第9-10讲组合数学——分配问题
排列组合问题之分配问题
排列组合问题之分配问题简介排列组合是数学中一种重要的概念，用于计算在给定条件下物体的排列和组合方式。
分配问题是排列组合问题中的一种常见类型，它涉及到将若干个物体按照一定的规则分配给若干个或者接收者。
解决分配问题的方法解决分配问题有多种方法，下面将介绍两种常用的方法。
1. 全排列法全排列法是一种基本的解决分配问题的方法。
它的基本思想是通过枚举所有可能的分配方式，然后判断每种分配方式是否满足给定的条件。
全排列法的主要步骤包括：1. 确定物体的排列顺序：根据问题的要求，确定物体的排列顺序，例如按照编号或者属性进行排列。
2. 构造排列：使用排列算法生成所有可能的排列，共有n!种可能，其中n为物体的个数。
3. 判断条件：对于每种排列，判断是否满足给定的条件，如果满足则记录该排列。
2. 组合法组合法是另一种常用的解决分配问题的方法。
它的基本思想是通过选择若干个物体形成一个组合，然后判断每种组合是否满足给定的条件。
组合法的主要步骤包括：1. 确定物体的选取方式：根据问题的要求，确定物体的选取方式，例如是否允许重复选取或者是否有限制条件。
2. 构造组合：使用组合算法生成所有可能的组合，共有C(n, k)种可能，其中n为物体的个数，k为选取的个数。
3. 判断条件：对于每种组合，判断是否满足给定的条件，如果满足则记录该组合。
应用示例以下是一个示例，展示了如何使用全排列法和组合法解决分配问题。
问题：将A、B、C、D四本书分配给三个人，每个人至少分配一本书，问一共有多少种分配方式？全排列法解决步骤：1. 确定排列顺序：书的排列顺序为ABCD。
2. 构造排列：所有可能的排列为ABCD、ABDC、ACBD、ACDB、...3. 判断条件：在每种排列中，判断是否满足每个人至少分配一本书的条件。
组合法解决步骤：1. 确定选取方式：每个人至少分配一本书，所以选取方式为从四本书中选取一个，然后从剩下的三本书中选取两本。
2. 构造组合：所有可能的组合为ABC、ABD、ACD、BCD。
排列组合中的分组分配问题
五非均分组分配对象确定问题
例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人 有多少种不同的分法？
C61C52C33
非均分组有分配对象要把组数当作元素个数 再作排列。
五非均分组分配对象不固定问题
例7 六本不同的书分给3人，1人1本，1人2本,1人3本 有多少种分法
C61C52C33 A33
练习1
2 10 2 8 2 6
2 10
2 8
2 6
4 4
4 4
3 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条 件，各有多少种不同的分法？ （1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本·
三：部分均分有分配对象的问题
例3 12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、D、 E五个人有多少种不同的分法？ 方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数· （2）均分的五组看成是五个元素在五个位置上作 排列
2 3 2 2 3 C C 9 C6 C4 C2 12 (2) 3 2 A3 A2
5 A5
……
cd ef ab ef ab cd
……
ef cd ef ab cd ab
……
ghij ghij ghij ghij ghij ghij
……
基础探究
一：均分无分配对象的问题
例1：12本不同的书 （1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？ （2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？ 4 4 4 C C C 8 4 12 (1) 3 A3 2 6 2 2 C C C C 8 10 6 12 (2) 3 A3
排列组合中的分组分配问题
数学中的分组分配问题
分配中的最优化问题
总结词
分配中的最优化问题是指通过优化分配方式，使得某 个特定的目标函数达到最优值。
详细描述
在分配中的最优化问题中，需要找到一种最优的分配 方式，使得某个特定的目标函数达到最优值。这个目 标函数可以是总和最大、总和最小、平均值最大等。 例如，将一定数量的苹果分给若干个孩子，目标是使 得所有孩子获得的苹果数量之和最大，同时还要满足 每个孩子至少获得一个苹果的条件。这个问题可以通 过引入约束条件和目标函数进行求解。
