定积分应用题详解

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有关定积分问题的常见题型解析(全题型)培训讲学

有关定积分问题的常见题型解析(全题型)有关定积分问题的常见题型解析题型一利用微积分基本定理求积分例1、求下列定积分：（1）()13031x x dx -+⎰ （2）41dx +⎰ （3）⎰--2224x分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。

解：（1）因为3221312x x x x x '⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()13031x x dx -+⎰=321102x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=32。

（2121x x =+，312222132x x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以 41dx +⎰=3229211454326x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。

练习：（1）⎰--a a x a 22 （2）⎰--2124x评注：利用微积分基本定理求定积分dx x f ab )(⎰的关键是找出)()(/x f x F =的函数)(x F 。

如果原函数不好找，则可以尝试找出画出函数的图像，图像为圆或者三角形则直接求其面积。

题型二利用定积分求平面图形的面积例2 如图，求直线y=2x+3与抛物线y=x 2所围成的图形面积。

分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积。

为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。

解：由方程组⎩⎨⎧=+=232xy x y ，可得3,121=-=x x 。

故所求图形面积为： S ＝()dx x ⎰-+3132－dx x ⎰-312＝（x 2＋3x ）3323113313=---x 。

评注：求平面图形的面积的一般步骤：⑴画图，并将图形分割成若干曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和。

关键环节：①认定曲边梯形，选定积分变量；②确定被积函数和积分上下限。

定积分应用(平面图形面积)例题及习题解答.docx

定积分应用1、直角坐标系下平面图形面积的计算①连续】11|线y = f(x)(f(x)>O)Rx = a J x = h及兀轴所围成的平而图形而积为^f(x)dx②设平而图形山上下两条曲线)=广上⑴与)=f心)及左右两条肓线与x=b所|韦|成，则血•积元素为[f f r(x)]dx,于是平而图形的而积为：S = W-.A F(x)]dx .③连续曲线兀=久刃(0(y)» 0)及y = c, y = d及V轴所围成的平iM图形面积为A= [ 0(y)〃y④由方程X = 01 (y)与X = 02(歹)以及y = y = d所围成的平面图形面积为A=f”(y)—0(y)〕dy 翎>©)例1计算两条抛物线y = 0与兀=y2所围成的而积.解求解而积问题，一般需要先画一草图(图3),我们要求的是阴影部分的而积.需y = x2x = y2要先找出交点处标以便确定积分限，为此解方程组:得交点(0,0)和(1,1).选取兀为积分变量，则积分区间为[0,1],根据公式(1),所求的面积为3 lo 3—•般地，求解而积问题的步骤为：(1)作草图，求曲线的交点，确定积分变最和积分限.(2)写出积分公式.(3)计算定积分.例2计算抛物线r=2v与直线)=x-4所围成的图形的面积.解(1)画图.(2)确定在y轴上的投影区间：L-2,4J.(3)确定左右曲线:0左(刃=如2, 0右(y) = y+4.⑷计算积分s =匸。

+4-号y2）dy 二母y2+4）一”,3］役=］8.例3求在区间［丄，2 ］上连续|11|线y=ln x , x轴及二直线x =-，与x二2所围成平面区2 2域（如图2）的面积o解：已知在［$2］上，in淀°;在区间［1 , 2 ］上，In x $0，则此区域的面积为:Ji |ln x^/x =21二-(x \n x - x) i + T4ln2-1•29例4 求抛物线y =x与x-2y-3=0所围成的平面图形（图3）的面积A。

定积分的简单应用知识讲解

f (x)]dxc b), x 轴及一条曲线 yf ( x)(不妨设在区间 [a,c] 上f(x) 0，在区间 [c,b]上 f (x) 0 )围成的图形的面积：定积分的简单应用【要点梳理】要点一、应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线 x a ， x b (a b)， x 轴(即直线 y g(x) 0 )及一条曲2.如图，由三条直线 x a ， x b (a b)， x 轴(即直线 y g(x) 0 )及一条曲线f 1(x) y 2 f 2(x) f 1(x) f 2(x)及直线x a ， x b (a b)围成图形的面积：S a f (x)dx a [ f (x) g(x)]dx aay f(x)( f (x) 0 )围成的曲边梯形的面积：ba [g(x)3．由三条直线 x a,x b(acb f (x)dx ＋ f (x)dx .ac4. 如图，由曲线 y 1b b bS [ f1(x) f2(x)]dx f1( x)dx f2(x)dxa a a要点诠释：研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义：① 当平面图形的曲边在x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积；② 当平面图形的一部分在x 轴下方时，其在x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数(或绝对值) ；要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤( 1)画出图形； (2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限；(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；( 4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。

要点三、定积分在物理中的应用① 变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程S，等于其速度函数v v(t)(v(t) 0) 在时间区间b[a,b] 上的定积分，即S v(t)dt .a②变力作功物体在变力F(x) 的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F ( x)相同的方向从x a移动b到x b (a b) ，那么变力F(x) 所作的功W F(x)dx.a要点诠释：1. 利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情况是解决问题的关键。

定积分典型例题及习题答案

04 定积分习题答案及解析
习题一答案及解析
要点一
答案
$frac{1}{2}$
要点二
解析
根据定积分的几何意义，该积分表示一个半圆的面积，半径为1，因此结果为半圆的面积，即$frac{1}{2}$。
习题二答案及解析
答案：$0$
解析：由于函数$f(x) = x$在区间$[-1, 1]$上为奇函数，根据定积分的性质，奇函数在对称区间上的积分为0。
定积分的分部积分法
总结词
分Hale Waihona Puke 积分法是一种通过将两个函数的乘积进行求导来计算定积分的方法。
详细描述
分部积分法是通过将两个函数的乘积进行求导来找到一个函数的定积分。具体来说，对于两个函数u(x)和v'(x)，其乘积的导数为u'v+uv'，其中u'表示u对x的导数。分部积分法可以表示为∫bau(x)v'(x)dx=∫bau'(x)v(x)dx+∫bau(x)v(x)dx，其中u'(x)和u(x)分别是u对x的导数和函
定积分典型例题及习题答案
目录
• 定积分的基本概念 • 定积分的计算方法 • 定积分典型例题解析 • 定积分习题答案及解析
01 定积分的基本概念
定积分的定义
总结词
定积分的定义是通过对函数进行分割、近似、求和、取极限等步骤来得到的。
详细描述
定积分定义为对于一个给定的函数f(x)，选择一个区间[a,b]，并将其分割为n个小区间，在每个小区间上选择一个代表点，并求出函数在这些点的近似值，然后将这些近似值进行求和，最后取这个和的极限。
数值。通过分部积分法，可以将复杂的定积分转换为更简单的形式进行计算。

定积分应用题详解共29页

42、只有在人群中间，才能认识自己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育；而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
定积分应用题详解
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46、寓形宇内复几时，曷不委心任去留。
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47、采菊东篱下，悠然见南山。
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48、啸傲东轩下，聊复得此生。
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49、勤学如春起之苗，不见其增，日有所长。
•ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结，箪瓢屡空，晏如也。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

