求数列的通项公式教学设计
高三数学第二轮复习专题 数列数列通项的求法(教案及测试;含详解答案)
城东蜊市阳光实验学校数列通项的求法考纲要求：1. 理解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图像、通项公式〕;2. 可以根据数列的前几项归纳出其通项公式；3. 会应用递推公式求数列中的项或者者.通项；4. 掌握n n s a 求的一般方法和步骤.考点回忆：回忆近几年高考，对数列概念以及通项一般很少单独考察，往往与等差、等比数列或者者者与数列其它知识综合考察.一般作为考察其他知识的铺垫知识，因此，假设这一部分掌握不好，对解决其他问题也是非常不利的. 根底知识过关： 数列的概念1.按照一定排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的，数列中的每一项都和他的有关.排在第一位的数称为这个数列的第一项〔通常也叫做〕.往后的各项依次叫做这个数列的第2项，……第n 项……，数列的一般形式可以写成12,n a a a …………，其中是数列的第n 项，我们把上面数列简记为. 数列的分类：1.根据数列的项数，数列可分为数列、数列.2.根据数列的每一项随序号变化的情况，数列可分为数列、数列、数列、 数列.数列的通项公式：1.假设数列{}n a 的可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，通项公式可以看成数列的函数. 递推公式; 1.假设数列{}n a 的首项〔或者者者前几项〕，且任意一项1n n a a -与〔或者者其前面的项〕之间的关系可以，那么这个公式就做数列的递推公式.它是数列的一种表示法. 数列与函数的关系：1.从函数的观点看，数列可以看成以为定义域的函数()na f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，反过来，对于函数y=f(x)，假设f(i)(i=1,2,3,……)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3)……f(n)…… 答案： 数列的概念 1.顺序项序号首项n a {}n a数列的分类 1.有限无限 2.递增递减常摆动 数列的通项公式1.第n 项与它的序号n 之间的关系n a =f(n)解析式 递推公式1. 可以用一个公式来表示数列与函数的关系1. 正整数集N*〔或者者它的有限子集{}1,2,3,n ……〕高考题型归纳：题型1.观察法求通项观察法是求数列通项公式的最根本的方法，其本质就是通过观察数列的特征，找出各项一一共同的构成规律，横向看各项之间的关系构造，纵向看各项与项数之间的关系，从而确定出数列的通项.例1.数列12，14，58-，1316，2932-，6164，…．写出数列的一个通项公式．分析：通过观察可以发现这个数列的各项由以下三部分组成的特征：符号、分子、分母，所以应逐个考察其规律．解析：先看符号，第一项有点违犯规律，需改写为12--，由此整体考虑得数列的符号规律是{(1)}n-；再看分母，都是偶数，且呈现的数列规律是{2}n；最后看分子，其规律是每个分子的数比分母都小３，即{23}n -． 所以数列的通项公式为23(1)2n nn n a -=-． 点评：观察法一般适用于给出了数列的前几项，根据这些项来写出数列的通项公式，一般的，所给的数列的前几项规律性特别强，并且规律也特别明显，要么能直接看出，要么只需略作变形即可. 题型2.定义法求通项直接利用等差数列或者者等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于数列类型的题目．例2．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.分析：对于数列{}n a ，是等差数列，所以要求其通项公式，只需要求出首项与公差即可.解析：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d，∴d a =1………………………………①∵255aS =∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不要用错定义，设法求出首项与公差〔公比〕后再写出通项.题型3.应用nS 与na 的关系求通项有些数列给出{na }的前n 项和nS 与na 的关系式n S =()n f a ，利用该式写出11()n n S f a ++=，两式做差，再利用11n n na S S ++=-导出1n a +与na 的递推式，从而求出na 。
数列的教学设计方案
1. 知识与技能目标：理解数列的概念，掌握数列的通项公式、前n项和公式，并能运用所学知识解决实际问题。
2. 过程与方法目标：通过观察、比较、归纳、推理等方法，培养学生分析问题和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生严谨求实的科学态度和勇于探索的精神。
二、教学内容1. 数列的概念：有限数列、无限数列、数列的项。
2. 数列的通项公式：等差数列、等比数列、一般数列。
3. 数列的前n项和公式：等差数列的前n项和、等比数列的前n项和。
4. 数列的实际应用。
三、教学重难点1. 教学重点：数列的概念、通项公式、前n项和公式。
2. 教学难点：等差数列、等比数列的性质和应用。
四、教学过程1. 导入新课（1）回顾等差数列、等比数列的概念，引出数列的概念。
（2）提问：如何表示数列中的每一项？2. 教学新知（1）数列的概念通过实例引导学生理解数列的概念，如自然数列、奇数数列等。
（2）数列的通项公式以等差数列、等比数列为例，讲解数列的通项公式，并引导学生归纳总结。
（3）数列的前n项和公式以等差数列、等比数列为例，讲解数列的前n项和公式，并引导学生归纳总结。
3. 练习巩固（1）完成课本上的练习题，巩固所学知识。
（2）布置课后作业，巩固所学知识。
4. 课堂小结引导学生回顾本节课所学内容，总结数列的概念、通项公式、前n项和公式。
5. 课后拓展（1）研究数列在实际生活中的应用，如人口增长、经济指数等。
（2）探究数列的极限，为后续学习打下基础。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生的课堂参与度、回答问题的情况。
2. 作业完成情况：检查学生的课后作业，了解学生对知识点的掌握程度。
3. 课后反馈：通过课后反馈，了解学生对本节课的满意度和建议。
构造法求数列通项教学设计
构造法求数列通项教学设计在数学的世界里，数列就像一条条河流，有的缓缓流淌，有的奔腾不息。
今天我们要聊聊如何用构造法来找出数列的通项，听起来是不是有点儿复杂？其实不然，别担心，咱们轻松愉快地来看看。
构造法就是用聪明的脑袋瓜来“造”出一个公式，能够把数列的每一项都表达出来。
就像你在做菜，先准备好所有的材料，再一步步地把它们放到锅里，最后煮出美味的汤。
数列的构造也差不多，得先观察数列的特点。
比如说，假如你有一组数：1, 4, 9, 16，瞧，这些数就像小朋友在操场上玩耍，一个个都在欢快地跳跃。
你会发现，1是1的平方，4是2的平方，9是3的平方，16是4的平方，哈哈，原来这是一串平方数！所以啊，通项就能写成 (a_n = n^2)，这样一来，谁还怕找不着通项呢？咱们可以再深入一些，看看别的例子。
