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分析：因为比赛是单循环制的，所以，12个队中的每两个队都要进行一场比赛，并且比 赛的场次只与两个队的选取有关而与两个队选出的顺序无关.所以，这是一个在12个队 中取2个队的组合问题。
解： 由组合数公式知，共需进行 C122 =12×11÷2=66 场比赛。
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例4、某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营， 问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有 多少种站法？
解： 由组合数公式，共有
C432 = 42×41×40÷3÷2=11480
种不同的选法； 由排列数公式，共有
p432 ＝42×41×40＝68880 种不同的站法.
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6、习题
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20
Байду номын сангаас
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分析：要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学有关，而与
三名同学被选出的顺序无关.所以，应用组合数公式，共有C432 种不同的选法.
要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学有关，而且
与三名同学被选出的顺序有关.所以，应用排列数公式，共有 p432种不同的站法.
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例2、5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有 多少种不同的站法？
分析：由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问 题，是一个全排列问题，且n=4．
解：由全排列公式，共有
p44 =4×3×2×1=24
种不同的站法．
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例题3、某校举行排球单循环赛，有12个队参加.问：共需要 进行多少场比赛？
D B D B
C
P43 4 3 2 24
……
D
4、组合：一般地，从n个不同元素中取出m个 （m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组 合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有 当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合。
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排列数公式: 从n个不同元素取 m个
（1 mn)的不同排列总数为：
pnm
n(n
1)(n
2)
(n
m
1)
(n
n! m)!
m = n时称全排列
Pnn pn n(n 1)(n 2) 21 n!
第1次选取 A
B C
第2次选取 B C D
第3次选取
C 例如：n=4, m =3
才算完成这件事，
例如，若一个男人有三顶帽子和两 件背心，问他可以有多少种打扮？
可以有 3 2 种打扮
基本计数原理
2. 加法原理
设完成一件事有m种方式，
第一种方式有n1种方法，
第二种方…式；有n2种方法,
则完成这件事总共 有n1 + n2 + … + nm
第m种方式有nm种方法, 种方法 .
无论通过哪种方法都可以
排列组合复习
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1
主要内容
乘法原理 加法原理 排列
组合
例题讲解
习题
2010 06 18
2
基本计数原理
1. 乘法原理
设完成一件事有m个步骤，
第一个步骤有n1种方法， 第二个步骤有n2种方法, 则完成这件事共有
…； 第m个步骤有nm种方法,
n1 n2 nm
必须通过每一步骤,
种不同的方法 .
第第一二步步：：从将n每个一不个同组元合素中中的取m出个m元个素元进素行组全成排一列组，，共共有有pCmmnm种种排方法法.； 故由乘法原理得到：
pnm = Cnm· pmm 因此
这就是组合数公式.
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5、例题讲解
例1、有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其 他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？（照相时3人站成 一排）
由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列 中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样．如果两个 排列的元素不完全相同．或者各元素的排列顺序不完全一样， 则这就是两个不同的排列。 从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有排列的个数， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作 pnm 。
分析：要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学 有关，而与三名同学被选出的顺序无关.所以，应用组合数公式，共有C343 种不同的选法.
要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学 有关，而且与三名同学被选出的顺序有关.所以，应用排列数公式，共有 P342种不同的站法.
完成这件事，
例如，某人要从甲地到乙地去, 可以乘火车, 也可以乘轮船.
火车有两班
甲地 回答是 3 + 2 种方法
乙地
轮船有三班
乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?
乘法原理和加法原理是两个很重要 计数原理，它们不但可以直接解决不少 具体问题，同时也是推导下面常用排列 组合公式的基础 .
3、排列：一般地，从n个不同的元素中任取出m个 （m≤n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数， 叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作 。
Cnm
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组合数公式: 从n个不同元素取 m个
（1 m n)的不同组合总数为：
Cnm
Pnm m!
n! (n m)!m!
Pnm Cnm m!
一般地，求从n个不同元素中取出m个元素排成一列的排列数 pnm 可以 分两步求得：
解： 由组合数公式，共有 C432= 42×41×40÷3÷2=11480 种不同的选法； 由排列数公式，共有
p432 ＝42×41×40＝68880 种不同的站法.
