导数的应用(单调性)专题
导数用于单调性和极值问题
专题十四、导数用于单调性和极值问题 题型一 利用导数判断函数的单调性1.证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减．题型二 利用导数求函数的单调区间2.求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝x 3－x ；(2)y ＝e x －x ＋1. ！3.求函数y ＝x 2－ln x 2的单调区间．题型三 已知函数单调性求参数的取值范围 4.已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围．5.(1)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，求b ，c 的值．(2)设f (x )＝ax 3＋x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围．…题型四 用单调性与导数关系证不等式6.当x ＞0时，证明不等式ln(x ＋1)＞x －12x 2.7.当0＜x ＜π2时，求证：x －sin x ＜16x 3.；题型五、函数的极值问题8．下列函数存在极值的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝1xC ．y ＝3x －1D ．y ＝x 29．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点 B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点…10．若函数y ＝f (x )是定义在R 上的可导函数，则f ′(x 0)＝0是x 0为函数y ＝f (x )的极值点的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．函数y ＝x ·e x 的最小值为________．12．若函数f (x )＝x x 2＋a(a >0)在[1，＋∞]上的最大值为33，则a 的值为________．题型六、利用极值求参数范围13.已知函数f (x )＝a sin x －b cos x 在x ＝π4时取得极值，则函数y ＝f (3π4－x )是( )A ．偶函数且图象关于点(π，0)对称…B ．偶函数且图象关于点(3π2，0)对称 C ．奇函数且图象关于点(3π2，0)对称 D ．奇函数且图象关于点(π，0)对称14．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f (x )在x ＝0处取得极值，并且在区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性．(1)求实数b 的值； (2)求实数a 的取值范围．题型七、导数用于解决实际问题15．用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )A ．6B ．8C ．10D ．1216．一工厂生产某型号车床，年产量为N 台，分批进行生产，每批生产量相同，每批生产的准备费为C 2元，产品生产后暂存库房，然后均匀投放市场(指库存量至多等于每批的生产量)．设每年每台的库存费为C 1元，求在不考虑生产能力的条件下，每批生产该车床________台，一年中库存费和生产准备费之和最小．题型八、图像问题17.二次函数y ＝f (x )的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是如图所示的一条直线，y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第Ⅰ象限B ．第Ⅱ象限C ．第Ⅲ象限D ．第Ⅳ象限18.设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如下图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( ):巩固练习：19.定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x ＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}20．函数f (x )＝sin x ＋2xf ′(π3)，f ′(x )为f (x )的导函数，令a ＝－12，b ＝log 32，则下列关系正确的是( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )<f (b )C ．f (a )＝f (b )D ．f (|a |)<f (b )—21.若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)22.已知函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是________．23.已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则实数m 的取值范围为________． 三、解答题24．求证：x >0时，1＋2x <e 2x . （25.设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性.26．已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求矩形的面积最大时的边长．·27.已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．28．设函数f (x )＝e x －ax －2.(1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，k 为整数，且当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0，求k 的最大值．|专题十四、导数用于单调性和极值问题参考答案1.证明 f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，又x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos x <0，∴x cos x －sin x <0，∴f ′(x )<0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数． 2.解 (1)f ′(x )＝3x 2－1＝(3x ＋1)(3x －1)，令f ′(x )>0，则x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，令f ′(x )<0，则x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33. …∴f (x )＝x 3－x 的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33. (2)y ′＝e x －1，令y ′>0，即e x －1>0，则x ∈(0，＋∞)；令y ′<0，即e x －1<0，则x ∈(－∞，0)，∴y ＝e x －x ＋1的单调增区间(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)． 3.解 ∵函数y ＝f (x )＝x 2－ln x 2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f ′(x )＝2x －2x ＝2x 2－1x＝2x －1x ＋1x， x (－∞，－1)－1 (－1,0) #(0,1)1 (1，＋∞)f ′(x )－＋－＋#f (x )↘ 1 ↗ ↘ 1 ↗ 22－1)，(0,1)上单调递减．4.解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax 2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立， "即2x 3－ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立． ∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立． ∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0(x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是(－5.解 (1)∵函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题设知－1<x <2是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集．∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个实根，∴－1＋2＝－23b ，(－1)×2＝c3， |即b ＝－32，c ＝－6.(2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，且f (x )有三个单调区间， ∴方程f ′(x )＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×1×3a >0，∴a <0. ∴a 的取值范围为(－∞，0)．6.审题指导 利用导数证明不等式，首先要构造函数f (x )＝ln(x ＋1)－x ＋12x 2，证明f (x )在(0，＋∞)上单调增，由f (x )>f (0)＝0证得．[规范解答] 令f (x )＝ln(x ＋1)－x ＋12x 2，(4分)则f ′(x )＝11＋x －1＋x ＝x 21＋x.(6分)当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(8分) ^于是当x ＞0时，f (x )＞f (0)＝0，∴当x ＞0时，不等式ln(x ＋1)＞x －12x 2成立．(12分)7.证明 设g (x )＝x －sin x －16x 3，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，g ′(x )＝1－cos x －12x 2＝2⎣⎡⎦⎤sin 2x 2－⎝⎛⎭⎫x 22.∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴0＜sin x ＜x ， ∴sin 2x 2＜⎝⎛⎭⎫x 22，∴g ′(x )＜0，∴g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减， ∴g (x )＜g (0)＝0，∴x －sin x ＜16x 3. 8.[答案] D[解析] 画出图像即可知y ＝x 2存在极值f (0)＝0. '9.[答案] D[解析] 本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题． f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x (1－2x )＝0可得x ＝2. 当0<x <2时，f ′(x )<0，f (x )递减，当x >2时 f ′(x )>0，∴f (x )单调递增．所以x ＝2为极小值点． 对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域．[解析] 如y ＝x 3，y ′＝3x 2，y ′|x ＝0＝0，但x ＝0不是函数y ＝x 3的极值点． 11.[答案] －1e[解析] y ′＝(x ＋1)e x ＝0，x ＝－1.&当x <－1时，y ′<0，当x >－1时y ′>0 ∴y min ＝f (－1)＝－1e12.[答案] 3－1[解析] f ′(x )＝x 2＋a －2x 2x 2＋a 2＝a －x 2x 2＋a2.当x >a 时f ′(x )<0，f (x )在(a ，＋∞)上是递减的，当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )在(－a ，a )上是递增的．当x ＝a 时，f (a )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意．∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，解得a ＝3－1.13.[答案] D[解析] ∵f (x )的图象关于x ＝π4对称， ∴f (0)＝f (π2)，∴－b ＝a ，∴f (x )＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin(x ＋π4)， ∴f (3π4－x )＝2a sin(3π4－x ＋π4)＝2a sin(π－x )＝2a sin x .|显然f (3π4－x )是奇函数且关于点(π，0)对称，故选D.14.[解析] (1)由导数公式表和求导法则得，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即得b ＝0.(2)令f ′(x )＝0，即3x 2＋2ax ＝0，解得x ＝0或x ＝－23a .依题意有－23a >0. 因为函数在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性， 所以应有2≤－23a ≤4，解得－6≤a ≤－3. 15.[答案] B[解析] 设截去的小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积为V cm 3，由题意，得V ＝x (48－2x )2(0<x <24)，V ′＝12(24－x )(8－x )．令V ′＝0，则在(0,24)内有x ＝8，故当x ＝8时，V 有最大值． 16.[答案]C 2N C 1[解析] 设每批生产x 台，则一年生产N x 批．一年中库存费和生产准备费之和y ＝C 1x ＋C 2Nx (0<x <N )． （y ′＝C 1－C 2Nx 2.由y ′＝0及0<x <N ，解得x ＝C 2NC 1(台)．根据问题的实际意义，y 的最小值是存在的，且y ′＝0有唯一解．故x ＝C 2NC 1台是使费用最小的每批生产台数．17.[答案] A[解析] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，∵二次函数y ＝f (x )的图象过原点，∴c ＝0，∴f ′(x )＝2ax ＋b ，由y ＝f ′(x )的图象可知，2a <0，b >0，∴a <0，b >0，∴－b 2a >0，4ac －b 24a ＝－b 24a >0，故选A. 18.[答案] A[解析] f (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上变化规律是减→增→减，因此f ′(x )的图象在(－∞，0)上，f ′(x )>0，在(0，＋∞)上f ′(x )的符号变化规律是负→正→负，故选A.19.[答案] B[解析] 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12， ∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数， ∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0， ∴当x <1时，g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B. .20.[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋2f ′( π3)， ∴f ′(π3)＝cos π3＋2f ′(π3)， 即f ′(π3)＝－12. ∴f (x )＝sin x －x . 又f ′(x )＝cos x －1≤0， 故f (x )在R 上递减．又∵－12<log 32， ∴f (－12)>f (log 32)， 即f (a )>f (b )． &21.[答案] A[解析] 令f (x )＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，显然当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当－1<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴在x ＝－1时，f (x )取极大值f (－1)＝m ＋2，在x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝m －2.∵f (x )＝0在[0,2]上有解，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1<0，f 2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，2＋m ≥0，∴－2≤m ≤2. 22.[答案] (－65，－316)[解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x －1)(x ＋2)， 由f (x )的图象经过四个象限知，若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧f －2>0，f1<0，此时无解；若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧f －2<0，f1>0，∴－65<a <－316，综上知，－65<a <－316.23.[答案] (－3，－2) )[解析] f ′(x )＝3x 2－3，设切点为P (x 0，y 0)，则切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，∵切线经过点A (1，m )，∴m －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)，∴m ＝－2x 30＋3x 20－3，m ′＝－6x 20＋6x 0，∴当0<x 0<1时，此函数单调递增，当x 0<0或x 0>1时，此函数单调递减，当x 0＝0时，m ＝－3，当x 0＝1时，m ＝－2，∴当－3<m <－2时，直线y ＝m 与函数y ＝－2x 30＋3x 20－3的图象有三个不同交点，从而x 0有三个不同实数根，故过点A (1，m )可作三条不同切线，∴m 的取值范围是(－3，－2)．24.[分析] 利用函数的单调性证明不等式是常用的方法之一，而函数的单调性，可利用其导函数的符号确定．[解析] 设f (x )＝1＋2x －e 2x ， 则f ′(x )＝2－2e 2x ＝2(1－e 2x )． 当x >0时，e 2x >1，f ′(x )＝2(1－e 2x )<0，所以函数f (x )＝1＋2x －e 2x 在(0，＋∞)上是减函数．当x >0时，f (x )<f (0)＝0，即当x >0时，1＋2x －e 2x <0，即1＋2x <e 2x . 25.[解析] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)f ′(x )＝a x ＋x ＋1－x －1x ＋12＝a x ＋2x ＋12~∵a ＝0，∴f ′(x )＝2x ＋12，根据导数的几何意义，所求切线的斜率k ＝f ′(1)＝12，而f (1)＝0.∴所求切线方程为y ＝12(x －1)， 即x －2y －1＝0.(2)f ′(x )＝a x ＋12＋2x x x ＋12＝ax 2＋2a ＋1x ＋ax x ＋121°当a ＝0时，f ′(x )＝2x ＋12>0，∴f (x )在(0，＋∞)递增． 令g (x )＝ax 2＋2(a ＋1)x ＋aΔ＝4(a ＋1)2－4a 2＝8a ＋42°当a >0时，Δ>0，此时g (x )＝0的两根x 1＝－a ＋1－2a ＋1a，x 2＝－a ＋1＋2a ＋1a《∵a >0，∴x 1<0，x 2<0.∴g (x )>0，∵x ∈(0，＋∞)，∴f ′(x )>0 故f (x )在(0，＋∞)递增．3°当a <0时，Δ＝8a ＋4≤0，即a ≤－12时，g (x )≤0，∴f ′(x )≤0. 故f (x )在(0，＋∞)递减． 当Δ>0，即－12<a <0时， x 1＝－a ＋1＋2a ＋1a >0， x 2＝－a ＋1－2a ＋1a>0 ∴令f ′(x )>0，x ∈(x 1，x 2)， f ′(x )<0，x ∈(0，x 1)∪(x 2，＋∞)；∴f (x )在(x 1，x 2)递增，在(0，x 1)和(x 2，＋∞)上递减．综上所述：当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)递增． 当－12<a <0时，f (x )在(x 1，x 2)递增，在(0，x 1)和(x 2，＋∞)递减(其中x 1＝－a ＋1＋2a ＋1a ，x 2＝－a ＋1－2a ＋1a)． 当a ≤－12时，f (x )在(0，＋∞)递减．26.[分析] 如图，设出AD 的长，进而求出|AB |表示出面积S ，然后利用导数求最值．[解析] 设矩形边长为AD ＝2x ，则|AB |＝y ＝4－x 2，则矩形面积S ＝2x (4－x 2)(0<x <2)， 即S ＝8x －2x 3，∴S ′＝8－6x 2，令S ′＝0，解得x 1＝23，x 2＝－23(舍去) .当0<x <23时，S ′>0；当23<x <2时，S ′<0， ∴当x ＝23时，S 取得最大值，此时，S 最大＝3239，y ＝83. 即矩形的边长分别为433、83时，矩形的面积最大．[点评] 本题的关键是利用抛物线方程，求出矩形的另一边长．27.[解析] (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由导数的几何意义，且切线与y ＝12x 垂直．得f ′(1)＝14－a －1＝－2，∴a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，∴f ′(x )＝14－54x 2－1x ＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0解得x ＝－1或5，－1不在定义域之内故舍去．∴当x ∈(0,5)，f ′(x )<0，∴f (x )在(0,5)递减．当x ∈(5，＋∞)，f ′(x )>0，∴f (x )在(5，＋∞)递增．∴f (x )在x ＝5时取极小值f (5)＝54＋14－ln5－32＝－ln5.28.[分析] [解析] (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，ln a )单调递减，在(ln a ，＋∞)单调递增．(2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1.故当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0等价于k <x ＋1e x －1＋x (x >0)． ① 令g (x )＝x ＋1e x －1＋x ， 则g ′(x )＝－x e x －1e x －12＋1＝e x e x －x －2e x －12. 由(1)知，函数h (x )＝e x －x －2在(0，＋∞)单调递增．而h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点．故g ′(x )在(0，＋∞)存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．当x ∈(0，α)时，g ′(x )<0；当x ∈(α，＋∞)时，g ′(x )>0.所以g (x )在(0，＋∞)的最小值为g (α)．又由g ′(α)＝0，可得e α＝α＋2，所以g (α)＝α＋1∈(2,3)．由于①式等价于k <g (α)，故整数k 的最大值为2.。
高考复习-利用导数研究函数的单调性及极值和最值
