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(最新整理)《排列组合专题》PPT课件
2021/7/26
25
例9．有男女各五个人，其中有３对是夫妻，沿 圆桌就座，若每对夫妻都坐在相邻的位置，问有 多少种坐法？
设３对夫妻分别为Ａ和a,Ｂ和b,Ｃ和c，先让Ａ，Ｂ， Ｃ三人和另外４个人沿圆桌就座的方法为６！种．
又对上述每种坐法，a坐在Ａ的邻座的方式有左右两 种，b,c也如此．
所以共有６！＊２＊２＊２＝５７６０种．
将0到299的整数都看成三位数，其中数字3不 出现的，百位数字可以是0，1或2三种情况。十位 数字与个位数字均有九种，因此除去0共有
3×9×9－1=242(个)．
2021/7/26
12
例10、
在小于10000的自然数中，含有数字1的数有 多少个？
不妨将0至9999的自然数均看作四位数，凡位数不到 四位的自然数在前面补0,使之成为四位数。
所以符合题意的个数为：
1× P18× P28＝448
2021/7/26
19
例4、用0、1、2、3、4、5六个数字，可以 组成多少个没有重复数字的三位偶数？
1.个位为0,十位为1、2、3、4、5中的一个，百位为剩下的 四个数字中的一个，所以这样的偶数共有1×P15×P14
2.个位为2,百位为1、3、4、5中的一个，十位为剩下的四个 数字中的一个，所以这样的偶数共有1×P14×P14
2021/7/26
10
例8、求正整数1400的正因数的个
数．
因为任何一个正整数的任何一个正因数(除1外)都是这个 数的一些质因数的积，因此，我们先把1400分解成质因数的 连乘积1400=23527.所以这个数的任何一个正因数都是由2， 5，7中的若干个相乘而得到(有的可重复)。
于是取1400的一个正因数，这件事情是分如下三个步骤 完成的：
《排列组合复习》课件
排列与组合的区别
排列和组合的区别在于是否考虑对象的顺序。在排列中，对象的顺序是重要的，而在组合中，对象的顺序不是 关键因素。
排列的定义及计算公式
排列是指从一组对象中选取一部分进行排序的方式。排列的计算公式为P(n, k) = n! / (n - k)!，其中n表示对象的总数，k表示选取的对象个数。
常用排列组合公式总结
让我们总结一下常用的排列组合公式，以便在解题时更加便捷地使用它们。
阶乘的含义与计算
阶乘是指从1乘到一个正整数的连乘运算，表示为n！。它在排列组合中起着重要的作用，我们来学习一下如何 计算阶乘。
阶乘的用途
除了在排列组合中使用，阶乘还有其他实际的用途。它在数学、统计学和计 算机科学等领域都有广泛的应用。
概率与排列组合的关系
概率与排列组合密切相关。排列组合提供了计算概率的数学基础，帮助我们确定事件发生的可能性。
概率计算实例
让我们通过一个实际的例子来理解概率计算。假设我们有一副扑克牌，从中 抽取5张牌，计算获得顺子的概率是多少？
公式记忆技巧
记忆排列组合的公式可能会让人头疼。现在，我将与您分享一些简单的记忆 技巧，帮助您轻松记住这些重要的公式。
简单排列问题练习
现在让我们来尝试一些简单的排列问题。假设有4个不同的球，将它们排成一 行，共有多少种不同的排列方式？
组合的定义及计算公式
组合是指从一组对象中选取一部分进行组合的方式。组合的计算公式为C(n, k) = n! / (k!(n - k)!)，其中n表示对象的总数，k表示选取的对象个数。
《排列组合复习》PPT课 件
欢迎来到《排列组合复习》PPT课件！在这个课件中，我们将一起探索排列和 组合的基础知识，学习它们的定义、计算公式以及应用场景，让我们一起开 始吧！
排列组合ppt课件
排列的分类与计算方法
01
02
03
排列的定义
排列是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行排序。
排列的分类
根据取出的元素是否重复 ，排列可分为重复排列和 不重复排列。
排列的计算方法
排列的计算公式为 nPr=n!/(n-r)!，其中n为 总元素个数，r为要取出的 元素个数。
组合的分类与计算方法
后再合并答案。
利用对称性
在某些问题中，可以利用对称性 来简化计算，例如在计算圆周率 时可以利用对称性来减少计算量
。
学会推理和猜测
在某些问题中，需要学会推理和 猜测，尝试不同的方法和思路，
以寻找正确的答案。
解题注意事项与易错点
注意细节
在解题过程中要注意细节，例如元素的重复、遗漏等问题，避免 出现错误。
组合的定义
组合是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行组合，不考虑排序。
组合的分类
根据取出的元素是否重复 ，组合可分为重复组合和 不重复组合。
组合的计算方法
组合的计算公式为 nCr=n!/(r!(n-r)!)，其中n 为总元素个数，r为要取出 的元素个数。
排列组合的复杂应用
排列与组合的应用
