122二次根式的乘除法
二次根式乘除法则
二次根式乘除法则1. 二次根式的定义与性质二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。
二次根式可以表示为分数形式，即a的平方根除以b的平方根，其中a和b是正实数。
下面是一些二次根式的性质： - 乘法性质：√a * √b = √(a * b) - 除法性质：√a / √b = √(a / b)，其中b不等于0 - 同底数相加减：√a ± √b = √(a± b)2. 二次根式的乘法法则a) 同底数相乘当两个二次根式具有相同的底数时，可以将它们相乘，并将底数保持不变。
例如：√2 * √3 = √(2 * 3) = √6b) 不同底数相乘当两个二次根式具有不同的底数时，可以将它们相乘，并合并为一个二次根式。
例如：√2 * √6 = √(2 * 6) = √12 = 2√33. 二次根式的除法法则a) 同底数相除当两个二次根式具有相同的底数时，可以将它们相除，并将底数保持不变。
例如：√6 / √2 = √(6 / 2) = √3b) 不同底数相除当两个二次根式具有不同的底数时，可以将它们相除，并合并为一个二次根式。
例如：√12 / √2 = √(12 /2) = √64. 二次根式乘除法的综合运用a) 乘法与除法的结合运算在一个表达式中同时使用乘法和除法时，我们可以先进行乘法运算，再进行除法运算。
例如：(√3 * √5) / (√2 * √4) = (√15) / (√8)b) 化简复杂的二次根式当一个二次根式较为复杂时，我们可以通过化简来简化计算。
例如：√(18/9) = (√18) / (√9) = (√2 * √9) / (√3 * √3) = (3√2) / 3 = √25. 实际问题中的应用二次根式乘除法经常在解决实际问题中被使用。
下面是一些实际问题的例子：a) 计算面积和体积当计算图形的面积或体积时，我们经常会遇到涉及二次根式乘除法的问题。
例如，计算一个圆的面积可以使用公式A = πr²，其中r是圆的半径。
二次根式的运算加减乘除
二次根式的运算加减乘除二次根式，是指具有根号的数学表达式，常见形式为√a或√(a + b)，其中a和b为实数。
本文将围绕二次根式的运算进行讨论，包括加法、减法、乘法和除法。
一、二次根式的加法对于两个具有二次根式形式的数，如√a和√b，它们的和可以通过以下步骤进行计算：Step 1: 将两个二次根式化简为最简形式，即将根号内的数分解为互质的因数。
例如，√20可以化简为√(4 × 5)，再进一步化简为2√5。
Step 2: 将化简后的二次根式进行合并，即将含有相同根号部分的项相加。
例如，对于√20 + √45，可以分别先将二次根式化简为2√5和3√5，然后相加得到5√5。
因此，二次根式的加法运算要先将根号内的数化简为互质的因数，然后合并相同根号部分。
二、二次根式的减法二次根式的减法与加法类似，也需要先将根号内的数化简为最简形式，然后合并相同根号部分。
以下是减法的步骤：Step 1: 将两个二次根式化简为最简形式。
Step 2: 将化简后的二次根式进行合并，即将含有相同根号部分的项相减。
例如，对于√20 - √45，可以先将二次根式化简为2√5和3√5，然后相减得到-√5。
需要注意的是，减法运算中可能会出现负数的结果，这也是合理的。
三、二次根式的乘法二次根式的乘法运算可以通过以下步骤进行：Step 1: 将两个二次根式进行分解，将根号内的数分别因式分解为互质的因数。
例如，对于√20 × √45，可以将20分解为2 × 2 × 5，45分解为3 × 3 × 5。
Step 2: 将每个二次根式的因数进行合并。
例如，√20 × √45可以化简为(2 × √5) × (3 × √5)。
Step 3: 将合并后的二次根式继续化简为最简形式。
对于(2 × √5) × (3 × √5)，可以合并根号前的系数，得到6 × √(5 × 5)，即6 × √25。
二次根式的乘除
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目录
• 引言 • 二次根式的乘法规则 • 二次根式的除法规则 • 二次根式的乘除混合运算 • 练习和巩固
01
引言
目的和背景
理解二次根式的乘除运算规则
本节旨在介绍二次根式的乘除运算规则，帮助学生掌握其原 理和应用。
为后续学习打下基础
掌握二次根式的乘除运算对于后续学习代数、三角函数等领 域具有重要意义。
$frac{sqrt{20}}{5} div frac{sqrt{15}}{10} = frac{sqrt{20}}{5} times frac{10}{sqrt{15}} = frac{4sqrt{5}}{3}$
$frac{sqrt{3}}{sqrt{2}} div frac{sqrt{5}}{sqrt{4}} = frac{sqrt{3}}{sqrt{2}} times frac{sqrt{4}}{sqrt{5}} = frac{sqrt{6}}{2}$
THANKS
谢谢您的观看
除法的运算规则
01
02
03
除法运算的顺序
先进行括号内的运算，再 进行除法运算。
除法运算的简化
在运算过程中，尽可能将 复杂的二次根式化简为简 单的二次根式。
除法运算的化简
在运算过程中，将除法转 换为乘法，并利用根式的 乘法运算法则进行化简。
除法的运算实例
$frac{2}{sqrt{3}} div frac{1}{sqrt{6}} = frac{2}{sqrt{3}} times sqrt{6} = 2sqrt{2}$
练习和巩固
基础练习题
计算 $sqrt{2} times sqrt{3}$
计算 $(sqrt{5} + 1)(sqrt{5} - 1)$
人教版初中数学讲义第12章二次根式122二次根式的乘除.doc
教学目标
1.能运用除法法则埠=箱（gMO,方＞0）,进行二次根式的除法运算；
2.能逆用二次根式的除法运算法则，对简单的二次根式进行化简；
3.在解问题的过程屮培养学生探究意识、合作意识.
