第七章马尔可夫过程简介
马尔可夫决策过程简介
马尔可夫决策过程简介马尔可夫决策过程（Markov Decision Process，MDP）是一种在人工智能和运筹学领域广泛应用的数学模型。
它可以描述一类随机决策问题，并提供了一种优化决策的框架。
在现实世界中，许多问题都可以被建模为马尔可夫决策过程，比如自动驾驶车辆的路径规划、机器人的行为控制和资源分配等。
1. 马尔可夫决策过程的基本概念在马尔可夫决策过程中，问题被建模为一个五元组（S, A, P, R, γ）：- S 表示状态空间，包括所有可能的状态；- A 表示动作空间，包括所有可能的动作；- P 表示状态转移概率，描述了在某个状态下采取某个动作后转移到下一个状态的概率分布；- R 表示奖励函数，描述了在某个状态下采取某个动作后获得的即时奖励；- γ（gamma）表示折扣因子，用于平衡当前奖励和未来奖励的重要性。
2. 马尔可夫决策过程的模型马尔可夫决策过程的模型可以用有向图表示，其中节点表示状态，边表示从一个状态到另一个状态的动作，边上的权重表示状态转移概率和即时奖励。
通过对模型进行分析和计算，可以找到最优的决策策略，使得在长期累积奖励最大化的情况下，系统能够做出最优的决策。
3. 马尔可夫决策过程的求解方法对于小规模的马尔可夫决策过程，可以直接使用动态规划方法进行求解，比如值迭代和策略迭代。
值迭代是一种迭代算法，通过不断更新状态值函数来找到最优策略；策略迭代则是一种迭代算法，通过不断更新策略函数来找到最优策略。
这些方法可以保证最终收敛到最优解，但是计算复杂度较高。
对于大规模的马尔可夫决策过程，通常采用近似求解的方法，比如蒙特卡洛方法、时序差分学习方法和深度强化学习方法。
蒙特卡洛方法通过对大量样本进行采样和统计来估计状态值函数和策略函数；时序差分学习方法则是一种在线学习算法，通过不断更新估计值函数来逼近真实值函数；深度强化学习方法则是一种基于神经网络的方法，通过端到端的学习来直接从环境中学习最优策略。
马尔可夫过程简介
1第七章 马尔可夫过程简介§7.1 马尔可夫过程定义对于一个随机过程，如果它具有以下特性：即当过程在现在时刻k t 所处的状态为已知的条件下，过程在将来时刻k t t >处的状态，只与过程在k t 时刻的状态有关，而与过程在k t 时刻以前所处的状态无关，则具具有此种特性的随机过程称为马尔可夫过程。
上述随机过程所具有的特性又称为无后效应。
无后效应也理解为：过程)(t X 在现在时刻k t 的状态，k k i t X =)(已知的条件下，过程“将来”的情况与“过去”的情况是无关的。
或者说，这种随机过程的“将来”只是通过“现在”与“过去”发生联系，如果一旦“现在”已知，那么“将来”和“过去”就无关了。
或者说，这种随机过程的“将来”只是通过“现在”与“过去”发生联系，如果一旦“现在”已知，那么“将来”和“过去”就无关了。
严格定义如下：定义马尔可夫过程：考虑随机过程)(t X ，并设1110+<<<<k k t t t t t ，如果它的条件概率密度函数满足)]()([)](,),(),()([1011k k k k k t x t x f t x t x t x t x f +-+= 则称为)(t X 为马尔可夫过程。
定义表明，)1(+k t x 的概率密度函数只取决于)(k t x 的状态，而与前)(,),(01t x t x k -个状态无关。
也就是“现在”的状态)(k t x 才对“将来”的状态)(1+k t x 有影响，而“过去”的状态)(,),(),(021t x t x t x k k --对“将来”没有影响。
由马尔要夫定义再根据条件密度函数公式，可写出马乐可夫过程的联合概率密度。
∵ ])(,),()([01t x t x t x f k k +)](,),(),([)](,),(),(),([01011t x t x t x f t x t x t x t x f k k k k k --+=)](,),(),(),([011t x t x t x t x f k k k -+2)](,),(),([)](,),(|)([0101t x t x t x f t x t x t x f k k k k -+= )](,),(),([)](|)([011t x t x t x f t x t x f k k k k -+=∏=+=ki i i t f t x t x f 01)()](|)([由上式要知，马尔可夫过程的联合概率密度函数等于各个转移概率密度和初始概率密度的乘积。
7.1.1第七章马尔可夫决策
• 如果已知系统在初始阶段的分布，即系统在初始阶段处于各状态
(0)
的概率 , i = 1, 2, ⋯ , 以及转移概率矩阵P，则在步后处于状
()
态j的概率 可以由下式计算得出：
= = = = 0 = (0 = ) =
集。如果状态空间也是离散的，则我们一般用 = 1, 2, 3, … 来
表示状态空间。
• 条件概率P = j −1 = 表示已知马尔可夫过程 X , ∈ T 在
第 − 1步处于状态，则在第步时处于状态j的条件概率，称为
转移概率。由于它表示的是从第 − 1步到第步的转移概率，因
→∞
马尔可夫链的极限分布。
