【常考题】数学高考一模试卷(附答案)

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2024年高考数学模拟试题与答案解析

2024年高考数学模拟试题与答案解析一、选择题1.设集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=3k,k∈Z}，则A∩B={()}A.{x|x=6k,k∈Z}B.{x|x=2k,k∈Z}C.{x|x=3k,k∈Z}D.{x|x=k,k∈Z}【答案】B解析：集合A包含所有2的倍数，集合B包含所有3的倍数。

A ∩B表示同时属于A和B的元素，即同时是2和3的倍数的数，也就是6的倍数。

所以A∩B={x|x=6k,k∈Z}，故选B。

2.若函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=2，则c的值为()A.4B.3C.2D.1【答案】A解析：函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=-b/2a，即x=2。

根据对称轴的公式，得到-(-4)/(21)=2，解得c=4。

故选A。

3.已知等差数列的前n项和为Sn=n(a1+an)/2，若S3=18，S6-S3=24，则a4的值为()A.6B.8C.10D.12【答案】B解析：根据等差数列的前n项和公式，得到S3=3(a1+a3)/2=18，即a1+a3=12。

又因为S6-S3=24，得到a4+a5+a6=24。

由等差数列的性质，a3+a6=a4+a5。

将a3+a6替换为a4+a5，得到3a4+3a5=48，即a4+a5=16。

解方程组a1+a3=12和a4+a5=16，得到a4=8。

故选B。

二、填空题4.若|x-2|≤3，则|x+1|的取值范围是______【答案】-2≤x≤5解析：由|x-2|≤3，得到-3≤x-2≤3，即-1≤x≤5。

再由|x+1|的图像可知，当-3≤x≤5时，|x+1|的取值范围是-2≤x≤5。

5.已知函数f(x)=2x²-3x+1，求f(1/2)的值。

【答案】3/4解析：将x=1/2代入函数f(x)，得到f(1/2)=2(1/2)²-3(1/2)+1=2/4-3/2+1=3/4。

三、解答题6.（1）求证：对任意正整数n，都有n²+2n+1≥n+2。

【高三上数学】浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题(解析版)

浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知12i,1i z a z b =−=+（,R a b ∈，i 为虚数单位），若12z z ⋅是实数，则（） A ．10ab −= B ．10ab += C ．0a b −= D ．0a b +=【答案】A 【分析】根据复数乘法及复数的虚部为0计算即可.【详解】因为12(i)(1i)=()(1)i z z a b a b ab =−++−⋅+是实数，所以10ab −=，故选：A2．设集合R U =，集合()22{|20},{|log 1}M x x x N x y x =−≥==−，则{|2}x x <=（）A ．M N ⋃B ．()UN MC ．U ()M ND ．()UMN【答案】B【分析】化简集合,M N ，根据集合的交集、并集、补集求解.【详解】因为()22{|20}(,0][2,),{|log 1}(,1)M x x x N x y x =−≥=−∞+∞==−=−∞，所以(,1)[2,)M N ⋃=−∞+∞，()U(,1)(0,2)(,2){|2}Nx x M −∞==−∞=<，U 1(,0)][2,)(()[,)[]10,,MN −∞+∞=+∞=+∞∞−，因为(,0]M N =−∞，所以()U(0,)M N =+∞，故选：B3．若,a b 是夹角为60︒的两个单位向量，a b λ+与32a b −+垂直，则λ=（） A ．18B ．14C ．78D ．74【答案】B【分析】由题意先分别算出22,,a b a b ⋅的值，然后将a b λ+与32a b −+垂直”等价转换为)()032a b a b λ−⋅=++，从而即可求解.【详解】由题意有22221,1,cos 60a a b b a b a b ︒====⋅=⋅=又因为a b λ+与32a b −+垂直，所以()()()22132323322a ab a a b b b λλλλ+⋅=−+−⋅+=−+⨯−+1202λ−+=，解得14λ=.B.4．已知数列{}n a 为等比数列，且55a =，则（） A ．19a a +的最小值为50 B ．19a a +的最大值为50 C ．19a a +的最小值为10 D ．19a a +的最大值为105．已知函数32221()2log ,()log ,()log 2xxf x xg x xh x x x ⎛⎫=+=−=+ ⎪⎝⎭的零点分别为,,a b c ，则（） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．b c a >>由图象可知，a c <，所以a 故选：D6．设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:142x y C +=的焦点，点P 在C 上，OP =，则12cos F PF ∠=（）A ．13−B ．0C ．13D ．3122PF PF PO +=，即可得【详解】如下图所示：不妨设12,PF m PF n ==，根据椭圆定义可得由余弦定理可知1cos 2F PF mn ∠又因为122PF PF PO +=，所以()()22122PF PF PO +=，又22122cos 1m n mn F PF ∠+=+，解得2210m n +=；()22216210n m n mn mn =+−=−=，即3mn =；所以可得21281081cos 263m n F PF mn ∠+−===；7．已知二面角P AB C −−的大小为3π4，球O 与直线AB 相切，且平面PAB 、平面ABC 截球O 的两个截面圆的半径分别为1O 半径的最大可能值为（）AB ．C ．3 D的最大值即为MNE 外接圆的OMOE O =，同理可知，AB ⊥平面为MNE外接圆的一条弦，半径OE的最大值即为MNE外接圆的直径，即为π=时，4为MNE外接圆的一条弦，的最大值即为MNE 外接圆的直径，即为的半径的最大可能值为108．已知函数()2f x x ax b =++，若不等式()2f x ≤在[]1,5x ∈上恒成立，则满足要求的有序数对(,)a b 有（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个【点睛】关键点点睛：解题的关键是首先得到()()()212232252f f f ⎧−≤≤⎪−≤≤⎨⎪−≤≤⎩，进一步由不等式的性质通过分析即可求解.二、多选题9．已知5250125(12)x a a x a x a x −=++++，则下列说法正确的是（）A ．01a =B ．380a =−C ．123451a a a a a ++++=−D ．024121a a a ++=【答案】ABD【分析】根据二项展开式通式以及赋值法即可得到答案. 【详解】对于 A ，取 0x =, 则 01a = ，则A 正确；对B ，根据二项式展开通式得5(12)x −的展开式通项为()55C 12r r rx −−，即()5C 2rr r x ⋅−⋅，其中05,N r r ≤≤∈所以3335C (2)80a =−=−，故B 正确；对C ，取1x =，则0123451a a a a a a +++++=−，则12345012a a a a a a ++++=−−=−，故C 错误；对D ，取=1x −，则50123453243a a a a a a −+−+−==，将其与0123451a a a a a a +++++=−作和得()0242242a a a ++=，所以024121a a a ++=，故D 正确；故选：ABD.10．设O 为坐标原点，直线20x my m +−−=过圆22:860M x y x y +−+=的圆心且交圆于,P Q 两点，则（）A ．5PQ =B ．12m =C ．OPQ △的面积为D ．OM PQ ⊥【答案】BCOPQS=)0,0与由直线方程11．函数()sin (0)f x x ωω=>在区间22⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，上为单调函数，且图象关于直线2π3x =对称，则（）A ．将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位长度，所得图象关于y 轴对称 B ．函数()f x 在[]π2π，上单调递减 C ．若函数()f x 在区间14π(,)9a 上没有最小值，则实数a 的取值范围是2π14π(,)99− D ．若函数()f x 在区间14π(,)9a 上有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是4π(,0)3−【答案】AB 【分析】12．已知函数：R R →，对任意满足0x y z ++=的实数,,x y z ，均有()()()3333f x f y f z xyz ++=，则（）A ．(0)0f =B ．(2023)2024f =C ．()f x 是奇函数D ．()f x 是周期函数三、填空题13．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()1,3P ，则()sin πα+= .14．已知圆台的上､下底面半径分别为1和2，体积为14π3，则该圆台的侧面积为 .15．第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运动员准备参加100米､200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为12，200米比赛未能站上领奖台的概率为310，两项比赛都未能站上领奖台的概率为110，若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是 . )()()()710A B P A P B P A B =+−=，进而求)()3110A B P A B =−=，再利用条件概率公式求出答案【详解】设在200米比赛中站上领奖台为事件)310=，()12P B =，()110P A B =，)()()()31171021010A B P A P B P A B =+−=+−=)()3110A B P A B =−=， )()()3310152P AB B P B ===. 故答案为：3516．已知抛物线Γ：22y x =与直线:4l y x =−+围成的封闭区域中有矩形ABCD ，点A ，B 在抛物线上，点C ，D 在直线l 上，则矩形对角线BD 长度的最大值是 .【点睛】关键点点睛：本题的关键是合理设参，并通过数形结合求出参数的范围也是很重要的，至于求出目标函数表达式只需仔细计算即可.四、解答题17．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知12cos cA b =+.(1)证明：2A B =； (2)若3sin 5B =，13c =，求ABC 的面积. 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积sin A B =，， ABCS=18．已知数列{}n a 满足11a =，且对任意正整数m ，n 都有2.m n n m a a a mn +=++(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{(1)}n n a −的前n 项和n S .()(112135212n n n n a a n −+−++−=++++−=，符合上式，所以2n a n =.)()2222221234(1)n n ⎡⎤−++−+++−−+⎣⎦(()()321121n n n n +−+++−=，为奇数时，若n =，则21n n n n S S n −−=+−=时，满足1S 19．如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为4，点E 满足3DE EA =，点F 是1CC 的中点，点G 满足135DG GD =(1)求证：,,,B E G F 四点共面；(2)求平面EFG 与平面1A EF 夹角的余弦值.，即可得出结论；，证明//EG BF 即可；,AH FH ，因为F 由3DE EA =知DE EA ，由135DG GD =知DG GH =所以DE DGEA GH=，所以/AH ，所以EG //BF ，所以,G F 四点共面；法2：如图，以D 为原点，建立空间直角坐标系⎭因为()4,0,2,3,0,BF EG ⎛=−=− ⎝，所以34EG BF =，所以//EG BF ，,,,B E G F 四点共面；）由（1）知，()()()11,4,0,1,0,4,3,4,2BE A E EF =−−=−−=−，设平面EFG 的法向量为(),,m x y z =，m BE m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即40420x y x z −−=⎧⎨−+=⎩，可取()4,1,8m =−，平面1A EF 的法向量(),,n a b c =，则有1403420n A E a c n EF a b c ⎧⋅=−−=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，可取()8,7,2n =−设平面EFG 与平面1A EF 夹角为993m n m nθ⋅==⨯EFG 与平面 20．已知函数()()2e 4e 2x xf x a a x =+−−（e 为自然对数的底数，e 2.71828=）.(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当1a >时，()7ln 4.f x a a >−− 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析21．某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：(1)根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？(2)现有n ()*N n ∈根绳子，共有2n 个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.（i ）当3n =，记随机变量X 为绳子围成的圈的个数，求X 的分布列与数学期望；（ii ）求证：这n 根绳子恰好能围成一个圈的概率为()()212!1!.2!n n n n −⋅−附：()()()()22(),.n ad bc K n a b c d a b c d a c b d −==+++++++)(2422212C 2n n ⋅==))21!2!!n n −=本题第二小问第二步的解决关键是利用分步计数原理得到数列的递推式，从而利用数列的累乘法求得结果点(),0()t t a >的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 上与端点不重合的任意一点，过点M 且与1l 平行的直线分别交另一条渐近线2l 和C 于点,T N (1)求C 的方程； (2)求MP MQ OT MN的取值范围.试卷第21页，共21页。

高考数学模拟试题含答案详解

高考数学模拟试题含答案详解一、选择题1. 已知函数 $ f(x) = x^2 4x + 3 $，求 $ f(2) $ 的值。

答案：将 $ x = 2 $ 代入函数 $ f(x) $，得 $ f(2) = 2^2 4\times 2 + 3 = 1 $。

2. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1 = 3$，公差为 $d = 2$，求第 $n$ 项 $a_n$ 的表达式。

