中山大学高数期末考试真题及答案

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高等数学期末试题(含答案)

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。

【中大】高等数学习题及详细解答

1. 求由下列曲线所围成的平面图形的面积：(1) y =e x 与直线x =0及y =e; (2) y =x 3与y =2x ;(3) y =x 2,4y =x 3; (4) y =x 2与直线y =x 及y =2x ;解 (1)可求得y =e x 与y =e 的交点坐标(1,e), y =e x 与x =0的交点为(0,1),它们所围成的图形如图6-1中阴影部分,其面积eee111d ln d (ln )1S x y y y y y y ===-=⎰⎰图6-1 图6-2(2)解方程组32y x y x ⎧=⎨=⎩得022,,,02222x x x y y y ⎧⎧==-=⎧⎪⎪⎨⎨⎨==-=⎩⎪⎪⎩⎩ 即三次抛物线3y x =和直线2y x =的交点坐标分别为(0,0),(2,22),(2,22)--,它们所围成的图形的面积20334224222011(2)d (2)d ()()244S x x x x x x x x x x --=-+-=-+-=⎰⎰.(3)解方程234y xy x⎧=⎪⎨=⎪⎩得两曲线的交点为(0,0),(4,16),所求面积为 4233440011116()d ()|43163S x x x x x =-=-=⎰.图6-3 图6-4(4)可求得2y x =与y x =的交点为(0,0),(1,1);2y x =与2y x =的交点为(0,0),(2,4); y =x 与y =2x 的交点为(0,0),它们所围图形如图6-4中阴影所示,其面积为:121122012231201(2)d (2)d d(2)d 117()236S x x x xx x x x x x xx x x =-+-=+-=+-=⎰⎰⎰⎰2. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定轴旋转而成的旋转体的体积：(1) y =e x ,x =0,y =0,x =1,绕y 轴； (2) y =x 3,x =2,x 轴，分别绕x 轴与y 轴； (3) y =x 2,x =y 2，绕y 轴；解 (1)如图6-9所求旋转体的体积为矩形OABD ,与曲边梯形CBD 绕y 轴旋转所成的几何体体积之差,可求得y =e x 与x =1的交点为(1,e), y =e x 与y 轴的交点为(0,1),所以,所求旋转体的体积.222111(ln )(ln )2(ln )22(1)2(ln )eee11ee1πe πd πe πd πe πe ππe e π.d y V y y y y y y y y y ⎡⎤=⋅⋅-=--⎣⎦⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦⎰⎰⎰72226200128(2)7ππd πd π7x x V y x x x ===⋅=⎰⎰ 2588228330036428323255πππd ππd ππy V x y y y y =⨯⨯-=-=-⋅⋅=⎰⎰.图6-5 图6-6(3)解方程组22y xx y⎧=⎪⎨=⎪⎩得交点(0,0),(1,1),所求旋转体的体积 25114100031025πd πd ππx x x V x x x x ⎛⎫=-=⋅=- ⎪⎝⎭⎰⎰.图6-8图6-73、.求二曲线θsin =r 与θcos 3=r 所围公共部分的面积解：当θ等于0和3π时，两曲线相交，所围公共部分的面积为4324π5d θθcos 321d θθsin 212π3π23π02-=+=⎰⎰A .4、设有一截锥体, 其高为h , 上、下底均为椭圆, 椭圆的轴长分别为2a 、2b 和2A 、2B , 求这截锥体的体积.解建立坐标系如图. 过y 轴上y 点作垂直于y 轴的平面, 则平面与截锥体的截面为椭圆, 易得其长短半轴分别为y h a A A --, y hb B B --.截面的面积为π)()(y hb B B y h a A A --⋅--.于是截锥体的体积为])(2[61)()(0bA aB AB ab h dy y h b B B y h a A A V h+++=--⋅--=⎰ππxyO3πθ=5、计算曲线x y ln =相对应于3=x 到8=x 的一段曲线弧长.解：由弧长的公式得:23ln 211d 1d 11d 1832832832+=+=+='+=⎰⎰⎰x x x x xx y s .6、求阿基米德螺线ρ=a θ (a >0)相应于θ 从0到2π 一段的弧长. 解: 弧长元素为θθθθd a d a a ds 22221+=+=.于是所求弧长为⎰+=πθθ2021d a s )]412ln(412[222ππππ++++=a .7、求星形线33cos sin x a ty a t ⎧=⎨=⎩的全长. 解：由弧长的参数方程公式得:446s t a θ===.1、电量为+q 的点电荷位于r 轴的坐标原点O 处它所产生的电场力使r 轴上的一个单位正电荷从r =a 处移动到r =b (a <b )处求电场力对单位正电荷所作的功.提示: 由物理学知道, 在电量为+q 的点电荷所产生的电场中, 距离点电荷r 处的单位正电荷所受到的电场力的大小为2r qkF = (k 是常数). 解: 在r 轴上, 当单位正电荷从r 移动到r +dr 时, 电场力对它所作的功近似为dr r qk2,即功元素为dr r qkdW 2=. 图6-9 于是所求的功为dr rkq W b a2⎰=b a r kq ]1[-=)11(b a kq -=.2、设把一金属杆的长度由a 拉长到x a +时，所需的力等于akx，其中k 为常数，试求将该金属杆由长度a 拉长到b 所作的功.解：由于金属杆拉长所需的力f 与拉长的长度成正比x ，且akxf =，其中k 为常数。

