12 大学物理动量矩定理

O
φ
化简即得单摆的运动微分方程
g 微幅摆动时，sin , 并令 n 2
d 2 g sin 0 2 dt l
v
A
0
2 n
l
0 0) 则运动方程 解微分方程,并代入初始条件 (t 0, 0 ,
0 cos
g t ，摆动周期 l
第十二章 §12–1
动量矩定理
质点与质点系的动量矩
§12–2
§12–3 §12–4 §12–5 §12–6
动量矩定理
刚体定轴转动微分方程 刚体对轴的转动惯量 质点系相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程
1
质点 动量定理： 质点系 动量的改变
外力（外力系主矢）
质心运动定理：质心的运动外力（外力系主矢） 物体在移动时运动与受力之间的关系 －动量定理。
将表达式 (b) 和 (c) 代入方程 (a)，即得
(c)
PA 2 PB 2 d (JO r r ) ( PA PB )r g g dt
从而求出定滑轮的角加速度

d dt
方向为逆钟向。
PA PB r PA 2 PA 2 JO r r g g
21
例题
动量矩定理
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。 若 若
M O (F ) 0
(M z ( F ) 0).
则 则
M O (mv ) 常矢量
(M z (mv ) 常量)
称为质点的动量矩守恒。
左边交换求和与导数运算的顺序: L O M O ( mi vi ), 而:
(e) dLO (e) M O ( Fi ) M O 一质点系对固定点的动量矩定理 则: dt
(i ) M O ( Fi ) 0,
质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系 上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。
由于动量矩和力矩分别是 和 从而可得
dLOz M Oz dt
v
A
2
d LOz mvl m(l )l ml dt M Oz mgl sin d 2 d (ml ) mgl sin dt dt
11
例题
动量矩定理
例 题 2
d d (ml 2 ) mgl sin dt dt
T 2
l g
12
注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致 （本题规定逆时针转向为正）
质点动量矩定理的应用：
在质点受有心力的作用时。 质点绕某心（轴）转动的问题。
13
二．质点系的动量矩定理
(i ) (e) d 对质点Mi ： M O (mi vi ) M O ( Fi ) M O ( Fi ). (i 1,2,3, , n) dt n n n (i ) (e) d 对质点系，有 M O (mi vi ) M O ( Fi ) M O ( Fi ) i 1 dt i 1 i 1
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得 (e) (e) (e) dLy dLx dLz (e) M x ( Fi ) M x , M y ( Fi ), M z ( Fi ) dt dt dt
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(e) (e) (e) dLy dLx dLz (e) M x ( Fi ) M x , M y ( Fi ), M z ( Fi ) dt dt dt 上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即
M O (mv ) r mv
质点的动量对点O之矩在z轴上的投影：
z
M O (mv )
A
[ M O ( mv )] z xmv y ymv x
mv
Q r
y
o x
M z (mv ) xmvy ymvx 代数量 M z (mv ) [M O (mv )]z
9
例题
动量矩定理
例 题 2
试用动量矩定理导出单摆(数学摆)的运动微分方程。已知 单摆 m，l，t = 0 时 = 0，从静止开始释放。
O
φ
v
A
10
例题
动量矩定理
例 题 2
O
φ
把单摆看成一个在圆弧上运动的质点 A，。 解： 又设在任一瞬时质点 A 具有速度 v ，摆线 OA
与铅垂线的夹角是 。 对通过悬点 O 而垂直于运动平面的固定轴 z 作为矩轴，应用质点的动量矩定理
d (mv ) d dr r (r mv ) mv dt dt dt
d [ M O (mv d )] M O ( F ). (r mv ) r F , 故： dt dt 质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质 点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。
定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。
3．平面运动刚体 Lz M z (mvC ) J C
平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于 刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转 动时的动量矩之和。 6
例题
动量矩定理
例 题 1
A
F
C
例：匀质圆盘，质心 C 在转轴上。 vC 0, 动量： p MvC 0, 质心无运动 (e) 而：F 0, 所以，动量不能反应转动的问题。
动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴） 的动量矩的改变与外力对同一点轴）之矩两者之间的关系。 物体在转动中运动的量与受力之间的关系－动量矩定理
2
§12-1 质点与质点系的动量矩
一．质点的动量矩
复习：力对点O之矩 M O (F ) r F M O ( F ) ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k )
z
M O ( F ) [ M O ( F )] x i [ M O ( F )] y j [ M O ( F )] z k
2 1 2 1
0
(a)

(b)