教学重点
二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质的应用.
教学难点
商的算术平方根的性质的理解与运用.
二次根式的除法运算法则的意义.
总结）:
等式
名成立的条件是•
等式、
-J龙立的年晃r>
（a20,h>0）的理解，特别对
2'Vx-2
1 x-2
/月乂4乂口 力、1 1疋兀”
厶一2
2・
括号中成立的条件加以解释，使学生
练习等式空=成立的条件是・
V 2—xV2—x
7生练习.
独立思考，回答问题：
等式、迂=芈旦成立的条件是一1V2—xJ2—x
V255V 77
同吋，提高学生的观察分析能
活动二 商的算术平方根的性质进行化简.
力，増强运算能力，培养学生的逆向
化简：
(3)
9
4
思维能力.
⑴娱
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V 25
、2b
(4)
(QO,b>Q)—•
rr
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3q
(3)J—；
(4)J
企(心0,b>0).
V16
V
9a2
学生练习.
学生练习：
独立思考，解决问题（学生板演）：
0V2.
认识到这里qNO过程 中养成严谨的习惯，激发学生探究问 题的兴趣.
拓展提高:
1•计算2足三足;
2.已知一个长方形的面积为2V6cm2,其屮一边长为
二次根式的乘除法
VS
方法
利用平方差公式、完全平方公式等化简二 次根式；利用通分、约分等方法简化二次 根式的分母；将二次根式化为最简二次根 式。
简化二次根式的实例
• $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$（利用平方差公式） • $\frac{\sqrt{64}}{2\sqrt{2}} = \frac{8}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$（利用约分方法简化
05
习题与解答
二次根式乘除法的习题及解答
• 习题1：$\sqrt{12} \times \sqrt{3}$ • 解答：$\sqrt{12} \times \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6$ • 习题2：$\sqrt{25} \div \sqrt{4}$ • 解答：$\sqrt{25} \div \sqrt{4} = \sqrt{25/4} = \sqrt{6.25} = \frac{5}{\sqrt{4}} = \frac{5}{2}$
除法运算实例
例子1
$\frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$
例子2
$\frac{\sqrt{10}}{5} + \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{10} + 2\sqrt{5}}{5}$。
分母） • $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times
二次根式的乘除课件
乘法运算规则
01
两个二次根式相乘，其结果是被 开方数相乘，根号不变。
02
例如：$\sqrt{3} \times \sqrt{4} = \sqrt{3 \times 4} = \sqrt{12}$
实例解析
计算实例
$\sqrt{5} \times \sqrt{10} = \sqrt{5 \times 10} = \sqrt{50}$
在进行乘法运算时，需要将二次根式 进行相乘，并化简为最简二次根式。 具体来说，如果两个二次根式的被开 方数相同，则它们可以进行相乘；如 果两个二次根式的被开方数不同，则 需要先进行换元，将它们都转换为被 开方数相同的二次根式，再进行相乘 。
除法运算规则
在进行除法运算时，需要将被除式进 行分母有理化，并化简为最简二次根 式。具体来说，如果被除式的分母是 一个完全平方数，则可以将被除式转 换为有理分式；如果被除式的分母不 是一个完全平方数，则需要先进行换 元，将被除式转换为分母为完全平方 数的有理分式，再进行分母有理化。
在几何图形中的应用
计算面积和周长
在几何图形中，二次根式可以用 来计算图形的面积和周长。例如 ，在矩形、三角形等图形中，可 以通过二次根式计算其面积和周
长。
求解最值问题
在几何图形中，可以利用二次根 式来求解一些最值问题，如最大
值、最小值等。
判断形状
通过比较不同图形的面积或周长 ，可以利用二次根式来判断图形
将除法转化为乘法
将除法问题转化为乘法问题，利用乘法的性质进行计算。
分子分母同时平方
将除数和被除数分别平方，然后进行约分，得到最终结果。
实例解析
实例1
实例3
$\frac{4}{\sqrt{3}}$ 的计算过程及结 果解析。
二次根式的乘除
二次根式的乘除•二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•复杂表达式中二次根式乘除处理策略目录•误差传递与数值稳定性问题探讨•总结回顾与拓展延伸二次根式基本概念与性质二次根式定义及表示方法二次根式定义二次根式的表示方法二次根式性质介绍$sqrt{a^2} =a|$（$a in R$）：此性质可将根号外的因式平方后移到根号内，但需注意结果需加绝对值。