中山大学2019高数上期末考试A卷试题与答案

考试题（A 卷）一、计算下列数列或函数的极限（请从三道题目中任选二道题，多选的话则按照前两道题目给分。

每题5分，合计10分）1. n211lim 1x n n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭.解（方法一）22n n22n(1)12111lim 1lim 11li 1.m x x n n n n x n n n n n e n →∞→∞--→∞-⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤-⎛⎫⎢⎥=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦（方法二）222n 1nln 1211limnln 1limn 111lim 1li .m x x n n x x n n n n e n n eee e →∞→∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭→∞→∞-⎛⎫-+⋅⎪⎝⎭⎛⎫+-= ⎪⎝⎭====2.2()()limxx x t f t dtx →-⎰，其中()f x 是一个连续函数.解220()()()()limlim()()()lim2()(0)lim 22.xx xx x x x x x t f t dtx f t dt tf t dtxxf t dt xf x xf x xf x f →→→→--=+-===⎰⎰⎰⎰3. 求二元函数()()()()44,0,0lim2ln x y x y x y →++的极限. 解（方法一）平面极坐标为(),ρθ。

由于()(),0,0x y →，不妨设11,22x y ≤≤，于是()()44444444max ,,21,414ln lnln 2ln 24ln ,x y x y x y x y ρρρρ≥+≥+=≤=-+所以()()()4402ln 6ln 22ln 0x y x y ρρ≤++≤-→()()()()44,0,0lim2ln 0x y x y x y →++=解（方法二）有界量与无穷小量之积是无穷小量，所以()()()()()()()()()()44,0,01444441,0,0444lim2ln 2lim ln 0x y x y x y x y x y x y x y x y →→++⎡⎤+⎢⎥=⋅++=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦二、（8分）过原点作抛物线()y f x ==D 是该切线与上述抛物线及x 轴围成的平面区域. 求区域D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.解设切点为()00,x y ，则00y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 解方程组得()()00,2,1x y =。

中山大学09线代期末试题

1.（每小题 6 分，共计 12 分）计算行列式的值 (1)
a a a
(2)
b a+b 2a + b
c a+b+c 3a + 2b + c
0 1 0 −1 0 −1 c 1 0 0 −1 d
a
1 b
0
2.
7 2 5 A = 6 3 4 （6 分）判断矩阵是否可逆，若可逆，并求 A−1 . 5 − 2 − 3
2 2 f = 2 x12 + 3 x 2 + 3 x3 + 4 x3 x 2 ，并写出所用的坐标变换。
2
3. （6 分）已知矩阵
1 − 2 3 1 0 − 1 A = 2 1 4 ， B = − 1 3 0 ，求 2AB-3A2 0 − 3 2 5 5 2
4. (6 分 ) 向量组（ 1 ， 1 ， 0 ），（ 3 ， 0 ， -9 ）和（ 1 ， 2 ， 3 ）的秩是多少？
1
《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位。”
5. （10 分）求解非齐次方程组
x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 3 2 x + x + 3 x + 3 x + 4 x = 14 1 5 3 4 2 3 x1 + 4 x 2 + x 3 - 3 x4 + 2 x5 = −11 x1 - x 2 + 4 x 3 + 8 x4 + x5 = 31
6.(12 分 ) 设 R3 中两个
用向量形式表示通解。

中山大学东校区2005级第二学期高等数学一期末A试题(word文档良心出品)

