高CD＝4m，那么桥拱所在圆的半径OA＝ m．15．（3分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为 ．16．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点M在AD的延长线上，∠CDM＝71°，则∠AOC＝ ．三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）计算：．18．（6分）先化简，再求值：（y+1）2﹣（y﹣1）（y+5），其中y＝﹣．19．（6分）如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．（1）点A关于点O中心对称的点的坐标为 ；（2）△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A1OB1，在图中画出△A1OB1，并写出点B1的坐标：　．20．（8分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：∠AEB＝∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC＝130°，求∠BED的度数．21．（8分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝45°，∠APD＝75°．（1）求∠B的大小；（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．22．（9分）如图，已知抛物线y＝（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．23．（9分）国庆节期间，某品牌月饼经销商销售甲、乙两种不同味道的月饼，已知一个甲种月饼和一个乙种月饼的进价之和为14元，每个甲种月饼的利润是6元，每个乙种月饼的售价比其进价的2倍少1元，小王同学买4个甲种月饼和3个乙种月饼一共用了89元．（1）甲、乙两种月饼的进价分别是多少元？（2）在（1）的前提下，经销商统计发现：平均每天可售出甲种月饼200个和乙种月饼150个．如果将两种月饼的售价各提高1元，则每天将少售出50个甲种月饼和40个乙种月饼．为使每天获取的利润更多，经销商决定把两种月饼的价格都提高x元．在不考虑其他因素的条件下，当x为多少元时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种月饼获取的利润为2650元？24．（10分）如图（1），正方形ABCD和正方形AEFG，边AE在边AB上，AB＝12，AE＝6，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转a（0°≤α≤45°）．（1）如图（2），正方形AEFG旋转到此位置，求证：BE＝DG；（2）在旋转的过程中，当∠BEA＝120°时，试求BE的长；（3）BE的延长线交直线DG于点P，在旋转的过程中，是否存在某时刻BF＝BC？若存在，试求出DP 的长；若不存在，请说明理由．25．（10分）如图1所示，直线与x轴、y轴分别相交于点A，点B，点C（1，2）在经过点A，B的二次函数y＝ax2+bx+c的图象上．（1）求抛物线的解析式：（2）点P为线段AB上（不与端点重合）的一动点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，求PQ+PB 取得最大值时点P的坐标；（3）如图2，连接BC并延长，交x轴于点D，E为第三象限抛物线上一点，连接DE，点G为x轴上一点，且G（﹣1，0），直线CG与DE交于点F，点H在线段CF上，且∠CFD+∠ABH＝45°，连接BH交OA于点M，已知∠GDF＝∠HBO，求点H的坐标．湖南省长沙市长郡教育集团2024-2025学年九年级上学期数学9月月考模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）如图各交通标志中，不是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项符合题意；B、C、D是中心对称图形，故B、C、D选项不符合题意．故选：A．2．（3分）地球上的陆地面积约为149000000平方千米，这个数字用科学记数法表示应为（ ）A．0.149×106B．1.49×107C．1.49×108D．14.9×107【解答】解：将149000000用科学记数法表示为：1.49×108．故选：C．3．（3分）下列计算正确的是（ ）A．x2•x3＝x5B．（x3）3＝x6C．x（x+1）＝x2+1D．（2a﹣1）2＝4a2﹣1【解答】解：A、x2•x3＝x5，本选项符合题意；B、（x3）3＝x9≠x6，本选项不符合题意；C、x（x+1）＝x2+x，本选项不符合题意；D、（2a﹣1）2＝4a2﹣4a+1≠4a2﹣1，本选项不符合题意；故选：A．4．（3分）下面是2024年丽江市某周发布的最高温度：16℃，19℃，22℃，24℃，26℃，24℃，23℃．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）A．中位数是24B．众数是24C．平均数是20D．方差是9【解答】解：将数据按从小到大排列为：16、19、22、23、24、24、29，故中位数为：23，故A选项错误，不符合题意；众数是24，故B选项正确，符合题意；平均数为，故C错误，不符合题意；方差是：，故D选项错误，不符合题意；故选：B．5．（3分）下列关于x的一元一次不等式x﹣1＞0的解集在数轴上的表示正确的是（ ）A．B．C．D．【解答】解：解不等式x﹣1＞0得，x＞1，在数轴上表示如图，．故选：B．6．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝40°，那么∠AOE＝（ ）A．40°B．60°C．80°D．120°【解答】解：∵D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝40°∴∠EOD＝∠COD＝∠BOC＝40°∴∠AOE＝60°．故选：B．7．（3分）关于函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（ ）A．图象必经过点（﹣2，1）B．图象经过第一、二、三象限C．图象与直线y＝﹣2x+3平行D．y随x的增大而增大【解答】解：A、当x＝﹣2，y＝﹣2x+1＝﹣2×（﹣2）+1＝5，则点（﹣2，1）不在函数y＝﹣2x+1图象上，故本选项错误；B、由于k＝﹣2＜0，则函数y＝﹣2x+1的图象必过第二、四象限，b＝1＞0，图象与y轴的交点在x的上方，则图象还过第一象限，故本选项错误；C、由于直线y＝﹣2x+1与直线y＝﹣2x+3的倾斜角相等且与y轴交于不同的点，所以它们相互平行，故本选项正确；D、由于k＝﹣2＜0，则y随x增大而减小，故本选项错误；故选：C．8．（3分）如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G，若∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）A．60°B．55°C．50°D．45°【解答】解：∵EG平分∠BEF，∴∠BEG＝∠GEF，∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠2，∴∠2＝∠GEF，∵AB∥CD，∴∠1+∠2+∠GEF＝180°，∴∠2＝（180°﹣70°）＝55°．故选：B ．9．（3分）函数y ＝ax +b 与y ＝ax 2+b （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：选项A 中，函数y ＝ax +b 中的a ＞0，b ＞0，二次函数y ＝ax 2+b 中a ＞0，b ＞0，故选项A 符合题意；选项B 中，函数y ＝ax +b 中的a ＞0，b ＜0，二次函数y ＝ax 2+b 中a ＞0，b ＞0，故选项B 不符合题意；选项C 中，函数y ＝ax +b 中的a ＞0，b ＜0，二次函数y ＝ax 2+b 中a ＜0，b ＞0，故选项C 不符合题意；选项D 中，函数y ＝ax +b 中的a ＞0，b ＞0，二次函数y ＝ax 2+b 中a ＜0，b ＞0，故选项D 不符合题意；故选：A ．10．（3分）如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D ，且DC +DA ＝12，⊙O 的直径为20，则AB 的长等于（ ）A ．8B ．12C ．16D ．18【解答】解：连接OC ，过O 作OF ⊥AB ，垂足为F ，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC＝∠CAO，∴∠DAC＝∠OCA，∴PB∥OC，∵CD⊥PA，∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，∴四边形DCOF为矩形，∴OC＝FD，OF＝CD．∵DC+DA＝12，设AD＝x，则OF＝CD＝12﹣x，∵⊙O的直径为20，∴DF＝OC＝10，∴AF＝10﹣x，在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2．即（10﹣x）2+（12﹣x）2＝102，解得x1＝4，x2＝18．∵CD＝12﹣x大于0，故x＝18舍去，∴x＝4，∴AD＝4，AF＝10﹣4＝6，∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB＝2AF＝12．故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）因式分解：﹣a2﹣6a﹣9＝　﹣（a+3）2　．【解答】解：﹣a2﹣6a﹣9＝﹣（a2﹣+6a+9）＝﹣（a+3）2．故答案为：﹣（a+3）2．12．（3分）请写出一个经过点（0，﹣2），且y随着x增大而增大的一次函数：　y＝x﹣2（答案不唯一）　．【解答】解：设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0）．∵y随着x增大而增大，∴k＞0，∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，﹣2），取k＝1，∴﹣2＝1×0+b，∴b＝﹣2，∴一次函数的解析式可以为y＝x﹣2．故答案为：y＝x﹣2（答案不唯一）．13．