群的特征标理论
第1部分第3章 特征标理论(2)
hi ( χi / χE ) ------------------------ (7) ---------------------- (1) --------------------- (8) --------------------- (4) [ 提问: I I = ? ] [ 提问: I I = I ] *
(5) 以 D3 群为例, 利用类和定理求不可约表示特征标 13 1, 求一维不可约表示特征标 χE = χ1 = 1 取 i = j = 3 ( 可取不同的 i, j 值 ) 因为 C3 C3 = 2 C1 + C3 ( 可利用群表验证 ) 所以 C331 = 2, C332 = 0, C333 = 1 由(2)式 hi ( χi / χE ) hj ( χj / χE ) = ∑k Cijk hk ( χk / χE ) ---- (2) 得 2 • χ3 • 2 • χ3 = 2 • 1 • χ1 + 0 • 3 • χ2 + 1 • 2 • χ3 ( hi = hj = h3 = 2, h1 = 1, h2 = 3, χE = χ1 = 1 ) 4 χ3 2 = 2 + 2 χ3 2 χ3 2 - χ3 - 1 = 0 χ3 = - 1/2 或 + 1 [ 提问: 哪个该舍去? 为什么? ] [ 答案: - 1/2 该舍去, 因为模小于1 ] *
(3) 类和定理的证明 1, 证明(1)式 第一步: 证明类和矢量 Ci 与一切群元矢量 R 对易 Ci R = R Ci, 习题: 证明 Ci X = X Ci, 即
9
R-1 Ci R = Ci ------------- (3)
X 为群元空间中一切矢量
[ 若此题证明了, 则 (3) 式也就证明了 ] 第二步: 证明, 若群元空间中矢量 A 和一切群元矢量 R 对易 R-1 A R = A R为任一群元, 若(4)式左边A中含有某类的任一元 则(4)式右边A中必含有该类所有的元 又∵ ∴ (4)式左右两边A相同 A含完正的类 * ------------------------ (4) 则A 必由若干类和矢量 ( 完整的类 ) 构成 证: ∵ ∴
3-2 特征标表PPT课件
群表示理论
目录
3 群表示理论（2）
3.4 广义正交定理 3.5 特征标表 3.6 直积群的表示 3.7 某些群的不可约表示（特征标表）
(A A2 ) A2 1 1 1 1 1 1
(A E) E 2 1 0 2 1 0
(A A1 ) A1 1 1 1 1 1 1 (A A2 ) A2 1 1 1 1 1 1 (A E) E 2 1 0 2 1 0
本节结束
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1 2
0
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32
12
32
12
d 轨道函数空间下 C3v 的不等价不可约表示
现在我们把一个 g 阶的群 G 的操作分类，用符号 Ci 表示。将 第 i 类操作的数目用 gi 表示，把群中类的数目用 k 表示，因此
k
gi g
i1
例如，对于 C3v 群，我们有
C1 E Eˆ C2 2C3 Cˆ 3 Cˆ 32
如果直因子的表示是不可约的，则相应的直积群的表示也是不 可约的。
因为，直积群的类的数目等于其直因子的类的数目之积，因此， 直积群的不可约表示的数目也等于它的直因子的不可约表示的数目 的乘积。
直积群的不可约表示完全由它的直因子的不可约表示决定。
例 D3h 群的特征标表
D3h D3 Cs
D3 群是 C3v 群的同构群，其共轭类、特征标表与 C3v 相同。
E 2 1 0 (x , y);(Rx , Ry ) (xz, yz);(x2 y2 , xy)
三 群论基本知识
C2v群特征表表：
C2v
E C2
A1
11
A2
11
B1
1 -1
B2
Г2φ
1 -1 20
(xz) (yz ) 基
11
z
x2, y2, z2
-1 -1 1 -1 -1 1
Rz xy x, Ry xz y, Rx yz
02
C3v群特征表表：
C2v
E
2C3
A1
1
1
A2
1
1
E
2
-1
3v 1 -1 0
基
z
x2 + y2, z2
x、y、z