解决这些冲突需要综合考虑各种因素 ，如资源的可用性、需求的紧迫性、 公平性等，通过协调各方利益，寻找 最优的解决方案。
分组与分配的解决方案
分组与分配问题的解决方案通常 需要运用数学方法和逻辑推理，
如线性规划、整数规划等。
解决方案需要满足一定的条件， 如资源的有限性、需求的合理性 等，同时还需要考虑方案的可行
总结词
固定数量的分配问题是指每个组分得固定数量的物品或资源，目标是使所有组的总和达到最大或最小 。
详细描述
在固定数量的分配问题中，每个组分得的物品或资源数量是固定的，目标是寻找一种分配方式，使得 所有组的总和达到最大或最小。例如，将一定数量的苹果平均分给若干个孩子，使得每个孩子获得的 苹果数量相等。
04
分组与分配的结合问 题
分组与分配的关联性
01
分组与分配在数学中常常是相互 关联的，分组是为了更好地进行 分配，而分配则需要在分组的基 础上进行。
02
分组与分配的关联性体现在它们 的目标上，即通过合理的分组和 分配，使得每个对象都能得到满 足其需求的资源或服务。
分组与分配的冲突与协调
在分组与分配的过程中，可能会出现 各种冲突，如资源不足、需求不均等 问题。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是指将一组元素分成不同的组，每个组中的元素个数可以不同，同时每个元素只能属于一个组。
这类问题在实际生活中非常常见，比如将不同班级的学生分配到不同的宿舍，将不同商品分配到不同的仓库等。
在解决这类问题时，可以使用回溯法进行穷举搜索，具体步骤如下：1. 定义一个空的结果集，用来存储所有的有效分组分配方案。
2. 定义一个空的临时集合，用来存储当前正在处理的分组分配方案。
3. 使用回溯法进行搜索，从第一个元素开始，尝试将其放入不同的组中。
4. 对于每个选择，如果选择当前组的元素数量小于或等于规定的数量，则将该元素加入到临时集合中，并递归处理下一个元素。
5. 如果当前组的元素数量大于规定的数量，则回溯到上一层，并尝试选择其他组进行分配。
6. 当所有元素都被分配完毕时，将临时集合存入结果集中。
7. 返回结果集，即为所有的有效分组分配方案。
这种解法的时间复杂度为O(k^n)，其中n为元素的个数，k为分组的个数。
在实际使用中，由于组合数目可能非常大，可能需要进行一些剪枝优化，以提高运行效率。
还可以使用动态规划方法解决分组分配问题。
动态规划方法将问题分为多个子问题，然后利用子问题的解来求解原问题。
具体步骤如下：1. 定义一个二维数组dp，dp[i][j]表示将前i个元素分配到j个组中的方案数。
2. 初始化dp数组，将所有元素分配到一个组中的方案数为1，其他地方为0。
3. 使用动态规划进行求解，从第一个元素开始，依次遍历所有可能的组合情况。
4. 对于每个元素，从1到j（j为组的数量）进行遍历，分别计算分配到该组和不分配到该组的方案数之和，并更新dp数组。
5. 当所有元素都遍历完毕后，dp[n][k]即为最终的解。
这种解法的时间复杂度为O(nk^2)，可以在不超出计算能力的情况下求解大规模的分组分配问题。
排列组合中的分组分配问题可以使用回溯法和动态规划方法进行求解。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是数学中常见的一种问题，它涉及到如何将一组元素分配到若干个分组中，使得每个分组满足一定的条件。
在实际生活中，我们经常会遇到这样的问题，比如如何将一群人分成几组参加比赛，或者如何将一批货物分配到不同的仓库中。
研究分组分配问题的有效解法对于解决各种实际问题具有重要的意义。
排列组合中的分组分配问题可以分为两种类型：一种是固定分组数量的分配问题，另一种是灵活分组数量的分配问题。
在解决这两种类型的问题时，通常可以运用排列组合的知识以及一些数学方法来进行分析和求解。
我们来讨论固定分组数量的分配问题。
在这种情况下，我们需要将一组元素分配到固定数量的分组中，每个分组的元素数量也是固定的。
通常情况下，我们可以使用排列组合的方法来解决这类问题。
假设有n个元素需要分配到m个分组中，每个分组需要包含k个元素，那么可以计算出一共有多少种不同的分组分配方式。
我们需要计算出总的元素数量n个中选取出k个元素的组合数，即C(n,k)。
然后，对于确定了k个元素的第一个分组，剩下的n-k个元素中再选取k个元素，再选取k个元素，直到最后一个分组选取出来。
根据乘法原理，可以得到总的分组分配方式数量为 C(n,k) * C(n-k,k) * C(n-2k,k) * ... * C(n-(m-1)k,k)。
举个例子来说明，假设有12个人需要分为3组，每组4人，那么分组的方式就可以通过计算C(12,4) * C(8,4)来得到。
