专题训练-平行四边形的证明思路

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2020中考数学复习难题突破专题六：平行四边形存在性问题

难题突破专题六平行四边形存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年各地中考的“热点”．解这类题目的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论．若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断；若导出矛盾，就做出不存在的判断．类型1 已知三定点，探究第四个点，使之构成平行四边形1 如图Z6－1，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，4)，B(－6，－2)，C(6，－2)，若以点A，B，C为顶点作一个平行四边形，试写出第四个顶点D的坐标，你的答案唯一吗？图Z6－1例题分层分析(1)符合条件的点D有________个．(2)如何进行分类？2 如图Z6－2，抛物线y＝x2－2x－3与x轴的负半轴交于A点，与y轴交于C点，顶点是M，经过C，M两点作直线与x轴交于点N.图Z6－2(1)直接写出点A，C，N的坐标．(2)在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．例题分层分析(1)分别令________和________即可求得A，C两点的坐标，由抛物线的函数表达式即可求得顶点M的坐标，然后求出直线CM直线的函数表达式便可求得点N的坐标．(2)根据例1的方法，先求出使得以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形的点P的坐标，然后逐一代入抛物线的函数表达式验证得符合条件的点P.解题方法点析已知三定点，探求第四个点，使之构成平行四边形，可以按对角线进行分类，然后利用中点坐标公式求出点的坐标，再验证是否符合限制条件．类型2 已知两个定点，探求限定条件下的另两个动点，使之构成平行四边形3 如图Z6－3，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝4，OC ＝3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D.图Z6－3(1)求抛物线的函数表达式．(2)求点D的坐标．(3)若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．例题分层分析(1)由OA的长度确定出点A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式____________，将________的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线的函数表达式．(2)设直线AC的函数表达式为y＝kx＋b，将点A，C的坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC的函数表达式，与____________联立即可求出点D的坐标．(3)存在，分两种情况考虑：①若AD为平行四边形的对角线，则有MD∥________，MD＝________；②若AD为平行四边形的一边，则MN∥________，MN＝________，此时通过画图可知有两种情况．4 如图Z6－4，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E.(1)求抛物线的函数表达式．(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．图Z6－4(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．例题分层分析(1)由C(0，4)，A(－2，0)和对称轴x＝1可得三个关系式，分别是①__________，②__________，③________，然后联立①②③，即可求得a，b，c，从而得到函数表达式．(2)假设存在满足条件的点F，连结BF，CF，OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G.设点F的横坐标为t，则点F的坐标可表示为________，然后分别用t表示出△OBF，△OFC的面积，而△AOC的面积为________，然后根据四边形的面积为17，得到关于t的方程，解该方程即可判断是否存在符合条件的点F.(3)先运用待定系数法求出直线BC的函数表达式为________，再求出抛物线的顶点坐标为________，由点E在直线BC上，得到点E的坐标为________，从而求得DE＝________．若以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，所以只需DE＝PQ.设点P的横坐标是m，则可表示出点P的坐标为______________，点Q的坐标是______________，然后再进行分类讨论．①当0＜m＜4时，PQ＝________________，②当m＜0或m＞4时，PQ＝______________，再根据DE＝PQ，即可得到关于m的方程，从而求得符合条件的点P的坐标．解题方法点析对于两个定点、两个动点的问题，一般思路是先用一个未知数假设一个相对较简单的动点坐标，然后把这三点看成定点，用该未知数表示另一个动点的坐标，最后再根据动点应满足的条件，求出相应点的坐标．专题训练1．[2017·临沂] 如图Z6－5，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A(2，－3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3O B.(1)求抛物线的解析式．(2)点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标．(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图Z6－52．[2017·泰安] 如图Z 6－6，是将抛物线y ＝－x 2平移后得到的抛物线，其对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点为A (－1，0)，另一个交点为B ，与y 轴的交点为C.(1)求抛物线的函数表达式．(2)若点N 为抛物线上一点，且BC ⊥NC ，求点N 的坐标．(3)点P 是抛物线上一点，点Q 是一次函数y ＝32x ＋32的图象上一点，若四边形OAPQ 为平行四边形，则这样的点P ，Q 是否存在？若存在，分别求出点P ，Q 的坐标；若不存在，说明理由．图Z 6－63.[2017·宜宾] 如图Z 6－7，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴分别交于A (－1，0)，B (5，0)两点． (1)求抛物线的解析式．(2)在第二象限内取一点C ，作CD 垂直x 轴于点D ，连结AC ，且AD ＝5，CD ＝8，将Rt △ACD 沿x 轴向右平移m 个单位长度，当点C 落在抛物线上时，求m 的值．(3)在(2)的条件下，当点C 第一次落在抛物线上时记为点E ，点P 是抛物线对称轴上一点．试探究在抛物线上是否存在点Q ，使以点B ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图Z 6－74．[2017·齐齐哈尔] 如图Z6－8，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E.矩形OABC的边OC，OA的长是关于x的一元二次方程x2－12x＋32＝0的两个根，且OA>O C.(1)求线段OA，OC的长．(2)证明△ADE≌△COE，并求出线段OE的长．(3)直接写出点D的坐标．(4)若F是直线AC上的一个动点，在平面直角坐标系内是否存在点P，使以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．图Z6－8参考答案类型1 已知三定点，探究第四个点，使之构成平行四边形例1 【例题分层分析】(1)3 (2)分别以AB ，BC ，AC 为平行四边形的对角线．解：答案不唯一，有三种情况：若AB 为平行四边形的对角线，则点D 的坐标为(－15，4)；若BC 为平行四边形的对角线，则点D 的坐标为(3，－8)；若AC 为平行四边形的对角线，则点D 的坐标为(9，4)．例2 【例题分层分析】 (1)y ＝0 x ＝0解：(1)A (－1，0)，C (0，－3)，N (－3，0)．(2)存在．若AC 为平行四边形的对角线，则点P 的坐标为(2，－3)；若AN 为平行四边形的对角线，则点P 的坐标为(－4，3)；若CN 为平行四边形的对角线，则点P 的坐标为(－2，－3)．把这三个点的坐标分别代入验证，得点P (2，－3)在该抛物线上，因此存在符合条件的点P ，点P 的坐标为(2，－3)．类型2 已知两个定点，探求限定条件下的另两个动点，使之构成平行四边形例3 【例题分层分析】 (1)y ＝a (x －2)2＋3 点A (2)抛物线的函数表达式 (3)AD AD AN AN解：(1)设抛物线的顶点为E ，根据题意，得E (2，3)．设抛物线的函数表达式为y ＝a (x －2)2＋3，将(4，0)代入，得0＝4a ＋3，即a ＝－34，∴抛物线的函数表达式为y ＝－34(x －2)2＋3＝－34x 2＋3x .(2)设直线AC 的函数表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将(4，0)，(0，3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34，b ＝3.故直线AC 的函数表达式为y ＝－34x ＋3，将直线AC 的函数表达式与抛物线的函数表达式联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－34x ＋3，y ＝－34x 2＋3x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝94或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝0，∴点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，94. (3)存在，分两种情况考虑：Ⅰ.若AD 为平行四边形的对角线，则有MD ∥AN ，MD ＝AN .由对称性得到M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫3，94，即DM 1＝2，故AN 1＝2， ∴点N 1的坐标为(2，0)．Ⅱ.若AD 为平行四边形的一边，则MN ∥AD ，MN ＝AD .①当点M 在x 轴上方时，如图①所示．由Ⅰ知AN 2＝2，∴点N 2的坐标为(6，0)．②当点M 在x 轴下方时，如图②所示，过点D 作DQ ⊥x 轴于点Q ，过点M 3作M 3P ⊥x 轴于点P ，可得△ADQ ≌△N 3M 3P ，∴M 3P ＝DQ ＝94，N 3P ＝AQ ＝3，∴点M 3的纵坐标为－94.将y M ＝－94代入抛物线的函数表达式，得－94＝－34x 2＋3x ，解得x M ＝2－7或x M ＝2＋7，∴x N ＝x M －3＝－7－1或7－1， ∴N 3()－7－1，0，N 4( 7－1，0)．综上所述，满足条件的点N 有4个，N 1(2，0)，N 2(6，0)，N 3(－7－1，0)，N 4( 7－1，0)．例4 【例题分层分析】(1)①c ＝4 ②0＝4a －2b ＋c ③b ＝－2a (2)(t ，－12t 2＋t ＋4) 4(3)y ＝－x ＋4 (1，92) (1，3) 32 (m ，－m ＋4) (m ，－12m 2＋m ＋4) (－12m 2＋m ＋4)－(－m ＋4)＝－12m 2＋2m (－m ＋4)－(－12m 2＋m ＋4)＝12m 2－2m解：(1)由抛物线经过点C (0，4)可得c ＝4，① ∵对称轴为直线x ＝－b2a ＝1，∴b ＝－2a ，②又抛物线经过点A (－2，0)， ∴0＝4a －2b ＋c ，③由①②③得a ＝－12，b ＝1，c ＝4，∴抛物线的函数表达式是y ＝－12x 2＋x ＋4.(2)假设存在满足条件的点F ，如图所示，连结BF ，CF ，OF .过点F 分别作FH ⊥x 轴于点H ，FG ⊥y 轴于点G .设点F 的坐标为(t ，－12t 2＋t ＋4)，其中0＜t ＜4，则FH ＝－12t 2＋t ＋4，FG ＝t ，∴S △OBF ＝12OB ·FH ＝12×4×(－12t 2＋t ＋4)＝－t 2＋2t ＋8，S △OFC ＝12OC ·FG ＝12×4×t ＝2t ，∴S 四边形ABFC ＝S △AOC ＋S △OBF ＋S △OFC ＝4－t 2＋2t ＋8＋2t ＝－t 2＋4t ＋12. 令－t 2＋4t ＋12＝17，即t 2－4t ＋5＝0，则判别式＝(－4)2－4×5＝－4＜0， ∴方程t 2－4t ＋5＝0无解，故不存在满足条件的点F . (3)设直线BC 的函数表达式为y ＝kx ＋b ′(k ≠0)， ∵直线经过点B (4，0)，C (0，4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝b′，0＝4k ＋b′，解得⎩⎪⎨⎪⎧b′＝4，k ＝－1，∴直线BC 的函数表达式是y ＝－x ＋4.由y ＝－12x 2＋x ＋4＝－12(x －1)2＋92，得D (1，92)．∵点E 在直线BC 上，∴点E 的坐标为(1，3)，于是DE ＝92－3＝32.若以点D ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，∵DE ∥PQ ，∴只需DE ＝PQ . 设点P 的坐标是(m ，－m ＋4)，则点Q 的坐标是(m ，－12m 2＋m ＋4)．①当0＜m ＜4时，PQ ＝(－12m 2＋m ＋4)－(－m ＋4)＝－12m 2＋2m ，由－12m 2＋2m ＝32，解得m ＝1或3.当m ＝1时，线段PQ 与DE 重合，m ＝1舍去， ∴m ＝3，此时P 1(3，1)．②当m ＜0或m ＞4时，PQ ＝(－m ＋4)－(－12m 2＋m ＋4)＝12m 2－2m ，由12m 2－2m ＝32，解得m ＝2±7，经检验符合题意，此时P 2(2＋7，2－7)，P 3(2－7，2＋7)．综上所述，满足条件的点P 有3个，分别是P 1(3，1)，P 2(2＋7，2－7)，P 3(2－7，2＋7)．专题训练1．解：(1)令x ＝0，由y ＝ax 2＋bx －3得y ＝－3， ∴C (0，－3)，∴OC ＝3. 又∵OC ＝3OB ，∴OB ＝1， ∴B (－1，0)．把点B (－1，0)和A (2，－3)的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3＝0，4a ＋2b －3＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.(2)过点B 作BE ⊥x 轴，交AC 的延长线于点E . ∵∠BDO ＝∠BAC ，∠BOD ＝∠BEA ＝90°，∴Rt△BDO∽Rt△BAE，∴OD∶OB＝AE∶BE，∴OD∶1＝3∶3，∴OD＝1，∴D点坐标为(0，1)或(0，－1)．(3)存在．M1(0，－3)；M2(－2，5)；M3(4，5)．2．解：(1)由题意，设抛物线的函数表达式为y＝－(x－1)2＋k，把(－1，0)代入，得0＝－(－1－1)2＋k，解得k＝4，∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3. (2)当x＝0时，y＝－(0－1)2＋4＝3，∴点C的坐标是(0，3)，∴OC＝3.∵点B的坐标是(3，0)，∴OB＝3，∴OC＝OB，则△OBC是等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°.过点N作NH⊥y轴，垂足为H.∵∠NCB＝90°，∴∠NCH＝45°，∴NH＝CH，∴HO＝OC＋CH＝3＋CH＝3＋NH，设点N为(a，－a2＋2a＋3)，∴a＋3＝－a2＋2a＋3，解得a＝0(舍去)或a＝1，∴点N的坐标是(1，4)．(3)∵四边形OAPQ是平行四边形，∴PQ ＝OA ＝1，且PQ ∥OA .设P (t ，－t 2＋2t ＋3)，则Q (t ＋1，－t 2＋2t ＋3)．将点Q (t ＋1，－t 2＋2t ＋3)代入y ＝32x ＋32，得－t 2＋2t ＋3＝32(t ＋1)＋32，整理得2t 2－t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝12， ∴－t 2＋2t ＋3的值为3或154， ∴P ，Q 的坐标分别是(0，3)，(1，3)或(12，154)，(32，154)． 3．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (5，0)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0，－25＋5b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝5， ∴y ＝－x 2＋4x ＋5.(2)∵点C 的纵坐标为8，∴令－x 2＋4x ＋5＝8，解得x 1＝1，x 2＝3，当x ＝1时，m ＝1－(－6)＝7；当x ＝3时，m ＝3－(－6)＝9.综上所述，将△ADC 沿x 轴向右平移7个或9个单位长度时，点C 落在抛物线上．(3)由(1)得，抛物线的对称轴为直线x ＝2，即点P 的横坐标为x P ＝2，由(2)得点E (1，8)．若以点B ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，则分两类情况讨论：①以BE 为一边的平行四边形，如图①，②，则||x Q －2＝4，解得x Q ＝6或x Q ＝－2，∴Q (6，－7)或Q (－2，－7)；②以BE 为对角线的平行四边形，如图③，则x Q ＝x B ＋x E －x P ＝5＋1－2＝4，∴Q (4，5)．综上所述，使得以点B ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形的点Q 的坐标为(6，－7)或(－2，－7)或(4，5)．4．解：(1)解x 2－12x ＋32＝0得x 1＝8，x 2＝4.∵边OC ，OA 的长是关于x 的一元二次方程x 2－12x ＋32＝0的两个根，且OA >OC ， ∴OA ＝8，OC ＝4.(2)∵把矩形OABC 沿对角线AC 所在的直线折叠，点B 落在点D 处，DC 与y 轴相交于点E ， ∴AD ＝AB ＝CO ，∠ADE ＝∠ABC ＝∠COE ，又∵∠AED ＝∠CEO ，∴△ADE ≌△COE (AAS )，∴CE ＝AE ＝OA －OE ＝8－OE .在Rt △OEC 中，由勾股定理得OE 2＋OC 2＝CE 2，即OE 2＋42＝(8－OE )2，∴OE ＝3.(3)如图所示，作DM ⊥x 轴于点M ，则△COE ∽△CMD ，∴OE DM ＝CO CM ＝CE CD ，即3DM ＝44＋OM ＝58，∴OM ＝125，DM ＝245，∴点D 的坐标为(－125，245)．(4)存在．如图①所示，点P 的坐标为(54，12)；① ②如图②所示，点P的坐标为(4，5)；如图③所示，点P的坐标为P3(5，3－2 5)；③④如图④所示，点P的坐标为P4(－5，3＋2 5)．。

专题训练(四) 特殊平行四边形的证明与计算

12．(2017·六盘水)如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E， 75° ． F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝_____ 13 ．(2017·绍兴) 如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD 为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1 500 m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3 4600 100 m，则小聪行走的路程为_______m.
5．(导学号 69654100)(2017· 苏州)如图，在菱形 ABCD 中，∠A＝60° ， AD＝8，F 是 AB 的中点．过点 F 作 FE⊥AD，垂足为点 E. 将△AEF 沿点 A 到点 B 的方向平移，得到△A′E′F′. 设 P，P′分别是 EF，E′F′的中点，当点 A′与点 B 重合时，四边形 PP′CD 的面积为( A ) A．28 3 C．32 3 B．24 3 D．32 3－8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)作 AH⊥BD 于点 H，由题意知∠AGB＝60° ，∠ABG＝45° ， ∴△ABH 为等腰直角三角形，△AGH 为含 30° 角的直角三角形． 2 6 2 6 ∵AB＝1，∴AH＝BH＝ 2 ，HG＝ 6 .∴BG＝ 2 ＋ 6 .
解：(1)证明：如图①，根据折叠，∠DBC＝∠DBE. 又AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB.∴∠DBE＝∠ADB. ∴DF＝BF.∴△BDF是等腰三角形． (2)①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴FD∥BG.又DG∥BE， ∴四边形BFDG是平行四边形．∵DF＝BF，∴四边形BFDG是菱形．
解： (1)AG2 ＝ GE2 ＋ GF2. 证明：连接 GC ，由正方形的性质知 AD ＝ CD ，

2019重庆中考数学第24题专题训练---- 平行四边形(含大部分题目答案)

6、重庆市沙坪坝区 2019 届九年级上学期期末
A E
D
G
F
A
D
G
E
F
B
C
第 24 题图 1
B
C
第 24 题图 2
3
7、已知，在平行四边形 ABCD 中，AE⊥BC，且 E 为 BC 的中点，AE=2BE，P 为 BC 上一点，连接 DP，作 EF⊥DP 于点 F，连接 AF. （1）若 AD=4，求 AE 的长；（2）求证： 2 AF+EF=DF.
G.点 H 在 BC 的延长线上，且 CH=AG, 连接 EH.
(1)若 BC 12 2 ,AB=13,求 AF 的长; (2)求证:EB=EH.
9
19、重庆市 2018 年初中学业水平暨高中招生考试数学( A 卷)
A
F
D
O
H
G
B
E
C
10
2019 重庆中考数学第 24 题专题训练---平行四边形答案
连接 AF 与 DE 交于点 G。（1）若∠C=60°，AB=2，求 GF 的长；（2）过点 A 作 AH⊥AD，且 AH=CE，求证：AB=DG+AH
1
3、如图，已知 ABCD 中，DE⊥BC 于点 E，DH⊥AB 于点 H，AF 平分∠BAD，分别交 DC、DE、DH 于点 F、G、M，
（1）若∠F=60°，∠C=45°，BC= 2 6 ，请求出 AB 的长；（2）求证：CD=BF+DF.
F
E
D
A
B
G
C
6
13、重庆一中初 2019 级 17－18 学年度下期期末
已知在平行四边形 ABCD 中，过点 D 作 DE BC 于点 E ，且 AD DE ．连接 AC 交 DE 于点 F ，作 DG AC 于点 G ．（1）如图 1，若 EF 1 ， AF 13 ，求 DG 的长；

