散度与高斯公式
10-6第六节 高斯公式与散度
-3-
Dxy
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
∂R 所以 ∫∫∫ ∂z dxd ydz = ∫∫ Rdxd y Σ Ω 若 Ω 是 其它类型区域 , 则可引进辅助面 相应的区域, 将其分割成若干个 相应的区域 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 正反两侧面积分正负抵消 故上式仍成立 . 类似可证 ∂Q ∂P ∫∫∫ ∂x dxd ydz= ∫∫ Pd ydz ∫∫∫ ∂y dxd ydz= ∫∫Qdzdx Ω Σ Ω Σ
三式相加, 公式： 三式相加 即得所证 Gauss 公式： ∂P ∂Q ∂R ∫∫∫( ∂x + ∂y + ∂z )dxd ydz Ω = ∫∫ Pd ydz +Qdzd x + Rd xdy
Σ
-4-
第六节
高斯公式与散度
第六节
高斯公式与散度
例1 计算曲面积分
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
( x 2 − yz )dydz + ( y 2 − xz )dzdx + ( z 2 − xy )dxdy ∫∫
表面外侧。 其中 Σ 长方体 Ω : 0 ≤ x ≤ a ,0 ≤ y ≤ b,0 ≤ z ≤ c 表面外侧。
Σ
P = x − yz , Q = y − xz , R = z 2 − xy ,
Σ
- 10 -
第六节
高斯公式与散度
∂v ∂v ∂v 证:令 P = u , Q= u , R= u , 由高斯公式得 = = ∂x ∂y ∂z
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
第六节
高斯公式与散度
∂2v ∂2v ∂2v 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
高斯散度定理公式
高斯散度定理公式
高斯散度定理公式是∫∫（(əQ/əx)-(əP/əy)）dxdy。
散度定理又称为高斯散度定理、高斯公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。
散度定理经常应用于矢量分析中。
矢量场的散度在体积τ上的体积分等于矢量场在限定该体积的闭合曲面s上的面积分。
在物理和工程中，散度定理通常运用在三维空间中。
然而，它可以推广到任意维数。
在一维，它等价于微积分基本定理；在二维，它等价于格林公式。
散度是描述空气从周围汇合到某一处或从某一处流散开来程度的量。
从定义中还可以看出，散度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一样，它对应的广延性质是一个封闭区域表面的通量。
微积分高斯公式与散度
一、高斯（Gauss）公式
定理：设空间闭区域 由分片光滑的曲面 围成，
函数 P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)在 上具有 一阶连续偏导数，则有公式：
P Q R
( )dV Pdydz Qdzdx Rdxdy.
x y z
Байду номын сангаас
其中 表示 的边界曲面的外侧。
3
其中 为柱面 x 2 y 2 1及
平面 z 0 z 3，所围成的空
间闭区域 的整个边界曲面
o1
y
1
的外侧。
x
例2、计算曲面积分
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS
z
其中 为锥面 x2 y2 z2介于平
h
面 z 0，z h (h 0)之间的部分的下侧，
3 :
取外侧。
（1）高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分 与其边界曲面上的曲面积分之间的关系；
（2）使用高斯公式时的注意事项：
① P,Q, R分别是对什么变量求偏导数；
②是否满足高斯公式的条件；
③ 取的是闭曲面的外侧。
二、高斯公式的应用
例1、计算曲面积分
z
( x y)dxdy ( y z)xdydz
x 2 yz 2dydz xy2 z 2dzdx z(1 xyz)dxdy V . S
div F dV F d S
设M 为场内一点，为包围点 M的任一闭曲面，其
所围区域 位于场内。则
F d S
表示单位时间内通过 流向外部的流体
的总质量，即流量或通量。
其中：F ( x, y, z) 为密度为1的不可压缩流体的稳定速度场；
第四章 曲线积分与曲面积分 第六节 高斯公式与散度