这种方法可以帮助我们有效地解决固定分组数量的分配问题，并得到所有可能的分组分配方式。
一种常见的方法是使用动态规划来解决灵活分组数量的分配问题。
动态规划是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题而有效解决复杂问题的方法。
对于分组分配问题来说，可以将问题分解为将第i个元素分配到第j个分组中的子问题，然后逐步求解，最终得到整个分组分配问题的解。
排列组合中的分组分配问题是数学中常见的一种问题，它涉及到如何将一组元素分配到若干个分组中，使得每个分组满足一定的条件。
组合数学-第八节：分配问题
2.7 分配问题所谓分配问题，粗略地说，就是把一些球放入一些盒子中的放法问题。
本节中，我们将本章前几节所讨论的各类计数问题的结果应用到分配问题上，得到不同类型的分配问题的分配方案数。
把n 个球分放到r 个盒子里，共有多少种不同的方案？本节中我们假定球在盒内是无序的，但我们要考虑以下三个方面的因素：（i ）n 个球是完全相同的还是完全不同的； （ii ）n 个盒子是完全相同的还是完全不同的； （iii ）是否允许有空盒。
下面我们来分类讨论：（1）把n 个完全不同的球放入r 个不同的盒子里，允许有空盒的方案数为n r 。
将n 个不同的球分别记为12,,,n x x x r 个不同的盒子分别记为12,,r b b b ，每个球()1i x i n ≤≤都可以放入r 个不同的盒子()1j b j r ≤≤中的任一个，即每个球都有r 种不同的放法，因而n 个不同的球共有n r 种放法。
事实上，这个问题可以看成r 个不同的盒子所构成的多重集合{}12,,,r M b b b =∞⋅∞⋅∞⋅ 的n 排列问题。
对于M 的一个n 排列，我们将其映射到12,,n x x x 放入12,,r b b b 中的一种方案，若该n 排列的第i 个位置是()1i j b i r ≤≤，则将球i x 放入盒子i j b 中。
例如，有4个不同的球1234,,,x x x x 和3个不同的盒子123,,b b b ，对应于{}123,,M b b b =∞⋅∞⋅∞⋅的4排列：1231b b b b 的放法是1x 和4x 放在盒子1b 中，2x 和3x 放在盒子2b 中。
上面建立的映射显然是一一映射，所以此类分配方案数等于多重集合{}12,,,r M b b b =∞⋅∞⋅∞⋅ 的n 排列数nr 。
（2）把n 个完全不同的球放入r 个不同的盒子里，不允许有空盒的方案数为()!,r S n r 。
先认出盒子是完全相同的，把n 个球构成的集合：{}12,,n A x x x = 划分成r 个非空子集12,,r A A A ，即：12r A A A A =然后将每个()1i A i r ≤≤放入一个盒子里，构成一个没有空盒的分配方案。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是一个常见的数学问题，在实际生活中也有很多应用。
这类问题通常涉及将一定数量的对象分配到一定数量的组中，而且每组对象的数量有限制。
解决这类问题需要运用排列组合的知识，有时也需要借助图论等数学工具。
下面将介绍一些有效的解法。
一、基本概念在讨论排列组合中的分组分配问题之前，先来了解一下相关的基本概念。
在排列组合中，排列是指不同元素按照一定规则排成的一列，而组合是指从给定的元素中取出一定数量的元素组成的一个集合。
分组分配问题则是指将一定数量的对象分配到一定数量的组中的问题。
在分组分配问题中，通常会遇到一些特殊的情况，比如分组中的对象需要满足一定的条件，或者每个对象只能分配到某个特定的组中。
这些特殊情况需要根据具体问题进行分析，选择合适的解法。
二、贪心算法贪心算法是解决分组分配问题的一种常用方法。
贪心算法的基本思想是每一步都选择当前最优的解，从而希望最终得到全局最优的解。
在分组分配问题中，贪心算法通常可以通过排序来实现。
以将一定数量的对象分配到一定数量的组中，每组对象数量固定为例，贪心算法的解法如下：1. 将所有对象按照一定的规则排序，比如按照对象的重要性、价值等；2. 依次将对象分配到各个组中，每次都选择当前剩余空间最大的组，并将对象放入其中；贪心算法的优点是简单易实现，但并不是对所有分组分配问题都有效。
有些情况下，贪心算法得到的解并不一定是最优解，因此在使用贪心算法时需要谨慎选择排序规则和验证算法的有效性。
三、动态规划动态规划是解决分组分配问题的另一种常用方法。
动态规划的基本思想是将原问题分解成若干个子问题，然后依次求解这些子问题，最终得到原问题的解。