比如说，数列2, 5, 10, 17，这可不是普通的数列哦。
好奇吧，怎么构造出它的通项？你先观察观察，看看这几个数字之间有什么关系。
哎呀，发现了没有？它们之间的差值是3, 5, 7，差值还在增加，像小朋友的个子在长高一样！这时候，我们可以猜一猜，这个数列是不是与平方有关？通过一些推导，我们发现这个数列其实可以写成 (a_n = n^2 + 1)，咱们的构造法又成功了，真是太有成就感了！别忘了，还有一些数列的构造方法，比如说递推关系。
你知道的，数列有时候就像个小迷宫，得一步步走出来。
假如我给你一个数列，第一项是2，第二项是3，之后的每一项都是前两项之和。
你一看，哦，原来这就是斐波那契数列的一个变种。
于是我们可以写出通项公式，真是个不错的脑筋急转弯呢。
构造法的好处在于，它不仅仅适用于简单的数列，也可以帮你解决复杂的问题。
就像一个魔法师，把难题变得简单，哈哈，有时候我都忍不住想，如果数列会说话，它们一定会感谢我们这些小小的构造者！你瞧，数列的通项就像一扇窗，透过它我们能看到无穷无尽的可能性。
每当找到一个通项，真是有种“柳暗花明又一村”的感觉，心里美滋滋的，简直跟找到宝藏一样。
数列的通项公式
第一课时数列、数列的通项公式教学目的：1. 要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式.2. 给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。
重点与难点： 通项公式 过程：一、从实例引入（P110）1．麦粒数目１,２,２２, ２,3, ２４, ２５,...，２63 2．某班学生学号1，2，3, (45)3．从1984年到2004年，我国在奥运会上获得的金牌数：15,5，16，16，28，32。
4．在某次活动中，主办方为加大 保洁力度，在１KM 长的路段上，从起点开始，每隔１０M 放置一个垃圾筒，由近及远各筒与起点的距离排成一列数：0，10，20，30，…，1000。
5．放射…1，0.84，0.84２，0.84３，… 6．-1的正整数次幂：-1,1,-1,1,… 7．无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,… 二、提出课题：数列1．数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性） 比较其与集合元素的区别：2．名称：项，序号，一般形式n a a a ,,,21 ，表示法{}n a3．通项公式：n a 与n 之间的函数关系式如 数列1： 3+=n a n 数列2：na n 1=数列4：*,)1(N n a n n ∈-=4．实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n }）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。
5．分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列； 有穷数列、无穷数列。
6．用图象表示：— 是一群孤立的点 例一 （P107图 ） 三、关于数列的通项公式的说明 ：1． 不是每一个数列都能写出其通项公式 （如数列3）2． 数列的通项公式不唯一 如 数列4可写成 n n a )1(-=和⎩⎨⎧-=11n a *,2*,12N k k n N k k n ∈=∈-=3． 已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要 四、例题例1. （P107 ）略 例2. （P107 ）略例3. 写出引例中的各数列的通项公式。
求数列的通项公式(教师版)
求数列的通项公式(教师版)1、数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2、数列的递推公式若一个数列首项确定，其余各项用a n 与a n －1或a n +1的关系式表示(如a n ＝2a n －1＋1)，则这个关系式就称为数列的递推公式．3、由数列的递推公式求数列的通项公式的常见方法(1)待定系数法：①形如a n ＋1＝ka n ＋b 的数列求通项；②形如a n ＋1＝ka n ＋r ∙b n 的数列求通项；(2)倒数法：形如a n ＋1＝pa nqa n ＋r的数列求通项可用倒数法；(3)累加法：形如a n ＋1－a n ＝f (n )的数列求通项可用累加法；(4)累乘法：形如a n ＋1a n＝f (n )的数列求通项可用累乘法；(5) “S n ”法：数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.；S n 与a n 的混合关系式有两个思路：①消去S n ，转化为a n 的递推关系式，再求a n ；②消去a n ，转化为S n 的递推关系式，求出S n 后，再求a n .考向一 待定系数法例1—1 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求数列{a n }的通项公式。
解：设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )即a n ＋1＝2a n －t ⇒t ＝－3.故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n＋3)，令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以b 1＝4为首项，2为公比的等比数列，则b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－3.例1—2 在数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1＝2a n ＋4·3n ，数列{a n }的通项公式。
数列教学设计
递减 数列 常数 列 摆动 数列
从第 2 项起，每一项都______它的前一 项的数列 各项都________的数列。
从第 2 项起，有的项比它前一项___，有 的项比它前一项____的数列。
举例分析，练习分类
典例分析，知识运用
通过师生
二、例题探究
老师提示，引导学生 合作，加强对
例1
根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前 5 项：
般 记为{an}。其中 an 叫做数列的通项。 形 思考：{an}与 an 的区别？ 式
3. {an}与 an 的区别
积极思考，观察归纳
老师提出问题，
1、 引导学生
探
问题 1、an 与 n 之间是一一对应的？
学生积极思考回答问 观 察 黑 板 上
究
问题 2、1，2，4，…262，263 能否用一个关系式表示？ 题.
标
达到教学要求。
员补充
节知识更清
楚。
传播中国传统文化的 同时，以趣味形式检验 学生知识掌握情况。
潜移默化渗 透文化教育， 培养民族自 豪感
独立解答，知识运用
1．下列说法正确的是( )
当 A．数列 1,3,5,7 与数集{1,3,5,7}是一样的
堂 B．数列 1,2,3 与数列 3,2,1 是相同的
从文字信息找到相关 量，恰当的运用公式.
通项公式的 理解与应用，
(1)an
n2 1 2n 1
(2)an
sin
n 2
学生作答，老师板书. 规 范 解 题 步 骤.
