选修2-3随机变量及其分布知识点总结典型例题

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选修2-3随机变量及其分布知识点总结典型例题

2-3随机变量及其分布离散型随机变量及其分布列(1)随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．通常用字母X ，Y ，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．(3)离散型随机变量的分布列：要点归纳一、1．一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2…，x i ，…x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：X x 1x 2…x i …x n Pp 1p 2…p i…p n我们将上表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．有时为了简单起见，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列．(4)离散型随机变量的分布列的性质：①p i ≥0，i ＝1，2，…，n ；② i ＝1np i ＝1.(5)常见的分布列：两点分布：如果随机变量X 的分布列具有下表的形式，则称X 服从两点分布，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率.X 01P1－pp两点分布又称0－1分布，伯努利分布．超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率为P (X ＝k )＝C k M C n －kN －M C n N，k ＝0，1，2，…，m ，即X 01…mP…C 0M C n －N －MC n NC 1M C n －1N －MC n NC m M C n －mN －MC nN其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．二项分布及其应用2．(1)条件概率：一般地，设A 和B 是两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )＝P （AB ）P （A ）为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．P (B |A )读作A 发生的条件下B 发生的概率．(2)条件概率的性质：①0≤P (B |A )≤1；②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0；(4)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．(5)二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为③如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．(3)事件的相互独立性：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立．如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立．P (X ＝k )＝C p k (1－p )n －k ，k ＝0，1，2，…，n .此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．两点分布是当n ＝1时的二项分布，二项分布可以看成是两点分布的一般形式．离散型随机变量的均值与方差(1)均值、方差：一般地，若离散型随机变量X 的分布列为3．Xx 1x 2…x i…x nPp 1p 2…p i…p n则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)均值与方差的性质：若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 是常数，X是随机变量，则Y 也是随机变量，且E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(3)常见分布的均值和方差公式：①两点分布：若随机变量X 服从参数为p 的两点分布，则均值E (X )＝p ，方差D (X )＝p (1－p )．②二项分布：若随机变量X ～B (n ，p )，则均值E (X )＝np ，方差D (X )＝np (1－p )．称D (X )＝ i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，D （X ）为随机变量X 的标准差．④曲线与x 轴之间的面积为1.(3)μ和σ对正态曲线的影响：①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；②当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．(2)正态曲线的特点：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； (4)正态分布的3σ原则：若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N (μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．专题一条件概率1．条件概率的求法(1)利用定义，分别求出P (A )和P (AB )，解得P (B |A )＝ P （AB ）P （A ）.(2)借助古典概型公式，先求事件A 包含的基本事件数 n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.解决概率问题要注意“三个步骤，一个结合”(1)求概率的步骤是：第一步，确定事件性质；第二步，判断事件的运算；第三步，运用公式．(2)概率问题常常与排列、组合知识相结合．2．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．解设“第1次抽到理科题”为事件A ，“第2次抽到理科题”为事件B ，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB .【例1】(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n (Ω)＝A 25＝20.根据分步乘法计数原理，n (A )＝A 13×A 14＝12.于是P (A )＝n （A ）n （Ω）＝1220＝35.求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在些基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解．特别注意以下两公式的使用前提(1)若A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，反之不成立．(2)若A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )，反之成立．专题二相互独立事件的概率1．2．【例2】甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.(1)分别求出甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种：超几何分布与二项分布，由于这两种分布列在生活中应用较为广泛，故在高考中对该知识点的考查相对较灵活，常与期望、方差融合在一起，横向考查．对于分布列的求法，其难点在于每个随机变量取值时相关概率的求法，计算时可能会用到等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式等．均值与方差都是随机变量重要的数字特征，方差是建立在均值这一概念之上的，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活中特别是风险决策中有着重要意义，因此在当前的高考中是一个热点问题．专题三离散型随机变量的分布列、均值与方差1．2．3．(1)求该学生考上大学的概率；(2)如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望．【例3】某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试时间间隔恰当．每次测试通过与否互相独立．X 2345PP (X ＝5)＝C 14·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1627. 故X 的分布列为：E (X )＝2×19＋3×427＋4×427＋5×1627＝389.194274271627(1)写出ξ的概率分布列(不要求计算过程)，并求出E (ξ)，E (η)；(2)求D (ξ)，D (η)．请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛？【例4】 (2012·枣庄检测)某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加．为此，设计了一个挑选方案：选手从6道备选题中一次性随机抽取3题．通过考查得知：6道备选题中选手甲有4道题能够答对，2道题答错；选手乙答对每题的概率都是23，且各题答对与否互不影响．设选手甲、选手乙答对的题数分别为ξ，η.解(1)ξ的概率分布列为ξ123P15 35 15所以E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.由题意，η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，E (η)＝3×23＝2，或者P (η＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127； P (η＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29； P (η＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝49；P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，专题四正态分布某市去年高考考生成绩服从正态分布N (500，502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550～600分的人数．【例5】解 ∵考生成绩X ～N (500，502)， ∴μ＝500，σ＝50， ∴P ＝(550＜X ≤600)＝12[P (500－2×50＜X ≤500＋2×50)－P (500－50＜X ≤500＋50)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 故考生成绩在550～600分的人数约为25 000×0.135 9 ≈3 398(人)．。

随机变量及其分布(高中数学选修2-3)范文

第二章随机变量及其分布A卷（课堂针对训练一）离散型随机变量双基再现1．★随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为 .试验结果的范围相当于函数的，随机变量的取值范围相当于函数的 .2．★从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能的取值有（）A.17个B.18个C.19个D.20个3．★下列叙述中，是随机变量的有（）①某工厂加工的零件，实际尺寸与规定尺寸之差;②标准状态下，水沸腾的温度;③某大桥一天经过的车辆数;④向平面上投掷一点，此点坐标.Ａ．②③Ｂ．①②Ｃ．①③④Ｄ．①③4．★★下列叙述中，是离散型随机变量的为（）A.某人早晨在车站等出租车的时间B.将一颗均匀硬币掷十次，出现正面或反面的次数C.连续不断的射击，首次命中目标所需要的次数D.袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性５．★★抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X>4”表示的实验结果是（）A. 第一枚6点，第二枚2点B. 第一枚5点，第二枚1点C. 第一枚1点，第二枚6点D. 第一枚6点，第二枚1点６．★★随机变量ξ的所有等可能取值为1,2…,n，若()40.3Pξ<=，则（）A．n=3B．n=4C．n=5D．不能确定变式活学7．★（教材2.1.152P练习1的变式）掷一枚硬币两次，可能出现几种结果？你能否用数量来表示这些结果？三次呢？8．★★★（教材2.1.152P练习1的变式）袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回的条件下取球两次，设两次小球号码之和为Y，则Y 所有可能值的个数？｛Ｙ＝４｝的概率是多少？实践演练9．★长江南京下关高潮水位是一个随机变量，但取值可能是任何一个非负实数，不是离散型随机变量。

