定积分应用题详解

内注水. (1) 求在池中水深 h (0 h R )时水 面上升的速度; ( 2) 若再将满池水全部抽出, 至少需作功多少?
解 如图所示建立坐标系.
y
R
h
半圆的方程为 x 2 ( y R )2 R 2 (0 y R).
o
x
于是对半圆上任一点,有
x 2 R2 ( y R)2 2 Ry y 2 (0 y R).
3 3
3
3
(A) g 0 axdx ;
g h (C) axdx ; 2 0
h
(B) g 0 hxdx ;
(D) gwenku.baidu.com 2axdx .
0 h
h
二、填空题
1.

1
2x x 1 x
2
1
dx
答案 : ln 2
答案 :

2.

1
1 x (1 x )
0
dx
4

2
3. 若 f(x) 有一个原函数 tanx, 则
y
P 2
16
0
1 gx( x 23)dx 2
x3 g( 23 x 2 ) 16 0 3
1 g( 4096 23 256) 3
4522 .67 g
4.43 107 (牛).
例12. 设有半径为 R 的半球形容器如图.
(1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为 为h (0 < h < R ) 时水面上升的速度 . (2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最 少应为多少 ? 解: 过球心的纵截面建立坐标系如图. 则半圆方程为 设经过 t 秒容器内水深为h , 则 h h(t ) .
y
a x
A 4 ydx 4 a sin3 t 3a cos 2 t ( sin t )dt
0
a
0
12 2 a 2 [sin4 t sin6 t ]dt
0
2
2
3 2 3 1 5 3 1 12a ( ). a . 4 2 2 6 4 2 2 8
2 设弧长为 L.
L 4
2 0
0
由对称性,有
( x ) 2 ( y) 2 dt
4 02 ( 3a cos 2 t ( sin t ))2 ( 3a sin 2 t (cos t ))2 dt

4 3a cos t sin tdt
2 0
y
12a 02 sin td sin t
3 a 2
例 3 求心形线 r a (1 cos ) 所围平面图形的 面积( a 0) .
d
1 2 2 dA a ( 1 cos ) d 解 2 利用对称性知 1 2 2 ( 1 cos ) d A 2 a 2 0 2 a (1 2 cos cos 2 )d
(C)

1 2 0
2 x 1 dx; 2 1 x
(D)

1 2 0
1 [ln(1 x 2 )]2 dx .
4. 曲线 y=x (x-1) (x-2) 与 x 轴所围成图形的面积 为[ C ].
x( x 1)( x 2)dx； (B) x( x 1)( x 2)dx; (C) x( x 1)( x 2)dx x( x 1)( x 2)dx; (D) x( x 1)( x 2)dx x( x 1)( x 2)dx.
例10 一等腰梯形闸门, 如图所示, 梯形的上下底
分别为 50 米和 30 米, 高为 20 米, 如果闸门 顶部高出水面 4 米, 求闸门一侧所受的水 的静压力.
解 如图建立坐标系,
则梯形的腰 AB 的方程为 1 y x 23. 2 此闸门一侧受到静水压力为
4
B
ox x dx 16 A x
0
3 3 1 a 2 2 sin sin 2 a 2 . 4 2 0 2
例4.求心形线 r a(1 cos ) 的全长 解 r a(1 cos ), r a sin
2 2 2 2 2 ds r r d a (1 cos ) a sin d 2 a ( 2 2 cos )d 2a | cos | d 2 由对称性 s 2 s1 2 2a cos d 2
y
R
h o
x
(1) 求
由题设, 经过 t 秒后容器内的水量为 at (升) , 而高为 h 的球缺的体积为
y
R
h o x x 2 2R y y 2
V (h) (2 Ry y ) d y
2 0
h
故有 两边对 t 求导, 得
(2 Rh h 2 )
a
半球可看作半圆 绕 y 轴旋转而成
定积分应用题
一.选择题 1.抛物线 y2 = 4x及直线x=3 围成的图形绕 x 轴旋转 一周而成的立体体积V = [ B ]. (A)18; (B)18; (C)243/8; (D)243 /8. 2.半径为 R 的半球形水池装满了水，现将水全部抽 出，需要做的功W=[ C ] R R 2 2 2 x gdx; (A) ( R x ) gdx; (B) 0
0
2
8a cos d 2 2 0