分别代表原子的三个坐标以及在轴上的平移运动，由 于px、py、pz轨道的变换性质和偶极矩向量的变换性
质相似，故也可用x、y、z表示
Rq
代表绕q轴进行旋转的转动向量
xy，xz，yz，x2- y2 ，z2
分别代表各个d轨道和判断拉曼光谱活性的极化率的不 可约表示
将原子轨道作为表示的基,并与C2v群的特征标表相对照，可看出Pz轨道在C2v群中按A1 变换，px轨道按B1变换，Py轨道按B2变换，但以点（x、y、z）为基的Г1(xyz)表示在C2v 群的特征标表中并没有出现，说明它是个可约表示。将它转化为不可约表示，需借助约化 公式，即确定第i个不可约表示在可约表示中出现的次数ai的公式
A(BC)=(AB)C，A(B+C)=AB+AC
几种矩阵：
a1
a2
列矢量 {A}= a3
在n维空间中，一个矢量可由一个n×1阶的列矢量所决定。这 个矢量矩阵元素的几何意义和实际空间中的相同，也就是假定 它的一端位于坐标原点，则另一端就给出了矢量的正交坐标（ 例如直角坐标系）。
第一部分第三章 特征标理论(1)
类 群元 C2
D4
χ4
D5
χ5
D6
χ6
C2
C2
┌0 1 0┐ ┌1 0 0┐ ┌ 0 -1 ┐ A ∣ 1 0 0 ∣ 1 ∣0 1 0 ∣ 1 ∣ ∣ 0 └0 0 1┘ └ 0 0 -1 ┘ └ -1 0 ┘ ┌1 0 0┐ ┌1/4, 3/4, -W┐ ┌-31/2/2, 1/2 ┐ B ∣ 0 0 1∣ 1 ∣3/4, 1/4, W ∣ 1 ∣ ∣ 0 └ 0 1 0 ┘ └ -W W, 1/2 ┘ └ 1/2, 31/2/2 ┘ ┌0 0 1┐ ┌1/4, 3/4, -W ┐ ┌ 31/2/2, 1/2 ┐ C ∣ 0 1 0 ∣ 1 ∣3/4, 1/4, -W∣ 1 ∣ ∣ 0 └1 0 0┘ └ W, -W, 1/2 ┘ └ 1/2, -31/2/2 ┘
3C2 1 –1 0 1 1 0
2C3 1 1 -1 0 0 -1
6
[答案1: D4和D5是可约表示, 因与所有不可约表示的特征标不同] [提问: 约化的结果是什么? 为什么?] [答案: 约化为 D1 和 D3, 因为特征标是其和] [提问: D6 呢?] [答案2: D6 和 D3 是彼此等价的不可约表示, 因其特征标相同] 下面的任务是寻求获得约化系数 ai 的规范化程序 *
第一部分
群论基础
第三章 群表示特征标理论 (1)
(一) 群表示的特征标及其性质 一, 特征标的定义 群表示的特征标是群表示矩阵的迹 ( 对角矩阵元之和 ) χ ( R ) = tr D ( R ) = ∑α Dαα ( R ) 二, 特征标的性质 (1) 同类群元的特征标相同 证明: R 和 S 同类, 则有 T 使 S = T-1 R T 因此, χ ( S ) = tr D ( S ) = tr D ( T-1 R T ) = tr [ D ( T-1 ) D ( R ) D ( T ) ] = tr [ D -1( T ) D ( R ) D ( T ) ] = tr D ( R ) = χ ( R ) 即特征标是类的函数 * ------------(1)
12阶群的特征标表
12阶群的特征标表12阶群是指具有12个元素的群。
接下来，我将介绍12阶群的特征标表。
首先，我们需要确定12阶群的不可约表示。
根据群论的定理，任何有限群的特征标表的行数等于其共轭类的个数，因此我们需要找到12阶群的所有共轭类。
12阶群共有五个共轭类，它们分别是:1.单位元素类：{e}2.阶为2的元素类：{a,a^-1}，其中a是12阶群中阶为2的元素。
3.阶为3的元素类：{b,b^4,b^7}，其中b是12阶群中阶为3的元素。
4.阶为4的元素类：{c,c^3,c^9}，其中c是12阶群中阶为4的元素。
5.阶为6的元素类：{d,d^5}，其中d是12阶群中阶为6的元素。
接下来，我们需要计算这些共轭类的特征标。
特征标是将群的元素映射为一个复数的函数，满足以下性质:1.对于单位元素，特征标为12.对于非单位元素，则特征标的绝对值等于其共轭类大小的平方根。