1 2 3 , 1 : z z1 ( x , y ) ,
第 十则 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
2 : z z2 ( x , y ),
z
z
z d x d y d z d x d y z ( x , y )
1
R
z2 ( x , y ) R
流速场，穿过有向曲面 的流量
v n dS
电位移为 D
电场，穿过有向曲面 的电通量
磁感应强度为 B 磁场，穿过有向曲面 B dS B n dS
D dS
D n dS
2 ( x y z )dxdydz h dS
2
2
, 0, z h
Dxy
z
1
h
2
2
d
0
0
h
d zdz h 4
h
h 2
1
4
o x
y
-9-
第六节
高斯公式与散度
例5 设函数
在闭区域 上具有一阶和
x v Qu y v Ru z
二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式
第 十 章
曲 线 积 分 u v u v u v ( d x d y d z 与 x x y y z z 曲 面 其中 是整个 边界面的外侧. 积 P Q R 分 分析: 高斯公式 d x d ydz x y z
高斯公式散度
高斯公式散度
高斯公式是物理学中的一个重要定理，用于计算三维空间中任意区域的散度。
散度描述了一个向量场的源汇性质，即矢量场中的流量增加或减少的速率。
高斯公式的数学表达为：对于一个闭合曲面S，曲面内无任何漏洞或孔隙，且向外指向为正。
如果向量场F在曲面S的每一点都是连续可导的，那么该向量场经过曲面S的总流量等于该向量场在曲面S 内的散度与曲面S的体积积分之和。
即∮F·dS = ∭div(F)dV
其中，F为向量场，dS为曲面面积元素的矢量微元，div(F)为F 的散度，dV为体积元素。
通过高斯公式，我们可以将原本需要对整个体积进行积分的问题，转化为只需要对曲面上的散度进行积分的问题。
这简化了很多计算过程。
高斯公式在物理学中的应用非常广泛，例如在电磁学中用于计算电场、磁场的通量，以及在流体力学中用于计算流体的体积流量等。
它为我们研究各种物理现象提供了强大的数学工具。
散度形式高斯公式证明
散度形式高斯公式证明一、高斯公式的散度形式。
高斯公式的散度形式表述为：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面§igma所围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有。
∭_Ω((∂ P)/(∂ x)+(∂ Q)/(∂ y)+(∂ R)/(∂ z))dV = ∬_§igmaPdydz + Qdzdx+Rdxdy二、证明思路。
1. 用微元法进行分析。
- 把闭区域Ω分割成许多小闭区域。
考虑一个小闭区域Δ V，其边界曲面为Δ§igma。
- 设小闭区域Δ V在点(x,y,z)处的体积为Δ V，Δ§igma的外法线方向的单位向量为→n=(cosα,cosβ,cosγ)。
2. 对P分量进行分析。
- 根据通量的概念，向量场→A = P→i+Q→j+R→k通过Δ§igma的通量ΔvarPhi中关于P的部分为∬_Δ§igmaP→i·→ndS=∬_Δ§igmaPcosα dS。
- 由高斯公式的物理意义（通量与散度的关系），在小闭区域Δ V内，P对通量的贡献近似为((∂ P)/(∂ x))Δ V（这里是利用了散度的定义div→A=(∂ P)/(∂ x)+(∂ Q)/(∂ y)+(∂ R)/(∂ z)，当只考虑P分量时，其散度的主要部分为(∂ P)/(∂ x)）。
- 当Δ Vto0时，精确地有∬_Δ§igmaPcosα dS = ((∂ P)/(∂ x))Δ V。
3. 同理对Q和R分量进行分析。
- 对于Q，有∬_Δ§igmaQcosβ dS = ((∂ Q)/(∂ y))Δ V。
- 对于R，有∬_Δ§igmaRcosγ dS = ((∂ R)/(∂ z))Δ V。
4. 对整个闭区域Ω和闭曲面§igma进行分析。
- 将所有小闭区域的上述关系相加。
对于整个闭区域Ω，其被分割成了n个小闭区域Δ V_i，i = 1,2,·s,n。
散度与高斯公式
，
其中 是锥面 z2 x2 y2 介于 z 0 和 z 2 两平面间
的部分取上侧。
不是封闭曲面，能否直接用高斯公式？
z
解：添补平面 1 : z 2, ( x2 y2 4) ，
取下侧；
1 z 2
则 1 是一个封闭曲面的内侧， 可用 Gauss 公式求解。
Ò Gauss
8
,
1
udivA A gardu.