另一个应用是解决组合问题，例如，在从n个不同元素中 选出m个元素的所有组合的问题中，可以使用排列组合的 方法来解决。
排列组合在物理中的应用
排列组合在物理中也有着广泛的应用，其中最常见的是在量子力学和统计物理中 。例如，在量子力学中，波函数的对称性和反对称性可以通过排列组合来描述。
在统计物理中，分子和原子的分布和运动可以通过排列组合来描述。例如，在理 想气体中，分子的分布和运动可以通过组合数学的方法来描述。
排列组合问题17种方法ppt课件
C
6 9
一
二
三
四
五
六
七
班
班
班
班
班
班
班
30
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素 排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
C m 1 n 1
31
练习题
1. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一 有多少装法？
C4 9
2 .x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解 的组数
A
5 5
A A A
2 4
1 4
5 5
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
前排
后排
20
练习题
有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并 且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是______
346
21
重排问题求幂策略
把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有 种分法.
7
把第二名实习生分配
到车间也有7种分法，
依此类推,由分步计
7 6 数原理共有 种不同的排法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排 各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限 制地安排在m个位置上的排列数为 种
一个盒子装1个 （6）每个盒子至少1个
25
练习题 一个班有6名战士,其中正副班长各1人 现从中选4人完成四种不同的任务,每人 完成一种任务,且正副班长有且只有1人 参加,则不同的选法有________ 种 192
小学奥数排列组合复习PPT文档25页
小学奥数排列组合复习
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气பைடு நூலகம்培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气பைடு நூலகம்培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
《排列组合复习》PPT课件
A.
C
3 4
B.
P
3 4
C. 3 4
D. 4 3
（ 选 C）
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6
例2 有不同的数学书7本，语 文书5多少 种不同的取法？
（7×5 + 7×4 + 5×4 = 83）
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7
例3 将数字1、2、3、4 填入标号 为1、2、3、4 的四个方格里 , 每格填一 个数字，则每个方格的标号与所填的数 字都不相同的填法共有
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26
7. 由数字 0 , 1 , 2 , 3 ,4 , 5 组成 没有重复数字的六位数,其中个位数 字小于十位数字的共有多少个?
完整版ppt
27
8. 四名同学分配到三个办公室 去搞卫生,每个办公室至少去一名学 生,不同的分配方法有多少种?
完整版ppt
28
四、复习建议
1. 回顾听课过程,理解重点 知识,剖析典型例题,概括基本 方法,体会解题思路.
组合数性质
完整版ppt
3
二、重点难点
1. 两个基本原理
2. 排列、组合的意义
3. 排列数、组合数计算公式
4. 组合数的两个性质
5. 排列组合应用题
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4
1. 两个基本原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
完整版ppt
5
例1 某校组织学生分4个组 从3处风景点中选一处去春游,则 不同的春游方案的种数是
2. 结合自学过程,整理所做 习题,找到失误原因,及时进行 总结.