$(sqrt{a})^2 = a$（$…此性质可将根号内的式子平方后移到根号外。
$sqrt{ab} = sqrt{a…此性质可将两个二次根式相乘，结果仍为二次根式。
$frac{sqrt{a}}{sq…此性质可将两个二次根式相除，结果仍为二次根式。
解根据二次根式的性质，有= sqrt{16} times sqrt{x^2} times sqrt{y^4} = 4xy^2$解解根据二次根式的除法性质，有$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$例1$x > 0, y > 0$）。
例2例3$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。
010203040506典型例题分析二次根式乘法运算规则同类二次根式乘法法则0102不同类二次根式乘法转化方法利用乘法公式进行运算，如平方差公式、完全平方公式等。
乘法运算中注意事项在进行二次根式乘法运算时，要确保被开方数是非负数。
对于含有字母的二次根式，在乘法运算中要注意字母的取值范围，确保二次根式有意义。
在化简二次根式时，要遵循最简二次根式的两个条件：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
二次根式除法运算规则同类二次根式除法法则同类二次根式可以直接进行除法运算，即被除式的系数除以除式的系数，根指数不变，被开方数相除。
若被开方数可以开得尽方，则结果化为最简二次根式；若被开方数不能开得尽方，则结果保留根号形式。
二次根式的乘除
例1
(1) 6 7
解:
1 ( 2) 32 2
(1) 6 7 6 7 42
1 1 ( 2) 32 32 16 4 2 2
一般的：
a b ab
反过来：
（a≥0，b≥0）
（a≥0，b≥0） ab a b
也就是说，积的算术平方根，等于各因式 算术平方根的积。
2
(a 0) 化简
化 简
(1). 8 ; (2). 18; (3). a
3
观察可能导致发现,观察将揭示某 种规则、模式或定律。 ——波利亚
利用这个性质可以进行二次根式的化简。
例2 化简 12 ，使被开方数不含完全平方的因数。
解： 12 = 22 3来自= =222 3
3
做一做
计算下列各式，并将所得的结果化简是：
1
3 6
2
5 15
化简二次根式的步骤：
1.将被开方数尽可能分解成几个完全平方数.
2.应用
ab a b
6 4 9 _____
2、 16 25 20 ___, 16 25 _____ 20
用你发现的规律填空,并用计算器验算
＝ 6; 1 、 2 3 ___ ＝ 10 2、 2 5 ___
归
纳
a b a b (a 0, b 0)
二次根式乘法法则:
两个算术平方根的积，等于它们被开方数 的积的算术平方根。
3.将平方项应用 化简.
a a ( a 0)
2
1.本节课学习了算术平方根的积和积的算术平方 根。
a b ab
a≥0,b≥0
(a 0, b 0)
二次根式运算法则公式
二次根式运算法则公式二次根式的运算法则公式，那可是数学世界里相当重要的一部分！咱先来说说二次根式的乘法法则。
就比如说，有两个二次根式，分别是√a 和√b ，那么它们相乘，结果就是√(ab) 。
这就好像是两个队伍合并，把它们的力量整合到一起。
给您举个例子，假设 a = 4 ，b = 9 ，那么√4 × √9 就是 2 × 3 = 6 ，而√(4×9) 也就是√36 ，同样等于 6 ，您瞧瞧，是不是一回事儿？再讲讲除法法则。
如果还是√a 除以√b （b 不等于 0 ），那结果就是√(a÷b) 。
这就好比把一堆东西按比例分配。
我记得之前有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小调皮鬼总是搞不明白。
我就给他打了个比方，我说这二次根式的运算就像是搭积木，乘法是把积木堆在一起，除法是把积木按份数分开。
这孩子眨眨眼睛，好像突然开窍了，后来做题的时候做得可顺溜了。
然后是二次根式的加减法。
只有当它们的被开方数相同的时候才能相加减，把系数相加减就行，根式部分不变。
比如说3√2 + 5√2 ，那结果就是8√2 。
这就好像是一群长得一模一样的小伙伴，只是数量不同，把数量加起来就行。
在实际运用中，二次根式的运算法则公式那可是用处大大的。
比如在解决几何问题的时候，计算图形的边长、面积啥的，经常能用到。
还有啊，二次根式的化简也离不开这些法则公式。
要把一个二次根式化简成最简形式，就得根据这些法则来操作。
就像给一个乱糟糟的房间整理打扫，最后变得整整齐齐。
总之，二次根式的运算法则公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去理解，多做几道题练练手，就能把它掌握得妥妥的！以后再遇到相关的问题，那都能轻松应对，不在话下！。
二次根式的运算法则
二次根式的运算法则二次根式是数学中常见的一种形式，它可以表示方程中的未知数，也可以用于求解几何问题等。
在进行二次根式的运算时，有一些特定的法则需要遵循，这些法则能够帮助我们简化运算并得到准确的结果。
一、二次根式的乘法法则当我们需要计算两个二次根式的乘积时，可以按照以下步骤进行：步骤一：将每个二次根式的根号内的数相乘，这个过程叫做“合并”根号内的数。
步骤二：将两个二次根式的合并结果相乘，这个过程叫做“合并”二次根式。