1. 定义状态dp[i][j]表示将前i个对象分配到前j个组中的方案数；2. 根据分组条件，构造状态转移方程dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]*j；动态规划的优点是能够得到全局最优解，但需要分析问题的子结构并构造合适的状态转移方程，整个过程相对复杂。
排列组合中的分组分配问题完整版共28页文档
排列组合中的分组分配问题完整版
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法1. 引言1.1 什么是排列组合中的分组分配问题在排列组合中的分组分配问题中，我们面临着将一组元素分为多个子集的问题。
在这个问题中，我们通常需要满足一定的条件，比如每个子集的元素个数必须相等，或者每个子集的元素之和必须满足某个条件。
这种问题在实际生活中有很多应用，比如排班问题、分组比赛问题等。
具体来说，我们可以将排列组合中的分组分配问题看作将n个元素分为m个子集的问题。
每个子集中的元素个数可以不同，也可以相同。
我们需要找到一种方法，使得每个子集满足特定的条件，同时保证所有子集之间没有重复元素。
在解决这类问题时，我们通常需要考虑不同算法的效率和准确性。
通过选择合适的算法，我们可以更快地找到问题的解决方案，提高问题的求解效率。
对于排列组合中的分组分配问题，需要有效的解法来解决复杂的组合问题，提升计算效率。
【200字】1.2 为什么需要有效解法排列组合中的分组分配问题是一个常见的数学问题，通常涉及到如何将一组元素分成若干组，使得每个元素恰好属于一组，并且每个组的元素数量符合特定的条件。
这类问题在实际生活中也有着广泛的应用，比如在分配任务、资源、奖励等方面。
为了解决这类问题，需要找到一种有效的解法。
有效解法可以帮助我们节省时间和精力。
排列组合中的分组分配问题往往有着庞大的搜索空间，如果没有一个高效的解法，我们可能需要耗费大量的时间和资源来找到最优解。
而通过有效的解法，我们可以在较短的时间内找到满足要求的分组方案，提高工作效率。
有效解法可以帮助我们减少错误和避免漏解。
在解决排列组合中的分组分配问题时，如果没有一个清晰的解题思路和方法，容易导致错误的分组方案或者遗漏可能的解决方案。
而使用有效的解法，可以系统地进行搜索和分析，减少出错的可能性，提高解题的准确性和完整性。
找到排列组合中的分组分配问题的有效解法是非常重要的。
有效解法不仅可以节省时间和精力，提高工作效率，还可以减少错误和遗漏，保障解题的准确性和完整性。
高中数学专题排列组合中的分组分配问题
高中数学专题排列组合中的分组分配问题Ⅰ.概述分组分配问题是排列、组合问题的综合, 是排列组合问题中的一个重点和难点；某些排列组合问题看似非分配问题, 实际上也可运用分配问题的方法来解决。
解决分组分配问题的一个基本指导思想就是先分组后分配。
分组分配问题特征:（1）分组分配特征: 问题涉及把相关的元素进行分组然后再分配；（2）分组的类型: 整体均分、部分均分和不等分三种；无论分成几组, 都应注意只要有元素的个数相等的组存在, 就需要考虑均分的现象（即: 整体平均分组；或部分平均分组）；（3）均分特征：只要出现所分组中的元素个数相等, 则存在重复出现的情况, 作为分组只能计为一种。
Ⅱ.排列组合中的分组与分配问题一.分组与分配有关概念1.将n个不同元素按照某些条件分成k组, 称为分组问题；分组问题有不平均分组、整体平均分组和部分平均分组三种情况。
2.将n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象（位置）, 称为分配问题；分配分定向分配和不定向分配两种问题；3.分组问题和分配问题的区别: 前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同, 但因对象不同, 仍然是有区分的, 对于分配问题必须先分组后分配, 而分组通常与组合相关, 分配通常与排列相关。
二. 基本的分组问题（一）分组问题的基础题例【题例1】六本不同的书, 分为三组, 求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？(1)每组两本.(2)一组一本, 一组二本, 一组三本.(3)一组四本, 另外两组各一本.【分析】: (1)分组与顺序无关, 是组合问题。
注意, 这里6个元素, 分3组, 每组2个元素, 所求的分组种类: 不是“从6个元素中取2个元素的组合数”, 而是“6选2, 选3次, 分成3组, 所得的组数”；在这样的分组中, 由于要选3次, 且平均选取, 就存在选取的顺序, 故所得组中出现重复的组, 重复的种数即所分组的全排列数。