完整版ppt
29
排列组合复习二重点难点一知识结构三综合练习四复习建议基本本原理排列排列数公式应用问问题一知识结构组合组合数公式组合数性质二重点难点1
小学奥数排列组合复习(课堂PPT)
分析：由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由 这3人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化 成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．
解：由排列数公式，共可能有：
p
3 4
=4×3×2=24
种不同的拍照情况．
分析：要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学 有关，而与三名同学被选出的顺序无关.所以，应用组合数公式，共有C343 种不同的选法.
要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学 有关，而且与三名同学被选出的顺序有关.所以，应用排列数公式，共有 P342种不同的站法.
排列数公式: 从n个不同元素取 m个
（1 mn)的不同排列总数为：
pn mn(n 1 )n (2)(nm 1 )(n n !m )!
m = n时称全排列
P n n p n n ( n 1 )n ( 2 ) 2 1 n !
9
第1次选取 A
B C
第2次选取 B C D
第3次选取
C 例如：n=4, m =3
排列组合复习
1
主要内容
乘法原理 加法原理 排列 组合 例题讲解
习题
2
基本计数原理
1. 乘法原理
设完成一件事有m个步骤，
第一个步骤有n1种方法， 第二个步骤有n2种方法, 则完成这件事共有
…； 第m个步骤有nm种方法,
n 1n2nm
必须通过每一步骤,
种不同的方法 .
才算完成这件事，
3
例如，若一个男人有三顶帽子和两件 背心，问他可以有多少种打扮？
14
例2、5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有 多少种不同的站法？
解：由排列数公式，共可能有：
p
3 4
=4×3×2=24
种不同的拍照情况．
分析：要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学 有关，而与三名同学被选出的顺序无关.所以，应用组合数公式，共有C343 种不同的选法.
要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学 有关，而且与三名同学被选出的顺序有关.所以，应用排列数公式，共有 P342种不同的站法.
排列数公式: 从n个不同元素取 m个
（1 mn)的不同排列总数为：
pn mn(n 1 )n (2)(nm 1 )(n n !m )!
m = n时称全排列
P n n p n n ( n 1 )n ( 2 ) 2 1 n !
9
第1次选取 A
B C
第2次选取 B C D
第3次选取
C 例如：n=4, m =3
排列组合复习
1
主要内容
乘法原理 加法原理 排列 组合 例题讲解
习题
2
基本计数原理
1. 乘法原理
设完成一件事有m个步骤，
第一个步骤有n1种方法， 第二个步骤有n2种方法, 则完成这件事共有
…； 第m个步骤有nm种方法,
n 1n2nm
必须通过每一步骤,
种不同的方法 .
才算完成这件事，
3
例如，若一个男人有三顶帽子和两件 背心，问他可以有多少种打扮？
14
例2、5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有 多少种不同的站法？
排列组合ppt课件
排列组合基本公式 • 排列组合的应用 • 排列组合的扩展知识 • 练习题与答案解析
01
排列组合基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 排列。
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
机器学习
03
在机器学习中，排列组合用于描述样本空间和事件发生的可能
性，例如在朴素贝叶斯分类器中。
在统计学中的应用
概率分布
在统计学中，排列组合用于描述概率分布和随机事件的组合数量 ，例如在二项分布、多项分布等概率分布中。
统计推断
在统计推断中，排列组合用于计算样本数据的可能性和置信区间 ，例如在贝叶斯推断和参数估计中。
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合方式。
排列组合在概率论中的应用
总结词
排列组合在概率论中有广泛的应用，它们是概率论中的基本概念之一。
详细描述
在概率论中，排列组合被广泛应用于各种概率模型和随机事件的计算中。例如，在计算随机事件的概率时，可以 使用排列组合来计算样本空间的大小和基本事件的数量。在计算条件概率时，可以使用排列组合来计算条件事件 的基本事件的数量。此外，在概率分布的计算中，排列组合也起着重要的作用。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯一性。
