“数学思想”是开启数学解题“金钥匙”

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数学思想方法在数学解题中的作用

数学思想方法在数学解题中的作用在数学教学中,“问题是数学的心脏”已成为数学界的共识,而问题的解决,实际上是数学思想方法的体现．那么如何通过解题教学提炼数学思想方法？又如何运用数学思想方法指导数学解题呢？1.重视解题反思，突出数学思想方法的提炼．解题回顾是解题教学的重要环节，回顾可使经验升华和理性化，产生认识上的飞跃，因此解题教学应使学生养成反思的习惯，尤其是要从数学思想方法上进行反思.如解题体现了哪些数学思想方法？解题的宏观策略（即第一感觉应该从哪个角度去入手,比如：利用函数、建立方程、从特殊思考、图形分析、对立面等等）是什么?是如何想到的？它和数学思想有怎样的联系？解题后从数学思想方法上进行反思，就是要突出对数学思想方法的提炼，引起对数学思想方法的关注，同时为灵活运用数学思想方法打下坚实的基础.例1在等差数列中，>0，，问此数列前多少项的和最大？解法一：考虑的增减性，计算，可知，当>0时，递减．于是，取最大值的条件是：，由得，代入不等式组解得，所以当时，最大．以上分析，原则上适用于一般数列，若能考虑数列的特性，又有下面更简便的解法．解法二：∵是等差数列，∴时，它是关于的二次函数，由>0，，可得<0，所以图象开口向下，又，所以抛物线的对称轴为，从而当时，最大．解法二运用了函数思想，把数列问题转化为函数问题处理．通过反思我们看到，对于数列问题可以探索其作为函数的思想内涵，事实上数列可以看作是定义在自然数集或其子集上的函数的一列函数值，解题中我们可根据数列特征，以函数理论为线索展开进行解题思维．2.加强用数学思想方法分析寻找解题思路的指导．数学思想方法是解题的宏观策略，是我们顺利完成解题的突破口.虽然解题过程表现为条件与结论之间的一条知识链，但是知识链的串联主要是数学思想方法在发挥着提示作用，因此教师要善于引导学生用数学思想去开通解题思路．例2 方程的解所在的区间为（）A.（0，1）B. （1，2）C.（2，3）D. （3，+∞）分析：超越方程，一般无法直接求出解，所以想依据解来判定解所在区间，很难顺利实现．于是想到作草图试探解的大致范围，要作图就会想到把方程转化为两个常见的函数：设，，把方程的解的问题转化为两函数图象的交点的问题来解决．显然两图象交点的横坐标介于，所以应排除A、D，又时，，，所以只有时，才有可能使成立，从而断定∈（2，3），应选C．上述分析过程就是利用等价转化思想、函数思想、数形结合思想去开通思路的具体体现．例3 已知方程有实数解，求实数的取值范围．解法一：用方程思想指导解题，把三角方程转化为代数方程求解令，原方程化为，问题转化为“方程在内至少有一实根，求的取值范围”．由得,或，解得．解法二：用函数思想指导解题，原题转化为：求函数的值域，易得.解法三：用数形结合思想指导解题，原题转化为：直线与抛物线有交点，求的取值范围，易得．三种解法比较，解法二、解法三更为简捷、漂亮，它们分别巧妙地运用了函数思想和数形结合思想，充分体现了数学思想对解题过程的指导作用．一般说来，在遇到求参数的范围、求最值、值域等涉及到量的变化时往往用函数思想方法打开思路；在遇到求参数值、求距离、求角、求三角函数值等涉及定量时往往用方程思想解决；遇到绝对值、字母系数等往往要用到分类讨论思想方法来指导解题，其关键是找到分类的起点；遇到超越方程或者难以讨论的函数可以用数形结合思想寻找解题思路；遇到运动变化的问题往往是从函数思想、极限思想或特殊思想考虑.在遇到复杂的式子、否定的叙述、至少至多语句等往往采用等价转化思想进行突破.。

