MATLAB课程论文

基于MATLAB在自动控制频域中稳定性分析的应用

学院：物信学院

班级：08电信二班

姓名：王军祥

学号：281060217

基于MATLAB在自动控制频域中稳定性分析的应用

摘要:自动控制系统主要利用MATLAB高级语言对其进行计算机分析。 MATLAB是一套高性能的数值计算和可视化软件,它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形绘制集于一体,构成了一个方便的、界面友好的用户环境。本文主要介绍了利用MATLAB在自动控制中对频域中系统稳定性的判定，通过MATLAB建立某一系统的模型,并分析该系统的性能。根据响应曲线判断系统的稳定性，当系统的性能不能满足所要求的性能指标时,通过调整系统参数和增添校正装置来改善系统性能并展示方便灵活的动态仿真结果。

关键词:自动控制系统；稳定性；频域分析；频率响应；稳定裕度

引言

频域分析法是应用频域特性研究线性控制系统的一种经典方法，采用这种方法可以直观的表达出系统的频率特性，利用系统的传递函数绘制系统的bode 图、nyquist曲线和nichols图，然后进行系统稳定性的判定，这样可以很明确的判定系统频域的稳定性。频域分析法是自动控制领域中应用又一种数学工具———频率特性来研究系统控制过程性能，即稳定性、快速性及稳态精度的一种方法。这种方法不必直接求解系统的微分方程，而是间接的运用系统的开环频率特性曲线，分析闭环系统的响应，因此它是一种图解的方法。本文介绍了应用MATLAB在bode图、nyquist曲线和nichols图等控制系统频域分析中的主要方法，通过具体实例叙述了MATLAB在频域分析中的应用过程。频域分析里主要用到三种曲线（或叫图）：Bode图、Nyquist曲线图和 Nichols（尼柯尔斯）曲线图。这三种曲线就是频率分析的三种工具。Bode图可以用于分析相角稳定裕度、

-穿越频率、带宽、扰动抑制及其稳定性幅（或模）值稳定裕度、剪切频率、π

等，所以Bode图在频域分析里占有重要的地位。Nyquist与Nichols曲线图在频域分析里也很有用。本文中最重要的函数命令有bode、nyquist、pade、nichols、margin等。

一.频域分析法的基础

1.有关频率分析的几个概念

（1）频率响应

当正弦函数信号作用于线性系统时，系统稳定后输出的稳态分量仍然是同频率的正弦信号，这种过程叫做系统的频率响应。

（2）频率特性

设有稳定的线性定常系统，在正弦信号作用下，系统输出的稳态分量为同频率的正弦信号，其振幅与输入正弦信号振幅比相对于正弦信号角频率间的关系

)(ωA 叫做幅频特性；其相位与输入正弦信号的相位之差相对于正弦信号角频率

间的关系)(ωϕ叫做相频特性。系统频率响应与输入正弦信号的复数比叫做系统的频率特性。记作： )()()(ωϕωωj e A j G = (1) 2. Bode 图

Bode 图即对数频率特性曲线。Bode 图有两条曲线，分别是对数幅频特性与对数相频特性。横坐标都是角频率ω，是按常用对数（以10为底的对数）刻度的即ωlg ，其单位是rad/s 。对数相频特性的纵坐标是)(ωϕ，等分刻度，其单位为角度或弧度（rad ）；而对数幅频特性的纵坐标是 )(lg 20)(ωωA L =，也是等分刻度的，其单位为dB 。 3.幅相选择性

系统的频率特性)()()(ωϕωωj e A j G =里既有振幅信息又有相位信息，所以又叫做系统的幅相特性。幅相特性图形化的形式，即是幅相特性曲线。 4.频率特性的极坐标图

频率特性()G j ω是ω的复变函数，在()G j ω复平面上对于某一ω可以用以向量或其端点（坐标）来表示。当ω从0→∞时，()G j ω端点的极坐标轨迹即是频率特性的极坐标图，叫做Nyquist 曲线图或幅相特性曲线。 5.Nichols 曲线图.

对于单位负反馈系统其闭环与开环传递函数()G s 间的关系为)

(1)

()(s G s G s +=

Φ(2)

则频率特性之间的关系为 )

(1)

()(ωωωj G j G j +=

Φ (3)

若以模幅式()G j ω表示为 G j e G j G ∠=)(ω (4) 则 )()()(ωαωωj e M j =Φ (5)

将闭环幅频()M ω与闭环相频()αω合成幅相特性为G

j G j j e

G e G e M ∠∠+=

1)()

(ωαω (6)

由此幅相特性可以求得两个函数表达式，即

),(1G G f M ∠= (7)

),(2G G f ∠=α (8)

这两个函数表达式的图形化曲线就叫做Nichols 曲线图。 6.频域性能指标

1.）峰值：它是幅频特性()A ω的最大值。

2．）频带：它是幅频特性()A ω的数值衰减到0.707(0)A 时对应的角频率。 3.）相频宽：它是相频特性()ϕω等于/2π-时对应的角频率。

4.）剪切频率：系统开环对数幅频特性曲线20lg G 与横坐标轴()ω交点的角频率，常用c ω（或cp ω ）来标识。

5.）π- 穿越频率：系统开环对数相频特性曲线()ϕω与π- 线交点所对应的角频率（即开环幅相特性曲线()G j ω与负实轴的交点所对应的角频率），常用g ω （或cg ω ）来标识。

6.）稳度裕度

1.相角稳定裕度：系统开环幅相特性曲线()G j ω上模值等于1的向量与负实轴的夹角，即 )()(πωϕγ--=c (9)

2．幅值稳定裕度：开环幅相特性曲线()G j ω与负实轴交点(cg ω)模值G(cg ω)的倒数，即 )

(1cg G h ω=

(10)

或者是其交点模值倒数的分贝值，即 h L h lg 20= (11) 7.三频段概念

系统开环对数振幅频率特性曲线20lg G 按横坐标大致分为3个频段。在开