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＞0的解集是　﹣1＜x＜3　．【解答】解：∵由函数图象可知，当﹣1＜x＜3时，函数图象在x轴的下方，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜3．故答案为：﹣1＜x＜3．14．（3分）石拱桥的主桥拱是圆弧形．如图，一石拱桥的跨度AB＝16m，拱高CD＝4m，那么桥拱所在圆的半径OA＝　10　m．【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝16m，∴AD＝BD＝8m，设BO＝x m，则DO＝（x﹣4）m，在Rt△OBD中，得：BD2+DO2＝BO2，即82+（x﹣4）2＝x2，解得：x＝10，即桥拱所在圆的半径是10m．故答案为：10．15．（3分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为　1　．【解答】解：∵x＝3是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得32﹣3k﹣6＝0，解此方程得到k＝1．16．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点M在AD的延长线上，∠CDM＝71°，则∠AOC＝　142°　．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B＝∠CDM＝71°，∴∠AOC＝2∠B＝2×71°＝142°，故答案为：142°．三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）计算：．【解答】解：原式＝2﹣+4﹣1+＝2﹣+4﹣1+﹣1＝4．18．（6分）先化简，再求值：（y+1）2﹣（y﹣1）（y+5），其中y＝﹣．【解答】解：（y+1）2﹣（y﹣1）（y+5）＝y2+2y+1﹣（y2+4y﹣5）＝y2+2y+1﹣y2﹣4y+5＝﹣2y+6，当时，原式＝．19．（6分）如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．（1）点A关于点O中心对称的点的坐标为　（﹣3，﹣2）　；（2）△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A1OB1，在图中画出△A1OB1，并写出点B1的坐标：　（3，﹣1）　．【解答】解：（1）如图，点A′即为所求作．A′（﹣3，﹣2）．故答案为：（﹣3，﹣2）．（2）如图，△A1OB1即为所求作，点B1的坐标（3，﹣1）．故答案为：（3，﹣1）．20．（8分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：∠AEB＝∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC＝130°，求∠BED的度数．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE＝60°，AE＝AD，∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC，∴∠EAB＝∠DAC，在△EAB和△DAC中，，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠AEB＝∠ADC；（2）解：如图，连接DE，∵∠DAE＝60°，AE＝AD，∴△EAD为等边三角形，∴∠AED＝60°，又∵∠AEB＝∠ADC＝130°，∴∠BED＝130°﹣60°＝70°．21．（8分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝45°，∠APD＝75°．（1）求∠B的大小；（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．【解答】解：（1）∵∠CAB＝45°，∠APD＝75°．∴∠C＝∠APD﹣∠CAB＝30°，∵由圆周角定理得：∠C＝∠B，∴∠B＝30°；（2）过O作OE⊥BD于E，∵OE过O，∴BE＝DE，∵圆心O到BD的距离为3，∴OE＝3，∵AO＝BO，DE＝BE，∴AD＝2OE＝6．22．（9分）如图，已知抛物线y＝（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．【解答】解：（1）将M（﹣2，﹣2）代入抛物线解析式得：﹣2＝（﹣2﹣2）（﹣2+a），解得：a＝4；（2）①由（1）抛物线解析式y＝（x﹣2）（x+4），当y＝0时，得：0＝（x﹣2）（x+4），解得：x1＝2，x2＝﹣4，∵点B在点C的左侧，∴B（﹣4，0），C（2，0），当x＝0时，得：y＝﹣2，即E（0，﹣2），∴S△BCE＝×6×2＝6；②由抛物线解析式y＝（x﹣2）（x+4），得对称轴为直线x＝﹣1，根据C与B关于抛物线对称轴直线x＝﹣1对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，设直线BE解析式为y＝kx+b，将B（﹣4，0）与E（0，﹣2）代入得：，解得：，∴直线BE解析式为y＝﹣x﹣2，将x＝﹣1代入得：y＝﹣2＝﹣，则H（﹣1，﹣）．23．（9分）国庆节期间，某品牌月饼经销商销售甲、乙两种不同味道的月饼，已知一个甲种月饼和一个乙种月饼的进价之和为14元，每个甲种月饼的利润是6元，每个乙种月饼的售价比其进价的2倍少1元，小王同学买4个甲种月饼和3个乙种月饼一共用了89元．（1）甲、乙两种月饼的进价分别是多少元？（2）在（1）的前提下，经销商统计发现：平均每天可售出甲种月饼200个和乙种月饼150个．如果将两种月饼的售价各提高1元，则每天将少售出50个甲种月饼和40个乙种月饼．为使每天获取的利润更多，经销商决定把两种月饼的价格都提高x元．在不考虑其他因素的条件下，当x为多少元时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种月饼获取的利润为2650元？【解答】解：（1）设甲种月饼的进价是x元/个，乙种月饼的进价是y元/个，则，解得．故甲种月饼的进价是8元/个，乙种月饼的进价是6元/个；（2）依题意有（6+x）（200﹣50x）+（6﹣1+x）（150﹣40x）＝2650，解得x1＝1，x2＝﹣，∵x＞0，∴x＝1．答：当x为1元时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种月饼获取的利润为2650元．24．（10分）如图（1），正方形ABCD和正方形AEFG，边AE在边AB上，AB＝12，AE＝6，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转a（0°≤α≤45°）．（1）如图（2），正方形AEFG旋转到此位置，求证：BE＝DG；（2）在旋转的过程中，当∠BEA＝120°时，试求BE的长；（3）BE的延长线交直线DG于点P，在旋转的过程中，是否存在某时刻BF＝BC？若存在，试求出DP 的长；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝∠DAG+∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴BE＝DG；（2）解：如图1，过点A作AH⊥BE交BE的延长线于点H，∵∠BEA＝120°，∴∠AEH＝180°﹣∠BEA＝60°，∵∠AHE＝90°，∴∠EAH＝90°﹣60°＝30°，∴EH＝AE＝×6＝3，∴AH＝＝＝3，在Rt△ABH中，BH＝＝＝3，∴BE＝BH﹣EH＝3﹣3；（3）解：存在．如图2，连接AF，∵四边形AEFG是正方形，∴AE＝EF＝6，∠AEF＝90°，∴AF＝＝＝12，∵BF＝BC＝AB＝12，∴AF＝BF＝AB＝12，∴△ABF是等边三角形，∵BA＝BF，EA＝EF，∴BE是线段AF的垂直平分线，∵EG是线段AF的垂直平分线，∴直线BE与直线EG是同一条直线，∴点P与点G重合，即DP＝DG，设EG与AF交于点O，则AO＝EO＝AF＝6，∠AOB＝90°，∴BO＝＝＝6，∴BE＝BO﹣EO＝6﹣6，∵∠BAE+∠EAD＝∠DAG+∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴DG＝BE，∴DP＝BE＝6﹣6．25．（10分）如图1所示，直线与x轴、y轴分别相交于点A，点B，点C（1，2）在经过点A，B的二次函数y＝ax2+bx+c的图象上．（1）求抛物线的解析式：（2）点P为线段AB上（不与端点重合）的一动点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，求PQ+PB 取得最大值时点P的坐标；（3）如图2，连接BC并延长，交x轴于点D，E为第三象限抛物线上一点，连接DE，点G为x轴上一点，且G（﹣1，0），直线CG与DE交于点F，点H在线段CF上，且∠CFD+∠ABH＝45°，连接BH交OA于点M，已知∠GDF＝∠HBO，求点H的坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于点A，点B，∴A（﹣4，0），B（0，3），∵点C（1，2）在经过点A，B的二次函数y＝ax2+bx+c的图象上．∴，∴，∴y＝﹣x2﹣x+3；（2）如图，作PD⊥OB于D，设Q（m，﹣m2﹣m+3），P（m，m+3），∴PQ＝﹣m2﹣m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣m，∵PD∥OA，∴△BPD∽△BAO，∴＝，∵A（﹣4，0），B（0，3），∴AB＝＝＝5，∴，∴PB＝﹣m，∴PQ+PB＝﹣m2﹣m﹣m＝﹣m2﹣m＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，PQ+PB取得最大值，∵×（﹣）+3＝，∴P（﹣，）；（3）如图，作CN⊥AD于N，作MT⊥AB于T，∵C（1，2），G（﹣1，0），∴CN＝GN＝2，∴∠CGN＝∠NCG＝45°，∴∠CFD+∠GDF＝45°，∵∠CFD+∠ABH＝45°，∴∠GDF＝∠ABH，∵∠GDF＝∠HBO，∴∠ABH＝∠HBO，∴OM＝MT，∵S△ABM+S△BOM＝S△AOB，∴AB•MT+OB•OM＝OB•OA，∴5OM+3OM＝3×4，∴OM＝，∴M（﹣，0），∴直线BM的解析式为：y＝2x+3，∵C（1，2），G（﹣1，0），∴直线CG的解析式为：y＝x+1，由2x+3＝x+1得，x＝﹣2，∴x+1＝﹣1，∴H（﹣2，﹣1）．。