开启数学之门的钥匙——思考

开启数学之门的钥匙——思考蓝田县冯家村初级中学成忠辉摘要：在数学学习中，思考至关重要，对于不同的问题要采用相应的思维方法去解决。

常见的思维方法有纵向、横向、逆向、平面和空间、多角度等思维方式。

另外，教师应引导学生在课堂上积极发挥主观能动性，培养学生思考问题、解决问题的能力。

关键词：数学、思考、思维方法、实践数学是一门智慧之学。

从古至今，数学的发展之路上凝结着无数先人绚烂的智慧之花。

从古代的《九章算术》到现代的《线性代数》，从欧几里得的《几何原本》到现在的《微分几何》，无一不是先人经过认真思考，反复推敲而凝聚的精华。

因此，思考在数学学习中举足轻重。

这里的思考并不是日常生活中单纯的想问题，而是思维的一种探究性活动，是为了解决问题而进行的一种创造性活动。

子曰：学而不思则罔。

因而，在学习过程中，思考是十分重要的。

特别是在中学阶段，培养学生的思维能力显得尤为重要。

关于思考的方法有很多种，下面介绍几种常见的：一、纵向思维方法所谓纵向思维，即利用逻辑推理直上直下的思考。

这是一种最常见的思维方法，也是一种最简单的思维方法。

例如，已知：a=b,b=c,c≠d;求证：a≠d.证明：因为a=b,b=c,所以a=c,又因为c≠d,所以a≠d.这种解题思路就是采用纵向思维的方法，使题目顺理成章的解答下来。

二、横向思维方法横向思维是接收和利用其他事物的动静、特征和性质的启发的思维方法。

它是相对与纵向思维来说的，当纵向思维受阻时大脑急转变，在横向思索中去发展富有创新性的目标或答案。

这里我们先看一个故事：有三个人一起住旅店，每人付了10元钱。

其后店主又让服务员退回5元，服务员私吞了2元，只返还给他们每人1元。

现在提出这样一个问题：开始三人共付30元钱，退钱后等于每人交了9元，合计27元，加上服务员私吞的2元，共计29元，那么剩下的一元钱哪里去了呢？有人根据问题，按照纵向思维去思考，却百思不得其解。

其实何不换一种思维方式去想呢？30元钱，店主只收了25元，剩下的5元，3元退给了顾客，2元被服务员私吞。

数学知识的力量，打开数学大门的钥匙

数学知识的力量，打开数学大门的钥匙英国哲学家培根说过两句很著名的话，第一句“知识就是力量”，第二句“数学是打开科学大门的钥匙”。

我们只要结合学习数学的情况，对这两句话多思考、多理解，就一定能拓宽思路，受到很多启发。

比如说：数学知识有哪些力量?打开数学大门的钥匙是什么？我经常思考这些问题，思考数学知识从小学到大学的发展，思考科学家和其他众多人士学数学、用数学的人生经历，思考数学优秀的关键是什么？经过反复思考与分析，得到了两条结论：第一，数学是人生的核心能力，数学强则人生强。

初中数学是科学的启蒙，深刻影响人的一生；第二，从小学到大学，数学优秀的关键是初中开窍。

打开数学大门的钥匙是初中数学。

下面，具体介绍这两条结论的情况：一、数学是人生的核心能力，数学强则人生强。

初中数学是科学的启蒙，深刻影响人的一生在初中和高中时，我们知道数学对物理、化学等课程的学习有较大影响。

到了大学以后，我们看到：无论理、工，还是农、医、经、管等很多类的专业，数学对一些专业理论课和专业技术课，都会产生较大的影响。

走向社会以后，各行各业的人会进一步发现，对于“学数学、用数学”这件事，不是愿意不愿意的问题，而是实实在在的客观需要。

并且，越是优秀的人越需要数学，应用数学越好的人越优秀。

物理学家爱因斯坦伟大成就的取得，与他初中数学开窍，与他特别能够钻研数学、数学能力特别强，有着紧密的联系。

爱因斯坦说：“纯粹数学，就其本质而言，是逻辑思想的诗篇”。

所以，爱因斯坦对数学的学习与钻研，把知识上升到了思想的高度。

正因为有这样的上升，为爱因斯坦发现相对论打下了良好的数学基础。

爱因斯坦从小就爱思考，但真正走上科学思考的正轨，是从初中时期钻研勾股定理的证明开始的。

他花了半个月的时间，独立地把勾股定理证明的一清二楚。

千万不要小瞧这件事，证明勾股定理的过程，就是符合逻辑、非常严密的分析推理的过程，这是科学思想方法的训练与掌握，这与研究相对论的思想方法是一脉相承的，这为提出相对论埋下了科学研究的种子!。

巧用四把“金钥匙”打开学生数学思维

课题撷英巧用四把“金钥匙”打开学生数学思维■胡容本文系湖南省教育科学“十三五”规划2019年度立项课题《小学数学思维可视化教学的实践研究》（XJK19CJC081）的研究成果。

摘要：数学是思维的体操。

教学过程中，教师要抓住学生的思维特征，以学生为主体，以思维能力培养为核心，激发学生思维兴趣，让学生的思维真正“动”起来，通过“说一说”、“辨一辩”，让学生学会思考，学会学习，找到打开学生数学思维的“金钥匙”。

