导数之一：导数求导与切线方程

导数之一：导数求导与切线方程

本章节知识提要

微积分战施定瑚

曲边梯形的ifti枳卜―|定积分|——q变連直线运动的胳程

1!

玉硕分在几何、物理中的简单应用］

考试要求1•导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景；（2）理解导数的几何意义.

2•导数的运算

（1）能根据导数定义，求函数y= c（c为常数）,y= x, y= x2, y= x3, y= £, y=vx 的导数；

（2）能利用基本初等函数的导数公式和导

数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax + b）的复合函数）的导数•

3•导数在研究函数中的应用

⑴了解函数单调性和导数的关系，能利用导

数研究函数的单调性，会求函数的单调区间

(其中多项式函数一般不超过三次);

(2) 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).

4•生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题•

5.定积分与微积分基本定理

⑴了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；

(2) 了解微积分基本定理的含义

导数(1)：求导与切线

【知识点梳理】

1.求导公式与求导法则：

C' 0 ；(x n)' nx n 1；(sin x)' cosx ；(cosx)' sinx・

2. 法则 1

(cf(x))' c.f(x)

法则2 [f(x) g(x)]' f '

(x) g '

(x)・

法贝V 3 [f(x)g(x)] f'(x)g(x)

f(x)g'(x) ,

[cf(x)] cf'(x).

法则 4：

5化(〔(恥)(g(x) 0)

g(x)

g (x)

3•利用导数求曲线的切线方程：函数y f(x)在点 x o

的导数的几何意义就是曲线y f(x)在点P (x 0

,y o

)处 的切线

的斜率，也就是说，曲线y f(x)在点p(x °,y °

)处 的切线斜

率是f(x o

),切线的方程为y y o

f(G(x x o

) 曲线f(x)在

A ( m,n )处的切线方程求法：

① 求函数f(x)的导数f ' (x).

② 求值：f ' (m)得过A 点的切线的斜率 ③ 由点斜式写出切线方程： y -n = f '

(m)(x-m)

【精选例题】

例1 .求下列函数的导函数 1. f (x) x 2. f (x) e 2

3. y=2x+3

(In x)'

x x

(e )' e

(a x )' a x l na

4. f(x) x

5.y=x2+3x-3

6. y

7. f (x) 2x1 nx 8. f(x) sin(x) 2x‘9. f(x)也2x

x

例2：.求函数y x2 1在—1,0, 1处导数

例3：已知曲线y〕x3上一点P ( 2, ?),求点P

3 8

处的切线的斜率及切线方程？例4：已知曲线y (1) 求曲线在点P(2, 4)处的切线方程；⑵

求曲线过点P(2, 4)的切线方程。

分析：“该曲线过点P(2, 4)的切线”与“该曲线在点P(2,4)处的切线方程”是有区别的：过点P(2,4)的切线中，点P(2, 4)不一定是切点；在点P(2, 4)处的切线中，点P(2,4)是切点。

例5：曲线y 5.x上与直线y 2x 4平行的切线方程分析：首先对y 5 ｛求导，因为与直线平行所以切线的斜率为2,再根据斜率等于2求出切点，再用直线的点斜式方程写出就得，

『基础训练A组〗

1 •已知函数f(x) xlnx,则 f (x)()

A、x2 i

B、x In x +1

C、In x + 1

D、x +1 2. y=ln丄，则y'等于()

x

B.-x

C.

D.

3•.函数y ax2 1的图象与直线y x相切，则a等于

()

A. 1

B. 1

C. 1

D. 1

8 4 2

4.曲线y 2x2 1在P（-1,3）处的切线方程为（

）

A. y 4x 1

B. y 4x 7

C. y 4x 1

D. y 4x 7

5.已知直线y kx 1 ^与曲^线y x3 ax b切于点（1,

3）

则b的值为（)

A. 3

B. -3

C. 5

D. -5

6.若曲线y x4的一条切线l与直线x 4y 8 0垂直，

则1的方程为（)

A ・4x y 3 0

B . x 4y 5 0

C . 4x y 3 0

D. x 4y 3 0

7 .若函数y mx2mn的导数为

y 4x3,则

m=,n=

4

&若曲线y=[+x过点P的切线垂直于直线y= 4x，求这条切线的方程

9 •已知曲线y 1x3上一点P （2, 8）,求点P处的

3 8

切线的斜率及切线方程?

〖提高训练B组〗

10.曲线y |x2上哪一点的切线与直线y 3x 1平行

11 ・已知曲线C: y=ax4+bx3+cx2+dx+e过点A (0, —1)且关于y轴对称，若C在x=1处的切线方程2x+y —2=0,求曲线C的方程。