下面是12阶群的特征标表:12阶群，{e}，{a,a^-1}，{b,b^4,b^7}，{c,c^3,c^9}，{d,d^5}--------，-----，-----------，--------------，---------------，---------χ1，1，1，1，1，1χ2，1，1，1，1，-1χ3，1，1，1，-1，1χ4，1，1，1，-1，-1χ5，1，1，-1，1，1χ6，1，1，-1，1，-1χ7，1，1，-1，-1，1χ8，1，1，-1，-1，-1χ9，2，-1，0，2，0χ10，2，-1，0，-2，0χ11，2，-1，0，0，2χ12，2，-1，0，0，-2在特征标表中，χ1至χ8都是行对称的，而χ9至χ12则是列对称的。
这就是12阶群的特征标表。
特征标是研究群表示论中非常重要的工具，它们不仅可以帮助我们确定一个群的结构，还可以在许多数学和物理学领域中找到应用。
绪论-群论的起源与发展
Galois在方程论中引出→群的概念
Baron Augustin Galois Caucky（1789－1857 ）继研究，首创了置换群理论。
Arthur Cayley (1821-1895) 定义了广义抽象论， 发展了矩阵理论
George Ferdinand Frobenius(1849-1917) 发 展了群表示理论和群的特征标概念
绪 论
一、群论的起源与发展
群是数学中一个重要概念，有关群的性质及 结构的理论称群论，是抽象代数重要组成部分之 一. 群论是法国传奇式人物伽罗瓦（Galois）的发 明。他用该理论，具体来说是伽罗瓦群，解决了 五次方程问题。在此之后柯西（Cauchy)，阿贝 尔（Abel）等人也对群论作出了发展。
Evariste Galois
Louis Philipple国王而被捕。起初被释放，但又因非 法穿军装和携带武器，再一次被捕六个月监禁。
在20岁（1831年）时，因与情敌争风吃醋而决斗 受伤，于次年逝世。据说是君主主义者一派的奸细 怂恿的。
决斗前夕，Galois带着死亡的预兆为后代写 出了他当时未发表的最重要的手稿。全部著作不 到60页。
五、考试与考查方式
初定:
平时讲课（20分）
报告（20分） 课程论文（60分）
群论是法国 Evariste Galois 伽罗华 (18111832)提出的，伽罗华一生短暂，但是当时作出重大 发现的最年轻的数学家。 1811年生于巴黎近郊 Bourg-La-Reine 16岁已通晓大数学家的著作 尽管是数学方面的天才，但两次都未考取Ecole工 艺学院(法国数学家的圣地)
1830年终于被该校录取了，但因在同一年一份涉 及校长在七月革命中活动的通讯稿而被开除。 Galois 是一位坚定的共和主义者,并强烈憎恨暴政。 在1831年，因提议向国王敬酒而被解释为威胁
群论-3群的表示理论
利用基矢的正交归一条件(ei,ej来自 = δij（也可写为<ei|ej> = δij）， 可得：
Aij = <ei|Â|ej> ≡ (ei, Âej)，i,j = 1, 2, …,n
n×n阶的矩阵A ——算符Â在基{e1, e2, …,en}中的矩阵表示。
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
，将Hd写成
H
2 d
H
2 d
并代入前式，两边
同时左乘和右乘
1
Hd 2
，可得：
E
H
d
1 2
D'
g
D'
†
g
Hd
1 2
1
Hd 2 D'
gi g
D' †
gi g
1
Hd 2
gG
gG
H
d
1 2
D'
gi
D'
g
D'
†
g
D'
†
gi
H
d
1 2
gG
H
1 2
d
D'
gi
D'
g
D'
†
g
D'
†
gi
H
d
Dij (g) ei Dˆ g e j
群论-群的表示理论-群的线性表示
如果一个表示存在不变子空间：
设Vn是群G的表示空间，Vm是其不变子空间 {e1, e2,…,em, em+1,…,en}是Vn的一组正交归一基矢
其中前m个基矢是子空间Vm的基矢， 则当j = 1，2，…m，i = m+1，…，n时，Dij (g) = 0。
群论-3 群的表示理论
群论-群的表示理论-群的线性表示
如果一个表示存在不变子空间：
设Vn是群G的表示空间，Vm是其不变子空间 {e1, e2,…,em, em+1,…,en}是Vn的一组正交归一基矢
其中前m个基矢是子空间Vm的基矢， 则当j = 1，2，…m，i = m+1，…，n时，Dij (g) = 0。
内积，内积空间
线性空间Vn上的任一矢量x，当选择{e1, e2, …,en}为基矢组 时，也可展开为