人教版八年级数学下册优秀作业课件第十八章平行四边形专题训练(七) 与正方形有关的几个常考模型

(2)成立
模型二正方形中过对角线交点的直角问题 3．如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，正方形A1B1C1O的边OA1， OC1分别交正方形ABCD的边AB，BC于点E，F. (1)求证：△AOE≌△BOF； (2)如果这两个正方形的边长都为a，求这两个正方形重叠的部分四边形OEBF的面积．
解： (1)AE＝ DF，AE⊥DF，理由如下：设 AE与 DF相交于点 P，∵四边形 ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°.又∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线 DC ， CB 上移动， ∴ DE ＝ CF ， ∴△ADE≌△DCF，∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF.又∵∠CDF＋∠ADF＝90°， ∴∠DAE＋∠ADF＝90°，∴∠APD＝90°，∴AE⊥DF
【应用】(1)C△BEF＝BE＋BF＋EF＝BE＋BF＋AE＋CF＝AB＋BC＝2＋2＝4 (2)EF＝CF－AE，理由如下：如图，在CB上取一点G，使CG＝AE，连接DG， ∵AE＝CG，∠DAE＝∠C＝90°，AD＝DC，∴△DAE≌△DCG，∴DE＝DG， ∠ EDA ＝ ∠ GDC. 又 ∵ ∠ ADC ＝ 90° ， ∴ ∠ EDG ＝ ∠ ADG ＋ ∠ ADE ＝ ∠ ADG ＋ ∠ GDC ＝ 90°. 又 ∵ ∠ EDF ＝ 45° ， ∴ ∠ FDG ＝ 45° ＝ ∠ EDF. 又 ∵ DF ＝ DF ， ∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF＝CF－CG＝CF－AE
2．(模型运用)如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，连接AE，DF.
(1)如图①，当点E，F分别在边DC，CB上移动时，请写出AE与DF的关系，并说明理由；

专题训练4 平行四边形的存在性问题

专题训练4 平行四边形的存在性问题针对训练1、如图已知抛物线y=-x 2-2x+3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C 顶点为P.若以A 、C 、P 、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=-x 2+2x+3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在这条抛物线上，点P 在y 轴上，如果以点P 、M 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标3、将抛物线c1:y=23x 3-+沿x 轴翻折，得到抛物线c2如图所示现将抛物线c1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ：将抛物线c2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D E 在平移过程中，是否存在以点A 、N 、F,M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理曰如图，4、抛物线y=25x bx c 4-++与y 轴交于点A （0,1），过点A 的直线与抛物线交于为一点B （3.2），过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是x 轴正半轴上的一动点，过点P 作PN ⊥x 轴交直线AB 于点M ，交抛物线于点N 设OP 的长度为m ，连结CM 、BN ，当m 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？5、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度过点P作PD∥BC，交AB于点D，连结PQ点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=，PD=（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度6、如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（4,0）、B（0,3），点C的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴上的一动点，且满足O=2x，连结DE，以DE、DA 为边作平行匹边形DEFA（1）如果平行四边形DEFA为矩形，求m的值（2）如果平行四边形DEFA为菱形，请直接写出m的值真题演练7、（18衢州24）如图，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为（6,8），直线CD交AB于点D（6，3），交x轴于点C（12,0）（1）求直线CD的函数表达式；（2）动点P在x轴上从点（-10,0）出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t①点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA=∠B？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由②请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O、B、M、Q为顶点的四边形是菱形？并求出此时t的值8、（19连云港26）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线L1：y=x 2+bx+c 过点C （0，-3），与抛物线L2：y=213222x x --+的一个交点为A ，且点A 的横坐标为2，点P 、Q 分别是抛物线L1，L2上的动点（1）求抛物线L1的函数表达式（2）若以A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求点P 的坐标；（3）设点R 为抛物线L1上另一个动点，且CA 平分∠PCR 若OQ ∥PR ，求点Q 的坐标9、（19南充25）抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （-1,0）、点B （-3,0）与y 轴交于点C ，且OB=OC （如图所示）（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上，且∠POB=∠ACB ，求点P 的坐标；（3）抛物线上有两点M 、N ，点M 的横坐标为m ，点N 的横坐标为m+4.点D 是抛物线上M 、N 之间的动点，过点D 作y 轴的平行线交MN 于点①求DE 的最大值 ②点D 关于点E 的对称点为F ，当m 为何值时，四边形MDNF 为矩形？10（17泰安28）如图是将抛物线y=-x 2平移后得到的抛物线，其中对称轴为x=1，与x 轴的一个交点为A （-1,0），另一个交点为B ，与y 轴的交点为C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N 为抛物线上一点，且BC ⊥NC ，求点N 的坐标；（3）点P 是抛物线上一点，点Q 是一次函数y=2x+2的图象上一点，若四边形OAPQ 为平行四边形，这样的点P 、Q 是否存在？若存在，分别求出点P 、Q 的坐标；若不存在，请说明理由模拟训练11、（2018年长沙市中考模拟（三）第26题）如图，已知抛物线y=x2-2x+a（a<0）与y轴相交于点A，顶点为M直线y=2x-a分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线M相交于点N.（1）试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标；（2）如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N恰好落在抛物线上，AN与x轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；（3）在抛物线y=x2-2x+a上是否存在一点P，使得以P、A、 C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由12、（2019年内蒙古准格尔旗中考模拟第24题）如图所示，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A （-1,0）、C（2,3）两点，其顶点为D（1）求抛物线及直线AC的函数关系式（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶4O点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，直接写出△APC的面积的最大值及此时点P的坐标专题预测13、如图，在平面直角坐标系中，矩形1BC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（3.33）。

人教版八年级下册数学平行四边形证明题专题训(带答案)

人教版八年级下册数学平行四边形证明题专题训练1．ABCD 中，点E 、F 是AC 上的两点，并且AE CF =．求证：四边形BFDE 是平行四边形．2．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且//,//DE AC CE BD ．求证：四边形OCED 是菱形．3．如图，在ABC 中，90CAB ∠=︒，DE ，DF 是ABC 的中位线，连接EF ，AD ．求证：EF AD =．4．如图，将▱AECF 的对角线EF 向两端延长，分别至点B 和点D ，且使EB ＝FD ．求证：四边形ABCD 为平行四边形．5．如图，在四边形ABCD 中，AB CD =，BE DF =；AE BD ⊥，CF BD ⊥，垂足分别为E ，F ．（1）求证：ABE △≌CDF ；（2）若AC 与BD 交于点O ，求证：AO CO =．6．如图，在ABCD中，点E，F分别在AD、BC上，且AE CF=，连接EF，AC交于点O．求证：OE OF=．7．已知：如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别相交于点E、F．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）当EF与AC满足什么关系时，以A、E、C、F为顶点的四边形是菱形？并给出证明．8．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF ＝BD，连接BF．（1）求证：D是BC的中点（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．AC，连接CE、OE，连接AE交9．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝12OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在边CD上，连接AE，将四边形ABCE沿直线AE折叠，得''，且B C''恰好经过点D．到多边形AB C E（1）线段DC′的长度；（2）求ADE的面积．11．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．12．如图将矩形ABCD沿对角线AC对折,使△ABC落在△ACE的位置,且CE与AD相交于点F,求证:EF=DF.13．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．14．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF，（1）证明：∠BAC=∠DAC．（2）若∠BEC=∠ABE，试证明四边形ABCD是菱形．15．如图，在ABCD中，过点D作DE AB=，连接AF，BF．⊥于点E，点F在边CD上，CF AE（1）求证：四边形BFDE是矩形；AD=，求DC的长度．（2）已知60∠=︒，AF是DABDAB∠的平分线，若316．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．17．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F，使EF＝DE，连接BF．（1）求证：四边形ABFD是平行四边形；（2）求证：BF＝DC．18．如图，在□ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF 是平行四边形．19．如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE点F在AB上，且BF=DE（1）求证：四边形BDEF 是平行四边形（2）线段AB ，BF ，AC 之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论20．如图，在矩形ABCD 中，8AB cm =，16BC cm =，点P 从点D 出发向点A 运动，运动到点A 停止，同时，点Q 从点B 出发向点C 运动，运动到点C 即停止，点P 、Q 的速度都是1/cm s ．连接PQ 、AQ 、CP ．设点P 、Q 运动的时间为ts ．（1）当t 为何值时，四边形ABQP 是矩形；（2）当t 为何值时，四边形AQCP 是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP 的周长和面积．参考答案：1．证明：如图，连接,BD 交AC 于,OABCD ,,,OA OC OB OD ∴==,AE CF =,OA AE OC CF ∴-=-,OE OF ∴=∴四边形BFDE 是平行四边形．2．∵////DE AC CE BD ，，∴四边形OCED 是平行四边形．∵矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，∴OC=OD ，∴四边形OCED 是菱形．3．证明：∵DE 、DF 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，DF ∥AC ，∴四边形DEAF 是平行四边形，∵∠CAB ＝90°，∴四边形DEAF 是矩形，∴EF ＝AD ．4．解：连接AC 交EF 于点O∵四边形AECF 为平行四边形∴OF OE =，OA OC =∵EB FD =∴OF FD OE EB +=+∴OD OB =∴四边形ABCD 为平行四边形5．【详解】（1）证明：∵AE BD ⊥，CF BD ⊥，∴90AEB CFD ∠=∠=︒，∵AB CD =，BE DF =，∴ABE △≌CDF ．（2）由（1）ABE △≌CDF ，∴AE CF =，∵AE BD ⊥，CF BD ⊥，∴90AEO CFO ∠=∠=︒，∵AOE COF ∠=∠，∴()AEO CFO AAS ≌∴AO CO =．6．证明：四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，AEO CFO在AOE △和COF 中AOE COF AEO CFO AE CF ∠=∠⎧⎪∴∠=∠⎨⎪=⎩AOE COF ∴≅OE OF ∴=．7．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OB =OD ，∵AE //CF ，∴∠E =∠F ，∠OBE =∠ODF ，在△BOE 与△DOF 中，E F OBE ODF OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOE ≌△DOF （AAS ）；（2）当EF ⊥AC 时，四边形AECF 是菱形．证明：∵△BOE ≌△DOF ，∴OE =OF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA =OC ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形．8．证明：（1）∵AF ∥BC ，∴∠AFE =∠DCE ，∵E 是AD 的中点，∴AE =DE ，∵∠AFE ＝∠DCE ， ∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=DC，∵AF=BD，∴BD=CD，∴D是BC的中点；（2）四边形AFBD是矩形．理由：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵AF=BD，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形，又∵∠ADB=90°，∴四边形AFBD是矩形．9．（1）∵四边形ABCD是菱形，∴OC＝1AC，AC⊥BD，2AC，∵DE＝12∴DE＝OC，∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2，AC=1，AC⊥BD，AD=2，∵OA=12∴OD=∴在矩形OCED 中，CE ＝OD∴在Rt △ACE 中，AE10．解：（1）∵四边形ABCD 是矩形∴AD=BC=10，AB=CD=6，∠B=∠C=90°∵将四边形ABCE 沿直线AE 折叠，得到多边形AB′C′E ， ∴AB=AB'=6，CE=C'E ，B'C'=BC=10，∠B'=∠B=90°，∠C=∠C'=90°∵8∴C'D=B'C'-B'D=2，（2）设DE=x ，则EC′=6-x ，由（1）可知∠C'=90°，C'D=2∴在Rt △C′DE 中，222(6)2x x -+=，解得：103x =∴ADE 的面积为111050102233AD DE ⋅=⨯⨯= 11．证明：（1）∵BF=DE ，∴BF EF DE EF -=-，即BE=DF ，∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEB=∠CFD=90°，在Rt △ABE 与Rt △CDF 中，AB CD BE DF=⎧⎨=⎩, ∴Rt ABE Rt CDF ∆∆≌（HL ）；（2）如图，连接AC 交BD 于O ，∵Rt ABE Rt CDF ∆∆≌，∴ABE CDF ∠=∠，∴//D AB C ，∵=D AB C ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AO CO =．12．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D =∠E ，AE =CD ，又∵∠AFE =∠CFD ，在△AEF 和△CDF 中，E D AFE CFD AE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△CDF (AAS )，∴EF =DF .13．(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，AB AD CB CD AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADC(SSS)，∴∠BAC=∠DAC ，在△ABF 和△ADF 中,AB AD BAF DAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△ADF(SAS)，∴∠AFB=∠AFD ，∵∠CFE=∠AFB ，∴∠AFD=∠CFE ，∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；(2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；(3)BE⊥CD时，∠BCD=∠EFD；理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∵CF=CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠BCD=∠EFD.14．（1）在△ABC和△ADC中，∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，在△ABF和△ADF中，∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，AF=AF，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB=∠AFD．（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵∠BAC=∠DAC ，∴∠ACD=∠CAD ，∴AD=CD ，∵AB=AD ，CB=CD ，∴AB=CB=CD=AD ，∴四边形ABCD 是菱形．15．解：（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形， //DC AB ∴，DC AB =，CF AE =，DF BE ∴=且//DC AB ，∴四边形DFBE 是平行四边形，又DE AB ⊥，∴四边形DFBE 是矩形；（2）60DAB ∠=︒，3AD =，DE AB ⊥，32AE ∴=，DE =四边形DFBE 是矩形，BF DE ∴==AF 平分DAB ∠，1302FAB DAB ∴∠=∠=︒，且BF AB ⊥， 92AB ∴==， 92CD ∴=． 16．证明：（1）∵▱ABCD ，∴AO ＝OC ，∵△ACE 是等边三角形，∴EO ⊥AC （三线合一）即 BD ⊥AC ，∴▱ABCD是菱形；（2）∵△ACE是等边三角形，∠EAC＝60°由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形∴∠EAO＝60°，∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，∵▱ABCD是菱形，∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，∴菱形ABCD是正方形．17．（1）∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，AB=2DE，AD=CD，∵EF=DE，∴DF=2DE，∴AB=DF，且AB∥DF，∴四边形ABFD是平行四边形；（2）∵四边形ABFD是平行四边形，∴AD=BF，且AD=CD，∴BF=DC．18．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD，又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，∴DE=BF，AE=CF，∠DAE=∠BCF=60°，∴∠BCD-∠BCF=∠DAB-∠DAE，即∠DCF=∠BAE，∴△DCF≌△BAE（SAS），∴DF=BE，∴四边形BEDF是平行四边形.19．（1）证明：延长CE 交AB 于点G∵AE ⊥CE∴90AEG AEC ︒∠=∠=在AEG ∆和AEC ∆GAE CAE AE AEAEG AEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AEG ∆≅AEC ∆∴GE=EC∵BD=CD∴DE 为CGB ∆的中位线∴DE //AB∵DE=BF∴四边形BDEF 是平行四边形（2）1()2BF AB AC =- 理由如下：∵四边形BDEF 是平行四边形∴BF=DE∵D ，E 分别是BC ，GC 的中点∴BF=DE=12BG∵AEG ∆≅AEC ∆∴AG=AC BF=12（AB-AG ）=12（AB-AC ）．20．解：（1）在矩形ABCD 中，8AB cm =，16BC cm =， 16BC AD cm ∴==，8AB CD cm ==，由已知可得，BQ DP tcm ==，(16)AP CQ t cm ==-，在矩形ABCD 中，90B ∠=︒，//AD BC ，当BQ AP =时，四边形ABQP 为矩形，16t t ∴=-，得8t =，故当8t s =时，四边形ABQP 为矩形；（2）AP CQ =，//AP CQ ，∴四边形AQCP 为平行四边形，∴当AQ CQ =时，四边形AQCP 为菱形16t -时，四边形AQCP 为菱形，解得6t =，故当6t s =时，四边形AQCP 为菱形；（3）当6t s =时，16610AQ CQ CP AP cm ====-=，则周长为41040cm cm ⨯=；面积为210880cm cm cm ⨯=．。

平行四边形专题训练(含答案)

平行四边形专题训练一．解答题（共17小题）1．如图，在▱ABCD中，CE⊥AD于点E，且CB＝CE，点F为CD边上的一点，CB＝CF，连接BF 交CE于点G．（1）若∠D＝60°，CF＝2，求CG的长；（2）求证：AB＝ED+CG．2．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC交BC于点E，且DE＝AD，F为DC上一点，且AD＝FD，连接AF与DE交于点G．（1）若∠C＝60°，AB＝2，求GF的长；（2）过点A作AH⊥AD，且AH＝CE，求证：AB＝DG+AH．3．如图，已知▱ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH 于点F、G、M，且DE＝AD．（1）求证：△ADG≌△FDM．（2）猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想．4．如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD＝DF．过点D作DC的垂线，分别交AE、AB于点M、N．（1）若M为AG中点，且DM＝2，求DE的长；（2）求证：AB＝CF+DM．5．在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，F为CD边上一点，满足BF＝BC＝BE．（1）如图1，若BC＝12，CD＝13，求DE的长；（2）如图2，过点G作DG∥BE交BF于点G．求证：BG＝AE+DG．6．如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE的延长线交CD于点F，交AD的延长线于点G．（1）若BE＝，EC＝，求△BCE的面积；（2）若∠ABE＝2∠EBC，且AB＝BE，求证：EC＝DG．7．如图1，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，E恰为BC的中点，tan B＝2．（1）求证：AD＝AE；（2）如图2，点P在线段BE上，作EF⊥DP于点F，连接AF，求证：；（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF 垂直直线DP，垂足为点F，连接AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．8．如图①，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，AB⊥AC，过点A作AE⊥BD于点E．（1）若BC＝6，求AE的长度；（2）如图②，点F是BD上一点，连接AF，过点A作AG⊥AF，且AG＝AF，连接GC交AE 于点H，证明：GH＝CH．9．在▱ABCD中，点E是BC的中点，过点A作AF⊥CD交直线CD于点F，连接AE、DE（1）如图1，当点F与点C重合时，AB＝AC＝2，求线段DE的长；（2）如图2，若∠EAF＝30°，AE＝CF，求证：BE＝AF．10．已知，在▱ABCD中，AB⊥AC，点E是AC上一点，连换BE，延长BE交AD于点F，BE＝CE．（1）如图1，当∠AEB＝60°，BF＝2时，求▱ABCD的面积；（2）如图2，点G是过点E且与BF垂直的直线上一点，连接GF，GC，FC，当GF＝GC时，求证：AB＝2EG．ABCD BD AD E CD AE BD F G为AF的中点，连接DG．（1）如图1，若DG＝DF＝1，BF＝3，求CD的长；（2）如图2，连接BE，且BE＝AD，∠AEB＝90°，M、N分别为DG，BD上的点，且DM＝BN，H为AB的中点，连接HM、HN，求证：∠MHN＝∠AFB．12．在△BCF中，点D是边CF上的一点，过点D作AD∥BC，过点B作BA∥CD交AD于点A，点G是BC的中点，点E是线段AD上一点，且∠CDG＝∠ABE＝∠EBF．（1）若∠F＝60°，∠C＝45°，BC＝2，请求出AB的长；（2）求证：CD＝BF+DF．13．已知在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC于点E，且AD＝DE．连接AC交DE于点F，作DG⊥AC于点G．（1）如图1，若，AF＝，求DG的长；（2）如图2，作EM⊥AC于点M，连接DM，求证：AM﹣EM＝2DG．14．已知，在平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，且DE＝DC．（1）若点E与点A重合（如图1），点B沿MN翻折后的点B1恰好落在AC上，且∠MNB1＝45°，AB1＝1，AM＝2，BM＝．求：①∠AMN的度数；②BN的长；（2）如图2，若CE交对角线BD于F，∠ABD＝2∠DBC，求证：BC＝DF+AB．15．在平行四边形ABCD中，点E是AD边上的点，连接BE．（1）如图1，若BE平分∠ABC，BC＝8，ED＝3，求平行四边形ABCD的周长；（2）如图2，点F是平行四边形外一点，FB＝CD．连接BF、CF，CF与BE相交于点G，若∠FBE+∠ABC＝180°，点G是CF的中点，求证：2BG+ED＝BC．16．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG．17．如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH．（1）若BC＝12，AB＝13，求AF的长；（2）求证：EB＝EH．18．如图，平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，点F是AD上一点，连结BF、CF，交CE于点G。

