博弈论

6．据得益特征：零和博弈；常和博弈；变和博弈
6
四、古典博弈论的三个基本假设：参与人是理性的；他们有 这些理性的共同知识；他们知道博弈规则。 理性的三个基本内涵：理性的局中人具有关于博弈的完全知 识；可以确切知道整个状态空间；具有相对无限的逻辑能力。
五、博弈的典型例子
1 ．囚徒困境
坦白
坦白
不坦白
-6，-6
求NE。
u2 s 15s2 5s1 s2 s
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K-T定理： 设

f x g i x i 1,, m 为可微函数，
T
x x1 ,, xn 为该问题的局部解，且下面的约束 规格之一成立：1） g i x 均为线性函数；
0 代表第i个农民饲养的数量，i 1,, n
G代表总量，用V=V（G）代表每只羊的平均价值。设购买一只 羊的价格为c，且 V ' G 0 ， V ''
G 0
。
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例5 豪特林（Hotelling）价格竞争模型 设有一个长度为1单位的线性城市，消费者均 匀地分布在[0，1]区间里。有两个商店位于城 市两端，店1在x=0，店2在x=1，出售物质性能 相同的产品。每个店提供单位产品的成本为c， 消费者购买商品的旅行成本与商店的距离成比 例，单位距离的成本为t，设消费者具有单位需 求。两店同时确定价格，各自应如何定价？

i 1,, m
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例8 公共物品的私人供给问题
设有n个居民组成的社团在建一种防洪大堤，每个居民自 愿提供沙袋，沙袋的总供给等于所有居民个人供给之和。 设第i个居民的供给为 g i ，总供给为G，居民i的效用函
堤上走的次数），假定 ui xi 0 用 数为 ui xi , G ，x i 为居民i对私人物品的消费量（如在
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2、反应函数法（无限策略博弈） 例1 古诺(Cournot)寡头竞争模型
两企业生产完全可替代的同质产品，他们在市场上进行产量竞争， 即相互独立地提出自己的产量，以使其利润达到最大。已知市场 的逆需求函数P（Q）=a-bQ，Q为市场上产品总量，P为产品价格，
a max(c1 , c2 )
c1 c2 c
E 2） i gi ( x) 0, i 1,, m i1 ,, ik 且向量
g i1x x ,, g ik x x 线性无关。
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则存在广义L乘子 u u1 ,, u m 使 x
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四、混合策略与混合策略纳什均衡
例 上 中 下 左 中 右
0，2 1，0 -2，2
-1，0 0，3 1，2 2，1 -1，2 0，1
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1、混合策略定义：在博弈
局中人i的策略空间为 Si
分布 P
i
pi1 ,, pimi

si1 ,, simi
“策
i
G S1 ,, Sn ; u1 ,, un 中，
b 0 用 q i 表示企业 i (i 1,2)的产量，
为企业的边际成本。试讨论企业的策略行为。
例2 伯川德（Bertrand）模型
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例3 要价仲裁博弈
两参与人为企业与工会，各自的策略空间为 S企 w企 w企 0
S工 w工 w工 0
一般
w工 w企 。 仲裁机制为：仲
例1、囚徒困境；性别战；智猪博弈
例2、三人博弈
三个博弈方1、2、3要在三个项目A、B、C中投票选 择一个，规则是同时投票且不允许弃权，得票数多的 项目当选。若得票数相同，则项目A当选。设不同项 目当选时三个博弈方的得益分别为 u1(A)=u2(B)=u3(C)=2 ， u1(B)=u2(C)=u3(A)=1 ， u1(C)=u2(A)=u3(B)=0。试找出此博弈的所有纳什均衡。
3，2
0，0
0，0
2，3
定理：若 P *是一个混合策略纳什均衡，则对于具有正概率的 每一个纯策略，都有Vi Pi* , P*i Vi sij , P*i




sij S i pij 0
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例 求NE
1，-1 -4，4 2，-2 -3，3 2，-2 0，0 0，0 0，0 4，-4
随机在其 m 个可选策略中选择的
pij 1