关键词：数学思维；兴趣；实践数学是思维的体操。

教育家裴斯泰洛齐认为：教育的主要任务，不是积累知识，而是发展思维。

所以，在素质教育全面实施的过程中，我们要充分认识到思维训练对人的一生的重要影响。

教学过程中，教师要抓住学生的思维特点，以学生为主体，以思维能力培养为核心，最大限度地激发和调动起学生思维的主体性、自觉性与独创性。

让学生学会思考，学会学习，找到打开学生数学思维的“金钥匙”。

一、第一把金钥匙：感兴趣从心理学角度看，兴趣是人对客观事物的一种积极的认知倾向，是一种复杂的个性品质，它推动人去探索新的知识，发展新的能力。

孔子曰：“知之者不如好知者，好知者不如乐知者。

”爱因斯坦也曾说过：“兴趣是最好的老师。

”根据小学生思维的基本特点，认识和掌握知识的规律，利用数学知识的魅力，凭借实物、模型、操作和鼓励性的语言激发学生的思维情趣，有着举足轻重的作用。

教学中应努力做到活泼多样、动静结合，采用学生喜闻乐见、易于操作的教学方式，如“对口令”“抢答数”“开火车”“猜谜语”“讲故事”“拼一拼”“摆一摆”“画一画”等，使学生乐于思、勤于思、自主于思。

例如，在教学“认识面积”一课时，先出示两个面积相差不多而对应的长和宽各不相同的长方形，让学生试着比较它们的大小。

这种导入，有利于激发学生强烈的求知“面积”的欲望。

接着再通过比一比、量一量、摸一摸、说一说等数学活动，使学生自觉地动起来，帮助他们活跃思维。

二、第二把金钥匙：动起来教学中，以“动”促思就是：让学生在做中学，让学生的手、眼、口、脑协同参与学习，通过具体的操作，在展现知识的形成过程中，充分凸现学生思维的过程，让学生真正成为学习的主人。

浅谈数学思想对解题的重要意义

浅谈数学思想对解题的重要意义作者：刘苏锐来源：《赢未来》2018年第20期摘要：在解题中，离不开数学思想的运用。

不管是建立数学概念、发现数学规律，还是解决数学问题，乃至构造整个数学大厦，都离开不了数学思想方法。

培养和掌握一定的数学思想，对解决数学试题有着极为重要的意义，既可以保证解题的正确性，又能提高数学解题效率。

关键词：数学思想解题重要意义一、数学思想方法概述数学思想在对数学的学习中拥有举足轻重的作用，它是打开数学大门的钥匙。

数学思想不仅是一种理论知识，在不断学习和实践中，更是归纳出的规律和策略。

这和人们对知识的掌握程度，解题中的感悟，解题的经验等密切相关。

几乎所有数学试题的求解都要用到数学思想，掌握了数学思想不仅可以提高解题速度还可以提高解题的正确率。

同时，数学思想是不断发展与补充的，只有通过培养数学思想，才能大程度的提高数学能力，掌握数学的精髓，达到事半功倍的效果。

二、常见的数学解题思想数学思想对解决数学问题的巨大作用不言而喻。

可以说只有掌握了数学思想方法，才是真正意义上掌握了数学。

因此，制定相应的培养数学解题思想的策略就很重要。

下面主要从数形结合、分类讨论、转化等思想方法的培养方法简述数学解题思想的培养策略。

（一）培养树形结合的思想方法在解决数学问题时，数与形的灵活转化不可或缺。

培养数形结合的数学思想，可以使解题者从多方面认识和理解问题，并提高把数学问题转化为实际问题的能力。

例如：求平面外一点p（x，y，z），到平面∏Ax+By+Cz+D=0的距离。

分析：这道题看似简单，但是如果不建立相应的图像，仅靠想象是很难解决的。

可以建立如图一所示的图像，所求目标就一目了然，即点P到平面的距离就是线段PN的长度。

结合图像加以推理还可得出此类问题的解题策略。

（二）培养分类讨论的思想方法在解题时，分类讨论即是一种逻辑方式还是一种数学思想，运用此方法可以培养学生的概括性和条理性。

运用分类讨论的思想方法需要挖掘出潜在的简单性与特殊性，进而灵活的使用解题方法，解决各类问题。

数学思想方法解题金钥匙(数学思想方法总复习ppt)