举例来说，假设有两个二次根式√a和√b，它们的乘积可以表示为√a * √b = √(a * b)。
在计算过程中，我们先将根号内的数相乘，然后再合并二次根式。
二、二次根式的除法法则当我们需要计算两个二次根式的除法时，可以按照以下步骤进行：步骤一：将被除数和除数的根号内的数分别合并。
步骤二：将被除数的根号内的数除以除数的根号内的数。
步骤三：将合并后的数放在根号内。
举例来说，假设有两个二次根式√a和√b，它们的除法可以表示为√a / √b = √(a/b)。
在计算过程中，我们首先将根号内的数合并，然后再进行除法运算。
三、二次根式的加减法法则当我们需要计算两个二次根式的加法或减法时，可以按照以下步骤进行：步骤一：将每个二次根式的根号内的数合并。
步骤二：对合并后的数进行加法或减法运算。
步骤三：将结果放在根号内。
举例来说，假设有两个二次根式√a和√b，它们的加法可以表示为√a + √b，减法可以表示为√a - √b。
在计算过程中，我们先将根号内的数合并，然后再进行加法或减法运算。
综上所述，二次根式的运算法则包括乘法法则、除法法则和加减法法则。
这些法则可以帮助我们在处理二次根式时，简化运算、得到准确的结果。
通过熟练掌握这些法则，我们可以更加高效地解决与二次根式相关的数学问题。
二次根式二次根式的乘除法
二次根式二次根式的乘除法一、知识概述1、二次根式的定义形如的式子，叫做二次根式．注意：二次根式有意义的条件是a≥0．2、二次根式的基本性质(1)是一个非负数；(2) ；(3) ．3、二次根式的乘法法则即两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．4、积的算术平方根的性质即两个非负数的积的算术平方根，等于这两个因数的算术平方根的乘积．5、二次根式的除法法则即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．6、商的算术平方根的性质7、最简二次根式满足下列条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式称为最简二次根式．二、重难点知识归纳1、从二次根式的定义看出，二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，且被开方数必须是非负数．2、二次根式的性质具有双重非负性，即二次根式中被开方数非负（a≥0）,算术平方根非负(≥0).3、利用得到成立，可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式．如．4、注意逆用二次根式的乘除法则，即，，利用这两个性质可以对二次根式进行化简．5、二次根式的运算中，最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式．最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．化简方法有多样，但都要化简．如化简．方法1：．方法2：．方法3：．方法4：6、二次根式的分母有理化当被开方式中含有分母时，要把分母中的根号化去，这个运算过程叫分母有理化．如分母含时，分子分母同乘以；分母为形式，分子分母同乘以，以便运用平方差公式，化去分母中的根号．三、典型例题讲解例1、已知，化简.解析：因为，由二次根式的被平方数为非负性知：x－2≥0且x-2≤0，从而x=2。
所以。
故有。
例2、已知等式在实数范围内成立，其中x、y、a 是两两不同的实数，试求代数式的值．解：由题意得∴由①③得a≥0，由②④得a≤0．∴a=0．故：原等式可化为，∴x=－y．∴例3、计算下列各题．解：例4、已知求二次根式的值.分析：将作为一个整体，逐步平方得到的值.例5、已知x、y为实数，且实数m适合关系式，试确定m的值．分析：∵x－199＋y与199－x－y互为相反数，且x－199＋y≥0，199－x－y≥0同时成立，∴x－199＋y=0，即x＋y=199，又由算术平方根是非负数，可得到关于x、y、m的方程组，从而求出m的值．解：由二次根式有意义的条件知，∴x＋y=199将其代入已知等式得．又根据算术平方根为非负实数有②×2－①得x＋y－m＋2=0，结合③得m=x＋y＋2=199＋2=201．总结：当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零．例6、把下列各式化成最简二次根式：分析：（1）～（4）题均不含分母，因此要将其化为最简二次根式，即是将被开方数中能开得尽方的因数或因式运用积的算术平方根的性质，将其移至根号外，（5）～（8）题都含有分母，应首先根据分式的基本性质，将分母化为能开得尽方的，然后再运用商的算术平方根的性质将其化简，但不要忽视分子中含有能开得尽方的因式或因数也要化简．总结：（1）当被开方数中不含有分母，则用积的算术平方根性质进行化简；（2）当被开方数中含有分母，化简时既要用到商的算术平方根，也要用到积的算术平方根．中考解析：例1、（2006年.广州）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）．A．x>0B．x≥0C．x≠0D．x≥0且x≠1分析：代数式在实数范围内有意义，则被开方数x≥0,又分母不能为零，即x－1≠0,所以x≥0且x≠1．答案：D例2、（2005年，绍兴）化简得（）A．