利用导数研究函数的单调性及极值和最值知识集结知识元利用导数研究函数的单调性问题知识讲解1．利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【典型例题分析】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．例题精讲利用导数研究函数的单调性问题例1.函数f（x）=e x-3x+2的单调减区间为__________．例2.若函数y=-x3+ax在[1，+∞）上是单调函数，则a的最大值是___．例3.函数f（x）=sin x-x，x∈（0，）的单调递增区间是_______．利用导数研究函数的极值与最值问题知识讲解1．利用导数研究函数的极值【知识点的知识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f （x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．2．利用导数研究函数的最值【利用导数求函数的最大值与最小值】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f （x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．例题精讲利用导数研究函数的极值与最值问题例1.函数y=lnx-e x在[1，e]最大值为（）A．1-e e B．C．-eD．例2.己知定义域为（1，+∞）的函数f（x）=e x+a-ax，若f（x）>0恒成立，则正实数a的取值范围为（）A．（0，e2]B．（0，e2）C．[1，e2]D．（1，e2）例3.函数f（x）=x2-lnx的最小值为（）A．1+ln2B．1-ln2C．D．当堂练习单选题练习1.定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且，若存在实数x使不等式f（x）≤m2-am-3对于a∈[0，2]恒成立，则实数m的取值范围为（）A．（-∞，-2]∪[2，+∞）B．C．D．练习2.若函数f（x）与g（x）满足：存在实数t，使得f（t）=g'（t），则称函数g（x）为f（x）的“友导”函数．已知函数为函数f（x）=x2lnx+x的“友导”函数，则k的取值范围是（）A．（-∞，1）B．（-∞，2]C．（1，+∞）D．[2，+∞）练习3.函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，若xf'（x）+f（x）=e x（x-2）且f（3）=0，则不等式f（x）<0的解集为（）A．（0，2）B．（0，3）C．（2，3）D．（3，+∞）练习4.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f′（x），f（x）>0且f（e）=1，若xf′（x）lnx+f（x）>0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则不等式<lnx的解集为（）A．{x|0<x<1}B．{x|x>1}C．{x|x>e}D．{x|0<x<e}练习5.已知函数f（x）=x3-x2+ax-a存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，x1+2x0=（）A．3B．2C．1D．0练习6.若函数f（x）=e x+axlnx（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（-∞，-e）B．（-∞，-2e）C．（e，+∞）D．（2e，+∞）填空题练习1.已知函数f（x）=，若∃，使得f（f（x0））=x0，则m的取值范围是_________练习2.设函数f（x）=e x（2x-1）-2ax+2a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）<0，则a的取值范围是_______．练习3.已知函数，若当x1，x2∈[1，3]时，都有f（x1）<2f（x2），则a的取值范围为______________．练习4.若函数f（x）=e-x（x2+ax-a）在R上单调递减，则实数a的值为____．练习5.已知函数，g（x）=|x-t|，t∈（0，+∞）．若h（x）=min{f（x），g （x）}在[-1，3]上的最大值为2，则t的值为___．练习6.已知函数f（x）=x3-ax2在（-1，1）上没有最小值，则a的取值范围是_________．解答题练习1.'已知函数f（x）=e x-a（x+1），其中a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若a>0时，函数f（x）恰有一个零点，求实数a的值．（3）已知数列{a n}满足a n=，其前n项和为S n，求证S n>ln（n+1）（其中n∈N）．'练习2.'已知函数f（x）=（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数f（x）图象的不同两点，其中0<x1<1，x2>1，是否存在实数a，使得OP⊥OQ，且函数f（x）在点Q切线的斜率为f′（x1-），若存在，请求出a的范围；若不存在，请说明理由．'练习3.'已知函数f（x）=x2+ax-alnx（1）若函数f（x）在上递减，在上递增，求实数a的值．（2）若函数f（x）在定义域上不单调，求实数a的取值范围．（3）若方程x-lnx-m=0有两个不等实数根x1，x2，求实数m的取值范围，并证明x1x2<1．'练习4.'已知函数f（x）=xlnx-x2-ax+1，a>0，函数g（x）=f′（x）．（1）若a=ln2，求g（x）的最大值；（2）证明：f（x）有且仅有一个零点．'练习5.'已知函数f（x）=e x-ax-b．（其中e为自然对数的底数）（Ⅰ）若f（x）≥0恒成立，求ab的最大值；（Ⅱ）设g（x）=lnx+1，若F（x）=g（x）-f（x）存在唯一的零点，且对满足条件的a，b不等式m（a-e+1）≥b恒成立，求实数m的取值集合．'。
导数专题：含参函数单调性讨论问题(原卷版)
导数专题：含参函数单调性讨论问题一、导数与函数的单调性1、用导数求函数的单调性的概念：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '≥，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '≤，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．【注意】（1）在某区间内()0(()0)f x f x ''><是函数()f x 在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．（2）可导函数()f x 在(,)a b 上是增(减)函数的充要条件是对(,)x a b ∀∈，都有()0(()0)f x f x ''><且()f x '在(,)a b 上的任何子区间内都不恒为零．2、确定函数单调区间的求法（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '；（3）解不等式()0f x '>，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式()0f x '<，解集在定义域内的部分为单调递减区间．二、含参函数单调性讨论依据讨论含参函数的单调性，其本质是导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主。
讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般需要分四个层次来分类：（1）最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；（2）导函数是都有变号零点，即“有没有”；（3）导函数的变号零点是否在定义域或指定区间内，即“在不在”；（4）导函数有多个零点时大小关系，即“大不大”。
三、两大类含参导函数的具体方法1、含参一次函数单调性讨论（1）讨论最高次项是否为0，正负情况；（2）求解导函数的根；（3）定义域划分为若干个单调区间，分别讨论每个区间上导函数的正负值.2、含参二次函数单调性的讨论（1）确定函数的定义域；（2）讨论最高次项是否为0，正负情况；（3）可因式分解型，解得12,x x （注意讨论12x x =）；不可因式分解型，讨论0∆≤及0∆>；（4）讨论1x 和2x 的大小，能因式分解的，注意讨论12x x =；（5）12,x x 将定义域划分为若干个单调区间，分别讨论每个区间上导函数的正负值，判断根和区间端点位置关系的方法有3种：端点函数值+对称轴；韦达定理；求根公式。
利用导数研究函数单调性5种常见题型总结(原卷版)
第10讲 利用导数研究函数单调性5种常见题型总结【考点分析】考点一：利用导数判断函数单调性的方法 ①求函数的定义域（常见的0,ln >x x ）；①求函数的导数，如果是分式尽量通分，能分解因式要分解因式；①令()0='x f ，求出根 ,,,321x x x ，数轴标根，穿针引线，注意x 系数的正负；④判断()x f '的符号，如果()0f x '>，则()y f x =为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =为减函数． 考点二：已知函数的单调性求参数问题①若()f x 在[]b a ,上单调递增，则()0f x '≥在[]b a ,恒成立（但不恒等于0）； ①若()f x 在[]b a ,上单调递减，则()0f x '≤在[]b a ,恒成立（但不恒等于0）．【题型目录】题型一：利用导数求函数的单调区间题型二：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 题型三：已知含量参函数在区间上单调性求参数范围 题型四：已知含量参函数在区间上不单调求参数范围 题型五：已知含量参函数存在单调区间求参数范围【典型例题】题型一：利用导数求函数的单调区间【例1】（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）函数()()2e x f x x =+的单调递减区间是（ ）A ．(),3-∞-B ．()0,3C ．()3,0-D ．()3,-+∞【例2】（2022·北京市第三十五中学高二阶段练习）函数ln xy x=的单调递增区间是（ ） A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()e,+∞C ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．()0,e【例3】（2023·全国·高三专题练习）函数21()ln 2f x x x =-的单调递减区间为（ ） A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(0,2)【例4】（2022·黑龙江·铁人中学高三开学考试）函数2()ln 1f x x x =--的单调增区间为_________.【例5】（2022·河南·安阳一中高三阶段练习（理））已知函数()()ln 1f x x x =+，则（ ） A ．()f x 在()1,-+∞单调递增 B ．()f x 有两个零点C ．曲线()y f x =在点11,22f⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的斜率为1ln2-- D ．()f x 是偶函数【例6】（2022·江苏·盐城市第一中学高三阶段练习）若函数()312f x x x =-在区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．3k ≤-或11k -≤≤或3k ≥ B ．31k -<<-或13k << C ．22k -<<D ．不存在这样的实数【例7】（2022·全国·高二课时练习多选题）设函数()e ln x f x x =，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的定义域是()0,∞+B ．当()0,1x ∈时，()f x 的图象位于x 轴下方C ．()f x 存在单调递增区间D ．()f x 有两个单调区间【例8】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数f (x )满足()()()2212e 02x f x f f x x -'=-+，则f (x )的单调递减区间为（ ） A ．()0,∞- B ．(1,+∞)C ．()1,∞-D ．(0,+∞)【例9】 （2022·全国·高二专题练习）已知函数()1xlnx f x e +=，（其中e ＝2.71828…是自然对数的底数）．求()x f 的单调区间.【例10】【2020年新课标2卷理科】已知函数()x x x f 2sin sin 2=.（1）讨论()x f 在区间()π,0的单调性；【例11】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知函数()ln f x x x x =-. (1)求()f x 的单调区间；【例12】（2022·陕西渭南·高二期末（文））函数()()2e x f x x ax b =++，若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为：450x y ++=. (1)求,a b 的值；(2)求函数()f x 的单调区间.【例13】【2020年新课标1卷理科】已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当1=a 时，讨论()x f 的单调性；【例14】【2019年新课标2卷理科】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论()x f 的单调性，并证明()x f 有且仅有两个零点；【题型专练】1．（2022湖南新邵县教研室高二期末（文））函数()4ln f x x x =-的单调递减区间为（ ） A ．()0,∞+ B ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）函数()()3e x f x x =-，则()f x 的单调增区间是（ ）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．(),3-∞D ．()3,+∞3．（2022·四川绵阳·高二期末（文））函数()2ln 2x x x f -=的单调递增区间为（ ）A ．()1,-∞-B ．()+∞,1C ．()1,1-D ．()1,04．（2022·广西桂林·高二期末（文））函数()3213f x x x =-的单调递减区间为（ ）A ．()02，B ．()()02∞∞-+，，，C ．()2+∞，D ．()0-∞，5．（2022·重庆长寿·高二期末）函数()65ln f x x x x=--的单调递减区间为（ ）A ．（0，2）B ．（2，3）C ．（1，3）D ．（3，+∞）6．（2023·全国·高三专题练习）函数21()ln 3f x x x =-的单调减区间为__________．7．（2022·全国·高二专题练习）函数2()2x x f x =的单调递增区间为__________.8.（2022·全国·高二专题练习）函数cos y x x =+的单调增区间为_________.9.（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的单调区间(1)()211x f x x +=-；(2)()21ln 2f x x x =-； (3)()3223361f x x x x =+-+；(4)()sin ,0f x x x x π=-<<；(5)()()22e xf x x x -=+；(6)()sin 2cos xf x x=+．10．（2022·全国·高二单元测试）已知函数()()321313x x x f x =-++，求()f x 的单调区间．11.函数()x e x x f -=2的递增区间是（ ） A ．()0,2B ．(),0∞-C ．(),0∞-，()2,+∞D ．()(),02,-∞+∞12.【2022年新高考2卷】已知函数f(x)=x e ax −e x ． (1)当a =1时，讨论f(x)的单调性；13.（2022·四川省绵阳南山中学高二期末（理））已知函数()29ln 3f x x x x =-+在其定义域内的一个子区间()1,1m m -+上不单调，则实数m 的取值范围是（ ）A ．51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．51,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.（2020·河北省石家庄二中高二月考）函数1()ln f x x x=的单调递减区间为____________. 15.（2022·全国·高三专题练习（文））函数(2)e ,0()2,0x x x f x x x ⎧-≥=⎨--<⎩的单调递减区间为__________．题型二：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像【例1】（2022·河南·高三阶段练习（文））如图为函数()f x （其定义域为[],m m -）的图象，若()f x 的导函数为()f x '，则()y f x '=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【例2】（2022·四川·遂宁中学外国语实验学校高三开学考试（理））设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图像如图所示，则()y f x =的图像最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知函数()y f x =在定义域3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内可导，其图象如图所示.记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0xf x '≤的解集为（ ）A ．[][)31,0,12,323⎛⎤--⋃⋃ ⎥⎝⎦B ．[]18,01,2,333⎡⎤⎡⎫-⋃⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．[)1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．31148,,,323233⎛⎫⎡⎤⎡⎫--⋃⋃ ⎪⎪⎢⎥⎢⎝⎭⎣⎦⎣⎭【例4】（2022·全国·高二单元测试）已知函数()f x 的导函数()'f x 图像如图所示，则()f x 的图像是图四个图像中的（ ）．A ．B ．C ．D ．【例5】（2022·广东潮州·高二期末多选题）已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则下列结论正确的为（ ）A ．曲线m 是()f x 的图象，曲线n 是()f x '的图象B ．曲线m 是()f x '的图象，曲线n 是()f x 的图象C ．不等式组()()02f x f x x >⎧⎨<<'⎩的解集为()0,1D ．不等式组()()02f x f x x >⎧⎨<<'⎩的解集为41,3⎛⎫⎪⎝⎭【题型专练】1．（2022·江苏常州·高三阶段练习）如图是()y f x '=的图像，则函数()y f x =的单调递减区间是（ ）A ．()2,1-B ．()()2,0,2,-+∞C ．(),1-∞-D ．()(),1,1,-∞-+∞2．（2022·吉林·东北师大附中高三开学考试）已知函数()y f x =的部分图象如图所示，且()f x '是()f x 的导函数，则（ ）A ．()()()()12012f f f f ''''-=-<<<B ．()()()()21012f f f f ''''<<<-=-C ．()()()()02112f f f f ''''>>>-=-D ．()()()()21021f f f f ''''<<<-<-3．（2022·福建莆田·高二期末）定义在()1,3-上的函数()y f x =，其导函数()y f x '=图像如图所示，则()y f x =的单调递减区间是（ ）A ．()1,0-B ．()1,1-C ．()0,2D ．()2,34．（2022·广东广州·高二期末）已知函数()y f x =的图象是下列四个图象之一，函数()y f x ='的图象如图所示，则函数()y f x =图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2022·北京·牛栏山一中高二阶段练习）设()f x '是函数()f x 的导函数，在同一个直角坐标系中，()y f x =和()y f x '=的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2022·福建宁德·高二期末多选题）设()f x 是定义域为R 的偶函数，其导函数为()f x '，若0x ≥时，()f x 图像如图所示，则可以使()()0f x f x '⋅<成立的x 的取值范围是（ ）A ．(),3-∞-B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,3题型三：已知含量参函数在区间上单调性求参数范围【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ax x x x f ++=2ln 的单调递减区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（ ）.A ．(],3a ∈-∞-B ．3a =-C ．3a =D ．(],3a ∈-∞【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()32391f x x mx mx =-++在()1,+∞上为单调递增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞- B ．[]1,1- C ．[]1,3 D ．[]1,3-【例3】（2022·浙江·高二开学考试）已知函数()sin cos f x x a x =+在区间ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1a >B ．1a ≥C ．1a >D ．1a ≥-【例4】（2022·全国·高二课时练习）若函数()2ln f x x ax x =-+在区间()1,e 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．(],3-∞C ．23,e 1⎡⎤+⎣⎦ D ．(2,e 1⎤-∞+⎦【例5】（2022·河南·荥阳市教育体育局教学研究室高二阶段练习）已知函数()321f x x x ax =+-+在R 上为单调递增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【例6】（2023·全国·高三专题练习）若函数1()sin 2cos 2f x x a x =+在区间(0,)π上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞-B ．[1,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．[1,)+∞【例7】（2022·山东临沂·高二期末）若对任意的()12,,x x m ∈+∞，且当12x x <时，都有121212ln ln 3x x x x x x ->-，则m 的最小值是________.【例8】（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()0ln 232>+-=a x x axx f ，若函数()x f 在[]2,1上为单调函数，则实数a 的取值范围是________.【题型专练】1．（2023·全国·高三专题练习）若函数2()ln 5f x x ax x =+-在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,3]-∞ B ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．253,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．25,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．（2022·山西·平遥县第二中学校高三阶段练习）若函数()ln 1f x x x ax =-+在[e,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(,2]-∞ C ．(2,)+∞ D ．[2,)+∞3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．0a ≥ B ．22a -≤≤ C ．2a ≥- D ．0a ≥或2a ≤-4.（2022·全国·高三专题练习）若函数()d cx bx x x f +++=23的单调递减区间为()3,1-，则=+c b （ ）A ．－12B ．－10C ．8D ．105.（2022·全国·高三专题练习）若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是_______. 6.函数321()3f x ax x a =-+在[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a >B ．1a ≥C ．2a >D ．2a ≥7.对于任意1x ，2[1,)x ∈+∞，当21x x >时，恒有2211ln 2()x a x x x <-成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞C ．(,2]-∞D ．(,3]-∞8.若函数2()ln f x x x x=++在区间[],2t t +上是单调函数，则t 的取值范围是（ ） A ．[1,2] B ．[1,)+∞C ．[2,)+∞D ．(1,)+∞题型四：已知含量参函数在区间上不单调，求参数范围【例1】（2022·河南宋基信阳实验中学高三阶段练习（文））已知函数()3212132a g x x x x =-++．若()g x 在()2,1--内不单调，则实数a 的取值范围是______．【例2】（2021·河南·高三阶段练习（文））已知函数()()41xf x ax x e =+-在区间[]1,3上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．2,416e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．32,3616e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【题型专练】 1.函数()()2244xf x e xx =--在区间()1,1k k -+上不单调，实数k 的范围是 .2.（2022·全国·高三专题练习）若函数()324132x a f x x x =-++在区间(1，4)上不单调，则实数a 的取值范围是___________.题型五：已知含量参函数存在单调区间，求参数范围【例1】（2023·全国·高三专题练习）若函数()21()ln 12g x x x b x =+--存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．()3,+∞ C ．(),3-∞D ．(],3-∞【例2】（2022·全国·高三专题练习）若函数()313f x x ax =-+有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．【例3】（2022·河北·高三阶段练习）若函数()2()e xf x x mx =+在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在单调递减区间，则m 的取值范围是_________．【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知()2ln ag x x x x=+-. (1)若函数()g x 在区间[]1,2内单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若()g x 在区间[]1,2上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围.【题型专练】1.（2022·全国·高三专题练习（文））若函数()()0221ln 2≠--=a x ax x x h 在[]4,1上存在单调递减区间”，则实数a 的取值范围为________.2.若函数()2ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为 .3.故函已知函数32()3()f x ax x x x =+-∈R 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()3,-+∞ B ．()()3,00,-+∞C ．()(),00,3-∞D ．[)3,-+∞4.已知函数()()R a x ax x x f ∈+++=123在⎪⎭⎫⎝⎛--31,32内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,√3] B ．(−∞,√3]C ．(√3,+∞)D ．(√3,3)。