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例题
动量矩定理
例 题 4
参见动画：动量矩定理－例题4
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例题
动量矩定理
例 题 4
取轴 1 和轴 2 组成的系统作为研究对象。接合时作用在两轴的外力对 解：
公共转轴的矩都等于零。故系统对转轴的总动量矩不变。接合前，系统 的动量矩是 (J1 0+ J2 0) 。
质点对点O动量矩在z轴上的投影， 等于对z轴的动量矩：
质点对轴 z 的动量矩：
动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。
单位：kg· ｍ2/s。
4
二．质点系的动量矩
质点系对点O动量矩：各质点对点O动量矩的矢量和。
L O M O (mi vi ) ri mi vi
M O (F )
F
B
力对点O之矩在z轴上的投影： [ M O ( F )] z xF y yFx
o x
A r
y
力对轴 z 的之矩：

M z (F ) [M O (F )]z
3
M z ( F ) xFy yFx
代数量
质点对点O动量矩： 质点的动量对点O之矩
质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在 质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴 的主矩）。 动量矩定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力 才能改变质点系的动量矩。质点系的动量矩守恒 Nhomakorabea当 M O
(e)
0 时， LO 常矢量。
当 M z ( e ) 0 时，Lz 常量。
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d [ M O (mv )] M O ( F ). dt 将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d d d M x (mv ) M x ( F ), M y (mv ) M y ( F ), M z (mv ) mz ( F ) dt dt dt
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例题
动量矩定理
例 题 3
解: 取定滑轮，重物 A , B 和绳索为研究对象。
对定滑轮的转轴 z (垂直于图面向外)应用动量矩定理，有
dLOz M Oz dt
系统的动量矩由三部分组成，等于
(a )
LO
PA P v r B v r J O g g
PA 2 PB 2 r r ) g g (b)
离合器接合后，系统的动量矩是 (J1 + J2) 。故由动量矩守恒定律得
J10 ( J1 J 2 )
从而求得结合后的共同角速度

显然 的转向与 0 相同。
2
1 2
J1 0 J1 J 2
1
0
(a)

(b)

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例题
动量矩定理
例 题 5
z a θ l B l
a
z a
a
小球 A，B 以细绳相连。 质 量 皆 为 m， 其 余 构 件 质
逆时针
7
J1 J2 2 LO ( 2 2 m2 m3 ) R2 1 R2 R2
§12-2 动量矩定理
一．质点的动量矩定理
d (mv ) F dt
d (mv ) r F ,有r dt
两边叉乘矢径 r 左边可写成
dr 而 mv v mv 0 , r F M O ( F ) , dt
滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1， 滑轮B：m2，R2，J2 ；物体C：m3 求: 系统对O轴的动量矩。 解：运动分析 A轮：定轴转动
v3 v2 R22 1 R11 2 LO LOA LOB LOC
C物：平动 B轮：平面运动
J11 ( J 22 m2v2 R2 ) m3v3 R2
l A l B
θ A
量不计。忽略摩擦，系统
绕z轴自由转动，初始时系 统的角速度为 ω0。当细绳
考虑到 v = r ， 则得
LOz ( J O
外力主矩仅由重力 PA和 PB产生，有
M Oz ( PA PB )r
(c)
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例题
动量矩定理
例 题 3
(a )
(b)
dLOz M Oz dt P 2 P 2 LOz ( J O A r B r ) g g M Oz ( PA PB )r
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动画
动量矩定理
参见动画：爬绳比赛的力学分析(1)
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动画
动量矩定理
参见动画：爬绳比赛的力学分析(2)
17
动画
动量矩定理
参见动画：挺身式跳远的腾空动作
18
例题
动量矩定理
例 题 3
滑轮、重物 A和 B连接如图示。定滑轮对水平转轴 O的转 动惯量是 JO ；定滑轮的半径是 r。绳端悬挂的重物 A和 B 重量 分别是 PA 和 PB ，且 PA > PB 。试求定滑轮的角加速度。
例 题 4
摩擦离合器靠接合面的摩擦进行传动。在接合前， 已知主动轴 1 以角速度0转动，而从动轴 2 处于静止(图 a)。一经结合，轴 1 的转速迅速减慢，轴 2 的转速迅速 加快，两轴最后以共同角速度 转动(图b)。已知轴 1 和 轴 2 连同各自的附件对转轴的转动惯量分别是 J1 和 J2 ， 试求接合后的共同角速度 ，轴承的摩擦不计。
5
1．平动刚体对点O的动量矩： LO M O (mvC ) rC mvC



平动刚体对轴 z 动量矩： Lz M z (mvC )
平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量 对该点（轴）的动量矩。 2．刚体绕z轴转动的动量矩： 2 Lz M z (mi vi ) mi ri J z
质点系对轴 z 动量矩：各质点对同一z轴动量矩的代数和。
Lz M z (mi vi ) Lz M z (mi vi ) [LO ]z
刚体动量矩计算：
1．平动刚体对点O的动量矩： LO M O (MvC ) rC MvC
ri mivi mi ri vC rC MvC 平动刚体对轴 z 动量矩： Lz M z (mvC )