七、整体思想
所谓整体思想，就是把问题中的某一部分看成一个整体，这样做往往能使问题的解答简捷、明快. 例8 已知2a-3b² =5,则10-2a+3b² 的值是___. 解析：10-2a+3b² =10-(2a-3b² ), 将2a-3b=5代入得10-2a+3b² =10-5=5, 故填5. 评注：根据已知条件和我们现有的知识，无法求出a、b的值，我们另想办法，可以发现若将2a-3b² 视为一个整体，将式子10-2a+3b² 适当变形，就可以求出该式子的值.
八、方程思想
方程思想就是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，运用定义、公式、性质、定理和已知条件，隐含条件，把所研究的数学问题中的已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，从而使问题得到解决的思想方法.
例9 通信市场竞争日益激烈,某通信公司的手机市话标准按原标准每分钟降低a元后，再次下调了20%，现在收费标准是每分钟b 元，则原收费标准是每分钟______元.
解析：设原收费标准是每分钟x元, 则(x-a)(1-20%)=b. 所以x-a=1.25b 所以x=a+1.25b.即原收费标准是每分钟(a+ 1.25b)元. 故填(a+1.25b).
可见，数学思想是数学知识的基础和精髓，而数学方法则使数学思想得以具体实施，两者相辅相成.同学们要运用数学思想方法武装自己，使自己真正成为数学的主人.
六、从特殊到一般的思想
“从特殊到一般”就是从特殊、个别的事例推出一般规律的过程，是一个归纳的过程、创新的过程.从“特殊到一般”是解决数学问题的一种思想方法.特殊情形有时掩盖了问题的实质，从一般情形入手，容易发现解题思路.用字母表示数、归纳猜想规律等都是运用了从特殊到一般的数学思想.

数学思想是数学的精髓

数学思想是数学的精髓，是解决数学问题的金钥匙，是将知识转化为能力的桥梁。

而在我们初中阶段数学的学习中数学思想越来越有所体现，下面我就初中阶段常用到的数学思想来谈谈我对它们的认识。

首先来说一说方程思想。

方程是在等式的基础上定义的，而方程思想是对于一个问题用方程解决的应用，也是对方程概念的本质的认识，是分析数学问题中的变量间的等量关系，构建方程或方程组或利用方程的性质去分析、转换、解决问题。

方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。

如用一次函数解决实际问题这类题目与方程的关系极其紧密，只有灵活运用它们之间的关系，才能迅速正确地解决问题。

其次是转化思想。

转化思想又可以说为是化归思想，它是一种最基本的数学思想，解决问题的基本思路就是化未知为已知，把复杂的问题简单化，把生疏的问题熟悉化，把实际问题数学化，不同的数学问题相互转化，也体现了把不易解决的问题转化为有章可循、容易解决的问题的思想。

例如在沪科版八年级上册第十三章求两条直线的交点的问题，就是转化为解二元一次方程组的解，还有一次函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法）之间的相互转化，通过方程与函数的联系解决问题，这些都使学生学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般问题的方法，培养学生把文字语言转化为数学符号的能力。

再次是分类讨论思想。

分类讨论思想是指被研究的问题包含多种可能的情况，而又不能一概而论时，必须按照可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论。

在涉及到分类讨论时必须要遵循两个原则：（1）不重、不漏任何一种情况（2）每种可能的情况按照同一标准进行讨论。

例如，在沪科版八年级上册第十四章《三角形的三边关系》中，已知三角形是等腰三角形，其中两边为已知，求三角形的周长。

这一类题目必须分类讨论，才能把问题充分解决。

如一次函数的图象过哪些象限，需对k、b的取值范围分情况进行讨论。

最后一个是数形结合思想。

数形结合思想就是根据数学问题的假设和结论之间的内在联系，既分析数量关系又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，进行数与形的相互转化，使问题得以解决的思想方法。

初中数学转化思想是解题的一把金钥匙学法指导

初中数学转化思想是解题的一把金钥匙学法指导吕永红转化思想是一种重要的数学思想，它蕴涵着极其丰富的内容，应用非常广泛。

在解数学题时，运用转化思想，可化繁为简，把握解题的关键，突破解题的难点，探明解题的思路，获得新颖、独特的解题方法，从而提高解题的能力。

可见转化思想，确实是解题的一把灵巧的金钥匙，现举例说明如下。

一、一般问题特殊化例1. 方程018mx 2x )3m 3(x )1m (234=+-+-+对任何实数m 都有一个共同的实数解，试求这个实数解。

分析：本题应抓住两个关键词：一是“任何实数”，二是“一个共同的解”，这样就可以把一般问题转化成特殊问题来解。

解：因为m 为任何实数，不妨取1m -=和m ＝0两种情形，将1m -=代入原方程得,018x 22=-解这个方程得：;3x ±=将m ＝0代入原方程，得0x 3x 34=-，解这个方程得：;3x 0x ==或因为这两个方程只有公共解x ＝3，所以方程共同的实数解是x ＝3。