2B．－4x＋4C．－2D．4x－4分析：要注意题目中的隐含条件：2x－3≥0，∴2x－1>0. 由二次根式的双重非负性化简，所以．答案：A课外拓展：例1、已知，求a＋b＋c的值．分析：已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式如何才能确定未知量的值呢？由二次根式的基本性质考虑配方．解：原等式变形为，配方得则得a=2，b=6，c=12，故a＋b＋c=20．例2、若a=－1，求(a5＋2a4－17a3－a2＋18a－17)99的值．思路：本题若将a=－1代入，确实繁杂，联想到以前学过的整体求值，因此应在a=－1上做文章．解：∵a=－1，∴(a＋1)2=()2即a2＋2a＋1=17．又∵a5＋2a4－17a3－a2＋18a－17= a5＋2a4－(a2＋2a＋1)·a3－a2＋(a2＋2a＋1＋1)a－(a2＋2a＋1)=a5＋2a4－a5－2a4－a3－a2＋a3＋2a2＋2a－a2－2a－1=－1．∴原式=－1．总结：本题是构造出值为17的代数式，然后依据待求式中多次出现17的特点，采用宾主置换的方法，得到简捷的解法，也可以用降次的方法，即将a2=16－2a代入降次求解A 卷一、选择题1、若=x－1，则x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≤1 C．x>1 D．x<12、二次根式中，最简二次根式的个数为（）A．5个B．4个C．3个D．2个3、设a为实数，则的最小值是（）A．1 B．0 C．D．4、若1≤a≤3，化简|a－1|＋的结果为（）A．2 B．－2 C．2a＋2 D．2a－45、当x≤2时，下列等式一定成立的是（）A．B．C．D．6、化简的结果为（）A．B．C．D．7、计算=（）A．1 B．－1 C．D．－8、已知，则的值为（）A．3 B．－3 C．±3 D．9B 卷二、解答题9、已知实数a满足，求a－20052的值．10、设a、b、c都是实数，且满足，求x2＋x＋1的值．11、化简：．12、计算下列各题；；；．13、化简下列各式．14、若实数x，y满足，试求x＋y的值．一．选择题1.A2.D3.D4.A5.C6.C7.D8.A二．解答题9.解：由知a≥2006，∴原式可化为即a－2006=20052，∴a－20052=200610.解：∵(2－a)2≥0，，|c＋6|≥0.而..将a=2，b=2，c=－6代入ax2＋bx＋c=0中得2x2＋2x－6=0，即x2＋x=3．∴x2＋x＋1=4．11.解：由可知x－1≥0即x≥1.12.解：13.解：．14.解：由题意有∴x=2．当x=2时，y=1，∴x＋y=3．。
二次根式的乘除运算法则
二次根式的乘除运算法则二次根式的乘除运算法则是数学中的一个基本符号，可以用来求出二次根式的乘法和除法结果。
该款运算法则适用于任何两个以上的二次根式。
它包含4个元素：多项式、根式、因子和被除数。
第一，多项式。
对于乘法或除法，多项式是二次根式的基本单位，其中每个元件都是一个以上的二次根式。
第二，根式，也称为单数。
它是一个二次根式，其中夹着一个二次根号和两个多项式，即多项式的系数和指数。
第三，因子。
在乘法中，因子是指二次根式的系数相乘之后得到的结果；在除法中，因子是指二次根式的系数除以被除数而得到的结果。
第四，被除数。
在二次根式的除法中，被除数是指除多项式的系数与二次根式的系数之间的比值。
基于上述提到的几个要素，我们来看看二次根式的乘法运算法则的具体内容：首先，多项式的每个因子都要乘以另一个相同的多项式。
然后，所有根式的系数都要相乘。
最后，因为无论是乘法还是除法，结果的指数要比原二次根式的指数增加2，所以在最后得到的结果多项式系数与根式系数必须为2。
同样，我们也可以用一样的方法来计算二次根式的除法运算：首先，多项式的每个因子都要除以另一个相同的多项式。
然后，所有根式的系数要除以被除数。
最后，结果的指数要比原二次根式的指数减2，所以在最后得到的结果多项式系数与根式系数必须为2。
以上就是二次根式的乘除运算法则的全部内容。
二次根式的乘除运算是一种很重要的数学运算，它可以通过四个要素来确定运算的结果：多项式、根式、因子和被除数，可以用来求出乘法或者除法的结果。
通过学习和熟悉二次根式的乘除运算法则，可以帮助我们更好地理解相关数学知识，并有效地提高我们的数学计算能力。
二次根式的乘法法则及逆运算公式
二次根式的乘法法则及逆运算公式二次根式的乘法法则及逆运算公式二次根式在高中数学中是一个重要的概念，它的乘法法则和逆运算公式也是我们必须掌握的知识点。
接下来，我们将按类别介绍这两个公式，并提供详细的解释和例子。
一、二次根式的乘法法则二次根式乘法法则是指两个二次根式相乘时，可以将它们的根号内的数乘起来，并将它们外面的系数相乘。
具体来说，就是：√a × √b = √（ab）其中a和b都是正实数。
这个公式的意思是，在求两个二次根式相乘的结果时，我们可以将它们的根号内的数相乘，然后把它们的积放入一个根号内，从而得到它们的积的平方根。
例如，如果我们要计算√2 × √3，我们可以将它们的根号内的数2和3相乘，得到6，然后将6放入一个根号内，得到√6。
因此，结果为√6。
同样地，如果我们要计算2√5 × 3√2，我们可以将它们的系数2和3相乘，得到6，然后将它们的根号内的数5和2相乘，得到10。
最后，我们将6和10相乘，得到60，然后将60放入一个根号内，得到√60。