专题训练(3) 平行四边形的性质与判定的四种运用

专题训练(三) 平行四边形的性质与判定的四种运用► 类型一平行四边形与全等三角形1．用两个全等三角形最多能拼成________个不同的平行四边形．2．如图3－ZT －1，在平行四边形ABCD 中，分别以BC ，AD 为边作等边三角形BCM 和等边三角形AND ，MN 与AC 交于点O .求证：OM ＝ON .图3－ZT －13．如图3－ZT －2，△ABC 中，分别以AB ，AC 为边向三角形外作△ABD 和△ACE ，使AD ＝AB ，AE ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ＝90°.AH ⊥BC ，H 为垂足，点F 在HA 的延长线上，且AF ＝BC .求证：四边形AEFD 是平行四边形．图3－ZT －2► 类型二平行四边形与等腰三角形4．如图3－ZT －3所示，在▱ABCD 中，AC 的垂直平分线交AD 于点E ，且△CDE 的周长为8，则▱ABCD 的周长是( )A ．10B ．12C ．14D ．16图3－ZT －35．如图3－ZT －4，在平行四边形ABCD 中，AB ＞AD ，按以下步骤作图：以点A 为圆心，小于AD 的长为半径画弧，与AB ，AD 分别交于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点G ；作射线AG 交CD 于点H ，则下列结论中不能由条件推理得出的是( )A ．AG 平分∠DAB B ．AD ＝DHC ．DH ＝BCD ．CH ＝DH图3－ZT－46．如图3－ZT－5，平行四边形ABCD和平行四边形DCFE的周长相等，∠B＋∠F＝220°，则∠DAE的度数为________．图3－ZT－57．在▱ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，则AB的长为________．8．如图3－ZT－6所示，如果▱ABCD的一内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE ＝BE，求▱ABCD各内角的度数．图3－ZT－69．如图3－ZT－7，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，EF∥AC.(1)求证：BE＝AF；(2)若∠ABC＝60°，BD＝6，求四边形ADEF的面积．图3－ZT－7►类型三平行四边形中的中点问题10．如图3－ZT－8所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA长的取值范围是()图3－ZT－8A．2 cm＜OA＜5 cmB．2 cm＜OA＜8 cmC．1 cm＜OA＜4 cmD．3 cm＜OA＜8 cm11．已知：如图3－ZT－9，四边形ABCD中，AC＝7，BD＝8，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的周长是________．图3－ZT－912．如图3－ZT－10所示，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5，则对角线BD＝__________．图3－ZT－1013．如图3－ZT－11，AC，BD是四边形ABCD的对角线，E，F分别是AD，BC的中点，M，N分别是BD，CA的中点，求证：EF，MN互相平分．图3－ZT－1114．如图3－ZT－12所示，在▱ABCD中，M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD ＝10，求▱ABCD的面积．图3－ZT－12►类型四平行四边形中数学思想的运用15．整体思想如图3－ZT－13，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，△AOB与△AOD的周长之和为11.4 cm，两对角线的长度之和为7 cm，则这个平行四边形的周长为________cm.图3－ZT－1316．转化思想——分散向集中转化如图3－ZT－14，等边三角形ABC的边长为7 cm，M为△ABC内任一点，MD∥AC，ME∥AB，MF∥BC，则MD＋ME＋MF＝________．图3－ZT－1417．分类讨论思想如图3－ZT－15，直线a和b平行，直线a上有一个定点M和一个动点P，点P从点M开始以2 cm/s的速度向点A的方向运动；直线b上有两个定点E和N，EN＝12 cm，动点Q以4 cm/s的速度从点E向点N的方向运动，则经过几秒后，以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形？图3－ZT－15详解详析1．[答案] 32．证明：在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴∠OAD ＝∠OCB .∵在等边三角形BCM 和等边三角形AND 中， ∠NAD ＝∠MCB ＝60°，AN ＝AD ，BC ＝MC ， ∴∠NAO ＝∠MCO ，AN ＝MC . 又∵∠AON ＝∠COM ， ∴△AON ≌△COM ，∴OM ＝ON .3．证明：∵∠BAD ＝90°，点F 在HA 的延长线上， ∴∠DAF ＋∠BAH ＝90°.∵AH ⊥BC ，∴∠ABC ＋∠BAH ＝90°， ∴∠DAF ＝∠ABC .又∵AD ＝BA ，AF ＝BC ， ∴△DAF ≌△ABC (SAS)， ∴DF ＝AC ，∠ADF ＝∠BAC . ∵AE ＝AC ，∴AE ＝DF .∵∠DAE ＋∠BAC ＝180°， ∴∠DAE ＋∠ADF ＝180°， ∴AE ∥DF ，∴四边形AEFD 是平行四边形． 4．[答案] D5．[解析] D 根据作图可知，AG 平分∠DAB ，故A 正确；再由平行线的性质知∠BAH ＝∠DHA ，故∠DAH ＝∠DHA ，所以AD ＝DH ，再由AD ＝BC ，得DH ＝BC .所以应选D.6．[答案] 20° 7．[答案] 3或5[解析] 易知BE ＝AB ＝DC ＝FC .(1)如图①，当AE ，DF 在▱ABCD 内部没有交点时，AB ＝12×(AD －EF )＝3；(2)如图②，当AE ，DF 在▱ABCD 内部相交时，AB ＝12×(AD ＋EF )＝5.8．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BAD ＝∠C ，∠B ＝∠D ，AD ∥BC ， ∴∠BAD ＋∠B ＝180°，∠DAE ＝∠BEA . 又∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠DAE ， ∴∠BAE ＝∠BEA ，∴AB ＝BE .又∵AE ＝BE ，∴AB ＝BE ＝AE ，∴∠B ＝60°， ∴∠D ＝60°，∠BAD ＝∠C ＝120°.[点评] 当平行四边形中有角平分线、线段垂直平分线或特殊角(30°，60°角等)时，通常可以得到等腰三角形，反之亦然．9．解：(1)证明：∵DE ∥AB ，EF ∥AC ，∴∠ABD ＝∠BDE ，四边形ADEF 是平行四边形，∴AF ＝DE .∵BD 是△ABC 的角平分线， ∴∠ABD ＝∠DBE ，∴∠DBE ＝∠BDE ，∴BE ＝DE ，∴BE ＝AF .(2)如图，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，过点E 作EH ⊥BD 于点H . ∵∠ABC ＝60°，BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD ＝∠EBD ＝30°， ∴DG ＝12BD ＝12×6＝3.∵BE ＝DE ，∴BH ＝DH ＝12BD ＝3，∴EH ＝3，DE ＝2 3，∴四边形ADEF 的面积＝DE ·DG ＝6 3.10．[答案] C 11．[答案] 15[解析] ∵EF 是△ABC 的中位线，∴EF 平行且等于12AC ，同理，HG 平行且等于12AC ，∴EF 平行且等于HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形， ∴四边形EFGH 的周长＝2(EF ＋FG )＝2×(12×7＋12×8)＝15.12．[答案] 2 213．证明：如图，连接EM ，MF ∵FN 是△ABC 的中位线， ∴FN 平行且等于12AB ，同理，EM 平行且等于12AB ，∴FN 平行且等于EM ，∴四边形EMFN 是平行四边形， ∴EF ，MN 互相平分．14．解：如图，延长BC 至点E ，使CE ＝CM ，连接DE . ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴AD ∥ME .又∵M 是BC 的中点，∴BC ＝2CM ＝2CE ＝2BM ， ∴AD ＝ME ＝10，BE ＝15，∴四边形AMED 是平行四边形，∴DE ＝AM ＝9.∵BD 2＋DE 2＝122＋92＝225＝152＝BE 2，∴BD ⊥DE ，∴▱ABCD 的面积＝2(△BDE 的面积－△DCE 的面积)＝2×(12×9×12－12×9×12×13)＝72.[点评] 在平行四边形的对角线互相平分这一性质中，体现出了线段中点的特点，有中点时就有可能有三角形的中线、中位线、线段垂直平分线等，需灵活处理，积累经验．15．[答案] 8.8[解析] △AOB 的周长等于AO ＋BO ＋AB ，而△AOD 的周长等于AO ＋DO ＋AD ，即两个三角形的周长之和为AB ＋AD ＋AC ＋BD .因为AC 与BD 的长度之和等于7 cm ，所以AB 与AD 的长度之和等于4.4 cm ，因此平行四边形的周长为8.8 cm.16．[答案] 7 cm[解析] 过点D 作DQ ∥MF ，延长FM 交AB 于点P ，易证△ADQ 和△DPM 为等边三角形，故MD ＝PD ，MF ＝DQ ＝AD ，ME ＝BP ，所以MD ＋ME ＋MF 可转化为边AB 的长，等于7 cm. 17．解：设运动时间为t s ，则MP ＝2t cm ，QN ＝(12－4t )cm(t ＜3)或QN ＝(4t －12)cm(t ＞3)．当t ＜3时，如图①，因为MP ∥QN ，所以当MP ＝QN 时，四边形PQNM 为平行四边形，即2t ＝12－4t ，解得t ＝2；当t ＞3时，如图②，因为MP ∥QN ，所以当MP ＝QN 时，四边形PNQM 为平行四边形，即2t ＝4t －12，解得t ＝6.所以经过2 s或6 s后，以点P，Q，M，N为顶点的四边形为平行四边形．。

平行四边形的判定与性质题型总结(归纳的很整齐)

平行四边形平行四边形的性质第一课时平行四边形的边、角特征知识点梳理1、有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形ABCD记作□ABCD。

2、平行四边形的对边相等，对角相等，邻角互补。

3、两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条直线之间的距离。

知识点训练1．如图，两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是________．2．如图，在□ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH相交于点O，那么图中共有平行四边形( )A．6个B．7个C．8个D．9个3．在□ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，则□ABCD的周长为 cm.4．用40 cm长的绳子围成一个平行四边形，使其相邻两边的长度比为3∶2，则较长的边的长度为 cm.5．在□ABCD中，若∠A∶∠B＝1∶5，则∠D＝；若∠A＋∠C＝140°，则∠D＝．6．如图，在□ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则□ABCD的周长是．7．如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝53°，则∠BCE的度数为( )A．53°B．37°C．47°D．123°8．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE＝DF.求证：AE＝CF.9．如图，点E，F分别是□ABCD中AD，AB边上的任意一点，若△EBC的面积为10 cm²，则△DCF的面积为。

10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，记△ABO的面积为S1，△COD的面积为S2，则S1，S2的大小关系是( )A．S1>S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法比较11．在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是( )A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1C．2∶2∶1∶1 D．2∶1∶2∶112．如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：①MN∥BC；②MN＝AM，下列说法正确的是( )A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②13．如图，在□ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E，F，CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，则□ABCD的周长为__．14．如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为。

【知识点解析】专题训练1 平行四边形的判定方法

要点提示
判定平行四边形的方法通常有五种，即定义和四种判定定理，选择判定方法时，一定要结合题目的条件，选择恰当的方法，从而简化解题过程．方法1 Βιβλιοθήκη 据利用两组对边分别平行判定平行四边形
1．如图，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC上的点，且BF＝DE，连接AF， CE，BE，DF，AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO. ∵O是AC的中点，∴OA＝OC.
EAO FCO,
在△OAE与△OCF中，OA OC,
AOE COF ,
∴△OAE≌△OCF，∴OE＝OF. 同理OG＝OH， ∴四边形EGFH是平行四边形．
(2)解：与四边形AGHD面积相等的平行四边形有▱GBCH， ▱ABFE，▱EFCD，▱EGFH.
方法5 利用对角线互相平行判定平行四边形
5．如图①，▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH. (1)求证：四边形EGFH是平行四边形； (2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图② 中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)．
3．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交 BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由．
解：四边形BFDE是平行四边形．
理由：在▱ABCD中，∠ABC＝∠CDA，∠A＝∠C.
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ 1∠ABC，∠CDF＝∠ADF＝ 1∠ADC.

专题训练(四)有关平行四边形的性质 )精美课件

第十一题图
第十二题图
12．如图，△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称，若E点的坐标是(7，－ 3 )3 ，则点D的坐标是 (5，0) ．
北师 · 数学
类型之七：分类讨论思想的运用
13．在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE把边BC分成5 cm和6 cm的两部分，求▱ABCD的周长．
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专题训练(四) 有关平行四边形的计算问题
类型之一：利用平行四边形的性质求角的度数
1．如图，在▱ABCD中，∠B＝80°，AE平分 ∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AD于点E，则∠1的度数为( B ) A．40° B．50° C．60° D．80° 2．如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为 25° ．
A．2 3 B．4 3 C．4 D．8
第3题图
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类型之三：计算平行四边形的周长或面积
5．如图，点E是平行四边形ABCD的边CD的中点，AD， BE的延长线相交于点F，DF＝3，DE＝2，则平行四边形 ABCD的周长( D ) A．5 B．7 C．10 D．14 6．如图，▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，已知
解：若BE＝5 cm，则AB＝BE＝5 cm，CE＝6 cm， ▱ABCD的周长＝2(AB＋BC)＝2(5＋5＋6)＝32(cm)；若BE＝6 cm，则AB＝BE＝6 cm，CE＝5 cm， ▱ABCD的周长＝2(AB＋BC)＝2(6＋6＋5)＝34(cm)，即▱ABCD的周长为32 cm或34 cm
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AE＝4，AF＝6，▱ABCD的周长为40，求▱ABCD的面积．