二、不等问题相等化例2. 已知不等式,c 2b 3ab 4c b a 222++≤+++求满足不等式的实数a 、b 、c 的值。

分析：一个不等式，三个待定未知量，不免令人困惑，但仔细揣摩条件，变换思考角度，不难想到向相等方面转化。

解：因为c 2b 3ab 4c b a 222++≤+++可变形为：,0)1c ()12b (3)2b a (222≤-+-+-又因为,0)1c ()12b (3)2b a (222≥-+-+- 所以,01c 12b 2b a =-=-=- 所以.1c ,2b ,1a ===三、方程问题不等式化例3. 一个边数是奇数的凸多边形中，除两个内角外，其余内角和为2390°，求这个多边形的边数。

分析：此题如用方程解，却难于下手，如根据多边形内角和定理及内角的取值范围，求边数的取值范围，可迎刃而解。

解：设这个多边形的边数为n ，由于多边形每个内角大于0°且小于180°，根据多边形内角和定理得：,21802390180)2n (2390⨯︒+︒<︒⨯-<︒ 解这个不等式得：,18517n 8515<< 又因为n 是奇数，故n ＝17，这个多边形是17边形。

教给学生开启数学殿堂的金钥匙

教给学生开启数学殿堂的金钥匙——有效的数学思想和方法素质教育是新时代的中国为提高全民族素质而提出的教育改革之举。

未来社会是知识不断更新创新的社会，衡量一个人素质的高低就是看他的创新能力的高低。

素质教育的提出不仅能培养出适应未来要求的人才，而且是创新知识下的创新人才，所以我认为创新教育就是素质教育的核心内容，加强对学生创新能力的培养是素质教育的关键任务。

学生的创新由何而来，对于教育战线的我们来说，就要做好组织者、引导者、合作者，在教育教学过程中要不断向学生传授思想和方法，这样学生才会在不断地学习生活中羽翼丰盈展翅高飞，创新能力就会得到充分的发展。

现我就所教数学学科谈一谈如何培养学生的创新能力。

一、着重教给学生数学学习的思想与方法，引导学生自己去探求新知识学生是教学过程的主体，作为教师真正把学生看作是学习的主人，就要传授知识的过程中，渗入学习方法与学习思路的指导。

让学生自己去获取知识，去发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。

例如：在教学组合图形面积这一课时，我采用自主探究合作交流的学习方式。

当我将课件中那个的实物图形抽象出侧面墙的平面图形，引出面积的计算后，我首先给学生充分的时间和空间让学生独立思考并自主探索组合图形面积的计算方案，再在组内交流。

因为著名数学家陈省身说过：数学是自己思考的产物，。

首先要自己思考起来，用自己的见解和别人的见解交换，会有很好的效果。

然后进行学生汇报，我用课件配合演示学生计算面积的方案，将分割的过程动态化，帮助学生理解组合图形面积的计算方法。

在生生交流中丰富学生解决问题的方案，进一步发展学生的空间观念。

可能出现的方案：1、一个三角形和一个正方形。

2、两个梯形。

3、填补成一个大长方形。

学生汇报后在进行方法的总结，使学生清楚的认识到计算组合图形的面积可以用割补的方法，转化为学过的一个或几个基本图形，用加一加或减一减的方法就可以计算出组合图形的面积了。

然后让学生选择自己喜欢的方案计算面积，并给出更加复杂的方案，此时学生在计算对比中总结出割补的最优方案，这样孩子在有了数学的基本思想和方法将来再面对图形提示就会信手拈来，学生会对数学的学习保持积极乐观的态度。

数学思想方法是数学的灵魂

数学思想方法是数学的灵魂，是开启数学知识宝库的金钥匙，它为分析、处理和解决数学问题提供了指导方针和解题策略．本文阐述了中学数学中所涉及的五种主要数学思想方法，
放飞思维张扬个性
瑞士教育家裴斯泰洛齐说：“教学的主要任务不是积累知识，而是发展思维。

”学生的思维能力主要是在他们获取知识的过程中、在知识的掌握过程中发展起来的。

数学是思维的体操，所以促进学生思维的发展是我们数学课堂教学的灵魂。

数学在培养和提高人的思维能力方面有着其他学科所不可替代的独特作用，这是因为数学不仅仅是一种重要的“工具”或者“方法”，更重要的是一种思维模式．
数学思想方法揭示了数学学习的本质，比数学知识具有更大的统摄性和包容性，它们犹如网络，将全部数学知识有机地编织在一起，形成环环相扣的结构和息息相关的系统．一直以来，高考十分重视对于数学思想方法应用的考查，所以考生应该善于通过应用数学思想方法分析问题、解决问题，来提升自己的数学能力，培养自己的数学素质．高考数学选择题在当今高考试卷中占分比例高，约占总分的40%．其特点是概括性强，知识覆盖面宽，小巧灵活，有一定的综合性和深度，渗透考查各种数学思想和方法．考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题成为得分的关键，而考生能否快速准确地解题，就在于掌握并运用数学思想方法的能力．。