如果水位超过8.5米的警戒线，南京防汛全面进入实战状态.假设我们只关心水位是否超过警戒线，可以怎样定义一个离散型随机变量，方便我们研究？10．★★★某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足1km的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，（１）他收旅客的租车费η是否也是一个随机变量？如果是，找出租车费η与行车路程ξ的关系式；(２)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?这种情况下，停车累计时间是否也是一个随机变量？A卷（课堂针对训练二）离散型随机变量的分布列双基再现１．★★如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是（）A.X取每一个可能值的概率是非负实数B.X取所有可能值的概率和为1C.X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和D.X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和２．★★下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是A.B .C.D.３．★★已知随机变量X的分布列为,,2,1,21)(===kkXPk则=≤<)42(XP（）A.163B.41C.161D.165４．★★设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量Y 描述1次试验的成功次数,则P(Y=0)=( )A.0B.21 C.31 D.32５．★★设随机变量ξ只能取5，6，7，…，16这12个值，且取每个值的概率相同，则)8(>ξP = .６．★★★设随机变量ξ的概率分布如表求：（1） P(ξ<1)，P(ξ≤1); （2）F(x)=P(ξ≤x)，x ∈R ．变式活学７．★★（教材2.1.257P 习题5的变式）设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=(1)ck k +，k=1，2， 3，…,c 为常数，则P (21<ξ<25)= . ８．★★★（教材2.1.256P 习题4引例的变式）已知随机变量ξ只能取三个值：x 1,x 2,x 3,其概率依次成等差数列，求公差d 的取值范围.实践演练９．★★己知随机变量ξ的分布列如下表所示12布列.１０．★★★从1~10十个整数中一次取出4个数，并由小到大排列，以ξ表示这4个数中的第二个，求ξ的分布列.A 卷（课堂针对训练三）离散型随机变量的分布列双基再现1．★★袋中有大小相同的5个号牌，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回的抽取条件下依次取出两个球，设两球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能取值的个数是（）A.5B.9C.10D.25 ２．★★一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个。

高中数学选修2-3 第二章随机变量及其分布 2-1-1离散型随机变量

一区间内的一切值，无法一一列出，故不是离散型随机变
量．
答案： B
2．某人练习射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完则停止射击，射击次数为X，则“X＝5”表示的试验结果为 ()
A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标 C．前4次均未击中目标 D．前5次均未击中目标解析：射击次数X是一随机变量，“X＝5”表示试验结果“前4次均未击中目标”．答案： C
(4)体积为64 cm3的正方体的棱长． [思路点拨] 要根据随机变量的定义考虑所有情况．
(1)接到咨询电话的个数可能是0,1,2，…出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
(2)该运动员在某场比赛的上场时间在[0,48]内，是随机的，故是随机变量．
(3)获得的奖次可能是1,2,3，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
人教版高中数学选修2-3 第二章随机变量及其分布
第二章随机变量及其分布
2．1 离散型随机变量及其分布列 2．1.1 离散型随机变量
课前预习
1．在一块地里种下10颗树苗，成活的树苗棵树为X. [问题1] X取什么数字？ [提示] X＝0,1,2…10.
2．掷一枚硬币，可能出现正面向上，反面向上两种结果．
3．一个袋中装有5个白球和5个红球，从中任取3个．其中所含白球的个数记为ξ，则随机变量ξ的值域为________．
解析：依题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，故ξ的值域为{0,1,2,3}．
答案： {0,1,2,3}
4．写出下列随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量ξ ＝4所表示的随机试验的结果．
[问题2] 这种试验的结果能用数字表示吗？ [提示] 可以，用数1和0分别表示正面向上和反面向上． [问题3] 10件产品中有3件次品，从中任取2件，所含次品个数为x，试写出x的值． [提示] x＝0,1,2.

选修2-3随机变量及其分布知识点总结材料典型例题

2-3随机变量及其分布离散型随机变量及其分布列(1)随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．通常用字母X ，Y ，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．(3)离散型随机变量的分布列：要点归纳一、1．一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2…，x i ，…x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：X x 1x 2…x i …x n Pp 1p 2…p i…p n我们将上表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．有时为了简单起见，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列．(4)离散型随机变量的分布列的性质：①p i ≥0，i ＝1，2，…，n ；② i ＝1np i ＝1.(5)常见的分布列：两点分布：如果随机变量X 的分布列具有下表的形式，则称X 服从两点分布，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率.X 01P1－pp两点分布又称0－1分布，伯努利分布．超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率为P (X ＝k )＝C k M C n －kN －M C n N，k ＝0，1，2，…，m ，即X 01…mP…C 0M C n －N －MC n NC 1M C n －1N －MC n NC m M C n －mN －MC nN其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．二项分布及其应用2．(1)条件概率：一般地，设A 和B 是两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )＝P （AB ）P （A ）为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．P (B |A )读作A 发生的条件下B 发生的概率．(2)条件概率的性质：①0≤P (B |A )≤1；②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0；(4)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．(5)二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为③如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．(3)事件的相互独立性：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立．如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立．P (X ＝k )＝C p k (1－p )n －k ，k ＝0，1，2，…，n .此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．两点分布是当n ＝1时的二项分布，二项分布可以看成是两点分布的一般形式．离散型随机变量的均值与方差(1)均值、方差：一般地，若离散型随机变量X 的分布列为3．Xx 1x 2…x i…x nPp 1p 2…p i…p n则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)均值与方差的性质：若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 是常数，X是随机变量，则Y 也是随机变量，且E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(3)常见分布的均值和方差公式：①两点分布：若随机变量X 服从参数为p 的两点分布，则均值E (X )＝p ，方差D (X )＝p (1－p )．②二项分布：若随机变量X ～B (n ，p )，则均值E (X )＝np ，方差D (X )＝np (1－p )．称D (X )＝ i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，D （X ）为随机变量X 的标准差．④曲线与x 轴之间的面积为1.(3)μ和σ对正态曲线的影响：①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；②当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．(2)正态曲线的特点：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；(4)正态分布的3σ原则：若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N (μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．专题一条件概率1．条件概率的求法(1)利用定义，分别求出P (A )和P (AB )，解得P (B |A )＝ P （AB ）P （A ）.(2)借助古典概型公式，先求事件A 包含的基本事件数 n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.解决概率问题要注意“三个步骤，一个结合”(1)求概率的步骤是：第一步，确定事件性质；第二步，判断事件的运算；第三步，运用公式．(2)概率问题常常与排列、组合知识相结合．2．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．解设“第1次抽到理科题”为事件A ，“第2次抽到理科题”为事件B ，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB .【例1】(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n (Ω)＝A 25＝20.根据分步乘法计数原理，n (A )＝A 13×A 14＝12.于是P (A )＝n （A ）n （Ω）＝1220＝35.求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在些基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解．特别注意以下两公式的使用前提(1)若A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，反之不成立．(2)若A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )，反之成立．专题二相互独立事件的概率1．2．【例2】甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.(1)分别求出甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种：超几何分布与二项分布，由于这两种分布列在生活中应用较为广泛，故在高考中对该知识点的考查相对较灵活，常与期望、方差融合在一起，横向考查．对于分布列的求法，其难点在于每个随机变量取值时相关概率的求法，计算时可能会用到等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式等．均值与方差都是随机变量重要的数字特征，方差是建立在均值这一概念之上的，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活中特别是风险决策中有着重要意义，因此在当前的高考中是一个热点问题．专题三离散型随机变量的分布列、均值与方差1．2．3．(1)求该学生考上大学的概率；(2)如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望．【例3】某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试时间间隔恰当．每次测试通过与否互相独立．X 2345PP (X ＝5)＝C 14·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1627. 故X 的分布列为：E (X )＝2×19＋3×427＋4×427＋5×1627＝389.194274271627(1)写出ξ的概率分布列(不要求计算过程)，并求出E (ξ)，E (η)；(2)求D (ξ)，D (η)．请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛？【例4】 (2012·枣庄检测)某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加．为此，设计了一个挑选方案：选手从6道备选题中一次性随机抽取3题．通过考查得知：6道备选题中选手甲有4道题能够答对，2道题答错；选手乙答对每题的概率都是23，且各题答对与否互不影响．设选手甲、选手乙答对的题数分别为ξ，η.解(1)ξ的概率分布列为ξ123P15 35 15所以E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.由题意，η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，E (η)＝3×23＝2，或者P (η＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127； P (η＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29； P (η＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝49；P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，专题四正态分布某市去年高考考生成绩服从正态分布N (500，502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550～600分的人数．【例5】解 ∵考生成绩X ～N (500，502)， ∴μ＝500，σ＝50， ∴P ＝(550＜X ≤600)＝12[P (500－2×50＜X ≤500＋2×50)－P (500－50＜X ≤500＋50)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 故考生成绩在550～600分的人数约为25 000×0.135 9 ≈3 398(人)．。