若一组分组为：（1, 2）（3, 4）（5, 6）, 另一组分组为（3, 4）（1, 2）（5, 6）, 则这样的两组只能算一组, 不能算作两组；若一组分组为：（1, 2）（3, 4）（5, 6）, 另一组分组为（1, 3）（2, 4）（5, 6）, 则这样的两组应算作两个不同的分组；在（1, 2）（3, 4）（5, 6）与（1, 3）（2, 4）（5, 6）这两个分组中出现的“从6个元素中选取2个元素的组合”则有5个, 且其中的组合（5, 6）只能算作1个计数；三. 基本的分配问题（一）定向分配问题: 将所给元素按要求分配到指定对象【题例2】六本不同的书, 分给甲、乙、丙三人, 求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）甲两本、乙两本、丙两本.（2）甲一本、乙两本、丙三本.（3）甲四本、乙一本、丙一本.(二)不定向分配问题: 将所给元素按要求分配到非指定对象【题例3】六本不同的书, 分给甲、乙、丙三人, 求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每人两本.（2）一人一本、一人两本、一人三本.（3）一人四本、一人一本、一人一本.Ⅲ.分组-分配问题类型与方法探究一. 分组问题的基本类型--思想方法（一）分组问题类型1--非均匀分组（分步-组合法）:“非均匀分组”是指将所给元素分成元素个数彼此不相等的若干组。
排列组合分配问题的解题思路
排列组合分配问题的解题思路可以分为以下几个步骤：
明确题目要求：首先，需要仔细阅读题目，理解题目的要求，明确问题的背景和条件。
判断问题类型：根据题目的描述和要求，判断问题属于排列问题还是组合问题。
排列问题考虑顺序，而组合问题不考虑顺序。
选择解题方法：针对不同的问题类型，选择不同的解题方法进行求解。
常见的解题方法有直接法、间接法、平均分组法、插空法、捆绑法、隔板法等。
应用公式计算：根据所选的解题方法，应用相应的公式进行计算。
对于排列问题，常用的公式有Pn=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)；对于组合问题，常用的公式有Cn=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)/m(m-1)(m-2)...2*1。
检验结果：在得出结果后，需要将结果代回原题进行检验，确保结果的正确性。
在解决排列组合问题时，还需要注意以下几点：
优先考虑特殊元素和特殊要求，比如限制条件、相邻或不相邻等问题；
注意分类讨论，比如多元问题的分类法；
对于复杂的排列组合问题，可以尝试使用逐一实验法；
需要细心和耐心，避免出现计算错误或遗漏情况。
高中数学论文：排列组合中两个分配问题的解法和应用
排列组合中两个分配问题的解法和应用在排列和组合问题中常有分配问题，此类问题常因分配的物品种类是否相同，分配的物品数量是否平均，分配的物品接受对象是否有序等各种因素使得此类问题显得非常灵活，有时也显得比较难，比如分配中的保底分配和重复现象。
本文就这两个问题作一个探讨。
引例：有4件奖品，要求全部奖给3个学生，且每人至少一件。
问题（1）：若4件奖品相同，则有多少种不同的分配方法？问题（2）：若4件奖品各不相同，则有多少种不同的分配方法？分析：问题（1）：奖品分定后的结果是：其中的一人有2件奖品，另两人各有一件奖品，故可如此考虑，先每人发一件奖品，因奖品相同所以仅一个方法，然后再把剩余的一件分给三个人中的一个，根据分步计数原理有N=1313C =种不同分法。
问题（2）解法一：按照上述思路，在每人发一件时因分配的物品不同有34A 种不同方法，再把剩余的一件分给3个人中的一个有13C 种方法，根据分步计数原理得不同的分配方法有314372N A C ==种。
问题（2）解法二：奖品分配完毕将有2件成组，另2件各成一组共3组分给3个同学，根据分步计数原理得共有不同的分配方法234336N C A ==种。
此时产生一个问题，同一个问题在两个不同的思路之下出现两个不同的答案。
仔细探究原来解法一的结果中产生了重复，比如三个同学分别为甲、乙、丙，奖品为a 、b 、c 、d ，其中甲同学是分得2件奖品的同学，现先在34A 发奖品的时候甲分得a ，乙分得b ，丙分得c ，剩余的d 在13C 这一步恰好分给甲，如此最后甲得a 、d ，乙得b ，丙得c ；另外在34A 发奖品的时候甲分得d ，乙分得b ，丙分得c ，剩余的a 在13C 这一步恰好分给甲,如此最后也是甲得a 、d ，乙得b ，丙得c 。
这两个过程对解法一而言是不同的结果，但事实上最后结果是一样的，原因在于上述分步分配的做法人为地把两个无序的结果产生了顺序，故需除以两件物品因先后分配而产生的22A 种排列顺序以消除重复才能得正确结果。
排列组合中的分配分组问题