湖北省武汉市江岸区七一华源中学2022-2023学年九年级上学期月考数学试卷(9月份)(含答案)

湖北省武汉市江岸区七一华源中学2022-2023学年九年级上学期月考数学试卷(9月份)(含答案)

2022-2023学年湖北省武汉市江岸区七一华源中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含答案与详细解析）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）方程5x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．5、﹣1、4B．5、﹣1、﹣4C．5、﹣4、﹣1D．5、4、﹣1 2．（3分）把方程x2﹣6x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值是（）A．3、8B．3、10C．﹣3、3D．﹣3、103．（3分）关于关于x的一元二次方程5x2﹣3x＝x+1的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法判断4．（3分）菱形没有而正方形具有的性质是（）A．对角线相等B．邻边相等C．对角线互相垂直D．对角线平分对角5．（3分）向阳村2010年的人均年收入为12000元，2012年的人均年收入为14520元．设人均年收入的平均增长率为x，则下列所列的方程中正确的是（）A．14520（1﹣x2）＝12000B．12000（1+x）2＝14520C．14520（1+x）2＝12000D．12000（1﹣x）2＝145206．（3分）对于抛物线y＝﹣（x+1）2﹣5，下列的说法错误的是（）A．抛物线的开口向下B．抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣5）C．当x＜1时，y随x的增大而增大D．当x＞1时，y随x的增大而减小7．（3分）抛物线y＝﹣5x2可由y＝﹣5（x+2）2﹣6如何平移得到（）A．先向右平移2个单位，再向下平移6个单位B．先向左平移2个单位，再向上平移6个单位C．先向左平移2个单位，再向下平移6个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移6个单位8．（3分）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，童威看错了常数项，得到方程的两个根是﹣3、﹣1，胖何看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5、﹣4，则原来的方程是（）A．x2+4x﹣3＝0B．x2+4x﹣20＝0C．x2﹣4x﹣20＝0D．x2﹣4x﹣3＝0 9．（3分）如表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的一个近似解x的范围是（）x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣11﹣5﹣111…A．﹣1＜x＜0B．1＜x＜2C．2＜x＜3D．3＜x＜410．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为正数）经过A（1，4）、B（2，12）两点，则b2﹣4ac的值可能为（）A．4B．0C．﹣15D．﹣二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）方程x2＝x的根是．12．（3分）已知直线y＝2x和抛物线y＝ax2相交于点（2，b），则a+b＝．13．（3分）如果关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，那么m的取值范围是．14．（3分）若抛物线y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝2交于A、B两点，则AB＝．15．（3分）二次函数的图象如图所示，给出四个结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③对于任意实数m，有am2+bm+c＜a﹣b+c；④＞﹣3，其中正确的有．16．（3分）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BCD＝45°，∠CAD＝2∠ACB．过点D作DE⊥AC于E，交BC于F．若AB＝6，则FC＝．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）解方程：3x2+6x﹣1＝0．18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）当x12+x22＝6x1x2时，求m的值．19．（8分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？20．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．（1）在下方坐标系中画出函数的图象；（2）若﹣2≤x≤5时，则y的取值范围是；（3）若A（x1，y1）、B（x2，y2）在此抛物线上，且x1＜1＜x2，x1+x2﹣2＜0，则y1y2．21．（8分）如图，A、B、C是三个格点，点M是线段AC上一格点．（1）在图1中，在线段BC上找一点N，使得MN∥AB；（2）在图2中，在线段BC上找一点D，使得∠CDM＝45°；（3）在图3中，在AB上确定一点P，使∠APM＝∠BPC．22．（10分）某商场购进A、B两种服装共100件，已知购进这100件服装的费用不得超过。

九年级(上)月考数学试卷(9月份)(含答案)

九年级(上)月考数学试卷(9月份)(含答案)

2020-2020云南省昆明市长水中澳国际中学九级（上）月考数学试卷（9月份）一、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）1．（3分）当a时，关于x的方程（a﹣2）x2+2x﹣3=0是一元二次方程．2．（3分）把方程（x﹣1）（x﹣2）=4化成一般形式是．3．（3分）一元二次方程x2﹣9=0的解是．4．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，方程ax2+bx+c=0的解是．5．（3分）二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是y1y2（填“＞”、“＜”、“=”）6．（3分）抛物线y=x2+1的最小值是．二、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）7．（4分）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2B．2C．4D．﹣38．（4分）下列方程中没有实数根的是（）A．x2+x﹣1=0B．x2+8x+1=0C．x2+x+2=0D．x2﹣2x+2=09．（4分）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A．14B．12C．12或14D．以上都不对10．（4分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＜1且k≠0C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0 11．（4分）已知b＜0，关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根12．（4分）下列各式中，y是x的二次函数的是（）A．xy+x2=1B．x2+y﹣2=0C．y2﹣ax=﹣2D．x2﹣y2+1=0 13．（4分）关于x的方程x2﹣mx﹣2=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定14．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a+b+c＞0；②a﹣b+c＞0；③abc=0；④2a﹣b=0，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题（共9个小题，共70分）15．（5分）用配方法解方程：x2﹣2x﹣8=0．16．（5分）根据要求解方程（1）x2+3x﹣4=0（公式法）；（2）x2+4x﹣12=0（配方法）；（3）（x+3）（x﹣1）=5；（4）（x+4）2=5（x+4）．17．（10分）解方程（1）3（x﹣1）2﹣6=0（2）5x2﹣3x=x+118．（8分）已知二次函数y=x2﹣2x+c的部分图象如图所示．（1）求c的取值范围；（2）若抛物线经过点（0，﹣1），试确定抛物线y=x2﹣2x+c的函数表达式．19．（8分）我校九年级组织一次班际篮球赛，若赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），则需安排45场比赛．问共有多少个班级球队参加比赛？20．（6分）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1=0，求证：方程有两个不相等的实数根．21．（8分）如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．22．（8分）已知函数y=（k﹣2）x k2﹣4k+5+2x是关于x的二次函数．求：（1）满足条件的k的值；（2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y 随x的增大而增大？23．（12分）抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于点（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与x轴的交点坐标；（3）画出这条抛物线大致图象；（4）根据图象回答：①当x取什么值时，y＞0？②当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？参考答案一、填空题1．【解答】解：由题意得：a﹣2≠0，解得：a≠2，故答案为：≠2．2．【解答】解：（x﹣1）（x﹣2）=4，x2﹣2x﹣x+2﹣4=0，x2﹣3x﹣2=0．故答案为：x2﹣3x﹣2=0．3．【解答】解：∵x2﹣9=0，∴x2=9，解得：x1=3，x2=﹣3．故答案为：x1=3，x2=﹣3．4．【解答】解：根据图示知，抛物线y=ax2+bx+c图象的对称轴是x=1，与x轴的一个交点坐标为A（3，0），根据抛物线的对称性知，抛物线y=ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x=1对称，即抛物线y=ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与A（3，0）关于直线x=1对称，∴另一个交点的坐标为（﹣1，0），∴方程ax2+bx+c=0的另一个解是x=﹣1．故答案为x=﹣1或x=3．5．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x1＜x2＜1，∴y1＜y2．故答案为＜．6．【解答】解：抛物线y=x2+1的最小值是1．故答案为：1．二、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）7．【解答】解：设一元二次方程的另一根为x1，则根据一元二次方程根与系数的关系，得﹣1+x1=﹣3，解得：x1=﹣2．故选：A．8．【解答】解：A、x2+x﹣1=0中，△=b2﹣4ac=5＞0，有实数根；B、x2+8x+1=0中，△=b2﹣4ac=60＞0，有实数根；C、x2+x+2=0中，△=b2﹣4ac=﹣7＜0，没有实数根；D、x2﹣2x+2=0中，△=b2﹣4ac=0，有实数根．故选：C．9．【解答】解：解方程x2﹣12x+35=0得：x=5或x=7．当x=7时，3+4=7，不能组成三角形；当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．∴该三角形的周长为3+4+5=12，故选B．10．【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4+4k＞0，且k≠0，解得：k＞﹣1且k≠0．故选：D．11．【解答】解：∵（x﹣1）2=b中b＜0，∴没有实数根，故选：C．12．【解答】解：A、变形得y=，不是二次函数，错误；B、由x2+y﹣2=0，得y=﹣x2+2，是二次函数，正确；C、y的指数是2，不是函数，错误；D、y的指数是2，不是函数，错误．故选：B．13．【解答】解：△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣2）=m2+8，∵m2≥0，∴m2+8＞0，即△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．14．【解答】解：∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0；所以①错误；∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0；所以②正确；∵抛物线过原点，∴c=0，∴abc=0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∴x=﹣=﹣1，∴2a﹣b=0，所以④正确．故选：C．三、解答题（共9个小题，共70分）15．【解答】解：方程移项得：x2﹣2x=8，配方得：x2﹣2x+1=9，即（x﹣1）2=9，开方得：x﹣1=3或x﹣1=﹣3，解得：x1=4，x2=﹣2．16．【解答】解：（1）x2+3x﹣4=0，△=32﹣4×1×（﹣4）=25＞0，则x=，解得x1=﹣4，x2=1；（2）x2+4x﹣12=0，x2+4x=12，（x+2）2=16，x+2=±4，解得x1=﹣6，x2=2；（3）（x+3）（x﹣1）=5，x2+2x﹣3=5，x2+2x﹣8=0，（x+4）（x﹣2）=0，解得x1=﹣4，x2=2；（4）（x+4）2=5（x+4），（x+4）2﹣5（x+4）=0，（x+4﹣5）（x+4）=0，（x﹣1）（x+4）=0，解得x1=1，x2=﹣4．17．【解答】解：（1）3（x﹣1）2﹣6=0（x﹣1）2=2，x﹣1=±，所以x1=1+，x2=1﹣；（2）5x2﹣3x=x+15x2﹣4x﹣1=0，分解因式得：（5x+1）（x﹣1）=0，可得5x+1=0或x﹣1=0，解得：x1=﹣，x2=118．【解答】解：（1）∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0；（2）∵抛物线经过点（0，﹣1），∴c=﹣1，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣1．19．【解答】解：设共有x个班级球队参加比赛，根据题意得：=45，整理得：x2﹣x﹣90=0，即（x﹣10）（x+9）=0，解得：x=10或x=﹣9（舍去）．则共有10个班级球队参加比赛．20．【解答】证明：∵△=（m+2）2﹣4×1×（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，而（m﹣2）2≥0，故△＞0．所以方程有两个不相等的实数根．21．【解答】解：设小路的宽为xm，依题意有（40﹣x）（32﹣x）=1140，整理，得x2﹣72x+140=0．解得x1=2，x2=70（不合题意，舍去）．答：小路的宽应是2m．22．【解答】解：（1）函数y=（k﹣2）x k2﹣4k+5+2x是关于x的二次函数，得，解得k=1或k=3；（2）当k=1时，函数y=﹣x2+2x有最高点；y=﹣（x﹣1）2+1，最高点的坐标为（1，1），当x＜1时，y随x的增大而增大．23．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于点（0，3），∴3=﹣02+（m﹣1）×0+m，解得m=3∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，（2）令y=0，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．（3）画出大致图象为：（4）由图象可知：①当﹣1＜x＜3时，y＞0；②当x＞1时，y的值随x的增大而减小．第11页共11页。