利用导函数解决函数单调性问题
利用导函数解决函数单调性问题函数在数学中是一个非常重要的概念，在数学中广泛应用。
在学习函数的过程中，其中一个特性就是函数的单调性。
函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。
利用函数的导数可以帮助我们解决函数的单调性问题，本文将从导数的概念入手，依次介绍如何通过导数判断函数的单调性。
一、导数的概念首先，我们需要了解导数的概念。
在数学中，导数是函数在某一点的变化率。
可以理解为函数图像在某一点的切线斜率。
常见的记作方式为f'(x)，表示函数f(x)在x处的导数。
二、导数与函数单调性的关系导数与函数的单调性之间有着密不可分的联系。
一般来说，在函数的单调性问题中，我们需要判断函数的导数是否大于等于0或小于等于0，从而来判断函数的单调性。
1.导数大于0的函数如果一个函数在其定义域内的任意一点处的导数大于0，则说明该函数在该点左侧是单调递增的，在该点右侧是单调递减的。
换言之，如果一个函数在每个点的导数都大于0，则该函数是单调递增的。
2.导数小于0的函数如果一个函数在其定义域内的任意一点处的导数小于0，则说明该函数在该点左侧是单调递减的，在该点右侧是单调递增的。
换言之，如果一个函数在每个点的导数都小于0，则该函数是单调递减的。
3.导数等于0的函数如果一个函数在其定义域内的任意一点处的导数等于0，则需要进一步分析该点的特性。
如果该点左侧的导数小于0，右侧的导数大于0，则该函数在该点达到局部最小值；反之，如果该点左侧的导数大于0，右侧的导数小于0，则该函数在该点达到局部最大值。
如果该点左右两侧的导数符号相同，则该点为函数的拐点。
三、使用导数解决函数单调性问题的例题下面我们通过一个例题来演示如何利用导数解决函数单调性问题。
例题：已知函数f(x) = 2x^3 - 12x + 5，求函数f(x)的单调区间。
解题思路：1.首先求函数f(x)的一阶导数：f '(x) = 6x^2 - 12 。
2.分析一阶导数的符号：当6x^2 - 12 > 0时，即x^2 > 2，x > sqrt(2)或x < -sqrt(2)时，f(x)单调递增。
导数在单调性中的应用
一、 导数在单调性中的应用：函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的，其思维方法有：一、利用增（减）函数的定义判断单调性；二、导数法。
利用在(,)a b 内可导的函数()f x 在(,)a b 上递增（或递减）的充要条件是()0f x '≥（或()0f x '≤），(,)x ab∈恒成立（但()f x '在(,)a b 的任意子区间内都不恒等于0）。
方法一化简较为繁琐，比较适合解决抽象函数的单调性问题，而用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握.，特别是对于具体函数更加适用。
1. 利用导数求单调区间：例：函数y =x ln x 在区间(0，1)上是 A. 单调增函数 B. 单调减函数C.在(0，e 1)上是减函数，在(e 1,1)上是增函数 D.在(0，e 1)上是增函数，在(e1,1)上是减函数例2.函数y =sin 2x 的单调递减区间是__________.2. 利用导数和单调性的关系，选择导函数与原函数的图像问题：例：设f ′(x )是函数f (x )的导函数,y =f ′(x )的图象如下图所示,则y =f (x )的图象最有可能是（ACBD3、已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是( ）3. 利用导数和单调性的关系判断方程解的个数：例：方程3269100x x x -+-=的实根的个数是 （） A 、3 B 、2 C 、1 D 、04. 单调性的综合应用：例：已知()1xf x e ax =--。
（1）求()f x的单调增区间；（2）若()f x 在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a 使()f x 在(,0]-∞上单调递减，在[0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由。
专题02 利用导数求函数单调区间与单调性(解析版)
专题02 利用导数求函数单调区间与单调性专项突破一 利用导数判断或证明函数单调性一、多选题1．若函数f （x ）的导函数在定义域内单调递增，则f （x ）的解析式可以是（ ）A ．()2sin f x x x =+B ．()2f x x =C ．()1cos f x x =+D ．()2ln f x x x =+【解析】A ：由()()2sin 2cos f x x x f x x x '=+⇒=-，令()()2cos g x f x x x '==-，因为()2sin 0g x x '=+>，所以函数()f x '是实数集上的增函数，符合题意；B ：由()()22f x x f x x '=⇒=，因为一次函数()2f x x '=是实数集上的增函数，所以符合题意；C ：由()()1cos sin f x x f x x '=+⇒=-，因为函数()sin f x x '=-是周期函数，所以函数()sin f x x '=-不是实数集上的增函数，因此不符合题意；D ：由()()21ln 2f x x x f x x x '=+⇒=+，令()()12g x f x x x'==+，则()2221212x g x x x -'=-=，当2x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减，因此不符合题意， 故选：AB 二、解答题2．已知函数()()21e xf x x x a -=++-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 至少有两个零点，求a 的取值范围．【解析】(1)由2()(21)e (1)e (1)e x x x f x x x x x x ---'=+-++=-， 在(,0)-∞，(1,)+∞上()0f x '<，在(0,1)上()0f x '>， 所以()f x 在(,0)-∞上递减，(0,1)上递增，(1,)+∞上递减.(2)由（1）知：()f x 极小值为(0)1f a =-，极大值为3(1)ef a =-，要使()f x 至少有两个零点，则1030ea a -≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩，可得31e a ≤≤.3．设函数()323f x x ax b =-+.(1)若曲线()y f x =在点()()22f ,处与直线8y =相切，求a ，b 的值； (2)讨论函数()y f x =的单调性.【解析】(1)由题意知，2()36f x x ax '=-，又(2)8(2)0f f '==，即322232832620a b a ⎧-⨯+=⎨⨯-⨯=⎩，解得112a b ==，； (2)已知2()36f x x ax '=-，令()0f x '=，知1202x x a ==， 当0a =时，2()30f x x '=≥，此时函数()f x 在R 单调递增当0a >时，令()00f x x '>⇒<或2x a >，令()002f x x a '<⇒<<， 所以函数()f x 在(0)(2)a ∞∞-+，、，上单调递增，在(02)a ，上单调递减， 当0a <时，令()02f x x a '>⇒<或0x >，令()020f x a x '<⇒<<， 所以函数()f x 在(2)(0)a ∞∞-+，、，上单调递增，在(20)a ，上单调递减. 4．已知函数()1()x f x e axlnx a R =--∈，2()x g x xe x =-．当1a =时，求证：()f x 在(0,)+∞上单调递增. 【解析】证明：当1a =时，()ln 1x f x e x x =--，(0,)x ∈+∞，则()1x f x e lnx '=--，又1()x f x e x ''=-在(0,)+∞上单调递增，且1()202f ''<，且f ''（1）10e =->，01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得0001()0xf x e x ''=-=，当0(0,)x x ∈时，()0f x ''<，当0(x x ∈,)+∞时，()0f x ''>，()f x ∴'在0(0,)x 上单调递减，在0(x ,)+∞上单调递增，000()()1x f x f x e lnx ∴'≥'=--，0010x e x -=，∴001x e x =，00ln x x =-，001()10f x x x ∴'=+->，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增.5．已知函数()()()()211422ln f x x x a a x =-+-+-，讨论()f x 的单调性；【解析】因为2()(1)(14)(22)ln f x x x a a x =-+-+-，所以[][]2'2(1)(1)22()24(0)x a x a a f x x a x x x---+-=-+=>， 当1a ≤-时，110a a -<+≤，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上单调递增．当11a -<≤时，10a -≤，10a +>，若(1,1)x a a ∈-+，则'()0f x <，()f x 单调递减，若(0,1)x a ∈-，则'()0f x >，()f x 单调递增．当1a >时，110a a +>->，若(1,1)x a a ∈-+，则'()0f x <，()f x 单调递减，若 (0,1)x a ∈-或(1,)x a ∈++∞，则'()0f x >，()f x 单调递增．综上可得，当1a ≤-时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当11a -<≤时()f x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增；当1a >时，()f x 在(1,1)a a -+上单调递减，在(0,1)a -，(1,)a ++∞上单调递增． 6．已知a ∈R ，设函数()()ln ln f x a x a x =++. (1)讨论函数()f x 的单调性； (2)若()2ln xf x a x a≤+恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】(1)()()()11a x a a f x x a x x x a ++'=+=++，0x >且x a >-， ①0a ≥，()0f x '>，()f x 单调递增；②1a ≤-，()0f x '<，()f x 单调递减； ③10a -<<，01aa a ->->+， ,1a x a a ⎛⎫∈-- ⎪+⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，,1a x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪+⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增； 综上，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a ≤-时，()f x 在(,)a -+∞单调递减； 当10a -<<时，()f x 在,1a a a ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭单调递减，在,1a a ⎛⎫-+∞ ⎪+⎝⎭单调递增 (2)()()2ln ln lnxf x a x a x a x a=++≤+， 即()2ln ln 0a x a a x a +-+≤，令()()2ln ln h x a x a a x a =+-+， 则()232a a x a a h x a x a x a -+-'=-=++，令()0h x '=，可得21a x a-=， 当1a ≥时，()0h x '≤，则()h x 在()0,∞+单调递减，则只需满足()0ln ln 0h a a a =+≤，∴ln 0≤a ，解得01a <≤，∴1a =；当01a <<时，可得()h x 在210,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在21,a a ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭单调递减，则()()22max11ln 1ln 0a h x h a a a a a a ⎛⎫-==--+≤ ⎪⎝⎭，整理可得2ln 0a a a --≤，令()2ln a a a a ϕ=--，则()()()121121a a a a a aϕ-+-'=--=， ()1002a a ϕ'>⇒<<，()1012a a ϕ'<⇒>>，则可得()a ϕ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，则()max 13ln 2024a ϕϕ⎛⎫==--< ⎪⎝⎭，故01a <<时，()0h x ≤恒成立，综上，01a <≤；7．已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R .(1)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(2)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 【解析】（1）由题意2()f x x ax '=-，所以，当2a =时，(3)0f =，2()2f x x x =-'， 所以(3)3f '=，因此，曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程是3(3)y x =-， 即390x y --=.（2）因为()()()cos sin g x f x x a x x =+--，所以()()cos ()sin cos g x f x x x a x x ''=+---()()sin x x a x a x =---()(sin )x a x x =--， 令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在R 上单调递增，因为(0)0h =， 所以，当0x >时，()0h x >；当0x <时，()0h x <. （1）当0a <时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,)x a ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增； 当(,0)x a ∈时，0x a ->，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增.所以当x a =时()g x 取到极大值，极大值是31()sin 6g a a a =--，当0x =时()g x 取到极小值，极小值是(0)g a =-. （2）当0a =时，()(sin )g x x x x '=-， 当(,)x ∈-∞+∞时，()0g x '≥，()g x 单调递增；所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，()g x 无极大值也无极小值. （3）当0a >时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,0)x ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增； 当(0,)x a ∈时，0x a -<，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(,)x a ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增. 所以当0x =时()g x 取到极大值，极大值是(0)g a =-； 当x a =时()g x 取到极小值，极小值是31()sin 6g a a a =--.综上所述：当0a <时，函数()g x 在(,)a -∞和(0,)+∞上单调递增，在(,0)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是31()sin 6g a a a =--，极小值是(0)g a =-；当0a =时，函数()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，函数()g x 在(,0)-∞和(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是(0)g a =-，极小值是31()sin 6g a a a =--.专项突破二 利用导数求函数单调区间(不含参)一、单选题1．函数()1e 2xf x x =-的单调减区间是（ ）A ．(2),ln -∞B ．(ln2,)+∞C ．(–),2∞D ．(2,)+∞【解析】1()1e 2xf x '=-,由()0f x '<，得ln 2x >，所以()f x 的单调递减区间为(ln2,)+∞.故选：B2．函数()()2ln 2f x x x =-的单调递减区间为（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．112⎛⎫⎪⎝⎭， D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由题得函数的定义域为(0,)+∞.()121222x f x x x-'=-⨯=， 令1()0,02f x x '<∴<<.所以函数的单调递减区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A 3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，()()2ln 1f x x f x '=+，则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．,⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭【解析】由()()2ln 1f x x f x '=+得1()2(1)f x f x x''=+，所以(1)12(1)f f ''=+，(1)1f '=-， 2112()2x f x x x x -'=-=，因为0x >，所以由212()0x f x x -'=>得0x <<C ． 4．已知函数f (x )满足()()()2212e 02x f x f f x x -'=-+，则f (x )的单调递减区间为（ ） A ．(-∞,0)B ．(1,+∞)C ．(-∞,1)D ．(0,+∞)【解析】由题设()()()22e 0x f x f f x -''=-+，则()()()2202f f f ''=-+，可得()02f =，而()()2022e f f -'==，则()2e 22f '=，所以()212e 22xf x x x =-+，即()2e 2x f x x '=-+，则()00f '=且fx 递增，当0x <时0f x，即()f x 递减，故()f x 递减区间为(-∞,0).故选：A二、多选题 5．函数()1ln f x x x=的一个单调递减区间是（ ） A ．（e ，+∞）B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．（0，1e ）D ．（1e，1）【解析】()f x 的定义域为()()0,11,+∞，()()()'2210ln 1ln ln ln x x x x f x x x x x ⎛⎫-+⨯ ⎪+⎝⎭==-， 所以()f x 在区间()1,1,1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上()'0f x <，()f x 递减，所以AD 选项符合题意.故选：AD三、填空题6．函数()2ln f x x x x =+-的单调递增区间是______．【解析】()2ln f x x x x=+-的定义域为()0,∞+，()()()2222211221x x x x f x x x x x -+--='=--=，令()0f x '>，解得：2x >或1x <-， 因为定义域为()0,∞+，所以单调递增区间为()2,+∞.7．函数()2cos f x x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的增区间为___________.【解析】由已知得()12sin f x x =-'，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令()0f x '>，即12sin 0x ->，解得π06x <<，令()0f x '<，即12sin 0x -<，解得ππ62x <<， 则()f x 的单调递增区间为π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为:π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭.四、解答题8．已知函数2()ln 3f x x x x=++． (1)求函数()f x 的单调区间；(2)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．【解析】(1),()0x ∈+∞，22221232(32)(1)()3x x x x f x x x x x +--+=-+=='， 解()0f x '<得20,3x <<解()0f x '>得2,3x >所以()f x 的单调减区间是20,,()3f x ⎛⎤ ⎥⎝⎦的单调增区间是2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．(2)由（1）知(1)2f '=，而(1)5f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为52(1)y x -=-，即23y x =+．专项突破三 利用导数求函数单调区间(含参)1．设函数()e 2xf x ax =--，求()f x 的单调区间．【解析】()f x 的定义域为(),-∞+∞，()e xf x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增．若0a >，则当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>． 所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增． 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增． 2．已知函数()()21ln 12f x a x x a x =+-+. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )≥ 0对定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】(1)求导可得()(1)()(0)>'--=x a x f x x x①0a ≤时，令()0f x '<可得1x <，由于0x >知01x <<；令()0f x '>，得1x > ∴函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；②01a <<时，令()0f x '<可得1<<a x ；令()0f x '>，得1x >或x a <，由于0x >知0x a <<或1x >；∴函数()f x 在(,1)a 上单调递减，在(0,),(1,)+∞a 上单调递增； ③1a =时，()0f x '≥，函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增；④1a >时，令()0f x '<可得1x a <<；令()0f x '>，得x a >或1x <，由于0x >知01x <<或x a > ∴函数()f x 在(1,)a 上单调递减，在(0,1),(,)+∞a 上单调递增； (2)由（1）0a ≥时，1(1)02f a =--<，（不符合，舍去）当0a <时，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故函数在1x =处取得最小值，所以函数()0f x ≥对定义域内的任意x 恒成立时，只需要(1)0f ≥即可 ，∴12a ≤-.综上，12a ≤-.3．设函数()()32211,3f x x x m x =-++-其中0m >．（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率； （2）求函数()f x 的单调区间．【解析】（1）由题设，()3213f x x x =-+，则()22f x x x '=-，∴()11f '=，故点()()1,1f 处的切线斜率为1.（2）由题设，()()2221f x x x m '=-++-，又2244(1)40m m ∆=+-=>，∴()(1)(1)f x x m x m '=-+++-，且11m m -<+， 当0f x 时，11m x m -<<+，()f x 单调递增； 当0fx时，1x m <-或1x m >+，()f x 单调递减；∴()f x 在(1,1)m m -+上递增，在(,1)m -∞-、(1,)m ++∞上递减.4．已知函数()()22x xf x ae a e x =+--，讨论()f x 的单调性．