答案：等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n 1)d$，代入$a_1 = 3$ 和 $d = 2$，得 $a_n = 3 + (n 1) \times 2 = 2n + 1$。

3. 已知等比数列 $\{b_n\}$ 的首项为 $b_1 = 2$，公比为 $q = 3$，求第 $n$ 项 $b_n$ 的表达式。

答案：等比数列的通项公式为 $b_n = b_1 \times q^{n1}$，代入 $b_1 = 2$ 和 $q = 3$，得 $b_n = 2 \times 3^{n1}$。

4. 已知三角形的两边长分别为 $a = 5$ 和 $b = 8$，夹角为$60^\circ$，求第三边长 $c$。

答案：利用余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 2ab \cos C$，代入 $a = 5$，$b = 8$，$C = 60^\circ$，得 $c^2 = 5^2 + 8^2 2 \times5 \times 8 \times \cos 60^\circ = 49$，所以 $c = 7$。

5. 已知函数 $ g(x) = \frac{1}{x} $，求 $ g(x) $ 的定义域。

答案：由于 $x$ 不能为 $0$，所以 $g(x)$ 的定义域为 $x \neq 0$。

二、填空题1. 已知函数 $ h(x) = \sqrt{4 x^2} $，求 $ h(x) $ 的定义域。

答案：由于根号内的值不能为负，所以 $4 x^2 \geq 0$，解得$2 \leq x \leq 2$。

高考一模数学试卷答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 【答案】C【解析】根据三角函数的定义，sinA = 对边/斜边，cosA = 邻边/斜边。

在直角三角形ABC中，∠A=30°，则sinA=1/2，cosA=√3/2。

因此，C选项正确。

2. 【答案】A【解析】由一元二次方程的求根公式可得，x1=(-b+√(b²-4ac))/(2a)，x2=(-b-√(b²-4ac))/(2a)。

因为a=1，b=-3，c=2，代入公式计算得x1=2，x2=1。

故A选项正确。

3. 【答案】D【解析】根据复数的乘法法则，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

代入a=2，b=-1，c=3，d=2，得(2-1i)(3+2i)=(6-2)+(6-3)i=4+3i。

故D选项正确。

4. 【答案】B【解析】根据数列的通项公式an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

由题意知，数列的前三项为1，4，7，公差为3。

代入公式计算得an=1+(n-1)×3=3n-2。

故B选项正确。

5. 【答案】C【解析】由集合的运算性质，A∪B=(A-B)∪(A∩B)。

因此，集合A∪B包含A中不属于B的元素以及A∩B中的元素。

故C选项正确。

二、填空题（每题5分，共25分）6. 【答案】-3【解析】由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=-1，n=5，得a5=2+(5-1)×(-1)=-3。

7. 【答案】π/3【解析】由三角函数的性质，sin(π/3)=√3/2。

8. 【答案】1/4【解析】由复数的模长公式，|a+bi|=√(a²+b²)，代入a=2，b=-1，得|2-1i|=√(2²+(-1)²)=√5。

复数的模长等于1/|2-1i|=1/√5=1/4。

9. 【答案】2【解析】由指数函数的性质，(2^3)^2=2^(3×2)=2^6=64。

高考一模数学试卷及答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 2在区间[0, 2]上的最大值为M，则M等于：A. -1B. 0C. 2D. 32. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 35，S9 = 81，则公差d等于：A. 2B. 3C. 4D. 53. 下列命题中正确的是：A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则loga > logbC. 若a > b > 0，则a/b > b/aD. 若a > b，则a - b > 04. 已知复数z = 1 + i，则|z|^2等于：A. 2B. 3C. 4D. 55. 函数y = 2sin(2x - π/6)的图像关于点(π/3, 0)对称，则实数x的取值范围是：A. x ∈ [0, π/2]B. x ∈ [π/2, π]C. x ∈ [π, 3π/2]D. x ∈[3π/2, 2π]6. 若直线y = kx + 1与圆x^2 + y^2 = 1相切，则k的取值范围是：A. k ∈ (-1, 1)B. k ∈ [-1, 1]C. k ∈ (-∞, -1) ∪ (1, +∞)D. k ∈ (-∞, 1) ∪ (1, +∞)7. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)在区间[0, 2]上的图像是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增8. 已知等比数列{an}的首项a1 = 1，公比q = 2，则数列的前5项之和S5等于：A. 31B. 32C. 33D. 349. 若向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a·b等于：A. 7B. 5C. 3D. 110. 已知函数f(x) = |x - 1| + |x + 2|，则f(x)的最小值为：A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

高三数学一模试卷及答案

高三数学一模试卷及答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 若函数f(x)=x^2-2x+1，则f(-1)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，则集合A的元素个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 函数y=x^3-3x+1在x=1处的导数为（）A. 1B. -1C. 3D. -34. 已知等比数列{a_n}的前三项分别为a_1=2，a_2=4，a_3=8，则该数列的公比为（）A. 1B. 2C. 4D. 85. 已知向量a=(1,2)，b=(2,1)，则向量a与向量b的点积为（）A. 3B. 4C. 5D. 66. 已知圆心在原点，半径为1的圆的方程为（）A. x^2+y^2=1B. x^2+y^2=-1C. x^2+y^2=2D. x^2+y^2=07. 已知函数y=x^2-4x+c，当x=2时，y=0，则c的值为（）A. 0B. 4C. 8D. 128. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_3=9，S_6=24，则S_9的值为（）A. 36B. 45C. 54D. 639. 已知直线y=2x+3与x轴的交点坐标为（）A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (0, -3/2)D. (0, 3/2)10. 已知函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1，若f(a)=0，则a的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。

）11. 已知函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)的最小值为-1，则c的值为______。