x = x1e1 + x2e2 + …+ xnen x1, x2,…, xn即为矢量x在基矢e1, e2, …,en上的坐标
x可以用它的坐标来表示： x = (x1, x2,…, xn)
常把(x1, x2,…, xn)写成单列矩阵，称之为 矢量x的列向量表示
且F中存在单位元1，k(lx)=(kl)x； 加法与数乘满足分配律；
那么V称为数域F上的线性空间
F中元素称为标量或数量，V中元素称为向量
当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。当F为复数域时， V称为复线性空间。
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
基矢 线性空间Vn上的任意n个线性无关的矢量都可以构成Vn的一 组基矢 一般取e1, e2, …,en为空间Vn上的一组正交归一基矢
3 / 2 1/ 2
2 等价表示
群论-群的表示理论-群的线性表示
矩阵的相似变换： M' = S -1MS
等价表示：两个以相似变换联系起来的表示称为等价表示 记作D(G) ~ D'(G) 。
相似变换实际上可认为是坐标系的变换（基矢变换）
——故可认为一切等价表示都是相同的表示。
群论基础-第3章 特征标理论(2)
可知
Di Dj = k Cijk Dk --------------------- (8)
由(4)式
Di = i I
--------------------- (4)
得
i j I I = k Cijk k I
[ 提问: I I = ? ]
i j = k Cijk k
[ 提问: I I = I ]
由第二步的证明结果可知, Ci Cj 必然只包含完整的类
即
Ci Cj = k Cijk Ck
因此, (1)式得证
2, 证明 (2) 式: 令 Di p 为 Ci 中诸群元第 p 个不可约表示 Dp ( np 维)
矩阵的矩阵和 ( 不是直和 ), Di p 亦为 np 维.
Di p = R Dp ( R )
( hi = hj = h3 = 2, h1 = 1, h2 = 3, E = 1 = 1 ) 4 3 2 = 2 + 2 3 2 3 2 - 3 - 1 = 0 3 = - 1/2 或 + 1
[ 提问: 哪个该舍去? 为什么? ]
[ 答案: - 1/2 该舍去, 因为模小于1 ]
*
为求2 , 再取
从而可得不可约表示特征标表的第一行和第一列 *
D3 E 3C2 2C3
3
D1 1 1
1
D2 1 a
b
D3 2 c
d
(3) 由不可约表示特征标正交性和完全性定理求其它各未知数
正交性定理: C ( hC / h ) i * ( C ) j ( C ) = ij ( 行间正交 ) 完全性定理: j ( h m / h ) i* ( Cm ) i ( Cn ) = mn ( 列间正交 ) 1, 利用正交性定理确定一维表示D2 的 a 和 b, 有
群论
第六章群论6.1 群论基础1 群的定义设G是一些元素的集合，G = {g0, g1, …, g i, …}. 在G中定义了乘法运算，如果G对这种运算满足下面四个条件：(1) 有唯一的单位元e. e∈G, 对任意f∈G, 都有ef = fe = f(2) 封闭性. 对任意f , g∈G, 若f g= h, 必有h∈G.(3) 结合律 . 对任意f , g, h∈G, 都有(f g) h = f (g h)(4) 逆元素. 对任意f∈G, 有唯一的f -1∈G，使f f -1= f -1f = e,则称G为一个群. e 称为群G 的单位元，f –1称为f的逆元素。
有限群中群元素的数目称为群的阶。
2群的乘法表二阶群G2 E AE E AA A E三阶群G3 E A BE E A BA AB EB B E A(i) 若AA = A2 = E -> BB = B2 = E; -> AB = B -> A = E（不合理） (ii) 若 AA = A2 = B, AB = AA2 = A3 = E; BA = E, BB = A.G3 E A A2E E A A2A A A2 EA2 A2 E A—循环群G = { X, X2, X3, …, X n = E}—Abel群 AB = BA.四阶群(i) 四阶循环群X = A X2 = B X3 = C X4 = EG4(1) E A B CE E A B CA ABC EB BC E AC C E A B(ii)G4(2) E A B CE E A B CA A E C BB BC E AC C B A EEx1构造五阶群的乘法表。