数学解题中的一把金钥匙——整体思想

数学学习与研究2014.18一、整体代入有些问题,如果孤立地利用条件,问题虽然可以得到解决,但解题过程比较复杂,如果把一些组合式子看成一个“整体”,并把它直接代入另一式,以避免局部运算的麻烦和困难,这就是整体代入.例1当x =1时,代数式px 3+qx +1的值是2014,则当x =-1时,代数式px 3+qx +1的值是.分析对于此题,若想分别求p 和q 的值,这是不必要的,也不可能.由题设得p +q +1=2014,如果我们视p +q 为一个整体,则有p +q =2013,于是,当x =-1时,有px 3+qx +1=-p -q +1=1-(p +q )=1-2013=-2012.二、整体换元整体换元是用新的元去代替已知或已知式的某一部分,从而达到化繁为简、化难为易的目的.例2解方程x x +1()2+5x x +1()+6=0.分析如果先将括号展开,题目就难解了.根据方程的结构特征,把x x +1看作整体y ,则原方程转化为y 2+5y +6=0,解得y 1=-3,y 2=-2,当y 1=-3时,x x +1=-3,解得x 1=-34;当y 2=-2时,x x +1=-2,解得x 2=-23.经检验x 1=-34,x 2=-23均为原方程的根.三、整体构造整体构造就是根据已知条件和所求,整体构造相应的式子,通过对两个式子的联合研究来解决问题.例3已知a ,b 为两个不相等的实数,且满足a 2=1-2a,b 2=1-2b,求b a +a b的值.分析根据常规,习惯于先求出a ,b ,这需分四种情况讨论,运算较繁,且容易出错.若能整体把握b a+a b =b 2+a 2ab =(a +b )2-2ab ab,只需求出a +b 与ab ,易联想到根与系数的关系.本题可构造出以a ,b 为两实数根的一元二次方程x 2+2x -1=0,∴a +b =-2,ab =-1,b a +a b =(a +b )2-2ab ab=-6.四、整体求解整体求解是将问题中的某些局部计算作整体求解,从而达到简化问题和减少计算量的目的.例4有大、小两种货车,2辆大车和3辆小车一次可以运货15.5吨,5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨,求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨?分析设一辆大车与一辆小车一次可以各运货x 吨、y 吨,则有2x +3y =15.5…①,5x +6y =35…②,然后用常规方法解得x 与y 的值,再代入下一步作答,非常烦琐.简便解法:由题意,可得2x +3y =15.5…①,5x +6y =35…②,①×7-②,得9x +15y =73.5,从而就有3x +5y =24.5.五、整体补形整体补形是从图形的整体性角度出发,将问题中不完整的图形补为完整的图形,从而利用图形的整体性质使问题巧妙获解.从整体补形的角度去思考问题,巧妙添加辅助线,从而导致解题方向明朗化.例5如图1,AB =4,DB ⊥AB ,EA ⊥AB ,DB =3,EA =6,又点M 是DE 的中点,求BM 的长.分析由已知条件可以联想到平行四边形,故延长DB 到F ,使DF=EA =6,连接EF ,AD ,由AE ⊥AB ,DB ⊥AB ,得AE ∥DB ,∴四边形ADFE 为平行四边形.在Rt△ABD 中,AD =AB 2+DE 2√=5.∴EF =AD =5.由中位线定理得BM =12EF =52.六、化零为整化零为整就是化部分为整体,避免分散计算.在很多几何题中,如果把所求部分进行单个计算,有时不能使问题获解,只有把所有部分看作一个整体进行合理转化,才能得出结论.例6如图2,☉A,☉B,☉C 两两不相交且半径都为0.5厘米,则图中阴影部分的面积为________.分析由于各个扇形的圆心角的度数均未知,从而不能分别求各个扇形的面积.为此,将三个阴影部分整体考虑,注意到三角形内角和为180°,所以三个扇形的圆心角的和为180°,又因为各个扇形的半径相等,所以阴影部分的面积为半径为0.5厘米的圆的面积的一半,即12×π×0.52=π8(平方厘米).七、应用题中的整体思想我们在研究有关应用题时,如果能从大处着眼,从整体入手,往往可化繁为简,思路明晰.例7甲、乙两人从相距100千米的两地同时出发,相向而行,甲每小时走6千米,乙每小时走4千米,甲带了一只小狗,狗每小时跑10千米,小狗随甲同时出发,向乙跑去;当它遇到乙后,就立即回头向甲跑去;遇到甲后,就立即回头向乙跑去,直到甲、乙两人相遇狗才停住.求这条狗一共跑了多少路.分析本题如按常规解法,考虑“狗”的行程,不仅图无法画出,且容易导致思路曲折复杂,无从下手.如果我们借助“整体思想”则轻而易举:要求狗的行程,已知狗的速度,只需知道狗奔跑的时间;而这时间也恰是甲、乙二人走完全程所用的时间,而求甲、乙二人走完全程所用的时间则变成一个相当简单的相遇问题.如果设甲、乙两人从出发到相遇所用时间为x 小时,根据题意列方程:6x +4x =100,解之得x =10,因此狗以10千米/时的速度跑了10小时,则它一共跑了10×10=100(千米).当然,整体思想在数学解题中的应用还涉及其他的各种题型.有了整体思想的意识,从整体上去认识问题、思考问题,常常能化繁为简、变难为易,同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性.灵活恰当地运用整体思想,往往能帮我们走出困境,走向成功.数学解题中的一把金钥匙———整体思想◎范金伟(山东省枣庄市第三十七中学277212)图1. All Rights Reserved.。