【精编版】数学中考专题训练——平行四边形的判定和性质

中考专题训练——平行四边形的判定和性质1．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE＝DF．（1）求证：△ABE≌△CDF．（2）求证：四边形AECF是平行四边形．2．如图，在▱ABCD中，E是AD的中点，F是BC延长线上一点，且CF＝BC，连接CE、DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DF的长．3．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF ＝BC，连接CD和EF．（1）求证：四边形DCFE是平行四边形；（2）求EF的长．4．如图，E、F是▱ABCD对角线AC上两点，且AE＝CF．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．（2）如果把条件AE＝CF改为BE⊥AC，DF⊥AC，试问四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？（3）如果把条件AE＝CF改为BE＝DF，试问四边形BFDE还是平行四边形吗？为什么？5．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上，AE ∥BD，EF⊥BC，CF＝．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）求AB的长．6.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）如图2，连接DF交AC于点G，连接EG，当∠BAC＝90°，在不添加任何辅助线和字母的情况下，直接写出图中所有长度为2EG的线段．7．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；（2）若CB＝CE，∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠CBE的度数．8．如图，过△ABC的顶点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交线段AB于点F，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．（2）若AB＝4，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长．9．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高．点E在AB的延长线上，连接ED，∠AED＝30°，过A作AF⊥AB与ED的延长线交于点F，连接BF，CF，CE．（1）求证：四边形BECF为平行四边形；（2）若AB＝6，请直接写出四边形BECF的周长．10．如图，四边形ABCD中，点E在AD上，且EA＝EB，∠ADB＝∠CBD＝90°，∠AEB+∠C＝180°．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形．（2）若AB＝，DB＝4．求四边形ABCD的面积．11．如图所示，在△ABC中，点D为边AB的中点，点E为AC边上一点，延长ED交AE 的平行线于点F，连接AF、BE．（1）猜想四边形AEBF的形状，并证明你的结论．（2）若BE⊥CE，CE＝2AE＝4，BC＝9，求DE的长．12．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为BC，AB的中点，连接DE，CE，点F在DE的延长线上，连接AF，且AF＝AE．（1）如图1，求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）如图2，当∠B＝30°时，连接CF交AB于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四条线段，使每条线段的长度都等于线段DE的长度的倍．13．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长到点F，使BF ＝BE，连接EC并延长到点H，使CH＝CE，连接FH，点G在FH上，∠ADG＝∠AFG，连接DG．（1）求证：四边形AFGD为平行四边形；（2）在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中长度为FH的一半的所有线段．14．已知，如图1，D是△ABC的边上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．（1）求证：四边形ADCN是平行四边形．（2）如图2，若∠AMD＝2∠MCD，∠ACB＝90°，AC＝BC．请写出图中所有与线段AN相等的线段（线段AN除外）．15．如图，在▱ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件“∠DAB＝∠60°”，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．16．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接PO并延长交BC于点Q．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？（2）设四边形OQCD的面积为y（cm2），当t＝4时，求y的值．17．如图1，在△ABC中，D是BC边上一点，且CD＝BD，E是AD的中点，过点A作BC 的平行线交CE的延长线于F，连接BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）如图2，若AB＝AC＝13，BD＝5，求四边形AFBD的面积．18．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝8，AB＝CD，BD＝12，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，两个点同时出发，当有一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．点G为BD上的一点，假设移动时间为t秒，BG的长度为y．（1）证明：AD∥BC；（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间t和BG的长度y．19．在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC为所在平面内一点，过点P分别作PF∥AC交AB于点F，PE∥AB交BC于点D，交AC于点E．（1）当点P在BC边上（如图1）时，请探索线段PE，PF，AB之间的数量关系式为．（2）当点P在△ABC内（如图2）时，线段PD，PE，PF，AB之间有怎样的数量关系，请说明理由．（3）当点P在△ABC外（如图3）时，线段PD，PE，PF，AB之间有怎样的数量关系，直接写出结论．20．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上的一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED＝EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）在（1）的条件下，若BC的延长线交DF于点Q，连接QA与QE．试说明QA＝QE．参考答案与试题解析1．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE＝DF．（1）求证：△ABE≌△CDF．（2）求证：四边形AECF是平行四边形．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB＝CD，∠B＝∠D，根据SAS证出△ABE≌△CDF；（2）根据全等三角形的对应边相等即可证得．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）∵BE＝DF，∴AF＝CE，∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．2．如图，在▱ABCD中，E是AD的中点，F是BC延长线上一点，且CF＝BC，连接CE、DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DF的长．【分析】（1）只要证明DE＝CF，DE∥CF即可解决问题；（2）过D作DH⊥BE于H，想办法求出DH、HF即可解决问题；【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵E是AD的中点，∴DE＝AD，∵CF＝BC∴DE＝CF，又∵AD∥BC，∴四边形CEDF是平行四边形．（2）过D作DH⊥BE于H，在▱ABCD中，∵∠B＝60°，AB∥CD，∴∠DCF＝60°，∵AB＝4，∴CD＝4，∴CH＝2，DH＝2，∴FH＝1，在Rt△DHF中，DF＝＝．3．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF ＝BC，连接CD和EF．（1）求证：四边形DCFE是平行四边形；（2）求EF的长．（1）直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE＝BC，进而得出DE＝FC；【分析】（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC＝EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长．【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC∵延长BC至点F，使CF＝BC，∴DE＝FC，∵DE∥FC，∴四边形DCFE是平行四边形．（2）解：∵DE∥FC，DE＝FC∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，∴DC＝EF＝＝．4．如图，E、F是▱ABCD对角线AC上两点，且AE＝CF．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．（2）如果把条件AE＝CF改为BE⊥AC，DF⊥AC，试问四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？（3）如果把条件AE＝CF改为BE＝DF，试问四边形BFDE还是平行四边形吗？为什么？【分析】（1）方法一：证明△BAE≌△DCF，推出BE＝DF，BE∥DF即可．方法二：连接BD，交AC于点O．只要证明OE＝OF，OB＝OD即可；（2）是平行四边形．只要证明△BAE≌△DCF即可解决问题；（3）四边形BFDE不是平行四边形．因为把条件AE＝CF改为BE＝DF后，不能证明△BAE与△DCF全等；【解答】（1）证法一：∵ABCD是平行四边形∴AB＝CD且AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等）∴∠BAE＝∠DCF又∵AE＝CF∴△BAE≌△DCF（SAS）∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD∴∠BEF＝180°﹣∠AEB∠DFE＝180°﹣∠CFD即：∠BEF＝∠DFE∴BE∥DF，而BE＝DF∴四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）证法二：连接BD，交AC于点O．∵ABCD是平行四边形∴OA＝OC OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分）又∵AE＝CF∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF∴四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（2）四边形BFDE是平行四边形∵ABCD是平行四边形∴AB＝CD且AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等）∴∠BAE＝∠DCF∵BE⊥AC，DF⊥AC∴∠BEA＝∠DFC＝90°，BE∥DF∴△BAE≌△DCF（AAS）∴BE＝DF∴四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）（3）四边形BFDE不是平行四边形因为把条件AE＝CF改为BE＝DF后，不能证明△BAE与△DCF全等．5．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上，AE ∥BD，EF⊥BC，CF＝．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）求AB的长．【分析】（1）根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）由（1）知，AB＝DE＝CD，即D是CE的中点，在直角△CEF中利用三角函数即可求得到CE的长，则求得CD，进而根据AB＝CD求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，即AB∥DE，∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形；（2）解：∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°．∵AB∥EC，∴∠ECF＝∠ABC＝60°，∴∠CEF＝30°∵CF＝，∴CE＝2CF＝2，∵四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形，∴AB＝CD＝DE，∴CE＝2AB，∴AB＝．6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）如图2，连接DF交AC于点G，连接EG，当∠BAC＝90°，在不添加任何辅助线和字母的情况下，直接写出图中所有长度为2EG的线段．【答案】（1）证明见解析；（2）CD，AF，BD，AD，CF．【分析】（1）由E是AD的中点，过点A作AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，然后证得AF＝BD＝CD，即可证得四边形ADCF是平行四边形；（2）根据平行四边形的性质和直角三角形的性质解答即可．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝ED，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠F AE＝∠BDE，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS），∴AF＝BD，∵AD是BC边中线，∴CD＝BD，∴AF＝CD，∴四边形CDAF是平行四边形；（2）解：∵四边形CDAF是平行四边形，∴AG＝GC，AD＝CF，∵E为AD的中点，∴EG是△ADC的中位线，∴2EG＝DC，∵∠BAC＝90°，AD为BC边上的中线，∴BD＝DC＝AD，由（1）可知，CD＝AF＝BD＝2EG，即所有长度为2EG的线段是CD，AF，BD，AD，CF．7．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；（2）若CB＝CE，∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠CBE的度数．（1）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC；证明BC是△EFG的中位线，【分析】得出BC∥FG，BC＝FG，证出AD∥FH，AD＝FH，由平行四边形的判定方法即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出∠BCE＝50°，再由等腰三角形的性质得出∠CBE＝∠CEB，根据三角形内角和定理即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是△EFG的中位线，∴BC∥FG，BC＝FG，∵H为FG的中点，∴FH＝FG，∴BC∥FH，BC＝FH，∴AD∥FH，AD＝FH，∴四边形AFHD是平行四边形；（2）解：∵∠BAE＝70°，∴∠BCD＝70°，∵∠DCE＝20°，∴∠BCE＝70°﹣20°＝50°，∵CB＝CE，∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣50°）＝65°．8．如图，过△ABC的顶点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交线段AB于点F，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．（2）若AB＝4，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长．【分析】（1）先证△AEF≌△CED（AAS），得AF＝CD，再由CD∥AB，即AF∥CD，即可得出结论；（2）过C作CM⊥AB于M，先证△BCM是等腰直角三角形，得BM＝CM，再由含30°角的直角三角形的性质得AC＝2AM，BM＝CM＝AM，由AM+BM＝AB求出AM＝2﹣2，即可求解．【解答】（1）证明：∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∵CD∥AB，∴∠AFE＝∠CDE，在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF＝CD，又∵CD∥AB，即AF∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形；（2）解：过C作CM⊥AB于M，如图所示：则∠CMB＝∠CMA＝90°，∵CD∥AB，∴∠B+∠DCB＝180°，∴∠B＝180°﹣135°＝45°，∴△BCM是等腰直角三角形，∴BM＝CM，∵∠BAC＝60°，∴∠ACM＝30°，∴AC＝2AM，BM＝CM＝AM，∵AM+BM＝AB，∴AM+AM＝4，解得：AM＝2﹣2，∴AC＝2AM＝4﹣4．9．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高．点E在AB的延长线上，连接ED，∠AED＝30°，过A作AF⊥AB与ED的延长线交于点F，连接BF，CF，CE．（1）求证：四边形BECF为平行四边形；（2）若AB＝6，请直接写出四边形BECF的周长．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得BD＝DC，∠BAD＝∠CAD＝30°，然后证明△ADF为等边三角形，可得ED＝DF，进而可以证明四边形BECF为平行四边形；（2）根据AB＝6和勾股定理可得BF的长，然后证明BE＝BD，进而可得四边形BECF 的周长．【解答】（1）证明：∵AD是等边△ABC的BC边上的高，∴BD＝DC，∠BAD＝∠CAD＝30°，∵∠AED＝30°，∴ED＝AD，∠ADF＝∠AED+∠EAD＝60°，∵AF⊥AB，∴∠DAF＝90°﹣∠EAD＝90°﹣30°＝60°，∴△ADF为等边三角形，∴AD＝DF，∵ED＝AD，∴ED＝DF，∵BD＝DC，∴四边形BECF为平行四边形；（2）∵AB＝6，∴BD＝3，AD＝3，∵△ADF为等边三角形，∴AF＝AD＝3，∴BF＝＝＝3，∵∠ABC＝60°，∠AED＝30°，∴∠BDE＝30°，∴BE＝BD＝3，∴四边形BECF的周长为：2（BF+BE）＝2（3+3）＝6+6．10．如图，四边形ABCD中，点E在AD上，且EA＝EB，∠ADB＝∠CBD＝90°，∠AEB+∠C＝180°．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形．（2）若AB＝，DB＝4．求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据∠ADB＝∠CBD＝90°，可得DE∥CB，由∠AEB+∠C＝180°．证明BE∥CD，进而可得四边形BEDC是平行四边形；（2）根据勾股定理先求出AD的长，再设DE＝x，则EA＝AD﹣DE＝8﹣x，EB＝EA＝8﹣x．根据勾股定理列式计算得x的值，进而可以求出四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）∵∠ADB＝∠CBD＝90°，∴DE∥CB，∵∠AEB+∠C＝180°，∵∠AEB+∠BED＝180°，∴∠C＝∠BED，∴∠CDB＝∠EBD，∴BE∥CD，∴四边形BEDC是平行四边形；（2）∵四边形BEDC是平行四边形．∴BC＝DE，在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD＝＝＝8．设DE＝x，则EA＝AD﹣DE＝8﹣x，∴EB＝EA＝8﹣x．在Rt△BDE中，由勾股定理得，DE2+DB2＝EB2，∴x2+42＝（8﹣x）2．解得x＝3．∴BC＝DE＝3，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝AD•DB+DB•BC＝16+6＝22．11．如图所示，在△ABC中，点D为边AB的中点，点E为AC边上一点，延长ED交AE 的平行线于点F，连接AF、BE．（1）猜想四边形AEBF的形状，并证明你的结论．（2）若BE⊥CE，CE＝2AE＝4，BC＝9，求DE的长．【分析】（1）根据已知条件证明△AED≌△BFD，可得ED＝FD，可得四边形AEBF是平行四边形；（2）根据BE⊥CE，可得四边形AEBF是矩形，根据CE＝2AE＝4，BC＝9，再利用勾股定理即可求DE的长．【解答】解：（1）四边形AEBF是平行四边形，证明：∵点D为边AB的中点，∴AD＝BD，∵AE∥BF，∴∠AED＝∠BFD，在△AED和△BFD中，，∴△AED≌△BFD（AAS），∴ED＝FD，∵AD＝BD，∴四边形AEBF是平行四边形；（2）∵BE⊥CE，∴∠AEB＝90°，∴平行四边形AEBF是矩形，∴EF＝AB，DE＝AB，在Rt△BEC中，CE＝4，BC＝9，根据勾股定理，得BE2＝BC2﹣CE2＝92﹣42＝65，在Rt△ABE中，AE＝2，BE2＝65，根据勾股定理，得AB＝＝＝，∴DE＝AB＝．12．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为BC，AB的中点，连接DE，CE，点F在DE的延长线上，连接AF，且AF＝AE．（1）如图1，求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）如图2，当∠B＝30°时，连接CF交AB于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四条线段，使每条线段的长度都等于线段DE的长度的倍．【分析】（1）由三角形的中位线定理可证得DE∥AC，由直角三角形斜边中线定理得到CE＝AB，根据平行线的性质定理和等腰三角形的性质证得∠F＝∠CED，进而得到AF∥CE，根据平行四边形的判定即可证得四边形ACEF是平行四边形；（2）根据直角三角形的性质得到AC＝AB，由（1）知CE＝AB，求得AC＝CE，推出四边形ACEF为菱形，得到AE⊥CF，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵BD＝CD，BE＝AE，∴DE∥AC，∴∠AEF＝∠EAC，∠CED＝∠ECA，∵∠ACB＝90°，BE＝AE，∴CE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∵AF＝AE，∴∠F＝∠AEF，∴∠F＝∠CED，∴AF∥CE，∴四边形ACEF是平行四边形；（2）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB，由（1）知CE＝AB，∴AC＝CE＝BE，又∵四边形ACEF为平行四边形∴四边形ACEF为菱形，∴AE⊥CF，∵CE＝BE，∴∠B＝∠DCE＝30°，∴∠BED＝∠BAC＝60°，∵DF∥AC，∠BDE＝∠ACB＝∠CDE＝90°，∴BD＝CD＝DE，∵∠DEB＝∠FEG＝∠CEG＝60°，∴∠CED＝60°，∴∠FEG＝∠CED，∵EF＝CE，∠EGF＝∠CDE＝90°，∴△EFG≌△CED（AAS），∴EG＝DE，FG＝CD，∴FG＝DE，∵CG＝FG，∴CG＝DE，∴等于线段DE的长度的倍的线段是FG，CG，CD，DB．13．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长到点F，使BF ＝BE，连接EC并延长到点H，使CH＝CE，连接FH，点G在FH上，∠ADG＝∠AFG，连接DG．（1）求证：四边形AFGD为平行四边形；（2）在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中长度为FH的一半的所有线段．【分析】（1）只要证明AD∥FG，AF∥DG即可；（2）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，∵EB＝BF，EC＝CH，∴BC∥FH，BC＝FH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴AD∥FH，∴∠DAF+∠AFG＝180°，∵∠ADG＝∠AFG，∴∠DAF+∠ADG＝180°，∴AF∥CD，∴四边形AFHD是平行四边形；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，∵BF＝BE，CH＝CE，∴BC＝FH，∴AD＝FH，∵四边形AFHD是平行四边形，∴FG＝AD＝FH，∴HG＝FH，∴长度为FH的一半的所有线段为：AD，BC，FG，HG．14．已知，如图1，D是△ABC的边上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．（1）求证：四边形ADCN是平行四边形．（2）如图2，若∠AMD＝2∠MCD，∠ACB＝90°，AC＝BC．请写出图中所有与线段AN相等的线段（线段AN除外）．【分析】（1）由CN∥AB，MA＝MC，易证得△AMD≌△CMN，则可得MD＝MN，即可证得：四边形ADCN是平行四边形．（2）由∠AMD＝2∠MCD，可证得四边形ADCN是矩形，又由∠ACB＝90°，AC＝BC，可得四边形ADCN是正方形，继而求得答案．【解答】（1）证明：∵CN∥AB，∴∠DAM＝∠NCM，在△ADM和△CNM中，，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴MD＝MN，∴四边形ADCN是平行四边形．（2）解：∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD+∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MC＝MD，∴AC＝DN，∴▱ADCN是矩形，∵AC＝BC，∴AD＝BD，∵∠ACB＝90°，∴CD＝AD＝BD＝AB，∴▱ADCN是正方形，∴AN＝AD＝BD＝CD＝CN．15．如图，在▱ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件“∠DAB＝∠60°”，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【分析】（1）由已知条件可得△AED，△CFB是正三角形，可得∠AEC＝∠BFC＝60°，∠EAF＝∠FCE＝120°，所以四边形AFCE是平行四边形．（2）上述结论还成立，可以证明△ADE≌△CBF，可得∠AEC＝∠BFC，∠EAF＝∠FCE，所以四边形AFCE是平行四边形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB＝60°．∴∠ADE＝∠CBF＝60°．∵AE＝AD，CF＝CB，∴△AED，△CFB是正三角形．∴∠AEC＝∠BFC＝60°，∠EAF＝∠FCE＝120°．∴四边形AFCE是平行四边形．（2）解：上述结论还成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠CDA＝∠CBA，∠DCB＝∠DAB，AD＝BC，DC＝AB．∴∠ADE＝∠CBF．∵AE＝AD，CF＝CB，∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF．∴∠AED＝∠CFB．又∵AD＝BC，在△ADE和△CBF中．，∴△ADE≌△CBF（AAS）．∴∠AED＝∠BFC，∠EAD＝∠FCB．又∵∠DAB＝∠BCD，∴∠EAF＝∠FCE．∴四边形EAFC是平行四边形．16．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接PO并延长交BC于点Q．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？（2）设四边形OQCD的面积为y（cm2），当t＝4时，求y的值．【分析】（1）求出AP＝BQ和AP∥BQ，根据平行四边形的判定得出即可；（2）求出高AM和ON的长度，求出△DOC和△OQC的面积，再求出答案即可．【解答】解：（1）当t＝2.5s时，四边形ABQP是平行四边形，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝5cm，AO＝CO，BO＝OD，∴∠P AO＝∠QCO，在△APO和△CQO中∴△APO≌△CQO（ASA），∴AP＝CQ＝2.5cm，∵BC＝5cm，∴BQ＝5cm﹣2.5cm＝2.5cm＝AP，即AP＝BQ，AP∥BQ，∴四边形ABQP是平行四边形，即当t＝2.5s时，四边形ABQP是平行四边形；（2）过A作AM⊥BC于M，过O作ON⊥BC于N，∵AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝4cm，∵由三角形的面积公式得：S△BAC＝＝，∴3×4＝5×AM，∴AM＝2.4（cm），∵ON⊥BC，AM⊥BC，∴AM∥ON，∵AO＝OC，∴MN＝CN，∴ON＝AM＝1.2cm，∵在△BAC和△DCA中∴△BAC≌△DCA（SSS），∴S△DCA＝S△BAC＝＝6cm2，∵AO＝OC，∴△DOC的面积＝S△DCA＝3cm2，当t＝4s时，AP＝CQ＝4cm，∴△OQC的面积为 1.2cm×4cm＝2.4cm2，∴y＝3cm2+2.4cm2＝5.4cm2．17．如图1，在△ABC中，D是BC边上一点，且CD＝BD，E是AD的中点，过点A作BC 的平行线交CE的延长线于F，连接BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）如图2，若AB＝AC＝13，BD＝5，求四边形AFBD的面积．【分析】（1）根据全等三角形的性质和判定求出AF＝CD，求出AF＝BD，根据平行四边形的判定推出即可；（2）求出四边形AFBD的矩形，根据勾股定理求出AD，根据矩形的面积公式求出即可．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△AFE和△DCE中∴△AFE≌△DCE（AAS），∴AF＝CD，∵BD＝CD，∴BD＝AF，∵AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形；（2）解：∵AB＝AC，CD＝BD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵四边形AFBD是平行四边形，∴四边形AFBD是矩形，∵AB＝AC＝13，BD＝5，∴由勾股定理得：AD＝＝12，∴四边形AFBD的面积是12×5＝60．18．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝8，AB＝CD，BD＝12，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，两个点同时出发，当有一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．点G为BD上的一点，假设移动时间为t秒，BG的长度为y．（1）证明：AD∥BC；（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间t和BG的长度y．【分析】（1）利用平行四边形得判定和性质证明；（2）利用全等三角形的判定求解．【解答】解：（1）∵AD＝BC，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC；（2）BG＝y，DE＝t，当0≤t≤时，CF＝3t，则BF＝8﹣3t，∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，若△DEG与△BFG全等，则BF＝DE且BG＝DG，或者BF＝DG且BG＝DE，即：或，解得：或（不合题意，舍去），当＜t≤时，则BF＝3t﹣8，若△DEG与△BFG全等，则BF＝DE且BG＝DG，或者BF＝DG且BG＝DE，即：或，解得：或，所以△DEG与△BFG全等的情况出现了三次，第一次是2秒时，y＝6，第二次是4秒时，y＝6，第三次是5秒时，y＝5．19．在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC为所在平面内一点，过点P分别作PF∥AC交AB于点F，PE∥AB交BC于点D，交AC于点E．（1）当点P在BC边上（如图1）时，请探索线段PE，PF，AB之间的数量关系式为PE+PF＝AB．（2）当点P在△ABC内（如图2）时，线段PD，PE，PF，AB之间有怎样的数量关系，请说明理由．（3）当点P在△ABC外（如图3）时，线段PD，PE，PF，AB之间有怎样的数量关系，直接写出结论．【分析】（1）先求出四边形PF AE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得PF＝AE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠BPE＝∠C，然后求出∠B＝∠BPE，利用等角对等边求出PE＝BE，然后求解即可；（2）根据等边对等角可得∠B＝∠C，再根据两直线平行，同位角相等可得∠B＝∠CDE，然后求出∠C＝∠CDE，再根据等角对等边可得CE＝PD+PE，然后求出四边形PF AE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得PE＝AF，然后求出PD+PE+PF＝AC，等量代换即可得证；（3）证明思路同（2）．【解答】解：（1）答：PE+PF＝AB．证明如下：∵点P在BC上，∴PD＝0，∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形PF AE是平行四边形，∴PF＝AE，∵PE∥AC，∴∠BPE＝∠C，∴∠B＝∠BPE，∴PE＝BE，∴PE+PF＝BE+AE＝AB，∵PD＝0，∴PE+PF＝AB；故答案为：PE+PF＝AB（2）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵PE∥AB，∴∠B＝∠CDE，∴∠C＝∠CDE，∴CE＝PD+PE，∵PF∥AC，PE∥AB，∴四边形PF AE是平行四边形，∴PE＝AF，∴PD+PE+PF＝AC，∴PD+PE+PF＝AB；（3）证明：同（2）可证DE＝CE，PE＝AF，∵AE+CE＝AC，∴PF+PE﹣PD＝AC，∴PE+PF﹣PD＝AB．20．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上的一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED＝EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）在（1）的条件下，若BC的延长线交DF于点Q，连接QA与QE．试说明QA＝QE．【分析】（1）根据平行四边形的想知道的AD＝AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到CF＝AD，等量代换得到AC＝CF，于是得到CP＝AB ＝AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；（3）由（1）知AC＝CF，根据三角形的中位线的性质得到DQ＝FQ，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，∵AD＝AC，AD⊥AC，∴AC＝BC，AC⊥BC，连接CE，∵E是AB的中点，∴AE＝EC，CE⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE＝45°，∴∠ECF＝∠EAD＝135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF＝∠AED＝90°﹣∠CED，在△CEF和△AED中，，∴△CEF≌△AED，∴ED＝EF；（2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF＝AD，∵AD＝AC，∴AC＝CF，∵DP∥AB，∴FP＝PB，∴CP＝AB＝AE，∴四边形ACPE为平行四边形；（3）由（1）知AC＝CF，∵CQ∥AD，∴DQ＝FQ，∵在Rt△DAF与Rt△DEF中，∴AQ＝EQ＝DF．。

2020-2021学年人教版八年级数学下册第18章平行四边形经典常考题专题训练(一)