典
解：略
培养学生
例 例 2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4 项分
的创新意识。
分 别是下列各数：
数列求通项公式教学设计
数列求通项公式教学设计教学设计：数列求通项公式一、教学目标：1.知识与技能：（1）理解什么是数列。
（2）掌握数列的基本概念和性质。
（3）能够通过观察数列的规律，找到数列的通项公式。
2.过程与方法：（1）通过观察和分析数列的规律，培养学生归纳总结的能力。
（2）通过讲解、举例和练习相结合的方式，培养学生发现问题、解决问题的能力。
二、教学重难点：1.教学重点：（1）数列的概念和性质。
（2）数列的通项公式。
2.教学难点：（1）数列的观察与规律发现。
（2）数列求通项公式的方法和技巧。
三、教学过程：1.导入（5分钟）教师出示几组数字，让学生观察并思考这些数字有什么规律。
通过学生的回答，引出数列的概念和意义。
2.探究（20分钟）（1）什么是数列？教师给出数列的定义，即按照一定规律排列的一列数字。
并重点强调数列要有序、有规律。
（2）数列的基本概念和性质教师讲解数列的基本概念，包括首项、公差、项数等。
并通过几个例子，让学生理解数列的性质，如等差数列的性质。
（3）观察数列规律，找出通项公式教师出示几个数列，让学生观察并找出它们的规律。
通过学生的讨论和分析，引导学生思考如何找到数列的通项公式。
教师可以使用图表、图像等方式辅助学生的观察和总结。
3.讲解（15分钟）（1）数列的通项公式教师讲解什么是数列的通项公式，即通过项数n来表示数列的通项，如an = a1 + (n-1)d。
（2）求等差数列的通项公式教师以等差数列为例，详细讲解如何求解等差数列的通项公式，并通过具体的例子进行讲解和演示。
（3）求等比数列的通项公式教师以等比数列为例，详细讲解如何求解等比数列的通项公式，并通过具体的例子进行讲解和演示。
4.拓展（15分钟）（1）进一步练习教师出示更多的数列，让学生通过观察和分析找出数列的通项公式。
（2）数列应用问题教师出示一些与数列相关的应用问题，让学生运用数列的通项公式解决实际问题。
5.结束（5分钟）教师布置相关的作业和预习内容，总结本节课的重点和难点，并鼓励学生复习巩固所学知识。
高三复习课数列求通项公式的基本方法与技巧
高三复习课《数列求通项公式的基本方法与技巧》说课稿大家好！我本节课说课的内容是高三复习课《数列求通项公式的基本方法与技巧》，所用的教材是普通高中课程标准实验教科书（B版）。
高三第一阶段复习，也称“知识篇”。
在这一阶段，学生重温高一、高二所学课程，全面复习巩固各个知识点，熟练掌握基本方法和技能；然后站在全局的高度，对学过的知识产生全新认识。
在高一、高二时，是以知识点为主线索，依次传授讲解的，由于后面的相关知识还没有学到，不能进行纵向联系，所以，学的知识往往是零碎和散乱，而在第一轮复习时，以章节为单位，将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化，把各个知识点融会贯通。
对于高中的学生，第一轮复习更为重要，我们希望能做高考试题中一些基础题目，必须侧重基础，加强复习的针对性，讲求实效。
一、教材与学情分析（一）教材的地位和作用1、数列是高中数学的重要内容之一，也是与大学数学相衔接的内容，在测试学生逻辑推理能力和理性思维水平，以及考查学生创新意识和创新能力等方面有不可替代的作用。
数列是反映自然规律的基本数学模型之一。
通过对日常生活和现实世界中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列两种数学模型，有利于培养数学抽象能力，发展数学建模能力。
2、在历年高考试题中，数列占有重要地位，近几年更是有所加强。
特别是2011年辽宁高考解答题第一题就是考查了数列求通项。
（二）学情分析学生通过对高中数学中数列的学习，已经对解决一些数列问题有一定的能力。
但是授课班级是理科普通班，学生的基础一般，反应速度不怎么快，缺乏独立思考的能力和深度思维，普遍感到数学难学。
但大部分学生主观上有学好数学的愿望，能认识到学习数学的重要性。
如果能让学生由被动接受转变为主动参与，亲身实践，那么听课的积极性和思维能力会有很大提高，自主学习和解决问题的能力也会得到很大的发展。
所以我采用的是分组展示、评价的教学方式。
二、教学目标分析（一）知识与技能目标：理解数列的通项公式的含义，熟练掌握求数列通项公式的基本方法与技巧。
求数列的通项公式列(教案+例题+习题)
求数列的通项公式（教案+例题+习题）一、教学目标1. 理解数列的概念，掌握数列的基本性质。
2. 学会求解数列的通项公式，并能应用于实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
二、教学内容1. 数列的概念与基本性质2. 数列的通项公式的求法3. 数列通项公式的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：数列的概念，数列的通项公式的求法及应用。
2. 教学难点：数列通项公式的推导和应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解数列的概念、性质及通项公式的求法。
2. 利用例题，演示数列通项公式的应用过程。
3. 布置习题，巩固所学知识。
五、教学过程1. 引入数列的概念，讲解数列的基本性质。
2. 讲解数列通项公式的求法，引导学生掌握求解方法。
3. 通过例题，演示数列通项公式的应用，让学生理解并掌握公式。
4. 布置习题，让学生巩固所学知识，并提供解题思路和指导。
5. 总结本节课的重点内容，布置课后作业。
教案结束。
例题：已知数列的前n项和为Sn = n(n+1)/2，求该数列的通项公式。
解答：由数列的前n项和公式可知，第n项的值为Sn S(n-1)。
将Sn = n(n+1)/2代入上式，得到第n项的值为：an = Sn S(n-1) = n(n+1)/2 (n-1)n/2 = n/2 + 1/2。
该数列的通项公式为an = n/2 + 1/2。
习题：1. 已知数列的前n项和为Sn = n^2，求该数列的通项公式。
2. 已知数列的通项公式为an = 2n + 1，求该数列的前n项和。
3. 已知数列的通项公式为an = (-1)^n，求该数列的前n项和。
4. 已知数列的通项公式为an = n^3 6n，求该数列的前n项和。
5. 已知数列的通项公式为an = 3n 2，求该数列的前n项和。
六、教学目标1. 掌握数列的递推关系式，并能运用其求解数列的通项公式。
2. 学习利用函数的方法求解数列的通项公式。
3. 提升学生分析问题、解决问题的能力。
高中二年级下学期数学《利用数列的递推公式求通项公式(2)》教学设计
例1 在数列 中， 且 ，求数列 的通项公式.
①提问：这个题该怎么去思考呢?
②我们该如何去求解呢？
变式练习1：在数列 中， 且 ,求数列 的通项公式.
①提问：区分与上题例1的区别？所做的方法是否一样？
方法：运用构造的方法可以解决这类问题.
变式练习2在数列 中， 且 ，求数列 的通项公式.
教学难点：
运算时，要区分后一项与前一项的关系，特别是项数定要分析清楚.
教学过程
教学流程图
复习回顾→复习证明→例题解析→归纳总结→布置作业
一、复习回顾
引导语：在前面，我们学习的利用数列的递推公式求通项公式（1），那如果这个递推公式 ，而这个 为变量，为一个指数形式，那我们该如果求它的通项公式呢？
设计意图：温故而知新，为本节课的学习作铺垫.
