2017年浙江省宁波市慈溪中学自主招生数学试卷

2017年浙江省宁波市慈溪中学自主招生数学试卷

一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分）

1．（4分）下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（）A．B．

C．D．

2．（4分）如图，∠ACB＝60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）

A．2πB．4πC．2D．4

3．（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（）

A．4B．5C．6D．8

4．（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（）

A．15B．20C．25D．30

5．（4分）已知BD是△ABC的中线，AC＝6，且∠ADB＝45°，∠C＝30°，则AB＝（）A．B．2C．3D．6

二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分）

6．（5分）满足方程|x+2|+|x﹣3|＝5的x的取值范围是．

7．（5分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1，若m＝3a+b﹣7c，

则m的最小值为．

8．（5分）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两点，且＝m，＝n，则+＝．

9．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有个．

10．（5分）如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB＝60°，∠COB＝45°，则OC＝．

11．（5分）如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是．

三、简答题（共4小题，满分50分）

12．（12分）九年级（1）、（2）、（3）班各派4名代表参加射击比赛，每队每人打两枪，射中内环得50分，射中中环得35分，射中外环得25分，脱靶得0分．统计比赛结果，（1）班8枪全中，（2）班1枪脱靶，（3）班2枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是255分．

请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由：

班级内环中环外环

（1）班

（2）班

（3）班

13．（12分）设二次函数y＝ax2+bx+c的开口向下，顶点落在第二象限．（1）确定a，b，b2﹣4ac的符号，简述理由．

（2）若此二次函数图象经过原点，且顶点在直线x+y＝0上，顶点与原点的距离为3，求抛物线的解析式．

14．（12分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD＝60°，DC＝DE．

求证：

（1）AB＝AF；

（2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．

15．（14分）在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x 轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y＝x上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N （如图1）．

（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；

（2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；

（3）设MN＝m，当m为何值时△OMN的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时△BMN内切圆的半径．