• 注意：平稳分布和极限分布是两个不同的概念，而且确实存在两
者不一致的情况。
• 在本课程中，我们只考虑二者一致的情况。
• 定理： X , ∈ T 是不可约非周期的马尔可夫链，转移概率矩阵，则
该马尔可夫链存在极限分布当且仅当存在平稳分布，并且此时两者相
等。
• 这时，平稳分布可以通过求解稳态方程
此是一步转移概率。
• 如果条件概率P = j −1 = 只与状态和j有关，而与时刻无
关，则称之为平稳转移概率，记为pij = P = j −1 = 。
• 如果马尔可夫过程 X , ∈ T 的时间集T是离散的，状态空间也
是离散的，而且转移概率是平稳的，则称 X , ∈ T 为（齐次）马
− 步处于状态，则在第步时处于状态j的条件概率，称为
()
步转移概率，记为 。相应的步转移概率矩阵为
()
()
p11
… p1n
=
⋮
第7章 马尔可夫过程与泊松过程
第7章 马尔可夫过程与泊松过程7.1 马尔可夫过程1．引例例1：随机游动问题。
质点在一直线上作随机游动，如果某一时刻质点位于点i ，则下一步质点以概率p 向左移动一格达到点1-i ，以概率)1(p -向右移动一格达到点1+i 。
用)(n X 表示时刻n 质点的位置，则)(n X 是一随机过程。
在时刻1+n 质点所处的位置)1(+n X 只与时刻n 质点的位置)(n X 有关，而与n 以前的位置)1(-n X …)2(X 、)1(X 无关。
例2：遗传病问题。
某些疾病常遗传给下一代，但不隔代遗传。
第1+n 代是否有此种疾病只与第n 代是否有此疾病有关，而与n 代以前的健康状况无关。
2．马尔可夫过程描述性概念一般而言，若随机过程在时刻n t 所处的状态)(n t X 为已知的条件下，过程在时刻t （n t t >）所处的状态)(t X 只与过程在时刻n t 的状态)(n t X 有关，而与n t 以前的状态无关，则称此过程为马尔可夫过程。
3．马尔可夫过程分类马尔可夫过程分为四类：（1） 离散马尔可夫链：时间t 取离散值1t ， ,2t ,n t ，可直接记为 ,,2,1n t =。
状态)(n X 取离散值1a ， ,2a ,n a ，可直接记为 ,,2,1n X =。
（2） 连续马尔可夫链：时间t 取离散值1t ， ,2t ,n t ，状态)(n X 取连续值。
（3） 离散马尔可夫过程：时间t 取连续值，状态)(t X 取离散值。
（4） 连续马尔可夫过程：时间t 取连续值，状态)(t X 取连续值。
.4．马尔可夫过程的研究与应用概况在随机过程的研究领域，马尔可夫过程是主要的研究对象，有关的专著、专题无计其数，其原因是马尔可夫过程与众多的应用领域有关联。
5．马尔可夫链（1）定义设时间t 取离散值 ,,2,1n t =，记)(n X X n =，设状态n X 取有限个离散值N X ,2,1=，若{}{}i X j X P i X i X i X j X P n n n n n n =======+--+111111,,称n X 马尔可夫链。
马尔可夫过程
P{将来|现在、过去}=P{将来|现在}
马尔可夫过程分类 按其状态空间I和时间参数集T是连续还是离散可分成四类(如表1)。 讨论的内容： 定义：转移概率及转移概率矩阵；齐次性；平稳分布；遍历性； 其他性质。
2
表1 马尔可夫过程的分类
分类名称 时间参数集T 状态空间I
离散
连续
离散 (n=0,1,2,…)
1、马尔可夫过程的一般概念 （1）、定义 t T ，若在 t1, t2 , 设有一随机过程X(t)，
时刻对X(t)观测得到相应的观测值
x1, x2 ,
, tn 1, tn t1 t2
, xn 1, xn
tn 1 tn T
满足条件
（7-61）
或
（7-62）
则称此类过程为具有马尔科夫性质的过程或马尔科夫过程，简称马氏过程。其中
连续 (t≥0)
马尔可夫链
马尔可夫序列
可列马尔可夫过程
马尔可夫过程
3
1.1
马尔可夫序列
1、马尔可夫序列的定义 定义：若对于任意的n，随机序列{X(n)}的条件分布函数满足 则称此随机序列{X(n)}为马尔可夫序列。 条件分布函数FX(xn|xn-1)常被称为转移分布。 对于连续型随机变量，由上式可得
f X ( xn | xn 1, xn 2 , , x1 ) f X ( xn | xn1 )
因此，利用条件概率的性质
(2)
f X ( x1, x2
, xn ) f X ( xn | xn 1, xn 2 ,
, x1 )
f X ( x2 | x1 ) f X ( x1 ) (3)
结合式(2)可得
14
2）一维分布
马氏链在第n步所处状态为aj的无条件概率称为马氏链的“一维分布”， 也称为“状态概率”。表示为
机器学习中的马尔可夫决策过程详解
机器学习中的马尔可夫决策过程详解马尔可夫决策过程（Markov Decision Process，MDP）是机器学习中重要的数学模型之一，广泛应用于强化学习问题的建模和求解。
MDP提供了一种形式化的方式来描述具有时序关联的决策问题，通过定义状态空间、动作空间、状态转移概率和奖励函数等元素，可以找到在不确定环境下最优的决策策略。
首先，我们来了解一下MDP的基本概念。