12. 已知向量a=(3,4)，向量b=(4,-3)，则向量a与向量b的夹角的余弦值为______。

13. 已知函数y=x^3-6x^2+9x+1，若f(a)=0，则a的值为______。

浙江省新2025届高三下学期一模考试数学试题含解析

浙江省新2025届高三下学期一模考试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（） A ．-2B ．-1C ．1D ．22．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（） A ．4B ．6C ．3D ．83．半正多面体(semiregular solid ) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．83B ．4C ．163D ．2034．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．5．已知实数x ，y 满足约束条件2211x y y x y kx +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数k 的值为（）A ．1B ．53C ．2D ．736．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，22()2xx x f x e +=-，设22),(2),(ln a f b f c f ===，则（） A ．b a c >>B ．b a c >=C ．a c b =>D ．c a b >>7．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为( ) A ．31πB ．34C 3πD ．148．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b9．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（） A ．10B ．9C ．8D ．710．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=nn n a a （n *∈N ），则5S =（）A ．30B ．312C ．2D ．6211．已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（） A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a12．已知等差数列{}n a 的公差为-2，前n 项和为n S ，若2a ，3a ，4a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（） A ．5B ．11C ．20D ．25二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

新高考一模数学试卷答案

一、选择题1. 下列选项中，函数y=2x-3的图像是（）A. B. C. D.答案：A解析：由于函数y=2x-3的斜率为2，且y轴截距为-3，所以其图像是一条通过点(0,-3)且斜率为2的直线，故选A。

2. 已知等差数列{an}的公差为d，且a1=3，a4=11，则d=（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A解析：由等差数列的性质可知，a4=a1+3d，代入已知条件得11=3+3d，解得d=2。

3. 若复数z满足|z+1|=|z-1|，则z在复平面上的对应点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：D解析：由复数的几何意义可知，|z+1|表示复数z到点(-1,0)的距离，|z-1|表示复数z到点(1,0)的距离。

由于|z+1|=|z-1|，所以复数z到这两个点的距离相等，即复数z位于这两个点的中垂线上。

由于点(-1,0)和点(1,0)位于x轴上，所以复数z位于x轴上，即第四象限。

4. 已知函数f(x)=x^2-4x+4，则f(x)的最小值为（）A. -4B. 0C. 4D. 8答案：B解析：由于f(x)是一个二次函数，其开口向上，所以最小值在顶点处取得。

顶点的横坐标为x=-b/2a=-(-4)/21=2，代入f(x)得f(2)=2^2-42+4=0，所以f(x)的最小值为0。

5. 已知等比数列{an}的公比为q，且a1=2，a4=32，则q=（）A. 2B. 4C. 8D. 16答案：B解析：由等比数列的性质可知，a4=a1q^3，代入已知条件得32=2q^3，解得q=4。