【解析】()f x 的定义域为R ，()()()22211(21)x x x xf x ae a e ae e '=+--=-+，若0a ≤，则()0f x '<恒成立，故()f x 在(),-∞+∞上为减函数； 若0a >，则当ln x a <-时，()0f x '<，当ln x a >-时，()0f x '>， 故()f x 在()ln ,a -+∞上为增函数，在(),ln a -∞-上为减函数，综上，当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上为减函数；当0a >时，()f x 在()ln ,a -+∞上为增函数，在(),ln a -∞-上为减函数． 5．已知函数()21ln 2f x x a x ax =--()0a >． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的值．【解析】(1)()()21a f x x a x ax a x x'=--=--，令()0f x '=，得20x ax a --=．因为0a >，则240a a ∆=+>，即原方程有两根设为12,x x 0x >，所以10x =<（舍去），2x =则当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '> ()f x在⎛ ⎝⎭上是减函数，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上是增函数．(2)由（1）可知()()2min f x f x =．①若()20f x =，则()()220,0,f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即222222210,20,x alnx ax x ax a ⎧--=⎪⎨⎪--=⎩，可得2212ln 0x x --=，设()12ln h x x x =--，()h x 在()0,∞+上单调递减所以()0h x =至多有一解且()10h =，则21x =，代入解得12a =． ②若()20f x <，则()()220,0,f x f x ⎧<⎪⎨='⎪⎩，即222222210,20,x alnx ax x ax a ⎧--<⎪⎨⎪--=⎩，可得2212ln 0x x --<，结合①可得21>x ，因为211ex <<，21111ln e 2ee ef a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2102e e a a =+->，所以()y f x =在21,ex ⎛⎫⎪⎝⎭存在一个零点．当4x a >时，()2ln f x ax a x ax >--()ln 0a x x =->，所以()y f x =在()2,x +∞存在一个零点．因此()y f x =存在两个零点，不合题意 综上所述：12a =．6．已知函数()()e 1xf x m x =++()m ∈R .(1)当1m =时，求()f x 在()()22f ,处的切线方程； (2)讨论()f x 的单调性.【解析】(1)当1m =时，()e 2x f x x =+，()22e 4f =+，()e 2x f x '=+，()22e 2f '=+，故()f x 在()()22f ,处的切线方程为()()()22e 4e 22y x -+=+-，即()22e 2e 0x y +--=；(2)()e 1xx m f =++'，当10m +≥，即1m ≥-时，()0f x '>，()f x 在R 上单调递增； 当10+<m ，即1m <-时，由()0f x '>，得()ln 1x m >--，由()0f x '<，得()ln 1x m <--， ∴()f x 在()()ln ,1m -∞--上单调递减，在()(),ln 1m --+∞上单调递增． 综上所述，当1m ≥-时，()f x 在R 上单调递增；当1m <-时，()f x 在()()ln ,1m -∞--上单调递减，在()(),ln 1m --+∞上单调递增． 7．设函数2()(2)ln ()f x x a x a x a R =+--∈. (1)若1a =，求()f x 的极值； (2)讨论函数()f x 的单调性.【解析】(1)当1a =时，2()ln f x x x x =--(0)x >， 所以2121(21)(1)()21x x x x f x x x x x--+-'=--==， 当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增，当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减， 所以当1x =时，该函数有极小值(1)0f =，无极大值. (2)由2()(2)ln (0)f x x a x a x x =+-->，22(2)(2)(1)()2(2)a x a x a x a x f x x a x x x+--+-'⇒=+--==，当0a ≥时，当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增，当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减； 当0a <时，1()02af x x '=⇒=-，或21x =，当2a =-时，22(1)()0x f x x-'=≥，函数在0x >时，单调递增， 当2a <-时，12a ->， 当01x <<时，()0,()f x f x '>单调递增，当12a x <<-时，()0,()f x f x '<单调递减， 当2a x >-时，()0,()f x f x '>单调递增， 当20a -<<时，12a -<， 当02a x <<-时，()0,()f x f x '>单调递增， 当12a x -<<时，()0,()f x f x '<单调递减， 当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增，综上所述：当0a ≥时， ()f x 在(1,)+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减；当2a =-时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2a <-时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)2a -单调递减，在(,)2a -+∞上单调递增； 当20a -<<时，()f x 在(0,)2a -单调递增，在(,1)2a -单调递减，在(1,)+∞上单调递增 8．已知函数()2()ln(1)2f x x a x x =++++(其中常数0a >)，讨论()f x 的单调性； 【解析】21231()(21)11ax ax a f x a x x x +++=++=++， 记2()231g x ax ax a =+++，28a a ∆=-，①当0∆≤，即08a <≤时，()0g x ≥，故'()0f x ≥，所以()f x 在(1,)-+∞单调递增．②当0∆>，即当8a >时，()0g x =有两个实根1x ，2x 注意到(0)10g a =+>， (1)610g a =+>且对称轴3(1,0)4x =-∈-，故12(),1,0x x ∈-，所以当11x x -<<或2x x >时，()0>g x ，()0f x '>，()f x 单调递增；当2i x x x <<时，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减．综上所述，当08a <≤时，()f x 在(1,)-+∞单调递增；当8a >时，()f x 在(-和)+∞上单调递增，在上单调递减．专项突破四 利用函数单调性比较大小一、单选题1．已知ln 33a =，1e b =，ln 55c =，则以下不等式正确的是（ ） A ．c b a >> B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a >> 【解析】令()ln x f x x =,则()21ln x f x x -'=, 当0e x <<时,()()0,f x f x '>单调递增,当e x >时,()()0,f x f x '<单调递减,因为e<35<,所以()()()e 35f f f >>,所以b a c >>故选:C2．设11011,ln2,10a b c e ===，则（ ） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．a b c >> 【解析】根据题意，111,ln2110a b =>=<，则a b >， 构造函数()1(0)x f x e x x =-->，所以()10x f e x ='->恒成立，所以()1xf x e x =--在()0,∞+上单调递增，所以()110111001010f e f ⎛⎫=-->= ⎪⎝⎭，即1101110e >，所以c a >，故c a b >>.故选：A3．已知a =1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．b a c >>【解析】根据题意，ln55a =，1ln =e b e e -=，ln88c =. 令()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=，由()0f x '<得x e >；由()0f x '>得0x e <<； 则函数()f x 在()0e ，上单调递增，在(),e +∞上单调递减，又58e <<，所以()()()58f e f f >>，因此b a c >>．故选：D ．4．已知函数()sin f x x x =，ln 22a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，sin 3b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，(ln )c f π=，则a ，b ，c 大小（ ） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c b a <<【解析】由题意，函数()sin f x x x =，可得()sin cos f x x x x '=+，当(0,)2x π∈时，可得()0f x '>，()f x 单调递增，又由ln 21,sin ln 1223e ππ==>=，且3ln 2π<=， 所以ln 20sin ln 232πππ<<<<，所以a b c <<.故选：B. 5．已知()232ln 3ln 31,,e 3ea b c -===，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．c a b >> C ．b c a >> D ．a b c >> 【解析】由题可知22e ln ln 3ln e 3,,e 33a b c e ===，构造函数ln ()x f x x=，则21ln ()x f x x -'=， 所以()f x 在()0,e 单调递增，()e,∞+单调递减，所以()()max e f x f =，即c 最大；对于a 、b ，构造函数()()2e ,(e)g x f x f x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， 因为()222222e e ln ln 2ln e e e e x x x x x f x x-⎛⎫=== ⎪⎝⎭，令()()22ln e x x h x -=，得()21ln e x h x -'=， 在(,)e +∞上，()()22221ln 1ln 111ln 0e e x x g x x x x--⎛⎫=-=--> ⎪⎝⎭'，()g x 单调递增； 所以()()3e 0g g >=，从而()2e 303f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，(3)b f =，2()3e a f =，即b a >，综上，c b a >>.故选：A 6．若2e 2e x x y y ---<-，则（ ）A ．()ln 10y x -+<B ．()ln 10y x -+>C ．ln 0x y ->D ．ln 0x y -<【解析】令()2e x x f x -=-，则()2ln 2e 0x x f x -'=+>恒成立，故()2e x x f x -=-单调递增，由2e 2e x x y y ---<-可得：x y <，故()ln 1ln10y x -+>=，A 错误，B 正确；x y 可能比1大，可能等于1，也可能()0,1x y -∈，故不能确定ln x y -与0的大小关系，CD 错误. 故选：B7．已知21ln 2ln3,,e 49a b c ===，则（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【解析】设2ln ()x f x x =，则()()()e ,2,3a f b f c f ===，又312ln ()-'=x f x x ，于是当)x ∞∈+时，()0f x '<，故2ln ()x f x x =2e 3=<<，则有()()()3e 2f f f <<，即c a b <<.故选：B. 8．已知函数()f x '为函数()f x 的导函数，满足()tan ()x f x f x '⋅>，6a π⎛⎫= ⎪⎝⎭，4b π⎛⎫= ⎪⎝⎭，3c π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下面大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【解析】根据题意，()()tan ()tan ()0x f x f x x f x f x ''⋅>⇔⋅->，变换可得：()()()()cos tan 0tan 0tan sin f x f x x x f x x f x x x ⋅⎛⎫⎛⎫''->⇔-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin ()0cos sin x f x x x '⎛⎫⇔> ⎪⎝⎭， 解析可得，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0x >，()0sin f x x '⎛⎫> ⎪⎝⎭，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， cos 0x <，()0sin f x x '⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以函数()()sin f x g x x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以643sin sin sin 643f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<<，即2643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A. 9．已知ln a ππ=，2ln 2b =，c e =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b a c << 【解析】ln a ππ=，2ln 2b =，ln e c e e ∴== 构造函数()ln x f x x=且()2ln 1()ln x f x x -'= 当1x e <<时ln 1x <,此时()2ln 1()0ln x f x x -'=<;当x e >时ln 1x >,此时()2ln 1()0ln x f x x -'=>. 故()ln x f x x=当()1,x e ∈单调递减,当(,)x e ∈+∞单调递增. 故min ()()f x f e e c === 故,a c b c >> ，2224(4)ln 22ln 2ln 4b f ⋅==== 又40(4)()f f ππ>>∴> 即b a > ，故c a b <<，故选: B10．若01a b <<<，则（ ）A ．e e ln ln b a b a -<-B ．e e ln ln b a b a -≥-C ．e e a b b a ≤D ．e e a b b a >【解析】对于A,B,令()e ln x f x x =- ，则1()e x f x x'=-， 当01x <<时，1()e x f x x'=-单调递增，且2132123()e 20,()e 0232f f ''=-<=-=>> 故存在012(,)23x ∈ ，使得0()0f x '=， 则当0(0,)x x ∈时，()e ln x f x x =-递减，当0(,1)x x ∈时，()e ln x f x x =-递增，由于01a b <<<，此时()e ln ,()e ln a b f a a f b b =-=-大小关系不确定，故A,B 均不正确；对于C,D,设e g()=x x x ，则e (1)g ()=x x x x-'， 当01x <<时，()0g x '<，故e g()=xx x 单调递减， 所以当01a b <<<时，()()g a g b > ，即e e a b a b> ，即e e a b b a >， 故C 错误，D 正确，故选：D 11．设20222020a =，20212021b =，20202022c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >> 【解析】∵ln2020ln 2022ln20202021ln2021ln 2021ln20212022a b ==，构造函数()()2ln 1x f x x e x =≥+，()()21ln 1x x x f x x x +-'=+， 令()1ln g x x x x =+-，则()ln 0g x x '=-<，∴()g x 在)2,e ⎡+∞⎣上单减，∴()()2210g x g e e ≤=-<，故()0f x '<， ∴()f x 在)2,e ⎡+∞⎣上单减，∴()()202020210f f >>，∴()()2020ln 1ln 2021f a b f => ∴ln ln a b >.∴a b >，同理可得ln ln b c >，b c >，故a b c >>，故选：A二、多选题12．下列命题为真命题的个数是（ ）A．ln3< B．ln π<C．15< D．3eln2<【解析】设函数()0f x x =>，则()f x '==当20e x <≤时，()0f x '>，当2e x >时，()0f x '<，故()0f x x =>在2(0,e ) 上递增，在2(e ,)+∞ 上递减， 对于A ，由234e << ，故(3)(4)f f <,<， 即2ln 2,ln 322<<，A 正确； 对于B ，2e<π <e ，故(e)(π)f f <<ln πB 错误； 对于C ，21615e >> ，故(16)(15)f f <4ln 24<<故ln 22ln15<<，则ln 15<<，故C 正确； 对于D ，28e > ，故2(8)(e )f f <22e<，即3eln2<D 正确，故选：ACD专项突破五 函数与导函数图像关系一、单选题1．函数()y f x =在定义域3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内可导，图像如图所示，记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0f x '≥的解集为（ ）A ．[)1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1481,,233⎡⎤⎡⎤-⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．[]31,1,223⎛⎤--⋃ ⎥⎝⎦D ．3148,,2333⎛⎤⎡⎤--⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 【解析】()0f x '≥的解集即为()y f x =单调递增区间结合图像可得()y f x =单调递增区间为[]31,,1,223⎛⎤-- ⎥⎝⎦则()0f x '≥的解集为[]31,1,223⎛⎤--⋃ ⎥⎝⎦，故选：C ． 2．如图是函数y =f （x ）的导函数()y f x '=的图象，则下列判断正确的是（ ）A ．在区间()2,1-上f （x ）单调递增B ．在区间（1，3）上f （x ）单调递减C ．在区间()4,5上f （x ）单调递增D ．在区间（3，5）上f （x ）单调递增 【解析】由导数图象知，在区间32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上小于0，在3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭上大于0，函数f （x ）先减后增，A 错误； 在区间()1,2上大于0，在()2,3上小于0，函数f （x ）先增后减，B 错误；在区间()4,5上大于0，函数f （x ）单调递增，C 正确；在区间()3,4上小于0，在()4,5上大于0，函数f （x ）先减后增，D 错误.故选：C.3．函数f （x ）的图象如图所示，则()0x f x '⋅<的解集为（ ）A ．()()320,1--,B ．()(),13,-∞-⋃+∞C ．()()2,10,--⋃+∞D ．()(),31,-∞-⋃+∞ 【解析】由函数图象与导函数大小的关系可知：当()(),3,2,1x x ∞∈--∈-时，()0f x '<，当()()3,2,1,x x ∞∈--∈+时，()0f x '>，故当()()(),3,2,0,1,,x x x ∞∈--∈-∈+∞时，()0x f x '⋅>；当()0,1x ∈时，()0x f x '⋅<；当()3,2x ∈--时，()0x f x '⋅<，故()0x f x '⋅<的解集为()()320,1--,.故选：A4．若函数()y f x =的导函数图象如图所示，则该函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】由导函数图像可知，原函数的单调性为先单增后单减再单增，符合的只有A 选项. 故选：A5．已知()21cos 4f x x x =+，()f x '为()f x 的导函数，则()y f x '=的图像大致是（ ） A ．B ．C ． D ． 【解析】1()sin 2f x x x '=-，()'f x 为奇函数，则函数()f x '的图像关于原点对称，排除选项A 、D ，令()()g x f x '=，1()cos 2g x x '=-，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '<，()g x 在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，故选B ． 6．已知函数()y f x =的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）A ．()()()()224224f f f f ''<-<B ．()()()()222242f f f f '<<-C ．()()()()222442f f f f ''<<-D ．()()()()422422f f f f ''-<<【解析】由函数()f x 的图象可知，当0x ≥时，()f x 单调递增，所以(2)0f '>，(4)0f '>，(4)(2)0f f ->，由此可知，()'f x 在(0,)+∞上恒大于0，因为直线的斜率逐渐增大，所以()'f x 单调递增，结合导数的几何意义， 故(4)(2)(2)(4)42f f f f -''<<-，所以()()()()224224f f f f ''<-<，故选：A ．。
导数及其应用单调性
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率，表示函数图像在该点的切线 与x轴的夹角。
详细描述
函数在某一点的导数等于该点处的切线的斜率。切线与x轴的 夹角正切值即为该点的导数值。导数的正负表示切线与x轴夹 角的正负，正值表示夹角为锐角，负值表示夹角为钝角。
导数的计算方法
总结词
导数的计算方法包括基本初等函数的导数公式、复合函数的导数法则、链式法则和微分 法则等。
注意事项
在判断单调性时，需要先确定函数的 定义域，然后选择合适的区间进行判 断。
单调性的应用
01
极值问题
优化问题
02
03
方程求解
利用单调性可以求函数的极值点， 即在单调性改变的点处求函数的 值。
利用单调性可以解决一些优化问 题，例如求函数的最大值或最小 值。
利用单调性可以求解一些方程的 根，例如一元二次方程的根可以 通过函数的单调性进行判断。
详细描述
基本初等函数的导数公式包括指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数的导数公式。 复合函数的导数法则表示为$f(g(x))' = f'(g(x)) cdot g'(x)$，链式法则表示为$f(g(x))' = f'(g(x)) cdot g'(x)$。微分法则包括常数和变量的微分公式，以及微分的基本性质和运算规则。
03
导数在实际问题中的应用
最大值和最小值问题
最大值和最小值问题
导数可以用来研究函数的极值问题， 通过求导找到函数的驻点，然后判断 驻点附近的单调性，确定是否为极值 点。
单调性判定
导数大于0时，函数在该区间内单调递 增；导数小于0时，函数在该区间内单 调递减。
导数的应用(一)---单调性
01 课前自助餐 02 授人以渔 03 课外阅读
课前自助餐
函数的单调性 (1)设函数 y＝f(x)在某个区间内_可_导__，若 f′(x)__>_ 0，则 f(x) 在这个区间内为增函数；若 f′(x)__<_ 0，则 f(x)在这个区间内为 减函数． (2)求可导函数 f(x)单调区间的步骤： ①确定 f(x)的_定__义_域__； ②求导数 f′(x)； ③令 f′(x)__>_ 0(或 f′(x) _<__0)，解出相应的 x 的范围； ④当_f′_(x_)_>_0___时，f(x)在相应区间上是增函数；当_f_′(_x)_<_0___ 时，f(x)在相应区间上是减函数．
【思路】
根据题意当x≥0时f′(x)＝1－
2 3
cos2x>0，又f(x)
是定义在R上的奇函数，则f(x)在定义域上单调递增，tan
2π 5
>tanπ4 ＝1，0<cos2π 5 <1，log3cos2π 5 <0，由函数的单调性可得出
答案．
【解析】 由题意知当x≥0时，f′(x)＝1－23cos2x>0，所以f(x)在
2．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x) 的图象可能是( C )
解析 由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x) 单调递增；当0<x<x1时，f′(x)<0，即函数f(x)单调递减；当x>x1 时，f′(x)>0，即函数f(x)单调递增．观察选项易知C正确．故选C.