10.5 散度与高斯公式
例 1．设点电荷 q 位于 坐标原点，它在真空中产生一电场，
场中任一点 M(
r
{
x,
y,
z}
，
r
x,
y, r
z) 处的电场强度
E
1
4
q r2
r
（
r
r r
，
），求场中点 M 处电场强度 E 的 散度。
divE
P x
Q y
R z
由高斯公式得：
Ò
r F
dA
(
P x
Q y
R z
)dv
，
再由积分中值定理可以得到散度的计算公式：
P Q R x y z
r
r
故高斯公式可以表示为： Ò F dA divFdv 。
Gauss 公式建立了曲面积分与三重积分之间的联系，
其物理意义为：一区域中总散度等于通过边界的通量。
9
10.5 散度与高斯公式
体积为 ΔV ，直径为 d，且取外侧，如果当 d 0 时，
比式 r
1 V
r
Ò F(M ) dA的极限存在，则称此极限为向量场
r
F (M ) 在点 M 处的散度，记为 divF (M ) ，即
高斯公式流量与散度
一、高斯公式
证明
先证明 设闭区域Ω在xOy面上的投影区域为Dxy.假设穿过Ω内部 且平行于z轴的直线与Ω的边界曲面Σ的交点恰好是两个，即其 边界曲面Σ由曲面
及以垂直于Dxy边界的柱面Σ3组成（见图10-18），其中Σ1取下
高斯公式可写成 上述公式表明，向量场A通过闭曲面Σ流向外侧的流量等于 向量场A的散度在闭曲面Σ所围闭区域Ω上的积分.
二、向量场的流量与散度
【例4】
求向量场
穿过曲面
流向外侧的流量.
解设
为Σ上任何一点的切平面的法向量，则由高斯公式知所求的
流量为
谢谢聆听
二、向量场的流量与散度
设区域的体积为V，则
表示单位时间内区域Ω内单位体积流体的平均发散量,即平均散度. 令Ω收缩到一点M（ x,y,z ），若极限
存在，则称此极限值为向量场A在点M的散度，记为di有向量场
其中函数P，Q，R均具有一阶连续偏导数，Σ是场内的一片有向 曲面，n是Σ在点x,y,z处的单位法向量，则积分
称为向量场A通过曲面Σ向着指定侧的流量（或通量）.如果A是定 常流体（假定密度为1）的速度，则|Q|表示单位时间内穿过Σ流 体的质量.如果Σ是闭曲面，则表示单位时间内通过闭曲面Σ的流体 的质量，它是从Σ流出的流体的质量与流入Σ的流体的质量之差， 表示单位时间内流体从Σ包围的区域Ω内部向外发出的总质量.
一、高斯公式
注意
对于一般的空间有界闭区域高斯公式均成立.若曲面 Σ与平行于坐标轴的直线的交点多于两个，则用有限个 光滑的曲面将Ω分为有限个满足条件的小闭区域来讨论.
一、高斯公式
【例1】
求 及半球面
高斯公式散度
包围的区域为V ,记体积为V .若当V 收缩成点 M 时,
极限
lim
lim
A dS
存在,
V V M
V M
V
则称此极限值为 A在点 M 处的散度, 记为divA.
根据高斯公式, 流量可表为
lim VM V
17
lim VM V
积分中值定理,
P x
Q y
ndS AndS
其中是空间闭区域的边界曲面，
An是向量A在曲面的外侧法向量上的投影.
