中山大学高数期末考试真题及答案

− yex .
y
得y′
=
yex −
ex +
1
.再把y′代入即得y′′.
y
四.（20分∫, 每小题5分）计算下列不定积∫分.
品
（1）
x dx;
（2） √ 1
dx;
诚 1 + x4 ∫
(1 + x2)3
解： (1) 原式= 1
1 dx2 = 1 arctan x2 + C.
2 1 + x4
2
(2)
令x
=
珠海校区2011学年度第一学期11级《高等数学二》期末考试题B
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一. （10分, 每小题5分）计算下列极限.
（1） lim
x→+∞
(ex
+ 5)2(e2x − (e3x + 9)4
7)5
;
解：(1) 原式= 1.
(2) 原式= lim 2x cos x4 − cos x2 = −1.
∫ 2π （3） | sin(2x + 10)| dx ;
∫ +∞
（4）
xe−x2 dx.
0
∫π
0
2
诚 解：(3) 原式= 4 sin 2x dx = 4.
(4)
原式=
1 2
∫
0 +∞
e−x2
0
dx2
=
−
1 2
e−x2
|+0 ∞
=
1 .Байду номын сангаас
2
策 六.（10分）求曲线y
=
√ x,
和直线x
=
0,
y
=
1所围成的图形的面积以及
该图形绕x轴旋转形成的旋转体体积.
解：面积=
∫1
0
1
−
√ x dx
=
( x
−
)
2 x3/2 3
|10
=
1 .
3
学体积
=
∫1
0
π
(1
−
x)
dy
=
π
( x
−
)
1 x2 2
|10
=
π .
2
3
七.（5分）求曲线ρ = 2(1 + cos θ) 的长度.
∫ 解：l =
2π √
√∫
ρ2 + ρ′2 dθ = 2 2
f ′′(x) = 2ex cos x; 拐点是x = π/2, 3π/2.
√
√
f (0) = 0, f (3π/4) = 2 e3π/4, f (7π/4) = − 2 e7π/4, f (2π) = 0; 所 以 最 大 值
√
2
√2
是f (3π/4) = 2 e3π/4, 最小值是f (7π/4) = − 2 e7π/4.
√
dx;
∫1 （2） x4(tan3 x + sin5 x) dx;
0
解：(1)令t
=
x+
√ x.
1
−1
∫2 原式 =
2t2
∫ 2( dt = 2 t − 1 +
) 1
dt
品 =
0(
t+ t2
1
2 −t
2
+
ln(t
0
+
) 1)
|20
=
2
t+1 ln 3.
(2) 由被积函数的奇偶性, 有, 原式= 0.
tan t
(π −2
<
t
<
π) ,
2
有
∫
策原式 = cos t dt = sin t + C = √ x + C. 1 + x2
∫ （3） x4 ln x dx;
∫
（4）
x dx.
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
解： (3)
(4)
学∫
∫
原式 = 1 ln x dx5 = 1 x5 ln x − 1 x4 dx = 1 x5 ln x − 1 x5 + C.
5
5
5
5
25
∫ 原式 = − 1
∫ 1
dx + 2
∫
1
3
dx −
1 dx
2 (x + 1)
(x + 2)
2 (x + 3)
1
3
= − ln |x + 1| + 2 ln |x + 2| − ln |x + 3| + C.
2
2
2
五.（20分, 每小题5分）计算下列定积分和反常积分.
∫ （1）
4
√ x
解：有一阶线性微分方程:
y′
+
1 y
=
x4
+ 1.
x
解相应的齐次方程有y = C .
x
用常数变异法有通解y
=
1 x5
+
1 x
+
C .
6 2x
策 又由初值条件y(1)
=
1得C
=
1 .
3
所以y
=
1 x5
+
1 x
+
1 .
6 2 3x
学
4
2π √
∫
1 + cos θ dθ = 4
2π
θ cos
dθ = 16.
0
0
0
2
八.（5分）求微分方程(2 + x2)y′ + y + 1 = 0的通解.
解：分离变量得 y
1 +
dy 1
=
− 2
1 +
x2
dx.
积分得通解ln |y + 1| = −√1 arctan √x + C.
2
2
品
诚 九.（10分）求解初值问题：xy′ + y = x5 + x, y|x=1 = 1.
2
2
三.
（10分）函数y
=
y(x)由yex + ln y
=
1确定.
求
dy dx
和
d2y dx2
.
解：两边对x求导, 有y′ex + yex + y′/y = 0.
两边再对x求导, 有y′′ex + 2y′ex + yex + y′′/y − y′2/y2 = 0, 得
y′′
=
y′2/y2
− 2y′ex ex + 1
x→0+
1
品∫ x2 cos t2 dt
（2） lim x
.
诚x→0+
x
策 二.（10分）设f(x) = ex sin x, x ∈ [0, 2π]. 求单调区间, 拐点以及最大最
小值.
解：f ′(x) = ex sin x + ex cos x.
学单调递增区间是[0, 3π/4], [7π/4, 2π]; 单调递减区间是[3π/4, 7π/4].