(完整)五年级奥数第一讲：因数与倍数

五年级奥数
第一讲：因数与倍数
知识点拨
1、因数和倍数：
如果a×b=c(a,b,c都是不为零的整数)，那么a,b就是c的因数，c就是a,b的倍数。

例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。

如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。

例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。

2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找（2）列除法算式找
一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。

例如：15的因数有哪些？
方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找）
方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止）
所以15的因数就是1, 3, 5, 15。

最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。

3、一个数的倍数的求法：
一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。

例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....... 3是3最小的倍数，也就是它本身
倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数
如果两个数都是一个数的倍数，那么这两个数的和、差、积也是这个数的倍数。

4、2、
5、3的倍数的特征：
①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。

②个位上是0或5的数，是5的倍数。

③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

5、常见数字的整除判定方法：
（1）2：个位是偶数的自然数
（2）5：个位是0或5的自然数
注：若一个数同时是2和5的倍数，则此数的个位一定为0
（3）4、25：末两位能被4、25整除
（4）8、125：末三位能被8、125整除
（5）3、9：各个数位上的数之和能被3、9整除
（6）7、11、13通用性质：
①一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除.如201201=201×1001，则其必能被7、11、13整除
②从末三位开始三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数
③末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数（7）11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除
（8）99：两位一段（从右往左），各段的和能被99整除
（9）999：三位一段（从右往左），各段的和能被999整除
6、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。

奇数与偶数的运算性质
性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数
性质2：偶数±奇数=奇数
性质3：偶数个奇数的和是偶数
性质4：奇数个奇数的和是奇数
性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数
例题精讲
一、倍数与因数的认识
【例1】请问：图中有哪些数？
根据图中数据：
①买5千克梨需要多少钱？
可以说：20是4的倍数；20是5的倍数；
4是20的因数；5是20的因数。

你通过自己的理解，说说什么是倍数，什么是因数？
②买3千克苹果需要多少钱？你能根据算式说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数吗？
③买2千克葡萄需要多少钱？
【例2】根据算式说说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数：
18×2＝36 22×7＝154 25×4＝100 6×8＝48
【例3】口算下面个题：
15÷3＝7÷1＝10÷4＝36÷0.6＝6÷6＝
问：你认为哪些算式具有倍数和因数的关系？为什么？
【例4】找出下列能整除的算式，说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数？
60÷5 8÷1 15÷2 8÷8 1÷8 200÷10
【例5】找出18的因数和倍数。

（用乘法和除法两种方法找）
【例6】五一班有学生42人，把他们平均分成几个学习小组，每组多于2人且少于8人，可以分成几个小组呢？【巩固】用36个大小相同的正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？
【例7】12是6的倍数，24是6的倍数，12和24的和是6的倍数吗？差、积呢？
【巩固】21是7的倍数，49也是7的倍数，49和21的差是7的倍数吗？
【巩固】63是9的倍数，18也是9的倍数，63与18的和是9的倍数吗？
二、2和5的倍数的特征
【例8】我们已经掌握了因数、倍数的意义，下面这几个数，谁是2的倍数？谁是5的倍数？
8267 694872 3410
18634 56205 5558
【例9】观察5的倍数有什么特征？在右表中找出5的倍数，并做上记号：
你能总结出5的倍数的特征吗？
【例10】（1）写出20以内（包括20）2的倍数
（2）你发现了什么？
（3）结论：
注意：检验一下是不是个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。

【例11】判断：下面哪些数是2的倍数？哪些是5的倍数？
60、75、106、130、521、89、98
①、哪些数既是2的倍数又是5的倍数呢？说说是怎样判断的？
②、既是2的倍数又是5的倍数的数有什么特征。

【例12】写出30后面的3个连续偶数；写出33前面的3个连续奇数。

【例13】5个连续奇数的和是135，这5个连续奇数分别是多少？
【例14】5个连续偶数的和是130，这5个连续偶数分别是多少？
【例15】计算下面算式，你有什么发现？
26+12 73+21 25+22 11×13 12×10 26-12 73-21 25-22 11×12
总结：两个偶数相加减， ；两个奇数相加减， ；奇数与偶数的和（差）是 ；两个奇数相乘， ；两个偶数相乘， ；奇数和偶数相乘， ；。

【例16】①能被2整除的最小的三位数是（ ）最大的三位数是（ ）。

②能被5整除的最小两位数是（ ）最大的两位数是（ ）。

【例17】桌子上有5个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的4个，问能否经过若干次翻动，使得5个杯子的开口全都向下？
【巩固】 桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的4只杯子，问能否经过若干次翻动，使得全部杯子的
开口全都向下？
【例18】不计算，判断48×625×32×435的积末尾有几个连续的0？
【巩固】不计算，判断72×56×125×15末尾有几个连续的0？
三、3的倍数的特征
【例19。

（1）由 123，是3的倍数吗？（ ）； （2）由
（1） 这些数都是3的倍数吗？
【例20】三个数字卡片
（1）由
235，是3的倍数吗？（ ）。

（2）由
（3）这些数都是3的倍数吗？
（4）这6个数都不是3的倍数，说明什么？
【例21】从0~9中任取2个或3个数字，组成两位数或三位数，试一试这些数是不是3的倍数。

讨论：把是3的倍数的数挑出来，看看它们有哪些特征？
巩固练习：
（1）下面那些数是3的倍数？
18、35、315、291、192、1200、6030、8400、7065、1234、70002、57、1336、215803。

（2）在3的倍数。

3 8
(3)从0、3、5、6中选出两个数字组成一个两位数，满足下面的条件：
a：是3的倍数；b：同时是2和3的倍数；
c：同时是3和5的倍数；d：同时是2、3和5的倍数。

【例22】在□内填上适当的数字，使五位数23□6□既能被3整除又能被5整除.
【例23】既能被3整除，又能被7整除的最小三位数是.
【例24】一个五位数中各个数位上的数字和是42，则其中能被4整除的五位数是哪几个？
【例25】在1～1000之间的自然数，能同时被2、3、5整除的数共有个.
【例26】一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有个．
巩固练习：
1、在10～226之间有多少个数是3的倍数？
2、今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本70册，平均分为若干堆．每堆中这三种课本的数量分别相等，那么最多可分______堆。

3、有一个整数，除300、262、205，得到相同的余数。

问这个整数是几？
4、15×28×33、9×35×88、12×77×1
5、22×30×21这四个积中，哪个积与其它积不相等？
5、将下列八个数平分成两组，使这两组数的积相等，可以怎样分？说明理由。

14、33、35、30、75、39、143、169。

6、一位妇女提一篮鸡蛋，三个三个数余两个，五个五个数余四个，七个七个数余六个．这篮子里至少有多少个鸡蛋？
7、在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、4、5整除，并且要求这个数值尽可能小．这个六位数是_____。

8、有一个四位数，千位上的数字和百位上的数字都被擦掉了，知道十位数上的数字是1，个位上的数字是2，又知道这个数如果减去7就能被7整除，减去8就能被8整除，减去9就能被9整除，这个四位数是_____。