01
排列组合基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 排列。
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
机器学习
03
在机器学习中，排列组合用于描述样本空间和事件发生的可能
性，例如在朴素贝叶斯分类器中。
在统计学中的应用
概率分布
在统计学中，排列组合用于描述概率分布和随机事件的组合数量 ，例如在二项分布、多项分布等概率分布中。
统计推断
在统计推断中，排列组合用于计算样本数据的可能性和置信区间 ，例如在贝叶斯推断和参数估计中。
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合方式。
排列组合在概率论中的应用
总结词
排列组合在概率论中有广泛的应用，它们是概率论中的基本概念之一。
详细描述
在概率论中，排列组合被广泛应用于各种概率模型和随机事件的计算中。例如，在计算随机事件的概率时，可以 使用排列组合来计算样本空间的大小和基本事件的数量。在计算条件概率时，可以使用排列组合来计算条件事件 的基本事件的数量。此外，在概率分布的计算中，排列组合也起着重要的作用。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯一性。
排列和组合复习 20页PPT文档
2)出现O: C 1 3C9 2A 4 433 624 2592 3)出现Q: C 1 3C9 2A 4 433 624 2592 4)出现0 : C3 2C 1 9A 4 43924 648
不同排法种数=8424
（07浙江高考）某书店有11种杂
志，2元1本的8种，1元1本的3种。
共63种
2) 2人到12层; C32 515
其中12层无人去情况共有: 53种.
3) 1人到12层
可能情况共有63 – 53 =源自91种另2人同层: C13 515
6
另2人异层: C13 A52 60
5
可能情况共有1+15+15+60 = 91种
4
3
2
1
（05浙江高考）从集合{O,P,Q,R,S}与{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
总数=24+48+12=84种 解(间接元素分析法) 无限制: 44. 扣除:
总数=24+48+12=84种 解(间接位置分析法) “扣红”---直接 无限制: 44. 扣除: “后红”---间接
用1种: 4
用2种: 3+1
2+2
C14C24A22 48 A24A22 24
用3种 C14A34 96
典型回顾:
例2.用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数 字的三位数？
（08年全国一12）
如图，一环形花坛分成四块，现有
4种不同的花供选种，要求在每块里种 1种花，且相邻的2块种不同的花，则 不同的种法总数为（ ）
A．96 B．84
A
D
C．60 D．48
B
C
（08年全国一12）如图，一环形花坛分成四块，现有4种不
《排列组合复习》课件
进阶练习题
在5个不同元素中取出3个元素进行排列，其中某一个 特定元素必须被取到，这样的排列数是多少？
输入 标题
答案解析
首先从5个元素中取出一个特定元素，然后从剩下的4 个元素中取出2个元素进行排列，即$A_{5}^{1} times A_{4}^{2} = 5 times 24 = 120$。
题目1
详细描述
特殊元素优先法是指在解决排列组合问题时，优先考虑特殊元素或特定条件，将 其先固定下来，再对其他元素进行排列或组合。这种方法可以简化问题，降低计 算难度，提高解题效率。
分组法
总结词
分组法是一种将问题分解成若干个较小 的部分，分别解决后再综合的解题技巧 。
VS
详细描述
分组法在排列组合问题中，常常用于处理 有特定分组要求的问题。首先将问题分解 成若干个较小的部分，对每一部分进行排 列或组合，然后再根据问题的具体要求， 将各部分的解进行综合，得出最终答案。 这种方法可以降低问题的复杂度，使问题 更容易解决。
感谢您的观看
05
练习题与答案解析
基础练习题
题目1
从5个不同元素中取出3个元素的排列数是多少？
答案解析
从5个不同元素中取出3个元素进行排列，即$A_{5}^{3} = 5 times 4 times 3 = 60$。
题目2
从7个不同元素中取出4个元素的组合数是多少？
答案解析
从7个不同元素中取出4个元素进行组合，即$C_{7}^{4} = frac{7 times 6 times 5 times 4}{4 times 3 times 2 times 1} = 35$。
详细描述
排列组合的分组问题通常涉及到将一组元素分成若干个不同的组，并考虑这些组之间的 排列或组合关系。解决这类问题需要理解分组的基本原则，并能够根据实际情况选择合
排列组合课件PPT14页