定积分的应用解析

定积分的应用解析定积分是微积分中重要的一部分，它在物理学、经济学、统计学等各个领域都有广泛的应用。

本文将探讨定积分的应用，并通过具体的例子说明其解析过程。

一、图形面积的计算定积分可以用来计算曲线与坐标轴所围成的图形的面积。

设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且非负，可将该图形分割为许多矩形或梯形，并逐渐将分割趋于无穷细，那么这些矩形或梯形的面积之和就可以通过定积分来表示。

例如，我们计算函数y=x^2在区间[0,1]上的曲线与x轴所围成的图形面积。

首先，将该区间分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=(b-a)/n，其中a=0，b=1。

然后，选取小区间中的一点xi，计算函数在该点的函数值f(xi)，再计算出每个小区间的面积Ai=f(xi)Δx。

最后，将所有小区间的面积之和进行求和运算，即可得到图形的面积：S = ∑(i=1到n) Ai = ∑(i=1到n) f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，即Δx趋近于0，上述求和运算将趋近于定积分∫(a到b) f(x)dx。

因此，图形的面积可以表示为：S = ∫(0到1) x^2dx二、物理学中的应用在物理学中，定积分在描述物体的运动、力学、流体力学等方面有着广泛的应用。

1. 位移、速度与加速度设一个物体在某一时刻t的位移为s(t)，那么在时间区间[t1,t2]内的位移可以通过定积分来计算：∫(t1到t2) s(t)dt类似地，速度和加速度可以分别表示为位移的一阶和二阶导数。

通过对速度和加速度的定积分，我们可以获得物体在某一时间区间内的位移和速度。

2. 力学工作与功力学工作可以表示为力F在位移s下的力学作用。

假设力在位移方向上的大小与位移成正比，那么力学工作可以通过定积分来进行计算。

工作W = ∫(a到b) F(x)dx功则表示物体由于力的作用而发生的位移，并可以通过力的积分来计算。

功A = ∫(a到b) F(x)ds三、经济学中的应用在经济学中，定积分在计算总量、均值等方面有着广泛的应用。

定积分的例题分析及解法

定积分的例题分析及解法本章的基本内容是定积分的概念、计算和应用一、定积分的概念1．定积分是下列和式的极限xi i f dx x f i nba∆∑==→⎰)(lim )(10ξλ其中{}xi ni ∆=≤≤1max λ因此，定积分是一个数，它依赖于被积函数)(x f 和积分区间〔a,b 〕定积分与积分变量用什么字母无关：⎰⎰=babadt t f dx x f )()(定积分的几何意义是曲边梯形的面积（当被积函数0)(≥x f 时）。

2．定积分的性质（1）线性性质[]⎰⎰⎰+=+bab abadx x g k dx x f k dx x g k x f k)()()()(2121（2） ⎰⎰⎰=-=aaabba dx x f dx x f dx x f 0)(,)()( （3） ⎰⎰⎰+=bccaba dx x f dx x f dx x f )()()(（4）若),()(x g x f ≥则⎰⎰≥babadx x g dx x f )()(（5）积分中值定理：设)(x f 在〔a,b 〕上连续，则在〔a,b 〕上至少存在一点ξ，使下式成立),()()(a b f dx x ba-=⎰ξ其中].[b a ∈ξ。

（6）估值定理：若)(x f 在〔a,b 〕上可积，且M x f m ≤≤)(，则有不等式⎰-≤≤-baa b M dx x f a b m )()()(（7）若函数)(x f 在〔a,b 〕上连续，则有⎰=xa x f dt t f dxd )()( 3．广义积分。

二、定积分的计算 1．牛顿—莱布尼茨公式：⎰-=baa Fb F dx x f )()()(2．换元法：注意，在换元的同时不要忘记换积分限 3．分部积分法：⎰⎰-=babab a x du x x x u x d x u )()()()()()(υυυ4．定积分的近似计算：梯形，抛物线法。

