变化率问题 及导数的概念31页PPT
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【人教版】数学选修2变化率问题与.2导数概念课件
做原来函数的导函数，记为
y f ( x) lim f ( x x) f ( x)
x 0
x
f
(
x0
)表
示函 导数 函f数 ( xf
)在x0处 的 导 数 值 ( x)在x0处 的 函 数
值
导数的定义
由导数定义求函数导数的步骤
①求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
②求平均变化率ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0；
人教版数 学选修2 变化率 问题与 .2导数 概念课 件-精 品课件p pt(实 用版)
人教版数 学选修2 变化率 问题与 .2导数 概念课 件-精 品课件p pt(实 用版)
课堂小结
2.利用导数定义求导数： (1)取极限前，要注意化简ΔΔxy，保证使 Δx→0 时分母不为 0.
(2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关. (3)导数可以描述事物的瞬时变化情况，应用非常广泛.
• 已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；反之，已知加 速度作为时间的函数，求速度与路程
• 求曲线的切线 • 求函数的最大值与最小值 • 求长度、面积、体积和重心等
17世纪中叶，牛顿和莱布尼兹各自独立地创立了微积分
学习目标
1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
课堂小结
1.理解平均变化率要注意以下几点： (1) 平均变化率fxx22－ －fx1x1表示点(x1，f(x1))与点(x2，f(x2))连线的斜率，是曲线
陡峭程度的“数量化”.
(2)为求点 x0 附近的平均变化率，上述表达式常写为fx0＋ΔΔxx－fx0的形式.
y f ( x) lim f ( x x) f ( x)
x 0
x
f
(
x0
)表
示函 导数 函f数 ( xf
)在x0处 的 导 数 值 ( x)在x0处 的 函 数
值
导数的定义
由导数定义求函数导数的步骤
①求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
②求平均变化率ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0；
人教版数 学选修2 变化率 问题与 .2导数 概念课 件-精 品课件p pt(实 用版)
人教版数 学选修2 变化率 问题与 .2导数 概念课 件-精 品课件p pt(实 用版)
课堂小结
2.利用导数定义求导数： (1)取极限前，要注意化简ΔΔxy，保证使 Δx→0 时分母不为 0.
(2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关. (3)导数可以描述事物的瞬时变化情况，应用非常广泛.
• 已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；反之，已知加 速度作为时间的函数，求速度与路程
• 求曲线的切线 • 求函数的最大值与最小值 • 求长度、面积、体积和重心等
17世纪中叶，牛顿和莱布尼兹各自独立地创立了微积分
学习目标
1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
课堂小结
1.理解平均变化率要注意以下几点： (1) 平均变化率fxx22－ －fx1x1表示点(x1，f(x1))与点(x2，f(x2))连线的斜率，是曲线
陡峭程度的“数量化”.
(2)为求点 x0 附近的平均变化率，上述表达式常写为fx0＋ΔΔxx－fx0的形式.
2022-2023学年人教A版选择性必修第二册 5-1-1 变化率问题与导数的概念 课件(31张)
3．在 f′(x0)＝lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0中，Δx 不可能为(
C
)
A．大于 0 B．小于 0
C．等于 0 D．大于 0 或小于 0
强研习·重点难点要突破
研习 1 函数的平均变化率
[典例 1] (1)函数 y＝1x从 x＝1 到 x＝2 的平均变化率为( B )
A．－1
B．－12
C．－2
D．2
(2)已知函数 y＝3x－x2 在 x0＝2 处的增量为 Δx＝0.1，则ΔΔxy的值为( B )
A．－0.11
B．－1.1
C．3.89
D．0.29
(1) [解析] 平均变化率为ΔΔxy＝122－ －11＝－12. (2) [解析] ∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11， ∴ΔΔyx＝－00.1.11＝－1.1.
研习 2 求瞬时速度 [典例 2] 一个做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是 s(t)＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在 t＝2 时的瞬时速度．
[解] (1)当 t＝0 时的速度为初速度． 在 0 时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]， ∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2， ΔΔst＝3Δt－ΔtΔt2＝3－Δt， Δlit→m0ΔΔst＝Δlit→m0(3－Δt)＝3. ∴物体的初速度为 3.
时速度，即瞬时速度 v＝lim Δt→0
ΔΔst＝Δlit→ m0
st0＋ΔΔtt－st0.
