掌握函数的概念及表示方法.ppt

第一章 实数集与函数
教学目标：
1 掌握函数的概念及表示方法； 2 理解函数的单调性、有界性、奇
偶性、周期性等基本性质； 3 理解复合函数、反函数、基本初
等函数、初等函数等概念。
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第一章 实数集与函数
§1 实 数 数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先叙述一下实数的有关概
念
一． 实数及其性质：
1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 称为 2 的过剩近似值。
命题 设 x a0 .a1a2 , y b0.b1b2 为? 个实数，则 x y 存在非负整数 n , 使得 xn yn
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例 1 设 x , y 为实数， x y ，证明：存在有理数 r 满足
Hale Waihona Puke xry由性质 3 上式等价于 |a+b||a|+|b|
把上式的 b 换成 -b 得 |a-b||a|+|b|
由此可推出
| f (x) A | A f (x) A | A | | f (x) | | A |
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三. 几个重要不等式:
（1） a 2 b2 2 ab ,
称为 x 的 n 位过剩近似值。
对于负实数 x a0 .a1a2 an
x 的 n 位不足近似值规定为： xn

a0 .a1 a2 an
1 10 n
；
x 的 n 位过剩近似值规定为： xn a0 .a1a2 an
比如 2 1.4142 ，则
1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 称为 2 的不足近似值；
sin x 1. sin x x .
（2）对 a1 , a2 ,, an R , 记
M (ai ) a1 a2
an n
1 n
n
ai ,
i 1
1
G(ai ) n
a1 a2 an

n n i1 ai ,
(算术平均值) (几何平均值)
H (ai )
1
n 1 1
1
1 n1

n. n1
(调和平均值)
a1 a2
an
n i1 ai
a i1 i
有均值不等式: H (ai ) G(ai ) M (ai ), 等号当且仅当 a1 a2 an 时成立.
（3） Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过)
a
b
{ x a x b} 称为闭区间, 记作 [a,b]
a
b
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{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
a
b
{ x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
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实数大小的比较 定义 1 给定两个非负实数
x a0 .a1a2 an , y b0 .b1b2 bn 其中 ak , bk 为非负整数， 0 ak , bk 9 。若由
1） ak bk , k 0 , 1 , 2 , 则称 x 与 y 相等，记为 x y 2） 若存在非负整数 l ，使得 ak bk , (k 0 , 1 , 2 , , l) ，而 al1 bl1 ， 则称 x 大于 y （或 y 小于 x ），分别记为 x y （或 y x ）。
3 实数大小由传递性，即 a b, b c 则有 a c. 4 Achimedes 性: a, b R, b a 0, n N, na b.
5 稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义.
6 实数集的几何表示： 数轴:
例 a b, 0, a b . 0, a < b + a b
对 x 0, 由二项展开式
(1 x)n 1 nx n(n 1) x2 n(n 1)(n 2) x3
2!
3!
有: (1 h)n 上式右端任何一项.
xn, 下页
§2 数集. 确界原理
一 区间与邻域: 区间 ：
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a, b)
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二. 绝对值与不等式
绝对值定义：
|
a
|
a a
, ,
a0 a0
从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：
-a
0
a
绝对值的一些主要性质
1. | a | | a | 0 当且仅当 a 0 时 | a | 0
2 . -|a| a |a|
3. |a| h -h < a < h ; | a | h h a h , h 0
证明
由 x y 存在非负整数 n ，使得 xn yn ，取
r xn yn 2
则 r 显然为有理数，且
实数的一些主要性质
x xn r yn y
1 四则? 算封闭性: 2 三? 性( 即有序性 ): 任何两个实数 a , b ，必满足下述三个关系之一：
a b, ab, a b
回顾中学中关于有理数和无理数的定义.
有理数：能用互质分数
p q
(
p,
q
为整数，q

0)
表示的数；
有限十进小数或无限十进循环小数表示的数
若规定：
a0 .a1a2 an a0 .a1a2 (an 1)99 9
则有限十进小数都能表示成无限循环小数。
例如： 2.001 记为 2.000 999 ；0 记为 0.000 ； 8 记为 7.999
规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数 x , y ，若按定义 1 有
x y ，则称 y x 实数的有理数近似表示
定义 2 设 x a0.a1a2 an 为非负实数，称有理数 xn a0 .a1a2 an
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为实数 x 的 n 位不足近似值，而有理数
xn

xn
1 10 n
4. a b a b a b
5. | ab || a | |b |
6. a | a | , b 0
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b |b|
性质4（三角不等式）的证明：
性质 4（三角不等式）的证明：
由性质2
-|a| a |a|, -|b|b |b|
两式相加
-(|a|+|b|)a+b |a|+|b|