(
An
A
n
P
cos
Q cos
R cos
)
19
内容小结
1. 高斯公式及其应用
公式: P d y d z Q d z d x R d x d y
量的方向余弦.
2
证明:设闭区域在面 xoy上的投影区域为 Dxy.
由1 ,2 和3 三部分组成,
z
1 : z z1( x, y)
2
2 : z z2(x, y)
3
3 : 柱面
1
下面先证:
R z
d
v
R
d
x
d
y
o
Dxy
x
y
3
根据三重积分的计算法
R dv { z2(x,y) R dz}dxdy
x
12
解： 空间曲面在 xoy 面上的投影域为 Dxy
z
曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式
高数 高斯公式 通量与散度
P d y d z Q d z d x R d x d y
13
v v v , Q u , R u , 由高斯公式得 证 令P u x y z 2v 2v 2v x2 y 2 z 2 v v v x y z
9.4 高斯公式 通量与散度
推广
Green 公式 1.高斯公式
Gauss 公式
Hale Waihona Puke 2.通量与散度1一、高斯公式
定理1 设空间闭区域Ω 是由分片光滑的闭曲面Σ 所 围成，函数P(x，y ，z)、Q(x，y ，z) 、R(x，y ，z) 在Ω 上具有一阶连续偏导数，则有 P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy, (1)
I (
1
)( x 2 cos y 2 cos z 2 cos ) d S
1
2
xy
8
2 ( x y z ) d x d y d z D h d x d y
I 2 ( x y z ) d xdydz
1
1
封
6
例1 用Gauss公式计算 其中为柱面 及平面z = 0,z = 3所围空间 z 闭域 的整个边界曲面的外侧. 3 解 这里 P ( y z ) x, Q 0, R x y 利用Gauss 公式, 得 原式 = ( y z ) d x d y d z (用柱坐标)
Dx y
h d xd y
z
2
利用重心公式, 注意 x y 0
4 2 z d x d ydz h
1 h h
o x
高数 高斯公式 通量与散度(正式)
R(
Dx y
x,
y,
z1
(
x,
y))
d
xdy
所以
R z
d
x
d
y
d
z
R
d
x
d
y
若不是上述区域 ,则可引进辅助面
将其分割成若干个上述区域,在辅助面
正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 .
类似可证
P x
d
x
d
y
d
z
Pd
y
d
z
Q y
d
xd
y
d
z
Qd
z
d
x
三式相加, 即得所证 Gauss 公式：
P x
Q y
Rdxdy,
(1)
或
(P x
Q y
R)dv z
( P
cos
Q cos
Rcos )dS, （1′）
这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα、cosβ、
cosγ是Σ上点(x，y，z)处的法向量的方向余弦。
公式（1）或（1′）叫做高斯公式。
证明:
1 2 3, 1 : z z1(x, y), 2 : z z2 (x, y),
导连续。
（4）Σ不闭合时，采取“补面”的方法：Σ+Σ1 封 闭，所围区域Ω。
(P x
Q R)dv y z
及易于计算 A dS
1
例1.用Gauss公式计算
其中为柱面
及平面z = 0,z = 3所围空间
闭域 的整个边界曲面的外侧.
z
解:这里 P ( y z)x, Q 0, R x y
I 2 (x y z) d xdydz Dxy h2 d x d y
9(7)散度和高斯公式
R( x, y, z)dxdy R[x, y, z1( x, y)]dxdy
1
Dxy
R( x, y, z)dxdy R[x, y, z2( x, y)]dxdy
2
Dxy
R( x, y, z)dxdy 0
3
15
散度和高斯(Gauss)公式
R
dv z
{R[x, y, z2( x, y)] R[x, y, z1( x, y)]}dxdy
点(x,y,z)在曲面上, 可先用曲面方程将被积
函数化简，然后再用高斯公式.