排列组合中的分配分组问题排列、组合以其独特的研究对象和研究方法，在高中数学教学中占有特殊的地位，是高考必考内容之一，它既是学习概率的预备知识，又是进一步学习数理统计、组合数学等高等数学的基础，因此排列与组合问题的应用题是高考的常见题型。
本文就笔者自己解决排列组合问题中的分配分组问题的一些浅见拙知与大家分享，不值一飧，还望批评与指正。
一、基本定义：1、排列：从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列。
2、组合：从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合。
3、排列数与组合数公式：)1)......(1(A +--=m n n n mn!)1().........1(m m n n n C A C m n m n m n+--== 二、解题思路总析：从排列与组合的定义来看，这两个数学名词的相同之处在于“选”—从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素；不同之处在于：排列有“序”——取出的m 各元素之间有顺序，组合无“序”——取出的m 各元素之间无顺序。
所以根据题目的意思分析元素之间是否有序就成了解决问题是用排列数公式还是用组合数公式的关键。
另外，在分配分组问题中，还存在分成的各组元素个数相等或不相等的问题，各组元素个数相等的分配分组称为“均匀”，各组元素个数全不相等的分配分组称为“不均匀”。
综合以上两点，笔者把排列组合中的分配分组问题统分为四类：1、均匀有序：各组元素个数相等，各组之间有顺序；2、均匀无序：各组元素个数相等，各组之间没有顺序；3、不均匀无序：各组元素个数全不相等，各组之间没有顺序；4、不均匀有序：各组元素个数全不相等，各组之间有顺序。
其中均匀有序又称“双肯定”分法，不均匀无序又称“双否定”，均匀无序和不均匀有序称为“单肯定”下面就以具体例题来说明上面四类问题的一般解法：例1：有6本不同的书，（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？（2）分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分法？（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分法？解析：对于问题（1），首先从6本不同的书中选出2本来给甲，选出的2本书之间无顺序，为26C ；其次，从剩下的4本书中选出2本来给乙，为24C ；最后剩下的2本给丙，为22C ；整个解题过程应用的是分步计数原理，所以最终的分法数为90C *C *C N 2224261==;对于问题（2），与问题（1）的相同在于都是均匀分组，差别仅仅在于，一个是分给3人，一个是分成3堆，即就是分成的3组之间一个是有顺序的，一个是没有顺序的，所以问题（2）的解决可以在问题（1）解决的基础上对3组进行“消序”，即15A C *C *C N 332224262==; 对于问题（3），解决方法与问题（1）一样，用分步计数原理，先从6本不同的书中选出1本来，再从剩下的5本书中选出2本来，最后剩下的3本作为一堆，最终的分法数为60C *C *C N 3325163==;对于问题（4），分析题目，可见问题（4）与问题（3）的相同在于都是不均匀分组，差别在于问题（3）是分成3堆，即分成的3组无序，问题（4）是分给3人，即分成的3组有序，所以问题（4）的解决可以在问题（3）解决的基础上对3组进行“排序”，即603A *C *C *C N 333325164==。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合是数学中一个重要的概念，它涉及到对象的排列和组合方法。
在实际生活中，排列组合可以帮助我们解决很多实际问题，尤其是在分组分配问题上。
分组分配问题是指将一些对象按照一定的规则分配到不同的组中，这个问题在实际生活中常常出现，比如分班分组、分工分配等。
在这篇文章中，我们将探讨排列组合中的分组分配问题，并提出有效的解法。
我们需要了解一下排列组合中的基本概念。
排列指的是从一组对象中按照一定的顺序选出一部分对象的方法，而组合指的是从一组对象中选出一部分对象并将其无序排列的方法。
在分组分配问题中，我们通常需要考虑的是对象的分组和分配顺序。
在实际生活中，有时我们需要将一组对象分成若干个组，并且每个组中的对象数量可能是不同的，这就涉及到了排列组合中的分组分配问题。
我们需要将一些学生分成若干个班级，每个班级的人数可能是不同的；又如，我们需要将一些任务分配给若干个团队，每个团队的任务量可能是不同的。