因此，结果为6√10。
二、二次根式的逆运算公式对于一个二次根式，我们可以将它化简为一个简单的实数。
这个过程被称为二次根式的逆运算。
具体来说，如果一个二次根式可以表示为c√d的形式，其中c和d都是常数，那么我们可以把它化为一个实数。
二次根式的逆运算公式是：a√b = c√d其中a和b都是正实数，c和d都是实数，且d>0。
为了使用这个公式，我们需要将左侧的二次根式简化为右侧的形式，并确定c和d的值。
例如，如果我们要将4√2化简为c√d的形式，我们需要找到两个数c和d，满足4√2 = c√d。
我们可以发现，2是一个完全平方数（即2 = 1 ×2），因此我们可以将4√2表示为：4√2 = 4√（1×2）= 4√1 × √2= 4 × √2因此，c = 4，d = 2，化简后的结果为4√2 = 4√（1×2）= 4 × √2。
二次根式的运算根式的加减乘除法则
二次根式的运算根式的加减乘除法则根式是数学中的一种特殊表示形式，用来表示不能精确表示的数值。
在根式中，二次根式是一种常见形式，它的运算法则包括加法、减法、乘法和除法。
一、二次根式的加法法则当我们进行二次根式的加法时，要求根号下的数相同，即根号下的数应该是相同的。
例如，要计算√2 + √2，可以将它们合并为2√2。
同理，如果要计算3√5 + 4√5，可以将它们合并为7√5。
这种合并相同根号下数值的方法，使我们可以简化计算过程，得到更简洁的结果。
二、二次根式的减法法则二次根式的减法法则和加法法则类似，也要求根号下的数相同。
例如，要计算√3 - √2，我们无法直接合并，因为它们的根号下的数不同。
在这种情况下，我们可以保持根号下的数不变，得到√3 - √2。
这就是二次根式的减法的最简形式。
三、二次根式的乘法法则当我们进行二次根式的乘法时，可以将根号下的数相乘，然后再把它们的根号提取出来。
例如，要计算√2 × √3，我们可以先把2和3相乘得到6，然后再提取根号，得到√6。
同理，如果要计算2√5 × 3√7，我们可以先将5和7相乘得到35，然后再提取根号，得到6√35。
四、二次根式的除法法则二次根式的除法法则和乘法法则相反，我们可以将根号下的数相除，然后再把它们的根号提取出来。
例如，要计算√5 ÷ √2，我们可以先把5除以2得到2.5，然后再提取根号，得到√2.5。
同理，如果要计算5√10 ÷ 2√3，我们可以先将10除以3得到3.33，然后再提取根号，得到1.83√2。
总结：二次根式的加减乘除法则为：1. 加法法则：要求根号下的数相同，将相同根号下的数值合并，得到最简形式。
2. 减法法则：要求根号下的数相同，保持根号下的数不变，得到最简形式。
3. 乘法法则：将根号下的数相乘，然后提取根号，得到最简形式。
4. 除法法则：将根号下的数相除，然后提取根号，得到最简形式。
这些法则可以帮助我们在进行二次根式的运算时，简化计算过程，得到最简形式的结果。
二次根式的乘除法-知识讲解(提高) (2)
二次根式的乘除法—知识讲解（提高）【学习目标】1、掌握二次根式的乘除法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.2、了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.【要点梳理】知识点一、二次根式的乘法及积的算术平方根1。
乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：;≥0，≥0，…..≥0）;(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.2.积的算术平方根（a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b ≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根1.除法法则：（a≥0，b>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除..要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，a≥0，b>0，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.2.商的算术平方根的性质（a≥0，b>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.知识点三、最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的乘除【高清课堂：二次根式及其乘除法（下）例9 （2），（3）】1.计算：（1）（2014秋•闵行区校级期中）×（﹣2）÷．（2）（2014春·高安市期中）21282aa aa。
12.2二次根式乘除4