高二数学选修2-3离散型随机变量及分布列(一)

〔1〕求常数a;〔2〕求P(1<ξ<4)
例3：一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、2、3、4、5、
6，现从中随机取出3个小球，以表示取出球的最大号码，
求的分布列．
解：的所有取值为：3、4、5、6．
“ 3” 表示其中一个球号码等于 “3〞，另两个都比“3〞小
“ 4” 表示其中一个球号码等于“4
Y=
0,掷出奇数点 1,掷出偶数点
思考2：
随机变量与函数有类似的地方吗？
随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数。在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域。我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域。
例如，在含有10件次品的100件产品中，任意抽取 4件，可能含有的次品件数X将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量。其值域是{0,1,2,3,4}.
〔4〕接连不断地射击，首次命中目标需要的射击次数．
Байду номын сангаас（＝1、2、3、···、n、···）
连
〔5〕某一自动装置无故障运转的时间．
续
（取0,内的一切值）
型
〔6〕某林场树木最高达50米，此林场树木的高度．
（取0,50内的一切值）
注1：随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。
注2：某些随机试验的结果不具备数量性质，但仍可以用数量来表示它。
P1
2
1 1 …1
48
2 n1
P
1 3
1 2 33
1 3
2 3
2
…
1 3
2 3
n
2、设随机变量的分布列为 P( i) a1i, i 1,2,3

高中数学选修2-3(人教B版)第二章随机变量及其分布2.4知识点总结含同步练习题及答案

f (x) =
相应的曲线称为标准正态曲线．
1 − x2 e 2 , x ∈ (−∞， + ∞) √− 2− π
正态分布（1）正态分布的定义：一般地，如果对于任何实数 a ，b ，随机变量 X 满足
P ( a < X ⩽ b) = ∫
b a
φμ,σ (x)dx
则称随机变量 X 服从正态分布（normal distribution）．正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定，因此正态分布常记作 N (μ, σ 2 )．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为 X ∼ N (μ, σ 2 ) ．
2.正态分布描述：正态曲线的定义如果随机变量 X 的概率密度函数为
φμ,σ (x) =
(x−μ) 1 − 2σ 2 , x ∈ (−∞， + ∞) e √− 2− πσ 2
其中实数 μ 和 σ （ σ > 0 ）为参数．我们称 φμ,σ (x) 的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
当 μ = 0 ， σ = 1 时，函数表达式是
1. 对于标准正态分布 N (0, 1) 的概率密度函数 f (x) = A．f (x) 为偶函数 B．f (x) 最大值为
)
C．f (x) 在 x > 0 时是单调减函数，在 x ⩽ 0 时是单调增函数 D．f (x) 关于 x = 1 对称
答案： D 解析：
1 √− 2− π
f (x) 关于 x = 0 对称． )
2
σ = √2 ，不正确．
(x−μ) 1 − （x ∈ R ），从系数部分看 σ = 2，可是从指数部分看 2σ 2 e √− 2− π ⋅σ
D 错在指数部分缺少一个负号．
2 )（σ > 0）和 N (μ , σ 2 )（σ > 0）的分布密度函数图象如图，则有设两个正态分布 N (μ1 , σ 1 1 2 2 2 （）

高中数学选修2-3 第二章随机变量及其分布 2-1-2离散型随机变量的分布列

所以随机变量ξ的分布列为：
ξ3
4
5
6
P
1 20
3 20
3 10
1 2
[规律方法] 1.确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多或无穷多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．
2．一般分布列的求法分三步：(1)首先确定随机变量ξ的取值有哪些；(2)求出每种取值下的随机事件的概率；(3)列表对应，即为分布列．
人教版高中数学选修2-3 第二章随机变量及其分布
2.1.2 离散型随机变量的分布列
课前预习
1．抛掷一个骰子，用X表示骰子向上一面的点数． [问题1] X的可能取值是什么？ [提示] X＝1、2、3、4、5、6. [问题2] X取不同值时，其概率分别是多少？ [提示] 都等于16.
2．一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3 只，以ξ表示取出的3只球中的最小号码．
特别提醒：两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为1.
2．解决超几何分布问题的关注点 (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆； (2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同m的概率P(X＝m)，从而求出X的分布列．
课堂练习
1．下列表中能成为随机变量X的分布列的是( )
A. X －1
0
1
P －0.1 0.5 0.6
B. X －1
0
1
P 0.3 0.7 －0.1
C. X
－1
0

选修2-3--随机变量及其分布--复习

绵阳市开元中学高2013级高二（下）数学期末复习选修2—3 第二章随机变量及其分布题卷设计：绵阳市开元中学王小凤老师学生姓名一．知识归纳1．离散型随机变量的相关概念（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用字母X 、Y 、ξ、η等表示；》（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。

若ξ是随机变量，a b ηξ=+（a 、b 是常数），则η也是随机变量。

（3）离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量X 可能取的值为12i x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅、，X 取每一个值()1,2,i x i =⋅⋅⋅的概率为()i i p x X P ==，则称表为随机变量X 的概率分布，简称X 的分布列。

》（4）离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：(1) 01,2,i p i ≥=⋅⋅⋅，； 12(2) 1P P ++=2．两点分布：若随机变量X 的分布列为:()1==X P p 为则称随机变量X 服从两点分布. 而称成功概率.3．超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则 &().P X k N =≤即$若随机变量X 的分布列如上表，则称随机变量X 服从超几何分布.4．条件概率：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率。