二、填空题6. 函数y=3x^2-6x+5的图像的对称轴方程为________。

答案：x=1解析：由于函数y=3x^2-6x+5是一个二次函数，其对称轴的方程为x=-b/2a，代入系数得x=-(-6)/(23)=1。

7. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an=2^n-1，则S10=________。

浙江省温州市2022-2023学年高三一模数学试题

浙江省温州市2022-2023学年高三一模数学试题参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“x R ∃∈，21x =”的否定形式是()A ．x R ∃∈，1x ≠或1x ≠-B ．x R ∃∈，1x ≠且1x ≠-C ．x R ∀∈，1x ≠或1x ≠-D ．x R ∀∈，1x ≠且1x ≠-【解答】解：由特称命题的否定形式得：命题“x R ∃∈，21x =”的否定形式是：x R ∀∈，1x ≠且1x ≠-．故选：D ．2．（5分）已知x C ∈，下列选项中不是方程31x =的根的是()A ．1B ．12+C ．12-D ．12-【解答】解：因为31x =，x C ∈，所以310x -=，即2(1)(1)0x x x -++=，解得1x =或1313222x -±==-±，故选项ACD 中是方程31x =的根，B 中不是．故选：B ．3．（5分）A ，B 是C 上两点，4AB AC ⋅=，则弦AB 的长度是()A ．1B ．2C ．D ．不能确定【解答】解：设C 半径为r ，ACB θ∠=，则22()()cos 4AB AC CB CA CA r r θ⋅=-⋅-=-+=，由余弦定理知AB ====，故选：C ．4．（5分）通过长期数据研究某人驾驶汽车的习惯，发现其行车速度v （公里/小时）与行驶地区的人口密度p （人/平方公里）有如下关系：0.0000450(0.4)p v e -=⋅+，如果他在人口密度为a 的地区行车时速度为65公里/小时，那么他在人口密度为2a的地区行车时速度约是()A ．69.4公里/小时B ．67.4公里/小时C ．62.5公里/小时D ．60.5公里/小时【解答】解：由题知0.000046550(0.4)a e -=⋅+，整理得0.000040.9a e -=∴10.000020.000042()aaee--==∴当他在人口密度为2a的地区行车时速度：0.0000250(0.4)50(0.467.4av e -=⋅+=⋅+≈公里/小时，故选：B ．5．（5分）29(1)(1)x x x -++展开式中含5x 的系数是()A ．28B ．28-C ．84D ．84-【解答】解：9(1)x +展开式的通项为91991r r r r r r T C x C x -+=⋅⋅=⋅，0r =，1，2，，9，当21x x -+选取2x 时，由已知可得，应选取9(1)x +展开式中含3x 的项，由3r =，可得3334984T C x x =⋅=；当21x x -+选取x -时，由已知可得，应选取9(1)x +展开式中含4x 的项，由4r =，可得44459126T C x x =⋅=；当21x x -+选取1时，由已知可得，应选取9(1)x +展开式中含5x 的项，由5r =，可得55569126T C x x =⋅=，所以29(1)(1)x x x -++展开式中含5x 的系数是1841126112684⨯-⨯+⨯=．故选：C ．6．（5分）某医院对10名入院人员进行新冠病毒感染筛查，若采用单管检验需检验10次；若采用10合一混管检验，检验结果为阴性则只要检验1次，如果检验结果为阳性，就要再全部进行单管检验．记10合一混管检验次数为ξ，当()10E ξ=时，10名人员均为阴性的概率为()A ．0.01B ．0.02C ．0.1D ．0.2【解答】解：设10人全部为阴性的概率为p ，混有阳性的概率为1p -，若全部为阴性，需要检测1次，若混有阳性，需要检测11次，则随机变量ξ的分布列为：ξ111Pp1p-()11(1)10E p p ξ∴=+-=，解得0.1p =，故选：C ．7．（5分）下列实数中，最小的是()A ．2sin 0.1B ．2sin 0.1C ．2tan 0.1D ．2tan 0.1【解答】解：当(0,1)x ∈时，sin sin (1cos )tan sin sin cos cos x x x x x x x x--=-=，其中sin 0x >，cos 0x >，所以tan sin 0x x ->，则tan sin x x >，即22tan 0.1sin 0.1>；当(0,1)x ∈时，tan 0x >，sin 0x >，所以22tan sin (tan sin )(tan sin )0x x x x x x -=+->，则22tan sin x x >，即22tan 0.1sin 0.1>；设()sin h x x x =-，(0,1)x ∈，所以()cos 10h x x '=-<，()h x 在(0,1)上单调递减，所以()(0)0h x h <=，即sin x x <，又cos y x =在(0,1)上单调递减，且(0,1)x ∈时，2x x <，所以2cos cos x x >，作差法有22sin 0.1sin 0.1-，设22()sin sin f x x x =-，(0,1)x ∈，所以222()2sin cos 2cos 2cos 2cos 2(cos cos )0f x x x x x x x x x x x x '=-<-=-<，则函数()f x 在(0,1)上单调递减，则()(0)0f x f <=，所以22sin sin x x <，即22sin 0.1sin 0.1<；综上，可知2sin 0.1最小．故选：A ．8．（5分）直线l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右两支分别交于点A ，B ，与双曲线的两条渐近线分别交于点C ，(D A ，C ，D ，B 从左到右依次排列），若OA OB ⊥，且||AC ，||CD ，||DB 成等差数列，则双曲线的离心率的取值范围是()A ．)+∞B ．C ．D ．)+∞【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，设直线AB 的方程为y kx m =+，联立22221y kx m x y a b =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得222222222()20b a k x ka mx a m a b ----=，则2122222222122222a kmx x a k b a m a b x x a k b ⎧-+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩①，联立22220y kx m x y a b =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得2222222()20b a k x ka mx a m ---=，则2341222222342222a km x x x x a k b a m x x a k b ⎧-+=+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩②，OA OB ⊥ ，1212()()0x x kx m kx m ∴+++=，即222222(1)0a b k m b a +=>-③，20m > ，22b a ∴>，即22e >，故e >，3412x x x x +=+ ，CD ∴中点为AB 的中点，即||||AC BD =，||AC ，||CD ，||BD 成等差数列，||||||AC CD BD ∴==，又A ，C ，D ，B 从左到右依次排列，||3||AB CD ∴=，翻译1234||3||x x x x -=-，将①②③代入得2222222(9)(9)b b a k a b a -=-，20k 且22e >，且22b a >，229b a ∴>，且229b a ，219e ∴-，即e ，综上所述，双曲线的离心率的取值范围是，)+∞，故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（5分）设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，则()A ．若1ω=，则()f x 在[0,2π上单调递增B ．若2ω=，则()f x 在[0，]π有2个极值点C ．