解（法1）优先考虑特殊元素
分两步，第1步：先排甲，不在头、尾 A51 第2步：再排其他人 A66
∴ 由分步计数原理 A51 A66 5 720 3600 （法2）优先考虑特殊位置
分两步，第1步：除甲外，其他6人中选2人
站头、尾 A62
第2步：其余位置 A55
∴ 由分步计数原理 A62 A55 6 5 120 3600
例2 （1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人 各1本，共有多少种不同的送法？
（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人 各1本，共有多少种不同的送法？
解（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从5个 元素中任取3个元素的一个排列
∴ A53 5 4 3 60
（2）从5种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不 相同，用分步计数原理：
b捆绑法：元素相邻
c插空法：元素不相邻
（2）间接法（排除法） （先不考虑限制条件，算出所有的排列 数，再从中减去不符合条件的排列数）
例5 7位同学站成一排照相，按下列要求，各有多少
种不同的排法？
（1）甲必须站在中间
（2）甲、乙必须站在两端
（3）甲不在中间 解（1）法1 因为甲固定在中间，只需要其余6个
2 正确找出n、m的值 3 准确应用两个原理
练习 （1） 车上有7个座位，5名乘客就座，有多少种就座方式？
（2） 4辆公交车，有4位司机，4位售票员，每辆车上 配一位司机和一位售票员，有多少种不同的搭配 方案？
（3）四个同学争夺三项竞赛冠军，冠军获得者的可能 种数有多少？
不是排列问题，用分步计数原理，有 4×4×4=64 种
7! 3!
840
练习：甲、乙顺序一定 （
分两步，第1步：先排甲，不在头、尾 A51 第2步：再排其他人 A66
∴ 由分步计数原理 A51 A66 5 720 3600 （法2）优先考虑特殊位置
分两步，第1步：除甲外，其他6人中选2人
站头、尾 A62
第2步：其余位置 A55
∴ 由分步计数原理 A62 A55 6 5 120 3600
例2 （1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人 各1本，共有多少种不同的送法？
（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人 各1本，共有多少种不同的送法？
解（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从5个 元素中任取3个元素的一个排列
∴ A53 5 4 3 60
（2）从5种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不 相同，用分步计数原理：
b捆绑法：元素相邻
c插空法：元素不相邻
（2）间接法（排除法） （先不考虑限制条件，算出所有的排列 数，再从中减去不符合条件的排列数）
例5 7位同学站成一排照相，按下列要求，各有多少
种不同的排法？
（1）甲必须站在中间
（2）甲、乙必须站在两端
（3）甲不在中间 解（1）法1 因为甲固定在中间，只需要其余6个
2 正确找出n、m的值 3 准确应用两个原理
练习 （1） 车上有7个座位，5名乘客就座，有多少种就座方式？
（2） 4辆公交车，有4位司机，4位售票员，每辆车上 配一位司机和一位售票员，有多少种不同的搭配 方案？
（3）四个同学争夺三项竞赛冠军，冠军获得者的可能 种数有多少？
不是排列问题，用分步计数原理，有 4×4×4=64 种
7! 3!
840
练习：甲、乙顺序一定 （
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第第一二步步：：从将n每个一不个同组元合素中中的取m出个m元个素元进素行组全成排一列组，，共共有有pCmmnm种种排方法法.； 故由乘法原理得到：
pnm = Cnm· pmm 因此
这就是组合数公式.
GEC Program
13
5、例题讲解
例1、有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其 他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？（照相时3人站成 一排）
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数， 叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作 。
Cnm
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11
组合数公式: 从n个不同元素取 m个
（1 m n)的不同组合总数为：
Cnm
Pnm m!
n! (n m)!m!
Pnm Cnm m!