三、定积分的应用基本方法是：（1）代公式；（2）微元法1．平面图形的面积（1）直角坐标系。

定积分典型例题精讲

定积分典型例题例1 求33322321lim(2)n n n n n®¥+++ ．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n D =，然后把2111n n n =×的一个因子1n乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即33322321lim(2)n n n n n ®¥+++ =333112lim ()n n n n n n ®¥+++ =13034xdx =ò．例2 2202x x dx -ò=_________．解法1 由定积分的几何意义知，2202x x dx -ò等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ³)与x 轴所围成的图形的面积．故2202x x dx -ò=2p ．解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （22t pp-££），则，则222x x dx -ò=2221sin cos t tdt pp--ò=2221sin cos t tdt p-ò=222cos tdt pò=2p例3 比较12x e dx ò，212x e dx ò，12(1)x dx +ò．分析对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小．值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小．解法1 在[1,2]上，有2x x e e £．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e ¢=-．当0x >时，()0f x ¢>，()f x 在(0,)+¥上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又．又1221()()f x dx f x dx =-òò，从而有2111222(1)x x x dx e dx e dx +>>òòò．解法2 在[1,2]上，有2x x e e £．由泰勒中值定理212!x e e x x x =++得1x e x >+．注意到1221()()f x dx f x dx =-òò．因此．因此2111222(1)x x x dx e dx e dx +>>òòò．例4 估计定积分22xxe dx -ò的值．的值．分析要估计定积分的值要估计定积分的值要估计定积分的值, , , 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．解设 2()xxf x e -=, , 因为因为因为 2()(21)xxf x ex -¢=-, , 令令()0f x ¢=，求得驻点12x =, , 而而0(0)1f e ==, 2(2)f e =, 141()2f e -=,故124(),[0,2]ef x e x -££Î,从而从而2122422xxee dx e --££ò,所以所以21024222x xe edx e ---££-ò.例5 设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，且()0g x ³，()0f x >．求lim ()()bn a n n g x f x dx ®¥ò．解由于()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上有最大值M 和最小值m ．由()0f x >知0M >，0m >．又()0g x ³，则，则()bnamg x dx ò()()b n a g x f x dx £ò()bn aM g x dx £ò．由于lim lim 1n nn nm M ®¥®¥==，故，故 lim ()()bn an g x f x dx ®¥ò=()bag x dx ò．例6求sin lim n pnn x dx x+®¥ò, ,p n 为自然数．为自然数．分析这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用方法是利用积分中值定理与夹逼准则．用积分中值定理与夹逼准则．解法1 利用积分中值定理利用积分中值定理设 sin ()xf x x=, 显然()f x 在[,]n n p +上连续, 由积分中值定理得由积分中值定理得sin sin n p n x dx p x xx +=×ò, [,]n n p x Î+, 当n ®¥时, x ®¥, 而sin 1x £, 故sin sin lim lim 0n pnn x dx p xx xx +®¥®¥=×=ò．解法2 利用积分不等式利用积分不等式因为因为sin sin 1ln n pn p n p nn n xx n p dx dx dx x x x n++++££=òòò, 而limln0n n pn®¥+=,所以所以dxxxò34ò34（2）由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()xf x x f t dt =ò，则可得可得()f x ¢=()()xf t dt xf x +ò．例10 设()f x 连续，且31()x f t dt x -=ò，则(26)f =_________．解对等式310()x f t dt x -=ò两边关于x 求导得求导得32(1)31f x x -×=，故321(1)3f x x -=，令3126x -=得3x =，所以1(26)27f =．例11 函数11()(3)(0)x F x dt x t=->ò的单调递减开区间为_________．解 1()3F x x¢=-，令()0F x ¢<得13x>，解之得109x <<，即1(0,)9为所求．为所求．例12 求0()(1)arctan xf x t tdt =-ò的极值点．的极值点．解由题意先求驻点．于是()f x ¢=(1)arctan x x -．令()f x ¢=0，得1x =，0x =．列表如下：如下：故1x =为()f x 的极大值点，0x =为极小值点．为极小值点．例13 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中处的切线相同，其中2arcsin 0()xt g x e dt -=ò，[1,1]x Î-，试求该切线的方程并求极限3lim ()n nf n ®¥．分析两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g =，(0)(0)f g ¢¢=．解由已知条件得由已知条件得2(0)(0)0t f g e dt -===ò，且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知处切线斜率相同知2(arcsin )2(0)(0)11x x e f g x-=¢¢===-．故所求切线方程为y x =．而．而x(,0)-¥ 0 (0,1)1(1,)+¥()f x ¢- 0＋－3()(0)3lim ()lim33(0)330n n f f n nf f n n®¥®¥-¢=×==-．例14 求 220sin lim(sin )x x xtdtt t t dt®-òò；分析该极限属于型未定式，可用洛必达法则．型未定式，可用洛必达法则．解 22000sin lim (sin )xx x tdtt t t dt®-òò=2202(sin )lim (1)(sin )x x x x x x ®-××-=220()(2)lim sin x x x x ®-×-=304(2)lim 1cos x x x ®-×- =2012(2)limsin x x x®-×=0．注此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．例15 试求正数a 与b，使等式2201lim1sin xx t dt x b x a t ®=-+ò成立．成立．分析易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则．解 20201lim sin x x t dt x b x a t ®-+ò=220lim 1cos x x a x b x ®+-=22001lim lim 1cos x x x b x a x ®®×-+ 201lim 11cos x x b xa ®==-，由此可知必有0lim(1cos )0x b x ®-=，得1b =．又由．又由2012lim 11cos x x x a a®==-，得4a =．即4a =，1b =为所求．为所求．例16 设sin 20()sin x f x t dt =ò，34()g x x x =+，则当0x ®时，()f x 是()g x 的（的（）． A ．等价无穷小．．等价无穷小． B ．同阶但非等价的无穷小．．同阶但非等价的无穷小． C ．高阶无穷小．．高阶无穷小． D ．低阶无穷小．解法1 由于由于 22300()sin(sin )cos lim lim ()34x x f x x xg x x x ®®×=+ 22cos sin(sin )lim lim 34xxxx xx®®=×+22011lim 33x x x ®==．故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ．解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到的幂级数，再逐项积分，得到sin 223370111()[()]sin sin 3!342xf x t t dt x x =-+=-+ò，则344340001111sin (sin )sin ()1342342lim lim lim ()13x x x x x x f x g x x x x ®®®-+-+===++．例17 证明：若函数()f x 在区间[,]a b 上连续且单调增加，则有上连续且单调增加，则有()b a xf x dx ò()2b aa b f x dx +³ò．证法1 令()F x =()()2x xaaa x tf t dt f t dt +-òò，当[,]t a x Î时，()()f t f x £，则，则()F x ¢=1()()()22x a a x xf x f t dt f x +--ò=1()()22x a x af x f t dt --ò³1()()22xa x a f x f x dt --ò=()()22x a x a f x f x ---0=．