转化匙思想——数学金钥匙

转化匙思想——数学金钥匙
数学是一门重要的学科，也是很多学科的基础。

学好数学可以
让我们更好地理解世界，更好地处理问题。

下面是几点数学金钥匙，有助于您转化匙思想：
1. 有条理地思考：数学是一门严谨的学科。

在学习数学的过程中，我们需要有条理地思考，逐步展开问题，一步步解决问题。

2. 抽象思维：数学中的概念、公式和理论往往是抽象的，需要
我们具备抽象思维能力。

学习数学可以训练我们的抽象思维能力，
从而帮助我们更好地分析和解决问题。

3. 逻辑思维：数学中的证明和推导需要逻辑严密的思考，可以
锻炼我们的逻辑思维能力。

在实际生活中，逻辑思维能力也是非常
重要的，可以帮助我们更好地分析和解决问题。

4. 创新思维：数学中有许多问题需要我们创新性地思考，从而
得出新的结论和方法。

学习数学可以培养我们的创新思维能力，从
而在实际生活中更加灵活地应对各种问题。

5. 问题解决能力：学习数学可以让我们具备更好的问题解决能力。

数学中的许多方法和技巧可以应用到其他学科和实际生活中，
帮助我们更好地解决各种问题。

数学思想方法在教学中的渗透

浅论数学思想方法在教学中的渗透一、对数学思想方法的认识数学思想方法是数学的灵魂，是开启数学知识宝库的金钥匙，是用之不竭的数学发现的源泉。

可以说数学的发展史是一部生动的数学思想的发展史，它告诉我们：数学思想方法是数学知识的本质，它为分析、处理和解决数学问题提供了指导方针和解题策略。

数学思想方法比数学知识具有更大的统摄性和包容性，它们犹如网络，将全部数学知识有机地编织在一起，形成环环相扣的结构和息息相关的系统。

所以，数学教师必须通过数学知识的教学和适当的解题活动突出数学思想方法。

现代数学教育理论认为：数学教育的目的不仅是传授知识，更重要的是培养能力和发展学生的思维。

考查一个人的数学文化素养，主要表现在用数学思想去观察、分析、处理现实中的数学问题。

人们在应用数学解决各种现实问题时，数学思想方法比数学知识更具“亲和力”，也就是说，人的“数学智能”在很大程度上依赖于“数学思想方法”的掌握。

一位数学家在从事了多年数学教育之后，说了一段寓意深刻的话：学生在初中或高中所学过的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要作用。

确实如此，一个人的一生是丰富多彩的，他需要了解的知识太多太多，不管你今天灌输给他怎样的知识，他今后的生活用到这个知识的机会很少很少；即使遇到了，也许他已经忘记你教给他的具体东西，只有解决问题的思路，即解决问题用到的数学思想方法才是真正有用的。

二、数学思想方法的研究现状自20世纪以来，由于数学基础学科中重大思想方法的出现，特别是数学公理化的形成及数学基础理论研究的深入开展，人们渐渐关心数学各分支之间的内在联系，开始注重对数学思想方法本身的产生及其发展规律的探讨。