授人以渔
题型一 求函数的单调区间(自主学习)
例1 求下列函数的单调区间．
导数题型大全-利用导数求函数单调性问题
10、【答案】C
【解析】
试题分析：设 ，因为 ，所以 ,即函数 在R上单调递增。又因 ,所以
即 。故选C。
2、【答案】D
【解析】由题意得，当 时，函数 单调递增，故 ；
当 时，函数 先增再减然后再增，故导函数的符号为先正再负然后再正
3、【答案】B
【解析】函数的定义域是 ，令 ，得 函数 的单调递增区间是
4、【答案】D
【解析】由已知有 ，令 ，则 ，函数 在R单调递减， ，由 有 ，则
5、【答案】C
【解析】由函数 ，得 .
若函数 在区间 上单调递增,则 在区间 上恒成立.
即 在区间 上恒成立.
即 , 时， ，所以 在区间 上恒成立.
又 ，所以 .
6、【答案】A
【解析】由函数 ，可得 ， 有唯一极值点 有唯一根 ， 无根，即 与 无交点，可得 ，由 得， 在 上递增，由 得， 在 上递减， ，即实数 的取值范围是
7、【答案】B
因为 恒成立,所以 即函数F(x)在R上单调递减.
因为 ,所以 ，
则不等式即 ，
据此可得： .
所以 ，即不等式 解集为 .
典型题二综合练习
1、已知函数 ，则其导函数 的图象大致是（ ）
2、设函数 在定义域内可导， 的图象如图所示，则导函数 可能为
A. B. C. D.
3、函数 的单调递增区间是（）
A. B. C. D.
【答案】 ， 在 单调增加； ，故 在 单调减少，在 单调增加； ， 在 单调减少，在 单调增加；
【解析】 的定义域为 。
2分
（ⅰ）若 即 ，则 ，故 在 单调增加。
导数的应用(单调性、极值、最值)
例5 求出函数 f ( x) x3 3x2 24x 20 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 24 3( x 4)(x 2) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 4, x2 2. f ( x) 6x 6, f (4) 18 0, 故极大值 f (4) 60,
单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
通常用列表讨论。
例3 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
y 3 x2
当x 0时,导数不存在.
当 x 0时，f ( x) 0, 在(,0]上单调减少；
当0 x 时， f ( x) 0, 在[0,)上单调增加；
解
f
(
x)
2
(
x
1
2) 3
( x 2)
3
当x 2时, f ( x)不存在. 但函数f ( x)在该点连续.
当x 2时，f ( x) 0;
2、若在 (a, b) 内 f '( x) 0，则 f ( x) 在 (a, b) 上单减.
例1 讨论函数 y ex x 1 的单调性.
解 y ex 1, 且 D (, ).
在(,0)内, y 0,
函数单调减少； 在(0,)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
如 果 存 在 着 点x0的 一 个 邻 域, 对 于 这 邻 域 内 的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
导数与函数的单调性专题(基础)(学生版)
导数与函数的单调性专题（基础）一、高考地位在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.二、知识回顾1.利用导数判断函数单调性条件结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x) 0f(x)在(a，b)内单调递增f′(x) 0f(x)在(a，b)内单调递减f′(x)＝0f(x)在(a，b)内是函数2．在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的条件．3．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有()且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．三、题型归纳题型一求无参函数的单调区间使用场景知函数()f x的解析式判断函数的单调性解题模板第一步计算函数()f x的定义域；第二步求出函数()f x的导函数'()f x；第三步若'()0f x>，则()f x为增函数；若'()0f x<，则()f x为减函数.例1：已知函数()ln xx af x e +=. （1）当1a =时，判断()f x 的单调性； 【解析】（1）当1a =时，()ln 1xx f x e +=， 第一步，计算函数()f x 的定义域：第二步，求出函数()f x 的导函数'()f x ： 第三步，第四步，结论.【变式演练1】（1）函数()ln f x x x =的单调递减区间是（ ）A ．10,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,eD ．[),e +∞（2）设函数()()2xf x x e =−，则其单调增区间是（ ）A ．(),1−∞B ．(),2−∞C ．1,D ．()2+∞（3）函数()ln 1f x x x =+的单调递减区间是（ ）A ．1,e ⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭B ．1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(),e +∞（4）以下使得函数()cos 22sin f x x x =+单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭题型二 利用导数判断函数图像使用场景已知函数图像判断导函数图像或者已知导函数图像判断函数图像 解题模板 第一步 确定所给图像是函数图像还是导函数图像；第二步 导函数图像只看正负，函数图像只看增减； 第三步 根据导数与函数单调性极值之间的关系确定图像.例2：已知函数()y xf x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式演练2】（1）已知函数f (x )的导函数()2b x axc f x '＝++的图象如图所示，则f (x )的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．（2）设函数()f x 的图象如图所示，则导函数()f x '的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．题型三 判定含参数的函数的单调性使用场景函数()f x 的解析式中含有参数解题模板 第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步 讨论参数的取值范围，何时使得导函数'()f x 按照给定的区间大于0或小于0； 第三步 根据导函数的符号变换判断其单调区间.例3 已知函数()()2ln 21f x x x ax a R =+−+∈.（1）讨论()f x 的单调性；【解析】（1）第一步，计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ：第二步，讨论参数的取值范围，何时使得导函数'()f x 按照给定的区间大于0或小于0：第三步，根据导函数的符号变换判断其单调区间：【变式演练3】（主导函数是一次型函数）已知函数()=1,f x nx ax a R −∈.（1）讨论函数f x （）的单调性；【变式演练4】（主导函数为类一次型）已知函数()xf x e ax −=+.（I ）讨论()f x 的单调性；【变式演练5】（主导函数为二次型）（1）（2009天津理20）已知函数()()()2223e x f x x ax a a x =+−+∈R ，其中a ∈R ．当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．（2）已知函数()2ln af x x a x x=−−，0a ≥.讨论()f x 的单调性；（3）已知函数2()ln f x x x a x =−+，讨论f (x )在定义域上的单调性。
高中数学利用导数研究函数的单调性精选练习题
利用导数研究函数的单调性精选题24道一．选择题（共7小题） 1．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x>时，()()0x f x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是()A ．(-∞，1)(0-⋃，1) B ．(1-，0)(1⋃，)+∞C ．(-∞，1)(1--⋃，0)D ．(0，1)(1⋃，)+∞2．若函数1()s in 2s in 3f x x x a x=-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是() A ．[1-，1] B ．[1-，1]3C ．1[3-，1]3D ．[1-，1]3-3．函数32()f x a x b x c x d=+++的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．0a >，0b <，0c >，0d >B ．0a >，0b <，0c <，0d >C ．0a<，0b<，0c<，0d>D ．0a>，0b>，0c>，0d<4．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x x f x =．若2(log 5.1)ag =-，0.8(2)bg =，cg=（3），则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．ab c<<B ．cb a<< C ．ba c<< D ．bc a<<5．若函数21()f x xa x x=++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是()A ．[1-，0]B ．[1-，)+∞C ．[0，3]D ．[3，)+∞6．若定义在R 上的函数()f x 满足(0)1f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是( )A ．11()f k k <B ．11()1f k k >-C ．11()11f k k <-- D ．1()11k f k k >--7．已知21()s in ()42f x xx π=++，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是()A ．B ．C ．D ．二．填空题（共12小题）8．已知函数31()2xxf x x x ee=-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+…．则实数a 的取值范围是 ． 9．函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为 ． 10．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)f -=，当0x>时，()()0x f x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是 ．11．已知函数3(21)34,(),a x a x tf x x x x t-+-⎧=⎨->⎩…，无论t 取何值，函数()f x 在区间(,)-∞+∞总是不单调．则a 的取值范围是 ． 12．已知()f x 的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，()f x '是()f x 的导函数，且满足()2()0x f x f x '->，若()f x 是偶函数，f（1）1=，则不等式2()f x x>的解集为 ．13．函数()(3)xf x x e=-的单调递增区间是 ．14．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R∈有2()()f x f x x-+=，且在(0,)+∞上()f x x'>．若(2)f a f--（a ）22a-…，则实数a 的取值范围是 ．15．已知三次函数32()()32a b f x x xc xd a b =+++<在R 上单调递增，则a b c b a++-的最小值为 ． 16．已知函数21()22f x m xln x x=+-在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为 ．17．函数212yxln x=-的单调递减区间为 ．18．已知函数321()242f x x xx =+-+，则函数的单调减区间为 ．19．设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式1()(21)x e f x f x -<-的解为 ．三．解答题（共5小题） 20．已知函数1()f x x a ln xx=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．21．设函数2()(1)xf x x e=-⋅．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x …时，()1f x a x +…，求实数a 的取值范围．22．已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．24．已知函数()1f x x a ln x=--．（1）若()0f x …，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm++⋯+<，求m 的最小值．利用导数研究函数的单调性精选题24道参考答案与试题解析一．选择题（共7小题） 1．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x>时，()()0x f x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是()A ．(-∞，1)(0-⋃，1) B ．(1-，0)(1⋃，)+∞C ．(-∞，1)(1--⋃，0)D ．(0，1)(1⋃，)+∞【分析】由已知当0x >时总有()()0x f x f x '-<成立，可判断函数()()f xg x x=为减函数，由已知()f x 是定义在R 上的奇函数，可证明()g x 为(-∞，0)(0⋃，)+∞上的偶函数，根据函数()g x 在(0,)+∞上的单调性和奇偶性，模拟()g x 的图象，而不等式()0f x >等价于()0x g x ⋅>，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设()()f x g x x =，则()g x 的导数为：2()()()x f x f x g x x'-'=，当0x >时总有()()xf x f x '<成立，即当0x>时，()g x '恒小于0， ∴当0x>时，函数()()f xg x x =为减函数，又()()()()()f x f x f xg x g x xxx---====--，∴函数()g x 为定义域上的偶函数又(1)(1)01f g --==-，∴函数()g x 的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式()0()0f x xg x >⇔⋅>⇔0()0x g x >⎧⎨>⎩或0()0x g x <⎧⎨<⎩，01x ⇔<<或1x <-．故选：A ．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题． 2．若函数1()s in 2s in 3f x x x a x=-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是() A ．[1-，1] B ．[1-，1]3C ．1[3-，1]3D ．[1-，1]3-【分析】求出()f x 的导数，由题意可得()0f x '…恒成立，设c o s (11)t x t=-剟，即有25430ta t -+…，对t 讨论，分0t=，01t <…，10t -<…，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：函数1()s in 2s in 3f x x x a x=-+的导数为2()1c o s 2c o s 3f x x a x'=-+，由题意可得()0f x '…恒成立，即为21c o s 2c o s 03x a x -+…， 即有254c o s c o s 033x a x -+…，设co s (11)t x t =-剟，即有25430ta t -+…，当0t =时，不等式显然成立；当01t <…时，534a t t-…，由54tt-在(0，1]递增，可得1t =时，取得最大值1-，可得31a -…，即13a -…；当10t -<…时，534a t t-…，由54tt-在[1-，0)递增，可得1t=-时，取得最小值1，可得31a …，即13a …．综上可得a 的范围是1[3-，1]3．另解：设co s (11)tx t =-剟，即有25430ta t -+…，由题意可得5430a -+…，且5430a --…，解得a 的范围是1[3-，1]3．故选：C ．【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题． 3．函数32()f x a x b x c x d=+++的图象如图所示，则下列结论成立的是()A ．0a >，0b <，0c >，0d >B ．0a >，0b <，0c <，0d >C ．0a<，0b<，0c<，0d>D ．0a>，0b>，0c>，0d<【分析】根据函数的图象和性质，利用排除法进行判断即可． 【解答】解：(0)0f d =>，排除D ，当x→+∞时，y →+∞，0a ∴>，排除C ， 函数的导数2()32f x a x b x c'=++，则()0f x '=有两个不同的正实根，则12203b x x a+=->且123c x x a=>，(0)a>，b ∴<，0c>，方法22:()32f x a x b x c'=++，由图象知当当1x x <时函数递增，当12x x x <<时函数递减，则()f x '对应的图象开口向上，则0a>，且12203b x x a+=->且123c x x a=>，(0)a >，b ∴<，0c>，方法3:(0)0f d =>，排除D ，函数的导数2()32f x a x b x c'=++，则(0)0f c '=>，排除B ，C ，故选：A ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合函数的极值及(0)f 的符号是解决本题的关键．4．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x x f x =．若2(log 5.1)ag =-，0.8(2)bg =，cg=（3），则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．ab c<<B ．cb a<< C ．ba c<< D ．bc a<<【分析】由奇函数()f x 在R 上是增函数，则()()g x x f x =偶函数，且在(0,)+∞单调递增，则22(lo g 5.1)(lo g 5.1)a g g =-=，则22lo g 5.13<<，0.8122<<，即可求得ba c<< 【解答】解：奇函数()f x 在R 上是增函数，当0x>，()(0)0f x f >=，且()0f x '>，()()g x xf x ∴=，则()()()0g x f x xf x '=+'>，()g x ∴在(0,)+∞单调递增，且()()g x x f x =偶函数，22(lo g 5.1)(lo g 5.1)a g g ∴=-=， 则22lo g 5.13<<，0.8122<<，由()g x 在(0,)+∞单调递增，则0.82(2)(lo g 5.1)g g g<<（3），b a c∴<<，故选：C ．【点评】本题考查函数奇偶性，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于基础题． 5．若函数21()f x xa x x=++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是()A ．[1-，0]B ．[1-，)+∞C ．[0，3]D ．[3，)+∞【分析】由函数21()f x xa x x=++在1(2，)+∞上是增函数，可得21()20f x x a x'=+-…在1(2，)+∞上恒成立，进而可转化为212a xx-…在1(2，)+∞上恒成立，构造函数求出212xx-在1(2，)+∞上的最值，可得a 的取值范围．【解答】解：21()f x x a x x=++在1(2，)+∞上是增函数，故21()20f x x a x'=+-…在1(2，)+∞上恒成立，即212a x x-…在1(2，)+∞上恒成立，令21()2h x x x=-， 则32()2h x x'=--，当1(2x ∈，)+∞时，()0h x '<，则()h x 为减函数．1()()32h x h ∴<=3a ∴…．故选：D ．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档．6．若定义在R 上的函数()f x 满足(0)1f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是( )A ．11()f k k<B ．11()1f k k >- C ．11()11f k k <-- D ．1()11k f k k >-- 【分析】根据导数的概念得出()(0)1f x f k x->>，用11x k =-代入可判断出11()11f k k >--，即可判断答案． 【解答】解；()(0)(0)limx f x f f x →-'=-()1f x k '>>， ∴()(0)1f x f k x ->>，即()11f x k x+>>，当11xk =-时，11()1111k f k k k k +>⨯=---，即11()1111k f k k k >-=---故11()11f k k >--，所以11()11f k k <--，一定出错，另解：设()()1g x f x kx =-+，(0)0g =，且()()0g x f x k '='->，()g x 在R 上递增，1k >，对选项一一判断，可得C错．故选：C ．【点评】本题考查了导数的概念，不等式的化简运算，属于中档题，理解了变量的代换问题． 7．已知21()s in ()42f x xx π=++，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是()A ．B ．C ．D ．【分析】先化简2211()s in ()c o s 424f x xx xxπ=++=+，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B ，D ．再根据导函数的导函数小于0的x 的范围，确定导函数在(3π-，)3π上单调递减，从而排除C ，即可得出正确答案． 【解答】解：由2211()s in ()c o s 424f x xx xxπ=++=+，1()s in 2f x x x ∴'=-，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ． 又1()c o s 2f x x''=-，当33x ππ-<<时，1c o s 2x>，()0f x ∴''<，故函数()yf x ='在区间(3π-，)3π上单调递减，故排除C ．故选：A ．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减． 二．填空题（共12小题）8．已知函数31()2xxf x x x ee=-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+…．则实数a 的取值范围是 [1-，1]2．【分析】求出()f x 的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得()f x 在R 上递增；再由奇偶性的定义，可得()f x 为奇函数，原不等式即为221a a-…，运用二次不等式的解法即可得到所求范围． 【解答】解：函数31()2xxf x x x ee=-+-的导数为： 211()3220xxxxf x x e ee'=-++-+=…，可得()f x 在R 上递增；又331()()()220xxxxf x f x x x e ex x ee--+=-++-+-+-=，可得()f x 为奇函数，则2(1)(2)0f a f a -+…， 即有2(2)(1)f a f a --… 由((1))(1)f a f a --=--，2(2)(1)f a f a -…，即有221a a -…， 解得112a-剟，故答案为：[1-，1]2．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题． 9．函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为(1,)-+∞ ．