故()F x 单调增加．即单调增加．即 ()()F x F a ³，又()0F a =，所以()0F x ³，其中[,]x a b Î．从而从而()F b =()()2bbaa ab xf x dx f x dx +-òò0³．证毕．．证毕．证法2 由于()f x 单调增加，有()[()()]22a b a bx f x f ++--0³，从而，从而 ()[()()]22b a a b a bx f x f dx ++--ò0³．即()()2b a a b x f x dx +-ò()()22b a a b a b x f dx ++³-ò=()()22b a a b a b f x dx ++-ò=0．故()baxf x dx ò()2baa b f x dx +³ò．例18 计算21||x dx -ò．分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 21||x dx -ò＝0210()x dx xdx --+òò＝220210[][]22x x --+＝52．注在使用牛顿－莱布尼兹公式时在使用牛顿－莱布尼兹公式时,,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 33222111[]6dx x x --=-=ò，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界积区间内无界. .例19 计算220max{,}x x dx ò．分析被积函数在积分区间上实际是分段函数被积函数在积分区间上实际是分段函数被积函数在积分区间上实际是分段函数212()01x x f x x x ì<£=í££î．解 232122212010011717max{,}[][]23236x x x x dx xdx x dx =+=+=+=òòò 例20 设()f x 是连续函数，且1()3()f x x f t dt =+ò，则()________f x =．分析本题只需要注意到定积分()ba f x d x ò是常数（,ab 为常数）．解因()f x 连续，()f x 必可积，从而1()f t dt ò是常数，记1()f t dt a =ò，则，则()3f x x a =+，且11(3)()x a dx f t dt a +==òò．所以所以2101[3]2x ax a +=，即132a a +=，从而14a =-，所以，所以 3()4f x x =-．例21 设23, 01()52,12x x f x x x ì£<=í-££î，0()()xF x f t dt =ò，02x ££，求()F x , 并讨论()F x 的连续性．的连续性．分析由于()f x 是分段函数, 故对()F x 也要分段讨论．也要分段讨论．解（1）求()F x 的表达式．的表达式．()F x 的定义域为[0,2]．当[0,1]x Î时，[0,][0,1]x Ì, 因此因此23300()()3[]xxxF x f t dt t dt t x ====òò．当(1,2]x Î时，[0,][0,1][1,]x x = , 因此, 则1201()3(52)xF x t dt t dt =+-òò=31201[][5]xt t t +-=235x x -+-，故32, 01()35,12x x F x x x x ì£<ï=í-+-££ïî． (2) ()F x 在[0,1)及(1,2]上连续, 在1x =处，由于处，由于211lim ()lim(35)1x x F x x x ++®®=-+-=, 311lim ()lim 1x x F x x --®®==, (1)1F =．因此, ()F x 在1x =处连续, 从而()F x 在[0,2]上连续．上连续．错误解答（1）求()F x 的表达式, 当[0,1)x Î时，时，23300()()3[]xxxF x f t dt t dt t x ====òò．当[1,2]x Î时，有时，有()()x F x f t dt ==ò(52)x t dt -ò=25x x -．故由上可知故由上可知32, 01()5,12x x F x x x x ì£<ï=í-££ïî． (2) ()F x 在[0,1)及(1,2]上连续, 在1x =处，由于处，由于211lim ()lim(5)4x x F x x x ++®®=-=, 311lim ()lim 1x x F x x --®®==, (1)1F =．因此, ()F x 在1x =处不连续, 从而()F x 在[0,2]上不连续．上不连续．错解分析上述解法虽然注意到了()f x 是分段函数，但（1）中的解法是错误的，因）中的解法是错误的，因为当[1,2]x Î时，0()()xF x f t dt =ò中的积分变量t 的取值范围是[0,2]，()f t 是分段函数，11()()()()xxF x f t dt f t dt f t dt ==+òòò才正确．才正确．例22 计算2112211x xdx x -++-ò．分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解 2112211x x dx x -++-ò=211112221111x x dx dx x x --++-+-òò．由于22211x x +-是偶函数，而211x x+-是奇函数，有112011x dx x-=+-ò, 于是于是2112211x x dx x -++-ò=2102411x dx x+-ò=22120(11)4x x dx x --ò=11200441dx x dx --òò 由定积分的几何意义可知12014x dx p-=ò, 故2111022444411x xdx dx x p p -+=-×=-+-òò．例23 计算3412ln (1ln )e edx x x x -ò．分析被积函数中含有1x及ln x ，考虑凑微分．，考虑凑微分．解 3412ln (1ln )e edx x x x -ò=34(ln )ln (1ln )e ed x x x -ò=34122(ln )ln 1(ln )e e d x x x -ò=341222(ln )1(ln )e e d x x -ò=3412[2arcsin(ln )]e e x =6p．例24 计算400sin 1sin xdx x p+ò．解 40s i n 1s i n x dx xp +ò=420sin (1sin )1sin x x dx x p --ò=244200sin tan cos x dx xdx x p p-òò=24420cos (sec 1)cos d x x dx xpp---òò =44001[][tan ]cos x x x p p--=224p -+．注此题为三角有理式积分的类型，也可用万能代换公式来求解，请读者不妨一试．此题为三角有理式积分的类型，也可用万能代换公式来求解，请读者不妨一试．例25 计算2202ax ax x dx -ò，其中0a >．解 2202a x ax x dx -ò=2220()ax a x a dx --ò，令sin x a a t -=，则，则2202ax ax x dx -ò=3222(1sin )cosat tdt pp -+ò=3222cos 0atdt p+ò=32a p．注若定积分中的被积函数含有22a x -，一般令sin x a t =或cos x a t =．例26 计算022adx x a x+-ò，其中0a >．解法1 令sin x a t =，则，则22adx x a x +-ò20cos sin cos tdt t tp=+ò201(sin cos )(cos sin )2sin cos t t t t dt t t p++-=+ò201(sin cos )[1]2sin cos t t dt t tp ¢+=++ò []201ln |sin cos |2t t t p =++=4p ．解法2 令sin x a t =，则，则22adxx a x +-ò=2cos sin cos tdt t t p+ò．又令2t u p=-，则有，则有2cos sin cos t dt t t p+ò=20sin sin cos udu u up+ò．所以，所以，22adx x a x +-ò=22001sin cos []2sin cos sin cos t t dt dt t t t t p p +++òò=2012dt pò=4p ．注如果先计算不定积分22dxx a x+-ò，再利用牛顿-莱布尼兹公式求解莱布尼兹公式求解,,则比较复杂，由此可看出定积分与不定积分的差别之一．杂，由此可看出定积分与不定积分的差别之一．例27 计算ln 513x x xe e dx e -+ò．分析分析被积函数中含有根式，不易直接求原函数，考虑作适当变换去掉根式．被积函数中含有根式，不易直接求原函数，考虑作适当变换去掉根式．解设1xu e =-，2ln(1)x u =+，221u dx du u =+，则，则 ln 513x x x e e dx e -+ò=22220(1)241u u u du u u +×=++ò22222200442244u u du du u u +-=++òò 222001284du du u =-=+òò4p -．例28 计算220()xd tf x t dt dx-ò，其中()f x 连续．连续．分析要求积分上限函数的导数，要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，因此不能直接求导，必须先换必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．，然后再求导．解由于由于220()xtf x t dt -ò=22201()2xf x t dt -ò．故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以，所以220()xtf x t dt -ò=201()()2x f u du -ò=201()2x f u du ò，故22()xd tf x t dt dx -ò=21[()]2x d f u du dx ò=21()22f x x ×=2()xf x ．错误解答220()xd tf x t dt dx -ò22()(0)xf x x xf =-=．