0
8a sin

2
8a
例5. 计算心形线
所围图形的面积 . 解: 利用对称性 , 所求面积 1 2 1 2 2 2 A a a (1 cos ) d 2 2 3 1 1 2 2 a a ( 2 cos cos 2 ) d 2 2 y 2 1 2 2 3 a a ( 2) 2 4 o
球从水中提出所做的功为
2 2 g [ ( ) H ( R x )] ( R x ) dx W 0 0 R R
“偶倍奇零”
2 g [( 0 ) H 0 R] ( R x ) d x
2 2 0
H
R
ox
y
x
例9 以每秒 a 的流量往半径为 R 的半球形水池
又 x 2 2 Ry y 2 ,
即功元素 dW ( 2 Ry y2 )( R y)dy.
故将满池水全部提升到池沿高度所需功为
W ( 2 Ry y )( R y)dy
2 0
R
( 2 R y 3 Ry y )dy
2 2 3 0
R
4 R . 4
即
故得
又
(2) 旋转体体积
y
o
又 为唯一极小点, 因此
1
x
时 V 取最小值 .
例8. 半径为 R , 密度为 的水池底, 水的密度
多少功 ?
的球沉入深为H ( H > 2 R )
现将其从水池中取出, 需做
解: 建立坐标系如图 . 则对应 [ x , x dx] 上球的薄片提到水面上的微功为
dW1 ( 0 ) g y 2 dx ( H R x)
1 3.曲线 y ln(1 x ) 在0 x 上的弧长L为[ A ]. 21 1 2 (A) 2 1 x dx; (B) 2 1 ( 1 2 )2 dx; 0 1 x 2 0 1 x
2
(C) 0 x( R x ) gdx;
2 2
0 R
(D)

R
0
x 3 gdx.

a
o
a x
sin2 t 12a 2 6a .

2 0
x a cos 3 t 3 y a sin t
3. 设所求体积为V . 由对称性,有
V 2 y 2 dx
0
a
2 a sin t 3a cos t ( sin t )dt
2 6 2 2
0
6 a
解: AdA a (1 cos t ) a (1 cos t ) d t 0 a
2
2

2
0
(1 cos t )2 d t
2
4a
2

0
8a
2


0
t sin d t 2 4 sin u d u
4

2
16 a 2 0 sin4 u d u
t (令 u ) 2
3
8. 曲线弧y = x2介于 x=0, x=1 之间长度的定积分表 1 达式 s= 答案 : 1 4 x 2 dx

0
二、典型例题
o
x a cos 3 t 例1 已知星形线 ( a 0) 3 y a sin t a 求 10 它所围成的面积; 20 它的弧长; 30 它绕轴旋转而成的旋转体体积. 解 10 设面积为 A. 由对称性,有
与圆
a
2a
x
例6. 求抛物线
在(0,1) 内的一条切线, 使它与
两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.
解: 设抛物线上切点为 则该点处的切线方程为 它与 x , y 轴的交点分别为
B M
A
所指面积
得[ 0 , 1] 上的唯一驻点
B
M
A
且为最小点 . 故所求切线为
例7. 设非负函数
曲线 面积为 2 , (1) 求函数 (2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体 体积最小 ? 解: (1) 由方程得 与直线 及坐标轴所围图形
(A)
0 1
1
2
0
2
0 1
1 2
5.曲线 y sin x(0 x ) 与 x 轴所围成的图形绕
0
3 2
1
x 轴旋转所成的旋转体的体积为 [ B ]. 2 2 2 4 4 (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 6.矩形闸门的宽a m，高h m，将其垂直的放入水 中，上沿与水面平齐，则闸门一侧所受压力P[ A ].
(1) 因已知半球可看作此半 圆绕 y 轴旋转而成 的立体, 故半球内高为h 的球缺的体积即水深 为 h 时水池内水的体积为
V ( h) x dy ( 2 Ry y 2 )dy
2 0 0
h
h
又设水深 h 时已注水的时间为t , 则有 V ( h) at ,
即 ( 2 Ry y 2 )dy at
2 体积元素: x d y
a 2 (2 Rh h )
(2) 将满池水全部抽出所做的最少功 为将全部水提 到池沿高度所需的功.
对应于
薄层所需的功元素
y R
g (2 Ry y 2 )( R y ) d y
故所求功为
y
g ( 2 R 2 y 3R y 2 y 3 ) d y 0
0
h
dh 两边对 t 求导, 得 ( 2 Rh h ) a, dt
2
故所求速度为
dh a . 2 dt ( 2 Rh h )
( 2) 将满池的水全部抽出所 需的最小功即将池内 水全部提升到池沿高度 所需的功. 抽水时使水位从 y (0 y R )降到 y dy 所需 的功约为
3 2 0

sin7 t (1 sin2 t )dt
6 4 2 8 6 4 2 6a ( ) 7 5 3 9 7 5 3 32 3 a . 105
3
x a cos 3 t 3 y a sin t
例2 求由摆线
的一拱与x 轴所围平面图形的面积 .

R
o
x

4
gR
4
2 x dy 微元体积: 2 微元的重力 : g x d y
xf '( x)dx
4
4. 若f(x) 为[0，+∝]上的连续函数，且
答案 : 2
1 2

2

x (1 x 2 )
0
f (t )dt x , 则f (2)
2
答案 :
5.设f ( x ) 0
x2
t (1 t )dt ,则的极大值点为 (
).
6. 由抛物线 y = x2与直线 y=2 所围成的图形的面积 8 2 A= 答案 : 7. 曲线 xy = 1与直线x=1, x=2, y=0所围成图形绕y 轴旋转一周的立体的体积V= 答案 : 2
( 0 ) g ( R x )( H R x) dx
2 2
H
o
提出水面后的微功为
x
y
dW2 g y 2 dx ( R x)
g ( R x )( R x) dx
2 2
微元体积 所受重力
x
上升高度
( x , y)
因此微功元素为
dW dW1 dW2