人教版八年级数学下册第18章平行四边形经典常考题专题训练（一）1．如图，在▱ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，∠A＝60°，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间（0≤t≤6）．（1）当t为何值时，△PAQ是等边三角形？（2）当t为何值时，△PAQ为直角三角形？2．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且直线AB与DC之间的距离为4，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP+∠PAB，求AP的长度．3．如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠1＝∠2．（1）求证：▱ABCD是菱形．（2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE＝AF，若AF＝3，AB＝5，求AO 的长．4．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：∠DAC＝∠DCA；（2）求证：四边形ABCD是菱形；（3）若AB＝，BD＝2，求OE的长．5．如图，在正方形ABCD中，点E．F分别在BC和CD上，BE＝DF，连接EF．（1）求证：△AEF为等腰三角形．（2）过点E作EM∥AF，过点F作FM∥AE，判断四边形AEMF是什么特殊四边形，并证明你的结论．6．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA ＝OB．（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；（2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD ＝12，AB＝5，求PE+PF的值．7．如图，在平行四边形BPCD中，点O为BD中点，连接CO并延长交PB延长线于点A，连接AD、BC，若AC＝CP，（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F，若AB＝9，BC＝12，AE ＝3，则AF的长为．8．如图，四边形DEBF是平行四边形，A、C在直线EF上且AE＝CF．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图中所有与△DFC面积相等的三角形．9．如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DE∥AC，DE＝AC．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）连接AE，交OD于点F，连接CF，若CF＝CE＝1，求AC长．10．如图，AC为矩形ABCD的对角线，点E，F分别是线段BC，AD上的点，连接AE，CF，若∠BAE＝∠DCF：（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AC平分∠DAE，AB＝4，BC＝8，求△AEC的周长．11．已知：如图，在▱ABCD中，∠BCD的角平分线交AB于E，交DA的延长线于F．（1）求证：DF＝DC；（2）若E是FC的中点，已知BC＝2，DE＝3，求FC的长．12．如图，等边△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．（1）求证：四边形DCFE是平行四边形；（2）求∠F的度数．13．已知在▱ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．（1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数．（2）在（1）的条件下，若AB＝4cm，求△PCD的面积．（3）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD ＝6cm，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．14．如图，在平行四边形ABCD中，F，G分别是CD，AB上的点，且AG＝CF，连接FG，BD交于点O．（1）求证：OB＝OD；（2）若∠A＝45°，DB⊥BC，当CD＝2时，求OC的长．15．如图，平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，点G是线段BC的中点，点E 是线段AD上的一点，点F是线段AB延长线上一点，连接DF，且∠ABE＝∠CDG＝∠FDG．（1）∠A＝45°，∠ADF＝75°，CD＝3+，求线段BC的长；（2）求证：AB＝BF+DF．参考答案1．解：（1）AP＝2t（cm），AQ＝6﹣t（cm），∵当△PAQ是等边三角形时，AQ＝AP，即2t＝6﹣t，解得t＝2．∴当t＝2时，△PAQ是等边三角形；（2）∵△PAQ是直角三角形，∴∠AQP＝90°，当∠AQP＝90°时，有∠APQ＝30°，，即AP＝2AQ，∴2t＝2（6﹣t），解得t＝3（秒），当∠APQ＝90°时，有∠AQP＝30°，，即AQ＝2AP∴6﹣t＝2•2t，解得（秒）．∴当t＝3或时，△PAQ是直角三角形．2．解：在平行四边形ABCD中，AB＝CD，∵BD＝CD，∴BD＝BA，又∵AM⊥BD，DN⊥AB，又∵∠ABD＝∠MAP+∠PAB，∠ABD＝∠P+∠BAP，∴∠P＝∠PAM，∴△APM是等腰直角三角形，∴AP＝AM＝8．3．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠ACB，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ACB，∴AB＝CB，∴▱ABCD是菱形．（2）解：由（1）得：▱ABCD是菱形，∴BC＝AB＝5，AO＝CO，∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠CBE，∵AE＝AF＝3，∴∠AFE＝∠AEF，又∵∠AEF＝∠CEB，∴∠CBE＝∠CEB，∴CE＝BC＝5，∴AC＝AE+CE＝3+5＝8，∴AO＝AC＝4．4．（1）证明：∵AB∥DC，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC平分∠BAD，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DAC＝∠DCA；（2）证明：∵∠DAC＝∠DCA，AB＝AD，∵AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（3）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝2，∴OB＝BD＝1，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝2，∴OE＝OA＝2．5．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌△RtADF（SAS），∴AE＝AF，∴三角形AEF是等腰三角形；（2）四边形AEMF是菱形．理由如下：∵EM∥AF，FM∥AE，∴四边形AEMF是平行四边形，由（1）知AE＝AF，∴平行四边形AEMF是菱形．6．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠BAD＝∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；（2）如图，连接OP，∵AD＝12，AB＝5，∴BD＝＝＝13，∴BO＝OD＝AO＝CO＝，∵S△AOD＝S矩形ABCD＝×12×5＝15，∴S△AOP+S△POD＝15，∴××FP+××EP＝15，∴PE+PF＝．7．（1）证明：∵四边形BPCD是平行四边形，∴CP＝BD，BP∥CD，BP＝CD，∴∠OAB＝∠OCD，AB∥CD，∵点O为BD中点，∴OB＝OD，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（AAS），∴AB＝CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC＝CP，∴AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形；（2）解：由（1）得：四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝12，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∠ABC＝90°，∴OA＝OB，AC＝＝＝15，∴OA＝，作OG⊥AB于G，如图所示：则AG＝BG＝，∴OG是△ABD的中位线，∴GO∥AD，GO＝AD＝6，∴GE＝AE+AG＝3+＝，∴＝，解得：AF＝，故答案为：．8．（1）证明：连接BD交AC于O，如图1所示：∵四边形DEBF是平行四边形，∴OE＝OF，OB＝OD，∵AE＝CF，∴OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：图中所有与△DFC面积相等的三角形为△ADE、△BEA，△CBF，理由如下：∵AE＝CF，∴△ADE的面积＝△DFC的面积，△ABE的面积＝△CBF的面积，由（1）得：四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD＝CB，∴∠DAE＝∠BCF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴△ADE的面积＝△CBF的面积，∴△ADE的面积＝△DFC的面积＝△ABE的面积＝△CBF的面积．9．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC，∴∠DOC＝90°，∵DE∥AC，DE＝AC，∴OC＝DE，∴四边形OCED为平行四边形，又∵∠DOC＝90°，∴四边形OCED是矩形；（2）解：由（1）得：四边形OCED是矩形，∴OD∥CE，∠OCE＝90°，∵O是AC中点，∴F为AE中点，∴CF＝AF＝EF，∵CF＝CE＝1，∴CF＝1，∴AE＝2，∴AC＝＝＝．10．解：（1）在矩形ABCD中，AF∥CE，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵∠BAE＝∠DCF，∴∠CAE＝∠ACF，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．（2）∵AC平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAC，∵AF∥CE，∴∠FAC＝∠ACE，∴∠CAE＝∠ECA，∴AE＝CE，设AE＝CE＝x，∴BE＝8﹣x，在Rt△ABE中，∴由勾股定理可知：x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5，在Rt△ABC，由勾股定理可知：AC2＝42+82，∴△ABC的周长为：5+5+4＝10+4．11．解：（1）∵CF平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BCE＝∠F，∴∠F＝∠DCE，∴DF＝DC；（2）∵AD∥BC，∴∠F＝∠BCE，∠B＝∠FAE，∵E是FC的中点，∴CE＝FE，在△AEF和△BEC中，，∴△AEF≌△BEC（AAS），∴AF＝BC＝2，又∵AD＝BC＝2，∴DF＝4，∵DF＝DC，E是CF的中点，∴DE⊥CF，∴Rt△DEF中，EF＝＝＝，∴FC＝2EF＝2．12．（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∵CF＝BC，∵DE∥CF，∴四边形DCFE是平行四边形，（2）解：由（1）得：四边形DCFE是平行四边形，∴CD∥FE，∴∠F＝∠BCD，∵△ABC是等边三角形，D是AB的中点，∴∠ACB＝60°，CD平分∠ACB，∴∠BCD＝30°，∴∠F＝30°．13．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DPC＝∠PCB，∵CP平分∠BCD，∴∠PCD＝∠PCB，∴∠DPC＝∠DCP，∴DP＝CD，∵CD＝CP，∴CP＝CD＝DP，∴△PDC是等边三角形，∴∠B＝60°；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝4，∵△PDC是等边三角形，∴△PCD三边上的高相等，且等于sin60°×4＝×4＝2，∴S△PCD＝×2×4＝4（cm2）；（3）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴PD∥BC，若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD＝BQ，设运动时间为t秒，①当0＜t≤3时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝6﹣2t，∴6﹣0.5t＝6﹣2t，解得：t＝0（不合题意舍去）；②当3＜t≤6时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝2t﹣6，∴6﹣0.5t＝2t﹣6，解得：t＝4.8；③当6＜t≤9时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝18﹣2t，∴6﹣0.5t＝18﹣2t，解得：t＝8；④当9＜t≤12时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝2t﹣18，∴6﹣0.5t＝2t﹣18，解得：t＝9.6；综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．14．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ODF＝∠OBG，∵AG＝CF，∴BG＝DF，在△DOF和△BOG中，，∴△DOF≌△BOG（AAS），∴OB＝OD；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝45°，∵BD⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠BDC＝∠BCD＝45°，∴DB＝CB，又∵CD＝2，∴CB＝DB＝2，∴OB＝1，∴Rt△BCO中，OC＝＝＝．15．（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠A＝45°，AB∥CD，∴∠ADC＝180°﹣∠A＝135°，∵∠ADF＝75°，∴∠CDF＝135°﹣75°＝60°，∵∠CDG＝∠FDG，∴∠CDG＝∠FDG＝30°，作GH⊥CD于H，如图1所示：则DH＝GH，CH＝GH，CG＝GH，∵CD＝DH+CH，∴GH+GH＝3+，解得：GH＝，∴CG＝GH＝，∵点G是线段BC的中点，∴BC＝2CG＝2；（2）证明：延长DG交AF的延长线于M，如图2所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠CDG＝∠M，∵CDG＝∠FDG，∴∠M＝∠FDG，∴DF＝MF，∵点G是线段BC的中点，∴BG＝CG，在△CDG和△BMG中，，∴△CDG≌△BMG（AAS），∴CD＝BM，∵AB＝CD，BM＝BF+MF，∴AB＝BF+DF．。

专题04 平行四边形的性质与判定(解析版)八年级数学下册期末综合复习专题提优训练(人教版)