错解分析这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式()()()xa d x f t dt f x dx¢F ==ò中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．导，而应先换元．例29 计算30sin x xdx pò．分析被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．解3sin x xdx pò30(cos )xd x p=-ò33[(cos )](cos )x x x dx p p=×---ò30cos 6xdx pp=-+ò326p=-．例30 计算120ln(1)(3)x dx x +-ò．分析被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解 120ln(1)(3)x dx x +-ò=101ln(1)()3x d x +-ò=1100111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-×--+ò =101111ln 2()2413dx x x-++-ò11ln 2ln324=-．例31 计算20sin x e xdx pò．分析被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．解由于2sin x e xdx pò20sin x xde p =ò2200[sin ]cos x x e x e xdx p p=-ò220cos xe e xdx p p=-ò，（（1）而2cos xe xdx pò20cos x xde p=ò220[cos ](sin )xx e x e x dx p p=-×-ò20sin 1xe xdx p=-ò，（（2）将（将（22）式代入（）式代入（11）式可得）式可得2sin xe xdx pò220[sin 1]x e e xdx pp=--ò,故2sin xe xdx pò21(1)2e p=+．例32 计算1arcsin x xdx ò．分析被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解 10arcsin x xdx ò210arcsin ()2x xd =ò221100[arcsin ](arcsin )22x x x d x =×-ò 21021421x dx x p=--ò．（1）令sin x t =，则，则2121x dx x-ò2202sin sin 1sin t d t t p=-ò220sin cos cos ttdt t p=×ò220sin tdt p=ò201cos 22tdt p-==ò20sin 2[]24tt p-4p=．（2）将（将（22）式代入（）式代入（11）式中得）式中得1arcsin x xdx =ò8p ．例33 设()f x 在[0,]p 上具有二阶连续导数，()3f p ¢=且0[()()]cos 2f x f x xdx p¢¢+=ò，求(0)f ¢．分析分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．解由于[()()]cos f x f x xdx p¢¢+ò00()sin cos ()f x d x xdf x pp¢=+òò[]0000{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx pppp ¢¢¢=-++òò ()(0)2f f p ¢¢=--=．故 (0)f ¢=2()235f p ¢--=--=-．例3434（（97研）设函数()f x 连续，连续，10()()x f xt dt j =ò，且0()limxf x A x®=（A 为常数），求()x j ¢并讨论()x j ¢在0x =处的连续性．处的连续性．分析求()x j ¢不能直接求，因为10()f xt dt ò中含有()x j 的自变量x ，需要通过换元将x从被积函数中分离出来，然后利用积分上限函数的求导法则，求出()x j ¢，最后用函数连续的定义来判定()x j ¢在0x =处的连续性．处的连续性．解由0()lim x f x A x®=知0lim ()0x f x ®=，而()f x 连续，所以(0)0f =，(0)0j =．当0x ¹时，令u xt =，0t =，0u =；1t =，u x =．1dt du x=，则，则()()xf u du x xj =ò，从而从而2()()()(0)xxf x f u dux x xj -¢=¹ò．又因为02()()(0)()limlimlim 022xx x xf u du x f x A x x x j j ®®®-===-ò，即(0)j ¢=2A．所以．所以()x j ¢=02()(),0,02xxf x f u du x x Ax ì-ï¹ïíï=ïîò．由于由于022000()()()()lim ()limlim lim xxx x x x xf x f u duf u du f x x xx x j ®®®®-¢==-òò=(0)2A j ¢=．从而知()x j ¢在0x =处连续．处连续．注这是一道综合考查定积分换元法、这是一道综合考查定积分换元法、对积分上限函数求导、对积分上限函数求导、对积分上限函数求导、按定义求导数、按定义求导数、按定义求导数、讨论函数讨论函数在一点的连续性等知识点的综合题．而有些读者在做题过程中常会犯如下两种错误：在一点的连续性等知识点的综合题．而有些读者在做题过程中常会犯如下两种错误：（1）直接求出）直接求出02()()()xxf x f u du x xj -¢=ò，而没有利用定义去求(0)j ¢，就得到结论(0)j ¢不存在或(0)j ¢无定义，从而得出()x j ¢在0x =处不连续的结论．处不连续的结论．（2）在求0lim ()x x j ®¢时，不是去拆成两项求极限，而是立即用洛必达法则，从而导致时，不是去拆成两项求极限，而是立即用洛必达法则，从而导致00()()()1lim ()lim ().22x x xf x f x f x x f x x j ®®¢+-¢¢== 又由0()limx f x A x®=用洛必达法则得到0lim ()x f x ®¢=A ，出现该错误的原因是由于使用洛必达法则需要有条件：()f x 在0x =的邻域内可导．的邻域内可导．但题设中仅有但题设中仅有()f x 连续的条件，连续的条件，因此上面出现因此上面出现的0lim ()x f x ®¢是否存在是不能确定的．是否存在是不能确定的．例3535（（00研）设函数()f x 在[0,]p 上连续，且上连续，且()0f x dx p=ò，()cos 0f x xdx p=ò．试证在(0,)p 内至少存在两个不同的点12,x x 使得12()()0f f x x ==．分析本题有两种证法：一是运用罗尔定理，需要构造函数0()()xF x f t dt =ò，找出()F x的三个零点，由已知条件易知(0)()0F F p ==，0x =，x p =为()F x 的两个零点，第三个零点的存在性是本题的难点．零点的存在性是本题的难点．另一种方法是利用函数的单调性，另一种方法是利用函数的单调性，另一种方法是利用函数的单调性，用反证法证明用反证法证明()f x 在(0,)p 之间存在两个零点．之间存在两个零点．证法1 令0()(),0xF x f t dt x p =££ò，则有(0)0,()0F F p ==．又．又00()cos cos ()[cos ()]()sin f x xdx xdF x xF x F x xdx pppp ==+òòò 0()sin 0F x xdx p==ò，由积分中值定理知，必有(0,)x p Î，使得，使得()sin F x xdx pò=()sin (0)F x x p ×-．故()sin 0F x x =．又当(0,),sin 0x p x Î¹，故必有()0F x =．于是在区间[0,],[,]x x p 上对()F x 分别应用罗尔定理，知至少存在分别应用罗尔定理，知至少存在1(0,)x x Î，2(,)x x p Î，使得使得12()()0F F x x ¢¢==，即12()()0f f x x ==．证法2 由已知条件0()0f x dx p=ò及积分中值定理知必有及积分中值定理知必有10()()(0)0f x dx f px p =-=ò，1(0,)x p Î，则有1()0f x =．若在(0,)p 内，()0f x =仅有一个根1x x =，由0()0f x dx p=ò知()f x 在1(0,)x 与1(,)x p 内异号，不妨设在1(0,)x 内()0f x >，在1(,)x p 内()0f x <，由，由()cos 0f x xdx p=ò，()0f x dx p=ò，以及cos x 在[0,]p 内单调减，可知：内单调减，可知： 100()(cos cos )f x x dx px =-ò=11110()(cos cos )()(cos cos )f x x dx f x x dx xpx x x -+-òò0>．由此得出矛盾．故()0f x =至少还有另一个实根2x ，12x x ¹且2(0,)x p Î使得使得12()()0.f f x x ==例36 计算2043dxx x +¥++ò．分析该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．解 2043dx x x +¥++ò=20lim 43t t dx x x ®+¥++ò=0111lim ()213t t dx x x ®+¥-++ò =011lim [ln ]23t t x x ®+¥++=111lim (ln ln )233t t t ®+¥+-+=ln 32．例37 计算322(1)2dx x x x+¥--ò．解322(1)2dx x x x+¥--ò223223sec tan 1sec sec tan (1)(1)1dxx d x x p pq qqq q q+¥=-=---òò233cos 12d pp q q ==-ò．例38 计算42(2)(4)dx x x --ò．分析该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当32(2)(4)dxx x --ò和43(2)(4)dx x x --ò均收敛时，原反常积分才是收敛的．均收敛时，原反常积分才是收敛的．