①提问：这个问题能不能用刚刚所题的构造法解决呢？
②如果能，又该咋么去作呢？
疑问：如果把上式递推公式变化为： ，我们又该如何求它的通项公式呢？
例2在数列 中，如果 且 ，求数列 的通项公式.
①提问：怎么来构造这个递推公式呢？
②追问：这种类型的题目是不是以后都可以这么做呢？
四、归纳总结
如果一个数列的递推公式形如： 的形式，这里的 为常数和含n的一次函数形式，我们就可以选择用构造的方法求出最终的通项公式.这两种常见的构造形式为：
常数构造
一次函数构造
这就是本节课所讲的两种常见的构造类型。
五、布置作业
1、在数列 中， 且 ，求数列 的通项公式.
2、在数列 中， 且 ，求数列 的通项公式.
3、在数列 中， 且 ，求数列 的通项公式.
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。
由递推公式求数列的通项(说课稿)
由递推公式求数列的通项（说课稿）一、学情分析和教法设计：1、学情分析：学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也学过了数列通项公式的求法，也接触过了数列的递推关系。
但这部分内容学生容易出差错，所以有必要对此内容进行深入研究，使学生能更好的掌握。
本节课作为一节专题探究课，将会根据递推公式求出数列的项，并能运用累加、累乘、化归等方法求数列的通项公式，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。
2、教法设计：本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。
采用以问题情景为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。
先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题及变式中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。
在教学过程中采取如下方法：①诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性；②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性；③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。
④思维导图：利用思维导图，将本节课内容进行梳理，联系之前学习的内容，进行发散思维，加深学生的记忆。
二、教学设计：1、教材的地位与作用：递推公式是认识数列的一种重要形式，是给出数列的基本方式之一。
对数列的递推公式的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考常新的内容；化归思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。
高中数列--通项公式的求法教案
数列通项公式的求法一．利用公式求通项公式（已知数列为等差数列或者等比数列）1.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =,且1234,3,2S S S 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；2.已知数列}{n a 是等比数列，且满足3652=+a a ，12843=⋅a a ． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；3.已知数列.21.41)1(,41}{11-==-=+n n n n n a b a a a a 令满足 （Ⅰ）求证：数列}1{nb 为等差数列；二、已知{}n a 的前n 项和n S 与n a 间的关系，求通项 ⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n n n n 求解1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n +2=2a n （n ∈N *）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；2．设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a +2a n =4S n （n ∈N *）． （Ⅰ）求a n ；3.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，121)(--⋅=-n n n n S S S a （2≥n ）， 且11=a ，0>n a .（I ）求2a 的值，并证明{}n S 是等比数列；三、两式相减，消项求通项1.已知数列{a n }的前n 项和S n ，且满足：1233121111n n n a a a a ++++=---- ，n ∈N*. (Ⅰ) 求a n ；四、利用递推关系，求通项公式 根据题目中所给的递推关系即n a 和a n-1的关系，可累加法/累乘法/构造法/倒数法求通项公式．1.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.2. 数列{}n a 满足,11=a n n a a n n 11+=+，求数列{}n a 的通项公式；3. 已知数列}{n a 中，,2121,211+==+n n a a a .求数列{a n }的通项公式4.已知数列{}n a 满足)1(1,21111>+==--n a a a a n n n . （I ）求证：数列}1{na 为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；。
求数列的通项公式教学设计
学校年级班级
授课教师
指导教师
课时
2课时（第一课时）
一、教学内容分析（简要说明课题来源、学习内容、这节课的价值以及学习内容的重要性）
数列是高中数学重要内容之一，纵观全国高考，几乎都是一小题，一大题。虽然近几年难度有所下降，但对学生来说还是难。它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。求数列通项公式在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。数列模块，是高考重难点。
总结方法
归纳总结
已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________________
完成左侧题目的解答
自主学习
四、反馈测评
PPT展示以下题目
1.已知a1＝2，an＋1－an＝2n＋1(n∈N*)，则an＝________
2.设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( )
高三理科普通班，男生26人，女生24人，女生很认真，但太过于定性思维，成绩不太理想！数列通项是高考的重点内容，必须调动学生的积极让他们掌握！作为数列复习中通项公式的第一节课，只要求学生掌握求通项公式的四种基本方法，根据学生实际情况，题型设置简单，重在帮助学生巩固基础知识和归纳方法
四、教学策略选择与设计（说明本课题设计的基本理念、主要采用的教学与活动策略）
情感态度与价值观：通过对数列通项公式的研究，体会从特殊到一般，又到特殊的认识事物规律，培养学生主动探索，勇于发现的求知精神
三、学习者特征分析（说明学习者在知识与技能、过程与方法、情感态度等三个方面的学习准备（学习起点），以及学生的学习风格。最好说明教师是以何种方式进行学习者特征分析，比如说是通过平时的观察、了解；或是通过预测题目的编制使用等）
2021高中数学第二章数列习题课(一)求数列的通项公式学案苏教版必修5
习题课(一) 求数列的通项公式学习目标n 项和S n 与a n 的关系求通项公式的方法．知识点一 通过数列前假设干项归纳出数列的一个通项公式思考 你能看出数列(1)：－1,1，－1,1…与数列(2): 0,2,0,2…的联系吗？由此写出数列(2)的一个通项公式．答案 数列(1)每项加1得到数列(2)．数列(1)的通项公式是a n ＝(－1)n，故数列(2)的通项公式是a n ＝(－1)n＋1.梳理 通过数列前假设干项归纳出数列的一个通项公式，关键是依托根本数列如等差数列、等比数列，寻找a n 与n ，a n 与a n ＋1的联系． 知识点二 利用递推公式求通项公式思考 还记得我们是如何用递推公式a n ＋1－a n ＝d 求出等差数列的通项公式的吗？ 答案 累加法．梳理 递推公式求通项公式的主要思路，就是要通过对递推公式赋值、变形，构造出我们熟悉的等差数列或等比数列，进而求出通项公式．赋值、变形的常见方法有累加、累乘、待定系数法、换元、迭代等．知识点三 利用前n 项和S n 与a n 的关系求通项公式 思考 如何用数列{a n }的前n 项和S n 表示a n ?答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.梳理 当S n 或S n 与a n 的关系式，可以借助上式求出通项公式，或者得到递推公式，再由递推公式求得通项公式．在应用上式时，不要忘记对n 讨论．1．数列可由其前四项完全确定．(×)2．可以在公式许可的范围内根据需要对递推公式中的n 任意赋值．(√) 3．{S n }也是一个数列．(√)类型一 通过数列前假设干项归纳出数列的一个通项公式 例1 由数列的前几项，写出数列的一个通项公式： (1)3,5,3,5,3,5，…； (2)12，23，34，45，56，…； (3)2，52，134，338，8116，…；(4)12，16，112，120，130，…. 考点 数列的通项公式题点 根据数列的前几项写出通项公式a n ＝4＋(－1)n .(2)数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比分子大1，所以它的一个通项公式为a n ＝nn ＋1.(3)数列可化为1＋1,2＋12，3＋14，4＋18，5＋116，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n ＋12n －1.(4)数列可化为11×2，12×3，13×4，14×5，15×6，…，所以它的一个通项公式为a n ＝1n (n ＋1).反思与感悟 这类数列通常是由根本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到，故解决这类问题可以根据所给数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否摆动数列)联想根本数列，再考察它与根本数列的关系．跟踪训练1 由数列的前几项，写出数列的一个通项公式： (1)1，－7,13，－19,25，… (2)14，37，12，713，916，… (3)1，－85，157，－249，…考点 数列的通项公式题点 根据数列的前几项写出通项公式解 (1)数列每一项的绝对值构成一个以1为首项，6为公差的等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(6n －5)．(2)数列化为14，37，510，713，916，…，分子、分母分别构成等差数列，所以它的一个通项公式为a n ＝2n －13n ＋1.(3)数列化为22－13，－32－15，42－17，－52－19，…，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(n ＋1)2－12n ＋1.类型二 利用递推公式求通项公式 命题角度1 累加、累乘例2 (1)数列{a n }满足a 1＝1，对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，求通项公式； (2)数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝nn ＋1a n ，求a n .