【分析】构建函数()()(24)F x f x x =-+，由(1)2f -=得出(1)F -的值，求出()F x 的导函数，根据()2f x '>，得到()F x 在R 上为增函数，根据函数的增减性即可得到()F x 大于0的解集，进而得到所求不等式的解集． 【解答】解：设()()(24)F x f x x =-+，则(1)(1)(24)220F f -=---+=-=，又对任意x R∈，()2f x '>，所以()()20F x f x '='->，即()F x 在R 上单调递增， 则()0F x >的解集为(1,)-+∞，即()24f x x >+的解集为(1,)-+∞．故答案为：(1,)-+∞【点评】本题考查学生灵活运用函数思想求解不等式，解题的关键是构建函数，确定函数的单调性，属于中档题． 10．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)f -=，当0x>时，()()0x f x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是(-∞，1)(0-⋃，1) ．【分析】构造函数()()f x g x x=，利用()g x 的导数判断函数()g x 的单调性与奇偶性，画出函数()g x 的大致图象，结合图形求出不等式()0f x >的解集．【解答】解：设()()f xg x x=，则()g x 的导数为：2()()()x f x f x g x x'-'=，当0x >时总有()()xf x f x '<成立，即当0x>时，()g x '恒小于0， ∴当0x>时，函数()()f xg x x =为减函数，又()()()()()f x f x f xg x g x xxx---====--，∴函数()g x 为定义域上的偶函数又(1)(1)01f g --==-，∴函数()g x 的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式()0()0f x xg x >⇔⋅>⇔0()0x g x >⎧⎨>⎩或0()0x g x <⎧⎨<⎩，01x ⇔<<或1x <-．()0f x ∴>成立的x 的取值范围是(-∞，1)(0-⋃，1)．故答案为：(-∞，1)(0-⋃，1)．【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式的应用问题，是综合题目． 11．已知函数3(21)34,(),a x a x tf x x x x t-+-⎧=⎨->⎩…，无论t 取何值，函数()f x 在区间(,)-∞+∞总是不单调．则a 的取值范围是 12a …．【分析】首先分析3()f x x x=-，其单调区间．然后根据无论t 取何值，函数()f x 在区间(,)-∞+∞总是不单调，判断()(21)34f x a x a =-+-的单调性，求出a 的取值范围即可．【解答】解：对于函数3()f x x x=-，2()31f x x '=-x t>当2310x ->时，即3x>或3x<-此时3()f x x x=-，为增函数当2310x -<时，33x -<<x t>，3()f x x x∴=-，一定存在单调递增区间要使无论t 取何值， 函数()f x 在区间(,)-∞+∞总是不单调()(21)34f x a x a ∴=-+-不能为增函数210a ∴-…∴12a …故答案为：12a …．【点评】本题考查函数单调性的判定与应用，3次函数与1次函数的单调性的判断，属于中档题． 12．已知()f x 的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，()f x '是()f x 的导函数，且满足()2()0x f x f x '->，若()f x 是偶函数，f（1）1=，则不等式2()f x x>的解集为(-∞，1)(1-⋃，)+∞ ．【分析】构造函数2()()(0)f xg x x x=≠，依题意可知它是偶函数且在(0,)+∞上单调递增，于是2()f x x>等价转化为()g x g>（1），即(||)(|1|)||1g x g x >⇒>，从而可得答案．【解答】解：令2()()(0)f xg x x x=≠，则243()2()()2()()x f x x f x x f x f x g x xx'-'-'==，因为足()2()0x f x f x '->，所以，当0x>时，()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增． 又()f x 是偶函数，故2()()(0)f xg x x x=≠也是偶函数，而f（1）1=，故g （1）2(1)1f f==（1）1=，因此，2()f x x>⇔2()1f x x>，即()g x g >（1），即(||)(|1|)g x g >所以，||1x >，解得：1x >或1x<-．则不等式2()f x x>的解集为(-∞，1)(1-⋃，)+∞，故答案为：(-∞，1)(1-⋃，)+∞．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数2()()(0)f xg x x x=≠，并判断它为偶函数且在(0,)+∞上单调递增是关键，考查等价转化思想与逻辑思维能力及运算能力，属于中档题． 13．函数()(3)xf x x e=-的单调递增区间是(2,)+∞ ．【分析】先求出函数的导数，令导函数大于0，解不等式求出即可．【解答】解：()(2)xf x x e'=-，令()0f x '>，解得：2x >，()f x ∴在(2,)+∞递增，故答案为：(2,)+∞．【点评】本题考查了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题． 14．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R∈有2()()f x f x x-+=，且在(0,)+∞上()f x x'>．若(2)f a f --（a ）22a-…，则实数a 的取值范围是(-∞，1] ．【分析】令21()()2g x f x x=-，由()()g x g x -+=，可得函数()g x 为奇函数．利用导数可得函数()g x 在R 上是增函数，(2)f a f--（a ）22a-…，即(2)g a g-…（a ），可得2a a-…，由此解得a 的范围． 【解答】解：令21()()2g x f x x=-，2211()()()()022g x g x f x xf x x-+=--+-=，∴函数()g x 为奇函数．(0,)x ∈+∞时，()()0g x f x x '='->，故函数()g x 在(0,)+∞上是增函数，故函数()g x 在(,0)-∞上也是增函数， 由(0)0f =，可得()g x 在R 上是增函数． (2)f a f--（a ）22a-…，等价于2(2)(2)2a f a f---…（a ）22a-，即(2)g a g-…（a ），2a a∴-…，解得1a …，故答案为：(-∞，1]．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题． 15．已知三次函数32()()32a b f x x xc xd a b =+++<在R 上单调递增，则a b c b a++-的最小值为3 ．【分析】由题意得2()f x a x b x c'=++在R 上恒大于或等于0，得0a>，△240ba c =-…，将此代入a b c b a++-，将式子进行放缩，以b a为单位建立函数关系式，最后构造出运用基本不等式的模型使问题得到解决． 【解答】解：由题意2()0f x a x b x c '=++…在R 上恒成立，则0a>，△240ba c =-…．∴222222111()441b b a a b ba b c aa b a c aa b b aa b aa b aa++++++++==----…令(1)b tt a=>，222111(2)1(13)194(16)31414141t ta b c t t t b at t t t +++++-+===-++-----厖．（当且仅当4t =，即4bc a==时取“=” )故答案为：3【点评】本题考查了利用导数工具研究三次函数的单调性以及函数与方程的综合应用问题，属于中档题． 16．已知函数21()22f x m xln x x=+-在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为[1，)+∞ ．【分析】函数21()22f x m xl nx x =+-在定义域(0)x >内是增函数⇔2121()20f x m x mxx x'=+-⇔-厖对于任意0x>．⇔221()m a xm xx-…．利用导数即可得出．【解答】解：函数21()22f x m x l n xx =+-在定义域(0)x >内是增函数，∴1()20f x m x x'=+-…，化为221m xx-…．令221()g x xx=-，233222(1)()x g x xxx-'=-+=-，解()g x '>，得01x <<；解()0g x '<，得1x >．因此当1x =时，()g x 取得最大值，g （1）1=．1m ∴…．故答案为[1，)+∞．【点评】正确把问题等价转化、利用导数研究函数的单调性、极值与最值是解题的关键． 17．函数212yxln x=-的单调递减区间为(0，1] ．【分析】根据题意，先求函数212yxln x=-的定义域，进而求得其导数，即211xy x x x-'=-=，令其导数小于等于0，可得210x x -…，结合函数的定义域，解可得答案． 【解答】解：对于函数212yxln x=-，易得其定义域为{|0}x x>，211x y x xx-'=-=，令210x x-…，又由0x>，则221010x x x-⇔-剟，且0x>；解可得01x <…，即函数212yxln x=-的单调递减区间为(0，1]，故答案为(0，1]【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间，注意首先应求函数的定义域． 18．已知函数321()242f x x xx =+-+，则函数的单调减区间为2[1,]3- ．【分析】对函数进行求导即可求出单调区间． 【解答】解：31()242f x x x x =+-+2()32(32)(1)f x x x x x ∴'=+-=-+令2()0,13f x x '-剟?．∴函数的单调减区间为2[1,]3-．【点评】此题较为容易，考查了导数与函数的单调性问题，注意区间端点的取值就可以了． 19．设定义域为R的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式1()(21)x ef x f x -<-的解为(1,)+∞ ．【分析】令()()xf xg x e=，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解出即可．【解答】解：令()()xf xg x e=，则()()()xf x f xg x e'-'=>，故()g x 在R 递增， 不等式1()(21)x e f x f x -<-，即21()(21)xx f x f x ee--<，故()(21)g x g x <-，故21xx <-，解得：1x >，故答案为：(1,)+∞【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题． 三．解答题（共5小题） 20．已知函数1()f x x a ln xx=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．【分析】（1）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可． （2）将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到结论． 【解答】解：（1）函数的定义域为(0,)+∞， 函数的导数22211()1a xa x f x xxx-+'=--+=-，设2()1g x x a x =-+，当0a …时，()0g x >恒成立，即()0f x '<恒成立，此时函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，当0a>时，判别式△24a =-，①当02a <…时，△0…，即()0g x …，即()0f x '…恒成立，此时函数()f x 在(0,)+∞上是减函数， ②当2a>时，x ，()f x '，()f x 的变化如下表：综上当2a …时，()f x 在(0,)+∞上是减函数，当2a>时，在(02和2，)+∞上是减函数，则22上是增函数．（2）由（1）知2a>，不妨设12x x <，则121x x <<<，121x x =，则1221122112121()()()(1)()2()()f x f x x x a ln x ln x x x a ln x ln x x x -=-++-=-+-，则12121212()()()2f x f x a ln x ln x x x x x --=-+--，则问题转为证明12121ln x ln x x x -<-即可，即证明1212ln x ln x x x ->-，则111111ln x lnx x x ->-， 即11111ln x ln x x x +>-，即证11112ln x x x >-在(0,1)上恒成立，设1()2h x ln x x x=-+，(01)x <<，其中h （1）0=， 求导得222222121(1)()10x x x h x xxxx-+-'=--=-=-<，则()h x 在(0,1)上单调递减，()h x h∴>（1），即120ln xx x-+>，故12ln x x x>-，则1212()()2f x f x a x x -<--成立．（2）另解：注意到11()()f x a ln x f x x x=--=-，即1()()0f x f x +=，不妨设12x x <，由韦达定理得121x x =，122x x a +=>，得121x x <<<，121x x =，可得221()()0f x f x +=，即12()()0f x f x +=，要证1212()()2f x f x a x x -<--，只要证2212()()2f x f x a x x --<--，即证22220a a ln x a x x -+<，2(1)x >，构造函数()2a h x a ln x a x x=-+，(1)x >，22(1)()a x h x x--'=…，()h x ∴在(1,)+∞上单调递减，()h x h∴<（1）0=，20a a ln x a x x∴-+<成立，即22220a a ln x a x x -+<，2(1)x >成立．即1212()()2f x f x a x x -<--成立．【点评】本题主要考查函数的单调性的判断，以及函数与不等式的综合，求函数的导数，利用导数的应用是解决本题的关键．综合性较强，难度较大． 21．设函数2()(1)xf x x e=-⋅．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x …时，()1f x a x +…，求实数a 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可． （2）化简()(1)(1)xf x x x e=-+．()1f x a x +…，下面对a 的范围进行讨论：①当1a …时，②当01a <<时，设函数()1xg x e x =--，则()10(0)xg x e x '=->>，推出结论；③当0a …时，推出结果，然后得到a 的取值范围．法二：0x …时，2()(1)10xg x e x a x =-++…恒成立，推出()g x '，求解[()]g x ''，当(0)10g a '=-…时，判断函数的单调性，判断满足题意，当(0)10g a '=-<时，推出()(0)0g m g <=，不合题意，得到结果． 【解答】解：（1）因为2()(1)xf x x e=-，x R∈，所以2()(12)xf x x x e'=--，令()0f x '=可知1x=-±当1x<--1x>-+()0f x '<，当11x --<<-+时()0f x '>，所以()f x在(,1-∞--，(1-+)+∞上单调递减，在(1--，1-+上单调递增；（2）由题可知()(1)(1)xf x x x e=-+．下面对a 的范围进行讨论：①当1a …时，设函数()(1)xh x x e=-，则()0(0)xh x x e x '=-<>，因此()h x 在[0，)+∞上单调递减， 又因为(0)1h =，所以()1h x …，所以()(1)()11f x x h x x a x =+++剟；②当01a <<时，设函数()1xg x e x =--，则()10(0)x g x e x '=->>，所以()g x 在[0，)+∞上单调递增， 又(0)1010g =--=，所以1x e x +…．因为当01x <<时2()(1)(1)f x x x >-+，所以22(1)(1)1(1)x x a x x a x x -+--=---，取0(0,1)2x =，则2000(1)(1)10x x a x -+--=，所以00()1f x a x >+，矛盾；③当0a …时，取0(0,1)2x =，则20000()(1)(1)11f x x x a x >-+=+…，矛盾；综上所述，a 的取值范围是[1，)+∞． （2）法二：0x …时，2()(1)10x g x e x a x =-++…恒成立，2()(21)x g x e x x a'=+-+，2[()](41)0(0)xg x e x x x ''=++>…，()g x '在0x …时单调递增，当(0)10g a '=-…时，0x>时()0g x '>恒成立，()g x 单调递增，则0x …时，()(0)0g x g =…，符合题意，当(0)10g a '=-<时，(||)0g a '>，于是存在0m>使得()g m '=，当0x m<<时，()0g x '<，()g x 单调递减，有()(0)0g x g <=，不合题意，所以1a …．综上所述，a 的取值范围是[1，)+∞．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力． 22．已知函数2()(2)(1)xf x x e a x =-+-．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出()f x 的导数，讨论当0a …时，2e a<-时，2e a=-时，02e a -<<，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a 讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由2()(2)(1)x f x x e a x =-+-，可得()(1)2(1)(1)(2)xxf x x e a x x e a '=-+-=-+，①当0a …时，由()0f x '>，可得1x>；由()0f x '<，可得1x<，即有()f x 在(,1)-∞递减；在(1,)+∞递增（如右上图）； ②当0a <时，（如右下图）， 由20xe a +=，可得(2)x ln a =-，由(2)1ln a -=，解得2e a=-，若2e a =-，则()0f x '…恒成立，即有()f x 在R 上递增；若2e a <-时，由()0f x '>，可得1x<或(2)x ln a >-；由()0f x '<，可得1(2)x ln a <<-．即有()f x 在(,1)-∞，((2)ln a -，)+∞递增；在(1，(2))ln a -递减； 若02e a -<<，由()0f x '>，可得(2)xln a <-或1x>；由()0f x '<，可得(2)1ln a x -<<．即有()f x 在(-∞，(2))ln a -，(1,)+∞递增；在((2)ln a -，1)递减； （Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当0a>时，()f x 在(,1)-∞递减；在(1,)+∞递增， 且f（1）0e =-<，x→+∞，()f x →+∞；当x→-∞时()0f x >或找到一个1x <使得()0f x >对于0a>恒成立，()f x 有两个零点；②当0a =时，()(2)xf x x e=-，所以()f x 只有一个零点2x=；③当0a <时， 若2e a<-时，()f x 在(1，(2))ln a -递减，在(,1)-∞，((2)ln a -，)+∞递增，又当1x …时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点；当2e a -…时，在(-∞，(2))ln a -单调增，在(1,)+∞单调增，在((2)ln a -，1)单调减， 只有((2))f ln a -等于0才有两个零点，而当1x …时，()0f x <，所以只有一个零点不符题意．综上可得，()f x 有两个零点时，a 的取值范围为(0,)+∞．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题． 24．已知函数()1f x x a ln x=--．（1）若()0f x …，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm++⋯+<，求m 的最小值．【分析】（1）通过对函数()1(0)f x x a ln x x =-->求导，分0a …、0a>两种情况考虑导函数()f x '与0的大小关系可得结论；（2）通过（1）可知1ln x x -…，进而取特殊值可知11(1)22kkln +<，*k N∈．一方面利用等比数列的求和公式放缩可知2111(1)(1)(1)222ne ++⋯+<，另一方面可知2111(1)(1)(1)2222n++⋯+>，从而当3n …时，2111(1)(1)(1)(2222n++⋯+∈，)e ，比较可得结论．【解答】解：（1）因为函数()1f x x a ln x=--，0x>，所以()1a x a f x x x-'=-=，且f（1）0=．所以当0a …时()0f x '>恒成立，此时()yf x =在(0,)+∞上单调递增，故当01x <<时，()f x f <（1）0=，这与()0f x …矛盾；当0a>时令()0f x '=，解得x a=，所以()y f x =在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，即()m in f x f=（a ），若1a≠，则f （a ）f<（1）0=，从而与()0f x …矛盾；所以1a =；（2）由（1）可知当1a =时()10f x x ln x =--…，即1ln x x -…，所以(1)ln xx +…当且仅当0x=时取等号，所以11(1)22kkln +<，*k N∈．221111111(1)(1)(1)112222222nnnln ln ln ++++⋯++<++⋯+=-<，即2111(1)(1)(1)222ne++⋯+<；因为m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm++⋯+<成立，当3n=时，23111135(1)(1)(1)222264+++=>，所以m 的最小值为3．【点评】本题是一道关于函数与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查转化与化归思想，考查运算求解能力，考查等比数列的求和公式，考查放缩法，注意解题方法的积累，属于难题．。
导数在研究函数中应用之函数单调性
导数在研究函数中应用之函数单调性函数的导数在研究函数的性质时有着广泛的应用，其中之一就是研究函数的单调性。
函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。
在实际应用中，研究函数的单调性可以帮助我们分析函数的变化趋势，找出函数取值的最大值和最小值，进而解决一些实际问题。
首先，我们来回顾一下函数的导数定义：对于函数y=f(x)，如果在点x处导数存在，那么函数在点x处的导数就是函数在该点的切线斜率，用符号f'(x)表示。
注意，函数的导数可以看作是函数的变化率，因此函数在其中一区间上单调增加的条件就是函数在该区间上导数恒大于0；同理，函数在其中一区间上单调减少的条件就是函数在该区间上导数恒小于0。
在研究函数的单调性时，我们可以通过分析函数的导数来判断函数在其中一区间上的单调性。
具体来说，我们通过以下几个步骤来研究函数的单调性：1.首先，找出函数的定义域。
函数的定义域是指使得函数有意义的x的取值范围。
在研究函数单调性时，我们只关注函数的定义域内部的区间。
2.接下来，求出函数的导函数。
导函数是函数的导数函数，用来描述函数的变化趋势。
3.然后，解方程f'(x)=0，找出函数导数的零点。
当导数的值为0时，函数可能存在极值点，因此我们需要找出这些点。
4.根据求出的导数的零点，将函数的定义域划分成多个区间，在每个区间内分别讨论函数的单调性。
5.最后，根据导函数的正负变化情况判断函数在每个区间上的单调性。
导函数的正负变化可以通过判断导函数的符号来实现。
如果导函数在一些区间上始终为正，那么函数在该区间上单调增加；如果导函数在一些区间上始终为负，那么函数在该区间上单调减少。
通过以上分析，我们可以得出一个重要结论：函数在导数大于0的区间上单调增加，在导数小于0的区间上单调减少。
当然，导数为0的点除外，因为这些点可能是函数的极值点。
函数的单调性在实际应用中有着很重要的作用。
例如，我们在经济学中经常研究产品的生产与销售关系。
导数的应用函数的单调性
