第四章光的相干性概论

第四章 光的相干性概论
在前面的各个部分，凡是涉及到光的叠加，我们通常采用相干叠加或非相干 叠加的方法进行处理。例如在杨氏干涉装置中，两列光波如果是相干的，则叠加
之后干涉项 2A1A2 cos ∆ϕ ≠ 0 ，如果是非相干的，则干涉项 2 A1A2 cos ∆ϕ = 0 。
或者说，在数学处理上，对于相干光，叠加时复振幅相加，U (r) = U1(r) + U2 (r) ；
L0 = ∆Z = λ2 / ∆λ （1.6.8）正是上述的 δMax ，于是对上述现象可以作如下解释。
L =λ2/∆λ 0 Z
带宽为∆λ 的准单色波所形成的波包
由于光源是非单色波 λ ~ λ + ∆λ ，则就是非定态光波，在空间是一个有效长 度为 L0 = λ 2 / ∆λ 的波包。对于屏上的中心点O，到双缝S1、S2的光程相等，因而
= 2 I 0 dx (1 + cos
2π λ
δ ) = 2 I 0 dx [1 + cos
2π λ
( β x + δ 2 )]
∫ 干涉场的强度为 I
= 2I0
b
2 −b
2
dx[1
+
cos
2π λ
(β x + δ2 )]
=
2I0 (b
+
λ πβ
sin
π bβ λ
cos
2π λ
δ2)
I Max
=
2I0b
=| U1(S1,
r)
|2
+
| U2 (S1)
|2
+U1
(S1
)U
∗ 2
(
S1
)
+
+U1∗ (S1)U 2 (S1)
=
I1 ( S1 )
+
I2
( S1 )
+
2
Re[U1
(S1
)U
∗ 2
(S1
)]
U (S1) = U1(S1) + U2 (S1)
I(S2) = U (S2) ⋅U ∗(S2)
=
I1 ( S 2
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记U1(S1, r) 为光源S1发出的、经过第一个圆孔的光波在空间点 r 引起的复振
幅，简记为 U1(S1) ； I (S1, r) 为光源S1发出的光波在空间点 r 的光强，简记作
I (S1) ，则
U (S1) = U1(S1) + U2 (S1)
I (S1) = U (S1) ⋅U ∗ (S1)
而对于非相干光，叠加时光强相加， I (r) = I1(r) + I2 (r) 。
上述对于光的相干性作简单分类，仅仅是为了数学处理上的方便。只是两种 极端的特例。
判断光是否相干的依据是三个条件。满足这三个条件的光，则是相干光，或 完全相干光；不满足这三个条件的光，被称作非相干光，或完全非相干光。相干 光的三个条件是非常严格的，而实际的光通常都不能满足，也就是说，实际的光 源和光波场都不是严格相干的，但也能产生干涉。例如太阳光、或普通光源发出 的光，经过杨氏双孔或双缝后，也能在接收屏上产生较明显的干涉条纹。那么， 这些实际存在的、能够产生干涉的、而又不严格满足相干条件的光，则被称作部 分相干光。
条纹。
第 j 级亮条纹，波长为 λ 的成分的中心在屏上位置为 x = j r0 λ ；波长为 d
λ + ∆λ 的成分的中心在屏上位置为 x = j r0 (λ + ∆λ )
d
除 j=0 级之外，由于入射光的波长由一定的范围 ∆λ ，则第 j 级亮纹在接收屏
上扩展开来，为一条从 x(λ) = j r0 λ 到 x(λ + ∆λ) = j r0 (λ + ∆λ) 的宽带。第 j
I/I
2
γ =0.132
1
0
(d/λr0)x'
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
2
γ =0.062
1
0
(d/λr0)x'
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
I/I
第四章 光的相干性概论
4.1.2 相干孔径与空间相干性
在扩展光源的条件下，杨氏干涉的可见度是一个振荡衰减的函数，当 bβ ∼ 0 λ
相干面积 S = d 2 。
4．2 光场的时间相干性
4.2.1 非单色光的干涉 光的相干性要求各个波列是波长相等的单色光，而实际上，任何光源所发出
的光，都具有一定的波长范围 ∆λ ，可以表示为 λ ~ λ + ∆λ ， ∆λ 称作带宽。
光源的非单色性对干涉的影响。