I
1
a
xdydz
ydzdx
zdxdy
z
n
3 dxdydz 3 4 a3 4a2
O
a
a3
x
y
26
散度和高斯(Gauss)公式
对有的非闭曲面的曲面积分,有时可作 辅助面, 化为闭曲面的曲面积分, 然后利用 高斯公式.(将辅助面上的积分减去).
通量的计算公式
Pdydz Qdzdx Rdxdy
3
散度和高斯(Gauss)公式
2.散度
F dS
设有向量场 F(x, y, z),P( x, y, z)为场中任一点,
在P点的某邻域内作一包含P点在其内的闭曲面
,它所围成的小区域及其体积记为 V , 以
表示 从 内穿出的通量, 若当 V 0, 即V
柱面
z
n
的直即线边至界多面相由交于1,两 2点,. 3
三部分组成:
n
: z z1( x, y) (取下侧) 2 : z z2( x, y) (取上侧)
O
x Dxy
y n
3 :母线平行于z轴的柱面. (取外侧)
大学经典课件之高等数学——106高斯公式与散度
cosα ,cos β ,cosγ 是Σ在点( x, y, z)处法向量的方向余弦。
解1 直接用公式
z
∫∫ I = x2dydz + y2dzdx + z2dxdy
⋅h
∫∫Σ
= − [x2
−x
+ y2
−y
Dxy
x2 + y2
x2 + y2
Σ
+ ( x2 + y2 )]dxdy
o
hy
= − ∫∫ ( x2 + y2 )dxdy
,
∂P + ∂Q + ∂R ∂x ∂y ∂z
=
3r 2
−
3( x2 + r5
y2
+
z2)
= 0,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
∫∫ I =
Σ
x r3
d
yd
z
+
y r3
d
z
d
x
+
z r3
d
ห้องสมุดไป่ตู้
x
d
y，r
=
x2 + y2 + z2
在椭球面内作辅助小球面
Σ1 : x2 + y2 + z2 = ε 2
∫∫ ∫∫ 则 I =
R2 − x2 − y2
o
y
∫∫ +
R2 − x2 − y2 ]dxdy = − 1 R Dxy
R2
dxdy
R2 − x2 − y2
∫ ∫ = − 1 2π dθ R
R0
0
R2 R2 −
ρ2
⋅ρdρ
=
10.6 高斯(Gauss)公式与散度
2 2 2 2
xy dydz x ydzdx z ( x y ) dxdy
1
z n1
1
z ( x y ) dxdy
2 2
1
1
( x
2 2
2
y ) dxdy
2
D xy : x y 1
o
y
2
0
d d
3 0
1
2
1
xdydz z dxdy
2
2
z
n2
6 0
2 1
4 dxdy
D xy : x y 1
2 2
6 4 2
2
o
1
y
x
n1
二 散度（divergence）
1 通量
定义1
F ( x, y, z )
设
F ( x , y , z ) 是空间中一向量场，则
M 0 (1, 2 , 3 ),
求
.
M
0
（2） grad ( div F )
解 （1） div F y 2 z 2 x 2
div F ( M 0 ) 2 3 1 14
2 2 2
（2） grad ( div F ) 2 x i 2 y j 2 z k
grad ( div F )
z
解 由高斯公式有
a
( x
yz ) dydz ( y zx ) dzdx ( z xy ) dxdy
o a x
a
y
(1 1 1) dV 3 dV 3a
第六节 高斯公式与散度解析
4.若Σ不是闭曲面，可采用补上若干块曲面
后使之成为闭曲面，补上的曲面要与原曲面 构成外侧或内侧.
例4 计算 I x(8 y 1)dydz 2(1 y2 )dzdx 4 yzdxdy
其中
是由曲线
z
y1,1 y 3绕 y轴
x 0
z
设向量场 F(x, y,z)
P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
称数量 P Q R
x y z ( x, y,z)
为F在点( x, y, z)处的散度(divergence),记为divF ,
即
divF
P
Q
R
x y z
高斯公式可写成 divF dV F dS
其中 为 x2 y2 z2 1的内侧 .