3 子群在G4(2)中，子集：{E, A}; {E, B}; {E, C} 构成较小的群——子群。
定理：g阶群G的任意子群H, 它的阶h必为g的除数。
即，g =hn, n为整数。
如：G6的子群的阶是：6和1，2，3。
d2群的特征标表
d2群的特征标表D2群的特征标表D2群作为一个技术交流平台，吸引了众多热爱前端开发的小伙伴们加入。
在这个群里，我们可以分享前端开发的经验，讨论技术问题，解决开发难题。
下面，我们来看一下D2群的特征标表，了解一下这个群的特点和亮点。
1. 主题多样化D2群的特征之一就是主题多样化。
在这个群里，我们不仅可以讨论前端开发技术，还可以分享设计、用户体验、产品等相关话题。
这种多样化的主题让群内的讨论更加丰富和有趣，也促进了成员之间的交流和合作。
2. 专业性强D2群的成员大多都是前端开发领域的专业人士，他们在前端开发领域有着丰富的经验和知识。
因此，在这个群里，我们可以看到很多高质量的技术讨论和分享。
无论是针对某个具体的技术问题，还是对前端行业的趋势和发展方向的研究，D2群都能提供很多有价值的信息和见解。
3. 活跃度高D2群的成员都非常活跃，经常在群里分享自己遇到的问题、学习心得和技术文章。
大家在群里互相帮助、互相学习，形成了一个积极向上的学习氛围。
无论是初学者还是资深开发者，都可以在这个群里找到自己所需要的帮助和资源。
4. 信息及时更新D2群的成员时刻关注前端领域的最新动态，对于前端技术的更新和变化都能第一时间得到通知。
无论是关于前端框架的新版本发布，还是关于前端开发工具的更新，D2群都能及时提供相关信息。
这让群内的成员能够及时了解到前端行业的最新动态，并及时调整自己的学习和工作方向。
5. 互助合作D2群的成员之间非常乐于互助和合作。
无论是解答技术问题，还是共同合作开发一个项目，D2群的成员都能够给予积极的支持和帮助。
大家在这个群里互相学习、互相成长，形成了一个互助合作的良好氛围。
6. 活动丰富多样D2群定期举办各种技术交流和分享活动。
无论是线上的技术讲座，还是线下的技术沙龙，D2群都能提供丰富多样的活动内容。
这些活动不仅能够让成员们深入了解前端技术的最新发展，还能够促进成员之间的交流和合作。
总结起来，D2群作为一个技术交流平台，具有主题多样化、专业性强、活跃度高、信息及时更新、互助合作和活动丰富多样等特点。
π-Brauer特征标的一些群理论性质
本 文讨 论 的群 均为有 限 ７ 可分 群 ， 征标是 常 特征标 ，所有 术语 和记 号可参 见 文献 ［ ，］ ｒ 一 特 １５ ．
引理 １ 设 Ｇ是有 限 ７ 可分 群 ， ∈Ｂ （ ， Ｏ ，Ｇ ≤Ｋ ｒ ． ¨ ｒ Ｇ） 则 （ ） ｅ Ｘ
研 究 简 报
￣Ｂ ａ ｅ － ｒｕ ｒ特 征 标 的一 些 群 理 论性 质
海 进科 ， 李正兴
（ 青岛大学 数学科学学 院 ，山东 青 岛 ２６ ７ ） ６ ０ １
摘要 ：通过 定义 有 限群 的 ７ 中心 ，推广 了群 中心 的概念 ， 立 了有 限群 的 仃 中心 与 ７－ｒｕｒ ｒ 一 建 一 ｒ ａｅ Ｂ
是 Ｇ的 ７ 正则类 函数 空 间的一 组基 ，即若 Ｇ是 ｔ 可分群 ，则 Ｇ的 ７ Ｂａｅ 特征标 个数等 于 Ｇ的 ｒ 一 ７ ｒ － ｒｒ ｒ — ｕ 正 则类 个数．对 特征 标 ７ 理论 的研 究 目前 已有许 多结 果 。 ｒ ． ４．
．
若 Ｇ＝ （ ） 则 称一 个有 限群 Ｇ有正 规 ７ ．其 中 ： （ ） Ｇ的最大 正规 ７ ． 群 ； 为 Ｇ ＨＯ ，Ｇ ， 『 Ｏ ，Ｇ 是 ｒ子 Ｈ
Ａｂ ｔ ｃ ：Ｔ ｅ ｄ ｆ ｉ ｏ ｆ ｒ ｃ ｎ ｅ ｓ ｏ ｎｔ ｒ ｕ ｓｗ ｓ ｉｔｏ ｕ ｅ ｓ ｒ ｔ ｈ ｅ ｎ ｔ ｎ ｏ — ｅ ｔｒ ｆｆ ｉ ｇｏ ｐ ａ ｎ ｒ ｄ ｃ ｄ，ｇ ｎ ｒ ｌ ｉ ｇ ｔ ｅ ｄ ｆ ｉ ｏ ｆｃ ｎ ｅ ｓｏ ａ ｉ ｉ ７ ｉ ｅ ｅ ｅ ａ ｉ ｎ ｈ ｅ ｎ ｔ ｎ ｏ ｅ ｔｒ ｆ ｚ ｉ ｉ
d2群的特征标表
d2群的特征标表D2群是一个以技术交流为主题的群体，其中包含了许多有经验的技术人员和对技术有浓厚兴趣的成员。