中山大学2005级东校区第二学期高等数学一一.（每小题7分，共28分）1. 设函数)(2),(2y x f x y y x z += ，其中 f 二阶可微，求 yx z x z ∂∂∂∂∂2, 。

2. 设函数k z x y j y x i z y x )(3222-++= ，求 )(,F v i d grad F v i d 。

3. 设函数)0(,)(s in )(2>=⎰y dx x y x y g y y ，求)(y g ' 。

4. 在直角坐标系下，用两种不同的次序将二重积分⎰⎰=Ddy dx y x f I ),( 化为累次积分，其中D 是由直线x y x y x x 2,,2,1==== 所围成区域。

二.（10分）计算曲线积分0()s in ()c o s (>---=⎰m dy m y e dx my y e I L x x 为常数），其中有向曲线L 是圆周)0(222>=+a ax y x 从点)0,2(a A 经),(a a M 至)0,0(O 的部分。

三.（10分）利用高斯公式计算曲面积分⎰⎰+++=Sdxdy zx dzdx yz dydz x xy I 2222)(，其中S 是由球面 ,222x z z y --= 平面0=y 所围区域表面的外侧。

四. （每小题7分，共14分）1. 求微分方程： dxdy xy y dx dy x =+ 的通积分。

2. 求微分方程：x e y y y 23465-=+'-'' 的通解。

五. 讨论下列广义积分的敛散性：（每小题5分，共10分）1. x d x x ⎰105sin ，2.⎰∞++⋅1321x x dx 。

六. （9分）求幂级数∑∞=---221)1(2)1(n n n x n n 的收敛半径、收敛域以及和函数。

七. （7分）求函数x x f ln )(= 在2=x 处的泰勒展开式，并求出收敛域。

大一高数下考试题及答案

大一高数下考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)的极限为L，是指对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。

这个定义描述的是（）。

A. 函数在某点的连续性B. 函数在某点的可导性C. 函数在某点的极限D. 函数在某点的间断性答案：C2. 以下哪个函数是偶函数？（）A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^3 - xC. f(x) = cos(x)D. f(x) = sin(x)答案：C3. 以下哪个积分是收敛的？（）A. ∫(1/x)dx 从1到∞B. ∫(1/x^2)dx 从1到∞C. ∫(1/x^3)dx 从1到∞D. ∫(1/x)dx 从0到1答案：B4. 以下哪个级数是发散的？（）A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...D. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...答案：D5. 以下哪个是二阶导数？（）A. f''(x) = 2xB. f'(x) = 2xC. f(x) = x^2D. f'(x) = 2答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x在x=0处的导数是________。

答案：02. 函数f(x) = e^x的不定积分是________。

答案：e^x + C3. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是________。

答案：-cos(x) + C4. 函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分是________。

答案：1/35. 函数f(x) = x^2 + 2x + 1的极值点是________。

答案：x = -1三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限：lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 - 1)]。