2020-2021学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（人教版）专题04平行四边形的性质与判定【典型例题】1．如图，E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，且BE▱AC，DF▱AC，连接BE、ED、DF、FB．（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；（2）若BE＝4，EF＝2，求BD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）连接BD交AC于O，由平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AB▱CD，AB＝CD，由平行线的性质得出▱BAE＝▱DCF，证明▱ABE▱▱CDF得出AE＝CF，得出OE＝OF，即可得出结论；（2）由（1）得：OE＝OF＝12EF＝1，由勾股定理得出OB【详解】（1）证明：连接BD交AC于O，▱四边形ABCD是平行四边形，▱OA＝OC，OB＝OD，AB▱CD，AB＝CD，▱▱BAE＝▱DCF，▱BE▱AC，DF▱AC，▱▱AEB＝▱CFD＝90°，在▱ABE和▱CDF中，BAE DCFAEB CFDAB CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，▱▱ABE▱▱CDF（AAS），▱AE＝CF，▱OE＝OF，又▱OB＝OD，▱四边形BEDF为平行四边形；（2）解：由（1）得：OE＝OF＝12EF＝1，▱BE▱AC，▱▱BEO＝90°，▱OB▱BD＝2OB＝．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．【专题训练】一、选择题1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥DC，AD＝BC【答案】D【分析】根据平行四边形的定义，平行四边形的判定定理两个角度思考判断即可．【详解】解：▱AB▱DC，AD▱BC，▱四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；▱AB＝DC，AD＝BC，▱四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；▱OA＝OC，OB＝OD，▱四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；▱AB▱DC，AD＝BC，▱四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练平行四边形的定义法，判定定理法是解题的关键．2．如图，平行四边形ABCD中，BC＝2AB，CE▱AB于E，F为AD的中点，若▱AEF＝56°，则▱B＝（）A．56°B．60°C．64°D．68°【答案】D【分析】取BC的中点G，连接EG、FG，如图，先根据直角三角形斜边上的中线性质得到EG=BG=CG，则▱B=▱GEB，则EG=AB=CD，所以▱EFG=▱FEG，接着证明FG▱AB得到▱AEF=▱EFG=56°，然后计算出▱GEB，从而得到▱B的度数．【详解】解：取BC 的中点G ，连接EG 、FG ，▱四边形ABCD 为平行四边形，▱AB =CD ，AB ▱CD ，▱CE ▱AB ，▱▱CEB =90°，▱EG =BG =CG ，▱▱B =▱GEB ，▱BC =2AB ，▱EG =AB =CD ，▱▱EFG =▱FEG ，▱F 点为AD 的中点，G 为BC 的中点，▱FG ▱AB ，▱▱AEF =▱EFG =56°，▱▱FEG =56°，▱▱GEB =180°-56°-56°=68°，▱▱B =68°．故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的性质．3．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AG ，BD 相交于点O ，10AC =，6BD =，AD BD ⊥．在边AB 上取一点E ，使AE AO =，则AEO △的面积为（）A B C D 【答案】D【分析】先过O 作OF AB ⊥于F ，过D 作DG AB ⊥于G ，依据勾股定理求得AD 和AB 的长，再根据面积法即可得出DG 的长，进而得到OF 的长，再根据三角形面积公式即可得到AEO ∆的面积．【详解】解：如图所示，过O 作OF AB ⊥于F ，过D 作DG AB ⊥于G ，平行四边形ABCD 中，10AC =，6BD =，5AO ∴=，3DO =，又AD BD ⊥，Rt AOD ∴△中，4AD =，Rt ABD ∴中，AB =1122AD BD AB DG ⨯=⨯，AD BD DG AB ⨯∴= //DG OF ，BO DO =，12OF DG ∴=又5AE AO ==，11522AOE S AE OF ∆∴=⨯=⨯，故选：D ．此题考查了平行四边形的性质与勾股定理的运用，三角形的中位线的性质．依据平行四边形的性质得到O 是对角线的中点是解决问题的关键．4．如图，在▱ABCD 中，CD ＝10，▱ABC 的平分线交AD 于点E ，过点A 作AF ▱BE ，垂足为点F ，若AF ＝6，则BE 的长为（）A ．8B ．10C ．16D ．18【答案】C【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，结合▱ABC 的平分线交AD 于点E ，证明,AB AE = 再利用等腰三角形的性质可得：BE ＝2BF ，再由勾股定理求解,BF 即可得到答案．【详解】▱四边形ABCD 是平行四边形，▱AD ▱BC ，▱▱AEB ＝▱CBE ，▱▱ABC 的平分线交AD 于点E ，▱▱ABE ＝▱CBE ，▱▱ABE ＝▱AEB ，▱AB ＝AE ，▱AF ▱BE ，▱BE ＝2BF ，▱CD ＝10，▱AB ＝10，▱AF ＝6，▱BF =＝8，▱BE ＝2BF ＝16，【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．5．如图，在等边▱ABC中，BC＝8cm，射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当t＝（）s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．A．1或2B．2C．2或3D．2或4【答案】D【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．【详解】解：当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝3tcm，则CF＝BC﹣BF＝（8﹣3t）cm，▱AG▱BC，▱当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝8﹣3t，解得：t＝2；当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝3tcm，则CF＝BF﹣BC＝（3t﹣8）cm，▱AG▱BC，▱当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t＝3t﹣8，解得：t＝4；综上可得：当t ＝2或4s 时，以A 、C 、E 、F 为顶点四边形是平行四边形，故选：D ．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，几何动态问题，掌握数学分类思想，平行四边形的性质解决问题是解题的关键．二、填空题6．如图，在平行四边形ABCD 中，DB ＝DC ，▱C ＝70°，AE ▱BD 于E ，则▱DAE ＝_____度．【答案】20【分析】由DB ＝DC ，▱C ＝70°可以得到▱DBC ＝▱C ＝70°，又由AD ▱BC 推出▱ADB ＝▱DBC ＝▱C ＝70°，而▱AED ＝90°，由此可以求出▱DAE ．【详解】解：▱DB ＝DC ，▱C ＝70°，▱▱DBC ＝▱C ＝70°，▱四边形ABCD 是平行四边形，AE ▱BD ，▱AD ▱BC ， ▱AED ＝90°，▱▱ADB ＝▱DBC ＝▱C ＝70°，▱▱DAE ＝90°﹣70°＝20°．故答案为：20．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是利用三角形内角和定理，等边对等角等知识得到和所求角有关的角的度数．7．▱ABCD 的周长是30，AC 、BD 相交于点O ，▱OBC 的周长比▱OAB 的周长大3，则BC ＝_____．【答案】9【分析】如图：由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB CD =，BC AD =，OA OC =，OB OD =；又由OBC ∆的周长比OAB ∆的周长大3，可得3BC AB -=，又因为ABCD 的周长是30，所以15AB BC +=；解方程组即可求得．【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，BC AD =，OA OC =，OB OD =；又OBC ∆的周长比OAB ∆的周长大3，()3BC OB OC AB OA OB ∴++-++=3BC AB ∴-=①，又ABCD 的周长是30，15AB BC ∴+=②，由①＋②得：218BC =9BC ∴=．故答案为：9．【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角线互相平分．解题时要注意利用方程思想与数形结合思想求解．8．如图，▱ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，BD ▱AD ，AB ＝10，AD ＝6，则AC 的长为_____．【答案】【分析】利用勾股定理得出BD 的长，再由平行四边形的性质求出DO ，结合勾股定理即可得出答案．【详解】▱BD ▱AD ，AB ＝10，AD ＝6．▱BD 8=．▱四边形ABCD 是平行四边形．▱DO ＝12BD ＝4． AC ＝2AO ． ▱▱ADO 是直角三角形．▱AO ==▱AC =故答案为：【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确得出DO 的长是解题关键． 9．如图，在平行四边形ABCD 中，CE 平分▱BCD 交AB 于点E 连接ED ，若EA =3，EB =5，ED =4，CE = ________ ．【答案】【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得5AD BC EB ，根据勾股定理的逆定理可得90AED ∠=︒，再根据平行四边形的性质可得8CD AB ==，90EDC ∠=︒，根据勾股定理可求CE 的长．【详解】解：CE 平分BCD ∠，BCE DCE ∴∠=∠，四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，AD BC =，//AB CD ，BEC DCE ，BEC BCE ∴∠=∠，5BC BE ，5AD ∴=，3EA ，4ED =，在AED ∆中，222345+=，即222EA ED AD ， 90AED ∴∠=︒，358CD AB ，90EDC ∠=︒，在Rt EDC 中，22224845CEED DC ．故答案是：【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和角平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，熟悉相关性质是解题的关键．10．已知点A (3，0)、B (﹣1，0)、C (2，3)，以A 、B 、C 为顶点画平行四边形，则第四个顶点D 的坐标是_____．【答案】(﹣2，3)或(0，﹣3)或(6，3)【分析】首先画出坐标系，再分别以AC 、AB 、BC 为对角线通过线段平移作出平行四边形，进而可得D 点坐标．【详解】解：如图，以BC 为对角线，将AB 向上平移3个单位，再向左平移1个单位，B 点对应的位置为（﹣2，3）就是第四个顶点D 1；以AB 为对角线，将BC 向下平移3个单位，再向右平移1个单位，B 点对应的位置为（0，﹣3）就是第四个顶点D 2；以AC 为对角线，将AB 向上平移3个单位，再向右平移4个单位，C 点对应的位置为（6，3）就是第四个顶点D 3；▱第四个顶点D 的坐标为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3），故答案为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3）．【点睛】本题考查图形与坐标，平行四边形的判定与性质，平移的性质，掌握平行四边形的判定与性质，平移的性质是解题关键．三、解答题11．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 、E 、F 是AC 上的两点，且BF ▱DE ．（1）求证：▱BFO ▱▱DEO ；（2）求证：四边形BFDE 是平行四边形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，可得OB ＝OD ，根据BF ▱DE ，可得▱OFB ＝▱OED ，进而可以证明▱BFO ▱▱DEO ；（2）结合（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证明四边形BFDE 是平行四边形．【详解】解：（1）证明：▱四边形ABCD 是平行四边形，▱OB ＝OD ，▱BF ▱DE ，▱▱OFB ＝▱OED ，在▱BFO 和▱DEO 中，OFB OED FOB EOD OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ▱▱BFO ▱▱DEO （AAS ）；（2）证明：▱▱BFO ▱▱DEO ，又OB＝OD，▱四边形BFDE是平行四边形．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，掌握利用合适的方法判定平行四边形是解题的关键．12．如图，平行四边形ABCD中，点E在BC上，且AE＝EC，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度直尺画图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，画出▱DAE的平分线；（2）在图2中，画出▱AEC的平分线．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】(1)连接AC，再由平行线的性质及等腰三角形的性质可知AC是▱DAE的平分线；(2)连接AC，BD，交于点O，连接EO，由平行线的性质及等腰三角形的性质可知EO平分▱AEC的平分线．【详解】（1）如图所示，连接AC，则AC平分▱DAE；（2）如图所示，连接AC，BD，交于点O，连接EO，则EO平分▱AEC．本题主要考察了等腰三角形的性质，平行四边形的性质，作图-角的平分线等知识点，理解并记住它们是解题关键．13．如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE▱BD，CF▱BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形；（2）已知DE＝8，FN＝6，求BN的长．【答案】（1）见解析；（2）10【分析】（1）欲证明四边形AMCN是平行四边形，只要证明CM▱AN，AM▱CN即可；（2）首先证明▱ADE▱▱CBF，推出DE＝BF＝8，在Rt▱BFN中，根据勾股定理即可解决问题．【详解】（1）证明：▱AE▱BD，CF▱BD，▱AM▱CN，▱四边形ABCD是平行四边形，▱CM▱AN，▱四边形CMAN是平行四边形；（2）解：▱四边形ABCD是平行四边形，▱AD▱BC，AD＝BC，▱▱ADE＝▱CBF，▱AE▱BD，CF▱BD，▱▱AED＝▱CFB＝90°，在▱ADE与▱CBF中，ADE CBF AED CFB AD BC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，▱▱ADE ▱▱CBF （AAS ）；▱DE ＝BF ＝8，▱FN ＝6，▱10BN ==．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．14．如图1，在▱ABCD 中，▱D ＝45°，E 为BC 上一点，连接AC ，AE ．（1）若▱ABCD 中BC 边上的高为2，求AB 的长．（2）若AB ＝AE ＝4，求BE 的长．【答案】（1）（2）2．【分析】（1）如图，过A 作AH BC ⊥于H ，再根据平行四边形的性质可得：45B D ∠=∠=︒，最后根据勾股定理计算即可；（2）先根据平行四边形的性质可得：45B D ∠=∠=︒，然后解Rt AHB ∆和Rt AHE ∆ 即可求出BE 的长．【详解】解：（1）如图，过A 作AH BC ⊥于H ，在▱ABCD 中，45D B ∠=∠=︒，AH BC ⊥，ABCD 中BC 边上的高为2，90AHB ∴∠=︒，2AH =又45B ∠=︒2∴==BH AH ，AB ∴=（2）在ABCD 中，45D B ∠=∠=︒，AB =，AH BH ∴==4AE =，2EH ∴=，2BE BH EH ∴=-=．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线解题的关键． 15．如图，在▱ABC 中，过点C 作CD //AB ，E 是AC 的中点，连接DE 并延长，交AB 于点F ，连接AD ，CF ．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）若AB ＝6，▱BAC ＝60°，▱DCB ＝135°，求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）6．【分析】(1)由E 是AC 的中点知AE =CE ，由AB //CD 知▱AFE =▱CDE ，据此根据“AAS ”即可证▱AEF ▱▱CED ，从而得AF =CD ，结合AB //CD 即可得证；(2) 过C 作CM ▱AB 于M ，先证明▱BCM 是等腰直角三角形，得到BM ＝CM ，再由含30°角的直角三角形的性质解得AC ＝2AM ，BM ＝CM ，最后根据AM +BM ＝AB ，解题即可．【详解】（1）证明：▱E 是AC 的中点，▱AE ＝CE ，▱CD //AB ，▱▱AFE ＝▱CDE ，在▱AEF 和▱CED 中，AFE CDE AEF CED AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，▱▱AEF ▱▱CED （AAS ），▱AF ＝CD ，又▱CD //AB ，即AF //CD ，▱四边形AFCD 是平行四边形；（2）解：过C 作CM ▱AB 于M ，如图所示：则▱CMB ＝▱CMA ＝90°，▱CD //AB ，▱▱B +▱DCB ＝180°，▱▱B ＝180°﹣135°＝45°，▱▱BCM 是等腰直角三角形，▱BM ＝CM ，▱▱BAC ＝60°，▱▱ACM ＝30°，▱AC ＝2AM ，BM ＝CM，▱AM +BM ＝AB ，▱AM+ ＝6，解得：AM ＝33，▱AC ＝2AM ＝66．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16．如图，在ABC ∆中，D 为AB 中点，过点D 作//DF BC 交AC 于点E ，且DE EF =，连接AF ，CF ，CD ．（1）求证：四边形ADCF 为平行四边形；（2）若45ACD ∠=︒，30EDC ∠=︒，4BC =，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）根据三角形中位线定理和解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）证明：D 为AB 中点，AD BD ∴=，//DF BC ，▱点E 为AC 的中点，AE CE ∴=，DE EF =，∴四边形ADCF 为平行四边形；（2）AD BD =，AE CE =，114222DE BC ∴==⨯=，过E 作EH CD ⊥于H ，90EHD EHC ∴∠=∠=︒，30EDC ∠=︒，112EH DE ∴==， 45ECD ∠=︒，CE ∴==．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，三角形的中位线定理，解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．17．如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，且AO ＝OC ，过点O 作EF ▱BD ，交AD 于E ，交BC 于点F ．（1）求证：四边形ABCD 为平行四边形；（2）连接BE ，若▱BAD ＝100°，▱DBF ＝2▱ABE ，求▱ABE 的度数．【答案】（1）见解析（2）16°【分析】（1）根据已知条件证明▱ADO ▱▱CBO 即可求解；（2）先证明▱AEO ▱▱CFO ，得到EO =FO ，根据三线合一得到BD 平分▱EBC ，再根据平行线的性质及角度的关系即可求解．【详解】（1）▱AD//BC，▱▱OAE=▱OCF，又AO＝OC，▱AOD=▱COB，▱▱ADO▱▱CBO▱AD=CB故四边形ABCD为平行四边形；（2）如图，▱AD//BC，▱▱OAE=▱OCF，又AO＝OC，▱AOE=▱COF，▱▱AEO▱▱CFO▱OE=OF又EF▱BD，▱BD平分▱EBC，▱▱DBF＝▱DBE▱▱BAD＝100°，AD//BC，▱▱ABC＝80°▱▱DBF＝2▱ABE，▱▱DBF＝▱DBE=2▱ABE▱▱ABC＝▱DBF+▱DBE+▱ABE=5▱ABE=80°▱▱ABE=16°．【点睛】此题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理及三线合一的性质应用．18．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l2：y＝﹣x与x轴交于点B，与直线l1：y+b交于点C，C点到x轴的距离CD为l1交x轴于点A．（1）求直线l1的函数表达式；（2）如图2，y 轴上的两个动点E 、F （E 点在F 点上方）满足线段EF 的长为CE 、AF ，当线段CE +EF +AF 有最小值时，求出此时点F 的坐标以及CE +EF +AF 的最小值；（3）如图3，将ACB △绕点B 逆时针方向旋转60°，得到BGH ，使点A 与点H 对应，点C 与点G 对应，将BGH 沿着直线BC 平移，点M 为直线AC 上的动点，是否存在以C 、O 、M 、G 、为顶点的平行四边形，若存在，请求出M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y =+；（2）CE +EF +AF （3）存在，11,44M ⎛- ⎝⎭或21,4M ⎛- ⎝⎭或3.4M ⎛ ⎝⎭理由见解析【分析】（1）由题意得：点C 的纵坐标为C 在直线l 2：y ＝﹣3x +3上，当y =x =-1，则点C (-1，，从而可得答案；（2）作点A 关于y 轴的对称点A (3, 0),过点A 作x 轴的垂线并取A E ''=EC 交y 于点E ，在E 下方取EF F 是所求点，即可求解；（3）先证明90,ACB ∠=︒ 再求解60,30,CAB ABC ∠=︒∠=︒ 过点G 作GN ▱x 轴于点N ，过点K 作KQ x ⊥轴点,Q 可得(1,,G -- 设,KQ n = 则2,,BK n BQ == 如图，当BGH 沿BC 方向平移时，确定()1,,G n --- 设(,M x + 结合形平行四边形的对角线互相平分，中点坐标公式列方程求解即可得到答案．【详解】解：（1）由题意得：点C 的纵坐标为C 在直线l 2：y x 上，当y =x =-1，则点C (-1，，C 在直线1l 的解析式为y b =+上，b =b ∴= ，故直线1l 的表达式为：y =+；（2）直线2l 的表达式为： y ＝﹣3x ，当y =0时，x =5，则点B (5, 0)，直线1l ：y +x 轴交于点A (-3, 0)，作点A 关y 轴的对称点A '(3, 0)，过点A '作x 轴的垂线并取A E ''=连接EC 交y 于点E ，而 EF由//,,A E AE A E AE ''''= ∴ 四边形A E EF ''是平行四边形，,AF A F E E ''∴==AF EF CE A E E E CE CE ''''∴++=++=,此时：AF EF CE ++最小，则点F 是所求点，()(3,0,,A E '(,C -CE '∴==CE +EF +AF 的最小值＝FE +CE（3）()()(3,0,5,0,,A B C --∴ AB =8，BC = AC =4，222AC BC AB ∴+=90,ACB ∴∠=︒如图，取AB 的中点,J 则()1,0,J 4,JA JC AC ===ACJ ∴为等边三角形，60,30,CAB ABC ∠=︒∠=︒60,CBG BC BG ∠=︒==30,ABG ∴∠=︒过点G 作GN ▱x 轴于点N ，过点K 作KQ x ⊥轴点,Q6,651,GN BN ON ∴====-=(1,,G ∴--设,KQ n =则2,,BK n BQ == 如图，当BGH 沿BC 方向平移时，则()1,,G n --设(,M x +四边形MGOC 为平行四边形， ∴ 由平行四边形的对角线互相平分可得：2x n⎧=-⎪+= 解得：11,4x =-+=11,,44M ⎛∴- ⎝⎭如图，同理()1,,G n --设(,M x +同理可得：214x =-+=21,,4M ⎛∴- ⎝⎭如图，同理()1,,G n -- 设(,M x +同理可得：34x =+=3.4M ⎛∴ ⎝⎭综上：114M ⎛- ⎝⎭或 21,4M ⎛- ⎝⎭或3.4M ⎛ ⎝⎭ 【点睛】本题考查一次函数解析式，线段和最短问题，锐角三角函数，平行四边形的判定与性质，分类讨论思想是难点．。

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--平行四边形的判定

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--平行四边形的判定一、综合题1．如图，在□ ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF.（1）求证：AE＝CF；（2）求证：四边形AECF是平行四边形．2．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，且AE=CF．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．（2）如果把条件AE=CF改为BE⊥AC，DF⊥AC，试问四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？（3）如果把条件A E=CF改为BE=DF，试问四边形BFDE还是平行四边形吗？为什么？3．如图，平行四边形ABCD 中，AB=8 cm，BC=12 cm，⊥B=60°，G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F，连接CE，DF.（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2）①AE=cm 时，四边形CEDF 是矩形，请写出判定矩形的依据（一条即可）；②AE=cm 时，四边形CEDF 是菱形，请写出判定菱形的依据（一条即可）.4．如图，四边形ABCD中，AD⊥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF.（1）求证：四边形ABCD是平行四边形.（2）若⊥BAE=⊥BDC,AE=3，BD=9，AB=4，求四边形ABCD的周长.5．如图，直线y=−2x+10与x轴交于点A，点B是该直线上一点，满足OB=OA.（1）求点B的坐标；（2）若点C是直线上另外一点，满足AB=BC，且四边形OBCD是平行四边形，试画出符合要求的大致图形，并求出点D的坐标.6．如图，在⊥ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若⊥A=50°，则当⊥BOD= °时，四边形BECD是矩形．7．如图，在⊥AFC中，⊥FAC=45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB、BC，使得AB=FC，过点A作AD⊥AF，且AD=BC，连接CD。

八年级数学竞赛例题专题讲解19：平行四边形、矩形、菱形

专题19 平行四边形、矩形、菱形阅读与思考平行四边形、矩形、菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形，矩形的特殊性由一个直角所体现，菱形的特殊性是由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来，判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件.连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四边形的背景下思考问题，运用平行四边形、矩形、菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定定理与性质定理的综合运用.熟悉以下基本图形：S 1S 2S 3S 4例题与求解【例l 】如图，矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD ，交BC 于E ，∠CAE ＝15°，那么∠BOE ＝________.OD(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路：从发现矩形内含的特殊三角形入手.【例2】下面有四个命题：①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；其中，正确的命题的个数是（） A.1 B. 2 C. 3 D.4 (全国初中数学联赛试题)解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构例否定.【例3】如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E ，F 分别是边AD ，CD 上的两个动点且满足AE +CF ＝2.（1）判断△BEF 的形状，并说明理由；（2）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.E DACBF(烟台中考试题)解题思路：对于（1）由数量关系发现图形特征；对于（2），只需求出BE 的取值范围.【例4】如图，设P 为等腰直角三角形ACB 斜边AB 上任意一点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，PG ⊥EF 于点G ，延长GP 并在春延长线上取一点D ，使得PD ＝PC . 求证：BC ⊥BD ，BC ＝BD .R G FE CABP(全国初中数学联赛试题)解题思路：只需证明△CPB ≌△DPB ，关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质.【例5】在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 的延长线于点F .图3图2图1DGDFDB BBC EC AEC A E（1）在图1中证明CE ＝CF ；（2）若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数；（3）若∠ABC ＝120°，FG ∥CE ，FG ＝CE ，分别连结DB ，DG （如图3），求∠BDG 的度数.(北京市中考试题)解题思路：对于（1），由角平分线加平行线的条件可推出图中有3个等腰三角形；对于（2），用测量的方法可得∠BDG =45°，进而想到等腰直角三角形，连CG ，BD ，只需证明△BGC ≌△DGF ，这对解决（3），有不同的解题思路. 对于（3）【例6】如图，△ABC 中，∠C ＝90°，点M 在BC 上，且BM ＝AC ，点N 在AC 上，且AN ＝MC ，AM 与BN 相交于点P . 求证：∠BPM ＝45°.PNMBA(浙江省竞赛试题)解题思路：条件给出的是线段的等量关系，求证的却是角度等式，由于条件中有直角和相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形，解题的关键是平移AN 或AC ，即作ME ⊥AN ，ME ＝AN ，构造平行四边形.，能力训练A 级1. 如图，□ABCD 中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，若CE ＝2，DF ＝1，∠EBF ＝60°，则□ABCD 的面积为________.第1题F E ABD2. 如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ，若△CDM 周长为a ，那么□ABCD 的周长为 ________.第2题MOBC A(浙江省中考试题)3. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝78°，过C 作CF ∥AB ，连结AF 与BC 相交于G ，若GF ＝2AC ，则∠BAG 的大小是________.第3题GFCB A(“希望杯”竞赛试题)4. 如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝∠EAF ＝60°，∠BAE ＝20°，则∠CEF 的大小是________.第4题FBDC E(“希望杯”邀请赛试题)5. 四边形的四条边长分别是a ，b ，c ，d ，其中a ，c 为对边，且满足222222a b c d ab cd +++=+，则这个四边形一定是（）A.两组角分别相等的四边形B. 平行四边形C. 对角线互相垂直的四边形D. 对角线相等的四边形6.现有以下四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角为直角且对角线互相平分的四边形为矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长的平方的4倍.其中，正确的命题有（）A. ①②B.③④C. ③D. ①②③④7. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD 3AF 平分∠DAB ，过点C 作CE ⊥BD于E ，延长AF ，EC 交于点H ，下列结论中：①AF ＝FH ；②BO ＝BF ；③CA ＝CH ；④BE ＝3ED .正确的是（）A. ②③B.③④C. ①②④D. ②③④第7题HEFOD BC (齐齐哈尔中考试题)8. 如图，矩形ABCD 的长为a ，宽为b ，如果12341(S S )2S S ==+，则4S ＝（）A.38abB. 34abC. 23abD. 12abS 1S 3S 2S 4第8题AB DE F(“缙云杯”竞赛试题)9. 已知四边形ABCD ，现有条件：①AB ∥DC ；②AB ＝DC ；③AD ∥BC ；④AD ＝BC ；⑤∠A ＝∠C ；⑥∠B ＝∠D .从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有哪几种情形？请具体写出这些组合.(江苏省竞赛试题)10. 如图，△ABC 为等边三角形，D 、F 分别是BC 、AB 上的点，且CD ＝BF ，以AD为边作等边△ADE .（1）求证：△ACD ≌△CBF ；（2）当D 在线段BC 上何处时，四边形CDEF 为平行四边形，且∠DEF ＝30°，证明你的结论.E FABCD(江苏省南通市中考试题)11. 如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，点D 为BC 上任一点，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AC 于E ，M 为BC 中点，试判断△MEF 是什么形状的三角形，并证明你的结论.FE ABC(河南省中考试题)12. 如图，△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，△ABD ，△ACE ，△BCF 都是等边三角形，求四边形AEFD 的面积.EA(山东省竞赛试题)B 级1. 如图，已知ABCD 是平行四边形，E 在AC 上，AE ＝2EC ，F 在AB 上，BF ＝2AF ，如果△BEF 的面积为22cm ，则□ABCD 的面积是________.第1题FE BAC(“希望杯”竞赛试题)2. 如图，已知P 为矩形ABCD 内一点，P A ＝3，PD ＝4，PC ＝5，则PB ＝________.第2题BP C(山东省竞赛试题)3. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将矩形折叠，使B 点与D 点重合，则折痕EF 长为________.第3题F EB C(武汉市竞赛试题)4. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，使点D 落在点D '处，CD '交AB 于点F ，则重叠部分△AFC 的面积为 ________.第4题F ABD(山东省竞赛试题)5. 如图，在矩形ABCD 中，已知AD ＝12，AB ＝5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，那么PE +PF 的值为________.第5题EFBCAP(全国初中数学联赛试题)6. 如图，菱形ABCD 的边长为4 cm ，且∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点，P 点在BD上，则PE+PC 的最小值为________.第6题EDABC P(“希望杯”邀请赛试题)7. 如图，△ABC 的周长为24，M 是AB 的中点，MC ＝MA ＝5，则△ABC 的面积是（）A. 30B. 24C.16D.12第7题MBCA(全国初中数学联赛试题)8. 如图，□ABCD 中，∠ABC ＝75°，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE ＝2AB ，则∠AED 的大小是（） A. 60° B. 65° C.70° D.75°第8题E FBAC9. 如图，已知∠A ＝∠B ，1AA ，1PP ，1BB 均垂直于11A B ，1AA ＝17，1PP＝16，1BB ＝20，11A B ＝12，则AP+PB 的值为（）A. 15B.14C. 13D.12第9题B A 1P 1PA(全国初中数学联赛试题)10. 如图1，△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，现将△ABC 补成矩形，使△ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可画出两个：矩形ACBD 和矩形AEFB （如图2）.图1图3EDBCAB CCBA解答问题：（1）设图2中矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积分别为1S ，2S ，则1S ________2S （填“＞”、“＝”或“＜”）.（2）如图3，△ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图3画出来.（3）如图4，△ABC 是锐角三角形且三边满足BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图4画出来.（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？图4ABC(陕西中考试题)11.四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠BAD ＝120°，M 为BC 上一点，N 为CD 上一点.求证：若△AMN 有一个内角等于60°，则△AMN 为等边三角形.12.如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC－EF＝ED－AB＝AF－CD＞0.求证：该六边形的各角相等.FEB(全俄数学奥林匹克试题)。