，则局中人i以概率
j 1,, mi
0 略”，称为一个混合策略。其中
pi1 pimi 1
2、混合策略组合（混合局势）及期望支付 用
P P ,, Pi ,, Pn 1
表示混合策略组合，其中 Pi
表示第i个参与者的混合策略。
3）线性规划方法
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五、纳什均衡的存在性 定理：每一个有限策略博弈（局中人的人数有限，每个局 中人的策略集都是有限集）至少存在一个纳什均衡（纯策 略的或混合策略的）。 定理：几乎所有有限同时博弈的纳什均衡的数目都有限，并且 这个有限数目是一个奇数。（奇数定理）
例1 求博弈的NE策略组合
2
第一章 绪论
一、基本概念
1、博弈论（game theory）定义
•研究决策主体的行为发生直接相互作用时的决策及这种决策的均 衡问题。 •一些个人或组织，面对一定的环境条件，在一定的规则下，同时 或先后，一次或多次，从各自允许选择的行为或策略中进行选择 并加以实施，各自取得相应结果的过程。本质为存在策略依存性 的决策问题。
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例6 设 1
s [10,0] s2 [3,0]
2 1
2 2
u1 (s) 10s1 7s1s2 s
求NE。
u2 s 15s2 5s1 s2 s
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例7 设 1
s [10,0] s2 [3,0]
2 1
2 2
u1 (s) 10s1 7s1s2 s
是一个纳什均衡，若对于每一个i，si* 是给定其他参与人选择
* * * si s1 ,, si*1 , si*1,, sn


的情况下第i个参与人的最优策略
即
* * ui si* , si ui si , si




si S i , i
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三、纳什均衡应用举例（解法） 1、划线法（相对优势策略划线法）（有限策略博弈）
自己要求的数额（
x1 为第一人要求的数额 ），否则，两
人一分钱都得不到。求NE。
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例2 考虑一个有N个人参加的游戏：每人可 任意放最多100元钱到一部可以生钱的机器 里，机器把所有人放进去的钱的总和增加到 原来的三倍，然后再平分给这N个人。求N 人博弈的NE。
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例 某个地方的居民均匀地环绕一个圆形湖居 住。两小贩来此地推销商品。1）若居民都选 择离自己较近的小贩购买商品，问小贩选择推 销地点博弈的NE是什么？2）若有三个小贩同 时到此地推销商品，则推销地点博弈的NE又是 什么？3）若圆形湖的周长是1（千米），居民 的购买量是Q=1-D，D为居民与小贩推销点距 离，则两个和三个小贩博弈的NE各是什么？
ui G 0
px
表示私人物品的价格， pG 为沙袋（公共物品）
的价格， M i 为居民i的预算收入。每个居民面临的问
题是：选择 xi , g i 在预算约束下使自己的效用最大？
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3、观察验证法 例1 两个人分100元钱，每人独立地提出自己要求的数额，
x 并将其写于纸上，分配规则为： 1 x2 100 ，每人得到
m1 m2
mn