考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列解 (1)∵a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1，即a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，等式两边同时相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n (n ≥2)， 即a n ＝a 1＋2＋3＋4＋…＋n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2(n ≥2)，a 1＝1也符合上式．∴a n ＝n (n ＋1)2.(2)由条件知a n ＋1a n ＝n n ＋1，分别令n ＝1,2,3，…，n －1， 代入上式得(n －1)个等式累乘之， 即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3…a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n (n ≥2)，∴a n a 1＝1n(n ≥2)，又∵a 1＝23，∴a n ＝23n (n ≥2)，a 1＝23也符合上式．∴a n ＝23n.反思与感悟 型如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推公式求通项可以使用累加法，步骤如下： 第一步 将递推公式写成a n ＋1－a n ＝f (n )．第二步 依次写出a n －a n －1，…，a 2－a 1，并将它们累加起来． 第三步 得到a n －a 1的值，解出a n .第四步 检验a 1是否满足所求通项公式，假设成立，那么合并；假设不成立，那么写出分段形式．累乘法类似．跟踪训练 2 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2na n (n ∈N *)，那么数列{a n }的通项公式为__________．考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列 答案 (1)22n n-n a =(n ∈N *)解析 由a n ＋1＝2na n ，得a n ＋1a n＝2n， 即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3…a n a n －1＝21×22×23×…×2n －1，即a n a 1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)(经历证a 1＝1也符合)(n ∈N *)．(2)在数列{a n }中，a 1＝1，a n －a n －1＝n －1 (n ＝2,3,4，…)，求{a n }的通项公式． 考点 递推数列通项公式求法 题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型 解 ∵当n ＝1时，a 1＝1，当n ≥2时，⎭⎪⎬⎪⎫a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，…，a n －a n －1＝n －1，这n －1个等式累加得， a n －a 1＝1＋2＋…＋(n －1)＝n (n －1)2，故a n ＝n (n －1)2＋a 1＝n 2－n ＋22且a 1＝1也满足该式，∴a n ＝n 2－n ＋22(n ∈N *)．命题角度2 构造等差(比)数列例3 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求a n . 考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列解 递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n ＋1＝2a n －t ，那么t ＝－3. 故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．(1)(1)(1)22212,22---===n n n n n n n a a 故令b n ＝a n ＋3，那么b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列． 所以b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，即a n ＝2n ＋1－3.反思与感悟 型如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 为常数，且pq (p －1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：第一步 假设将递推公式改写为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )． 第二步 由待定系数法，解得t ＝qp －1.第三步 写出数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋q p －1的通项公式．第四步 写出数列{a n }通项公式．跟踪训练3 数列{a n }满足a n ＋1＝2a n ＋3×5n，a 1＝6，求数列{a n }的通项公式． 考点 递推数列通项公式求法 题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型 解 设a n ＋1＋x ×5n ＋1＝2(a n ＋x ×5n)，①将a n ＋1＝2a n ＋3×5n代入①式，得2a n ＋3×5n＋x ×5n ＋1＝2a n ＋2x ×5n，等式两边消去2a n ，得3×5n＋x ×5n ＋1＝2x ×5n，两边除以5n，得3＋5x ＝2x ，那么x ＝－1，代入①式得a n ＋1－5n ＋1＝2(a n －5n)．②由a 1－51＝6－5＝1≠0及②式得a n －5n≠0，那么a n ＋1－5n ＋1a n －5n ＝2，那么数列{a n －5n}是以1为首项，2为公比的等比数列，那么a n －5n ＝2n －1，故a n ＝2n －1＋5n (n ∈N *)．类型三 利用前n 项和S n 与a n 的关系求通项公式例4 数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S n ＝2a n －4，n ∈N *，那么a n ＝________. 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项 答案 2n ＋1解析 因为S n ＝2a n －4，所以S n －1＝2a n －1－4(n ≥2)，两式相减可得S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1，即a na n －1＝2，因为S 1＝a 1＝2a 1－4，即a 1＝4，所以数列{a n }是首项为4，公比为2的等比数列，那么a n ＝4×2n －1＝2n ＋1.反思与感悟 S n ＝f (a n )或S n ＝f (n )解题步骤：第一步 利用S n 满足条件p ，写出当n ≥2时，S n －1的表达式．第二步 利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，求出a n 或者转化为a n 的递推公式的形式．第三步 假设求出n ≥2时的{a n }的通项公式，那么根据a 1＝S 1求出a 1，并代入{a n }的通项公式进展验证，假设成立，那么合并；假设不成立，那么写出分段形式．如果求出的是{a n }的递推公式，那么问题化归为类型二．跟踪训练4 在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1(n ∈N *)，求数列{a n }的通项a n .考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项 解 (1)由a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，得当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n ，两式作差得na n ＝n ＋12a n ＋1－n2a n ，得(n ＋1)a n ＋1＝3na n (n ≥2)，即数列{na n }从第二项起是公比为3的等比数列，且a 1＝1，a 2＝1，于是2a 2＝2，故当n ≥2时，na n ＝2·3n －2.于是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n·3n －2，n ≥2.1．等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，那么数列{a n }的通项公式a n ＝________.考点 等比数列的通项公式 题点 数列为等比数列求通项公式 答案 2n解析 ∵{a n }单调递增，∴q ＞0， 又a 25＝a 10＞0，∴a n ＞0，q ＞1， 由条件得2⎝⎛⎭⎪⎫a n a n ＋1＋a n ＋2a n ＋1＝5，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫1q ＋q ＝5，∴q ＝2或q ＝12(舍)， 由a 25＝a 10得(a 1q 4)2＝a 1q 9， ∴a 1＝q ＝2，故a n ＝2n.2．设数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，那么a 1＝________，S 5＝________. 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项 答案 1 121解析 a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，解得a 1＝1，a 2＝3，再由a n ＋1＝2S n ＋1，即a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，得a n ＋1－a n ＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3a 1，所以a n ＋1＝3a n (n ≥1)，S 5＝1－351－3＝121.3．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，那么此数列的通项公式a n ＝________. 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项 答案 2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1， ∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)， ∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n －1，n ∈N *.4．数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.证明{a n }是等比数列，并求其通项公式． 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项解 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n . 