知识点 2 函数的平均变化率 对于函数 y＝f(x)，设自变量 x 从 x0 变化到 x0＋Δx，相应地，函数值 y 就从 f(x0)变化到 f(x0＋Δx)．这时，x 的变化量为 Δx，y 的变化量为 Δy＝___f_(x_0_＋__Δ_x_)_－__f(_x_0_) __.我们把比值ΔΔyx， 即ΔΔyx＝f__x0_＋__Δ_Δx_x_－__f_x_0__叫做函数 y＝f(x)从 x0 到 x0＋Δx 的平均变化率．
【精品课件】3.1.1-2变化率问题与导数的概念
§1.1
1 2
变化率 谁创立了导数 与导数
导数是在怎样的背景之下产生的 呢
背景
十七与十八世纪的数学家们常把自己的数学活动跟各种 不同自然领域（物理、化学、力学、技术）中的研究活动联 系起来，并由实际需要提出了许多数学问题。历史上，导数
概念产生于以下两个实际问题的研究。第一：求曲线的切线
问题，这是一个非常古老的问题，可以追溯到希腊著名的科 学家阿基米德（Archimedes，287-212B．C）；第二：求非 均速运动的速度，它最早由开普勒(kepler:1571-1630)，伽 利略（Galileo:1564—1642），牛顿(Newton:1642-1727)等 提出来．
y
f (x2)
f f ( x2 ) f ( x1 ) 表示函数f(x) 的图像上 x x2 x1 的两点( x1 , f ( x1 )), ( x2 , f ( x2 ))连线的斜率.
f (x1)
x2 – x1 x1 x2
y = f (x)
f (x 2) – f (x1)
4）物体从3s到3 ts的平均速度 v s(3 t ) s(3) 30 5t (m / s)
(3 t ) 3
平均速度 v 近似地刻画了在某一时间段内物体运动的快慢. 如何精确地刻画物体在某一时刻的速度呢?
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
即如何求物体在t=3s的瞬时速度呢？
t 0
10t0
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
1 2
变化率 谁创立了导数 与导数
导数是在怎样的背景之下产生的 呢
背景
十七与十八世纪的数学家们常把自己的数学活动跟各种 不同自然领域（物理、化学、力学、技术）中的研究活动联 系起来，并由实际需要提出了许多数学问题。历史上，导数
概念产生于以下两个实际问题的研究。第一：求曲线的切线
问题，这是一个非常古老的问题，可以追溯到希腊著名的科 学家阿基米德（Archimedes，287-212B．C）；第二：求非 均速运动的速度，它最早由开普勒(kepler:1571-1630)，伽 利略（Galileo:1564—1642），牛顿(Newton:1642-1727)等 提出来．
y
f (x2)
f f ( x2 ) f ( x1 ) 表示函数f(x) 的图像上 x x2 x1 的两点( x1 , f ( x1 )), ( x2 , f ( x2 ))连线的斜率.
f (x1)
x2 – x1 x1 x2
y = f (x)
f (x 2) – f (x1)
4）物体从3s到3 ts的平均速度 v s(3 t ) s(3) 30 5t (m / s)
(3 t ) 3
平均速度 v 近似地刻画了在某一时间段内物体运动的快慢. 如何精确地刻画物体在某一时刻的速度呢?
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
即如何求物体在t=3s的瞬时速度呢？
t 0
10t0
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
变化率与导数的概念PPT课件
同样Δf=Δy=f(x2)-ห้องสมุดไป่ตู้(x1)
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
14
理解：
1，式子中△x 、△ f 的值可正、可负，但△x
值不能为0， △ f 的值可以为0 2，若函数f (x)为常函数时， △ f =0 3, 变式
f (x2 ) f (x1) f (x1 x) f (x1)
秒）存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
h
如何用运动员在某些时
间段内的平均速度粗略
地描述其运动状态?
o
t
11
请计算 0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
h
o
t
在0 t 0.5这段时间里，v h(0.5) h(0) 4.05(m / s) 0.5 0
2、求曲线的切线; 3、求已知函数的最大值与最小值; 4、求长度、面积、体积和重心等。 以上有物理问题和几何问题，牛顿从物理角度发明微积分，莱 布尼兹从几何角度发明微积分。
学习微积分先从哪里开始？ 先学习导数，要学习导数先学习什 么？那就是平均变化率。从平均变化率我们知道导数是个什么东西。
对于四个问题通过具体例子来说明如果函数是二次那可以求最 大值、最小值、切线、面积（旧方法只可以求直线围成的面积，二 次曲线围成的面积原来方法就不行），如果大于二次那原来方法就 力不从心要发明新方法，于是牛顿、莱布尼兹发明了微积分。 6
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映 他在这段时间里运动状态.