导数的应用函数的单调性1. 导数与函数的单调性在数学中，导数是函数的重要性质之一，它描述了函数在每个点的变化率。
函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势，可以是递增、递减或者保持不变。
通过导数的概念，我们可以研究函数的单调性。
在导数为正的区间上，函数递增；在导数为负的区间上，函数递减；在导数为0的点处，函数可能存在极值。
2. 导数与函数的单调性的关系函数的单调性与其导数之间存在重要的关系。
具体而言，对于一个可导函数，我们可以根据其导数的正负性来判断函数在哪些区间上单调。
•如果函数的导数在某个区间上恒大于0，则函数在该区间上严格递增；•如果函数的导数在某个区间上恒小于0，则函数在该区间上严格递减；•如果函数的导数在某个区间上恒大于等于0，则函数在该区间上递增；•如果函数的导数在某个区间上恒小于等于0，则函数在该区间上递减；•如果函数的导数在某个区间上恒等于0，则函数在该区间上保持不变。
通过以上性质，我们可以通过计算导数来研究一个函数在定义域上的单调性。
3. 导数的应用函数的单调性导数的应用函数的单调性是指通过对函数求导，来研究函数在定义域上的变化趋势。
具体而言，我们可以通过计算函数的导数来判断函数在哪些区间上是递增、递减或者保持不变。
下面通过几个例子来展示导数的应用函数的单调性。
3.1 一次函数的单调性考虑一个一次函数f(x)=ax+b，其中a和b是实数。
对函数f(x)求导，得到的导数为f′(x)=a。
根据导数的正负性，我们可以得出以下结论：•如果a>0，则函数f(x)在整个定义域上是递增的；•如果a<0，则函数f(x)在整个定义域上是递减的；•如果a=0，则函数f(x)在整个定义域上保持不变。
3.2 二次函数的单调性考虑一个二次函数f(x)=ax2+bx+c，其中a、b和c是实数，且a eq0。
对函数f(x)求导，得到的导数为f′(x)=2ax+b。
根据导数的正负性，我们可以得出以下结论：•如果a>0，则函数f(x)在 $(-\\infty, -\\frac{b}{2a})$ 和$(\\frac{-b}{2a}, +\\infty)$ 区间上是递增的，而在 $\\left(-\\frac{b}{2a}, \\frac{-b}{2a}\\right)$ 区间上是递减的；•如果a<0，则函数f(x)在 $(-\\infty, -\\frac{b}{2a})$ 和$(\\frac{-b}{2a}, +\\infty)$ 区间上是递减的，而在 $\\left(-\\frac{b}{2a}, \\frac{-b}{2a}\\right)$ 区间上是递增的。
利用导数判断函数单调性专题
利用导数判断函数单调性专题一、用导数求函数的单调区间的基本步骤（1） 确定函数)(x f 的定义域（2） 求导数)(x f '（3） 若0)(>'x f ，解出相应的x 的范围，则)(x f 在相应的区间上是增函数，若0)(<'x f ，则)(x f 在相应的区间上是减函数备注：注意因式分解，注意对参数的分类讨论二、典型例题例题1（不含参数型）讨论函数2)32ln()(x x x f ++=的单调性例题2（不含参数型） 已知函数xx x f ln )(=，判断函数)(x f 的单调性，并求在区间]2,1[上的最值例题3（不含参数型）求函数x x x f ln )(2=的单调区间和极值例题4（含参数型、求导后研究一元二次函数） 已知函数1ln )(+-=x ax x x f ，当0≥a 时，讨论函数)(x f 的单调性例题5（含参数型、求导后注意因式分解） 已知函数]1,21(],,0[,)1()(2∈∈--=k k x kx e x x f x ，求函数)(x f 的单调区间例题6（因式分解解决不了的混合型函数） 已知函数)10(1ln )1()(≠>-+=x x x x x x f 且，讨论函数)(x f 的单调性提升训练（含参数）1、 已知函数11ln )(--+-=xa x ax x f ，试讨论)(x f 的单调性2、设函数22()(ln )x e f x k x x x=-+（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）. 当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；3、 已知函数)ln()(m x e x f x +-=，其中R m ∈且m 为常数（1）试判断当0=m 时，函数)(x f 在区间],1[+∞上的单调性，并证明（2）设函数)(x f 在0=x 处取得极值，求m 的值，并讨论函数)(x f 的单调性利用导数判断函数单调性专题参考答案例题1例题2 解：2ln 1)(xx x f -=' 当e x <<0时，0)(>'x f ，)(x f 为增函数； 当e x >时，0)(<'x f ，)(x f 为减函数因为函数)(x f 在),0(e 上单调递增，所以)(x f 在]2,1[上单调递增， 故22ln )2()(max ==f x f ，01ln )1()(min ===f x f例题3例题4例题5解所以 )(x f 的单调递增区间为)),2(ln(k k ，减区间为))2ln(,0(k例题6：提升训练1、23。
利用导数研究函数的单调性专题
利用导数研究函数的单调性1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数f′(x0)＝0x0附近的左侧f′(x)<0，右侧条件x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0f′(x)>0图象形如山峰形如山谷极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( )(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.( )(3)函数的极大值一定大于其极小值.( )(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( )2.(选修2－2P32A4 改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )A.1B.2C.3D.43.(选修2－2P32A5(4)改编)函数f(x)＝2x－x ln x的极值是( )A.1eB.2eC.eD.e24.(2019·青岛月考)函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是( )A.先增后减B.先减后增C.单调递增D.单调递减5.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )6.(2019·豫南九校考评)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为( )A.4B.2或6C.2D.6考点一 求函数的单调区间【例1】 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R)在x ＝－43处取得极值.(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x，求函数g (x )的单调减区间. 【规律方法】 1.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间.2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接. 【训练1】 (1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A.在(0，＋∞)上递增B.在(0，＋∞)上递减C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减 (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________.【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x(e x－a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.【训练2】 已知f (x )＝x 22－a ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间.考点三 函数单调性的简单应用 角度1 比较大小或解不等式【例3－1】 (1)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( )A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 (2)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）ex ，则不等式F (x )<1e2的解集为( )A.(－∞，1)B.(1，＋∞)C.(1，e)D.(e ，＋∞)角度2 根据函数单调性求参数【例3－2】 (2019·日照质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x .(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围.【训练3】 (1)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( )A.4f (1)<f (2)B.4f (1)>f (2)C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2) (2)(2019·淄博模拟)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－2] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.[2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )2.函数f (x )＝x ·e x －e x ＋1的单调递增区间是( )A.(－∞，e)B.(1，e)C.(e ，＋∞)D.(e －1，＋∞)3.(2019·青岛二中调研)若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A.k ≤－3或－1≤k ≤1或k ≥3B.不存在这样的实数kC.－2<k <2D.－3<k <－1或1<k <34.已知f (x )＝ln xx，则( )A.f (2)>f (e)>f (3)B.f (3)>f (e)>f (2)C.f (3)>f (2)>f (e)D.f (e)>f (3)>f (2)5.(2019·济宁一中模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A.(－1，1) B.(－1，＋∞) C.(－∞，－1)D.(－∞，＋∞)二、填空题6.已知函数f (x )＝(－x 2＋2x )e x(x ∈R ，e 为自然对数的底数)，则函数f (x )的单调递增区间为________.7.若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x 恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________.8.若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________.三、解答题9.已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间.10.(2019·成都七中检测)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －e e x ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f (x )的单调性； (2)证明：当x >1时，g (x )>0.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2017·山东卷)若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是( ) A.f (x )＝2－xB.f (x )＝x 2C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x12.(2019·上海静安区调研)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)的解集为( )A.(e ，＋∞)B.(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(1，e) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e13.若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________.14.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围.15.(多填题)已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称.则m ＝________，f (x )的单调递减区间为________.答案1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( )(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.( )(3)函数的极大值一定大于其极小值.( )(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( )【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√【解析】(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.(3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x0为f(x)的极值点的充要条件是f′(x0)＝0，且x0两侧导函数异号.【教材衍化】2.(选修2－2P32A4 改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )A.1B.2C.3D.4【答案】 A【解析】由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正.3.(选修2－2P32A5(4)改编)函数f(x)＝2x－x ln x的极值是( )A.1eB.2eC.eD.e2【答案】 C【解析】因为f′(x)＝2－(ln x＋1)＝1－ln x，令f′(x)＝0，所以x＝e，当f′(x)>0时，解得0<x<e；当f′(x)<0时，解得x>e，所以x＝e时，f(x)取到极大值，f(x)极大值＝f(e)＝e.【真题体验】4.(2019·青岛月考)函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是( )A.先增后减B.先减后增C.单调递增D.单调递减【答案】 D【解析】 易知f ′(x )＝－sin x －1，x ∈(0，π)， 则f ′(x )<0，所以f (x )＝cos x －x 在(0，π)上递减.5.(2017·浙江卷)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )【答案】 D【解析】 设导函数y ＝f ′(x )与x 轴交点的横坐标从左往右依次为x 1，x 2，x 3，由导函数y ＝f ′(x )的图象易得当x ∈(－∞，x 1)∪(x 2，x 3)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 1，x 2)∪(x 3，＋∞)时，f ′(x )>0(其中x 1<0<x 2<x 3)，所以函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，x 3)上单调递减，在(x 1，x 2)，(x 3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D 选项符合.6.(2019·豫南九校考评)若函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极小值，则常数c 的值为( ) A.4 B.2或6 C.2D.6【答案】 C【解析】 函数f (x )＝x (x －c )2的导数为f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2， 由题意知，在x ＝2处的导数值为12－8c ＋c 2＝0，解得c ＝2或6，又函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极小值，故导数在x ＝2处左侧为负，右侧为正，而当e ＝6时，f (x )＝x (x －6)2在x ＝2处有极大值，故c ＝2.【考点聚焦】考点一 求函数的单调区间【例1】 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R)在x ＝－43处取得极值.(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x，求函数g (x )的单调减区间. 【答案】见解析【解析】(1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ， 因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0， 即3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x，故g ′(x )＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x.令g ′(x )<0，即x (x ＋1)(x ＋4)<0， 解得－1<x <0或x <－4，所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4). 【规律方法】 1.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间.2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接. 【训练1】 (1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A.在(0，＋∞)上递增B.在(0，＋∞)上递减C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减 (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________. 【答案】 (1)D (2)⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 【解析】 (1)因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )>0时，解得x >1e ，即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .(2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. 考点二 讨论函数的单调性【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x(e x－a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0，求a 的取值范围. 【答案】见解析【解析】(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0.f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0. 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减， 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增. (2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≥0，即0>a ≥－2e 34时，f (x )≥0. 综上，a 的取值范围是[－2e 34，0].【规律方法】 1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(f ′(x )＝0在x ＝0时取到)，f (x )在R 上是增函数.【训练2】 已知f (x )＝x 22－a ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间.【答案】见解析【解析】因为f (x )＝x 22－a ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax.(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数. (2)当a >0时，f ′(x )＝（x ＋a ）（x －a ）x，则有①当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递减区间为(0，a ). ②当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞). 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞). 考点三 函数单调性的简单应用 角度1 比较大小或解不等式【例3－1】 (1)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( )A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 (2)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）ex ，则不等式F (x )<1e2的解集为( )A.(－∞，1)B.(1，＋∞)C.(1，e)D.(e ，＋∞)【答案】 (1)B (2)B【解析】 (1)令g (x )＝f （x ）cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(－sin x )cos 2x ＝1＋ln x cos 2x.由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )>0，解得1e <x <π2；由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )<0，解得0<x <1e .所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，π2上单调递增，又π3>π4，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cosπ4，即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. (2)F ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )ex，又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0， ∴F (x )在R 上单调递减. 由F (x )<1e2＝F (1)，得x >1，所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1，＋∞).角度2 根据函数单调性求参数【例3－2】 (2019·日照质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x .(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围. 【答案】见解析【解析】h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x >0.∴h ′(x )＝1x－ax －2.(1)若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间， 则当x >0时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x有解.设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a >G (x )min .又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1. 