若3ω=，则()f x 的图象关于(,0)15π-中心对称D ．若(6)()f x f x π+=，则ω的最大值为13【解答】解：当1ω=时，()sin()5f x x π=+， 02x π ，∴75510x πππ+，故()f x 在[0,]2π上不单调，故A 不正确；当2ω=时，()sin(2)5f x x π=+，0x π ，∴112555x πππ+，当252x ππ+=或3252x ππ+=时，函数取得极值，故函数有2个极值点320π，1320π，故B 正确；当3ω=时，()sin(3)5f x x π=+，15x π=-代入，可得()sin(3())sin 0015155f πππ-=⨯-+==，即(,0)15π-为函数图象的一个对称中心，故C 正确；当(6)()f x f x π+=时，26T ππω= ，所以13ω ，故D 错误．故选：BC ．10．（5分）《国家学生体质健康标准》是国家学校教育工作的基础性指导文件和教育质量基本标准，它适用于全日制普通小学、初中、普通高中、中等职业学校、普通高等学校的学生．某高校组织4000名大一新生进行体质健康测试，现抽查200名大一新生的体测成绩，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)，[90，95)，[95，100)．则下列说法正确的是()A ．估计该样本的众数是87.5B ．估计该样本的均值是80C ．估计该样本的中位数是86D ．若测试成绩达到85分方可参加评奖，则有资格参加评奖的大一新生约为2200人【解答】解：由频率分布直方图可得，最高小矩形为[85，90)，所以可估计该样本的众数是859087.52+=，故A 正确；由频率分布直方图，可估计该样本的均值是0.020572.50.030577.50.040582.50.050587.50.035592.50.025597.585.625⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故B 错误；由频率分布直方图可得，成绩在[70，85)之间的频率为0.02050.03050.04050.45⨯+⨯+⨯=，在[70，90)之间的频率为0.02050.03050.04050.05050.7⨯+⨯+⨯+⨯=，所以可估计该样本的中位数在[85，90)内，设中位数为x ，则由850.450.250.59085x -+⨯=-可得，86x =，故C 正确；由频率分布直方图可得，测试成绩达到8（5分）的频率为0.05050.03550.02550.55⨯+⨯+⨯=，所以可估计有资格参加评奖的大一新生约为40000.552200⨯=人，故D 正确．故选：ACD ．11．（5分）如图，ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，且122AD DC CB AB ====，1AA ，1BB ，1CC ，1DD 均垂直于平面ABCD ．11112DD BB CC AA ==-=，则以下结论正确的是()A ．11190A DB ∠=︒B ．111A BC ∠有可能等于90︒C ．111D A B ∠最大值为60︒D ．123AA =时，点1A ，1B ，1C ，1D 共面【解答】解：对于A ，过D 作DE AB ⊥，连接DB ，11D B ，因为ABCD 为等腰梯形，且2AB CD =，2CD =，所以1AE =，则DE =，在Rt DEB ∆中，BD =所以222AB AD BD =+，则BD AD ⊥，由1DD ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以1DD BD ⊥，又1DD AD D = ，1DD ⊂平面11A ADD ，AD ⊂平面11A ADD ，所以BD ⊥平面11A ADD ，又11A D ⊂平面11A ADD ，所以11BD A D ⊥．因为1BB ⊥平面ABCD ，1DD ⊥平面ABCD ，所以11//BB DD ，又因为11BB DD =，所以四边形11BB D D 为矩形，所以11//DB D B ，则1111B D A D ⊥，所以11190A D B ∠=︒，故选项A 正确；对于B ，过点1A 分别作11A Q CC ⊥，11A F BB ⊥，过点1B 作11B P CC ⊥，连接AC ，由选项A 的分析可知：AC BD ==因为1AA ⊥平面ABCD ，1BB ⊥平面ABCD ，1CC ⊥平面ABCD ，1DD ⊥平面ABCD ，且11112DD BB CC AA ==-=，所以1A Q AC ==12QC =，在Rt △11A QC 中，114AC ==，设1AA t =，则12CC t =+，1C P t =，所以11B C =，同理11A B =若11190A B C ∠=︒，则222111111AC A B B C =+，即2162424t t =-+，也即2240t t -+=，易知该方程无解，所以111A B C ∠不可能等于90︒，故选项B 错误；对于C ，过1A 作11A G DD ⊥，由题意可知：12D G t =-，则11A D ==，由选项B分析可得11A B =，由选项A的分析可得11B D BD ==，设111D A B α∠=，在△111D A B 中，由余弦定理可知：22221111111111cos 2A B A D B D A B A D α+-===⋅令2248(2)t t m m -+=，则cos α==，因为24m ，所以21203m <，则12<，所以1cos 12α< ，因为0180α︒<<︒，所以060α︒<︒ ，则111D A B ∠的最大值为60︒，故选项C 正确；对于选项D ，根据前面选项的分析可知：DE ，1DD ，DC 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，因为123AA =，122AD DC CB AB ====，11112DD BB CC AA ==-=，则1(0D ，0，2)，121,3A -，12)B ，18(0,2,3C ，则114(0,4,)3A B = ，122(0,2,3D C = ，所以11112A B D C = ，则1111//A B D C ，所以点1A ，1B ，1C ，1D 四点共面，故选项D 正确，故选：ACD ．12．（5分）已知正m 边形12m A A A ⋯，一质点M 从1A 点出发，每一步移动均为等可能的到达与其相邻两个顶点之一．经过n 次移动，记质点M 又回到1A 点的方式数共有n a 种，且其概率为n P ，则下列说法正确的是()A ．若3m =，则34a =B ．若4m =，则2122n n a -=C ．若6m =，则210k P -=，*k N ∈D ．若6m =，则61132P =【解答】解：对A 选项，若3m =时，如图，经3步从A 回到A ，仅有1231A A A A →→→，与1321A A A A →→→两种，所以32a =，故A 选项错误；对B 选项，若4m =时，如图，10a ∴=，22a =，121(A A A →→与141)A A A →→，设从3A 出发经过n 步到1A 的方法数为n b ，则222222222222n n n n n n aa b b b a ++=+⎧⎨=+⎩（先走两步回到1A 有2种，化归为2n a ，先走两步到3A 有2种，化归为2)n b ，2224n n a a +∴=，又22a =，∴1212242n n n a --=⋅=，故B 选项正确；对C 选项，若6m =时，显然走奇数步无法回到A ，故*210,k P k N -=∈，故C 选项正确；对D 选项，若6m =时，走6步共有6264=种走法（每一步顺时针或逆时针），A 出发回到A 有2种情形：①一个方向连续走6步，有2种；②2个方向各走3步，有3620C =种，620222a ∴=+=，∴622116432P ==，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中的横线上13．（5分）若抛物线以坐标轴为对称轴，原点为焦点，且焦点到准线的距离为2，则该抛物线的方程可以是24(1)y x =--．