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 所以{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，所以a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.1．不管哪种类型求通项公式，都是以等差数列、等比数列为根底．2．利用数列前假设干项归纳通项公式，对无穷数列来说只能算是一种猜测，是否对所有项都适用还需论证．3．待定系数法求通项，其本质是猜测所给递推公式可以变形为某种等差数列或等比数列，只是其系数还不知道，一旦求出系数，即意味着猜测成立，从而可以借助等差数列或等比数列求得通项．4．使用递推公式或前n 项和求通项时，要注意n 的取值范围．一、填空题1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N *)，那么a 100的值是________． 考点 递推数列通项公式求法 题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型 答案 9902解析 a 100＝(a 100－a 99)＋(a 99－a 98)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2 ＝2×99×(99＋1)2＋2＝9 902.2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋2a n ，那么这个数列的第n 项为__________．考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列 答案12n －1解析 ∵a n ＋1＝a n 1＋2a n ，∴1a n ＋1＝1a n＋2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，公差为2，首项1a 1＝1. ∴1a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，∴a n ＝12n －1. 3．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，那么a n ＝______________.考点 递推数列通项公式求法 题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型 答案 2＋ln n解析 由a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n 得a n ＋1－a n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln n ＋1n ，∴(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝ln 21＋ln 32＋…＋ln n n －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×32×…×n n －1＝ln n ，即a n －a 1＝ln n ，a n ＝ln n ＋2(经历证a 1＝2也符合)．4．数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，那么此数列的通项公式a n ＝__________.考点 递推数列通项公式求法 题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型 答案n2n －1解析 ∵a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋2， 即2n ＋1a n ＋1－2n a n ＝2.又21a 1＝2，∴数列{2na n }是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴2na n ＝2＋(n －1)×2＝2n ， ∴a n ＝n2n －1.5．数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________.考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列 答案 2n－1解析 由题意，得a n －a n －1＝2n －1，∴a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋21＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1，即a n ＝2n－1.6．一个正整数数表如下(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍)：那么第8行中的第5个数是________．考点 数列的通项公式题点 根据数列的前几项写出通项公式 答案 132解析 前7行中共有1＋2＋22＋…＋26＝27－1＝127个数，那么第8行中的第5个数是127＋5＝132.7．假设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且对于任意大于1的整数n ，点(S n ，S n －1)在直线x －y －2＝0上，那么数列{a n }的通项公式为________________． 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项 答案 a n ＝4n －2解析 由题意得S n －S n －1＝2，n ∈N *，n ≥2，∴{S n }是首项为S 1＝a 1＝2，公差为2的等差数列．∴S n ＝2n ，∴S n ＝2n 2， ∴a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，n ∈N *，n ≥2，a 1＝2也适合上式．∴a n ＝4n －2，n ∈N *.8．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1－2a n ＝0，数列{b n }的通项满足关系式a n b n ＝(－1)n(n ∈N *)，那么b n ＝________.考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列 答案 (－1)n3·2n －1解析 易知{a n }是首项为3，公比为2的等比数列， ∴a n ＝3×2n －1，∴b n ＝(－1)n a n ＝(－1)n3×2n －1.9．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1na n ，那么数列{a n }的通项公式a n ＝________. 考点 递推数列通项公式求法 题点 累乘法求通项 答案 n 解析 a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝nn －1·n －1n －2·…·32·21＝n (经历证a 1＝1也符合)． 10．数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2，且a 1＝1，那么a n ＝________. 考点 递推数列通项公式求法题点 一阶线性递推数列答案 2×3n －1－1解析 设a n ＋1＋A ＝3(a n ＋A )，化简得a n ＋1＝3a n ＋2A . 又a n ＋1＝3a n ＋2，∴2A ＝2，即A ＝1.∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3. ∴数列{a n ＋1}是等比数列，首项为a 1＋1＝2，公比为3. 那么a n ＋1＝2×3n －1，即a n ＝2×3n －1－1.11．假设数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，那么{a n }的通项公式是a n ＝________. 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1， 即a n ＝－2a n －1，又a n ≠0，故a n a n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1. 二、解答题12．S n ＝4－a n －12n －2，求a n 与S n . 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项解 ∵S n ＝4－a n －12n －2，∴S n －1＝4－a n －1－12n －3， ∴当n ≥2时，S n －S n －1＝a n ＝a n －1－a n ＋12n －3－12n －2. ∴a n ＝12a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1. ∴a n⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －a n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝2，∴2n a n －2n －1a n －1＝2， ∴{2n a n }是等差数列，d ＝2，首项为2a 1.∵a 1＝S 1＝4－a 1－12－1＝2－a 1，∴a 1＝1，∴2n a n ＝2＋2(n －1)＝2n .∴a n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， ∴S n ＝4－a n －12n －2＝4－n ·12n －1－12n －2＝4－n ＋22n －1. 13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1，∵T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，求得a 1＝1.(2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2] ＝2S n －2S n －1－2n ＋1，∴S n ＝2S n －1＋2n －1，①∴S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1，②②－①得a n ＋1＝2a n ＋2，∴a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，求得a 1＋2＝3，a 2＋2＝6， ∴a n ＋2≠0.∴a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ≥2)． 又a 2＋2a 1＋2＝2，也满足上式， ∴{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．∴a n ＋2＝3·2n －1， ∴a n ＝3·2n －1－2，n ∈N *.三、探究与拓展14．假设在数列{a n }中，a 1＝3且a n ＋1＝a 2n (n 是正整数)，那么它的通项公式a n 为________________．考点 递推数列通项公式求法题点 其他递推数列问题答案 a n ＝123n －解析 由题意知a n >0且a n ≠1，将a n ＋1＝a 2n 两边取对数得lg a n ＋1＝2lg a n ，且lg a n ≠0，即lg a n ＋1lg a n＝2，所以数列{lg a n }是以lg a 1＝lg 3为首项，2为公比的等比数列，lg a n ＝(lg a 1)·2n －1＝lg 123n －.即a n ＝123n －.15．数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＝4a n ＋1－3a n (n ∈N *)．(1)求a 3，a 4的值；(2)证明：数列{a n ＋1－a n }是等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式．考点 递推数列通项公式求法题点 一阶线性递推数列(1)解 a 3＝4a 2－3a 1＝13，a 4＝4a 3－3a 2＝40.(2)证明 ∵a n ＋2＝4a n ＋1－3a n ， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3(a n ＋1－a n )．又a 1＝1，a 2＝4，∴a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝3，那么{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，3为公比的等比数列．(3)解 由(2)得a n ＋1－a n ＝3n ， 那么当n ≥2时，a n －a n －1＝3n －1， 故a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝3n －1＋3n －2＋…＋3＋1＝1－3n 1－3＝3n －12. 又a 1＝1适合上式，故a n ＝3n －12，n ∈N *.。