初中数学特殊平行四边形的证明及详细答案

初中数学特殊平行四边形的证明一. 解答题（共30小题）1．（2019•泰安模拟）如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, BC的垂直平分线DE交BC于D, 交AB于E, F在DE上, 并且AF=CE．（1）求证: 四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时, 四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论.2．（2019•福建模拟）已知: 如图, 在△ABC中, D、E分别是AB.AC的中点, BE=2DE, 延长DE到点F, 使得EF=BE, 连接CF．求证: 四边形BCFE是菱形.3．（2019•深圳一模）如图, 四边形ABCD中, AB∥CD, AC平分∠BAD, CE∥AD交AB于E．（1）求证: 四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点, 试判断△ABC的形状, 并说明理由.4．（2019•济南模拟）如图, 四边形ABCD是矩形, 点E是边AD的中点．求证: EB=EC.5. （2019•临淄区校级模拟）如图所示, 在矩形ABCD中, DE⊥AC于点E, 设∠ADE=α, 且cosα= , AB=4, 则AC的长为多少？6. （2019春•宿城区校级月考）如图, 四边形ABCD是矩形, 对角线AC、BD相交于点O, BE ∥AC交DC的延长线于点E. 求证：BD=BE.7．（2019•雅安）如图：在▱ABCD中, AC为其对角线, 过点D作AC的平行线及BC的延长线交于E．（1）求证: △ABC≌△DCE；（2）若AC=BC, 求证: 四边形ACED为菱形.8．（2019•贵阳）如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, D.E分别为AB, AC边上的中点, 连接DE, 将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE, 连接AF, AC．（1）求证: 四边形ADCF是菱形；（2）若BC=8, AC=6, 求四边形ABCF的周长.9．（2019•遂宁）已知：如图, 在矩形ABCD中, 对角线AC、BD相交于点O, E是CD中点, 连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F, 连结DF．求证：（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形ODFC是菱形.10. （2019•宁德）如图, 在梯形ABCD中, AD∥BC, 点E是BC的中点, 连接AC, DE, AC=AB, DE∥AB. 求证: 四边形AECD是矩形.11. （2019•钦州）如图, 在正方形ABCD中, E、F分别是AB、BC上的点, 且AE=BF. 求证：CE=DF.12．（2019•贵港）如图, 在正方形ABCD中, 点E是对角线AC上一点, 且CE=CD, 过点E 作EF⊥AC交AD于点F, 连接BE．（1）求证: DF=AE；（2）当AB=2时, 求BE2的值.13．（2019•吴中区一模）已知：如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB.CD上的点, ∠BAF=∠DAE．（1）求证: AE=AF；（2）若AE垂直平分BC, AF垂直平分CD, 求证: △AEF为等边三角形.14. （2019•新乡一模）小明设计了一个如图的风筝, 其中, 四边形ABCD及四边形AEFG都是菱形, 点C在AF上, 点E, G分别在BC, CD上, 若∠BAD=135°, ∠EAG=75°, AE=100cm, 求菱形ABCD的边长.15. （2019•槐荫区三模）如图, 菱形ABCD的边长为1, ∠D=120°. 求对角线AC的长.16. （2019•历城区一模）如图, 已知菱形ABCD的对角线AC.BD的长分别为6cm、8cm, AE ⊥BC于点E, 求AE的长.17．（2019•湖南校级模拟）如图, AE=AF, 点B.D分别在AE、AF上, 四边形ABCD是菱形, 连接EC、FC（1）求证: EC=FC；（2）若AE=2, ∠A=60°, 求△AEF的周长.18．（2019•清河区一模）如图, 在△ABC中, AB=AC, 点D.E、F分别是△ABC三边的中点．求证: 四边形ADEF是菱形.19. （2019春•防城区期末）如图, 已知四边形ABCD是平行四边形, DE⊥AB, DF⊥BC, 垂足分别是为E, F, 并且DE=DF. 求证：四边形ABCD是菱形.20．（2019•通州区一模）如图, 在四边形ABCD中, AB=DC, E、F分别是AD.BC的中点, G、H分别是对角线BD.AC的中点．（1）求证: 四边形EGFH是菱形；（2）若AB=1, 则当∠ABC+∠DCB=90°时, 求四边形EGFH的面积.21．（2019•顺义区二模）如图, 在△ABC中, D、E分别是AB.AC的中点, BE=2DE, 过点C 作CF∥BE交DE的延长线于F．（1）求证: 四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4, ∠BCF=120°, 求菱形BCFE的面积.22．（2019•祁阳县校级模拟）如图, O为矩形ABCD对角线的交点, DE∥AC, CE∥BD．（1）求证: 四边形OCED是菱形.（2）若AB=6, BC=8, 求四边形OCED的周长.23. （2019•荔湾区校级一模）已知点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点, 且AD=DE, 连结BE交CD于点O, 求证：△AOD≌△BOC.24．（2019•东海县二模）已知：如图, 在正方形ABCD中, 点E、F在对角线BD上, 且BF=DE, （1）求证: 四边形AECF是菱形；（2）若AB=2, BF=1, 求四边形AECF的面积.25．（2019•玉溪模拟）如图, 正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上, 连接BE、DG．求证: BE=DG.26．（2019•工业园区一模）已知：如图正方形ABCD中, E为CD边上一点, F为BC延长线上一点, 且CE=CF（1）求证: △BCE≌△DCF；（2）若∠FDC=30°, 求∠BEF的度数.27．（2019•深圳模拟）四边形ABCD是正方形, E、F分别是DC和CB的延长线上的点, 且DE=BF, 连接AE、AF、EF．（1）求证: △ADE≌△ABF；（2）若BC=8, DE=6, 求△AEF的面积.28. （2019•碑林区校级模拟）在正方形ABCD中, AC为对角线, E为AC上一点, 连接EB、ED. 求证：∠BEC=∠DEC.29．（2019•温州一模）如图, AB是CD的垂直平分线, 交CD于点M, 过点M作ME⊥A C, MF ⊥AD, 垂足分别为E、F．（1）求证: ∠CAB=∠DAB；（2）若∠CAD=90°, 求证: 四边形AEMF是正方形.30．（2019•湖里区模拟）已知：如图, △ABC 中, ∠ABC=90°, BD 是∠ABC 的平分线, DE⊥AB 于点E, DF ⊥BC 于点F ．求证：四边形DEBF 是正方形．初中数学特殊平行四边形的证明参考答案及试题解析一. 解答题（共30小题）1．（2019•泰安模拟）如图, 在△ABC 中, ∠ACB=90°, BC 的垂直平分线DE 交BC 于D, 交AB 于E, F 在DE 上, 并且AF=CE ．（1）求证: 四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 满足什么条件时,四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的菱形的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定. 菁优网版权所有结论．考点:考点：专题:证明题.（1）ED是BC的垂直平分线, 根据中垂线的性质: 中垂线上的分析:点线段两个端点的距离相等, 则EB=EC, 故有∠3=∠4, 在直角三角形ACB中, ∠2及∠4互余, ∠1及∠3互余, 则可得到AE=CE, 从而证得△ACE和△EFA都是等腰三角形, 又因为FD⊥BC, AC⊥BC, 所以AC∥FE, 再根据内错角相等得到AF∥CE, 故四边形ACEF是平行四边形；（2）由于△ACE是等腰三角形, 当∠1=60°时△ACE是等边三角形, 有AC=EC, 有平行四边形ACEF是菱形．（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形.（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形．解: （1）∵ED是BC的垂直平分线解答:∴EB=EC, ED⊥BC,∴∠3=∠4,∵∠ACB=90°,∴FE∥AC,∴∠1=∠5,∵∠2及∠4互余, ∠1及∠3互余∴∠1=∠2,∴AE=CE,又∵AF=CE,∴△ACE和△EFA都是等腰三角形,∴∠5=∠F,∴∠2=∠F,∴在△EFA和△ACE中∵,∴△EFA≌△ACE（AAS）,∴∠AEC=∠EAF∴AF∥CE∴四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B=30°时, 四边形ACEF是菱形. 证明如下: ∵∠B=30°, ∠ACB=90°∴∠1=∠2=60°∴∠AEC=60°∴AC=EC∴平行四边形ACEF是菱形.点评:本题综合利用了中垂线的性质、等边对等角和等角对等边、直角三角形的性质、平行四边形和判定和性质、菱形的判定求解, 有利于学生思维能力的训练．涉及的知识点有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．2. （2019•福建模拟）已知: 如图, 在△ABC中, D.E分别是AB.AC 的中点, BE=2DE, 延长DE到点F, 使得EF=BE, 连接CF.菱形的判定. 菁优网版权所有求证：四边形BCFE是菱形.考点:考点：专题:证明题.分析:由题意易得, EF 及BC 平行且相等, ∴四边形BCFE 是平行四边形．又EF=BE, ∴四边形BCFE 是菱形．解答: 解: ∵BE=2DE, EF=BE,∴EF=2DE. （1分）∵D.E 分别是AB.AC 的中点,∴BC=2DE 且DE ∥BC. （2分）∴EF=BC. （3分）又EF ∥BC,∴四边形BCFE 是平行四边形. （4分）又EF=BE,∴四边形BCFE 是菱形. （5分）∴四边形BCFE 是菱形．（5分）点评: 此题主要考查菱形的判定, 综合利用了平行四边形的性质和判定．3. （2019•深圳一模）如图, 四边形ABCD 中, AB ∥CD, AC 平分∠BAD, CE ∥AD 交AB 于E.（1）求证: 四边形AECD 是菱形；菱形的判定及性质. 菁优网版权所有（2）若点E是AB的中点,试判断△ABC的形状,并说明理由．考点:考点：几何图形问题.专题:（1）利用两组对边平行可得该四边形是平行四边形, 进而证明分析:一组邻边相等可得该四边形为菱形；（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等, 进而证明∠ACB为直角即可．（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明∠ACB为直角即可.（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明∠ACB为直角即可．解: （1）∵AB∥CD, CE∥AD,解答:∴四边形AECD为平行四边形, ∠2=∠3,又∵AC平分∠BAD,∴∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴AD=DC,∴四边形AECD是菱形；（2）直角三角形.理由: ∵AE=EC∴∠2=∠4,∵AE=EB,∴EB=EC,∴∠5=∠B,又因为三角形内角和为180°,∴∠2+∠4+∠5+∠B=180°,∴∠ACB=∠4+∠5=90°,∴△ACB为直角三角形.点评:考查菱形的判定及性质的应用；用到的知识点为：一组邻边相等的平行四边形是菱形；菱形的4条边都相等.4. （2019•济南模拟）如图, 四边形ABCD是矩形, 点E是边AD的中点.求证：矩形的性质；全等三角形的判定及性质. 菁优网版权所有EB=EC.考点:考点：专题: 证明题.分析: 利用矩形的性质结合全等三角形的判定及性质得出△ABE ≌△DCE（SAS）, 即可得出答案．解答: 证明: ∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC, ∠A=∠D=90°,∵点E是边AD的中点,∴AE=ED,在△ABE和△DCE中,,∴△ABE≌△DCE（SAS）,∴EB=EC.∴EB=EC．点评: 此题主要考查了全等三角形的判定及性质以及矩形的性质, 得出△ABE≌△DCE是解题关键．矩形的性质. 菁优网版权所有5. （2019•临淄区校级模拟）如图所示, 在矩形ABCD中, DE⊥AC于点E, 设∠ADE=α,且cosα= ,AB=4, 则AC的长为多少？考点：分析: 根据等角的余角相等, 得∠BAC=∠ADE=α；根据锐角三角函数定义可求AC的长．解答: 解: ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°, AD∥BC,∴∠EAD=∠ACB,∵在△ABC及△AED中,∵DE⊥AC于E, ∠ABC=90°∴∠BAC=∠ADE=α.∴cos∠BAC=cosα= ,∴AC= = .∴AC==．点评: 此题综合运用了锐角三角函数的知识、勾股定理、矩形的性质.矩形的性质；平行四边形的判定及性质. 菁优网版权所有6.（2019春•宿城区校级月图, 四边形ABCD是矩形, 对角线AC.BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E. 求证:BD=BE.考点:考点：专题: 证明题.分析: 根据矩形的对角线相等可得AC=BD, 对边平行可得AB∥CD,再求出四边形ABEC 是平行四边形, 根据平行四边形的对边相等可得AC=BE, 从而得证．解答: 证明: ∵四边形ABCD 是矩形,∴AC=BD, AB ∥CD,又∵BE ∥AC,∴四边形ABEC 是平行四边形,∴AC=BE,∴BD=BE.∴BD=BE．点评: 本题考查了矩形的性质, 平行四边形的判定及性质, 熟记各性质并求出四边形ABEC 是平行四边形是解题的关键．7. （2019•雅安）如图: 在▱ABCD 中, AC 为其对角线, 过点D 作AC 的平行线及BC 的延长线交于E.（1）求证: △ABC ≌△DCE ；（2）若AC=BC, 求证：四边形ACED为菱菱形的判定；全等三角形的判定及性质；平行四边形的性质. 菁优网版权所有形．考点:考点：专题: 证明题.分析: （1）利用AAS判定两三角形全等即可；（2）首先证得四边形ACED为平行四边形, 然后证得AC=AD,利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可.（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．解答: 证明: （1）∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CD, AB=CD,∴∠B=∠1,又∵DE∥AC∴∠2=∠E,在△ABC及△DCE中,,∴△ABC≌△DCE；（2）∵平行四边形ABCD中,∴AD∥BC,即AD∥CE,由DE∥AC,∴ACED为平行四边形,∵AC=BC,∴∠B=∠CAB,由AB∥CD,∴∠CAB=∠ACD,又∵∠B=∠ADC,∴∠ADC=∠ACD,∴AC=AD,∴四边形ACED为菱形.点评: 本题考查了菱形的判定等知识, 解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理, 难度不大．8. （2019•贵阳）如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, D.E分别为AB, AC边上的中点, 连接DE, 将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE, 连接AF, AC.（1）求证: 四边形ADCF是菱形；（2）菱形的判定及性质；旋转的性质. 菁优网版权所有若BC=8,AC=6,求四边形ABCF的周长．考点:考点：几何综合题.专题:（1）根据旋转可得AE=CE, DE=EF, 可判定四边形ADCF是平行分析:四边形, 然后证明DF⊥AC, 可得四边形ADCF是菱形；（2）首先利用勾股定理可得AB长, 再根据中点定义可得AD=5, 根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5, 进而可得答案．（2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案.（2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案．（1）证明: ∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE,解答:∴AE=CE, DE=EF,∴四边形ADCF是平行四边形,∵D.E分别为AB, AC边上的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,∵∠ACB=90°,∴∠AED=90°,∴DF⊥AC,∴四边形ADCF是菱形；（2）解: 在Rt△ABC中, BC=8, AC=6,∴AB=10,∵D是AB边上的中点,∴AD=5,∵四边形ADCF是菱形,∴AF=FC=AD=5,∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28.∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28．此题主要考查了菱形的判定及性质, 关键是掌握菱形四边相点评:等, 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．9. （2019•遂宁）已知: 如图, 在矩形ABCD中, 对角线AC.BD相交于点O, E是CD中点, 连结OE. 过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F, 连结DF. 求证:（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形ODFC是菱形. 考点: 考点：矩形的性质；全等三角形的判定及性质；菱形的判定. 菁优网版权所有专题: 证明题.分析: （1）根据两直线平行, 内错角相等可得∠ODE=∠FCE, 根据线段中点的定义可得CE=DE, 然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC, 再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形, 根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD, 然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．解答: 证明: （1）∵CF∥BD,∴∠ODE=∠FCE,∵E是CD中点,∴CE=DE,在△ODE和△FCE中,,∴△ODE≌△FCE（ASA）；（2）∵△ODE≌△FCE,∴OD=FC,∵CF∥BD,∴四边形ODFC是平行四边形,在矩形ABCD中, OC=OD,∴四边形ODFC是菱形.∴四边形ODFC是菱形．点评: 本题考查了矩形的性质, 全等三角形的判定及性质, 菱形的判定, 熟记各性质及平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．10.矩形的判定. 菁优网版权所有（2019•宁德）如图, 在梯形ABCD中,AD∥BC,点E是BC的中点,连接AC,DE,AC=AB,DE∥AB.求证:四边形AECD是矩形.考点:考点：专题: 证明题.分析: 先判断四边形AECD为平行四边形, 然后由∠AEC=90°即可判断出四边形AECD是矩形．解答: 证明: ∵AD∥BC, DE∥AB,∴四边形ABED是平行四边形.∴AD=BE.∵点E是BC的中点,∴EC=BE=AD.∴四边形AECD是平行四边形.∵AB=AC, 点E是BC的中点,∴AE⊥BC, 即∠AEC=90°．∴▱AECD是矩形.∴▱AECD是矩形．点评: 本题考查了梯形和矩形的判定, 难度适中, 解题关键是掌握平行四边形和矩形的判定定理．正方形的性质；全等三角形的判定及性质. 菁优网版权所有11.（2019•钦州）如图,在正方形ABCD中, E、F分别是AB.BC上的点, 且AE=BF.求证:CE=DF.考点:考点：专题: 证明题.分析: 根据正方形的性质可得AB=BC=CD, ∠B=∠BCD=90°, 然后求出BE=CF, 再利用“边角边”证明△BCE和△CDF全等, 根据全等三角形对应边相等证明即可．解答: 证明: 在正方形ABCD中, AB=BC=CD, ∠B=∠BCD=90°, ∵AE=BF,∴AB﹣AE=BC﹣BF,即BE=CF,在△BCE和△CDF中,,∴△BCE≌△CDF（SAS）,∴CE=DF.∴CE=DF．点评: 本题考查了正方形的性质, 全等三角形的判定及性质, 熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．12. （2019•贵港）如图, 在正方形ABCD中, 点E是对角线AC上一点, 且CE=CD, 过点E作EF⊥AC交AD于点F, 连接BE.（1）求证: DF=AE；正方形的性质；角平分线的性质；勾股定理. 菁优网版权所有（2）当AB=2时,求BE2的值．考点:考点：（1）连接CF, 根据“HL”证明Rt△CDF和Rt△CEF全等, 根分析:据全等三角形对应边相等可得DF=EF, 根据正方形的对角线平分一组对角可得∠EAF=45°, 求出△AEF是等腰直角三角形, 再根据等腰直角三角形的性质可得AE=EF, 然后等量代换即可得证；（2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC, 然后求出AE, 过点E作EH⊥AB于H, 判断出△AEH是等腰直角三角形, 然后求出EH=AH= AE, 再求出BH, 然后利用勾股定理列式计算即可得解．（2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC，然后求出AE，过点E作EH⊥AB于H，判断出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH= AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式计算即可得解.（2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC，然后求出AE，过点E作EH⊥AB于H，判断出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH=AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式计算即可得解．（1）证明: 如图, 连接CF,解答:在Rt△CDF和Rt△CEF中,,∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL）,∴DF=EF,∵AC是正方形ABCD的对角线,∴∠EAF=45°,∴△AEF是等腰直角三角形,∴AE=EF,∴DF=AE；（2）解: ∵AB=2,∴AC= AB=2 ,∵CE=CD,∴AE=2 ﹣2,过点E作EH⊥AB于H,则△AEH是等腰直角三角形,∴EH=AH= AE= ×（2 ﹣2）=2﹣,∴BH=2﹣（2﹣）= ,在Rt△BEH中, BE2=BH2+EH2=（）2+（2﹣）2=8﹣4 ．本题考查了正方形的性质, 全等三角形的判定及性质, 等腰直点评:角三角形的判定及性质, 勾股定理的应用, 作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键．13. （2019•吴中区一模）已知: 如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB.CD上的点, ∠BAF=∠DAE.（1）求证: AE=AF ；（2）若AE 垂直平分BC, AF 垂直平分CD, 求证：△AEF 为等边三角形．考点:考点：菱形的性质；全等三角形的判定及性质；等边三角形的判定. 菁优网版权所有专题:证明题. 分析:（1）首先利用菱形的性质得出AB=AD, ∠B=∠D, 进而得出△ABE ≌△ADF （ASA ）, 即可得出答案；（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC 和△ACD 都是等边三角形, 进而得出∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°, 求出△AEF 为等边三角形．（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC 和△ACD 都是等边三角形，进而得出∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°，求出△AEF 为等边三角形.（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC 和△ACD 都是等边三角形，进而得出∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°，求出△AEF 为等边三角形．解答: （1）证明: ∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=AD, ∠B=∠D,又∵∠BAF=∠DAE,∴∠BAE=∠DAF,在△ABE和△ADF中,,∴△ABE≌△ADF（ASA）,∴AE=AF；（2）解: 连接AC,∵AE垂直平分BC, AF垂直平分CD,∴AB=AC=AD,∵AB=BC=CD=DA,∴△ABC和△ACD都是等边三角形,∴∠CAE=∠BAE=30°, ∠CAF=∠DAF=30°,∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°,又∵AE=AF,∴△AEF是等边三角形.点评: 此题主要考查了等边三角形的判定及性质以及全等三角形的判定及性质等知识, 熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．14. （2019•新乡菱形的性质. 菁优网版权所有一模）小明设计了一个如图的风筝, 其中, 四边形ABCD及四边形AEFG都是菱形,点C在AF上, 点E, G分别在BC,CD上, 若∠BAD=135°, ∠EAG=75°,AE=100cm, 求菱形ABCD的边长.考点:考点：分析: 根据菱形的性质可得出∠BAE=30°, ∠B=45°, 过点E作EM⊥AB于点M, 设EM=x, 则可得出AB、AE的长度, 继而可得出的值, 求出AB即可．解答: 解: ∵∠BAD=135°, ∠EAG=75°, 四边形ABCD及四边形AEFG都是菱形,∴∠B=180°﹣∠BAD=45°, ∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=30°,过点E作EM⊥AB于点M, 设EM=x,在Rt△AEM中, AE=2EM=2x, AM= x,在Rt△BEM中, BM=x,则= = ,∵AE=100cm, ∴AB=50（+1）cm,∴菱形ABCD的边长为：50（+1）cm.点评: 本题考查了菱形的性质及解直角三角形的知识, 属于基础题, 关键是掌握菱形的对角线平分一组对角．15. （2019菱形的性质. 菁优网版权所有•槐荫区三模）如图,菱形ABCD的边长为1, ∠D=120°.求对角线AC的长.考点:考点：分析: 连接BD及AC交于点O, 根据菱形的性质可得AB=AD, AC=2AO, ∠ADB= ∠ADC, AC⊥BD, 然后判断出△ABD是等边三角形, 根据等边三角形的性质求出AO, 再根据AC=2AO计算即可得解．解答: 解: 如图, 连接BD及AC交于点O,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD, AC=2AO, ∠ADB= ∠ADC, AC⊥BD,∵∠D=120°,∴∠ADB=60°,∴△ABD是等边三角形,∴AO=AD×sin∠ADB= ,∴AC=2AO= .点评: 本题考查了菱形的性质, 等边三角形的判定及性质, 熟记性质并作辅助线构造出等边三角形是解题的关键．16.菱形的性质；勾股定理. 菁优网版权所有（2019•历城区一模）如图, 已知菱形ABCD的对角线AC.BD的长分别为6cm、8cm,AE⊥BC于点E, 求AE的长.考点：分析: 根据菱形的对角线互相垂直平分求出CO、BO, 再利用勾股定理列式求出BC, 然后利用菱形的面积等于底乘以高和对角线乘积的一半列出方程求解即可．解答: 解: ∵四边形ABCD是菱形,∴CO= AC=3cm, BO= BD=4cm, AO⊥BO,∴BC= = =5cm,∴S菱形ABCD= =BC•AE,即×6×8=5•AE,解得AE= cm.答：AE的长是cm.答: AE的长是cm．答：AE 的长是cm．点评: 本题考查了菱形的性质, 勾股定理, 熟记菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键, 难点在于利用菱形的面积列出方程．17. （2019•湖南校级模拟）如图, AE=AF, 点B.D分别在AE、AF上, 四边形ABCD是菱形, 连接EC.FC（1）求证: EC=FC；（2）若菱形的性质；全等三角形的判定及性质. 菁优网版权所有∠A=60°,求△AEF的周长．考点:考点：分析: （1）连接AC, 根据菱形的对角线平分一组对角可得∠CAE=∠CAF, 然后利用“边角边”证明△ACE和△ACF全等, 根据全等三角形对应边相等可得EC=FC；（2）判断出△AEF是等边三角形, 然后根据等边三角形的三条边都相等解答．（2）判断出△AEF是等边三角形，然后根据等边三角形的三条边都相等解答.（2）判断出△AEF是等边三角形，然后根据等边三角形的三条边都相等解答．解答: （1）证明: 如图, 连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∴∠CAE=∠CAF,在△ACE和△ACF中,,∴△ACE≌△ACF（SAS）,∴EC=FC；（2）解: 连接EF,∵AE=AF, ∠A=60°,∴△AEF是等边三角形,∴△AEF的周长=3AE=3×2=6.点评: 本题考查了菱形的性质, 全等三角形的判定及性质, 等边三角形的判定及性质, 熟记各性质并作出辅助线是解题的关键．18. （2019•清河区一模）如图, 在△ABC中, AB=AC, 点D.E、F分别是△ABC三边的中点.求证：菱形的判定；三角形中位线定理. 菁优网版权所有四边形ADEF是菱形.考点:专题: 证明题.分析: 利用三角形中位线的性质得出DE AC, EF AB, 进而得出四边形ADEF 为平行四边形．, 再利用DE=EF 即可得出答案．解答: 证明: ∵D.E 、F 分别是△ABC 三边的中点,∴DE AC, EF AB,∴四边形ADEF 为平行四边形.又∵AC=AB,∴DE=EF.∴四边形ADEF 为菱形.∴四边形ADEF 为菱形．点评: 此题主要考查了三角形中位线的性质以及平行四边形的判定和菱形的判定等知识, 熟练掌握菱形判定定理是解题关键．19. （2019春•防城区期末）如图, 已菱形的判定；全等三角形的判定及性质；平行四边形的性质. 菁优网版权所有形ABCD是平行四边形, DE⊥AB,DF⊥BC, 垂足分别是为E, F,并且DE=DF.求证:四边形ABCD是菱形.考点:考点：专题: 证明题.分析: 首先利用已知条件和平行四边形的性质判定△ADE≌△CDF, 再根据邻边相等的平行四边形为菱形即可证明四边形ABCD是菱形．解答: 证明: 在△ADE和△CDF中,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,∵DE⊥AB, DF⊥BC,∴∠AED=∠CFD=90°.又∵DE=DF,∴△ADE≌△CDF（AAS）∴DA=DC,∴平行四边形ABCD是菱形.∴平行四边形ABCD是菱形．点评: 本题考查了平行四边形的性质, 全等三角形的判定和性质以及菱形的判定方法, 解题的关键是熟练掌握各种图形的判定和性质．20. （2019•通州区一模）如图, 在四边形ABCD中, AB=DC, E、F分别是AD.BC的中点, G、H分别是对角线BD.AC的中点.（1）求证: 四边形EGFH是菱形；（2）若AB=1, 则当∠ABC+∠DCB=90°时, 求四边形EGFH 的面积．考点:考点：菱形的判定及性质；正方形的判定及性质；中点四边形. 菁优网版权所有分析: （1）利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGFH 的四边相等, 即可证得；（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°, 得到菱形EGFH 是正方形, 利用三角形的中位线定理求得GE 的长, 则正方形的面积可以求得．（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°，得到菱形EGFH 是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE 的长，则正方形的面积可以求得.（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°，得到菱形EGFH 是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE 的长，则正方形的面积可以求得．解答: （1）证明: ∵四边形ABCD中, E、F、G、H分别是AD.BC.BD.AC 的中点,∴FG= CD, HE= CD, FH= AB, GE= AB.∵AB=CD,∴FG=FH=HE=EG.∴四边形EGFH是菱形.（2）解: ∵四边形ABCD中, G、F、H分别是BD.BC.AC的中点,∴GF∥DC, HF∥AB.∴∠GFB=∠DCB, ∠HFC=∠ABC．∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°.∴∠GFH=90°.∴菱形EGFH是正方形.∵AB=1,∴EG= AB= .∴正方形EGFH的面积=（）2= .点评: 本题考查了三角形的中位线定理, 菱形的判定以及正方形的判定, 理解三角形的中位线定理是关键．21. （2019•顺义区二模）如图, 在△ABC中, D.E分别是AB.AC的中点, BE=2DE, 过点C作CF∥BE交DE的延长线于F.（1）求证: 四边形BCFE是菱形；（2）若菱形的判定及性质. 菁优网版权所有CE=4, ∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积．考点:考点：分析: （1）由题意易得, EF及BC平行且相等, 故四边形BCFE 是平行四边形. 又麟边EF=BE, 则四边形BCFE是菱形；（2）连结BF, 交CE于点O．利用菱形的性质和等边三角形的判定推知△BCE是等边三角形．通过解直角△BOC求得BO的长度, 则BF=2BO．利用菱形的面积= CE•BF进行解答．（2）连结BF，交CE于点O. 利用菱形的性质和等边三角形的判定推知△BCE是等边三角形. 通过解直角△BOC求得BO的长度，则BF=2BO. 利用菱形的面积= CE•BF进行解答.（2）连结BF，交CE于点O．利用菱形的性质和等边三角形的判定推知△BCE是等边三角形．通过解直角△BOC求得BO的长度，则BF=2BO．利用菱形的面积=CE•BF进行解答．解答: （1）证明: ∵D.E分别是AB.AC的中点,∴DE∥BC, BC=2DE.∵CF∥BE,∴四边形BCFE是平行四边形.∵BE=2DE, BC=2DE,∴BE=BC.∴□BCFE是菱形；（2）解: 连结BF, 交CE于点O.∵四边形BCFE是菱形, ∠BCF=120°,∴∠BCE=∠FCE=60°, BF⊥CE,∴△BCE是等边三角形.∴BC=CE=4.∴.∴.点评: 此题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算, 使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题．22. （2019•祁阳县校级模拟）如图, O为矩形ABCD对角线的交点, DE ∥AC, CE∥BD.矩形的性质；菱形的判定. 菁优网版权所有（1）求证: 四边形OCED是菱形.（2）若AB=6,BC=8,求四边形OCED的周长．考点:考点：分析: （1）根据矩形性质求出OC=OD, 根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形, 根据菱形判定推出即可；（2）根据勾股定理求出AC, 求出OC, 得出OC=OD=CE=ED=5,相加即可．（2）根据勾股定理求出AC，求出OC，得出OC=OD=CE=ED=5，相加即可.（2）根据勾股定理求出AC，求出OC，得出OC=OD=CE=ED=5，相加即可．解答: （1）证明: ∵四边形ABCD是矩形,∴AC=2OC, BD=2OD, AC=BD,∴OD=OC,∵DE∥AC, CE∥BD,∴四边形OCED是菱形.（2）解: ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∵AB=6, BC=8,∴在Rt△ABC中, 由勾股定理得: AC=10,即OC= AC=5,∵四边形OCED是菱形,∴OC=OD=DE=CE=5,∴四边形OCED的周长是5+5+5+5=20.∴四边形OCED的周长是5+5+5+5=20．。