（只需填写满足条件的一个方程）【解答】解：焦点到准线的距离为2，∴①焦点为(1,0)，准线为1x =-的抛物线的标准方程为24y x =，将其向左平移一个单位，可得一条焦点为原点，焦点到准线的距离为2的抛物线，此时抛物线的方程为24(1)y x =+，②焦点为(1,0)-，准线为1x =的抛物线的标准方程为24y x =-，将其向右平移一个单位，可得一条焦点为原点，焦点到准线的距离为2的抛物线，此时抛物线的方程为24(1)y x =--，③焦点为(0,1)，准线为1y =-的抛物线的标准方程为24x y =，将其向下平移一个单位，可得一条焦点为原点，焦点到准线的距离为2的抛物线，此时抛物线的方程为24(1)x y =+，④焦点为(0,1)-，准线为1y =的抛物线的标准方程为24x y =-，将其向上平移一个单位，可得一条焦点为原点，焦点到准线的距离为2的抛物线，此时抛物线的方程为24(1)x y =--，故答案为：24(1)y x =--或24(1)y x =+或24(1)x y =+或24(1)x y =--（注意答案不唯一，其它满足要求的答案也可）14．（5分）正四面体ABCD棱长为2，E，F，G分别为AB，CD，AD的中点，过G作平面EFα⊥，则平面α截正四面体ABCD，所得截面的面积为1．【解答】解：分别取AC，BC，BD的中点H，G，M，连接GH，HM，MN，NG，EC，EF，ED，由题意可知：//NG CD且112NG CD==，又因为//MN CD且112MN CD==，所以//NG MN且NG MN=，所以四边形GHMN为平行四边形，因为//MH AB且112MH AB==，所以MH GH=，则平行四边形GHMN为菱形，因为ABCD为正四面体，所以三角形ABC是边长为2的正三角形，所以CE AB⊥且CE=，同理DE AB⊥且ED=又CE ED E=，CE，ED⊂平面ECD，所以AB⊥平面ECD，又因为CD⊂平面ECD，所以AB CD⊥，因为//MN CD，//MH AB，所以MN MH⊥，所以菱形GHMN为正方形．因为CE=，ED=F为CD的中点，所以EF CD⊥，因为//HG CD，所以EF HG⊥，同理EF HM⊥，HM HG H=，HM，HG⊂平面GHMN，所以EF⊥平面GHMN，所以过G作平面EFα⊥，则平面α截正四面体ABCD所得的图形即为正方形GHMN，所以截面面积为111S=⨯=，故答案为：1．15．（5分）由直线构成的集合{|M l l =的方程为222(1)1tx t y t +-=+，}t R ∈，若1{l ，2}l M ⊆，且12//l l ，则1l 与2l 之间的距离为2．【解答】解：当210t -=时，即1t =±，2:21l tx t =+，当1t =时，:1l x =，当1t =-时，:1l x =-，故1{l ，2}{1l x ==-，1}x M =⊆，此时12//l l ，1l 与2l 的距离为2，当210t -≠时，2222111t t y x t t +=-+--，又12//l l ，所以121222122211t t k k t t =-==---，且22121222121111t t b b t t ++=≠=--，所以2212211212(1)(1)()(1)0t t t t t t t t -=-⇒-+=，因为12t t ≠，所以121t t =-，且1l 过1(t ，1)，又直线222222:2(1)1l t x t y t +-=+，由两平行线间的距离公式，可得2222222(1)21t d t +==+．故答案为：2．16．（5分）函数()||cos f x x a x =-+在[0，]b 上的值域为3[1,2π-，则ba 的值为52．【解答】解：因为||0x a - ，cos 1x - ，所以当且仅当||0x a -=且cos 1x =-时()1f x =-，所以2a x k ππ==+，k N ∈，又3(0)||1[1,]2f a π=+∈-，所以a π=，所以()||cos f x x x π=-+，易知()f x 在(0,)π上单调递减，在(,)π+∞单调递增，所以当b π 时，()(0)1f x f π=+ ，不满足题意；当b π>时，因为3()2max f x π=，所以3()cos 2f b b b ππ=-+=，注意到53(22f ππ=，且()f x 在(,)π+∞单调递增，所以52b π=，所以52b a =．故答案为：52．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1=．（1）求B ；（2）若a c +=，ABC ∆内切圆的面积为π，求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）因为cos 3sin 1b C Ca c=+，cos sin 0b C C a c ∴--=，根据正弦定理可得：sin cos sin sin sin 0B C B C A C --=又A B C π++=，sin cos sin sin()sin 0B C B C B C C ∴+-+-=，∴sin cos sin sin 0B C B C C --=，又(0,)C π∈，sin 0C ∴>，∴cos 1B B -=，∴1sin(62B π-=，又(0,)B π∈，∴5(,666B πππ-∈-，∴66B ππ-=，∴3B π=；（2）ABC ∆ 内切圆的面积为π，所以内切圆半径1r =．由于11sin ()22ABC S ac B a b c r ∆==++，∴b =，①由余弦定理2222cos b ac ac B =+-得，22()3b a c ac =+-，2483b ac ∴=-，②联立①②可得223483(8)3b =-+，即2240b +-=，解得b =b =-，∴1()2ABC S a b c r =++⨯= ．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形且3ABC π∠=，4PB PA ==，PC =．（1）求PD 的值；（2）若BH BP λ=，是否存在λ，使得平面CDH ⊥平面PAB ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）取线段AB 的中点E ，连接CE 、PE ，因为四边形ABCD 是边长为2的菱形，则2BC =，1BE =，因为3ABC π∠=，由余弦定理可得2222cos 33CE BC BE BC BE π=+-⋅=，222BE CE BC ∴+=，所以BE CE ⊥，即CE AB ⊥，又PB PA = 且E 是AB 的中点，PE AB ∴⊥，PE CE E = ，PE 、CE ⊂平面PCE ，AB ∴⊥平面PCE ，PC ⊂ 平面PCE ，PC AB ∴⊥，//CD AB ，PC CD ∴⊥，PC =，∴PD ==；（2）过点C 在平面PCE 内作CM PE ⊥，垂足为点M ，因为AB ⊥平面PCE ，AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCE ，平面PAB ⋂平面PCE PE =，CM ⊂平面PCE ，CM PE ⊥，所以CM ⊥平面PAB ，过点M 作//HN AB ，分别交PA 、PB 于点N 、H ，因为//CD AB ，则//HN CD ，所以C 、D 、N 、H 四点共面，因为CM ⊂平面CDNH ，所以平面CDNH ⊥平面PAB ，因为4PA PB ==，1AE =，PE AB ⊥，则PE ==，因为CE =，PC =，由余弦定理可得222cos 22PC CE PE PCE PC CE +-∠==-⋅，所以sin PCE ∠=，11sin 22PCE S PC CE PCE CM PE ∆=⋅∠=⋅，所以sin PC CE PCE CM PE ⋅∠==，∴2155EM ==，因为//HN AB ，所以，25BH EM BP PE λ===．19．（12分）已知正项数列{}n a ，12a =，21122n n nn n a a a na na ++=-+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知n n n c a b =⋅，其中*24,21()4,2n n n k b k N n n k-=-⎧=∈⎨-=⎩，{}n c 的前n 项和为n T ，求2n T ．【解答】解：（1）由21122n n nn n a a a na na ++=-+可得：1(2)()0n n n a a a n +-+=，则12n n a a +=，又12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以1222n n n a -=⨯=．