等差数列及其通项公式教学设计
等差数列及其通项公式教学设计（一）【内容分析】本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教A版）第二章数列第二节等差数列第一课时．在上节学习数列的概念之后，转入特殊数列的学习，起着承前启后的作用．同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法．【教学目标】 1．知识与能力：理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式．了解等差数列的通项公式与一次函数的关系。
2．过程与方法：通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力．3．情感态度与价值观:通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣．【教学重点】①等差数列的概念；②等差数列的通项公式的推导过程及应用．【教学难点】①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义；②等差数列的通项公式的推导过程．【设计思路】本节采用启发式和探究式的教学方法。
从创设情境引导学生首先从三个现实问题概括出数组特点，通过观察归纳抽象出等差数列的概念；学生自主探究推导出等差数列的通项公式；借助例题进行巩固，小组合作总结反思。
【教学过程】一、创设情景，提出问题师：课本第36页的四个例题及第38页的例1，提出以上五个问题中的数蕴涵着5列数．通过实例创设等差数列的模型。
①0，5，10，15，20，25，…．②18，15．5，13，10．5，8，5．5．③10072，10144，10216，10288，10360.例1教师：把每列数记做数列的第一项，第二项，……。
观察后项与前项的差有什么规律？学生：然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等差数列概念．设计意图：从实例引入,实质是给出了等差数列的现实背景,目的是让学生感受到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型．二、观察归纳，引出概念教师：投出三个思考题思考1上述数列有什么共同特点？思考2根据上数列的共同特点，你能给出等差数列的一般定义吗？思考3你能将上述的文字语言转换成数学符号语言吗？学生：分组讨论，每小组找代表发言。
02等差数列的概念及通项公式教学设计
等差数列的概念及通项公式教学设计课题名称等差数列的概念及通项公式课时计划：1课时第1课时授课日期：教学目标1.理解等差数列、等差中项的概念.2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题.3.体会等差数列与一元一次函数的关系．重点难点1.理解等差数列、等差中项的概念.2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题.3.体会等差数列与一元一次函数的关系．教学方法教师讲授，学生主导，师生互动科组模式板书设计作业布置课后反思教学设计教学环节教师活动(可附带学生活动)一、等差数列的概念问题1观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题．(1)近5届冬奥会举办的时间：2006,2010,2014,2018,2022；(2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的中国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45,44,43,42,41,40，…；(3)为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10,10,10,10,10.以上数列有什么共同特征？知识梳理一般地，如果一个数列从第______项起，每一项与它的前一项的______都等于____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的______，公差通常用字母______表示．例1判断下列各组数列是不是等差数列．如果是，写出首项a 1和公差d .(1)1,3,5,7,9，…；(2)9,6,3,0，－3，…；(3)1,3,4,5,6，…；(4)7,7,7,7,7，…；(5)1，12，13，14，15，….反思感悟利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列．跟踪训练1(多选)下列数列是等差数列的是()A ．1,1,1,1,1B ．4,7,10,13,16C.13，23，1，43，53D ．－3，－2，－1,1,2二、等差中项问题2由等差数列的定义可知，如果1，x ,3这三个数是等差数列，你能求出x 的值吗？由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的____________，且2A ＝____________.例2(1)若a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为()A.3B.2C.32D.22(2)在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列．反思感悟若a ，A ，b 成等差数列，则A ＝a ＋b 2；反之，由A ＝a ＋b 2也可得到a ，A ，b 成等差数列，所以A 是a ，b 的等差中项⇔A ＝a ＋b 2.跟踪训练2已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，则2m －n 和2n －m 的等差中项是()A ．8B ．6C ．4.5D ．3三、等差数列的通项公式问题3你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？问题4观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？、1．首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的通项公式为a n＝____________.2．若数列{a n}是等差数列，首项为a1，公差为d，则a n＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，a n)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为______，在y轴上的截距为____________；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加______．例3在等差数列{a n}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a n.延伸探究若等差数列{a n}的前三项和为24，第二项与第三项之积为40，求数列{a n}的前三项，并写出通项公式．反思感悟等差数列{a n}的通项公式a n＝a1＋(n－1)d中共含有四个量，即a1，d，n，a n，如果知道了其中的任意三个量，那么就可以求出第四个量，在这四个量中，a1和d是等差数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．跟踪训练3在等差数列{a n}中，求解下列各题：(1)已知公差d＝－1＝8，则a1＝____________.3，a7(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝__________.(3)已知{a n}的前3项依次为2,6,10，则a15＝________.。
说课教案求数列通项公式的基本方法
说课教案求数列通项公式的基本方法第一章：等差数列的通项公式1.1 等差数列的定义和性质引导学生回顾等差数列的定义和性质，如相邻两项的差是常数，数列的项数与项的编号存在线性关系等。
1.2 等差数列的通项公式推导通过具体的等差数列例子，引导学生观察和分析数列的规律，总结出等差数列的通项公式。
解释等差数列的通项公式中各项的物理意义和数学含义。
1.3 等差数列通项公式的应用通过例题，展示如何利用等差数列的通项公式解决问题，如求特定项的值、求数列的和等。
第二章：等比数列的通项公式2.1 等比数列的定义和性质引导学生回顾等比数列的定义和性质，如相邻两项的比是常数，数列的项数与项的编号存在指数关系等。
2.2 等比数列的通项公式推导通过具体的等比数列例子，引导学生观察和分析数列的规律，总结出等比数列的通项公式。
解释等比数列的通项公式中各项的物理意义和数学含义。
2.3 等比数列通项公式的应用通过例题，展示如何利用等比数列的通项公式解决问题，如求特定项的值、求数列的和等。
第三章：斐波那契数列的通项公式3.1 斐波那契数列的定义和性质引导学生回顾斐波那契数列的定义和性质，如每一项是前两项的和，数列的前几项为1, 1, 2, 3, 5等。
3.2 斐波那契数列的通项公式推导通过具体的斐波那契数列例子，引导学生观察和分析数列的规律，总结出斐波那契数列的通项公式。
解释斐波那契数列的通项公式中各项的物理意义和数学含义。
3.3 斐波那契数列通项公式的应用通过例题，展示如何利用斐波那契数列的通项公式解决问题，如求特定项的值、求数列的和等。
第四章：数列通项公式的求法4.1 数列通项公式的求法概述引导学生了解数列通项公式的求法，包括观察数列的规律、利用数学归纳法、构造函数法等。
4.2 观察数列规律求通项公式通过具体的数列例子，展示如何通过观察数列的规律来求解通项公式。
4.3 利用数学归纳法求通项公式通过具体的数列例子，展示如何利用数学归纳法来求解通项公式。
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总结方法
归纳总结
变式数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2,求an
完成左侧题目的解答
自主学习
PPT展示以下例题并详细讲解
例4.已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：
3.等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.