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例4、某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共 有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有多少种 站法？
分析：由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由 这3人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化 成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．
解：由排列数公式，共可能有： p43 =4×3×2=24 种不同的拍照情况．
解： 由组合数公式知，共需进行 C122 =12×11÷2=66 场比赛。
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例4、某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营， 问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有 多少种站法？
解： 由组合数公式，共有
C432 = 42×41×40÷3÷2=11480
种不同的选法； 由排列数公式，共有
p432 ＝42×41×40＝68880 种不同的站法.
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6、习题
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分析：要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学有关，而与
三名同学被选出的顺序无关.所以，应用组合数公式，共有C432 种不同的选法.
要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学有关，而且
与三名同学被选出的顺序有关.所以，应用排列数公式，共有 p432种不同的站法.
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例2、5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有 多少种不同的站法？
分析：由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问 题，是一个全排列问题，且n=4．
解：由全排列公式，共有
p44 =4×3×2×1=24
种不同的站法．
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例题3、某校举行排球单循环赛，有12个队参加.问：共需要 进行多少场比赛？
D B D B
C
P43 4 3 2 24
……
D
4、组合：一般地，从n个不同元素中取出m个 （m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组 合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有 当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合。
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排列数公式: 从n个不同元素取 m个
（1 mn)的不同排列总数为：
pnm
n(n
1)(n
2)
(n
m
1)
(n
n! m)!
m = n时称全排列
Pnn pn n(n 1)(n 2) 21 n!
第1次选取 A
B C
第2次选取 B C D
第3次选取
C 例如：n=4, m =3
才算完成这件事，
例如，若一个男人有三顶帽子和两 件背心，问他可以有多少种打扮？
可以有 3 2 种打扮
基本计数原理
2. 加法原理
设完成一件事有m种方式，
第一种方式有n1种方法，
第二种方…式；有n2种方法,
则完成这件事总共 有n1 + n2 + … + nm
第m种方式有nm种方法, 种方法 .
无论通过哪种方法都可以
排列组合复习
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1
主要内容
乘法原理 加法原理 排列
组合
例题讲解
习题
2010 06 18
2
基本计数原理
1. 乘法原理
设完成一件事有m个步骤，
第一个步骤有n1种方法， 第二个步骤有n2种方法, 则完成这件事共有
…； 第m个步骤有nm种方法,
n1 n2 nm
必须通过每一步骤,
种不同的方法 .
第第一二步步：：从将n每个一不个同组元合素中中的取m出个m元个素元进素行组全成排一列组，，共共有有pCmmnm种种排方法法.； 故由乘法原理得到：
pnm = Cnm· pmm 因此
这就是组合数公式.
GEC Program
13
5、例题讲解
例1、有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其 他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？（照相时3人站成 一排）
由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列 中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样．如果两个 排列的元素不完全相同．或者各元素的排列顺序不完全一样， 则这就是两个不同的排列。 从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有排列的个数， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作 pnm 。
分析：要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学 有关，而与三名同学被选出的顺序无关.所以，应用组合数公式，共有C343 种不同的选法.
要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学 有关，而且与三名同学被选出的顺序有关.所以，应用排列数公式，共有 P342种不同的站法.
完成这件事，
例如，某人要从甲地到乙地去, 可以乘火车, 也可以乘轮船.
火车有两班
甲地 回答是 3 + 2 种方法
乙地
轮船有三班
乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?
乘法原理和加法原理是两个很重要 计数原理，它们不但可以直接解决不少 具体问题，同时也是推导下面常用排列 组合公式的基础 .
3、排列：一般地，从n个不同的元素中任取出m个 （m≤n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数， 叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作 。
Cnm
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11
组合数公式: 从n个不同元素取 m个
（1 m n)的不同组合总数为：
Cnm
Pnm m!
n! (n m)!m!
Pnm Cnm m!
一般地，求从n个不同元素中取出m个元素排成一列的排列数 pnm 可以 分两步求得：
解： 由组合数公式，共有 C432= 42×41×40÷3÷2=11480 种不同的选法； 由排列数公式，共有
p432 ＝42×41×40＝68880 种不同的站法.
GEC Program
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例4、某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共 有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有多少种 站法？
分析：由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由 这3人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化 成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．
解：由排列数公式，共可能有： p43 =4×3×2=24 种不同的拍照情况．