小升初-数学-几何-五大几何模型

一、等积模型

D

C B

A

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD

BCD S S =△△；

反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

二、共角定理（鸟头定理）

知识框架

五大几何模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△

(1)

(2)

(3)

(4)

三、蝴蝶定理

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

① 1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

S 4

S 3

S 2

S 1O D

C

B

A

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b =

②

22

1324::::::S S S S a b ab ab =； ③ S 的对应份数为()2

a b +．

④

A B

C

D

O b

a S 3

S 2

S 1S 4

四、相似模型

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

G

F E A

B

C

D

A

B C

D

E

F G

①

AD AE DE AF

AB AC BC AG

===

； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．

五、共边定理（燕尾定理）

有一条公共边的三角形叫做共边三角形。

共边定理：设直线AB与PQ交于点M，则

S PM

PAB

S QM

QAB

∆=

∆

特殊情况：当PQ∥AB时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB

一、三角形相似模型

【例 1】图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少例题精讲

平方厘米?

【巩固】 如图，四边形ABCD 和EFGH 都是平行四边形，四边形ABCD 的面积是16，:3:1BG GC =，

则四边形EFGH 的面积=________．

G E

C

B

A

【例 2】 已知三角形ABC 的面积为a ，:2:1AF FC =，E 是BD 的中点，且EF ∥BC ，交CD 于G ，

求阴影部分的面积．

【巩固】 图中ABCD 是边长为12cm 的正方形，从G 到正方形顶点C 、D 连成一个三角形，已知

这个三角形在AB 上截得的EF 长度为4cm ，那么三角形GDC 的面积是多少？

A

B

C

D E F

G

【例 3】 如图，O 是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么

阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？

F D

B

【巩固】 ABCD 是平行四边形，面积为72平方厘米，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则图中

阴影部分的面积为 平方厘米．

B

二、蝴蝶模型

【例 4】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，AB=8,AD=15四边形EFGO

的面积为______．

8

F

【巩固】 如图5所示，矩形ABCD 的面积是24平方厘米，、三角形ADM 与三角形BCN 的面

积之和是7.8平方厘米，则四边形PMON 的面积是 平方厘米。

O

P N

M D

C

B

A

【例 5】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知

正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？

B

【巩固】 如图所示，ABCD 是梯形，ADE ∆面积是1.8，ABF ∆的面积是9，BCF ∆的面积是27．那

么阴影AEC ∆面积是多少？