MDP由一个五元组<S, S, S, S, S>构成，其中：- S表示状态空间，包含所有可能的状态。
- S表示动作空间，包含所有可能的动作。
- S(S'|S, S)表示从状态S执行动作S后的状态转移概率，即在状态S下执行动作S后转移到状态S'的概率。
- S(S, S, S')表示在状态S下执行动作S后转移到状态S'获得的奖励。
- S是一个折扣因子，用于调整未来奖励的重要性。
在MDP中，决策是根据当前的状态选择一个动作，然后将系统转移到下一个状态，并根据奖励函数获得相应的奖励。
决策的目标是找到一个策略S，使得在当前状态下选择动作时能够最大化预期总奖励。
为了形式化地描述MDP的决策过程，我们引入了价值函数和策略函数。
价值函数S(S)表示在状态S下按照策略S执行动作所获得的预期总奖励。
策略函数S(S|S)表示在状态S下选择动作S的概率。
根据马尔可夫性质，一个好的策略应该只依赖于当前的状态，而不受之前的状态和动作的影响。
马尔可夫决策过程的求解通常采用动态规划的方法，其中最著名的方法是价值迭代和策略迭代。
价值迭代是一种基于价值函数的迭代方法。
它通过不断更新状态的价值函数来逐步优化策略。
在每一次迭代中，我们根据贝尔曼方程S(S) = max S∑S' S(S'|S, S) (S(S, S, S') + SS(S'))来更新每个状态的价值函数。
其中max运算表示在当前状态下选择能够最大化预期总奖励的动作，S(S'|S, S)表示从状态S执行动作S后转移到状态S'的概率，S(S, S, S')表示在状态S下执行动作S后转移到状态S'获得的奖励，S是折扣因子，S(S')表示状态S'的价值函数。
经济决策课件系列 第七章 马尔可夫预测法
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安全在于心细，事故出在麻痹。21.1.1 321.1.1 301:42:3101:4 2:31Jan uary 13, 2021
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感情上的亲密，发展友谊；钱财上的 亲密， 破坏友 谊。21. 1.13202 1年1月 13日星 期三1 时42分3 1秒21. 1.13
谢谢大家！
4、预测第21月的销售情况
由于第20月的销售量属于畅销状态，而经由一次 转移到达三种状态的概率是：
P31
2 7
P32＝0 P33＝
5 7
P33 P31 P32
因此，第21月超过100（千件）的可能性最大。 即预测第21月的销售状态是“畅销”。
•
每一次的加油，每一次的努力都是为 了下一 次更好 的自己 。21.1.1 321.1.1 3Wedn esday , January 13, 2021
P(n) P PP Pn
n个
即n步转移概率等于一步转移矩阵的n次方。
定理2：若记Pn的元素为Pij(n) 则有
lim
n
p (n) ij
pj
系统处在 j 状态的概率与它在很元的过去处在什么情况无关。
经济预测与决策方法
例 已知市场上有A，B，C三种牌子的洗衣粉，上月的市场占有分布为(0.3
0.4 0.3)，且已知转移概率矩阵为
•
做专业的企业，做专业的事情，让自 己专业 起来。2 021年1 月上午 1时42 分21.1.1 301:42 January 13, 2021
马尔可夫过程 鞅过程 通俗
马尔可夫过程鞅过程通俗
马尔可夫过程和鞅过程是概率论和随机过程中两个重要的概念，以下是它们的通俗解释：
1. 马尔可夫过程：
马尔可夫过程是一种随机过程，它的未来状态只取决于当前状态，而与过去的历史无关。
换句话说，给定当前时刻的状态，未来的状态是独立于过去的状态的。
这就像是一个“健忘”的过程，它不记得过去发生了什么，只根据当前的情况来决定未来。
举个例子，考虑一个人在城市中行走的过程。
假设他当前所在的位置决定了他下一步可能去的地方，而他过去的位置对他的未来路径没有影响。
那么这个行走过程可以被建模为马尔可夫过程。
2. 鞅过程：
鞅过程是一种特殊的马尔可夫过程，它满足“鞅性”，即在任何时刻，过程的期望等于其当前值。
这意味着，从长远来看，过程的平均变化是零。
再举个例子，假设你在玩一个抛硬币的游戏，每次抛硬币都有一半的概率正面朝上，一半的概率反面朝上。
如果你把每次抛硬币的结果加起来，那么从长远来看，你的总和应该接近于零，因为正面和反面出现的次数大致相等。
这个游戏的过程可以被建模为鞅过程。
总的来说，马尔可夫过程和鞅过程是随机过程的两种重要类型，它们在金融、统计、物理等领域都有广泛的应用。
2014第七章 马尔可夫过程
若 ta tc tb td，则时间间隔 (ta tb ) 和 (tc td ) 相重叠（图2b）），因此， 上式不再成立。
td td tc tb (b) tb (a) tc ta ta
PX n X 1 ,, X n1 xn ; t n x1 , , xn 1 ; t1 , , t n 1
Pn xn xn1; tn1 , tn
PX n X n1 xn ; t n xn 1 ; t n 1
PX n X n1 xn , xn 1 ; t n 1 , t n PX n1 xn 1 ; t n 1
k
e
(k 1)!