一般地，求从n个不同元素中取出m个元素排成一列的排列数 pnm 可以 分两步求得：
解： 由组合数公式，共有 C432= 42×41×40÷3÷2=11480 种不同的选法； 由排列数公式，共有
p432 ＝42×41×40＝68880 种不同的站法.
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例4、某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共 有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有多少种 站法？
才算完成这件事，
例如，若一个男人有三顶帽子和两 件背心，问他可以有多少种打扮？
可以有 3 2 种打扮
基本计数原理
2. 加法原理
设完成一件事有m种方式，
第一种方式有n1种方法，
第二种方…式；有n2种方法,
则完成这件事总共 有n1 + n2 + … + nm
第m种方式有Βιβλιοθήκη m种方法, 种方法 .无论通过哪种方法都可以
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14
例2、5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有 多少种不同的站法？
分析：由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问 题，是一个全排列问题，且n=4．
解：由全排列公式，共有
p44 =4×3×2×1=24
种不同的站法．
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15
例题3、某校举行排球单循环赛，有12个队参加.问：共需要 进行多少场比赛？
D B D B
C
P43 4 3 2 24
……
D
4、组合：一般地，从n个不同元素中取出m个 （m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组 合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有 当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合。
排列组合复习
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1
主要内容
乘法原理 加法原理 排列
组合
例题讲解
习题
2010 06 18
2
基本计数原理
1. 乘法原理
设完成一件事有m个步骤，
第一个步骤有n1种方法， 第二个步骤有n2种方法, 则完成这件事共有
…； 第m个步骤有nm种方法,
n1 n2 nm
必须通过每一步骤,
种不同的方法 .
完成这件事，
例如，某人要从甲地到乙地去, 可以乘火车, 也可以乘轮船.
火车有两班
甲地 回答是 3 + 2 种方法
乙地
轮船有三班
乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?
乘法原理和加法原理是两个很重要 计数原理，它们不但可以直接解决不少 具体问题，同时也是推导下面常用排列 组合公式的基础 .
3、排列：一般地，从n个不同的元素中任取出m个 （m≤n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
解： 由组合数公式，共有
C432 = 42×41×40÷3÷2=11480
种不同的选法； 由排列数公式，共有
p432 ＝42×41×40＝68880 种不同的站法.
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18
6、习题
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20
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由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列 中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样．如果两个 排列的元素不完全相同．或者各元素的排列顺序不完全一样， 则这就是两个不同的排列。 从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有排列的个数， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作 pnm 。
分析：因为比赛是单循环制的，所以，12个队中的每两个队都要进行一场比赛，并且比 赛的场次只与两个队的选取有关而与两个队选出的顺序无关.所以，这是一个在12个队 中取2个队的组合问题。
解： 由组合数公式知，共需进行 C122 =12×11÷2=66 场比赛。
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例4、某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营， 问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有 多少种站法？
分析：由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由 这3人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化 成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．
解：由排列数公式，共可能有： p43 =4×3×2=24 种不同的拍照情况．
分析：要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学有关，而与
三名同学被选出的顺序无关.所以，应用组合数公式，共有C432 种不同的选法.
要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学有关，而且
与三名同学被选出的顺序有关.所以，应用排列数公式，共有 p432种不同的站法.
分析：要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学 有关，而与三名同学被选出的顺序无关.所以，应用组合数公式，共有C343 种不同的选法.
要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学 有关，而且与三名同学被选出的顺序有关.所以，应用排列数公式，共有 P342种不同的站法.
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8
排列数公式: 从n个不同元素取 m个
（1 mn)的不同排列总数为：
pnm
n(n
1)(n
2)
(n
m
1)
(n
n! m)!
m = n时称全排列
Pnn pn n(n 1)(n 2) 21 n!
第1次选取 A
B C
第2次选取 B C D
第3次选取
C 例如：n=4, m =3
pnm = Cnm· pmm 因此
这就是组合数公式.
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5、例题讲解
例1、有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其 他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？（照相时3人站成 一排）
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数， 叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作 。
Cnm
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组合数公式: 从n个不同元素取 m个
（1 m n)的不同组合总数为：
Cnm
Pnm m!
n! (n m)!m!