13
平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f (x表1) 示 x2 x1
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
14
理解：
1，式子中△x 、△ f 的值可正、可负，但△x
值不能为0， △ f 的值可以为0 2，若函数f (x)为常函数时， △ f =0 3, 变式
f (x2 ) f (x1) f (x1 x) f (x1)
秒）存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
h
如何用运动员在某些时
间段内的平均速度粗略
地描述其运动状态?
o
t
11
请计算 0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
h
o
t
在0 t 0.5这段时间里，v h(0.5) h(0) 4.05(m / s) 0.5 0
2、求曲线的切线; 3、求已知函数的最大值与最小值; 4、求长度、面积、体积和重心等。 以上有物理问题和几何问题，牛顿从物理角度发明微积分，莱 布尼兹从几何角度发明微积分。
学习微积分先从哪里开始？ 先学习导数，要学习导数先学习什 么？那就是平均变化率。从平均变化率我们知道导数是个什么东西。
对于四个问题通过具体例子来说明如果函数是二次那可以求最 大值、最小值、切线、面积（旧方法只可以求直线围成的面积，二 次曲线围成的面积原来方法就不行），如果大于二次那原来方法就 力不从心要发明新方法，于是牛顿、莱布尼兹发明了微积分。 6
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映 他在这段时间里运动状态.
13
平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f (x表1) 示 x2 x1
高中数学《变化率问题-导数的概念》公开课PPT课件
探究点一 平均变化率的概念 问题 1 气球膨胀率
我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随 着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度，如何描述这种现象呢？
答案 气球的半径 r(单位：dm)与体积 V(单位：L)之间的函数关系
是 r(V)＝ 3 34Vπ， (1)当 V 从 0 增加到 1 L 时，气球半径增加了 r(1)－r(0)≈0.62 (dm)， 气球的平均膨胀率为r11－－0r0≈0.62(dm/L).
变化率在 Δx→0 时的极限，即
某一时刻的速度；变化率limΔx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝Δlixm→0
Δy Δx
②切线斜率
2.函数 f(x)在 x＝x0 处的导数
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的 瞬时变化率 称为函数 y＝f(x)在
x＝x0 处的导数，记作 f′(x0)或y′|x＝x0
3.1 变化率与导数
填一填·知识要点、记下疑难点
1.函数的变化率
定义
实例
函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率
平均
fx2－fx1
①平均速度；
变化率 为
x2－x1 ，简记作：ΔΔxy
②曲线割线的斜率
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化
瞬时 率是函数 f(x)从 x0 到 x0＋Δx 的平均 ①瞬时速度：物体在
解 f(x)＝2x2＋3x－5， ∴Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1) ＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x21＋3x1－5) ＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx ＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.
(1)当 x1＝4，Δx＝1 时，
Δy 21
变化率与导数、导数的计算 (共31张PPT)
4. 若 f x cosx,则 f ' x sin x ;
6. 若 f x ex ,则 f ' x ex ;
1 7. 若 f x loga x, 则 f x ; x lna 1 ' 8. 若 f x ln x, 则 f x . x
3x2sin x－x3－1cos x y′ = sin2x
考点一
导数的运算 (基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
1．基本初等函数的导数公式 (xα)′＝αxα－1，(sin x)′＝cos x，(cos x)′＝－sin x，(ax)′ 1 1 ＝a ln a，(e )′＝e ，(logax)′＝ ，(ln x)′＝x. xln a
'
(二)小题查验
判断正误
(1)sin
π π ′＝cos 3 3
(× ) (× )
(√ )
1 1 (2)若(ln x)′＝x，则x′＝ln x
(3)(3x)′＝3xln 3
基础盘查三
导数四则运算法则
(一)循纲忆知
能利用导数的四则运算法则求解导函数．
知识小结
1. 由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、
f(x0 +Δx)- f(x0 ) k = f(x0 )= lim Δx→ 0 Δx
切线方程：
y - f(x 0 ) = f (x 0 )(x - x 0 )
作用：
确定x = x 0处切线的斜率，从而确 定切线的方程.