《数学教学大纲》和《数学课程标准》都明确提出数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分。

小学数学思维培养：开启智慧的钥匙

小学数学思维培养：开启智慧的钥匙嘿，大家好呀！我是渴望开启智慧大门的小探索者。

嘿，你们知道吗？小学数学思维培养就像是一把神奇的钥匙，能打开智慧的大门呢。

有一次上数学课，老师出了一道这样的题：“有三个篮子，第一个篮子里有5 个苹果，第二个篮子里的苹果比第一个篮子多 3 个，第三个篮子里的苹果是第一个和第二个篮子苹果总数的一半，问第三个篮子里有几个苹果？”一开始我有点懵，不知道从哪里下手。

但是老师引导我们一步一步地分析问题。

首先算出第二个篮子里的苹果数量，5+3=8 个。

然后算出第一个和第二个篮子苹果的总数，5+8=13 个。

最后再算出第三个篮子里的苹果数量，13÷2=6.5 个。

通过这道题，我学会了如何有条理地思考问题，这就是数学思维的一种体现呀。

我们还经常玩一些数学游戏来培养思维。

比如数字拼图游戏，把一些数字卡片打乱，然后要我们拼成正确的算式。

这个游戏不仅考验我们对数字的敏感度，还锻炼了我们的逻辑思维能力。

还有猜谜语游戏也很有意思。

“像个蛋，不是蛋，说它圆，不太圆，说它没有它又有，成千上万连成串。

”我们要猜出这是数字“0”。

这样的游戏能激发我们的想象力和创造力。

在学习图形的时候，老师会让我们观察生活中的各种图形，然后自己总结它们的特点。

比如窗户是长方形的，有四条边，对边相等，四个角都是直角。

通过这样的观察和总结，我们的空间思维能力得到了提升。

嘿，你们知道吗？小学数学思维的培养真的很重要。

它让我们学会思考、学会解决问题，就像拥有了一把开启智慧的钥匙。

让我们一起在小学数学的学习中，不断培养自己的思维能力，开启更多的智慧之门吧！。

掌控打开数学思维之门的密码——初中数学教学中有关解题技巧刍议

掌控打开数学思维之门的密码——初中数学教学中有关解题技巧刍议
初中数学解题技巧是掌控打开数学思维之门的重要密钥。

数学解题技巧着重学生理解数学内容、有效应用数学思维方法和熟练掌握解决数学问题的能力，是数学学习的主要内容，也是引导学生成功学习数学的重要方法。

要掌握数学解题技巧，首先要求学生理解数学内容，包括公式、定理、基本定义等。

只有深刻理解数学知识，才能全面地真正把握它，才能有效地将它运用到数学解题中。

其次，在解题过程中，要充分运用数学思维方法，训练学生运用推理、归纳、推论、综合分析等科学思维方法，使数学解题解决本质问题，不做表面化思考，才能解决初中数学解题中的难题。

最后，还要熟练掌握各种解题方法，全面发挥计算、技巧、证明、图形、演绎等解题方法优势，将知识点相互联系起来，运用学过的知识和方法解决新出现的数学问题，有效促进学生解题能力得到提高。

总之，初中数学解题技巧是独立解决数学问题的重要工具。

只有扎实理解数学知识，开展数学思维方法的实践，熟练掌握各种解题方法，就能将初中数学解题技巧有效融入数学学习活动，有效地掌握数学知识，打开数学思维之门。

数学思想和方法——打开初中数学教学大门的“金钥匙”

] ( ) : 法[ 教育教学论坛 , J ．２０１２３０５８－５９． ] 思想和方法的渗透 [ 科学导报 , J ．２０１５．
㊀㊀数学知识的精华
变为能力的纽带 . 要想提高学生的逻辑思维水平 , 在日常教学中 , 不断注重加强对学生数学思想和方法的锻炼非常关键 . 数学教师也要在实际教学中做到方法与思想的统一 , 让它们相互影响 , 相辅相成, 使学生都能灵活运用.随着新一轮课程改革的不断视深入发展 , 很多教育工作者也越来越重透呢 ? 视数学思想方法的渗透 . 那么 , 在实际教学中如何有效渗一㊁在教学中渗透思想教学的必要性
大门的金钥匙 . 因此 , 在数学教学中渗透数学思想与方法,
实际教学中 , 教师可以将数学知识作为载体 , 把思想和方法渗透到知识的讲解过程中不失为一种有效方法 . 例如 , 在学习完数轴内容后 , 引出在数轴上表示的两个数 , 右边的数的, 正数大于一切负数这些公式定理 . 因此 , 在教学中, 教师应把握住逐渐渗透的原则 , 循序渐进, 利于学生掌握.既使这一章节的重点突出㊁难点分散, 也要逐级向学生渗透数形结合的思想 , 这样更易于学生接受和运用 . 三㊁通过方法理解思想 , 通过思想指引方法总是比左边的数大 , 正数都是大于０的 , 负数都是小于０
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