记作()A B P ，读作A 发生的条件下B 发生的概率. 条件概率计算公式()()()()()A P AB P A n AB n A B P ==性质：（1）()10≤≤A B P （2）若B 与C 为互斥事件，则()()()A C P AB P AC B P +=5．相互独立事件定义：事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响,这样的两个事件^叫做相互独立事件注：（1）判断两事件A 、B 是否为相互独立事件，关键是看A （或B ）发生与否对 B （或A ）发生的概率是否影响，若两种状况下概率不变，则为相互独立.（2）互斥事件是指不可能同时发生的两个事件；相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响.（3）如果A 、B 是相互独立事件，则A 与B 、A 与B 、A 与B 也都相互独立.（4）两个相互独立事件A 、B 同时发生的概率()()()B P A P AB P =(此公式可推广到多个相互独立事件)6．独立重复试验及二项分布（定义：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数X 是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是()k k n kn P X k C p q -==，(0,1,2,,1)k q p ==-由于k k n kn C p q -恰好是二项式展开式：00111()n n n k k n kn n n n n n p q C p q Cp q C p q C p q --+=+++++中的各项的值，所以称这样的随机变量X 服从二项分布，记作(,)X B n p .7．期望数学期望: 则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为X 的数学期望，简称期望数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。

高中数学选修2-3题型总结与强化训练：第五讲离散型随机变量及其分布列

第五讲离散型随机变量及其分布列【教材扫描】1．随机变量(1)定义：在一个对应关系下，随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量． (2)表示：随机变量常用字母X ，Y ，ξ，η等表示． 2．离散型随机变量如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． 3．随机变量和函数的关系随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数，函数把实数映射为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域． 4．离散型随机变量的分布列(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n, X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表：为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．用等式可表示为P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n, 也可以用图象来表示X 的分布列．（2）根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：（1）0i p ≥，1,2,,i n =；（2）1nii p==∑1．5．两个特殊分布 (1)两点分布随机变量X 的分布列是：则称离散型随机变量X 服从两点分布，称p ＝P (X ＝1)为成功概率． (2)超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率P (X ＝k )＝C k M C n －kN －M C n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，称分布列服从超几何分布．[点睛] (1)超几何分布的模型是不放回抽样．(2)超几何分布中的参数是M，N，n．(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成．【知识运用】题型一随机变量的理解【例1】(1)抛掷一枚均匀硬币一次，随机变量为( )A．抛掷硬币的次数B．出现正面的次数C．出现正面或反面的次数D．出现正面和反面的次数之和(2)6件产品中有2件次品，4件正品，从中任取1件，则可以作为随机变量的是( )A．取到的产品个数B．取到的正品个数C．取到正品的概率 D．取到次品的概率[解] (1)抛掷一枚硬币一次，可能出现的结果是正面向上或反面向上．以某一个为标准，如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1，故选B．而A项中抛掷次数就是1，不是随机变量；C项中标准不明；D项中，出现正面和反面的次数之和为必然事件，试验前便知是必然出现的结果，也不是随机变量．(2)由随机变量的定义知，随机变量是随机试验的结果，排除C、D项，又取到的产品个数是一个确定值，排除A项．故选B项．[答案] (1)B (2)B【变式】指出下列哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由：(1)某人射击一次命中的环数；(2)掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数；(3)某个人的属相随年龄的变化．(4)北京国际机场候机厅中2013年5月1日的旅客数量；(5)2013年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；(6)2013年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(7体积为1 000 cm3的球的半径长．解：(1)某人射击一次，可能命中的所有环数是0,1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的，因此命中的环数是随机变量．(2)掷一枚骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪一个结果是随机的，因此出现的点数是随机变量．(3)一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因此属相不是随机变量．(4)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(5)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(6)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(7)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．题型二离散型随机变量的判定【例2】指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)某座大桥一天经过的车辆数X；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.【变式】判断下列变量是否为离散型随机变量：(1)下节课外语老师提问学生的次数η；(2)同时掷两枚硬币得到硬币反面向上的个数X；(3)汽车的使用寿命Y；(4)小麦的单位面积产量X.【解】(1)(2)中的随机变量的取值均能一一列出，故为离散型随机变量．(3)(4)中的随机变量取值不能一一列出，故不是离散型随机变量．题型三：用随机变量表示试验的结果【例3】写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数．(2)从标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．[解] (1)设所需的取球次数为X, 则X＝1,2,3,4，...，10,11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是红球，第i 次取到白球，这里i＝1,2,3,4， (11)(2)设所取卡片上的数字之和为X, 则X＝3,4,5， (11)X＝3, 表示“取出标有1,2的两张卡片”；X＝4, 表示“取出标有1,3的两张卡片”；X＝5, 表示“取出标有2,3或1,4的两张卡片”；X＝6, 表示“取出标有2,4或1,5的两张卡片”；X＝7, 表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片”；X＝8, 表示“取出标有2,6或3,5的两张卡片”；X＝9, 表示“取出标有3,6或4,5的两张卡片”；X＝10, 表示“取出标有4,6的两张卡片”；X＝11, 表示“取出标有5,6的两张卡片”．[一题多变]1．[变条件]若本例(2)中条件不变，所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量ξ，请问ξ有哪些取值？其中ξ＝4表示什么含义？解：ξ的所有可能取值有：1,2,3,4,5．ξ＝4表示“取出标有1,5或2,6的两张卡片”．