(二)小题查验
1．判断正误
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率 ( × )
求下列函数的导数． (1)y＝x2sin x； 1 (2)y＝ln x＋x； (3)y＝ cos x ； ex
《导数的概念及应用》课件
以判断函数的单调性。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
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极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
《变化率和导数》课件
变化率的计算方法
直接代入法
将自变量和因变量的值代入公式 进行计算。
差商法
通过比较函数值的变化量与自变量 的变化量的比值来计算变化率。
极限法
利用极限的概念，将自变量趋近于 某一点时函数值的变化量与自变量 的变化量的比值定义为该点的变化 率。
变化率的实际应用
物理学中的速度和加速度
速度是位置随时间的变化率，加速度 是速度随时间的变化率。
，从而做出更优的决策。
02
供需关系
导数在经济学中还可以用来描述供需关系的变化。例如，需求函数和供
给函数的导数可以用来分析市场价格与需求量或供给量之间的关系，从
而预测市场的变化趋势。
03
最优化问题
在经济学中，最优化问题是一个常见的问题。通过求函数的导数并令其
为零，我们可以找到使函数取得极值的点。这种方法在生产、分配、投
05
总结与展望
总结变化率和导数的知识点
变化率的概念
变化率描述了函数值随 自变量变化的速率，是
导数的基础。
导数的定义
导数表示函数在某一点 的切线斜率，是变化率
的极限形式。
导数的计算方法
包括基本初等函数的导 数、复合函数的导数、
参数方程的导数等。
导数的几何意义
导数等于切线的斜率， 可以用于研究函数的单 调性、极值和拐点等。
THANKS
感谢观看
展望导数在未来的应用和发展
导数的应用
导数在各个领域都有广泛的应用，如经济学 、生物学、物理学等。例如，边际分析、速 度与加速度的研究、最优化的求解等。
导数的未来发展
随着科学技术的发展，导数作为数学的一个 重要分支，将会在理论和应用方面得到更深 入的研究。例如，在人工智能、大数据分析 等领域，导数将发挥更大的作用。同时，随 着数学与其他学科的交叉融合，导数将会在 解决实际问题中发挥更加重要的作用。
《变化率与导数》课件
五、总结
• 变化率与导数的联系与区别 • 导数的应用价值 • 学习导数需要注意的问题
六、Q&A
• 提问环节 • 解答环节
七、参考资料
• 经典教材 • 推荐书目 • 相关网站
解析方式的导数是通过公式求 得的导数，几何方式的导数是 通过像图形函数的斜率来求得 的导数。
四、导数的应用
切线和割线
极值点
切线是函数曲线上点的切线，割 线是通过两点间的曲线段值的点，可以通过导数判断。
单调性与凹凸性
函数的单调性描述了函数值的变 化趋势，凹凸性描述了曲线的弯 曲程度。
《变化率与导数》PPT课 件
# 变化率与导数 PPT课件
一、引言
- 变化率的概念：变化率是指某个量在单位时间内的变化量，它反映了事物变 化的快慢和趋势。
- 导数的引入：导数是描述函数变化率的工具，它告诉我们函数在某个点上的 斜率或切线的斜率。
二、函数的变化率
1
平均变化率
平均变化率是函数在某个区间内的平均速度，可以通过两点间的纵坐标差值除以 横坐标差值来计算。
2
瞬时变化率
瞬时变化率是函数在某个点上的瞬时速度，即经过该点的切线的斜率，可以通过 极限的方法计算。
三、导数的定义
函数在一点的导数
导数是函数在某个点上的变化 率，可以通过求斜率的极限来 计算。
左导数和右导数
左导数是函数在某点左侧的变 化率，右导数是函数在某点右 侧的变化率，它们可以不相等。
解析方式的导数与几 何方式的导数
变化率与导数数学优秀课件详解标准文档ppt
3V r (V ) 3
4
h(t)4.9t2 6.5t10 y f (x)
体积从1L增加到2L的 在0 t 0.5这段时间
平均膨胀率
里的平均速度
从
x 1到
x
的
2
平均变化率
r (2) r (1) 2 1
v h(0.5) h(0) 0.50
f ( x 2 ) f ( x1 ) x 2 x1
平均变化率的几何意义
对任意函数y f (x) ，做过其上任意两点的割线.
不妨以 f (x) 4.9x2 6.5x10 为例. （几何画板演示）
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.
函数 在
处的导数就是切线的斜率 ，即
函数 在
处的导数就是切线的斜率 ，即
因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.
,类似的
.
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.
/ h的速率上升.
求t=2s时的瞬时速度，先考察t=2附近的情
况.在t=2附近任取一个时刻 2 t .
h(t)4.9t2 6.5t 10
t 0
t 0
t 0时, 在2 t，2 t 0时, 在2，2 t
这段时间内的平均速度这段时间内的平均速度
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.
平均变化率
它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 / h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 / h的速率上升.
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.
瞬时变化率
为什么同样从室温变化到100摄氏度，青蛙却有 不同的反应呢？
v h(2) h(2 t) 2 (2 t)