解由于由于32(2)(4)dx x x --ò=32lim (2)(4)aa dx x x +®--ò=322(3)lim 1(3)aa d x x +®---ò=32lim[arcsin(3)]a a x +®-=2p．43(2)(4)dx x x --ò=34lim (2)(4)bb dx x x -®--ò=324(3)lim 1(3)bb d x x -®---ò=34lim[arcsin(3)]b b x -®-=2p ．所以所以 42(2)(4)dx x x --ò22ppp =+=．例39 计算05(1)dx x x +¥+ò．分析此题为混合型反常积分，积分上限为+¥，下限0为被积函数的瑕点．解令x t =，则有，则有5(1)dx x x +¥+ò＝5222(1)tdt t t +¥+ò＝50222(1)dt t +¥+òò，再令tan t q =，于是可得，于是可得 522(1)dtt +¥+ò＝25022tan (tan 1)d pq q +ò＝2250sec sec d p q q qò＝230sec d pq q ò ＝320cos d p q q ò＝220(1sin )cos d pq q q -ò＝220(1sin )sin d pq q -ò＝3/201[sin sin ]3p q q -＝23．例40 计算214211x dx x-++ò．解由于由于221114222222111()11112()d x xx x dx dx xx x x x ---+-+==+++-òòò，可令1t x x=-，则当2x =-时，22t =-；当0x -®时，t ®+¥；当0x +®时，t ®-¥；当1x =时，0t =；故有；故有2114222211()()11112()2()d x d x x x x dx xx x xx----+=+++-+-òòò02222()22d t dtt t +¥--¥=+++òò 21(arctan )22p =+ ．注有些反常积分通过换元可以变成非反常积分，如例32、例37、例39；而有些非反常积分通过换元却会变成反常积分，如例40，因此在对积分换元时一定要注意此类情形．，因此在对积分换元时一定要注意此类情形．例41 求由曲线12y x =，3y x =，2y =，1y =所围成的图形的面积．图形的面积．分析若选x 为积分变量，需将图形分割成三部分去求，如图5－1所示，此做法留给读者去完成．此做法留给读者去完成．下面选取以下面选取以y 为积分变量．变量．解选取y 为积分变量，其变化范围为[1,2]y Î，则面积元素为素为dA =1|2|3y y dy -=1(2)3y y dy -．于是所求面积为于是所求面积为211(2)3A y y dy =-ò=52．例42 抛物线22y x =把圆228x y +=分成两部分，求这两部分面积之比．两部分面积之比．解抛物线22y x =与圆228x y +=的交点分别为(2,2)与(2,2)-，如图所示5－2所示，抛物线将圆分成两个部分1A ，2A ，记它们的面积分别为1S ，2S ，则有，则有图5－21S =2222(8)2y y dy ---ò=24488cos 3d pp q q --ò=423p +，218S A p =-=463p -，于是，于是12S S =423463p p +-=3292p p +-． 2A 1A 12(2,2)-oxy22y x=228x y +=2-1-121-2-2x y =1y =3y x =o 1-3-321211-2-xy2y =图5－1342-例43 求心形线1cos r q =+与圆3cos r q =所围公共部分的面积．部分的面积．分析心形线1cos r q =+与圆3cos r q =的图形如图5－3所示．由图形的对称性，只需计算上半部分的面积即可．可．解求得心形线1cos r q =+与圆3cos r q =的交点为(,)r q =3(,)23p±，由图形的对称性得心形线1cos r q =+与圆3cos r q =所围公共部分的面积为所围公共部分的面积为图5－3A =223203112[(1cos )(3cos )]22d d ppp q q q q ++òò=54p ．例44 求曲线ln y x =在区间(2,6)内的一条切线，使得该切线与直线2x =，6x =和曲线ln y x =所围成平面图形的面积最小（如图5－4所示）．所示）．分析要求平面图形的面积的最小值，要求平面图形的面积的最小值，必须先求出面积的表必须先求出面积的表达式．解设所求切线与曲线ln y x =相切于点(,ln )c c ，则切线方程为1ln ()y c x c c-=-．又切线与直线2x =，6x =和曲线ln y x =所围成的平面图形的面积为所围成的平面图形的面积为图5－4A =621[()ln ln ]x c c x dx c -+-ò=44(1)4ln 46ln 62ln 2c c-++-+．由于由于dA dc =2164c c -+=24(4)c c--，令0dA dc =，解得驻点4c =．当4c <时0dA dc <，而当4c >时0dAdc>．故当4c =时，A 取得极小值．由于驻点唯一．故当4c =时，A 取得最小值．此时切线方程为：取得最小值．此时切线方程为：11ln 44y x =-+．例45 求圆域222()x y b a +-£（其中b a >）绕x 轴旋转而成的立体的体积．成的立体的体积．解如图5－5所示，选取x 为积分变量，得上半圆周的方程为222y b a x =+-，下半圆周的方程为下半圆周的方程为221y b a x =--．图5－5则体积元素为则体积元素为(0,)b o()(0)x y b a b a +-=>>xy1xo y23121-45673ln y x=2x =6x =(,ln )c c 3p q =3cos r q=3211-xoy121-1cos r q=+dV =2221()y y dx p p -=224b a x dx p -．于是所求旋转体的体积为．于是所求旋转体的体积为V =224aa ba x dx p --ò=2208ab a x dx p -ò=284a b p p ×=222a b p ．注可考虑选取y 为积分变量，请读者自行完成．为积分变量，请读者自行完成．例4646（（03研）过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D ．（1）求D 的面积A ；（2）求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V ．分析先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A ，旋转体积可用大的立体体积减去小的立体体积进行图5－6计算，如图5－6所示．所示．解（1）设切点横坐标为0x ，则曲线ln y x =在点00(,ln )x x 处的切线方程是处的切线方程是0001ln ()y x x x x =+-．由该切线过原点知0ln 10x -=，从而0x e =，所以该切线的方程是1y x e=．从而D 的面积的面积1()12y e A e ey dy =-=-ò．（2）切线1y x e=与x 轴及直线x e =围成的三角形绕直线x e =旋转所得的旋转体积为旋转所得的旋转体积为2113V e p =，曲线ln y x =与x 轴及直线x e =围成的图形绕直线x e =旋转所得的旋转体积为旋转所得的旋转体积为1222011()(2)22y V e e dy e e p p =-=-+-ò．因此，所求体积为因此，所求体积为212(5123)6V V V e e p =-=-+．例47 有一立体以抛物线22y x =与直线2x =所围成的图形为底，而垂直于抛物线的轴的截面都是等边三角形，如图5－7所示．求其体积．其体积．解选x 为积分变量且[0,2]x Î．过x 轴上坐标为x 的点作垂直于x 轴的平面，与立体相截的截面为等边三角形，其底边长为22x ，得等边三角形的面积为得等边三角形的面积为图5－7()A x =23(22)4x =23x ．于是所求体积为于是所求体积为 V =2()A x dx ò=223xdx ò=43．xyzo22y x=2x =ln y x=ln y x=yxo12311y xe=例4848（（03研）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k ，0k >），汽锤第一次击打进地下a （m ），根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r （01r <<）．问：．问：（1）汽锤打桩3次后，可将桩打进地下多深？次后，可将桩打进地下多深？（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m 表示长度单位米）表示长度单位米）分析本题属于变力作功问题，可用定积分来求．本题属于变力作功问题，可用定积分来求．解（1）设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为n W （1n =，2，）．由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，所以，所以 12211022x k k W kxdx x a ===ò，2122222211()()22x x k kW kxdx x x x a ==-=-ò．由21W rW =得22221x x ra -=，即，即 222(1)x r a =+， 3222223323()[(1)]22x x k kW kxdx x x x r a ==-=-+ò．由2321W rW r W == 得22223(1)x r a r a -+=，即，即 2223(1)x r r a =++．从而汽锤击打3次后，可将桩打进地下231x a r r =++（m ）．（2）问题是要求lim n n x ®¥，为此先用归纳法证明：11n n x a r r +=+++ ．假设11n n x r r a -=+++ ，则，则12211()2n nx n n nx k Wkxdx x x +++==-ò2121[(1...)]2n n kx r r a -+=-+++．由2111...n n n n W rW r W r W +-====，得21221(1...)n n n x r r a r a -+-+++=．从而从而11n n x r r a +=+++ . 于是111lim lim 11n n n n r a x a r r++®¥®¥-==--．1r -1 5x-=5003roxyx dx+x(0,3)A(10,1)B。