k 1
k 1
= e e (ta tb ) ②. 均方值与方差 令 (ta tb ) ，故均方值为
k k k E[( X (ta ) X (tb )) ] k e k (k 1) e k e k! k! k! k 0 k 0 k 0 k 2 2 2 2 (ta tb )2 (ta tb ) = e k 2 (k 2)!
a b
先来讨论服从泊松分布的随机变量[ X (ta ) X (tb )] 及 [ X (tc ) X (td )] 的数学期望，方差和相关函数等统计量。
(ta tb ) ，因此，均值为 ①．数学期望 令
E[ X (ta ) X (tb )] k e k! k 0
2 2
而方差为
马尔可夫决策过程简介(Ⅰ)
马尔可夫决策过程简介马尔可夫决策过程（Markov Decision Process, MDP）是一种用于描述随机决策问题的数学框架。
它是由苏联数学家安德雷·马尔可夫在20世纪初提出的，被广泛应用于控制理论、人工智能、经济学等领域。
马尔可夫决策过程的核心思想是通过数学模型描述决策者在具有随机性的环境中做出决策的过程，以及这些决策对环境的影响。
本文将介绍马尔可夫决策过程的基本概念和应用。
1. 随机过程马尔可夫决策过程是建立在随机过程的基础上的。
随机过程是指随机变量随时间变化的过程，它可以用来描述许多自然现象和工程问题。
在马尔可夫决策过程中，状态和行动都是随机变量，它们的变化是随机的。
这种随机性使得马尔可夫决策过程具有很强的适用性，可以用来描述各种真实世界中的决策问题。
2. 状态空间和转移概率在马尔可夫决策过程中，环境的状态被建模为一个有限的状态空间。
状态空间中的每个状态都代表了环境可能处于的一种情况。
例如，在一个机器人导航的问题中，状态空间可以表示为机器人可能所处的每个位置。
转移概率则描述了从一个状态转移到另一个状态的概率。
这个概率可以用一个转移矩阵来表示，矩阵的每个元素代表了从一个状态到另一个状态的转移概率。
3. 奖励函数在马尔可夫决策过程中，决策者的目标通常是最大化长期的累积奖励。
奖励函数用来描述在不同状态下采取不同行动所获得的奖励。
这个奖励可以是实数，也可以是离散的，它可以是正也可以是负。
决策者的目标就是通过选择合适的行动，使得累积奖励达到最大。
4. 策略在马尔可夫决策过程中，策略是决策者的行动规则。
它描述了在每个状态下选择行动的概率分布。
一个好的策略可以使得决策者在长期累积奖励最大化的同时，也可以使得系统的性能达到最优。
通常情况下，我们希望找到一个最优策略，使得系统在给定的状态空间和转移概率下能够最大化累积奖励。
5. 值函数值函数是描述在给定策略下，系统在每个状态下的长期累积奖励的期望值。
马尔可夫过程
马尔可夫过程 、独立 增量过程及独立随机过程
牛慧芳 2010-122010-12-25
1
7.1 马尔可夫过程
马尔可夫过程是一种重要的随机过程，它具有如下特性：当随机过程 在时刻ti所处的状态已知时，过程在时刻t(t>ti)所处的状态仅与过程在ti时刻的 状态有关，而与过程在ti时刻以前所处的状态无关。此特性称为随机过程的 无后效性或马尔可夫性。此特性也可理解为：随机过程X(t)在“现在”状态 已知的条件下，过程“将来”的情况与“过去”的情况无关。或者说，过去 只影响现在，而不影响将来。 P{将来|现在、过去}=P{将来|现在} 马尔可夫过程分类 按其状态空间I和时间参数集T是连续还是离散可分成四类(如表7-1)。 讨论的内容： 讨论的内容： 定义：转移概率及转移概率矩阵；齐次性；平稳分布；遍历性； 其他性质。
j =1
N
ij
=1
k=n时，n步转移概率pij(n)为： pi j ( n ) = pij ( m , m + 1) = P { X m + n = a j | X m = a i } , n ≥ 1 对应的n步转移概率矩阵为：
11
显然具有如下性质：
0 1、 ≤
N
pij ( n ) ≤ 1
ij
2、
2、马氏链的转移概率及其转移概率矩阵 (1)马氏链的转移概率 (1)马氏链的转移概率 马氏链“在tm时刻出现的状态为ai的条件下，tm+k时刻出现的 状态为aj”的条件概率可用pij(m,m+k)表示，即
齐次马氏链：若pij(m,m+k)与m无关，即pij(m,m+k)= pij (k) k=1时，一步转移概率pij为：
2
马尔可夫过程
Ai lim P{Si (t)}
t
式中
Si（t）--系统i状态的瞬态概率； Ai--i状态的稳态概率。
通常，稳态概率空间的表达式不易求出，该解 法适合于解决一些比较简单系统的稳态状态概率问 题。 同构法 当系统达到稳定状态以后，各种状态将持续转 移，但是每种状态出现的概率基本不变，从而形成 一个稳定的状态空间。求解状态空间方程组，就可 得到系统在各种状态的稳态概率。
马尔可夫过程
神和尧
马尔可夫过程简介 一类随机过程（数学基础是随机过程理论）。 原始模型马尔可夫链，由俄国数学家A.A.马尔可夫 于1907年提出。 该过程具有如下特性：在已知目前状态 （现在） 的条件下，它未来的演变 （将来）不依赖于它以往 的演变 ( 过去 ) 。 ④例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过 程 。在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程， 如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人 数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。