四边形专题训练：平行四边形和特殊平行四边形(矩形、菱形和正方形)

特殊的平行四边形【知识精讲】1. 主要概念（1）平行四边形——有两组对边分别平行的四边形叫平行四边形．（2）矩形——有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．（3）菱形——有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（4）正方形——有一个角是直角的菱形叫做正方形（5）梯形——只有一组对边平行的四边形叫做梯形．（6）等腰梯形——两腰相等的梯形叫做等腰梯形．（7）直角梯形——有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．（8）三角形中位线——连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 2. 几种特殊四边形的关系四边形平行四边形梯形矩形菱形正方形直角梯形等腰梯形3.附:矩形菱形正方形的性质和判定总表4. （1）有些四边形问题可以转化为三角形问题来解决．（2）有些梯形的问题可以转化为三角形、平行四边形问题来解决．（3）有时也可以运用平移、轴对称来构造图形，解决四边形问题．矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征) 矩形性质1: 矩形的四个角都是直角．矩形性质2: 矩形的对角线相等且互相平分．如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，由性质2有AO=BO=CO=DO=21AC=21BD ．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．矩形的判定方法．矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形．矩形判定方法4：对角线相等且互相平分的四边形是矩形．例1已知：如图，矩形ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．例2已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC．求证：CE＝EF．例3．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．例4、ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ．(1)求证：AB=CF ；(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时，四边形ABFC 是矩形，并说明理由．【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．菱形的性质性质1 菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．例1 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E ．求证：∠AFD=∠CBE ．FEDCBA例2已知：如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ．求证：四边形AFCE 是菱形．例3、如图，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，过点O 作AC 的垂线与边AD 、BC 分别交于E 、F ，求证：四边形AFCE 是菱形.例4、已知如图，菱形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、BD 交于M ，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE 。

专题训练(三)-平行四边形的性质与判定的综合应用讲解学习

专题训练(三)-平行四边形的性质与判定的综合应用
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解： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形． ∴AD∥BC，又∵AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形．∴AF∥EC.同理：BE∥FD.∴四边形MFNE是平行四边形．
解：∵EB＝ED，∴∠EDB＝∠ABC.∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB.∴∠EDB＝∠ACB.∴EF∥AC.又 ∵ EF ＝ AB ， AB ＝ AC ， ∴EF ＝ AC.∴ 四边形 EFCA是平行四边形．∴∠F＝∠A.
(2)过 P 点，作 PE⊥BC 于 E，DF⊥BC 于 F，∴DF＝AB＝8，FC＝BC－AD＝18－12＝6.① 当 PQ⊥BC，则 BE＋CE＝18.即：2t＋t＝18，∴t＝6；②当 QP⊥PC，∴PE＝4，CE＝3＋t， QE＝12－2t－(3＋t)＝9－3t，∴16＝(3＋t)(9－3t)，解得：t＝ 33；③情形：当 CP⊥BC 时，
3 因∠DCB＜90°，此种情形不存在．∴当 t＝3 或 33时，△PQC 是直角三角形．
3
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解：(1)以①②作为条件构成的命题是真命题，证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，在
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∠OAB＝∠OCD
△AOB 和△COD 中，AO＝CO
，∴△AOB≌△COD，∴OB＝OD，∴四边形 ABCD
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解：(1)GF⊥EF，GF＝EF (2)GF⊥EF，GF＝EF 成立；理由：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD，∠DAB＋∠ADC＝180°，∵△ABE，△CDG，△ADF 都是等腰直角三角形，∴DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠CDG＝∠ADF＝∠BAE＝45°，∴∠BAE＋ ∠DAF＋∠EAF＋∠ADF＋∠FDC＝180°，∴∠EAF＋∠CDF＝45°，∵∠CDF＋∠GDF

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专题训练(一) 平行四边形的证明思路
【题型1】若已知条件出现在四边形的边上，则应考虑：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1．如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD.求证：四边形BECD是平行四边形．
2．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，BE＝DF.求证：四边形AECF是平行四边形．
3．如图，在▱ABC D中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF.
求证：四边形BEDF是平行四边形．
4．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF＝DE，连接BF.
(1)求证：BF＝DC；
(2)求证：四边形ABFD是平行四边形．
【题型2】若已知条件出现在四边形的角上，则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：四边形ABCD是平行四边形．
【题型3】若已知条件出现在对角线上，则应考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明
6．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F.求证：四边形ABFC为平行四边形．
7．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.
求证：四边形AECF是平行四边形．
8．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点．求证：四边形AECF 是平行四边形．
平行四边形的证明思路
1．如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD.求证：四边形BECD是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，即BE∥CD.
又∵EC∥BD，
∴四边形BECD 是平行四边形．
2．如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，BE ＝DF.求证：四边形AECF 是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，AB ＝CD.
∵BE ＝DF ，
∴AB －BE ＝CD －DF ，即AE ＝CF.
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF 是平行四边形．
3．如图，在▱ABC D 中，分别以AD ，BC 为边向内作等边△ADE 和等边△BCF，连接BE ，DF.求证：四边形BEDF 是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴CD ＝AB ，AD ＝CB ，∠DAB ＝∠BCD.
又∵△ADE 和△BCF 都是等边三角形，
∴DE ＝AD ＝AE ，CF ＝BF ＝BC ，∠DAE ＝∠BCF＝60°.
∴BF ＝DE ，CF ＝AE ，∠DCF ＝∠BCD－∠BCF，∠BAE ＝∠DAB－∠DAE，即∠DCF＝∠BAE.
在△DCF 和△BAE 中，
⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝AB ，∠DCF ＝∠BAE，CF ＝AE ，
∴△DCF ≌△BAE(SAS )．
∴DF ＝BE.
∴四边形BEDF 是平行四边形．
4．(钦州中考)如图，DE 是△ABC 的中位线，延长DE 到F ，使EF ＝DE ，连接BF.
(1)求证：BF ＝DC ；
(2)求证：四边形ABFD 是平行四边形．
证明：(1)∵DE 是△ABC 的中位线，
∴CE ＝BE.
在△DEC 和△FEB 中，
⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝BE ，∠CED ＝∠BEF ，DE ＝FE ，
∴△DEC ≌△FEB.
∴BF ＝DC.(SAS )
(2)∵DE 是△ABC 的中位线，
∴DE ∥AB ，且DE ＝12
AB. 又∵EF＝DE ，
∴DE ＝12
DF. ∴DF ＝AB.
∴四边形ABFD 是平行四边形．
类型 2 若已知条件出现在四边形的角上，则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明
5．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝∠C.求证：四边形ABCD 是平行四边形．
证明：∵AD∥BC，
∴∠A ＋∠B＝180°，
∠C ＋∠D＝180°.
∵∠A ＝∠C，
∴∠B ＝∠D.
∴四边形ABCD 是平行四边形．
类型3 若已知条件出现在对角线上，则应考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明
6．已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是BC 的中点，直线AE 交DC 的延长线于点F.求证：四边形ABFC 为平行四边形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠BAE ＝∠CFE.
∵E 是BC 的中点，
∴BE ＝CE.
在△ABE 和△FCE 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE＝∠CFE，∠AEB ＝∠FEC，BE ＝CE ，
∴△ABE ≌△FCE(AAS )．
∴AE ＝E F.
又∵BE＝CE ，
∴四边形ABFC 是平行四边形．
7．如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O ，分别与AB ，CD 的延长线交于点E ，F.求证：四边形AECF 是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OD ＝OB ，OA ＝OC ，AB ∥CD.
∴∠DFO ＝∠BEO，∠FDO ＝∠EBO.
∴△FDO ≌△EBO.(AAS )
∴OF ＝OE.
∴四边形AECF 是平行四边形．
8．如图，▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是OB ，OD 的中点．求证：四边形AECF 是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA ＝OC ，OB ＝OD.
∵点E ，F 分别是OB ，OD 的中点，
∴OE ＝12OB ，OF ＝12
OD. ∴OE ＝OF. ∴四边形AECF 是平行四边形．。