回答教师的问题
复习基础知识，引入课题
三：讲授新课
PPT展示以下例题并详细讲解。
例1．数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋n，求an.
学生主动参与，师生共同讨论，解决相关问题。
累加法是教材在推导等差数列通项公式时提出的，但比较浅显，希望通过本题加深印象，掌握技能。
解题反思：
(1)题型结构：当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解
(2)解题思路：由an-an－1=f(n)得n-1个等式，再把n-1个等式左、右两边分别相加。
总结方法
归纳总结
PPT展示以下题目并了解学生掌握情况
变式数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，则{an}的通项公式an＝________.
（2）解题思路：an＝a1· · ·…· 。
总结方法
归纳总结
PPT展示以下例题并详细讲解
例3.数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，求an
学生主动参与，师生共同讨论，解决相关问题。
观察、猜想、论证，转换为学生熟悉的等比数列，渗透化归的思想。
解题反思：
（1）题型结构：当出现an＋1＝pan＋q型式时，用构造法解决。
情感态度与价值观：通过对数列通项公式的研究，体会从特殊到一般，又到特殊的认识事物规律，培养学生主动探索，勇于发现的求知精神
三、学习者特征分析（说明学习者在知识与技能、过程与方法、情感态度等三个方面的学习准备（学习起点），以及学生的学习风格。最好说明教师是以何种方式进行学习者特征分析，比如说是通过平时的观察、了解；或是通过预测题目的编制使用等）
教法：针对学生的特点，采用讲、练结合的教学方法，引导学生分析问题，解决问题。
学法：在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。
五、教学重点及难点（说明本课题的重难点）
教学重点：：用递推关系法求数列通项公式
教学难点：（1）递推关系法求数列通项公式（２）由前n项和求数列通项公式时注意检验第一项（首项）是否满足，若不满足必须写成分段函数形数列的通项公式（理科）
科目
数学
学校年级班级
授课教师
指导教师
课时
2课时（第一课时）
一、教学内容分析（简要说明课题来源、学习内容、这节课的价值以及学习内容的重要性）
数列是高中数学重要内容之一，纵观全国高考，几乎都是一小题，一大题。虽然近几年难度有所下降，但对学生来说还是难。它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。求数列通项公式在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。数列模块，是高考重难点。
二、教学目标（从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度对该课题预计要达到的教学目标做出一个整体描述）
知识与技能：1.培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力；2.在领会函数与数列关系的前提下，渗透函数、方程的思想。
过程与方法：1.问题教学法------用递推关系法求数列通项公式2.讲练结合-----从函数、方程的观点看通项公式
A．15B．16C．49D．64
3.如果数列{an}的前n项和Sn＝ an－3，那么这个数列的通项公式an＝________
完成左侧题目的解答
当堂训练，反馈测评
五．小结
求数列通项公式的4种常见方法
1.累加法
2.累乘法
3.构造法
完成左侧题目的解答
自主学习
PPT展示以下例题并详细讲解
例2.数列{an}满足a1＝1，an＝ an－1(n≥2)，则{an}的通项公式an＝________.
学生主动参与，师生共同讨论，解决相关问题。
类比累加法，把例1所学技能进一步深化，灵活应用。
解题反思：
（1）题型结构：当出现 ＝f(n)时，用累乘法求解
(1)Sn＝2n2－3n；
(2)Sn＝3n＋b.
学生主动参与，师生共同讨论，解决相关问题。
复习Sn与an的关系，渗透分类讨论的思想。
解题反思：
（1）题型结构：Sn＝f(n)或者Sn＝pan＋q
（2）解题思路：数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝ 当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示
六、教学过程（这一部分是该教学设计方案的关键所在，在这一部分，要说明教学的环节及所需的资源支持、具体的活动及其设计意图以及那些需要特别说明的教师引导语）
教师活动
学生活动
设计意图
一、创设情境：高考所占分值，预测20XX年高考趋势。
二、基础梳理：
1.已知Sn，则an＝
2．等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
总结方法
归纳总结
已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________________
完成左侧题目的解答
自主学习
四、反馈测评
PPT展示以下题目
1.已知a1＝2，an＋1－an＝2n＋1(n∈N*)，则an＝________
2.设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()
高三理科普通班，男生26人，女生24人，女生很认真，但太过于定性思维，成绩不太理想！数列通项是高考的重点内容，必须调动学生的积极让他们掌握！作为数列复习中通项公式的第一节课，只要求学生掌握求通项公式的四种基本方法，根据学生实际情况，题型设置简单，重在帮助学生巩固基础知识和归纳方法
四、教学策略选择与设计（说明本课题设计的基本理念、主要采用的教学与活动策略）