专题训练-平行四边形的证明思路

专题训练(一) 平行四边形的证明思路

【题型1】若已知条件出现在四边形的边上，则应考虑：

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

1．如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD.求证：四边形BECD是平行四边形．

2．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，BE＝DF.求证：四边形AECF是平行四边形．

3．如图，在▱ABC D中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF.

求证：四边形BEDF是平行四边形．

4．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF＝DE，连接BF.

(1)求证：BF＝DC；

(2)求证：四边形ABFD是平行四边形．

【题型2】若已知条件出现在四边形的角上，则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明

5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：四边形ABCD是平行四边形．

【题型3】若已知条件出现在对角线上，则应考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明

6．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F.求证：四边形ABFC为平行四边形．

7．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.

求证：四边形AECF是平行四边形．

8．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点．求证：四边形AECF 是平行四边形．

平行四边形的证明思路

1．如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD.求证：四边形BECD是平行四边形．

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AB ∥CD ，即BE∥CD.

又∵EC∥BD，

∴四边形BECD 是平行四边形．

2．如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，BE ＝DF.求证：四边形AECF 是平行四边形．

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AB ∥CD ，AB ＝CD.

∵BE ＝DF ，

∴AB －BE ＝CD －DF ，即AE ＝CF.

又∵AE∥CF，

∴四边形AECF 是平行四边形．

3．如图，在▱ABC D 中，分别以AD ，BC 为边向内作等边△ADE 和等边△BCF，连接BE ，DF.求证：四边形BEDF 是平行四边形．

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴CD ＝AB ，AD ＝CB ，∠DAB ＝∠BCD.

又∵△ADE 和△BCF 都是等边三角形，

∴DE ＝AD ＝AE ，CF ＝BF ＝BC ，∠DAE ＝∠BCF＝60°.

∴BF ＝DE ，CF ＝AE ，∠DCF ＝∠BCD－∠BCF，∠BAE ＝∠DAB－∠DAE，即∠DCF＝∠BAE.

在△DCF 和△BAE 中，

⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝AB ，∠DCF ＝∠BAE，CF ＝AE ，

∴△DCF ≌△BAE(SAS )．

∴DF ＝BE.

∴四边形BEDF 是平行四边形．

4．(钦州中考)如图，DE 是△ABC 的中位线，延长DE 到F ，使EF ＝DE ，连接BF.

(1)求证：BF ＝DC ；

(2)求证：四边形ABFD 是平行四边形．

证明：(1)∵DE 是△ABC 的中位线，

∴CE ＝BE.

在△DEC 和△FEB 中，

⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝BE ，∠CED ＝∠BEF ，DE ＝FE ，

∴△DEC ≌△FEB.

∴BF ＝DC.(SAS )

(2)∵DE 是△ABC 的中位线，

∴DE ∥AB ，且DE ＝12

AB. 又∵EF＝DE ，

∴DE ＝12

DF. ∴DF ＝AB.

∴四边形ABFD 是平行四边形．

类型 2 若已知条件出现在四边形的角上，则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明

5．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝∠C.求证：四边形ABCD 是平行四边形．

证明：∵AD∥BC，

∴∠A ＋∠B＝180°，

∠C ＋∠D＝180°.

∵∠A ＝∠C，

∴∠B ＝∠D.

∴四边形ABCD 是平行四边形．

类型3 若已知条件出现在对角线上，则应考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明

6．已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是BC 的中点，直线AE 交DC 的延长线于点F.求证：四边形ABFC 为平行四边形．

证明：∵AB∥CD，

∴∠BAE ＝∠CFE.

∵E 是BC 的中点，

∴BE ＝CE.

在△ABE 和△FCE 中，

⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE＝∠CFE，∠AEB ＝∠FEC，BE ＝CE ，

∴△ABE ≌△FCE(AAS )．

∴AE ＝E F.

又∵BE＝CE ，

∴四边形ABFC 是平行四边形．

7．如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O ，分别与AB ，CD 的延长线交于点E ，F.求证：四边形AECF 是平行四边形．

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴OD ＝OB ，OA ＝OC ，AB ∥CD.

∴∠DFO ＝∠BEO，∠FDO ＝∠EBO.

∴△FDO ≌△EBO.(AAS )

∴OF ＝OE.

∴四边形AECF 是平行四边形．

8．如图，▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是OB ，OD 的中点．求证：四边形AECF 是平行四边形．

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴OA ＝OC ，OB ＝OD.

∵点E ，F 分别是OB ，OD 的中点，

∴OE ＝12OB ，OF ＝12

OD. ∴OE ＝OF. ∴四边形AECF 是平行四边形．