所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞). (2)由h (x )在[1，4]上单调递减，∴当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立，则a ≥1x 2－2x 恒成立，设G (x )＝1x 2－2x，所以a ≥G (x )max .又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，x ∈[1，4]， 因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.又当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝（7x －4）（x －4）16x ，∵x ∈[1，4]，∴h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x ≤0，当且仅当x ＝4时等号成立. ∴h (x )在[1，4]上为减函数.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.【规律方法】 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集. (2)f (x )是单调递增的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.【训练3】 (1)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( ) A.4f (1)<f (2) B.4f (1)>f (2) C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)(2)(2019·淄博模拟)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－2] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.[2，＋∞)D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12【答案】 (1)B (2)B【解析】 (1)设函数g (x )＝f (x )x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′(x )－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)内为减函数，所以g (1)>g (2)，即f (1)12>f (2)22，所以4f (1)>f (2).(2)由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x≥0在(2，＋∞)上恒成立，由于k ≥1x ，而0<1x <12，所以k ≥12.即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 【反思与感悟】1.已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意函数f (x )的定义域.2.含参函数的单调性要注意分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性.3.已知函数单调性求参数可以利用给定的已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决. 【易错防范】1.求单调区间应遵循定义域优先的原则.2.注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a，b)”的区别.3.在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.4.可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是( )【答案】 D【解析】由函数f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0)上，f′(x)>0；在(0，＋∞)上，f′(x)<0，选项D满足.2.函数f(x)＝x·e x－e x＋1的单调递增区间是( )A.(－∞，e)B.(1，e)C.(e，＋∞)D.(e－1，＋∞)【答案】 D【解析】由f(x)＝x·e x－e x＋1，得f′(x)＝(x＋1－e)·e x，令f′(x)>0，解得x>e－1，所以函数f(x)的单调递增区间是(e－1，＋∞).3.(2019·青岛二中调研)若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是( )A.k≤－3或－1≤k≤1或k≥3B.不存在这样的实数kC.－2<k <2D.－3<k <－1或1<k <3 【答案】 D【解析】 由f (x )＝x 3－12x ，得f ′(x )＝3x 2－12， 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2或x ＝2，只要f ′(x )＝0的解有一个在区间(k －1，k ＋1)内，函数f (x )在区间(k －1，k ＋1)上就不单调，则k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3. 4.已知f (x )＝ln xx，则( )A.f (2)>f (e)>f (3)B.f (3)>f (e)>f (2)C.f (3)>f (2)>f (e)D.f (e)>f (3)>f (2)【答案】 D【解析】 f (x )的定义域是(0，＋∞)，∵f ′(x )＝1－ln x x2， ∴x ∈(0，e)，f ′(x )>0，x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )<0， 故x ＝e 时，f (x )max ＝f (e)，又f (2)＝ln 22＝ln 86，f (3)＝ln 33＝ln 96，则f (e)>f (3)>f (2).5.(2019·济宁一中模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A.(－1，1) B.(－1，＋∞) C.(－∞，－1)D.(－∞，＋∞)【答案】 B【解析】 由f (x )>2x ＋4，得f (x )－2x －4>0，设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2， 因为f ′(x )>2，所以F ′(x )>0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增.又F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4>0等价于F (x )>F (－1)，所以x >－1. 二、填空题6.已知函数f (x )＝(－x 2＋2x )e x(x ∈R ，e 为自然对数的底数)，则函数f (x )的单调递增区间为________. 【答案】 (－2，2)【解析】 因为f (x )＝(－x 2＋2x )e x，所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x. 令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x>0，因为e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x <2， 所以函数f (x )的单调递增区间为(－2，2).7.若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x 恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________. 【答案】 (－3，0)∪(0，＋∞)【解析】 由题意知f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，由函数f (x )恰好有三个单调区间，得f ′(x )有两个不相等的零点.需满足a ≠0，且Δ＝36＋12a >0，解得a >－3， 所以实数a 的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞).8.若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞【解析】 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a >0，解得a >－19.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞.三、解答题9.已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间. 【答案】见解析【解析】(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32(x >0).则f ′(x )＝x 2－4x －54x2. 令f ′(x )＝0，且x >0， ∴x ＝5(x ＝－1舍去).当x ∈(0，5)时，f ′(x )<0；当x >5时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0，5).10.(2019·成都七中检测)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －e e x ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f (x )的单调性； (2)证明：当x >1时，g (x )>0. 【答案】见解析【解析】(1)解：由题意得f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0).当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减. 当a >0时，由f ′(x )＝0有x ＝12a ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.(2)证明 令s (x )＝ex －1－x ，则s ′(x )＝ex －1－1. 当x >1时，s ′(x )>0，所以s (x )>s (1)，即e x －1>x ，从而g (x )＝1x －e e x ＝e （e x －1－x ）x e x >0.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2017·山东卷)若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是( ) A.f (x )＝2－xB.f (x )＝x 2C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x【答案】 A【解析】 设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x，在定义域R 上为增函数，A 正确.对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B不正确.对于C ，g (x )＝e x ·3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在定义域R 上是减函数，C 不正确.对于D ，g (x )＝e x·cos x ，则g ′(x )＝2e xcos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立，D 不正确.12.(2019·上海静安区调研)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)的解集为( ) A.(e ，＋∞)B.(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(1，e) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 【答案】 D【解析】f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f(－ln x)＝f(ln x). 则原不等式可变形为f(ln x)<f(1)⇔f(|ln x|)<f(1). 又f′(x)＝xcos x ＋2x ＝x(2＋cos x)， 由2＋cos x>0，得x>0时，f′(x)>0. 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增. ∴|ln x|<1⇔－1<ln x<1⇔1e<x<e.13.若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 【解析】 f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53，f (x )在R上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立.令cos x ＝t ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在[－1，1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立.令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝4－3a －5≤0，g (－1)＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13.14.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a （1－x ）x， 当a >0时，f (x )的递增区间为(0，1)， 递减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )为常函数.(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数， 即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点.由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′(t )<0，g ′(3)>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9； 由g ′(3)>0，即m >－373.∴－373<m <－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9. 【新高考创新预测】15.(多填题)已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称.则m ＝________，f (x )的单调递减区间为________. 【答案】 －3 (0，2)【解析】 由函数f (x )的图象过点(－1，－6)，得m －n ＝－3.① 由f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2，得f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋n ， 所以g (x )＝f ′(x )＋6x ＝3x 2＋(2m ＋6)x ＋n .21因为g (x )的图象关于y 轴对称，所以－2m ＋62×3＝0， 所以m ＝－3，代入①得n ＝0，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2). 由f ′(x )<0，得0<x <2，所以f (x )的单调递减区间是(0，2).。
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导数第2节 导数的应用（1）单调性
1.（优质专题天津文20（1）） 已知函数4
()4,,f x x x x =-∈R 求()f x 的单调性；
2.(优质专题广东文21）设函数3
2
()()f x x kx x k =-+∈R ． (1) 当1k =，求函数()f x 的单调区间；
3.（优质专题四川文21（1））已知函数()2
2
2ln 2f x x x x ax a =-+-+，其中0a >.
设()g x 为()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；
4.（优质专题全国2文21(1)）设函数()()
21e x f x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；
5.（优质专题重庆文19（1））已知函数()()32f x ax x a =+∈R 在4
3
x =-处取得极值. 若()()e x g x f x =，讨论()g x 的单调性.
6.（优质专题湖北文21） 设0a >，0b >，已知函数()1
ax b
f x x +=
+． （1） 当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性；
7.（优质专题江苏19（1））已知函数()32f x x ax b =++(),a b ∈R ．试讨论()f x 的单调性.
8.（优质专题山东文20（1））设()()2
ln 21f x x x ax a x =-+-，a ∈R .
（1）令()()g x f x '=，求()g x 的单调区间；
9.（优质专题新课标2卷文21(1)）已知函数()()=ln +1f x x a x -.讨论()f x 的单调性.
10.（优质专题全国1文21*（1））已知函数()()
2e e x x f x a a x =--. （1）讨论()f x 的单调性；
导数第2节 导数的应用（1）单调性答案
1. 解析 （1）由4
()4f x x x =-，可得3
()44f x x '=-， 当()0f x '> ，即1x <时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '< ，即1x >时，函数()f x 单调递减.
2. 解析 （1）当1k =时，()()322,321f x x x x f x x x '=-+=-+，
因为4431∆=-⨯⨯80=-<，所以()0f x '>恒成立，所以函数()f x 在R 上单调递增，故函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，函数()f x 没有单调递减区间.
3. 解析 由已知可得函数()f x 的定义域为()0,+∞.
()()()21ln g x f x x x a '==---，所以()()2122x g x x x
-'=-
=，
当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增.
所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞，单调递减区间是()1,+∞.
4.解析 （1）()()()
222e 1e 12e x x x f x x x x x '=-+-=--.
令()0f x '=，得2210x x +-=
，解得11x =
，21x .
所以当11x <<时，
()0f x '>，
当1x <-
或1x <时，()0f x '<，所以()f x 在区
间()
,1-∞
，
)1,+∞
上是减函数，在区间()
1上是增函数.
5. 解析 由（1）得()321e 2x g x x x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭， 故()232312e e 22x x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫
'=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
32152e 22x x x x ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
()()114e 2x x x x =++．
令()0g x '=，解得0x =，1x =-或4x =-． 则x ，()g x '，()g x 的变化如下表所示：
所以()g x 在(),4-∞-和()1,0-上为减函数，在()4,1--和()0,+∞上为增函数．
6.解析 （1）()f x 定义域为()
(),11,-∞--+∞，()()()
()
()
2
2
111a x ax b a b
f x x x +-+-'=
=
++.
当a b >时，()0f x '>，函数()f x 在()(),1,1,-∞--+∞上单调递增； 当a b <时，()0f x '>，函数()f x 在()(),1,1,-∞--+∞上单调递减.
7.解析 由题意，()2
'32f x x ax =+233x x a ⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭，
1︒当2
03
a -
=，即0a =时，()2'30f x x =对x ∈R 恒成立， 故()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞； 2︒当2
03
a -
>，即0a <时， 令
()2'303f x x x a ⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭，则0x <或23x a >-，
所以()f x 的单调递增区间为(),0-∞和,23a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为30,2a ⎛
⎫-
⎪⎝
⎭； 3︒当2
03
a -<，即0a <时，
令()2'303f x x x a ⎛⎫=+> ⎪⎝
⎭，则2
3x a <-或0x >，
所以()f x 的单调递增区间为23,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()0,+∞，单调递减区间为023,a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
8.解析 （1）由()ln 22,f x x ax a '=-+ 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞， 则()1122ax
g x a x x
-'=
-=
， 当0a 时，()0,x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当0a >时，当10,2x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，
()0g x '>，函数()g x 单调递增；当1,2x a ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0g x '<，函数()g x 单调递减.
综上所述，当0a 时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞； 当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
.
9.解析 ()f x 的定义域为()0+∞，
，()1
f x a x
'=-. 若0a
，则()0f x '>，所以()f x 在()0+∞，
上单调递增. 若0a >，则当10x a ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
，时，()0f x '>；当1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，时，()0f x '<. 所以()f x 在 10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增， 在1+a
⎛⎫∞ ⎪⎝⎭
，
上单调递减.
10.解析 （1）()()
2
22e e x
x f x a a '=--()()
2e e x x a a =+-.
①当0a =时，()()
2
2e 0x
f x '=>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；
②当0a >时，2e 0x a +>恒成立，令()0f x '>，则e 0x a ->，
故ln x a >，所以()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，在(),ln a -∞上单调递减；
③当0a <时，e 0x a ->恒成立，令()0f x '>，则2e 0x a +>，即ln 2e e 2
a x a
⎛⎫
- ⎪⎝⎭>-=，
所以ln 2a x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，所以()f x 在ln 2,a ⎛⎫- ⎪⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭⎭⎝上单调递增，同理在n 2,l a ⎛⎫- ⎛⎫
-∞
⎪⎝
⎪⎝⎭⎭上单调递减．。