12.2 二次根式的乘除（4）教学目标1．使学生能运用法则ba ＝ba （a ≥0，b ＞0）化去被开方数的分母或分母中的根号；使学生能进一步明确二次根式化简结果中的被开方数应不含有能开得尽方的因数或因式，也不含有分母．根式运算的结果中分母不含有根号．2．在解问题的过程中培养学生的探究意识、合作意识．教学重点商的算术平方根的性质及二次根式的除法法则的应用．教学难点商的算术平方根的性质的理解与运用．教学过程（教师）学生活动设计思路情境创设：想一想．ba ＝？（a __，b __），ba＝？（a __，b __）．学生独立思考，回答问题．学生：ba ＝ba （a ≥0，b ＞0），ba ＝ba （a ≥0，b ＞0）．通过两个问题激发学生的学习探究欲．探索活动：活动一问题 1 如何化去34的被开方数中的分母呢？问题 2 如何化去31的被开方数中的分母呢？问题3 如何化去1a（a ＞0）的被开方数中的分母呢？对于更一般的情况：学生分小组讨论后交流．问题 1 板书：34＝34＝32；问题231＝3331＝233＝233＝33；问题 3 当a ＞0时，1a＝1a a a＝2a a＝2a a＝a a；问题 4 当a ≥0，b ＞0时，设计自主探究由具体的数34、31到一般的1a、a b的化简，便于学生理解公式产生的过程．同时，通过学生相互讨论，提高学生的观察分析能力，培养学生善于思考的良好习惯．问题4 如何化去a b（a ≥0，b ＞0）的被开方数中的分母呢？由此你能得到一般的结论吗？a b ＝a b b b＝2ab b＝2ab b＝ab b．31＝13＝1333＝33．活动二例1 化去根号内的分母：（1）32；（2）312；（3）xy 32（x ＞0，y ≥0）．问题 1 如何化去根号下的分母？问题 2 带分数如何化去根号下的分母？能否转化？问题 323y x化去根号下的分母的方法与（1）、（2）相同吗？练习：化简．（1）25；（2）135；（3）35b a（a ＞0，b ≥0）．学生互相讨论，踊跃回答．例1 解：（1）32＝2333＝263＝263＝63；（2）312＝73＝7333＝2213＝2213＝213；（3）当x ＞0，y ≥０时，xy 32＝2333y x x x＝63xy x．练习部分，独立思考，解决问题，部分同学板演．练习：（1）105；（2）455；（3）155ab a．通过例1和练习巩固对公式的理解和应用．活动三想一想：如果上面31首先化成31，那么该怎样化去分母中的根号呢？对于1a该怎样化去分母中的根号呢？31＝31＝3331＝33，11a a aaaa．当一个式子的分母中有根号时，只要分子、分母都乘适当的数或式，就可以使分母中不含有根号．例如，当a ≥0，b ＞0时，a b＝a b bb＝ab b．例2 化简下列各式，使分母中不含根号．（1）32；（2）15x（x ＞0）；（3）3518y x（x ＞0，y ≥0）．学生互相讨论，踊跃回答．例2 解：（1）32＝2333＝63；（2）当x ＞0时，15x＝1555x xx＝55xx；（3）当x ＞0，y ≥０时，3518yx＝352182y x xx＝2106xy x．有学生直接乘以318x ，经过讨论比较后，学生都赞成乘以2x ．练习部分，独立思考，解决问题，部分同学板演．练习：（1）155；（2）24；（3）2156ab a．问题2 由学生归纳教师板书：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含根号．这样化简后得到的二次根式叫做最简二次根式．由具体的数的化简过渡到一般的字母、式子的化简，便于学生理解公式产生的过程．通过例2和练习巩固对公式的理解和应用．问题 13518y x分母最少乘以多少能化去分母中的根号？练习：计算．（1）35；（2）18；（3）3512b a（a ＞0，b ≥0）．问题2 观察例 1 例2中各小题结果，你发现这些结果中的二次根式有什么特点？小结与作业：一般地，二次根式运算的结果中，被开方数中应不含有分母，分母中应不含有根号．那么应该怎样进行这两类二次根式的化简呢？最简二次根式满足什么形式？课后作业：课本P160-161第7、8、9题．学生讨论后共同小结．问题1 当（a ≥0，b ＞0）时，ba ＝bb b a ＝2bab ＝2bab ＝bab ；当（a ≥0，b ＞0）时，ba ＝bbb a ＝bab ．问题 2 化简二次根式实际上就是使二次根式满足：（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）被开方数中不含有分母；（3）分母中不含有根号．通过学生相互讨论，提高学生的观察分析能力，培养学生善于思考的良好习惯．师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力．。
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复习提问
1.什么叫二次根式？
式子 a (a ? 0)叫做二次根式。
2.两个基本性质:
? ?a 2=a (a≥ 0) a (a≥ 0) a 2 =∣a∣ = -a (a＜0)
复习提问
3.二次根式的乘法：
a ? b ? ab(a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根
ab? a ? b (a? 0,b? 0)
(3) 50
?5 2
(6) a2b3 ? ab b
计算：
(1) 3 ? 12
(2) x ? x 3
(3)2 ab ? 3 b ( 4) ? 27 ? 1
a
3
解：(1) 3 ? 12 ? 3? 12 ? 36 ? 6
(2) x ? x 3 ? x ? x 3 ? x 4 ? x 2
练习
计算：
(1)5 12 ? 4 27 (2) 6 ? 15 ? 10
形如 a (a ? 0)的式子叫做二次根式.