如何有效地解决这些问题呢？下面我们将介绍一些常见的有效解法。
1. 贪心算法贪心算法是一种简单而高效的算法，它通常适用于求解最优化问题。
在分组分配问题中，我们可以通过贪心算法来求解最优的分组方案。
具体来说，我们可以按照一定的规则来选择对象并将其分配到不同的组中，直到所有对象都被分配完为止。
对于任务分配的问题，我们可以按照任务的难易程度或者工作量来排序，然后依次将任务分配给团队，直到所有任务都被分配完为止。
贪心算法的好处是简单易实现，但它并不能保证得到全局最优解，因此需要根据具体情况来选择是否使用贪心算法。
2. 动态规划动态规划是一种常见的求解最优化问题的方法，它适用于分组分配问题中复杂的情况。
动态规划的基本思想是将原问题分解为若干个子问题，然后分别求解这些子问题的最优解，最后将这些子问题的最优解组合起来得到原问题的最优解。
在分组分配问题中，我们可以通过动态规划来求解最优的分组方案。
具体来说，我们可以定义一个状态转移方程，根据这个状态转移方程来对每个子问题进行求解，最终得到整个问题的最优解。
演示文稿排列组合中的分组分配问题
4: 从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数
有多少种？
（1）A 、B必须当选； C130 120
（2）A 、B 都不当选； （3）A、B不全当选；
? C150
252
C12C140 C150
672
或
（4）至少有2名女生当选；
C152 C75 C15C74 596
（5）选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工
各一人，再分配到两个不同的地方去做社会调查，一共有多少种不同的
方法？
3．车队有车7辆，现要调出4辆C15A车022C按55 顺A52序A52去A22执行 任10务0，80要0求A、B
两车必须出车参加，并且A车要在B车之前出发，那么不同的调度方
法有多少种？
C52A
4 4
2
120
第二十二页，共23页。
排列组合中的分组分配问题ppt 课三组，求在下列条件下 各有多少种不同的分配方法？
(1)每组两本（均分三堆） １５ (2)一组一本，一组二本，一组三本 ６０
(3)一组四本，另外两组各一本
１５
(４)平均分给甲乙丙三人 ９０
第二页，共23页。
难点分解
一排。相邻名额之间形成９个空隙。
在９个空档中选６个位置插个隔板，
可把名额分成７份，对应地分给７个
班级，每一种插板方法对应一种分法
将n个相同共的有元__素__分_C_成_9_6m_份__（种n分，法m。为正整数）,每份
至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一
排的n-1个空隙中，所有分法数为
C
42C
2 2
A
3 3
A
3 3
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整数的有序拆分-无空位
将 n 个相同物体分配到 m 个不同位置上，并且无 空位，其拆分数记为Cm(n)。
Cmn mn11
例1 4个相同物件全部分配到2个不同位置上（无 空位），等价于求方程4 = n1+n2的正整数解的个 数。
解： C24 13 3
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定理
将一个正整数 n 分解成 m (m≥1)个正整数之和， 即n=n1+n2+…+nm，如果考虑 ni 的次序, 则其拆 分数等于下列方程解的个数。
n n 1 n 2 . .n m .,其 m ,n 中 i 1 ,i 1 ,2 ， ,.m ..
Cmn mn11
第9-10讲 分配问题
整数的有序拆分(n个苹果，分给m个人) 整数的无序拆分(n个苹果，分成m堆) 集合的有序拆分(n种水果，分给m个人) 集合的无序拆分(n种水果，分成m堆)
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整数的有序拆分
将 n 个相同物体分配到 m 个不同位置上，称为整 数的有序拆分，拆分数等于方程n = x1+x2+...+xm 的解的个数 分两种情况
能称出19种重量。
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整数的无序拆分-有空位
定理：整数n拆分成不同整数和的拆分数 等于拆分成奇数之和的拆分数。
例7 求用1分、2分和3分面值的邮票贴出 不同面值的方案数（邮票允许重复）？
解：G ( x ) ( 1 x x 2 .1 . x 2 . x ) 2 2 ( .1 . x 3 . x ) 3 2 ( ..