中山大学高数一下册2018期末真题

一、计算二重积分 ∬xy Ddxdy , 其中 D 为第一象限内的椭圆区域: x 24+y 2≤1,x ≥0, y ≥0.（7分）解：使用广义极坐标变换，即x =2r cos θ,y =r sin θ（1分），积分区域可表示为0≤θ<π2,0≤r ≤1（1分） D (r,θ)=[2cos θsin θ−2r sin θr cos θ]=2r （1分），我们有 ∬xy D dxdy =∫dθπ/2∫2r cos θ⋅r sin θ⋅|J |10dr （1分）=∫4cos θ⋅sin θdθπ/2∫r 31=∫2sin 2θdθπ/2×r 44|01=−cos 2θ|0π2×14=−(−1−1)×14=12(1分)二、设 Ω 为曲面 z =1 与上半球面 z =√3−x 2−y 2 所围成的区域，S 为 Ω 的边界，求第一型曲面积分 ∬(x +S1)dS 的值. (7分)解：首先通过方程z =1=√3−x 2−y 2，容易算得两曲面交线为x 2+y 2=2，故积分投影区域为D:x 2+y 2≤2，上表面为上半球面z 上=√3−x 2−y 2，下表面为平面z 下≡1.（1分）同时，可计算出√1+z 上x 2+z 上y2=√3−x 2−y 2√1+z 下x 2+z 下y2=1 （1分）,由对称性，注意到两个表面均关于Oyz 平面对称，且x 关于x 为奇函数，所以有：∬(x +1)SdS =∬1SdS (对称性，1分)=∬3√3−x 2−y 2D +1dxdy （1分）=∫dθ2π0∫[3√3−r 21]⋅r √20dr （极坐标，1分） =2π×[−3√3−r 2+r 22]|0√2三、计算曲线积分 ∫y dx −(x +z ) dy L +,其中 L +为螺旋线段：L:{x =cos ty =sin t z =t 2,t ∈[0,2π]，方向按参数 t 增加的方向.(7分) 解：本题可以直接进行求解，注意到x ′(t )=−sin t ,y ′(t )=cos t ,z ′(t )=2t,0≤t ≤2π(1分)，可得中山大学高等数学一（II ）期末考试J =D (x,y )dr=2π×(−3−(−3√3)+1−0)=(6√3−4)π（1分）∫y dx −(x +z ) dy L +=∫sin t ⋅−sin t −(cos t +2π0t 2)⋅cos t dt (2分) =∫−1−2π0t 2⋅cos t dt (1分)=−2π−t 2⋅sin t |02π+∫2t 2π⋅sin t dt (1分)=−2π+0−2t ⋅cos t |02π+∫22πcos t dt (1分)=−2π+0−2×2π+0=−6π(1分)四、求初值问题 (−x 2+2xy )dx +(x 2+sin y )dy =0, y (0)=π2 的解 (7分)解：因为ð(−x 2+2xy )ðy=2x =ð(x 2+sin y )ðx，因此该方程为全微分方程（2分）使用简单凑微分方法，有 (−x 2+2xy )dx +(x 2+sin y )dy=−x 2dx +(2xy dx +x 2dy )+sin y dy =d(−x 33+x 2y −cos y)因此，可得该全微分方程的通解为：−x 33+x 2y −cos y =C （3分）代入初值条件，即x =0,y =π2，可得C =0, （1分）故原初值问题的解为：−x 33+x 2y −cos y =0（1分）解：先考虑对应齐次线性方程y ′′+y =0,其特征方程λ2+1=0对应两个特征根λ1,2=±i （1分）因此对应齐次方程的通解为y ̃=c 1cos x +c 2sin x ,（2分）考虑非齐次方程y ′′−y =cos x ,因为±i 是特征根，其特解y 1∗=x(A cos x +B sin x),（1分）代入该方程后有y 1∗′′+y 1∗=−2A sin x +2B cos x =cos x ,可得A =0,B =12故y 1∗=12x sin x . （2分）综上，原微分方程通解y =y ̃+y 1∗=c 1cos x +c 2sin x +12x sin x . （1分）六、判断级数∑(−1)n−1arctan 1n∞n=1的敛散性,并指明其为绝对收敛还是条件收敛. (8分)解：本级数为交错级数，其通项绝对值arctan 1n 关于n 单调递减（因为1n 单调递减，arctan 1n 单调递减）（2分），且lim n→∞arctan 1n =0. （1分）由莱布尼茨（或狄利克雷）判别法可证该级数收敛。

高数期末汇总(09~13)

6.
判定级数 ( 1) n 1
n 1
2n 1 的敛散性. 若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛. n2
中山大学东校区《高等数学Ⅰ》第二学期期末考试汇编（09~13）
2
7.
求无界函数的广义积分
e
1 x 1 ln 2 x
1
dx .
8.
判定积分
1
1 x x
2
0 3
dx 的敛散性.
解答下列各题，并写出必要的过程（1-10 小题每小题 8 分，11-12 小题每小题 10 分）
1.
计算

dx . x 2x 2
2
2.
求 xy 2dydz yz 2dzdx zx 2 dxdy ，其中 S 为球面 x 2 y 2 z 2 4 的外侧.
S
3.
0
15. 设函数 P ( x , y, z), Q( x , y, z) 和 R( x , y, z ) 在 R 3 上具有连续偏导数，且对于任意光滑曲面，
有 Pdydz Qdzdx Rdxdy 0 . 证明：在 R 3 上，

P Q R 0. x y z
14
中山大学东校区 2012 学年度《高等数学（一）》期末考试题
一、填空题（每空 2 分，共 16 分）
1.
第二型曲线积分 Pdx Qdy Rdz 化为第一型曲线积分
L
.
其中 α, β, γ 是有向曲线弧 L 在点 ( x , y, z ) 处的
2.
Σ
的方向角.
.
第二型曲面积分 Pdydz Qdzdx Rdxdy 化为第一型曲面积分其中 α, β, γ 是有向曲面 Σ 在点 ( x , y, z ) 处的的方向角.