马尔可夫特性的直观解释为：
在给定t时刻随机过程的状态为Xn或xn，则该过 程的后续状态及其出现的概率与t之前的状态无关。 也就是说，过程当前的状态包括了过程所有的历史 信息，该过程的进一步发展完全由当前状态所决定， 与当前状态之前的历史无关，这种性质也称为无后 效性或无记忆性。 此特性也可以理解为：随机过程Xn在“现在” 状态已知的条件下，过程“将来”的情况与“过去” 无关。或者说，过去只影响现在，而不影响将来。 P{将来|现在、过去}=P{将来|现在}
kE
状态转移图和状态转移率矩阵 马尔可夫模型常使用状态转移图来描述系统的运行情况。 故障（p）
S
1-p 修复（q）
F
1-q
图1 马尔可夫过程的状态转移图
马尔科夫过程
一、马尔可夫过程的概念
当已知随机过程在时刻 ti 所处的状态的条件下，过程在时刻 t ( ti ) 所 处的状态与过程在时刻 ti 以前的状态无关，而仅与过程在 ti 所处的状态 有关，则称该过程为马尔可夫过程。这种特性称为随机过程的“无后效 性”或马尔可夫性。
分为四类： 1 T和E都取连续集时，称为马尔可夫过程。 2 若T取连续集而E取离散集时，称为可列马尔可夫过程。 3 若T取离散集而E取连续集时，称为马尔可夫序列。 4 若T和E都取离散集时，称为马尔可夫链。状态可列的马尔可夫链称
为可列马尔可夫链；状态有限的马尔可夫链称为有限马尔可夫链。
马尔可夫序列
一、马尔可夫序列的定义
设 X1, X 2 , , X n , 表示随机过程X (t)在 t 为整数时刻的取样的随机序
列，记为 {X (n), n 1,2,, n （} 简记为 X (n)或 X n ），则可按以下方式定义马 尔可夫序列。
p11 p12 p1N
P
p21
p22
p2N
p
N1
pN2
p NN
称为一步转移概率矩阵，简称转移概率矩阵。
（1） 0 pij 1
N
（2）
pij 1
j 1
（二）n步转移概率
在齐次条件下， k n 时，可得到 n 步转移概率
P{Xn1 j | Xn in}
(i 1,2, , N)
则称 {X n} 为马尔可夫链（简称马氏链）。
2、马尔可夫链的转移概率及性质
（一）
k 1 时，有
pij (1) pij (m, m 1) pij
马尔可夫过程详解
平均正常工作时间为1/λ；
损坏后的修复时间： 典型地也是一个负指数分布的随机变量 平均修复时间为 1/μ；
问： 1) 一个系统正常启动后, 10小时以后正常工作的概率？
2) 系统平均无故障时间MTBF？平均修复时间MTTR？…
典型问题：排队论
N(t)
t
到达某个服务台的顾客流是一个强度为 λ 的泊松过程，单位 时间到达服务台的平均人数为λ； 服务台只有一个服务员，顾客所需服务时间是负指数分布的
w (t) w0 (t), w1 (t), ，wn (t)
例
例1：确定跳跃强度
λΔt+o(Δt) 1 μΔt+o(Δt) 2 3 4 5
1
x
在[1,5]上有个质点在整数点上作随机游动。
质点任何时刻都可能发生移动 若在时刻 t 质点位于2~4，则在(t+Δt)中以概率λΔt+o(Δt)
离散马尔可夫过程的无穷小转移率 或 跳跃强度。
性质：
q
j
ij
0
qi1 1+qii
qi2 i qi4
qi3
马尔可夫过程的数学描述：跳跃强度矩阵
跳跃强度(转移率)矩阵：
q00 Q q10 q n0 q01 q11 qn1 q0n q1n qnn
马尔可夫过程的数学描述：跳跃强度Q
定 对于一个很小的正的Δt 义 P ( Δt) P (0) q Δt o( Δt) δ q Δt o( Δt) ij ij ij ij ij
lim 其中： qij Δ to
Pij ( Δt) δi j Δt
称为参数连续状态
Ft
n 1 /t1 ,t2 tn
马尔可夫过程和泊松过程
n
Pij (n) fij (m)Pj j (n m) m1
给出了fij(n)和Pij(n)的联系 fij (n) ----自状态i出发,经n步首次到达状态j的概率。 Pij (n) ----自状态i出发,经n步到达状态j的概率。 定理：fij>0的充要条件是ij
马尔可夫过程与泊松过程
7.1 马尔可夫链
定义 状态和时间参量都是离散的随机过程，在tr 时刻状态已知的条件下，其后tr+1时刻所处的状态 只与tr时刻的状态有关，而与以前tr-1、tr-2……时 刻的状态无关，则该过程称为马尔可夫链。
P xn ;tn xn1, xn2 ,, x1;tn1, tn2 ,, t1 P xn ;tn xn1;tn1
反射壁
1/2
1/2
1
1/2
1/2
1/2
a1
a2
a3
a4
a5
1/2
状态转移图和 状态转移矩阵 一一对应
1/2
1/2
1
0 1 0 0 0
1 2 0 1 2 0
0
P n, n 1 0 1 2 0 1 2 0
0
0 1 2 0 1 2
0 0 0 1 0
p(n) PT (s, n)p(s) PT (n s)p(s)
p(n k) PT (k, k n)p(k) PT (n)p(k) πnp(k)