整数n拆分中，所有部分均为奇数，其母函数？
G ( x ) 1 x x 2 1 x 3 x 3 2 1 x 5 x 5 2
整数n拆分中，所有部分不相等，其母函数？
G ( x ) 1 x 1 x 2 1 x 3
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整数的无序拆分-有空位
将正整数n分成m个部分，n=n1+n2+…+nm(m≥1), ni≥1，且不考虑ni的次序，满足n1≥n2≥…≥nm , 拆 分数记为Pm(n)。 定理：正整数n拆分成m个部分的方案数等于整数 n的拆分中最大部分为m的方案数。记作： Pm(n)=Pm(n)
若整数n拆分成1,2,…,m的和，并允许重复，其母 函数为？
G ( x ) 1 x x 2 1 x 2 x 2 2 1 x m x m 2
P m ( n ) x n
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整数的无序拆分-有空位
当n≥m时，方案数=P1(n)+P2(n)+…+Pm(n) 当n < m时，方案数=P1(n)+P2(n)+…+Pn(n)
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集合的有序划分（允许有空位）
例9 s = {a,b,c}，分配到2个不同位置上，求其方 案数？ 解：23=8
例10 用红、绿、蓝三种颜色给1×n棋盘着色，共 有多少种着色方案？
解： Gx11x!x2!2
3
... Biblioteka 共有3n种着色方案。哈尔滨工程大学课件 沈晶 制作
集合的有序划分
n个不同物件，全部分配到m个不同的位置上（允
许有空位），其分配方案数为 m n
n个不同物件，全部分配到m个不同的位置上（不 允许有空位），其分配方案数为
km 01km kmkn
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第10-11讲 分配问题
整数的有序拆分 整数的无序拆分 集合的有序拆分 集合的无序拆分
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例8 求方程x1+2x2+4x3=17非负整数解的个数？
解： G x x x 3 x 5 . 1 . x 2 . x 2 2 . 1 . x 4 x . 4 2 ..
N224223
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第10-11讲 分配问题
整数的有序拆分 整数的无序拆分 集合的有序拆分 集合的无序拆分
解：
421 5
Bm(n)
21 15
0,4;1,3;2,2;3,1;4,0
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整数的有序拆分
例4 8台计算机分配给3个单位。第一个单位的分 配量不超过3台，第二个单位分配量不超过4台， 第三个单位分配量不超过5台，问有几种分配方案？ 解：
解得G 1 4x 种 分 1 配x 方x 2 案 x 。3 1 x x 2 x 3 x 4 1 x x 2 x 3 x 4 x 5
集合的无序划分
无空位划分
m 1!km 01km kmkn
有空位划分
1 min,m () i i1 i!k0
1kkiikn
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特殊计数序列
第一类斯特林数（Stirling数）
组合意义：第一类Stirling数有正有負，其绝对值可以 看做是将n个元素排成k个非空的圆排列的方案数。
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第10-11讲 分配问题
整数的有序拆分 整数的无序拆分 集合的有序拆分 集合的无序拆分
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整数的无序拆分
将n个相同的物件分配到m个相同的位置上，称为 整数的无序拆分。 分两种情况
无空位情况 有空位情况
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整数的无序拆分-无空位
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整数的有序拆分-有空位
拆分数用Bm(n)表示
B m n nm n1 n m m 1 1
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整数的有序拆分
例2 现有100台相同的微机，分配给10个系，每个 系至少分6台，问有多少种分配方案？
解：
49 9
例3 4台机器分配到2个单位，列出其分配方案?
例5 若用1克、2克、3克和4克砝码各一枚，问能 称出哪几种重量？每种重量有几种可能方案？
解： G ( x ) 1 x 1 x 2 1 x 3 1 x 4
每种重量有10种可能方案。
例6 若有1克砝码3枚、2克砝码4枚、4克砝码2枚， 问能称出哪几种重量？各有几种可能方案？
解：G ( x ) 1 x x 2 x 3 1 x 2 x 4 x 6 x 8 1 x 4 x 8