九年级上月考数学试卷(9月)含答案解析

九年级上月考数学试卷(9月)含答案解析

2015-2016吉林省长春九年级（上）月考数学试卷（9月份）一、选择题1．下列运算正确的是（）A．B．C．D．2．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x+2）2=9 C．（x﹣1）2=6 D．（x﹣2）2=93．下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A． B．C．D．4．若，则=（）A．B．C．D．5．如图，已知D、E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE ：S四边形DBCE=1：8，那么AE：AC等于（）A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：26．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．07．如图，等边三角形ABC的边长为4，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点．若∠APD=60°，则CD的长为（）A．B．C．D．18．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题9．=2x﹣3，x的取值范围是．10．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=80mm，高AD=60mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是mm．11．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，如果要使△ABC∽△DCA，那么还要补充的一个条件是．（只要求写出一个条件即可）12．小亮的身高是1.6米，某一时刻他在水平面上的影长是2米，若同一时刻测得附近一古塔在水平地面上的影长为20米，则古塔的高度是米．13．如图（1），在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为x m，从图（2）的思考方式出发列出的方程是．14．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3厘米，BC=4厘米，点P从A沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如P与Q同时出发，且当一点移动到端点并停止时，另一点也同时停下，秒后三角形PBQ的面积为2平方厘米．三、解答题15．（1）计算：﹣﹣；（2）计算：（）﹣2﹣|2﹣3|+．16．解方程：（1）x2﹣2x=0；（2）30x2﹣45=0．17．解方程：x2+3x+1=0．18．解方程：（x﹣5）（x﹣6）=x﹣5．19．已知y=++3，求﹣的值．20．某企业2012年盈利3000万元，2014年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利4320万元，从2012年到2014年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业每年盈利的年增长率？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2015年盈利多少万元？21．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB 和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F．（1）求证：△ACB∽△DCE；（2）求证：EF⊥AB．22．已知▱ABCD的两边AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根，当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长．23．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．24．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF ⊥AE于F．（1）求证：△PFA∽△ABE；（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．2015-2016吉林省长春九年级（上）月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、选择题1．下列运算正确的是（）A．B．C．D．【考点】二次根式的混合运算．【分析】根据二次根式的混合运算的相关知识进行解答．需要注意的是，无论怎么化简、变形，原式值的符号不能改变．【解答】解：A、原式=6×=3，故A错误；B、原式=﹣，故B错误；C、a2=a2×=a，故C错误；D、原式=3﹣2=，故D正确．故选D．2．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x+2）2=9 C．（x﹣1）2=6 D．（x﹣2）2=9【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：由原方程移项，得x2﹣2x=5，方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得x2﹣2x+1=6∴（x﹣1）2=6．故选：C．3．下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A． B．C．D．【考点】同类二次根式．【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．【解答】解：A、=2，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故A选项错误；B、=，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故B选项错误；C、=，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故C选项错误；D、=3，与的被开方数相同，是同类二次根式，故D选项正确．故选：D．4．若，则=（）A．B．C．D．【考点】比例的性质．【分析】由题干可得2b=3a﹣3b，根据比等式的性质即可解得a、b的比值．【解答】解：∵，∴5b=3a，∴，故选D．5．如图，已知D、E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE ：S四边形DBCE=1：8，那么AE：AC等于（）A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：2 【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由题可知：△ADE∽△ABC，相似比为AE：AC，由S△ADE ：S四边形DBCE=1：8，得S△ADE ：S△ABC=1：9，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE ：S△ABC=AE2：AC2，∵S△ADE ：S四边形DBCE=1：8，∴S△ADE ：S△ABC=1：9，∴AE：AC=1：3．故选B．6．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．0【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】根据一元二次方程成立的条件及常数项为0列出方程组，求出m的值即可．【解答】解：根据题意，知，，解方程得：m=2．故选：B．7．如图，等边三角形ABC的边长为4，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点．若∠APD=60°，则CD的长为（）A．B．C．D．1【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】根据等边三角形性质求出AB=BC=AC=4，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC，证△BAP∽△CPD，得出=，代入求出即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=4，∠B=∠C=60°，∴∠BAP+∠APB=180°﹣60°=120°，∵∠APD=60°，∴∠APB+∠DPC=180°﹣60°=120°，∴∠BAP=∠DPC，即∠B=∠C，∠BAP=∠DPC，∴△BAP∽△CPD，∴=，∵AB=BC=4，CP=BC﹣BP=4﹣1=3，BP=1，即=，解得：CD=，故选C．8．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】相似三角形的判定．【分析】由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．【解答】解：有三个．①∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；故选：C．二、填空题9．=2x﹣3，x的取值范围是x≥．【考点】二次根式的性质与化简．【分析】根据公式=|a|，可得出x的取值范围．【解答】解：∵=2x﹣3，∴3﹣2x≤0，解得x≥，∴x的取值范围是x≥，故答案为x≥．10．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=80mm，高AD=60mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是mm．【考点】相似三角形的应用．【分析】如图，设正方形EFGH的边长为x，EF与AD交于点K．由EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，得到=，得=，列方程即可．【解答】解：如图，设正方形EFGH的边长为x，EF与AD交于点K．∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴=，∴=，∴x=，故答案为．11．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，如果要使△ABC∽△DCA，那么还要补充的一个条件是∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或．（只要求写出一个条件即可）【考点】相似三角形的判定．【分析】本题主要根据平行推出角的等量关系，再根据对应边的关系，利用两三角形相似的判定定理，做题即可．【解答】解：∵AD∥BC∴∠DAC=∠ACB∴当∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或AD：AC=AC：BC∴都可得相似．答案不唯一，如∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或AD：AC=AC：BC．12．小亮的身高是1.6米，某一时刻他在水平面上的影长是2米，若同一时刻测得附近一古塔在水平地面上的影长为20米，则古塔的高度是16米．【考点】相似三角形的应用；平行投影．【分析】利用相似及投影知识解题，因为某一时刻，实际高度和影长之比是一定的，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：=，解得：古塔的高=16，故答案为：16．13．如图（1），在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为x m，从图（2）的思考方式出发列出的方程是（32﹣2x）（20﹣x）=570．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设宽为xm，从图（2）可看出剩下的耕田面积可平移成长方形，且能表示出长和宽，从而根据面积可列出方程．【解答】解：设宽为xm，（32﹣2x）（20﹣x）=570．故答案为：（32﹣2x）（20﹣x）=570．14．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3厘米，BC=4厘米，点P从A沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如P与Q同时出发，且当一点移动到端点并停止时，另一点也同时停下，1秒或2秒后三角形PBQ的面积为2平方厘米．【考点】一元二次方程的应用．【分析】根据题意表示出BP，BQ的长，进而利用三角形面积求出答案．【解答】解：设x秒后三角形PBQ的面积为2平方厘米，根据题意可得：BP=3﹣x，BQ=2x，故×2x（3﹣x）=2，解得：x1=1，x2=2，故1或2秒后三角形PBQ的面积为2平方厘米．故答案为：1或2．三、解答题15．（1）计算：﹣﹣；（2）计算：（）﹣2﹣|2﹣3|+．【考点】实数的运算；负整数指数幂．【分析】（1）原式化简后，合并即可得到结果；（2）原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及分母有理化计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式=3﹣﹣2=﹣；（2）原式=4﹣3+2+=1+．16．解方程：（1）x2﹣2x=0；（2）30x2﹣45=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法．【分析】（1）原方程有公因式x，先提取公因式，然后再分解因式求解；（2）系数化为1后，利用直接开平方法求出方程的解．【解答】解：（1）∵x2﹣2x=0，∴x（x﹣2）=0，∴x=0或x﹣2=0，∴x1=0，x2=2．（2）∵30x2﹣45=0，∴x2=，∴x=±，∴x1=，x2=﹣17．解方程：x2+3x+1=0．【考点】解一元二次方程-公式法．【分析】先找出a，b，c，再求出△，代入求根公式即可．【解答】解：a=1，b=3，c=1，…∴△=b2﹣4ac=9﹣4×1×1=5＞0，…∴x=﹣3±，…∴x1=﹣3+，x2=﹣3﹣…．18．解方程：（x﹣5）（x﹣6）=x﹣5．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程整理得：（x﹣5）（x﹣6）﹣（x﹣5）=0，分解因式得：（x﹣5）（x﹣7）=0，可得x﹣5=0或x﹣7=0，解得：x1=5，x2=7．19．已知y=++3，求﹣的值．【考点】分式的化简求值；二次根式有意义的条件．【分析】先算括号里面的，再算除法，最后求出x、y的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=﹣==，∵与有意义，∴，解得x=2，∴y=3，∴原式==﹣9．20．某企业2012年盈利3000万元，2014年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利4320万元，从2012年到2014年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业每年盈利的年增长率？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2015年盈利多少万元？【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）设每年盈利的年增长率为x，就可以表示出2014年的盈利，根据2014年的盈利为4320万元建立方程求出x的值即可；（2）根据（1）求出的年增长率就可以求出结论．【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x，根据意，得3000（1+x）2=4320解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）答：增长率为20%；（2）由题意，得4320（1+0.2）=5184万元答：预计2015年该企业盈利5184万元．21．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB 和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F．（1）求证：△ACB ∽△DCE ；（2）求证：EF ⊥AB ．【考点】相似三角形的判定与性质；三角形内角和定理．【分析】（1）从图中得到AC=3，CD=2，BC=6，CE=4，∠ACB=∠DCE=90°，故有，所以△ACB ∽△DCE ；（2）由1知，∠B=∠E ，可得∠B +∠A=∠E +A=180°﹣∠AFE=90°，即∠EFA=90°，故EF ⊥AB ．【解答】证明：（1）∵，，∴． 又∵∠ACB=∠DCE=90°，∴△ACB ∽△DCE ．（2）∵△ACB ∽△DCE ，∴∠ABC=∠DEC ．又∵∠ABC +∠A=90°，∴∠DEC +∠A=90°．∴∠EFA=90°．∴EF ⊥AB ．22．已知▱ABCD 的两边AB 、AD 的长是关于x 的方程x 2﹣mx +﹣=0的两个实数根，当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长．【考点】菱形的判定；根的判别式．【分析】由题意可知：AB 、AD 的长是关于x 的方程x 2﹣mx +﹣=0的两个实数根，也就是方程有两个相等的实数根，利用根的判别式为0即可求得m ，进而求得方程的根即为菱形的边长．【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=AD ，∴△=0，即m 2﹣4（﹣）=0，整理得：（m ﹣1）2=0，解得m=1，当m=1时，原方程为x2﹣x+=0，解得：x1=x2=0.5．故当m=1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.5．23．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．【考点】一元二次方程的应用．【分析】可设矩形草坪BC边的长为x米，则AB的长是，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解．【解答】解：设BC边的长为x米，则AB=CD=米，根据题意得：×x=120，解得：x1=12，x2=20，∵20＞16，∴x2=20不合题意，舍去，答：矩形草坪BC边的长为12米．24．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF ⊥AE于F．（1）求证：△PFA∽△ABE；（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．【考点】相似三角形的判定；正方形的性质．【分析】（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；（2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠PAF=∠AEB．∵∠PFA=∠ABE=90°，∴△PFA∽△ABE．（2）解：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB．∴PE∥AB．∴四边形ABEP为矩形．∴PA=EB=2，即x=2．若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB．∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF．∴PE=PA．∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点．∵AE==2，∴EF=AE=．∵，即，∴PE=5，即x=5．∴满足条件的x的值为2或5．2016年12月12日。