p(2) πp(1)
π PT (1)
主讲教师:罗鹏飞教授
马尔可夫过程与泊松过程
平稳链
如果齐次链的状态概率都相同，即p(n)=p(1)，
(完整word版)马尔可夫决策过程马尔可夫决策过程(MarkovDecisionProcesses
(完整word版)马尔可夫决策过程马尔可夫决策过程(MarkovDecisionProcesses 马尔可夫决策过程马尔可夫决策过程(Markov Decision Processes，MDP）马尔可夫决策过程概述马尔可夫决策过程是基于马尔可夫过程理论的随机动态系统的最优决策过程。
马尔可夫决策过程是序贯决策的主要研究领域。
它是马尔可夫过程与确定性的动态规划相结合的产物,故又称马尔可夫型随机动态规划，属于运筹学中数学规划的一个分支.马尔可夫决策过程是指决策者周期地或连续地观察具有马尔可夫性的随机动态系统，序贯地作出决策。
即根据每个时刻观察到的状态，从可用的行动集合中选用一个行动作出决策，系统下一步（未来）的状态是随机的，并且其状态转移概率具有马尔可夫性。
决策者根据新观察到的状态，再作新的决策,依此反复地进行。
马尔可夫性是指一个随机过程未来发展的概率规律与观察之前的历史无关的性质。
马尔可夫性又可简单叙述为状态转移概率的无后效性。
状态转移概率具有马尔可夫性的随机过程即为马尔可夫过程。
马尔可夫决策过程又可看作随机对策的特殊情形，在这种随机对策中对策的一方是无意志的。
马尔可夫决策过程还可作为马尔可夫型随机最优控制，其决策变量就是控制变量。
马尔可夫决策过程的发展概况50年代R。
贝尔曼研究动态规划时和L.S。
沙普利研究随机对策时已出现马尔可夫决策过程的基本思想。
R。
A.霍华德（1960）和D。
布莱克韦尔（1962)等人的研究工作奠定了马尔可夫决策过程的理论基础.1965年，布莱克韦尔关于一般状态空间的研究和E.B。
丁金关于非时齐（非时间平稳性）的研究，推动了这一理论的发展。
1960年以来，马尔可夫决策过程理论得到迅速发展，应用领域不断扩大。
凡是以马尔可夫过程作为数学模型的问题,只要能引入决策和效用结构，均可应用这种理论。
马尔可夫决策过程的数学描述周期地进行观察的马尔可夫决策过程可用如下五元组来描述：｛S，(A(i），i∈S,q,γ，V}，其中S 为系统的状态空间（见状态空间法）； A（i）为状态i(i∈S）的可用行动（措施，控制)集;q为时齐的马尔可夫转移律族，族的参数是可用的行动;γ是定义在Γ（Г呏{（i,ɑ)：a∈A(i），i∈S}上的单值实函数;若观察到的状态为i，选用行动a，则下一步转移到状态 j的概率为q（j│i，ɑ）,而且获得报酬γ(j，ɑ）,它们均与系统的历史无关；V是衡量策略优劣的指标（准则）。
马尔可夫过程
马尔可夫过程Markov process1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔可夫过程的研究开辟了新的道路。
1954年前后，W.费勒将半群方法引入马尔可夫过程的研究。
流形上的马尔可夫过程、马尔可夫向量场等都是正待深入研究的领域。
类重要的随机过程,它的原始模型马尔可夫链,由俄国数学家Α.Α.马尔可夫于1907年提出。
人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前的状态(现在)的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。
这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。
荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化的例子。
青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的,当现在所处的位置已知时,它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。
如果将荷叶编号并用X0,X1,X2,…分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次、……跳跃后所处的荷叶号码，那么{Xn，n≥0} 就是马尔可夫过程。
液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电子层中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔可夫过程。
还有些过程（例如某些遗传过程）在一定条件下可以用马尔可夫过程来近似。
关于马尔可夫过程的理论研究，1931年Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，首先将微分方程等分析方法用于这类过程，奠定了它的理论基础。
1951年前后，伊藤清在P.莱维和C.H.伯恩斯坦等人工作的基础上，建立了随机微分方程的理论，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路。
1954年前后，W.弗勒将泛函分析中的半群方法引入马尔可夫过程的研究中，Ε.Б.登金（又译邓肯）等并赋予它概率意义（如特征算子等）。