在这个群体中，可以看到一些明显的特征和标志，下面将逐一介绍这些特征。
1. 高度活跃的讨论D2群的成员非常活跃，经常会在群内进行各种技术讨论和交流。
无论是前沿的技术趋势，还是具体的技术问题，都能在群内找到相关的讨论和解答。
这种高度活跃的讨论氛围，使得D2群成为了一个技术交流的热点。
2. 多元化的技术话题D2群的讨论话题非常多元化，涵盖了前端开发、后端开发、移动开发、人工智能等多个领域。
无论你是对某个具体领域感兴趣，还是对多个领域都有涉猎，都能在D2群中找到相关讨论。
这种多元化的技术话题，使得D2群成为了一个技术全能的交流平台。
3. 分享和推广优秀的技术资源D2群的成员非常乐于分享自己发现的优秀技术资源，无论是一篇好文、一个有趣的项目，还是一本经典的技术书籍，都能在群内看到成员们的分享。
这种分享和推广优秀技术资源的氛围，使得D2群成为了一个学习和进步的重要渠道。
4. 活跃的线下活动除了在线上的讨论，D2群还会定期组织线下的技术交流活动。
这些活动包括技术沙龙、技术分享会、技术大会等，旨在为群内成员提供更多的交流机会和学习机会。
这种活跃的线下活动，使得D2群成为了一个不仅仅局限于线上的技术社群。
5. 严禁广告和水贴在D2群中，严禁发布任何形式的广告和水贴。
这是为了维护群内的交流质量和良好的讨论环境。
成员们在群内交流时，应注重技术内容，避免发布与技术无关的内容或低质量的内容。
这种严禁广告和水贴的规定，使得D2群成为了一个高质量的技术交流平台。
6. 严谨的技术态度D2群的成员们对技术有着严谨的态度，他们注重技术的深度和广度，对待技术问题时认真负责。
在群内的讨论中，成员们会提出自己的观点和建议，但又注重尊重他人的观点和意见。
这种严谨的技术态度，使得D2群成为了一个专业性和学术性兼具的技术交流平台。
7. 开放的交流氛围D2群的成员们非常开放，愿意与他人分享自己的经验和知识。
克莱因四元群的特征标表
克莱因四元群的特征标表
克莱因四元群的特征标表是：
第一个元素：对角线上的元素全为1，其余位置全为0。
这个特征标对应于完全对称的表示，也就是恒等表示。
第二个元素：对角线上的元素为1，-1，-1，1，其余位置为0。
这个特征标对应于一个二维的不可约表示，通常被称为“标准”表示。
第三个和第四个元素：它们的特征标值是0，对应于一个一维的不可约表示和一个三维的不可约表示。
克莱因四元群通常以V表示或K4表示，意为Z2×Z2，它也是阿贝尔群，就是2阶的循环群与自身的直积。
它也同构于4阶的二面体群。
克莱因四元群中的二阶的三个要素是可互换的：V的自同构群是这三个元素的排列组。
克莱因四元群自己的元素的排列可以被抽象地认为是它在四点上的排列表示：在该表示中，V是四个字母上的交替群A4（以及对称组S4）的正常子群。
事实上，它是从S4到S3的同态内核。
群论中的群表示和特征标理论
群论是数学中的一个分支学科，研究的是集合中存在一种二元运算，满足封闭性、结合律、单位元、逆元等性质的代数结构。
群论中的一个重要概念是群表示，而特征标理论则是群表示中的重要工具。
群表示是将一个给定的群元素映射到一个线性算子上，即将群的元素表示为线性变换。
群表示可以理解为对称变换的一种代数描述，通过这种方式可以研究和分析群的性质。
对于一个给定的群，我们可以考虑将其表示为各种线性算子组成的矩阵，这样就可以通过矩阵的性质来研究群本身的性质。
特征标理论是群表示中非常重要的一个概念。
对于一个给定的群表示，我们可以计算其特征标，特征标是一个标量值，描述了对应于群元素的线性算子的特征向量的性质。
特征标具有一些非常重要的性质，比如与表示的维度相等、与特征向量的模相等等。
通过特征标理论，我们可以研究表示的等价性、不可约表示等性质。
特征标理论在许多领域中都有广泛的应用。
在量子力学中，特征标理论可以用来描述粒子的自旋，通过不同的群表示和特征标来描述不同的粒子类型。
在凝聚态物理中，特征标理论可以用来描述晶体的对称性和激发态，进而研究物质的性质。
在密码学中，特征标理论可以应用于构造密码系统，保护通信数据的安全。
特征标理论的研究也带来了一些深刻的数学发现。
例如，推导特征标在群操作下的变换规律可以导出一些非常有用的等式，如Burnside引理、Frobenius定理等。
这些等式不仅在群论中有重要的应用，而且在其他数学分支中也有广泛的应用。
总体而言，群论中的群表示和特征标理论是非常重要的概念和工具。