高等数学期末考试试题及解答

高等数学（下）期末试题（2）二、填空题（每题３分，总计１５分）。

1、函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数a ＝______。

2、若曲面2222321x y z ++=的切平面平行于平面46250x y z -++=，则切点坐标为______________________。

3、二重积分3110x ydyye dx -蝌的值为______________。

5、微分方程2yy x y ¢=+的通解为_____________________。

三、计算题（每题７分，总计３５分）。

2、设(,)z f x y xy =-具有连续的二阶偏导数，求2z x y¶抖。

3、将函数23()2f x x x=--展开成x 的幂级数，并指出收敛域。

4、设)(x y y 满足方程322x y y y e ⅱ?-+=，且其图形在点)1,0(与曲线21y x x =-+相切，求函数)(x y 。

5、计算222Ldsx y z++ò，其中L 是螺旋线8cos ,8sin ,x t y t z t ===对应02t p＃的弧段。

四、计算题（每题７分，总计３５分）。

1、设0a >，计算极限23123lim ()n n na a a a??++++的值。

2、计算z dv W蝌?，其中W 由不等式z ?22214x y z ?+?所确定。

4、将函数()(11)f x x x =-＃展开成以2为周期的傅立叶级数。

5、设函数)(x f 具有连续导数并且满足(1)3f =，计算曲线积分22(())(())Ly f x x dx x f x y dy +++ò的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线L 是由)2,1(到)1,2(的任一条逐段光滑曲线。

