散度与高斯公式

udivA A gardu.
的外侧单位法向量， 所围成的区域为Ω 。
总流量 流出的流量—流入的流量。
0 ，流出大于流入，表明 内有“源”；
0 ，流出小于流入，表明 内有“洞”；
0 ，流出等于流入。
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比式 1 V


v
ndS
表示区域 内有“源”与有“洞”
的平均状态，称为流速场 v 在 内的平均强源；
，
其中 是锥面 z2 x2 y2 介于 z 0 和 z 2 两平面间
的部分取上侧。
不是封闭曲面，能否直接用高斯公式？
z
解：添补平面 1 : z 2, ( x 2 y2 4) ，
取下侧；
1 z 2
则 1 是一个封闭曲面的内侧， 可用 Gauss 公式求解。



（1） div(aA bB) adivA bdivB ，其中 a,b 是常数。


（2）若 u( x, y, z) 的梯度存在，则 div(uA) udivA A gardu 。

证明：仅证(2). 设 A {P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)} ，
divA M 则表示在点 M 处有“源”与有“洞”的状态：
divv M 0 ，则表示该点处有“正源”；
divv M 0 ，则表示该点处有“负源（洞）”；
divv M 表示该点处“源”与“洞”的强度。
如果 divv(M ) 在场内处处等于零，则称向量场v 为无源场。
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3、散度的性质

则 uA {uP , uQ, uR} ，
div(uA)

(uP )

(uQ )

( uR )
x
y
z
u P P u u Q Q u u R R u x x y y z z
u( P Q R ) ( u P u Q u R) x y z x y z
由 Gauss 公式得
1 I a2

3( x2 y2 z2 )dxdydz


1 a2
2

d d
0
0
a 3r 2r 2 sin dr
0
12 a3 .
5
6
使用Guass公式时应注意: 是否满足高斯公式的条件?
1． P, Q, R 是否有一阶连续偏导数，又是分别对 什么变量求偏导数。
dv y


Qdz
dx
x

Rdv z
?



Rdx
dy
( )dxdy
Dxy
二．3 一般区域的情形：分块，利用积分可加性
二、应用Gauss公式解题
例1． 计算 I y( x z)dy dz x2dz dx ( y2 xz)dx dy ，
x y z

故高斯公式可以表示为： F dA divFdv 。


Gauss 公式建立了曲面积分与三重积分之间的联系，
其物理意义为：一区域中总散度等于通过边界的通量。
9
下面以流量问题为背景，分析散度的物理意义：
设一稳定的不可压缩的流体速度场为
v(
x,
y,
z)
，流过
有向封闭曲面 外侧的流量 v ndS ，其中n 为
10.5 散度与高斯公式
一、定理（Gauss Th）
设（1） 是分片光滑闭曲面， 是 围成的空间闭区域，
（2） 取外侧，
（3）函数 P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) 在 上
具有一阶连续偏导数，
P Q R


Pdy

dz

Qdz

2．Σ 是分片光滑闭曲面，取外侧。
思考题：计算积分 I y ln rdy dz x ln rdz dx zdx dy ，

其中 是椭球面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1 的外侧， r

x2 y2 z2 。
7
三、散度
1、定义 设有连续向量场 F ( M ) (M 3R，)点 M ，
Gauss

8

,
1
3
I 40 .
3
16
1
Dxy
2y
2
x
5
例 3．
计算 I

x3dy

dz
y3dz dx x2 y2 z2
z 3dx

dy
，

是
x2 y2 z2 a2 的内侧。
解： I

x3dy dz y3dz dx z3dx dy a2
其中是正六面体的外侧（如图所示）。z
解： P y( x z) , Q x2 , R y2 xz ， a
P Q R y x ， x y z
答案： a4
4
5 2
4 o
1
a
3
ay
6
x
例
2
计算 I



2(
x 2

x2 )dy dz 8xydz dx 4x( x z)dx dy
dx
Hale Waihona Puke Baidu

Rdx

dy


(
x

y

z
)dv
Gauss 公式的实质：
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲
面上的第二型曲面积分之间的关系.
2
证明 （类比:格林公式的证明思路） z
2
一．考虑简单区域的情形：
分项处理
P ?

x
dv



Pdy dz
Q ?
1
o
Dxy
y

F(M ) dA
8
d 0 V
2、散度的计算公式：
由高斯公式得：


F


dA



(
P x

Q y

R z
)dv
，
再由积分中值定理可以得到散度的计算公式：
divF(M ) lim 1
P Q R F(M ) dA
d 0 V
任何包围点 M 的闭曲面 Δ R3 ，设 所围的区域为 ΔΩ ，
体积为 ΔV ，直径为 d，且取外侧，如果当 d 0 时，
比式 1

F(M ) dA的极限存在，则称此极限为向量场
V
F (M ) 在点 M 处的散度，记为 divF (M ) ，即
1

divF(M ) lim