2．[变条件，变问法]甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用X表示需要比赛的局数，写出X所有可能的取值，并写出表示的试验结果．解：根据题意可知X的可能取值为4,5,6,7．X＝4表示共打了4局，甲、乙两人有1人连胜4局．X＝5表示在前4局中有1人输了一局，最后一局此人胜出．X＝6表示在前5局中有1人输了2局，最后一局此人胜出．X＝7表示在前6局中，两人打平，后一局有1人胜出．题型四求离散型随机变量的分布列【例4】（1）同时掷两枚质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两枚骰子中出现的点数之差的绝对值X 的分布列；（2）袋中装有编号分别为1，2，3，4，5，6的同样大小的6个白球，现从袋中随机取3个球，设η表示取出的3个球中的最小号码，求η的分布列．【解析】（1）易知掷两枚质地均匀的骰子朝上一面出现的点数有36种等可能的情况，X的可能取值为0，1，2，3，4，5，如下表①1η=，最小号码为1，其他2个球在2，3，4，5，6中任取，所以2536C 1(1)C 2P η===；②2η=，最小号码为2，其他2个球在3，4，5，6中任取，所以2436C 3(2)C 10P η===； ③3η=，最小号码为3，其他2个球在4，5，6中任取，所以2336C 3(3)C 20P η===；④4η=，最小号码为4，其他2个球只能取编号为5，6的2个球，所以2236C 1(1)C 20P η===．所以，随机变量η的分布列为η1 2 3 4P12 310 320 120码，写出随机变量ξ的分布列．[解] 随机变量ξ的可能取值为3,4,5．当ξ＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他两只球的编号只能是1,2，故有P (ξ＝3)＝C 22C 35＝110；当ξ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两只球只能在编号为1,2,3的3只球中取2只，故有P (ξ＝4)＝C 23C 35＝310；当ξ＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他两只球只能在编号为1,2,3,4的4只球中取2只，故有P (ξ＝5)＝C 24C 35＝610＝35．因此，ξ的分布列为ξ3 4 5 P110310352某班有学生45人，其中O 型血的有10人，A 型血的有12人，B 型血的有8人，AB 型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X ，求X 的分布列．解：将O ，A ，B ，AB 四种血型分别编号为1,2,3,4，则X 的可能取值为1,2,3,4． P (X ＝1)＝C 110C 145＝29， P (X ＝2)＝C 112C 145＝415，P (X ＝3)＝C 18C 145＝845， P (X ＝4)＝C 115C 145＝13．故其分布列为题型五离散型随机变量分布列性质的应用【例5】（1）设随机变量ξ的分布列为()6k P mk ξ==，1,2,3,4,5,6k =，求常数m 及1()2P ξ≥；（2）已知X 是离散型随机变量，其分布列如下，求n 的值及(0)P X >．【变式】已知随机变量X 的分布列如下表：则x 的值为________，P (23<X <92)＝________.【解析】根据分布列的性质 115＋215＋x ＋415＋13＝1，解得，x ＝15. 当23<X <92时，X ＝1,2,3,4.∴P (23<X <92)＝1－P (X ＝5)＝1－13＝23. 【答案】 15 23题型六两点分布的应用【例6】（1）不透明的袋中装有大小、形状完全相同的5个白球和4个红球，从中随机摸出两个球，记X =0,1,⎧⎨⎩两球颜色相同两球颜色不同，求随机变量X 的分布列；（2）已知一批200件的待出厂产品中有1件次品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量Y 表示抽取的2件产品中的次品数，求Y 的分布列．【变式】袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，两球全红；1，两球非全红.求X 的分布列．【自主解答】由题设可知X 服从两点分布 P (X ＝0)＝C 25C 215＝221，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)＝1921.∴X 的分布列为题型七：超几何分布的应用【例7】生产方提供的某批产品共50箱，其中有2箱不合格品，采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格品，便接收该批产品．问该批产品被接收的概率是多少？【变式】袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X 的分布列，并求至少有一个红球的概率．【自主解答】 X ＝0,1,2,3，X ＝0表示取出的3个球全是黑球，P (X ＝0)＝C 35C 38＝1056＝528，同理P (X ＝1)＝C 13·C 25C 8＝3056＝1528，P (X ＝2)＝C 23·C 15C 8＝1556，P (X ＝3)＝C 33C 38＝156.∴X 的分布列为至少有一个红球的概率为：P (X ≥1)＝1－28＝28.【强化练习】1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ的所有可能取值的个数是 A ．5B ．9C ．10D ．25B 【解析】号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．故选B ．2．已知随机变量X 的分布列为()15k P X k ==，1,2,3,4,5k =A ．215B ．25C ．115D ．15D 511521)2()1(=+==+=x P x P，故选D ．3．已知X 是一个离散型随机变量，其分布列为则常数q 等于A ．1B CD C C ．4．一盒子中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则(4)P X ==A ．2201B ．5527 C ．22027D ．2521 C 【解析】从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，当盒中旧球的个数为4X =时，相当于旧球的个数在原来3个的基础上增加了一个，所以取出的3个球中只有一个新球，即取出的3个球中有2个旧球、1个新球，所以C ．5如图所示，A ，B 两点由5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P (ξ≥8)＝____.【答案】【解析】解法一(直接法)：由已知得，ξ的可能取值为7,8,9,10，∵P (ξ＝7)＝，P (ξ＝8)＝，P (ξ＝9)＝，P (ξ＝10)＝，∴ξ的概率分布列为：∴P (ξ≥8)＝P (ξ＝8)＋P (ξ＝9)＋P (ξ＝10)＝＋＋＝．解法二(间接法)：由已知得，ξ的可能取值为7,8,9,10，故P (ξ≥8)与P (ξ＝7)是对立事件，所以P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝7)＝1－＝．故答案为：.3．已知随机变量ξ的分布列如下：则P(2≤ξ<4)____________．【答案】0.6【解析】()()()24230.20.40.6P P P ξξξ≤<==+==+=，故答案为0.6.6．设随机变量ξ只能取5,6,7，…，14这10个值，且取每一个值的概率均相等，则P (ξ≥10)＝______；P (6<ξ≤14)＝________.【答案】25 45【解析】由题意P (ξ＝k )＝(k ＝5,6，…，14)，P (ξ≥10)＝4×＝.P (6<ξ≤14)＝8×＝.故填，.7．在考试中,需回答三个问题,考试规则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是_____.【答案】-300,-100,100,300【解析】若答对0个问题得分300-；若答对1个问题得分100-；若答对2个问题得分100；若问题全答对得分300.故答案为300-， 100-， 100， 300.点睛：本题考查的是离散型随机变量及其分布列，要理解题中ξ的含义.8．已知随机变量ξ和η，其中η＝4ξ－2，且E (η)＝7，若ξ的分布列如下表，则n 的值为__.【答案】3【解析】42ηξ=-， ()()9427,4E E E ηξξ=-==，所以()11912344124E m n ξ=⨯+++⨯=，且概率和111412m n +++=，解得13n =. 9．设离散型随机变量X 可能的取值为1,2,3，P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3)．又X 的均值E (X )＝3，则a ＋b ＝________.【答案】-16【解析】依题意得()()()122333EX a b a b a b =⋅++⋅++⋅+=，且概率和()()()231a b a b a b +++++=，解得121,,236a b a b ==-+=-. 10．数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格。