2、二次根式有哪些性质？
a ? 0 , a ? 0（. 双重非负性）
? ?2 a ? a(a ? 0) a2 =∣a∣=
a (a≥ 0) -a (a＜0)
试一试
4 ? 9 ? 2? 3 ? 6 4? 9 ? 36 ? 62 ? 66
16 ? 25 ? 4? 5 ? 2200 16? 25? 400 ? 202 ? 200
问题1： ? 4 ? × ? 9 ? (? 4) ? (?9) ？ 问题2： 9 ? 16 ×? 9 ? 19 ？
× 5 2 ? 3 2 ? 5 2 ? 3 2
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例1、计算
(1 ) 3 ? 27
(3) 2a ? 8a ?a ? 0?
( 2 ) 1 ? 32 2
a ? b ? a ? b （a≥0,b≥0)
例题：化简： (1)、27 (2)、a3 (a ? 0)
(3) 4a2b3 (a ? 0,b ? 0)
解:(1)原式= 9 ? 3 ? 9 ? 3 ? 3? 3 ? 3 3
(2)原式= a2 ?a ? a2 ? a ? a a
(3)原式= 22 a2b2b ? (2ab)2 ?b ? 2ab b
(4)原式＝ 2 1 1 ? 1 ＝ 2
5 26 5
3? 6 ＝6
2
5
仍旧作为二 次根号前的 系数。
? ?5xy 2 ? x
计算下列各式 ,观察计算结果 ,你发现什么规律 ?
?1?. 4 ? ?? 2 ??,
9 ?3 ?
?2?.
16 49
?
???
4 7
???,
(3) 2 ＝ 2 33
4 ? ?? 2 ?? 9 ?3 ?
44 ?
99
16 49
?
???
4 7
???
16 ?
49
16 49
2＝ 2
55
a
12.2二次根式的乘除
课前检测:
1、 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(1) 5x ? 1 (2) 3x ? 1
(3) 1 ? 3x 2、计算：
(1)、( 3)2
(4)、? (? 3) 2
(4) 1? x2
(2)、（? 7）2
(3)、（1 ? x4 ? 9 ? 4? 9 16 ? 25 ? 16 ? 25
4、请同学们根据以上例子讨论、归纳总结出一般规律
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二次根式乘法公式
a ? b ? a ? b（a≥0,b≥0)
两个二次根式的 积，等于被开方数 积的算术平 方根。
× 注意： a ? b ? a ? b
求 x ? y ? z 的值：
x ? 2，y ? 6，z ? 3即：x ? y ? z ? 36 ? 6
化简 ? 25x 3 y4
解：由二次根式的意义可知：
? 25x 3 y4 ? 0,? y4 ? 0,? x ? 0.
? ? ? ? 25x 3 y4 ? 25y4 ? ? x 3
? 5y2 ?x ? ? x
2 18 2 18 2
?3 3
试一试
32
计算：(1) 2
(2) 50 10
?3? 4 1 ? 7
5 10
(4)2 11 ? 5 1 26
解：?1? 32? 32? 16? 4
22
?2? 50? 50? 5
10 10
(3)原式＝
41 ? 7＝ 5 10
21 ? 10＝
57
6
如果根号前 有系数，就
把系数相除，
a
规律:
?
b
b
?a ? 0,b ? 0?
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，
作为商的被开方数
a ?
a
?a ? 0,b ? 0?
b
b
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，
作为商的被开方数
例４：计算 解：
?1? 24
3
?2? 3 ? 1
2 18
?1? 24 ?
3
24 ? 3
8?
4? 2 ? 2 2
?2? 3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 18 ? 3 ? 9
解：(1) 3 ? 27 ? 3? 27 ? 81 ? 9
(2) 1 ? 32 ? 1 ? 32 ? 16 ? 4
2
2
(3) 2a ? 8a ? 2a ? 8a ? 16a 2 ? 4a
练习1计算
(1) 2 ? 8
(2) 1 ? 27 3
(3)2 3 ? 3 27
(2) 5a ? 10a3 2
二次根式性质 4:
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根.
思考：二次根式的除法有没有类似的法则呢？ 请试着自己举出一些例子．
探究
(?4)? (?9) ? ? 4 ? ? 9成立吗？
不成立！
? 4、 ? 9没有意义。
练习 1、化简
(1) 24,
?2 6
(2) 72,
?6 2
(4) 9a , ?3 a
(5) 2a2 , ?a 2
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如何化简二次根式
关键：将被开方数因式分解或 因数分解，使出现“完全平方数” 或“偶次方因式”,最后结果的被 开方数中不含能开得尽方的因数 或因式
练习3 化简
(1)、18 (2)、8a3 (a ? 0) (3) 12a3b2 (a ? 0,b ? 0) (4) 45 (5) 24 (6) 32
练习2
一个直角三角形的两条直角边分别长 2 2cm与 10cm ，
求这个直角三角形的面积。
S ? 1 ? 2 2 ? 10 ? 2 （5 cm2） 练习32 （综合练习）
1、 x ? 1 ? x ? 1 ? x2 ? 1的成立的条件是（
）
x ? 1＞0且x ? 1＞0，即：x＞1
2、如果： x ? 2 ? 6 ? y ? z 2 ? 6z ? 9 ? 0