有关定积分问题的常见题型解析(全题型)Word版

有关定积分问题的常见题型解析题型一利用微积分基本定理求积分例1、求下列定积分：（1）()13031x x dx -+⎰ （2）()941x x dx +⎰ （3）⎰--2224x分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。

解：（1）因为3221312x x x x x '⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()13031x x dx -+⎰=321102x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=32。

（2）因为()121x x x x +=+，312222132x x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以()941x x dx +⎰=3229211454326x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。

练习：（1）⎰--a a x a 22 （2）⎰--2124x评注：利用微积分基本定理求定积分dx x f a b )(⎰的关键是找出)()(/x f x F =的函数)(x F 。

如果原函数不好找，则可以尝试找出画出函数的图像，图像为圆或者三角形则直接求其面积。

题型二利用定积分求平面图形的面积例2 如图，求直线y=2x+3与抛物线y=x 2所围成的图形面积。

分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积。

为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。

解：由方程组⎩⎨⎧=+=232x y x y ，可得3,121=-=x x 。

故所求图形面积为：S ＝()dx x ⎰-+3132－dx x ⎰-312＝（x 2＋3x）3323113313=---x 。

关键环节：①认定曲边梯形，选定积分变量；②确定被积函数和积分上下限。

定积分的应用-高中数学知识点讲解

定积分的应用
1．定积分的应用
【应用概述】
正如前面定积分的概念哪里所说，定积分表示的是一个面积，是一个大于零的数．那么它在实际当中的应用也就和求面积相关．
例 1：定积分3휋
2
| sinx dx 的值是．
|
解：3휋
2
휋
| sinx | dx = 푠푖푛푥푑푥+
3휋
2 ( ―
푠푖푛푥)푑푥0 0 휋
3휋
＝﹣cosx |휋0 + cosx |
2
휋
＝﹣（﹣）
11 0 1
＝3．
3휋
这个题如果这样子出，在区间（）上与轴所围成的面积，那么就成了一个应用题．如何解这类应sinx 0，x
2
用题呢？其实就是构建一个定积分，找到区间和要积分的函数即可．
【定积分在求面积中的应用】
1、直角坐标系下平面图形的面积
1/ 3
2、极坐标系下平面图形的面积
由连续曲线及射线所围成的平面图形的面积（图 6）为r＝（r ）＝，＝
3、用定积分求平面图形的面积的步骤
2/ 3
a）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；b）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；
c）具体计算定积分，求出图形的面积．
3/ 3。

有关定积分问题的常见题型解析(全题型)培训讲学

有关定积分问题的常见题型解析（全题型）有关定积分问题的常见题型解析题型一利用微积分基本定理求积分例1、求下列定积分：192 --------------（1） 3x 3 x 1 dx （ 2）,.x 1 . x dx（3） .4 x 2\，4〒审2分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。

解：（1）因为x 31 2—x x 23x 2 x 1，1 3所以0 3x x 1 dx =x 3 1 2 -x x13 。

020 = 21C 31 （2）因为依1丘x^x ， 2 2 -x 2 1 2 -x2x 2 x ，32练习：(1) a.，a 2 x 2(2) 7 4 x 2a1数 F （x ）。

如果原函数不好找，则可以尝试找出画出函数的图像，图像为圆或者三角形则直接求其面积。

题型二利用定积分求平面图形的面积例2如图，求直线y=2x+3与抛物线y=x 2所围成的图形面积。

7 x 1 仮 dx =1 2 -x 9 145- 432 46所以评注：利用微积分基本定理求定积分bf （x ）dx 的关键是找出F ，（x ） f （x ）的函 a分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积。

为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标32x 3dx — 'x 2dx =(x 2+ 3x ) 1 1评注：求平面图形的面积的一般步骤：⑴画图，并将图形分割成若干曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和。

关键环节：①认定曲边梯形，选定积分变量；②确定被积函数和积分上下限。

知识小结：几种典型的曲边梯形面积的计算方法:成的曲边梯形的面积：bS = f x dx ，如图 1 oa(2)由三条直线x=a 、x=b (a v b )、x 轴，一条曲线y= f x ( f x < 0)围成的曲边梯形的面积:b(f x g x )围成的平面图形的面积：S = [ f x g x ]dx ，如图3 a解：由方程组y 2X 23，可得X iy x1,X 2 3。

(完整版)§定积分的应用习题与答案

第六章定积分的应用（A ）1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）221x y =与822=+y x （两部分都要计算）2）xy 1=与直线x y =及2=x3）xe y =，xe y -=与直线1=x4）θρcos 2a =5）t a x 3cos =，t a y 3sin =１、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的面积２、求对数螺线θρae=()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积３、求由曲线x y sin =和它在2π=x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕x 轴旋转而成的旋转体的体积４、由3x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体的体积５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积６、计算曲线()x y -=333上对应于31≤≤x 的一段弧的长度７、计算星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =的全长８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ）成正比，即：kS =→F （k 是比例常数），如果把弹簧内原长拉伸6cm ，计算所作的功９、一物体按规律3ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0=x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功１０、设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？１１、有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力１２、设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力(B)1、设由抛物线()022>=p px y 与直线p y x 23=+ 所围成的平面图形为D 1）求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积2、求由抛物线2x y =及x y =2所围成图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积3、求由x y sin =，x y cos =，0=x ，2π=x 所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积4、求抛物线px y 22=及其在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线所围成的图形的面积5、求曲线422+-=x x y 在点()4,0M 处的切线MT 与曲线()122-=x y 所围成图形的面积6、求由抛物线ax y 42=与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值7、求由下列曲线所围成图形的公共部分的面积 1）θρcos 3=，θρcos 1+=2）θρsin a =，()θθρsin cos +=a ，0>a8、由曲线()16522=-+y x 所围成图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积9、求圆心在()b ,0半径为a ，()0>>a b 的圆，绕x 轴旋转而成的环状体的体积10、计算半立方抛物线()32132-=x y 被抛物线32x y =截得的一段弧的长度(C)1、用积分方法证明半径为R 的球的高为H 的球缺的的体积为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32H R H V π2、分别讨论函数x y sin =⎪⎭⎫⎝⎛≤≤20πx 在取何值时，阴影部分的面积1S ，2S 的和21S S S +=取最大值和最小值3、求曲线x y =()40≤≤x 上的一条切线，使此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =所围成的平面图形的面积最小4、半径为r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？第六章定积分应用习题答案（A ）1、1）342+π，346-π 2）2ln 23- 3）21-+ee 4）2a π 5）283a π2、23a π 3、()ππ2224--e e a 4、12-π，42π 5、7128π，564π 6、3334R 7、3432- 8、a 6 9、kJ 18.0 10、3732727a kc （其中k 为比例常数）11、()kJ 5.57697 12、()kN 14373 13、取y 轴经过细直棒⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=2211t a aGmu F y 22t a a Gmu F x +-=λ(B)1、1）⎰-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=pp p dy p y y p S 322316223 或()⎰⎰=⎪⎭⎫⎝⎛+-++=20229231622322pp p p dx px x p dx px px S2）⎰⎰--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=pp p p p dy p y dy y p V 33322215272223πππ 2、()⎰=-=10231dx x x A ()()ππ⎰=⎪⎭⎫⎝⎛-=10222103dx x x V3、()()⎰⎰-=-+-=244222cos sin sin cos πππdx x x dx x x A()()()()()()⎰⎰=-+-=24224022cos sin sin cos πππππdx x x dx x x V4、抛物线在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线方程为： p y x 23=+，以下解法同第一题2316p A = 5、MT ：x y 24-=，切线MT 与曲线()122-=x y 的交点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛1,23，()2,3- ⎰-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=122491224dy y y A 6、提示：设过焦点()0,a 的弦的倾角为α则弦所在直线的方程为()a x y -=αtan由()a x y -=αtan ，ax y 42=得两交点纵坐标为()()21csc 2csc 2y ctg a ctg a y =+<-=αααα所以()()dy a y yctg a A y y ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=2142αα ()()32222csc 34csc 4csc 4ααααa ctg a a -+=()()3232csc 34csc 4ααa a -=()32csc 38αa =因为πα<<0 当2πα=时 ()3csc α取得最小值为1所以当2πα=时过焦点的弦与抛物线ax y 42=所围成的图形面积()32csc 382απa A =⎪⎭⎫ ⎝⎛最小7、1）()()πθθθθπππ45cos 321cos 1212232302=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰d d A2）()()[]⎰⎰-=++=ππππθθθθθ22220241cos sin 21sin 21a d a d a A 8、()()⎰⎰------+=44442222165165dx xdx xV ππ()()⎰-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----+=4422222160165165ππdx xx9、解法同题810、提示：()32132-=x y ，32x y = 联立得交点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36,2，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-36,2 所求弧长()⎰+=212'12dx y s由()32132-=x y 得()yx y 2'1-=于是()()()()()1231321134222'-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x y x y于是得()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰12598123122321221dx x S(C)1、证明：此处球缺可看作由如图阴影（图222R y x =+的一部分）绕y 轴旋转而成所以()⎰⎰---==RHR RHR dy y R dy x V 222ππR HR R HR y yR ---=332ππ()[]()[]3323H R R H R R R -----=ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32H R H π2、解：()⎰-=tdx x t S 11sin sin ()⎰-=22sin sin πtdx t x S()()⎰-=tdx x t t S 1sin sin +()⎰-2sin sin πtdx t x=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-⎪⎭⎫⎝⎛-+201sin 22cos 2ππt t t t ()0cos 22'=⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t S π，得驻点2421ππ==t t易知()()002''1''<>t S t S122max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴ππS S ，124min -=⎪⎭⎫⎝⎛=πS S3、解：设()00,y x 为曲线x y =()40≤≤x 上任一点，易得曲线于该点处的切线方程为：()00021x x x y y -=- 即0022x x y y +=得其与0=x ， 4=x 的交点分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,00y ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+0022,4y y 于是由此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =所围的平面图形面积为：3164222004000-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰x y dx x x x y S3164200-+=x x 问题即求31642-+=xx S ()40≤≤x 的最小值令022321=+=--xxS 得唯一驻点2=x 且为唯一极小值所以当2=x 时，S 最小即所求切线即为：2222+=x y 4、如图：以水中的球心为原点，上提方向作为坐标轴建立坐标系易知任意[]dx x x +,段薄片在提升过程中在水中行程为r －x ，而在水上的行程为2r －（r －x ）＝r ＋x因为求的密度与水相同，所以在水中提升过程中浮力与重力的合力为零，不做功，而在水面上提升时，做功微元为()()dx x r x r g dW +-=22π()()g r dx x r x r g dW W r r r r 42234ππ⎰⎰--=+-==。