高中数学选修2-3（人教B版）第二章随机变量及其分布2.2知识点总结含..

描述：例题：高中数学选修2-3(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第二章随机变量及其分布 2.2 条件概率与事件的独立性一、学习任务1. 了解条件概率的定义及计算公式，并会利用条件概率解决一些简单的实际问题．2. 能通过实例理解相互独立事件的定义及概率乘法公式，并能综合利用互斥事件的概率加法公式及独立事件的概率乘法公式．3. 理解独立重复试验的概率及意义，理解事件在次独立重复试验中恰好发生次的概率公式，并能利用次独立重复试验的模型模拟次独立重复试验．二、知识清单事件的独立性与条件概率独立重复试验与二项分布三、知识讲解1.事件的独立性与条件概率条件概率的概念一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率（conditional probability）．读作发生的条件下发生的概率．条件概率的性质①条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和之间，即．②如果和是两个互斥事件，则相互独立事件的概念设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立（mutually independent）．相互独立事件同时发生的概率：如果事件，，，相互独立，那么这个事件同时发生的概率等于每个事件发生概率的积，即n k n n A B P (A )>0P (B |A )=P (AB )P (A )A B P (B |A )A B 0 1 0≤P (B|A)≤1 B CP (B ∪C |A )=P (B |A )+P (C |A ).A B P (AB )=P (A )P (B )A B A 1A 2⋯A n n P (⋯)=P ()P ()⋯P ().A 1A 2A n A 1A 2A n 甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别20%18%12%为和，两地同时下雨的比例为，问：（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？解：设“甲地为雨天”， “ 乙地为雨天”，则根据题意有（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是20%18%12%A =B =P (A )=0.20,P (B )=0.18,P (AB )=0.12.P (A |B )==≈0.67.P (AB )P (B )0.120.18P (B |A )===0.60.P (AB )P (A )0.120.20如图，四边形是以为圆心，半径的圆内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在正方形内”，表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（1）______；（2）______．解：；圆的面积是，正方形的面积是，扇形的面积是，由几何概型概率公式得，由条件概率公式得EFGH O 1A EFGH B OHE P (A )=P (B |A )=2π14O πEF GH 2OHE π4P (A )=2πP (B |A)===.P (AB )P (A)12π2π14掷一枚正方体骰子一次，设事件：“出现偶数点”，事件：“出现点或点”，则事件，的关系是（）A．互斥但不相互独立 B．相互独立但不互斥 C．互斥且相互独立 D．既不相互独立也不互斥解：B事件，事件，事件，基本事件空间．所以，，，即，因此，事件与相互独立．当“出现点”，事件，同时发生，所以，不是互斥事件．A B 36A B A ={2,4,6}B ={3,6}AB ={6}Ω={1,2,3,4,5,6}P (A )==3612P (B )==2613P (AB )==×161213P (AB )=P (A )P (B )A B 6A B A B 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与．（1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；（2）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球均不命中的概率．解：记“甲投一次命中”为事件，“乙投一次命中”为事件，则，1225A B P (A )=12213，，．（1）恰好命中一次的概率为（2）设事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为，则2P (B )=25P ()=A ¯¯¯12P ()=B ¯¯¯35P =P (A ⋅)+P (⋅B )B ¯¯¯A ¯¯¯=P (A )⋅P ()+P ()⋅P (B )B ¯¯¯A ¯¯¯=×+×12351225=.12P 1P 1=P (∩∩∩)A ¯¯¯A ¯¯¯B ¯¯¯B ¯¯¯=P ()⋅P ()⋅P ()⋅P ()A ¯¯¯A ¯¯¯B ¯¯¯B ¯¯¯=(1−(1−12)225)2=9100在一个选拔项目中，每个选手都需要进行轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为，，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．（1）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；（2）求该选手至多进入第三轮考核的概率；解：设事件（，，，）表示“该选手能正确回答第轮问题”，由已知得，，，．（1）设事件表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，则（2）设事件表示“该选手至多进入第三轮考核”，则456453413A i i =1234i P ()=A 156P ()=A 245P ()=A 334P ()=A 413B P (B )=P ()A 1A 2A ¯¯¯3=P ()P ()P ()A 1A 2A ¯¯¯3=××(1−)564534=.16C P (C )=P (++)A ¯¯¯1A 1A ¯¯¯2A 1A 2A ¯¯¯3=P ()+P ()+P ()A ¯¯¯1A 1A ¯¯¯2A 1A 2A ¯¯¯3=+×+××(1−)165615564534=.12描述：例题：2.独立重复试验与二项分布独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的次试验，称为次独立重复试验（independent andrepeated trials）．二项分布一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，则此时称随机变量服从二项分布（binnomial distribution），记作），并称为成功概率．n n n X A A p P (X =k )=(1−p ,k=0,1,2,⋯,n .C kn pk )n −k X X ∼B (n ,p ) p 下列随机变量的分布列不属于二项分布的是（）A．投掷一枚均匀的骰子次，表示点数出现的次数B．某射手射中目标的概率为，设每次射击是相互独立的，为从开始射击到击中目标所需要的射击次数C．实力相等的甲、乙两选手举行了局乒乓球比赛，表示甲获胜的次数D．某星期内，每次下载某网站数据后被病毒感染的概率为，表示下载次数据后电脑被病毒感染的次数解：B选项 A，试验出现的结果只有两个：点数为和点数不为，且点数为的概率在每一次试验都为，每一次试验都是独立的，故随机变量服从二项分布；选项 B，，故随机变量不服从二项分布；选项 C，甲、乙的获胜率都相等，举行次比赛，相当于进行了次独立重复试验，故服从二项分布；选项 D，由二项分布的定义可知，被感染次数．X 5X 6p X 5X 0.3X n 66616X P (X =1)=p ,P (X =2)=(1−p )p ,P (X =k )=(1−p p )(k −1)X 55X X ∼B (n ,0.3)口袋中有个白色乒乓球，个黄色乒乓球，从中选取次，每次取个后又放回，则次中恰有次取到白球的概率是（）A． B． C． D . 解：D任意取球次，取得白球次的概率是5551531235C 35C 510⋅C 350.5553P (X =3)=(1−0.5=⋅C 350.53)5−3C 350.55甲、乙两名同学进行三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮．（1）设甲投中的次数为，求的分布列；（2）求乙至多投中次的概率；（3）求乙恰好比甲多投中次的概率．1312ξξ221四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）解：（1），的可能取值为，，，．的分布列为：（2）设“乙至多投中次”为事件，则（3）设“乙比甲多投中次”为事件，“乙恰投中次且甲恰投中次”为事件，“乙恰投中次且甲恰投中次”为事件，则，，为互斥事件，则所以乙恰好比甲多投中次的概率为．ξ∼B (3,)13ξ0123P(ξ=0)=(=,C 0323)3827P (ξ=1)=()(=,C 131323)249P (ξ=2)=(()=,C 2313)22329P (ξ=3)=(=.C 3313)3127ξξP082714922931272A P (A )=1−(=.C 3312)3782A 120B 131B 2=∪A 1B 1B 2B 1B 2P (A )=P ()+P ()=×+×=.B 1B 282738491816216答案：解析：1. 某一批花生种子，如果每粒发芽的概率为，那么播下粒种子恰有粒发芽的概率是 A ．B ．C ．D ．B 概率为．14542()1662596625192625256625=C 24()452(1−)45296625答案：2. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 A ．B ．C ．D ．A0.750.6()0.80.750.60.453. 某厂生产电子元件，其产品的次品率为，现从一批产品中任意地连续取出件，其中次品数的5%2ξ高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

高中数学选修2-3第二章随机变量及其分布

第二章随机变量及其分布目录2.1.1离散型随机变量（新授课）2.1.2 离散型随机变量的分布列（两课时）（新授课）2.2.1 条件概率（新授课）2.2.2 事件的相互独立性（两课时）（新授课）2.2.3 独立重复实验与二项分布（新授课）2.3.1 离散型随机变量的均值（两课时）(新授课)2.3.2 离散型随机变量的方差（两课时）（新授课）2.4 正态分布（新授课）第二章散型随机变量解答题选讲（习题课）第二章随机变量及其分布目录一、课程目标：通过具体实例，帮助学生理解取有限值得了离散型随机变量及其分布列、均值、方差的概念，理解超几何分布和二项分布的模型并能解决简单的实际问题，使学生认识分布列对于刻画随机变量现象的重要性，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，了解条件概率和两个事件相互独立的概念。

二、学习目标：1、在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性，2、通过实例，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。

3、在具体情景中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及其二项分布，并能解决一些简单的实际问题。

4、通过实例，理解具有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。

5、通过实际问题，借助直观，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。

三、本章知识框图：三、课时分配全章共安排了4个小结，约需12课时，具体内容和课时分配如下：2.1 离散型随机变量及其分布列约3课时2.2 二项分布及其应用约4课时2.3 离散型随机变量的均值与方差约3课时2.4正态分布约1课时小结约1课时2.1.1离散型随机变量（新授课）一、教学目标：知识与能力：1.理解随机变量的意义； 2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子；3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.过程与方法：通过本节课的学习，体会离散型随机变量的求法，提高抽象概括能力以及提出为题、分析问题、解决问题的能力。