湖北武汉九年级上学期数学9月月考试卷及答案

湖北武汉九年级上学期数学9月月考试卷及答案

九年级上学期数学9月月考试卷一、选择题2－3x＝4的二次项系数、一次项系数、常数项分别为〔〕A. 1、－3、4B. 1、－3、－4C. －3、1、4D. －3、1、－42.x＝－2是关于x的方程2x2－4a＝0的一个解，那么a的值是〔〕A. －1B. 1C. －2D. 23.将一元二次方程化成〔a，b为常数〕的形式，那么a，b的值分别是〔〕A. ，21B. ，11C. 4，21D. ，694.上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下面所列方程中正确的选项是( )A. 168(1＋a%)2＝128B. 168(1－a%)2＝128C. 168(1－2a%)＝128D. 168(1－a2%)＝1285.将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为〔〕A. B. C. D.2，设剪去小正方形的边长为xcm，那么可列方程为〔〕A. 〔30﹣2x〕〔40﹣x〕＝600B. 〔30﹣x〕〔40﹣x〕＝600C. 〔30﹣x〕〔40﹣2x〕＝600D. 〔30﹣2x〕〔40﹣2x〕＝6007.如图，正方形三个顶点的坐标依次为(3，1)、(1，1)、(1，3).假设抛物线y＝ax2的图象与正方形的边有公共点，那么实数a的取值范围是〔〕A. ≤a≤3B. ≤a≤1C. ≤a≤3D. ≤a≤18.关于x的方程〔为常数〕根的情况下，以下结论中正确的选项是〔〕A. 两个正根B. 两个负根C. 一个正根，一个负根D. 无实数根9.抛物线y＝ax2＋bx＋c〔a、b、c为常数，a＜0〕经过A(2，0)、B(－4，0)两点，假设点P(－5，y1)、Q(π，y2)、R(5，y3)该抛物线上，那么〔〕A. y1＜y2＜y3B. y1＝y3＜y2C. y1＜y3＜y2D. y3＜y2＜y110.如图和都是边长为2的等边三角形，它们的边在同一条直线l上，点C，E重合，现将沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠局部的面积为y，那么y随x变化的函数图象大致为〔〕A. B.C. D.二、填空题2﹣4=0的解是________，化简：〔1﹣a〕2+2a=________．假设干相同数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，求每个支干又长出多少小分支？如果设每个支干又长出个小分支，那么依题意可得方程为________.13.抛物线y＝x2＋2x＋5的顶点坐标是________14.直线y＝x＋a不经过第二象限，那么关于x的方程ax2＋2x＋1＝0实数解的个数是________15.二次函数y＝ax2＋bx＋c〔a≠0〕的图象如以下列图，对称轴为直线x＝－1，以下结论：① b2＞4ac；② abc＞0；③ a－c＜0；④ am2＋bm≥a－b〔m为任意实数〕，其中正确的结论是________16.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，E为边CD上一点，DE＝2.将△BCE沿BE折叠，点C落在F处，BF 交AD于点M.假设∠MEB＝45°，那么BC＝________三、解答题17.解方程：〔1〕〔2〕x2＋4x－3＝018.参加一次商品交易会的两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？19.去年某商店“十一黄金周〞进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．〔1〕求该商店去年“十一黄金周〞这七天的总营业额；〔2〕去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周〞这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．1、x2是一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0的两个实数根，满足，求k的值.21.〔1〕抛物线y＝ax2＋c经过点A (2，3)，点B (－1，－3)两点，求该抛物线的解析式.〔2〕如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处到达最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，水管应多长？22.某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18 m，另外三边由36 m长的栅栏围成.设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝x m，面积为y m2〔如图〕.〔1〕求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.〔2〕假设矩形空地的面积为160 m2，求x的值.〔3〕矩形空地的面积能否为164 m2，假设能，求x的值；不能，请说明理由.23.正方形ABCD和等腰Rt△CEF，∠CEF＝90°，CE＝EF，连接AF.〔1〕如图，点E在CD边上.假设EF＝2，AD＝6，求AF的长.〔2〕如图，点E在CD边上，点G为AF的中点，求证：AD＋EF＝BG.〔3〕如图，点E在BC边上，点G为AF的中点.假设BE＝4，CE＝2，那么BG＝________24.抛物线y＝ax2－2ax－3a〔a＜0〕交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E.〔1〕直接写出点E的坐标为________〔2〕如图，直线y＝x与抛物线交于点M、N，求OM·ON的值.〔3〕如图2，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G.直线AF 交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK，求证：HE∥GK.答案解析局部一、选择题1.【解析】【解答】解：方程整理为一般形式：x2－3x-4＝0二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为-4.故答案为：B.【分析】方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可.2.【解析】【解答】解：把x＝－2代入方程2x2－4a＝0得8-4a=0，∴a=2.故答案为：D.【分析】把x＝－2代入方程2x2－4a＝0求解即可.3.【解析】【解答】解：移项得，配方得，即，∴a=-4，b=21.故答案为：A.【分析】先移项、再将左式配成完全平方式，对照，即可求出a、b值.4.【解析】【解答】解：第一次降价a%后的售价是168〔1-a%)元，第二次降价a%后的售价是168〔1-a%)(1-a%)=168(1-a%)2；故答案为：B.【分析】根据题意先用a表示第一次降价后纪念品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据条件即可得到关于a的方程．5.【解析】【解答】解：将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后，函数的表达式为：．故答案为：D．【分析】用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解．6.【解析】【解答】解：设剪去小正方形的边长是xcm，那么纸盒底面的长为〔40﹣2x〕cm，宽为〔30﹣2x〕cm，根据题意得：〔40﹣2x〕〔30﹣2x〕＝32.故答案为：D.【分析】设剪去小正方形的边长是xcm，那么纸盒底面的长为〔40﹣2x〕cm，宽为〔30﹣2x〕cm，根据长方形的面积=长×宽可得出关于x的一元二次方程.7.