Pnm Cnm m!
一般地，求从n个不同元素中取出m个元素排成一列的排列数 pnm 可以 分两步求得：
解： 由组合数公式，共有 C432= 42×41×40÷3÷2=11480 种不同的选法； 由排列数公式，共有
p432 ＝42×41×40＝68880 种不同的站法.
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例4、某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共 有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有多少种 站法？
才算完成这件事，
例如，若一个男人有三顶帽子和两 件背心，问他可以有多少种打扮？
可以有 3 2 种打扮
基本计数原理
2. 加法原理
设完成一件事有m种方式，
第一种方式有n1种方法，
第二种方…式；有n2种方法,
则完成这件事总共 有n1 + n2 + … + nm
第m种方式有Βιβλιοθήκη m种方法, 种方法 .无论通过哪种方法都可以
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例2、5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有 多少种不同的站法？
分析：由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问 题，是一个全排列问题，且n=4．
解：由全排列公式，共有
p44 =4×3×2×1=24
种不同的站法．
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例题3、某校举行排球单循环赛，有12个队参加.问：共需要 进行多少场比赛？
D B D B
C
P43 4 3 2 24
……
D
4、组合：一般地，从n个不同元素中取出m个 （m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组 合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有 当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合。
排列组合复习
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1
主要内容
乘法原理 加法原理 排列
组合
例题讲解
习题
2010 06 18
2
基本计数原理
1. 乘法原理
设完成一件事有m个步骤，
第一个步骤有n1种方法， 第二个步骤有n2种方法, 则完成这件事共有
…； 第m个步骤有nm种方法,
n1 n2 nm
必须通过每一步骤,
种不同的方法 .
完成这件事，
例如，某人要从甲地到乙地去, 可以乘火车, 也可以乘轮船.
火车有两班
甲地 回答是 3 + 2 种方法
乙地
轮船有三班
乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?
乘法原理和加法原理是两个很重要 计数原理，它们不但可以直接解决不少 具体问题，同时也是推导下面常用排列 组合公式的基础 .
3、排列：一般地，从n个不同的元素中任取出m个 （m≤n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
解： 由组合数公式，共有
C432 = 42×41×40÷3÷2=11480
种不同的选法； 由排列数公式，共有
p432 ＝42×41×40＝68880 种不同的站法.
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6、习题
GEC Program
19
GEC Program
20
GEC Program
由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列 中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样．如果两个 排列的元素不完全相同．或者各元素的排列顺序不完全一样， 则这就是两个不同的排列。 从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有排列的个数， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作 pnm 。
分析：因为比赛是单循环制的，所以，12个队中的每两个队都要进行一场比赛，并且比 赛的场次只与两个队的选取有关而与两个队选出的顺序无关.所以，这是一个在12个队 中取2个队的组合问题。
解： 由组合数公式知，共需进行 C122 =12×11÷2=66 场比赛。
GEC Program
16
例4、某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营， 问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有 多少种站法？
分析：由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由 这3人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化 成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．
解：由排列数公式，共可能有： p43 =4×3×2=24 种不同的拍照情况．
分析：要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学有关，而与
三名同学被选出的顺序无关.所以，应用组合数公式，共有C432 种不同的选法.
要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学有关，而且
与三名同学被选出的顺序有关.所以，应用排列数公式，共有 p432种不同的站法.
分析：要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学 有关，而与三名同学被选出的顺序无关.所以，应用组合数公式，共有C343 种不同的选法.
要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学 有关，而且与三名同学被选出的顺序有关.所以，应用排列数公式，共有 P342种不同的站法.
GEC Program
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排列数公式: 从n个不同元素取 m个
（1 mn)的不同排列总数为：
pnm
n(n
1)(n
2)
(n
m
1)
(n
n! m)!
m = n时称全排列
Pnn pn n(n 1)(n 2) 21 n!
第1次选取 A
B C
第2次选取 B C D
第3次选取
C 例如：n=4, m =3