选修2-3第二章随机变量及其分布知识点总结

选修2-3第二章随机变量及其分布知识点总结(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第二章概率总结一、知识点1.随机试验的特点:①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．2.分类随机变量（如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。

）离散型随机变量：连续型随机变量：3.离散型随机变量的分布列一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为 x 1, x 2, ,x i , ,x n X 取每一个值 xi(i=1,2, ）的概率 P(ξ=x i ）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列性质： ① ----------------------------------------------② -------------------------------------------------．二点分布如果随机变量X 的分布列为：其中0<p<1，q=1-p ，则称离散型随机变量X 服从参数p的二点分布二点分布的应用：如抽取彩票是否中奖问题、新生婴儿的性别问题等.超几何分布一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件, 这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N MnNC C P X k k m C --===，其中则称随机变量X 的分布列,为超几何分布列,且称随机变量X 服从参数N 、M 、n 的超几何分布注意：（1）超几何分布的模型是不放回抽样；（2）超几何分布中的参数是N 、M 、n ，其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量条件概率1.定义：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率2.事件的交（积）:由事件A 和事件B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与事件B的交（或积）.记作D=A ∩B 或D=AB3.条件概率计算公式:例题、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二个又取到次品的概率.相互独立事件1.定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

数学人教B版选修2-3知识点总结(含例题)

第二章概率总结一、知识结构二、知识点1.随机试验的特点:①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．2.分类随机变量（如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。

）离散型随机变量在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．连续型随机变量对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.连续型随机变量的结果不可以一一列出.3.离散型随机变量的分布列一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2, ,x i , ,x nX取每一个值xi(i=1,2,）的概率P(ξ=x i）＝P i，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列性质：①pi≥0, i =1，2，…；②p1 + p2 +…+p n= 1．③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。

4.求离散型随机变量分布列的解题步骤例题：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的分布列.解：用随机变量X表示“每次罚球得的分值”，依题可知，X可能的取值为：1,0且P（X=1）=0.7，P（X=0）=0.3因此所求分布列为：引出二点分布如果随机变量X的分布列为：其中0<p<1，q=1-p，则称离散型随机变量X服从参数p的二点分布二点分布的应用：如抽取彩票是否中奖问题、新生婴儿的性别问题等.超几何分布一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N MnNC C P X k k m C --===L ，其中{}min ,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤ 则称随机变量X 的分布列为超几何分布列,且称随机变量X 服从参数N 、M 、n 的超几何分布注意：（1）超几何分布的模型是不放回抽样；（2）超几何分布中的参数是N 、M 、n ，其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量解题步骤：例题、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率解：设摸出红球的个数为X,则X 服从超几何分布,其中30,10,5N M n === X 可能的取值为0，1，2，3，4, 5. 由题目可知，至少摸到3个红球的概率为(3)(3)(4)(5)P X P X P X P X ==+=+=≥324150102010201020555303030C C C C C C C C C =++ ≈0.191答：中奖概率为0.191.nNn MN MCC C -0nNn MN MCC C 11--nNm n MN m MCC C --条件概率1.定义：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率2.事件的交（积）:由事件A 和事件B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与事件B 的交（或积作D=A ∩B 或D=AB3.条件概率计算公式:P(B|A)相当于把A 看作新的基本事件空间,求Ａ∩Ｂ发生的概率:解题步骤：例题、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二取到次品的概率.解：设 A = {第一个取到次品}， B = {第二个取到次品}，所以，P(B|A) = P(AB) / P(A)= 2/9 答：第二个又取到次品的概率为2/9..0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P .1)|(0)()|()(0)A (P ≤≤⋅=>A B P A P A B P AB P （乘法公式）；，则若.151)(21023==⇒C C AB P .103)(=A P相互独立事件2.相互独立事件同时发生的概率公式两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

高中数学选修2-3（人教A版）第二章随机变量及其分布知识点总结含同步练习及答案

描述：高中数学选修2-3(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章随机变量及其分布 2.3离散型随机变量的均值与方差一、学习任务了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望、方差．二、知识清单离散型随机变量的数字特征三、知识讲解1.离散型随机变量的数字特征离散型随机变量的均值①一般地，若离散型随机变量的分布列为则称为随机变量的均值（mean）（mean）或或数学期望（mathematical expectation）（mathematical expectation）．它反映了离散型随机变量取值的平均水平.．它反映了离散型随机变量取值的平均水平.②若，其中，为常数，则也是随机变量．因为所以，的分布列为于是，即③一般地，如果随机变量服从两点分布，那么；如果，那么．离散型随机变量的方差① 设离散型随机变量的分布列为则描述了（，，，）相对于均值的偏离程度．而X Px 1p 1x2p2⋯⋯x i p i⋯⋯x n p nE (X )=++⋯++⋯+x 1p 1x 2p 2x i p i x n p nX Y =aX +b a b Y P (Y =a +b )=P (X =),i =1,2,⋯,n ,x i x i Y Y Pa +b x 1p 1a +b x 2p 2⋯⋯a +b x i p i ⋯⋯a +bx n p n.E (X )=(a +b )+(a +b )+⋯+(a +b )+⋯+(a +b )x 1p 1x 2p 2x i p i x n p n=a (++⋯++⋯+)+b (++⋯+)x 1p 1x 2p 2x i p i x n p n p 1p 2p n =aE (X )+bE (aX +b )=aE (X )+b .X E (X )=p X ∼B (n ,p )E (X )=np X X P x 1p 1x 2p 2⋯⋯x i p i⋯⋯x n p n(−E (X )x i )2x i i =12⋯n E (X )D (X )=(−E (X )∑i =1nx i )2p iE (X )D (X )例题：为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．我们称为随机变量的方差（variance），并称其算术平方根为随机变量的标准差（standard deviation）．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．② 若服从两点分布，则；若，则．③ ．X E (X )D (X )X D (X )−−−−−√X X D (X )=p (1−p )X ∼B (n ,p )D (X )=np (1−p )D (aX +b )=D(X )a 2某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，据统计，随机变量的概率分布如下：则的值和的数学期望分别是（）A．， B．， C．， D．，解：B由概率分布可知：，解得，所以．ξξξP 00.110.322a 3aa ξ0.2 1.80.2 1.70.1 1.80.1 1.70.1+0.3+2a +a =1a =0.2E (ξ)=0×0.1+1×0.3+2×0.4+3×0.2=1.7从饭店到火车站途中有个交通岗，一出租车司机，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是．（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了个交通岗的概率；（2）求这位司机在途中遇到红灯数的数学期望．解：（1）因为这位司机在第一个、第二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以（2）因为，所以．6132ξP =(1−)×(1−)×=.131313427ξ∼B (6,)13E (ξ)=6×=213已知随机变量的分布列为：求．解：，所以ξξP 00.110.1520.2530.2540.1550.1D (ξ)Eξ=0.1×0+0.15×1+0.25×2+0.25×3+0.15×4+0.1×5=2.5D (ξ)=(0−2.5×0.1+(1−2.5×0.15+(2−2.5×0.25+(3−2.5×0.25+(4−2.5×0.15+(5−2.5×0.1=2.05)2)2)2)2)2)2如果是离散型随机变量，且，那么（）A．，B．，C．，D．，解：A由随机变量的均值与方差的性质可得答案．ξη=3ξ+2E (η)=3E (ξ)+2D (η)=9D (ξ)E (η)=3E (ξ)D (η)=3D (ξ)+2E (η)=3E (ξ)+2D (η)=9D (ξ)+4E (η)=3E (ξ)+4D (η)=3D (ξ)+2某人投弹击中目标的概率为．（1）求投弹一次，击中次数的均值和方差；（2）求重复投弹次，击中次数的均值和方差．解：（1）由题意可知服从两点分布，其分布列为所以（2）由题意可知击中次数服从二项分布，即，所以p =0.8X 10Y X X P00.210.8E (X )=0×0.2+1×0.8=0.8,D (X )=(0−0.8×0.2+(1−0.8×0.8=0.16.)2)2Y Y ∼B (10,0.8)E (Y )=np =10×0.8=8,D (Y )=10×0.8×0.2=1.6.甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为、，和的分布列如表．试对这两X Y X Y四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）名工人的技术水平进行比较．解：工人甲生产出次品数的数学期望和方差分别为工人乙生产出次品数的数学期望和方差分别为由知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但，可见乙的技术水平比较稳定．X P 061011102310Y P051013102210X E (X )=0×+1×+2×=0.7,610110310D (X )=(0−0.7×+(1−0.7×+(2−0.7×=0.81.)2610)2110)2310Y E (Y )=0×+1×+2×=0.7,510310210D (Y )=(0−0.7×+(1−0.7×+(2−0.7×=0.61)2510)2310)2210E (X )=E (Y )D (X )>D (Y )答案：1. 下列有关离散型随机变量的期望与方差的说法中，不正确的是 A ．离散型随机变量的期望反映了取值的平均值B ．离散型随机变量的方差反映了取值的集中与离散的程度C ．离散型随机变量的期望和方差都是一个数值,它们不随试验结果而变化D ．离散型随机变量的方差是非负的A()ξEξξξDξξξ答案：解析：2. 已知离散型随机变量的概率分布列如下表，则其数学期望等于．A ．B ．C ．D ．D所有随机变量取值概率之和是ξE (ξ)()ξP 10.53m 50.210.62+3m 2.41答案：解析：3. 已知，，，则与的值分别为 A ．和B ．和C ．和D ．和A ，，解得，．X ∼B (n ,p )E (X )=8D (X )=1.6n p ()100.8200.4100.21000.8E (X )=np =8D (X )=np (1−p )=1.6p =0.8n =10答案：解析：4. 在个电子产品中，有个次品，个合格品，每次任取一个测试，测试完后不放回，直到两个次品都找到为止，如果两个次品找出为完成一次测试，那么测试次数的数学期望是 A ．B ．C ．D ．D由题意知的可能取值是，结合变量对应的事件写出变量的概率，当时，表示取出的只都是次品，当时，表示第三次取出的是次品，前两次中一个正品一个次品，以此类推，得到结果．624ξ()17151115536415ξ2,3,4,5ξ=22ξ=3高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