50年代初，角谷静夫和J.L.杜布等发现了布朗运动与偏微分方程论中狄利克雷问题的关系，后来G.A.亨特研究了相当一般的马尔可夫过程（亨特过程）与位势的关系。
马尔可夫决策过程简介(七)
马尔可夫决策过程简介马尔可夫决策过程（Markov Decision Process，MDP）是一种用于描述具有随机性和决策性的动态系统的数学模型。
MDP在人工智能、运筹学和控制理论等领域有着广泛的应用，能够帮助我们理解和解决实际问题。
状态、动作和奖励在MDP中，系统的演化被划分为一系列离散的时间步骤。
在每个时间步骤，系统处于一个特定的状态。
状态可以是离散的，也可以是连续的，取决于具体的应用场景。
系统可以采取一系列可能的动作，每个动作都会导致系统转移到下一个状态。
在每个状态下，系统会收到一个奖励，奖励可以是立即的，也可以是延迟的。
系统的目标是选择动作，以最大化长期累积的奖励。
马尔可夫性质MDP的一个重要特征是马尔可夫性质，即未来的状态只取决于当前的状态和采取的动作，而与过去的状态和动作无关。
这一特性简化了对系统的建模，使得我们只需要考虑当前时刻的状态和动作，而不需要关心系统的整个历史轨迹。
值函数和策略为了解决MDP，我们需要定义值函数和策略。
值函数表示在特定状态下采取特定动作可以获得的长期累积奖励的期望值。
策略则表示在每个状态下选择动作的规则。
我们的目标是找到最优的策略，使得值函数最大化。
贝尔曼方程与动态规划贝尔曼方程是MDP的核心方程，描述了值函数之间的关系。
通过贝尔曼方程，我们可以递归地计算值函数，从而找到最优策略。
动态规划是一种基于贝尔曼方程的求解方法，通过不断迭代更新值函数，最终找到最优策略。
强化学习与深度强化学习除了动态规划，强化学习是另一种解决MDP的方法。
强化学习通过代理与环境的交互，不断试错，从而学习到最优策略。
近年来，随着深度学习的兴起，深度强化学习成为了解决MDP的新方法，通过深度神经网络来近似值函数和策略，取得了许多令人瞩目的成果。
MDP的应用MDP在人工智能领域有着广泛的应用，例如智能游戏、机器人控制、自动驾驶等。
在运筹学中，MDP也被用来建模优化问题，如库存管理、资源分配等。
[讲解]马尔可夫过程及其应用
![[讲解]马尔可夫过程及其应用](https://img.taocdn.com/s3/m/796b22c732d4b14e852458fb770bf78a65293aa8.png)
马尔可夫过程马尔可夫过程（Markov Process）什么是马尔可夫过程1、马尔可夫性(无后效性)过程或（系统）在时刻t0所处的状态为已知的条件下，过程在时刻t > t0所处状态的条件分布，与过程在时刻t0之前年处的状态无关的特性称为马尔可夫性或无后效性。
即：过程“将来”的情况与“过去”的情况是无关的。
2、马尔可夫过程的定义具有马尔可夫性的随机过程称为马尔可夫过程。
用分布函数表述马尔可夫过程：设I：随机过程{X(t),t\in T}的状态空间，如果对时间t的任意n个数值:（注：X(t n)在条件X(t i) = x i下的条件分布函数）(注：X(t n))在条件X(t n− 1) = x n− 1下的条件分布函数）或写成：这时称过程具马尔可夫性或无后性，并称此过程为马尔可夫过程。
3、马尔可夫链的定义时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为。
[编辑]马尔可夫过程的概率分布研究时间和状态都是离散的随机序列:,状态空间为1、用分布律描述马尔可夫性对任意的正整数n,r和，有：PX m + n = a j | X m = a i，其中。
2、转移概率称条件概率P ij(m,m + n) = PX m + n = a j | X m = a i为马氏链在时刻m处于状态a i条件下，在时刻m+n转移到状态a j的转移概率。
说明：转移概率具胡特点：。
由转移概率组成的矩阵称为马氏链的转移概率矩阵。
它是随机矩阵。
3、平稳性当转移概率P ij(m,m + n)只与i,j及时间间距n有关时，称转移概率具有平稳性。
同时也称些链是齐次的或时齐的。
此时，记P ij(m,m + n) = P ij(n),P ij(n) = PX m + n = a j | X m = a i(注：称为马氏链的n步转移概率)P(n) = (P ij(n))为n步转移概率矩阵。
特别的, 当k=1 时,一步转移概率：P ij = P ij(1) = PX m + 1 = a j | X m = a i。
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随机过程教案
第七章 马尔可夫过程简介
§7.1 马尔可夫过程定义