解 记 所围立体区域为 , 则
原积分 [3( x2 y2 z2 ) 6]dxdydz
2
30
d
0
sind
1
0 r
4dr
6
4
3
13
3 2 2 1 8 52 .
5
5
使用Guass公式时应注意:
1. P,Q,R 是对什么变量求偏导数;
设 有向量场
F ( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
沿场中某一定向曲面Σ的第二类曲面积分为
F dS Pdydz Qdzdx Rdxdy
称为向量场F ( x, y, z)向正侧穿过曲面Σ的通量.
2. 散度的定义:
则有公式
(
P x
Q y
R )dV z
高数之高斯公式通量与散度
高数之高斯公式通量与散度高斯公式，也称为高斯定理或高斯‐斯托克斯定理，是矢量分析中的一个重要定理，用于计算矢量场的通量与散度之间的关系。
它是高等数学课程中的一个重要知识点，也是理解物理学、电磁学等领域中的许多现象的基础。
首先，让我们先来了解一下通量和散度的概念。
通量可以理解为矢量场通过一些封闭曲面的流量，即场的一些属性通过单位面积的流量。
通量的计算可以用于解释许多自然现象，比如液体或气体的流动、电场的分布等等。
散度则是矢量场在其中一点上的变化率，表示场在该点的流入流出程度。
散度可以用于描述场的源和汇。
高斯公式则是描述通量和散度之间关系的数学公式，它的数学表达如下：∬S F·dS = ∭V(nabla·F)dV其中，∬S表示对曲面S的积分，F表示矢量场，dS表示曲面S上的面积元素，∭V表示对体积V的积分，nabla·F表示矢量场F的散度。
从公式中可以看出，高斯公式表示了一个重要的等式：其中一矢量场通过其中一封闭曲面的通量等于该场在该曲面所包围的体积中的散度的积分。
也就是说，一个矢量场通过一个封闭曲面的总流量与该场在该曲面所包围的体积中的散度的总和是相等的。
这个公式的物理意义非常重要。
比如，在电磁学中，我们可以将电场看作矢量场，通过高斯公式可以得到一个非常重要的结论：电场通过一个封闭曲面的总通量等于该曲面所包围的电荷的总电荷量的1/ε0倍，其中ε0为真空中的电介质常数。
这就是著名的高斯定律，它是电磁学的基础之一高斯公式也可以应用于流体力学中，用于计算液体或气体通过其中一曲面的流量。
在这种情况下，矢量场就是流速场，而散度就是流速场的变化率，可以描述液体或气体在其中一点上的流入流出程度。
总结起来，高斯公式是描述通量和散度之间关系的重要工具，适用于解释许多自然现象，包括电磁学、流体力学等多个领域。
通过应用高斯公式，我们可以定量地描述和计算矢量场的通量和散度之间的关系，从而更好地理解和解释现象。
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则 uA {uP , uQ, uR} ，
div(uA)
(uP )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(uQ )
( uR )
x
y
z
u P P u u Q Q u u R R u x x y y z z
u( P Q R ) ( u P u Q u R) x y z x y z
的外侧单位法向量， 所围成的区域为Ω 。
总流量 流出的流量—流入的流量。
0 ，流出大于流入，表明 内有“源”；
0 ，流出小于流入，表明 内有“洞”；
0 ，流出等于流入。
10
比式 1 V
v
ndS
表示区域 内有“源”与有“洞”
的平均状态，称为流速场 v 在 内的平均强源；
F(M ) dA
8
d 0 V
2、散度的计算公式：
由高斯公式得：
F
dA
(
P x
Q y
R z
)dv
，
再由积分中值定理可以得到散度的计算公式：
divF(M ) lim 1
P Q R F(M ) dA
d 0 V
由 Gauss 公式得
1 I a2
3( x2 y2 z2 )dxdydz
1 a2
2
d d
0
0
a 3r 2r 2 sin dr
0
12 a3 .