它们在数学、物理、密码学等领域中都有广泛的应用，不仅帮助我们理解和分析问题，而且为我们创造新的数学和物理知识。
通过深入研究群论中的群表示和特征标理论，我们可以更好地理解这个世界的对称性和变换，为人类的发展做出更大的贡献。
第六章 群论
所以，三个对称面等价。
7
量子化学
3 对称点群
分子点群：对称操作的完全集合构成的群——对称点群。 例1： G = {v, v2 = E} 逆元素 v-1 = v 例2： G = {E, C2, v(1), v(2)} H2O： C2V 点群 FONO: Cs 点群
单位元: E; 封闭性. v v = v2 = E, vE = v
1+2=3 1 + 2 + 3 = ( 1 + 2 ) + 3 = 1+ ( 2 + 3 ) = 6
满足封闭性 满足结合律 0是单位元素 n有逆元素-n
0+3=3+0=3
n + ( -n ) = 0
乘法表
由于所有对称元素 都经过一个共同点， 因此把这种群称为 点群
2
量子化学
2 群的乘法表 a. 重排定理： 群的乘法表中每一行或每一列中每个元素都出现一 次，只是排列次序有所不同，这称为重排定理。 b. 构造乘法表
F F S F F
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F F
量子化学
4 分子对称性的分类
c. Ih 群：正三角形二十面体或正五边 形十二面体的对称操作的 集合构成这个群。
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量子化学
6.3 群的表示
1 群的表示矩阵
C2V 点群
选择x, y, z 为基 ——— 三维表示 在对称操作下，点的变换
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量子化学
6.3 群的表示
1 群的表示矩阵
Sn仅当n为偶数时存在，对于n为 奇时恒等于Cnh群。
S4
1,3,5,7-四甲基环辛四稀
S2 = I
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量子化学
4 分子对称性的分类
oh群特征标表
oh群特征标表【正文】群特征标表（Group Feature Matrix），简称GFM，是一种用于描述群体特征的数据结构。
它以矩阵的形式展现群体内个体之间的相互关系，可以帮助我们更好地理解和分析群体性质及其演化规律。
本文将对GFM的定义、构建方法以及应用领域进行探讨，旨在展示其在社会科学、生态学等领域的研究中的重要性和价值。
1. GFM的定义GFM是一种二维矩阵，将群体内的个体标识符（如编号、姓名等）在行和列上进行排列，其中行表示群体中的一个个体，列表示一个特征。
每个单元格内的数值表示相应个体在对应特征上的取值。
不同的特征可以是个体的性别、年龄、职业等，也可以是群体内个体之间的关系（如合作、交流频率等）。
通过这种方式，我们可以直观地把握群体的特征分布情况，发现群体的规律性和特殊性。
2. GFM的构建方法GFM的构建方法因应用领域和研究目的而异。
一般来说，可以通过以下几个步骤来构建GFM：（1）确定研究对象和研究目的：明确研究的群体对象和所关注的特征或关系。
（2）数据收集和整理：收集相关的个体特征数据，并按照一定的规则进行整理，使其适应GFM的格式。
（3）矩阵填充：按照数据整理好的格式，将个体特征数据填充到相应的单元格中。
（4）数据处理和分析：可使用数据分析方法对GFM进行统计分析，进一步挖掘群体内的各种关系和特征。
3. GFM的应用领域GFM在社会科学、生态学等领域有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用案例：（1）社交网络分析：通过构建GFM，我们能够揭示社交网络中个体之间的关系密切程度、信息传播路径等。
这对于社交网络的结构与演化规律的研究具有重要意义。
（2）人口学研究：利用GFM，可以清晰地展示人口结构和特征的分布情况，如不同地区的人口性别比、年龄结构等。
这有助于人口学家深入了解和预测人口发展趋势。
（3）生态系统分析：通过构建群体动物的GFM，可以反映物种之间的生态关系，如食物链、生态位等。
这对于生态系统的保护与管理具有重要指导意义。
第1部分第3章 特征标理论(2)
*
.