入射光波长范围为 λ ~ λ + ∆λ ，其中的人一个波长成分都可以形成一套干涉
4.1 光场的空间相干性
4.1.1 光源宽度对干涉条纹可见度的影响 在杨氏干涉装置中，如果 S 是点光源，那么，从理论上说，该光源只有一个
发光中心，或者只包含有一个原子。则 S 发出的每一列光波，都是单色（或准单 色波），经过双孔或双缝后，就分成了两个相干的部分，则两部分是严格相干的， 因而可以产生确定的干涉条纹。
sin2 ( π a x′)
I= I
λ r0 ( π a x′)2
(1+ γ cos 2π d x′) λ r0
λr0
实验测量与理论计算的结果如下图所示。
γ
1.0
0.5
I/I
0.0 0
1
2
3
4
5
6bβ /λ
2
γ =0.703
1
0
(d/λr0)x'
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
d
d
级亮条纹的宽度为 ∆x j (λ
∼ λ + ∆λ) =
j r0 d
∆λ
∝
j 。干涉级数越高，其宽度也越
大。在某一个 j 值处，如果亮带的宽度足够大时，不同级次的条纹将会重迭。也
就是说，大于 j 的级次全部被亮纹覆盖，无法分辨，干涉消失。
当长波限 λ + ∆λ 的 j 级与短波限 λ 的 j+1 级重合时，干涉消失。即
j(λ + ∆λ) = ( j + 1)λ ，可得 j = λ / ∆λ ，最大相干级数。
对应的光程差δMax = j(λ + ∆λ) = ( j +1)λ = λ 2 / ∆λ + λ ≈ λ 2 / ∆λ ，被称作
相干长度。
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4.2.2 关于相干长度的说明。 在第一章 1.6 中，讨论了非单色光叠加产生波包的问题。波包的有效长度为
π a x′
，而
λ
λ r0
δ2
=
x′ r0
d
sin2 ( π a x′)
I
= 2I0 (b + bγ
cos 2π λ
d r0
x′)
λ r0 ( π
= 2bI0
λr0 ( π a x′)2
(1+ γ cos 2π d x′) λ r0
λ r0
记 I = 2bI0
对于由 S′点发出的光波，到达 P 点时，光程差包括两部分： 在双缝之前
δ1 = S2S′ − S1S′ ，
在双缝之后
δ2 = PS2 − PS1 δ = δ1 +δ2 当光源位置改变时， δ1 变化，而 δ2 保持不变。
设 S′的坐标为 x，设光源具有较大的宽度，同时距双缝较远，例如对于天体
的测量，则 b >> d ，同时 l 也很大。
+
2I0
λ πβ
sin πbβ λ
I Min
=
2I0b
−
2I0
λ πβ
sin πbβ λ
sin π bβ
可见度 γ =
λ π bβ
λ
实际上，在上述计算过程中，还应当记入每一缝的衍射效应，即在广强的表
达式中还应该含有单元衍射因子U
( x′)
=
sin(πλa sinθ π a sinθ
)
=
sin( π a x′) λr0
从S1、S2出发的两个波包总是同时达到O点，在O点总能相遇，于是相干叠加产生 干涉；而对于P1点，到双缝的的光程差不相等，但是小于波包的有效长度，即
0 < δ (P1) < L0 ，于是，上述两个波包虽然是先后到达P1点，但在该点能够相遇， 于是也能相干叠加产生干涉；但是，对于P2点，由于 δ (P2 ) = L0 ，当第二个波包
干涉孔径角 β = d ≤ λ 。可得最大干涉孔径角为 lb
∆θ 0
=
λ b
∆θ0 称作相干孔径（角）。
b∆θ 0 = λ ，空间相干性的反比公式。
β < ∆θ0 才有干涉，即，当双缝对光源中心的张角，即干涉孔径（角），小于
相干孔径（角）时，才有干涉。也就是说，当双缝处于相干孔径角之内时，可出 现干涉，否则无干涉。如图所示。
相干时间。
而波包的长度可以用频率表示为
L0
=
λ2
/
∆λ
=
( c )2 ν
c
/( ν
2
∆ν
)
=
c
/
∆ν
，所以
τ = L0 / c = 1/ ∆ν ，即τ ∆ ν = 1
4.2.4 时间相干性
波长范围为 ∆k 的准单色波叠加所形成的波列的复振幅可以表示为
U
(
z,
t
)
=
[
A
sin ∆k (z 2
∆k (z − 2
S′S1 =
l2 + (x − d )2 = 2