【解析】【解答】解：当抛物线经过A(1，3)时，a=3，当抛物线经过C(3，1)时，9a=1，a= ，观察图象可知≤a≤3，故答案为：A.【分析】如图，求出抛物线经过两个点A和点C时的a的值即可解决问题.8.【解析】【解答】解：，整理得：，∴，∴方程有两个不等的实数根，设方程两个根为、，∵，∴两个异号，而且负根的绝对值大.故答案为：C.【分析】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断根的正负即可.9.【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c〔a，b，c为常数，a＜0〕经过A〔2，0〕，B〔-4，0〕两点，∴该抛物线的对称轴为直线x= =-1，函数图象开口向下，∴点P〔-5，y1〕关于直线x=-1的对称点D〔3，y1〕在该抛物线上；当x＞-1时，y随x的增大而减小，∵3＜π＜5，∴y1＞y2＞y3，故答案为：D.【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的坐标特征，可得点P〔-5，y1〕关于直线x=-1的对称点为D〔3，y1〕，由于当x＞-1时，y随x的增大而减小，据此即可判断.10.【解析】【解答】解：C点移动到F点,重叠局部三角形的边长为x,由于是等边三角形,那么高为,面积为y=x··= ,B点移动到F点,重叠局部三角形的边长为(4－x),高为,面积为y=(4－x)··= ,两个三角形重合时面积正好为.由二次函数图象的性质可判断答案为A,故答案为：A.【分析】根据图象可得出重叠局部三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积y 是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠局部的边长变为(4－x),同时可得二、填空题11.【解析】【解答】解：方程整理得：x2=4，解得：x=2或﹣2；原式=1﹣2a+a2+2a=1+a2，故答案为：2或﹣2；1+a2【分析】方程利用因式分解法求出解即可；原式利用完全平方公式化简，合并即可得到结果．12.【解析】【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，根据题意列方程得：x2+x+1=73，故答案为x2+x+1=73.【分析】设每个支干长出的小分支的数目是x个，那么小分支的数目为x2，其中主干为1，根据主干、支干和小分支的总数是73列方程即可.13.【解析】【解答】解：抛物线化成顶点式为，那么其顶点坐标为，故答案为：.【分析】将抛物线的解析式化成顶点式即可得.14.【解析】【解答】解：∵直线y＝x＋a不经过第二象限，∴或，当时，方程可化为，解得：；当时，可得，∵，∴，∴，∴方程有两个不相等的实数根，综上所述：方程的实数根的解得个数是1个或2个.故答案是：1个或2个.【分析】根据函数不经过的象限，判断出a的取值，利用根的判别式计算即可；15.【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴ b2-4ac＞0，∴①正确；∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴左侧，∴a＞0，b＞0，c＞0，∴abc＞0，∴②正确；∵对称轴为直线x＝－1，顶点在第三象限，∴ a－b+c＜0，-b÷2a=-1，∴2a=b,∴ a－2a+c＜0，∴a－c＞0，∴③错误；∵对称轴为直线x＝－1，∴当x=-1时，y有最小值a－b+c，当x=m时，y=am2＋bm+c，∴am2＋bm+c≥a－b+c,∴am2＋bm≥a－b,∴④正确.故答案是：① ②④【分析】根据抛物线与x轴的交点情况可判断① ；判断出a、b、c的符号可判断②；根对称轴及顶点可判断③；据函数的最小值可判断④.16.【解析】【解答】解：过E点作EN⊥ME，交BE于点N，连接MN，由折叠可知：∠MBE=∠NBE，∵∠MEB=45°，∴∠NEB=45°，∴∠MEB=∠NEB，∵BE=BE，∴△MBE≌△NBE〔ASA〕，∴ME=NE，BM=BN，在矩形ABCD中，∠D=∠C=90°，DC=AB=5，AD=BC，∴∠DME+∠DEM=90°，∵∠DEM+∠CEN=90°，∴∠DME=∠CEN，∴△DME≌△CEN〔AAS〕，∴DE=CN，DM=CE，∵DE=2，∴CN=2，DM=CE=5-2=3，∴BM=BN=BC-2，AM=BC-3，在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即52+〔BC-3〕2=〔BC-2〕2，解得BC=15，故答案是：15.【分析】过E点作EN⊥ME，交BE于点N，根据折叠的性质，结合矩形的性质，通过证明△MBE≌△NBE，△DME≌△CEN，可表示BM=BN=BC-2，AM=BC-3，再根据勾股定理列式计算即可求解.三、解答题17.【解析】【分析】〔1〕利用因式分解法解一元二次方程即可得；〔2〕利用配方法解一元二次方程即可得.18.【解析】【分析】设共有x家公司参加商品交易会，就可以得出有份合同，根据总共有45份合同建立方程，求出其解即可.19.【解析】【分析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%〞即可求解；(2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，那么十一黄金周的月营业额为350(1+x)2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等〞即可列方程求解．20.【解析】【分析】根据方程的系数结合△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；根据根与系数的关系可得出x1+x2=2，x1x2=k+2，结合=k-2，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合前面k的取值范围即可得出结论.21.【解析】【分析】〔1〕把点A (2，3)，点B (－1，－3)代入y=ax2+c，解方程组即可得到结论；〔2〕先求出顶点坐标，然后设抛物线的解析式为y=a〔x-1〕2+3〔0≤x≤3〕，将〔3，0〕代入求得a值，那么x=0时得的y值即为水管的长.22.【解析】【分析】〔1〕根据矩形的面积公式表示即可；〔2〕构建方程即可解决问题，注意检验是否符合题意；〔3〕构建方程后计算出根的判别式的值，即可作出判断.23.【解析】【解答】解：〔3〕假设点F在正方形ABCD内，如图3：取BE中点M，连接GM.∵BE=4，CE=2，∴EF=2，AB=BC=6，∵点G是AF的中点，点M是BE的中点，∴BM=EM=2，GM= 〔AB+EF〕=4，GM∥AB∥CD，∴∠GMB=∠DCB=90°，∴BG= = ，假设点F在正方形ABCD外，如图4：过点F作FM⊥AB，交AB延长线于M，取AM的中点N，连接NG，∵∠MBC=∠FEB=90°，FM⊥AB∴四边形BMFE是矩形∴BM=EF=2，BE=MF=4，∠M=90°.∴AM=8，∵点N是AM中点，点G是AF的中点，∴NG= MF=2，AN=4，NG∥MF，∴NB=2，∠GNB=90°在Rt△NGB中，BG= = ；故答案为：或.【分析】〔1〕过点F作FM⊥AD，交AD的延长线于点M.根据题意可求AM=8，FM=4，根据勾股定理可求AF的长；〔2〕过点F作FM⊥BC，交BC的延长线于M，取BM的中点N，连GN.根据梯形中位线定理可得：GN=BN= 〔AD+EF〕，根据勾股定理可证；〔3〕分点F在正方形ABCD内部，在正方形ABCD外部，两种情况讨论，可求BG的长.24.【解析】【解答】解：(1)对于抛物线y＝ax2－2ax－3a，对称轴x= =1，∴E〔1，0〕，故答案为〔1，0〕.【分析】〔1〕利用对称轴公式求解即可.〔2〕设M〔m,m〕、N〔n,n〕,那么OM= ，ON= ，然后利用一元二次方程根与系数的关系即可求解；〔3〕求出直线HF，DF 的解析式，利用方程组确定点K，G的坐标，再求出直线EH，GK的解析式即可判断.。