定积分试题讲解

定积分试题讲解一、定积分是什么呢？定积分就像是一个超级神奇的数学工具。

你可以把它想象成是在计算一块不规则图形的面积。

比如说，有个奇奇怪怪形状的小花园，它不是那种规规矩矩的长方形或者正方形，定积分就能算出这个小花园到底有多大面积呢。

从数学的角度来说，定积分就是求函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。

这就好比是把这个区间分成好多好多小小的部分，然后把这些小部分的面积加起来，当这些小部分变得无穷小的时候，得到的就是定积分啦。

二、定积分试题常见类型1. 计算定积分的值这就像是一场数字的冒险。

比如说，给你一个函数f(x)=x²，让你计算在区间[0,1]上的定积分。

那我们就可以根据定积分的计算公式来做。

首先要找到这个函数的原函数，对于f(x)=x²，它的原函数就是F(x)=(1/3)x³。

然后把区间的上下限代入原函数相减，也就是F(1)-F(0)=(1/3)1³-(1/3)0³ = 1/3。

是不是感觉很有趣呢？就像是找到了隐藏在函数里的小秘密。

2. 利用定积分求面积这时候定积分就真的像一个测量面积的小能手啦。

比如有两个函数y = x和y = x²，要求它们在区间[0,1]之间围成的面积。

那我们就可以用定积分来计算。

先找到这两个函数的差，也就是f(x)=x - x²，然后再计算这个函数在[0,1]上的定积分。

按照前面说的步骤，先找原函数，再代入上下限计算。

这样就能得到它们围成的面积啦。

三、做定积分试题的小技巧1. 熟练掌握基本函数的原函数这就像是你要去打仗，得先把武器都准备好一样。

像sinx的原函数是 - cosx，cosx的原函数是sinx等等。

这些基本的原函数一定要记熟，这样在做定积分计算的时候才能快速准确地找到原函数。

2. 巧用换元法换元法就像是给函数换了一身衣服。

比如说，有个定积分∫(0到1) 2x√(1 + x²)dx。

有关定积分问题的常见题型解析(全题型)

有关定积分问题的常见题型解析题型一利用微积分基本定理求积分例1、求下列定积分：（1）()13031x x dx -+⎰ （2）()941x x dx +⎰（3）⎰--2224x分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。

解：（1）因为3221312x x x x x '⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()13031x x dx -+⎰=321102x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=32。

(2）因为()121x x x x +=+，312222132x x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以()941x x dx +⎰=3229211454326x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。

练习:（1）⎰--a a x a 22 (2）⎰--2124x评注：利用微积分基本定理求定积分dx x f a b )(⎰的关键是找出)()(/x f x F =的函数)(x F 。

如果原函数不好找，则可以尝试找出画出函数的图像，图像为圆或者三角形则直接求其面积。

题型二利用定积分求平面图形的面积例2 如图，求直线y=2x+3与抛物线y=x 2所围成的图形面积.分析:从图形可以看出,所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差,进而可以用定积分求出面积。

为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。

解:由方程组⎩⎨⎧=+=232x y x y ，可得3,121=-=x x .故所求图形面积为：S ＝()dx x ⎰-+3132－dx x ⎰-312＝（x 2＋3x ）3323113313=---x 。

评注:求平面图形的面积的一般步骤：⑴画图，并将图形分割成若干曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；⑶确定被积函数;⑷求出各曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值之和。

关键环节：①认定曲边梯形，选定积分变量;②确定被积函数和积分上下限。

定积分的应用(体积,弧长,功)

( 2)在区间，上任取一个小区间x , x dx]，它 [0 1] [ 对应的薄片体积近似于xdx x 4 dx，即 dV ( x x )dx
4
y x2
x+dx
x
2 5 1
(3)所求旋转体的体积为
x x 3 V ( x x )dx , ( 立方单位). 0 2 5 0 10
将它绕 x 轴旋 x h及 x 轴围成一个直角三角形．转构成一个底半径为 r 、高为 h 的圆锥体，计算圆锥体的体积．
y
P
解直线 OP方程为
r
o
r y x h
h
x
取积分变量为x ， x [0, h]
在[0, h]上任取小区间[ x , x dx ] ，
以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的体积为 r
2
b
2 3 a b 例 1 计算曲线 y x 2 上相应于x 从到的一段 3
弧的长度.
解 y x ,
1 2
ds 1 ( x )2 dx 1 xdx ,
所求弧长为
a
3 2 3 2
1 2
b
s a
b
2 1 xdx [(1 b) (1 a ) ]. 3
r x dx dV h
圆锥体的体积
2
y
y
h
x
P
r
o
h
x
V
h
0
r r x hr 2 x dx 2 . 3 h 3 0 h
2
2 3
h
例2