此处s表示博弈的任一个纯策略组合（局势），S表示纯策略 组合集合，P（s）表示纯策略组合的联合分布。
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3、混合策略纳什均衡 在博弈
G S1 ,, Sn ; u1 ,, un 中，设 P* P* ,, Pn* 1
* 为一混合策略组合。若Vi P , Pi Vi P* i
4
各参与人的策略选择范围称为策略空间（策略集）。每个博弈 方各选一个策略构成一个策略组合（局势）。
3、博弈过程：各博弈方行为的顺序及博弈的规则等。关键是自 己选择时能否知道其它博弈方的选择。
4、支付（得益）函数：各策略组合下各博弈方获得的数值结果 （常为效用）。Ui=Ui(s1,…,si,…,sn)。不仅取决于自己的策略， 还取决于其它人的策略。 5、信息结构：博弈方对得益和博弈过程信息的掌握情况或程度。 6、理性基础：博弈方的行为选择是以个体理性还是集体理性为基 础，有完美理性还是有限理性。 若设定博弈时不专门设定后两个方面，就隐含假定是完全、完美 信息、完全理性的非合作博弈。
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左 上 中
中
右
0，2 1，0 -2，2 -1，0 0，3 1，2 2，1 -1，2 0，1
下
参与者i的期望支付可表示为：
Vi P Vi Pi , Pi Ps ui s ui s1i1 ,, snin p1i1 pnin
sS i1 1 i2 Байду номын сангаас1 in 1
课程主要内容
•绪论 •完全信息静态博弈 •完全信息动态博弈 •不完全信息静态博弈 •不完全信息动态博弈
1
主要参考文献： 1、张维迎．博弈论与信息经济学，上海三联书店，上海人民出版 社，1996 ． 2、谢识予．经济博弈论（第二版），复旦大学出版社，2002 ． 3、于维生，朴正爱．博弈论及其在经济管理中的应用，清华大学 出版社，2005 ． 4、王则柯，李杰．博弈论教程，中国人民大学出版社，2004 ．

T

u
满足条件：
f x m g i x u 0 i x x j i 1 j
j 1,, n
i 1,, m
gi x 0

ui 0

ui g i x 0
-1，-8 -2，-2
7
不坦白 -8，-1
妻子 2．性别战 足球 丈夫 时装
足球
时装
3，2 0，0
0，0 2，3
3．两寡头削价竞争 4．智猪博弈
8
第二章 完全信息静态博弈
一、表示形式：策略式（标准式） 二、纳什均衡：NE(Nash Equilibrium)
* * * * 博弈G= S1,, Sn ; u1 ,, un 中，策略组合 s s1 ,, si ,, sn
3
2、博弈与一般决策的区别
二、博弈模型要素
1、参与人：博弈中的决策主体。他的目的是通过选择策 略以最大化自己的支付（效用）水平。
虚拟参与人（自然）：指决定外生的随机变量的概率分布 的机制。自然作为虚拟参与人没有自己的支付与目标函数， 即所有的结果对它都是无差异的。 2、策略：参与人在给定信息集（信息集包含了一个参与人有关 其他参与人之前行动的知识，可理解为参与人在特定时刻有关 变量值的知识。一个参与人无法准确知道的变量全体属于一个 信息集）的情况下的行动规则。它规定参与人在什么时候选择 什么行动。[策略是可供局中人选择对付其它局中人的完整行动 方案。]


裁者认为合理工资为 x ，仲裁者知道 x 的大小，而工会与企业 不知道 x 的大小，认为是个随机变量，企业与工会知道它的分 1 布函数（概率密度函数）： x ~ N m, 2 ；若 x w工 w企 2


则
w w企 ，否则 w w工 。企业与工会各自应如何
决策？
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例4 公共地悲剧 设n个农民共同拥有一片草地，每年春天，每个农民要决定自 己养多少只羊。用 g i
5
三、博弈的分类（类型） 1．据是否具有有约束力的协议：非合作博弈；合作博弈 2．据理性程度：完全理性博弈；有限理性博弈 3．据博弈过程不同：静态博弈；动态博弈 4．据博弈方对得益信息的掌握情况：完全信息博弈；不完 全信息博弈 完全信息：指每个参与人的特征（类型）、策略空间、支 付函数在所有参与人中是共同知识。 5 ．据策略数量：有限博弈（参与人数有限且策略集均为有 限集）；无限博弈



Pi i
i 1,, n
成立，则称 P * 是一个混合策略纳什均衡。
4、求解混合策略纳什均衡的方法
1）期望支付值的极大化算法 左 上 中 下 中 右
例
0，2 1，0 -2，2 -1，0 0，3 1，2 2，1 -1，2 0，1
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2）等支付值方法（使用前一定要用严格下策消去法化简） 例 足球 足球 丈夫 时装 妻子 时装