五、本题５分。

对0p >，讨论级数11(1)nn n n p¥+=-å的敛散性。

中山大学2004年《高等代数》试题及解答

中山大学2004年《高等代数》试题及解答及评注（本解答由“博士家园”之硕博之路版主hfg1964提供）1．（10分）计算下列n 阶行列式：210001210001200012n D =解行列式按第1行展开，然后接着对其中一个1n -阶行列式再次展开，得122n n n D D D --=-，因此11223n n n n n n D D D D D D ------=-=-211D D ==-= ，11n n D D -=+1n =+．注对一般二阶线性递推数列12n n n D aD bD --=+，可考虑特征方程2x ax b =+的两个根,αβ，则递推数列12n n n D aD bD --=+化为12()n n n D D D αβαβ--=+-，就能求出n D 的通项，更一般的结论参考《组合数学》中方法．2．（10分）设12,,,n ααα 是数域P 上线性空间V 中一线性无关向量组，讨论向量组1223,,αααα++1,n αα+ 的线性相关性．解设1122231()()()0n n k k k αααααα++++++= ，即111221()()()0n n n n k k k k k k ααα-++++++= ，由于12,,,n ααα 线性无关，上式系数必为零，即1121000n n n k k k k k k -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ ，该线性方程组系数行列式按第一行展开，即得11(1)n A +=+-．当n 为奇数时0A ≠，齐次线性方程组仅有零解，则向量组1223,,αααα++1,n αα+ 线性无关；当n 为偶数时0A =，齐次线性方程组有非零解，则向量组1223,,αααα++1,n αα+ 线性相关．注1 记112223,,βααβαα=+=+1,n n βαα=+ ，则可以把向量组形式的记为：1212(,,,)(,,,)n n A βββααα= ，则向量组12,,,n βββ 的秩与矩阵A 的秩相等，对矩阵A 作初等变换，求出其秩即得结论；注2 可以先猜后证，通过1,2,3n =这几个常见的结论能猜想其结果．而且当n 为偶数时，可以直接由1230n ββββ-+--= 得到12,,,n βββ 线性相关的结论；注3 由同构的观点，无妨把12,,,n ααα 视为n 维向量空间n P 中的列向量，考察行列式A 12231,,,n αααααα+++ ，把它展开成2n 个行列式后，仅有两个行列式不为0，而且当n 为偶数时，这两个行列式反号，即得0A =；n 为奇数时，122,,,0n A ααα=≠ ．3．（10分）设100101010A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（1）证明：22n n A A A I -=+-；（2）求100A ．解（1）当3n =可以直接验证，对n 作归纳，用数学归纳法即得（略）；（2）1009829622()A A A I A A I =+-=+-2249()A A I ==+- 10050105001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．注由于矩阵A 的特征多项式32()1f λλλλ=--+，由凯莱-哈密尔顿定理，得到()0f A =，即320A A A I --+=，故知3n =时成立；另外注意到2()(1)(1)f λλλ=-+，作带余除法：10022(1)(1)()()g a b c λλλλλλ=-++++在上式中分别令1λ=，1λ=-，以及对上式求导并令1λ=，得到 112100a b c a b c a b ++=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩，解之得，50,0,49a b c ===-，故10025049A A I =-．4．（20分）设3R 的线性变换σ在标准基下的矩阵为211121112A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求A 的特征值和特征向量；（2）求3R 的一组标准正交基，使σ在此基下的矩阵为对角矩阵．解 2(4)(1)I A λλλ-=--，所以A 的特征值14λ=，231λλ==．对14λ=，齐次线性方程组(4)0I A x -=的基础解系为1(1,1,1)'ξ=，故对应的特征向量1k ξ，（0k R ≠∈）；对231λλ==，齐次线性方程组()0I A x -=的基础解系为2(1,1,0)'ξ=-，3(1,0,1)'ξ=-故对应的特征向量为1223k k ξξ+，（1k 、2k R ∈且不全为0）．（2）用施密特方法将123,,ξξξ标准正交化后即为所求基（略）．5．（20分）设β为n 维欧氏空间V 中一个单位向量，定义V 的线性变换σ如下：()2(,)σααβαβ=-，V α∀∈．证明：（1）σ为第二类的正交变换（称为镜面反射）；（2）V 的正交变换τ是镜面反射的充要条件为1是τ的特征值，且对应的特征子空间的维数为1n -．证明（1）由(,)σξση(2(,),2(,))ξβξβηβηβ=--(,)4(,)(,)4(,)(,)(,)ξηβηβξβηβξββ=-+ (,)ξη=此即σ为正交变换．再把β扩充成V 的一组标准正交基2,,,n βεε ，由于2(,)σββββββ=-=-， 2(,)i i i i σεεβεβε=-=，则22(,,,)(,,,)n n A σβσεσεβεε= ，其中1100n A I --⎛⎫=⎪⎝⎭．因1A =-，故知σ为第二类的正交变换；（2）（必要性）若τ是V 的镜面反射，由（1）所证即知1必是矩阵A 的特征值，也是τ的特征值，且rank()1I A -=，因此齐次线性方程组()0I A x -=的解空间是1n -维的，即得1的特征子空间的维数为1n -；（充分性）τ的特征值有n 个，其中有1n -个为1，设另一个为实数0λ，则存在一组基12,,,nεεε 使0121210(,,,)(,,,)0n n n I λσεεεεεε-⎛⎫=⎪⎝⎭，因为τ为正交变换，21212012(,)(,)(,)εεσεσελεε==，所以201λ=，但1dim 1V n =-，得01λ=-，于是11σεε=-，i i σεε=，且1(,)0i εε=（2,,i n = ）现令111βεε=，则2,,,n βεε 组成一组正交基，对V α∀∈，122n n k k k αβεε=+++ ，不难验证()2(,)σααβαβ=-，即证得τ是镜面反射．注对（2）中充分性的证明，也可考虑特征子空间1V 及其正交补1V ⊥，各取标准正交基凑成V 的一组基，其余仿上面证明．。

中山大学2013级大一上学期高数三期末考A卷(附答案)

2 2
2
x
0
2
t (t 1)et dt
2
2
x
0
2
t t2 e dt 2
C
1 2 x2 x e e 4 4
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* x
2be x be x be x 2e x ， b 1 ，所以特解为 y* ( x) e x 。于是所求微分方程的通
解为
x 2
y ( x) C1e C2 e x e x
其中 C1 , C2 为任意常数。
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考试形式：闭卷
考试形式：闭卷
考试时间 : 2 小时
中山大学珠海校区 2013 年度第二学期
《高等数学（三）》期末考试题（A 卷答案）
警示《中山大学授予学士学位工作细则》第六条考试作弊不授予学士学位姓名：________________ 题目分数一、填空题（每小题 3 分，5 题，共计 15 分）填空题计算题应用题学号：________________ 证明题附加题总分
b b a a
2 f (x)dx (x a)(x b) f '' (x)dx 2 f (x)dx (x a)(x b)df ' (x)
a a b b
2 f (x)dx (2 x (a b)) f ' (x)dx
a a
b
b
2 f (x)dx (2 x (a b))df (x)
x2 5 的定义域是 1. 函数 y x ln x 4 arcsin