高中数学选修2-3-离散型随机变量及其分布列

离散型随机变量及其分布列知识集结知识元离散型随机变量及其分布列知识讲解1．离散型随机变量及其分布列【考点归纳】1、相关概念；（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．2、离散型随机变量（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列．（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，x n；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，p n，则得下表：X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．（2）性质：①p i≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+p n＝1．例题精讲离散型随机变量及其分布列例1.'袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外完全相同．（1）从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率；（2）从袋中任取2个球，记取到红球的个数为ξ，求ξ的分布列、期望E（ξ）和方差D（ξ）．'例2.'甲、乙两人做定点投篮游戏，已知甲每次投篮命中的概率均为p，甲投篮3次均未命中的概率为，乙每次投篮命中的概率均为q，乙投篮2次恰好命中1次的概率为，甲、乙每次投篮是否命中相互之间没有影响．（1）若乙投篮3次，求至少命中2次的概率；（2）若甲、乙各投篮2次，设两人命中的总次数为X，求X的分布列和数学期望．'例3.'抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上所得的数字分别为x，y．记[]表示的整数部分，如：[]=1，设ξ为随机变量，ξ=[]．（Ⅰ）求概率P（ξ=1）；（Ⅱ）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．'当堂练习解答题练习1.'玉山一中篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”和“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才能参加“三步上篮”测试．为了节约时间，每项测试只需且必须投中一次即为合格．小华同学“立定投篮”的命中率为，“三步上篮”的命中率为．假设小华不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中相互独立．（1）求小华同学两项测试均合格的概率；（2）设测试过程中小华投篮次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．'练习2.'某支教队有8名老师，现欲从中随机选出2名老师参加志愿活动，（1）若规定选出的至少有一名女老师，则共有18种不同的需安排方案，试求该支教队男、女老师的人数；（2）在（1）的条件下，记X为选出的2位老师中女老师的人数，写出X的分布列．'练习3.'装有除颜色外完全相同的6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢．（1）以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列；（2）求出赢钱（即X>0时）的概率．'练习4.'将10个白小球中的3个染成红色，3个染成黄色，试解决下列问题：（1）求取出3个小球中红球个数ξ的分布列；（2）求取出3个小球中红球个数多于白球个数的概率．'练习5.'新高考改革后，假设某命题省份只统一考试数学和语文，英语学科改为参加等级考试，每年考两次，分别放在每个学年的上下学期，其余六科政治，历史，地理，物理，化学，生物则以该省的省会考成绩为准．考生从中选择三科成绩，参加大学相关院校的录取．（Ⅰ）若英语等级考试有一次为优，即可达到某“双一流”院校的录取要求．假设某考生参加每次英语等级考试事件是相互独立的，且该生英语等级考试成绩为优的概率为，求该考生直到高二下期英语等级考试才为优的概率（Ⅱ）据预测，要想报考某“双一流”院校，省会考的六科成绩都在95分以上，才有可能被该校录取假设某考生在省会考六科的成绩都考到95分以上的概率都是，设该考生在省会考时考到95以上的科目数为X求X的分布列及数学期望．'练习6.'某高中志愿者男志愿者5人，女志愿者3人，这些人要参加社区服务工作．从这些人中随机抽取4人负责文明宣传工作，另外4人负责卫生服务工作．（Ⅰ）设M为事件；“负责文明宣传工作的志愿者中包含女志愿者甲但不包含男志愿者乙”，求事件M发生的概率；（Ⅱ）设X表示参加文明宣传工作的女志愿者人数，求随机变量X的分布列与数学期望．'练习7.'今年学雷锋日，乌鲁木齐市某中学计划从高中三个年级选派4名教师和若干名学生去当学雷锋文明交通宣传志愿者，用分层抽样法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成文明交通宣传小组，学生的选派情况如下：（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）若从选派的高一、高二、高三年级学生中抽取3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高三年级学生的概率；（Ⅲ）若4名教师可去A、B、C三个学雷锋文明交通宣传点进行文明交通宣传，其中每名教师去A、B、C三个文明交通宣传点是等可能的，且各位教师的选择相互独立．记到文明交通宣传点A的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望。

选修2-3随机变量及其分布知识点总结典型例题