九年级数学上学期9月月考试卷含解析苏科版

九年级数学上学期9月月考试卷含解析苏科版

2016-2017学年江苏省扬州市宝应县九年级（上）月考数学试卷（9月份）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．已知⊙O的半径为6cm，P到圆心O的距离为7cm，则点P在⊙O（）A．外部 B．内部 C．上D．不能确定2．如图，已知，∠BAC=35°，=80°，那么∠BOD的度数为（）A．75° B．80° C．135°D．150°3．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．34．下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弦相等；④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有（）A．1个B．2个C．3个D．0个5．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，则的长为（）A．πB．2πC．3πD．5π6．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（）A．120°B．180°C．240°D．300°7．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，AB是圆的直径，若∠BAC=20°，则∠ADC等于（）A．110°B．100°C．120°D．90°8．下列命题中，假命题的个数是（）①垂直于半径的直线一定是这个圆的切线；②圆有且只有一个外切三角形；③三角形有且只有一个内切圆；④三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则△ABC的内切圆半径r= ．10．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD= 度．11．若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：4的两条弧，则该弦所对劣弧的所对的圆周角等于．12．已知⊙O的半径是4，圆周角∠BAC=80°，则的长为．13．将一个正十边形绕其中心至少旋转°就能和本身重合．14．图中△ABC的外心坐标是．15．如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，⊙O是ABC的内切圆，则这个圆的半径是．16．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为．17．如图，小正方形构成的网络中，半径为1的⊙O在格点上，则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为（结果保留π）．18．已知⊙O的直径CD为4，的度数为80°，点B是的中点，点P在直径CD上移动，则BP+AP 的最小值为．三.解答题（本大题共10小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．已知，如图，AB是⊙O的直径，∠BCD=45°．求证：AD=BD．20．已知，如图，在扇形OAC中，∠AOC=60°，⊙F与OA、OC相切于点D、E，与相切于点F，且O、F、B在同一直线上，⊙F的半径为1，求扇形OAC的面积．21．如图，BC是⊙O的一个内接正五边形的一边，请用等分圆周的方法，在⊙A中用尺规作图作出一个⊙A的内接正五边形（请保留作图痕迹）．22．如图，已知，BC是⊙O的弦，半径OA⊥BC，点D在⊙O上，且∠ADB=25°，求∠AOC的度数．23．已知，如图，AF是⊙O的直径，P是AF延长线上的一点，PD切O于点D，E是AF上一点，PD=PE，DE的延长线交O于点C，问CO与AF的关系是什么？为什么？24．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB=60°．（1）求∠P的度数；（2）若⊙O的半径长为4cm，求图中阴影部分的面积．25．已知：如图A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，∠B=30°．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．26．已知，如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，OC⊥AB于D，AB=8，OD=CD+1，求⊙O的半径．27．阅读以下内容，并回答问题：若一个三角形的两边平方和等于第三边平方的两倍，我们称这样的三角形为奇异三角形．（1）命题“等边三角形一定是奇异三角形”是命题（填“真”或“假”）；（2）在△ABC中，已知∠C=90°，△ABC的内角∠A、∠B、∠C所对边的长分别为a、b、c，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（点C与点A、B不重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若存在点E，使AE=AD，CB=CE．求证：△ACE是奇异三角形．28．已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．2016-2017学年江苏省扬州市宝应县九年级（上）月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．已知⊙O的半径为6cm，P到圆心O的距离为7cm，则点P在⊙O（）A．外部 B．内部 C．上D．不能确定【考点】点与圆的位置关系．【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：∵6cm＜7cm，∴点P在圆外．故选A．2．如图，已知，∠BAC=35°，=80°，那么∠BOD的度数为（）A．75° B．80° C．135°D．150°【考点】圆周角定理．【分析】先根据圆周角定理得出∠BOC的度数，再由=80°求出∠COD的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵∠BAC=35°，∴∠BOC=70°．∵=80°，∴∠COD=80°，∴∠BOD=70°+80°=150°．故选D．3．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．【解答】解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．故选：B．4．下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弦相等；④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有（）A．1个B．2个C．3个D．0个【考点】命题与定理．【分析】根据等弧的定义对①进行判断；根据确定圆的条件对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；根据圆周角定理的推论对④进行判断．【解答】解：完全重合的弧为等弧，长度相等的弧不一定是等弧，所以①错误；任意不共线的三点确定一个圆，所以②错误；在同圆或等圆轴，相等的圆心角所对的弦相等，所以③错误；外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，所以④正确．故选A．5．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，则的长为（）A．πB．2πC．3πD．5π【考点】切线的性质；弧长的计算．【分析】连接OB，由于AB是切线，那么∠ABO=90°，而∠ABC=120°，易求∠OBC，而OB=OC，那么∠OBC=∠OCB，进而求出∠BOC的度数，再利用弧长公式即可求出的长．【解答】解：连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°，∵∠ABC=120°，∴∠OBC=30°，∵OB=OC，∴∠OCB=30°，∴∠BOC=120°，∴的长为==2π，故选B．6．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（）A．120°B．180°C．240°D．300°【考点】圆锥的计算．【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．【解答】解：设母线长为R，底面半径为r，∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr2=πrR，∴R=2r，设圆心角为n，有=2πr=πR，∴n=180°．故选：B．7．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，AB是圆的直径，若∠BAC=20°，则∠ADC等于（）A．110°B．100°C．120°D．90°【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．【分析】由AB是圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠BAC=20°，即可求得∠B的度数，然后由圆的内接四边新的性质，即可求得∠ADC的度数．【解答】解：∵AB是圆的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=20°，∴∠B=90°﹣∠BAC=70°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC=180°﹣∠B=110°．故选A．8．下列命题中，假命题的个数是（）①垂直于半径的直线一定是这个圆的切线；②圆有且只有一个外切三角形；③三角形有且只有一个内切圆；④三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题与定理．【分析】根据切线的判定定理判断①；根据圆的外切三角形的定义判断②；根据三角形的内切圆的定义判断③；根据三角形内心的定义判断④．【解答】解：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故①是假命题；经过圆上的三点作圆的切线，三条切线相交，即可得到圆的一个外切三角形，所以一个圆有无数个外切三角形，故②是假命题；三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，而交点只有一个，所以三角形有且只有一个内切圆，故③是真命题；三角形的内心是三个内角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等，故④是假命题．故选C．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则△ABC的内切圆半径r= 1 ．【考点】三角形的内切圆与内心．【分析】首先求出AB的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示AF和BF，而它们的和等于AB，得到关于r的方程，即可求出．【解答】解：如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D，E，F，连接OD，OE，OF，则OE⊥BC，OF⊥AB，OD⊥AC，设半径为r，CD=r，∵∠C=90°，BC=4，AC=3，∴AB=5，∴BE=BF=4﹣r，AF=AD=3﹣r，∴4﹣r+3﹣r=5，∴r=1．∴△ABC的内切圆的半径为 1．故答案为；1．10．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD= 36 度．【考点】圆周角定理；正多边形和圆．【分析】圆内接正五边形ABCDE的顶点把圆五等分，即可求得五条弧的度数，根据圆周角的度数等于所对的弧的度数的一半即可求解．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴=====72°，∴∠CAD=×72°=36°．故答案为36．11．若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：4的两条弧，则该弦所对劣弧的所对的圆周角等于36°．【考点】圆周角定理．【分析】圆的一条弦把圆分成度数之比为1：4的两条弧，则所分的劣弧的度数是72°，则该弦所对劣弧的所对的圆周角等于36°．【解答】解：如图所示，弦AB将⊙O分成了度数比为1：4两条弧．连接OA、OB；则∠AOB=×360°=72°；弦所对劣弧的所对的圆周角∠ADB=∠AOB=36°；故答案为36°．12．已知⊙O的半径是4，圆周角∠BAC=80°，则的长为或．【考点】圆周角定理；弧长的计算．【分析】根据题意画出图形，再由弧长公式即可得出结论．【解答】解：∵⊙O的半径是4，圆周角∠BAC=80°，∴∠BOC=2×80°=160°，∴劣弧BC==；优弧BC=8π﹣=．故答案为：或．13．将一个正十边形绕其中心至少旋转36 °就能和本身重合．【考点】旋转对称图形．【分析】得出每个中心角的度数，即可得出答案．【解答】解：∵多边形每个中心角为：=36°，该图形绕其中心至少旋转36°和本身重合．故答案为：36．14．图中△ABC的外心坐标是（5，2）．【考点】三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质．