对于一个随机过程，如果它具有以下特性：即当过程在现在时刻 tk 所处的状态为已知的条件下，过程在 将来时刻 t tk 处的状态，只与过程在 tk 时刻的状态有关，而与过程在 tk 时刻以前所处的状态无关，则具具有 此种特性的随机过程称为马尔可夫过程。上述随机过程所具有的特性又称为无后效应。无后效应也理解为：过 程 X (t ) 在现在时刻 tk 的状态， X (tk ) ik 已知的条件下，过程“将来”的情况与“过去”的情况是无关的。或 者说，这种随机过程的“将来”只是通过“现在”与“过去”发生联系，如果一旦“现在”已知，那么“将来” 和“过去”就无关了。 或者说，这种随机过程的“将来”只是通过“现在”与“过去”发生联系，如果一旦“现在”已知，那么 “将来”和“过去”就无关了。 严格定义如下： 定义马尔可夫过程：考虑随机过程 X (t ) ，并设 t0 t1 t1 tk t k 1 ，如果它的条件概率密度函数满 足 f [ x (tk 1 ) x (t k ), x(tk 1 ),, x (t0 )] f [ x(tk 1 ) x (tk )] 则称为 X (t ) 为马尔可夫过程。 定义表明，x(tk 1) 的概率密度函数只取决于 x(tk ) 的状态， 而与前 x(tk 1 ),, x(t0 ) 个状态无关。 也就是 “现 在”的状态 x(tk ) 才对“将来”的状态 x(t k 1 ) 有影响，而“过去”的状态 x(tk 1 ), x(t k 2 ),, x(t0 ) 对“将来” 没有影响。 由马尔要夫定义再根据条件密度函数公式，可写出马乐可夫过程的联合概率密度。 ∵
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沈阳理工大学
随机过程教案
f [ x(tk 1 ) | x(tk ),, x(t0 )] f [ x(tk ), x(tk 1 ),, x(t0 )] f [ x(tk 1 ) | x(tk )] f [ x(tk ), x(tk 1 ),, x(t0 )]
i 0 kຫໍສະໝຸດ f [ x(tk 1 ) x(tk ),, x(t0 ) ]
f [ x(tk 1 ), x(tk ), x(tk 1 ),, x(t0 )] f [ x(tk ), x(tk 1 ),, x(t0 )] f [ x(tk 1 ), x(tk ), x(tk 1 ),, x(t0 )]
S1 , S 2 ,, S m 之一，显然事先我们并不能断言岩性到底应转移到哪个状态，只能给出岩性可能转移到某个状态
的概率，这个概率称为转移概率。应用转移概率可以对未来时刻出现的状态种类进行预测。 1. 一阶转移概率 马氏链要以看作是不同状态间的转移过程，当过程在 t n 时刻处于状态 i 条件下，在 t n 1 时刻转移 到状态 j 的概率称为转移概率，记为 P ( xn 1 j | xn i ) Pij (n, n 1) ，这里 i, j 并非一般足标，而是表示两种 状态，并且是从状态 i 向状态 j 转移。 如果状态个数是有限的 m 个，则由转移概率组成的矩阵为 m m 的矩阵，称该矩阵为转移概率矩阵，特 别当马氏链的转移概率 Pij (n, n 1) 只与状态 i, j 有关，而与 n 无关，则称这种马氏链为齐次（或平稳的）马氏 链，此时的转移概率记为 Pij 。其转移概率矩阵可写为
马尔可夫链是一个时间离散、状态离散的时间序列，它的特点是具有无后效应，序列中它在某一时刻的某 一种状态变为另一时刻的某种状态称为状态的转移。 例如在地质工作中，我们可以把岩性看成一个随机运动着的量，而地层剖面上的岩性种类有砂岩、泥岩、 页岩、石灰岩等，设地层剖面岩性种类有 m 种，这 m 个岩性可看成 m 个不同的状态，记为 S1 , S 2 , , S m ，岩 性每经过一个单位时间作一次随机转移，不妨假设岩性现在处于状态 S5 ，那么下次岩性的状态转移可能是
f [ x(ti 1 ) | x(ti )] f (t0 )
由上式要知，马尔可夫过程的联合概率密度函数等于各个转移概率密度和初始概率密度的乘积。
一般地，马尔可夫过程按照其状态和时间参数是连续还是离散，常划分成以下三个讨论和研究。
①时间离散、状态离散的马尔可夫过程，常被称为马尔可夫链；
②时间连续、状态离散的马尔可夫过程；
例如，一个柱状图，如果第 n 1 层岩性只与第 n 层岩性有关，而与更早的岩层无关，则此岩性系列构成 一个马氏链。
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由上可知马尔可夫链实际上是当马尔可夫过程时间离散、状态离散的一个特殊过程。因此，马尔可夫链同 样具有马氏过程的重要特性“无后效益” 。所谓无后效应对于马氏链来说就是已知现在质点所处的状态条件下， 将来质点所处的状态，只与现在质点所处状态有关，而与质点过去所处的状态无关。可以理解秋，这个过程的 历史对未来的全部影响集中在最时刻的状态中，即认为系统的任何观测结果只和紧接前面的观测结果有关。
③时间和状态都连续的马尔可夫过程。
本章重点介绍马尔可夫链。
§7.2 马尔可夫链及其转移概率
设有一质点 P，它在状态 S1 , S 2 , S3 , , S m 上随机地运动，每隔一个单位时间改变一次状态。如果我们把 “质点 P 在时刻 t 所处的状态 S e (i 1,2,, m) ”这一随机事件记为 xt it 那么当上述质点 P 的运动过程具有 下述性质。
P [ xt 1 it 1 | xt tt , xt 1 it 1 ,, x0 i0 ] P [ xt 1 it 1 | xi it ]
时，则称系统状态 {x1} 为一个马尔可失过程，特别地，如果时章离散的 (t 0, 1, 2, ) ，状态也是离散的 。此时系统状态 {x1} 称为一个马尔可夫链，简称马氏链。马氏链中状态数目可以是有限工无 （ S1 , S 2 ,, S m ） 限。