5
6
使用Guass公式时应注意: 是否满足高斯公式的条件?
1． P, Q, R 是否有一阶连续偏导数，又是分别对 什么变量求偏导数。
dv y
Qdz
dx
x
Rdv z
?
Rdx
dy
( )dxdy
Dxy
二．3 一般区域的情形：分块，利用积分可加性
二、应用Gauss公式解题
例1． 计算 I y( x z)dy dz x2dz dx ( y2 xz)dx dy ，
Gauss
8
,
1
3
I 40 .
3
16
1
Dxy
2y
2
x
5
例 3．
计算 I
x3dy
dz
y3dz dx x2 y2 z2
z 3dx
dy
，
是
x2 y2 z2 a2 的内侧。
解： I
x3dy dz y3dz dx z3dx dy a2
，
其中 是锥面 z2 x2 y2 介于 z 0 和 z 2 两平面间
的部分取上侧。
不是封闭曲面，能否直接用高斯公式？
z
解：添补平面 1 : z 2, ( x 2 y2 4) ，
取下侧；
1 z 2
则 1 是一个封闭曲面的内侧， 可用 Gauss 公式求解。
udivA A gardu.
x y z
故高斯公式可以表示为： F dA divFdv 。
Gauss 公式建立了曲面积分与三重积分之间的联系，
其物理意义为：一区域中总散度等于通过边界的通量。
9
下面以流量问题为背景，分析散度的物理意义：
设一稳定的不可压缩的流体速度场为
v(
x,
y,
z)
，流过
有向封闭曲面 外侧的流量 v ndS ，其中n 为
（1） div(aA bB) adivA bdivB ，其中 a,b 是常数。
（2）若 u( x, y, z) 的梯度存在，则 div(uA) udivA A gardu 。
证明：仅证(2). 设 A {P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)} ，
其中是正六面体的外侧（如图所示）。z
解： P y( x z) , Q x2 , R y2 xz ， a
P Q R y x ， x y z
答案： a4
4
5 2
4 o
1
a
3
ay
6
x
例
2
计算 I
2(
x 2
x2 )dy dz 8xydz dx 4x( x z)dx dy
divA M 则表示在点 M 处有“源”与有“洞”的状态：
divv M 0 ，则表示该点处有“正源”；
divv M 0 ，则表示该点处有“负源（洞）”；
divv M 表示该点处“源”与“洞”的强度。
如果 divv(M ) 在场内处处等于零，则称向量场v 为无源场。
11
3、散度的性质
2．Σ 是分片光滑闭曲面，取外侧。
思考题：计算积分 I y ln rdy dz x ln rdz dx zdx dy ，
其中 是椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 的外侧， r
x2 y2 z2 。
7
三、散度
1、定义 设有连续向量场 F ( M ) (M 3R，)点 M ，
dx
Rdx
dy
(
x
y
z
)dv
Gauss 公式的实质：
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲
面上的第二型曲面积分之间的关系.
2
证明 （类比:格林公式的证明思路） z
2
一．考虑简单区域的情形：
分项处理
P ?
x
dv
Pdy dz
Q ?
1
o
Dxy
y
任何包围点 M 的闭曲面 Δ R3 ，设 所围的区域为 ΔΩ ，
体积为 ΔV ，直径为 d，且取外侧，如果当 d 0 时，
比式 1
F(M ) dA的极限存在，则称此极限为向量场
V
F (M ) 在点 M 处的散度，记为 divF (M ) ，即
1
divF(M ) lim
10.5 散度与高斯公式
一、定理（Gauss Th）
设（1） 是分片光滑闭曲面， 是 围成的空间闭区域，
（2） 取外侧，
（3）函数 P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) 在 上
具有一阶连续偏导数，
P Q R
Pdy
dz
Qdz