5
6
例, 由C2 群的不可约表示特征标表求D3 群的不可约表示特征标表
D3 群
C2 群
E, D, F (不变子群 H ) E
A, B, C
C2
C2
E C2
D1 1 1
D3 E D F A B C
即两类和矢量的乘积可按类和矢量展开
( 两完正类的乘积仍为完正类的和 )
2, 令 i, j, k分别为Ci , Cj, Ck 类的不可约表示特征标, 则
hi ( i / E ) hj ( j / E ) = k Cijk hk ( k / E ) ------------- (2)
(2)式中: Cijk 即为 (1) 式中的 Cijk , E = 1 为 E 类的特征标,
习题: 利用商群和大群的同构关系及正交法求四置换群S4的不可
约表示特征标表. 已知D3群不可约表示特征标表, 且知三置 换群S3与D3同构, 并S3群与S4群的类之间有如下对应关系:
S4 : 1C1 , 3C4 ( 不变子群 ) , 6C5 , 6C2 , 8C3 ( h4 = 24 )
S3 :
1C1,
hi , hj , hk 分别为 Ci. , Cj, Ck 类的阶
*8
(3) 类和定理的证明
9
1, 证明(1)式
第一步: 证明类和矢量 Ci 与一切群元矢量 R 对易 Ci R = R Ci, 即 R-1 Ci R = Ci ------------- (3)
习题: 证明 Ci X = X Ci, X 为群元空间中一切矢量 [ 若此题证明了, 则 (3) 式也就证明了 ]
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迹
(一) 群表示的特征标数学定义及其性质 一、特征标的定义
群表示的特征标是群表示矩阵的迹 ( 对角矩阵元之和 )
( R ) = tr D ( R ) = D ( R ) 二、特征标的性质 (1)同类群元的特征标相同 (2) 等价表示的特征标相同
三、对特征标的评价 以3 3 的表示矩阵为例, 一个特征标比九个矩阵元简单得 多, 况下, 利用特征标就能解决问题。与表示矩阵相比, 特征 标丢掉了一些信息
到操作的总数（群的阶）。
任何不可约操作对应的在矩阵中ij特征标的积和此类的阶想乘，其值为 0。
H2S的可约表示
我们对A、B1、B2做一个“直和”(类似于直积的一种运算)。
则可以得到（3，-1，1，1）作为A、B1、B2的一个不可约表示的线性组合。
（四）可约表示的约化
可约表示在不可约中出现的次数a可以使用如下公式计算出：
(二)特征标表及特征标的实际实体定义
我们以H2 S为例，来简明阐述一下特征标表的构成
H2 S分子中的S原子的轨道在C2点群中的操作变化。
对称操作前面的
数字代表操作数 每一行的特征标 一个具体的物理操作
定义：每一个特征标表示一个不可 约表示
所以群特征标表的简单定义： 一个物理量在对应的对称变换中，可以用特定的一套数字来
表示。
每个数字，就是对应的一个特征标。
1 1 1 1
-1 -1 1 1
1 -1 1 -1
-1 1 1 -1
以上十六个数字所组成的，就是一个典型的特征标表。
（三）不可约表示的性质
点群中不可约表示的数目与群中对称操作的数目相等。
对于每个不可约表示，我们可以使用每个特征标的平方再乘以操作数， 然后能得