【分析】根据三角形外心的定义作三角形两边的垂直平分线，根据网格的特点，很容易作出AB与BC的中垂线，则它们交点的坐标为所求．【解答】解：作BC和AB的垂直平分线，它们相交于点P，如图，则点P为△ABC的外心，P点坐标为（5，2）．故答案为（5，2）．15．如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，⊙O是ABC的内切圆，则这个圆的半径是 2 ．【考点】三角形的内切圆与内心．【分析】根据三角形面积公式S△ABC=•BC•AC=（AB+BC+AC）•r计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=13，AC=5，∴BC===12，设内切圆半径为r，则有•BC•AC=（AB+BC+AC）•r，∴r==2．故答案为216．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为18 ．【考点】弧长的计算．【分析】根据弧长的公式l=进行计算即可．【解答】解：设该扇形的半径是r．根据弧长的公式l=，得到：12π=，解得 r=18．故答案为：18．17．如图，小正方形构成的网络中，半径为1的⊙O在格点上，则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为（结果保留π）．【考点】扇形面积的计算．【分析】先根据直角三角形的性质求出∠ABC+∠BAC的值，再根据扇形的面积公式进行解答即可．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∴∠ABC+∠BAC=90°，∵两个阴影部分扇形的半径均为1，∴S阴影==．故答案为：．18．已知⊙O的直径CD为4，的度数为80°，点B是的中点，点P在直径CD上移动，则BP+AP 的最小值为 2 ．【考点】轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．【分析】由翻折的性质可知：PB=PB′.=40°，可求得∠B′EA=60°．当点B′、P、A在一条直线上时，PB+PA有最小值，最小值为AB′．【解答】解：过点B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点P，延长AO交圆O与点E，连接B′E．∵点B与点B′关于CD对称，∴PB=PB′.．∴当点B′、P、A在一条直线上时，PB+PA有最小值，最小值为AB′．∵点B是的中点，∴=120°．∴∠B′EA=60°．∴AB′=AE•sin60°=4×=2．故答案为：2．三.解答题（本大题共10小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．已知，如图，AB是⊙O的直径，∠BCD=45°．求证：AD=BD．【考点】圆周角定理．【分析】根据圆周角定理得到∠ACB=90°，得到∠ACD=∠BCD，证明结论．【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∠BCD=45°，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴AD=BD．20．已知，如图，在扇形OAC中，∠AOC=60°，⊙F与OA、OC相切于点D、E，与相切于点F，且O、F、B在同一直线上，⊙F的半径为1，求扇形OAC的面积．【考点】切线的性质；扇形面积的计算．【分析】如图连接DF、EF．在Rt△OEF中，利用30度性质，求出OF，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：如图连接DF、EF．∵OC、OA是⊙F的切线，∴∠FOD=∠FOE=AOC=30°，DF⊥OC，EF⊥OA，∴∠ODF=∠OEF=90°，∴OF=2EF=2，∴OB=OF+BF=3，∴S扇形OAC==π．21．如图，BC是⊙O的一个内接正五边形的一边，请用等分圆周的方法，在⊙A中用尺规作图作出一个⊙A的内接正五边形（请保留作图痕迹）．【考点】作图—复杂作图；正多边形和圆．【分析】如图，①作∠EAF=∠BOA．②在⊙A上截取===，则五边形EFGHL即为所求．【解答】解：如图，①作∠EAF=∠BOA．②在⊙A上截取===．五边形EFGHL即为所求．22．如图，已知，BC是⊙O的弦，半径OA⊥BC，点D在⊙O上，且∠ADB=25°，求∠AOC的度数．【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】先根据垂径定理得到=，然后根据圆周角定理求解．【解答】解：∵BC⊥OA，∴=，∴∠AOC=2∠ADB=2×25°=50°，23．已知，如图，AF是⊙O的直径，P是AF延长线上的一点，PD切O于点D，E是AF上一点，PD=PE，DE的延长线交O于点C，问CO与AF的关系是什么？为什么？【考点】切线的性质．【分析】连接OD，根据切线的性质可得∠ODC+∠EDP=90°，然后根据等边对等角，以及等量代换得到∠C+∠CEO=90°，即可证得CO⊥AF．【解答】解：CO⊥AF．理由是：连接OD．∵PD是切线，∴OD⊥PD，即∠ODP=90°，∠ODC+∠EDP=90°，∵OC=OD，∴∠C=∠ODC，同理，∠PED=∠EDP，∴∠C+∠PED=90°，又∵∠CEO=∠PED，∴∠C+∠CEO=90°，∴∠COE=90°，∴CO⊥AF．24．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB=60°．（1）求∠P的度数；（2）若⊙O的半径长为4cm，求图中阴影部分的面积．【考点】切线的性质；扇形面积的计算．【分析】（1）由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PAOB中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．（2）由S阴影=2×（S△PAO﹣S扇形）则可求得结果．【解答】解：连接OA、OB，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵∠AOB=2∠C=120°，∴∠P=360°﹣（90°+90°+120°）=60°．∴∠P=60°．（2）连接OP，∵PA、PB是⊙O的切线，∴APB=30°，在Rt△APO中，tan30°=，∴AP===4cm，∴S阴影=2S△AOP﹣S扇形=2×（×4×﹣）=（16﹣）（cm2）．25．已知：如图A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，∠B=30°．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．【考点】切线的判定；圆周角定理．【分析】（1）求证：AB是⊙O的切线，可以转化为证∠OAB=90°的问题来解决．（2）作AE⊥CD于点E，CD=DE+CE，因而就可以转化为求DE，CE的问题，根据勾股定理就可以得到．【解答】（1）证明：如图，连接OA；∵OC=BC，OA=OC，∴OA=OB．∴∠OAB=90°，∴AB是⊙O的切线；（2）解：作AE⊥CD于点E，∵∠O=60°，∴∠D=30°．∵∠ACD=45°，AC=OC=2，∴在Rt△ACE中，CE=AE=；∵∠D=30°，∴AD=2，∴DE=AE=，∴CD=DE+CE=+．26．已知，如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，OC⊥AB于D，AB=8，OD=CD+1，求⊙O的半径．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：连接OA，设CD=x，则OD=x+1，则⊙O的半径为2x+1，∵OC⊥AB，AB=8，∴AD=AB=4，由勾股定理得，（2x+1）2+（x+1）2+16，解得，x==，则⊙O的半径为．27．阅读以下内容，并回答问题：若一个三角形的两边平方和等于第三边平方的两倍，我们称这样的三角形为奇异三角形．（1）命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题（填“真”或“假”）；（2）在△ABC中，已知∠C=90°，△ABC的内角∠A、∠B、∠C所对边的长分别为a、b、c，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（点C与点A、B不重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若存在点E，使AE=AD，CB=CE．求证：△ACE是奇异三角形．【考点】圆心角、弧、弦的关系；勾股定理．【分析】（1）直接根据奇异三角形的定义直接得出结论；（2）先根据勾股定理得出a2+b2=c2，再由Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a可知a2+c2=2b2，把a当作已知条件表示出b，c的值，进而可得出结论；（3）连接BD，根据圆周角定理得出∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACB与在Rt△ADB中可得出AC2+BC2=AB2，AD2+BD2=AB2，根据点D是半圆的中点，得出=．故可得出AD=BD．通过等量代换可得出AC2+CB2=2AD2．再由CB=CE，AE=AD可得出AC2+CE2=2AE2故可得出结论．【解答】解：（1）∵若一个三角形的两边平方和等于第三边平方的两倍，我们称这样的三角形为奇异三角形，∴等边三角形一定是奇异三角形是真命题．故答案为：真；（2）∵∠C=90°，∴a2+b2=c2①．∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，∴a2+c2=2b2②．由①②得：b=a，c=a．∴a：b：c=1：：．（3）连接BD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，∵点D是半圆的中点，∴=．∴AD=BD．∴AB2=AD2+BD2=2AD2．∴AC2+CB2=2AD2．又∵CB=CE，AE=AD，∴AC2+CE2=2AE2．∴△ACE是奇异三角形．28．已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．【考点】切线的性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【分析】（1）PO与BC的位置关系是平行；（2）（1）中的结论成立，理由为：由折叠可知三角形APO与三角形CPO全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠APO=∠CPO，再由OA=OP，利用等边对等角得到∠A=∠APO，等量代换可得出∠A=∠CPO，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠A=∠PCB，再等量代换可得出∠CPO=∠PCB，利用内错角相等两直线平行，可得出PO与BC平行；（3）由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC与AD平行，根据两直线平行内错角相等得到∠APO=∠COP，再利用折叠的性质得到∠AOP=∠COP，等量代换可得出∠APO=∠AOP，再由OA=OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形AOP三内角相等，确定出三角形AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60°得到∠AOP为60°，由OP平行于BC，利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°，再由OB=OC，得到三角形OBC为等边三角形，可得出∠COB为60°，利用平角的定义得到∠POC也为60°，再加上OP=OC，可得出三角形POC为等边三角形，得到内角∠OCP为60°，可求出∠PCD为30°，在直角三角形PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB=4PD，得证．【解答】解：（1）PO与BC的位置关系是PO∥BC；（2）（1）中的结论PO∥BC成立，理由为：由折叠可知：△APO≌△CPO，∴∠APO=∠CPO，又∵OA=OP，∴∠A=∠APO，∴∠A=∠CPO，又∵∠A与∠PCB都为所对的圆周角，∴∠A=∠PCB，∴∠CPO=∠PCB，∴PO∥BC；（3）∵CD为圆O的切线，∴OC⊥CD，又AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠APO=∠COP，由折叠可得：∠AOP=∠COP，∴∠APO=∠AOP，又OA=OP，∴∠A=∠APO，∴∠A=∠APO=∠AOP，∴△APO为等边三角形，∴∠AOP=60°，又∵OP∥BC，∴∠OBC=∠AOP=60°，又OC=OB，∴△BCO为等边三角形，∴∠COB=60°，∴∠POC=180°﹣（∠AOP+∠COB）=60°，又OP=OC，∴△POC也为等边三角形，∴∠PCO=60°，PC=OP=OC，又∵∠OCD=90°，∴∠PCD=30°，在Rt△PCD中，PD=PC，又∵PC=OP=AB，∴PD=AB，即AB=4PD．。

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