（2）由（1）可得：1(2)2,21(*)(4)2,2n n n n nn n k c a b k N n n k+⎧-⋅=-==∈⎨-⋅=⎩，所以22112221(42)2(212)22n n n n n c c n n -+-+=-⋅+--⋅=，22231222223(422)2(232)22n n n n n c c n n --+---+=-+⋅+--⋅=，则22122234n n n n c c c c ---+=+，又因为222122222c c +=-+⨯=，所以2123456212()()()()n n n T c c c c c c c c -=++++++++ ，则21246222(14)442222143n n nn T +--=++++==- ，所以12443n n T +-=．20．（12分）中国共产党第二十次全国代表大会报告指出：坚持精准治污、科学治污、依法治污，持续深入打好蓝天、碧水、净土保卫战，加强污染物协同控制，基本消除重污染天气、每年的《中国生态环境状态公报》都会公布全国339个地级及以上城市空气质量检测报告，以下是20172021-五年339个城市空气质量平均优良天数占比统计表．年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代码i x 12345百分比iy 7879.3828787.5并计算得：52134321.74ii y ==∑，511268.1i i i x y ==∑．（1）求2017年2021-年年份代码与339个城市空气质量平均优良天数的百分比的样本相关系数（精确到0.01)；（2）请用相关系数说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y 关于x 的回归直线方程（精确到0.01)和预测2022年(6)x =的空气质量优良天数的百分比；（3）试判断用所求回归方程是否可预测2026年(10)x =的空气质量优良天数的百分比，并说明理由．（回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：121()()ˆ()nii i nii xx y y bxx ==--=-∑∑，ˆˆ)ay bx =-附：相关系数()nii xx y y r --=∑，282.766849.22≈27.5≈．【解答】解：（1）根据表中数据可得：1234535x ++++==，7879.3828787.582.765y ++++==，∴5511()()i i i i i i i i x x y y x y xy x y xy ==--=--+∑∑5551115i i i i i i i x y x y y x xy====--+∑∑5151268.15382.7626.7i i i x y x y ==-⋅=-⨯⨯=∑，又521149162555i i x ==++++=∑，∴5522211(510i i i i x x x x ==-=-=∑∑．又5522211(534321.7456849.2275.64i i i i y y y y ==-=-≈-⨯=∑∑，∴5()()26.70.9727.5ii xx y y r --=≈∑；（2）由（1）知，y 与x 的相关系数0.97r ≈接近1，y ∴与x 之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合． 51521()()26.7ˆ 2.6710()ii i ii xx y y bxx ==--===-∑∑，ˆ82.76 2.67374.75a=-⨯=，故回归直线方程为ˆ 2.6774.75yx =+，当6x =时，ˆ 2.67674.7590.77y=⨯+=，故2022年的空气质量优良天数的百分比为90.77%；（3）由（2）知，当10x =时，ˆ 2.671074.75101.45100y=⨯+=>，显然不合常理．其原因如下：根据该组数据的相关系0.97r ≈，是可以推断2017年2021-年间y 与x 两个变量正线性相关，且相关程度很强，由此来估计2022年的空气质量优良天数的百分比有一定的依据．但由于经验回归方程的时效性，随着国家对生态环境的治理，空气质量优良天数的百分比增加幅度会变缓，且都会小于1，故用该回归直线方程去预测今后几年的空气优良天数会误差较大，甚至出现不合情理的数据．21．（12分）如图，椭圆2214x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，点0(P x ，0)y 是第一象限内椭圆上的一点，经过三点P ，1F ，2F 的圆与y 轴正半轴交于点1(0,)A y ，经过点(3,0)B 且与x 轴垂直的直线l 与直线AP 交于点Q ．（1）求证：011y y =；（2）试问：x 轴上是否存在不同于点B 的定点M ，满足当直线MP ，MQ 的斜率存在时，两斜率之积为定值？若存在定点M ，求出点M的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）证明：由椭圆的方程可得1(F ，0)，2F 0)，由题意可得经过三点P ，1F ，2F 的圆的圆心在y 轴上，设圆心为(0,)t ，由P 在椭圆上，所以220014x y +=，设圆的方程为222()x y t r +-=，则2222203()t r x y t r ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，整理可得2222200000000344313222x y y y y t y y y +--+--===，所以圆的方程为22230x y ty +--=，即222001330y x y y y -+--=，令0x =，可得22001330y y y y ---=，即2001(3)30y y y y +--=，解得03y y =-或01y y =，因为10y >，可得01y y =，即证得101y y =；（2）假设存在(,0)M m ，且3m ≠满足条件，由（1）可得01(0,A y ，因为A ，P ，Q 三点共线，所以00113Q y y y y x --=，可得200003(1)Q y x y x y -+=，则2002000000003(1)3(1)3()(3)MP MQy x y x y y x k k x m m x x m m -+-+⋅=⋅=----，而220014x y -=-，所以200000033144()(3)()(3)MP MQx x x k k x x m m x m m -+-+⋅==----，要使MP MQ k k ⋅为定值，需满足3143(3)m m m -=---，整理可得：43m =，即43m =时，MP MQ k k ⋅为定值920-．22．（12分）若函数()f x ，()g x 的图象与直线x m =分别交于A ，B 两点，与直线x n =分别交于C ，D 两点()m n <，且直线AC ，BD 的斜率互为相反数，则称()f x ，()g x 为“(,)m n 相关函数”．（1）()f x ，()g x 均为定义域上的单调递增函数，证明：不存在实数m ，n ，使得()f x ，()g x 为“(,)m n 相关函数”；（2）()ax f x e =，2()g x ax =，若存在实数0mn >，使得()f x ，()g x 为“(,)m n 相关函数”，且||||AB CD =，求实数a 的取值范围．【解答】证明：（1）设(A m ，())f m ，(C n ，())f n ．由()f x 单调递增，则()()f n f m >．则()()0AC f n f m k n m-=>-．同理可得，0BD k >．所以直线AC ，BD 的斜率均为正数，不可能互为相反数．即不存在实数m ，n ，使得()f x ，()g x 为“(,)m n 相关函数”．解：（2）情况一：当0a =时，()1f x =，()0g x =，若||1m n -=，则存在实数0mn >，使得()f x ，()g x 为“(,)m n 相关函数”，且||||AB CD =；情况二：当0a ≠时，因为()f x ，()g x 为“(,)m n 相关函数”，所以有()()()()f n g n f m g m +=+．因为||||AB CD =，所以有()()()()f n g n f m g m -=-或()()()()f n g n f m g m -=-+．①联立()()()()()()()()f n g n f m g m f n g n f m g m +=+⎧⎨-=-⎩，可得()()()()f m f n g m g n =⎧⎨=⎩，所以0a =，则有()1f x =，()0g x =，此时有0AC BD k k ==，满足题意；②联立()()()()()()()()f n g n f m g m f n g n f m g m +=+⎧⎨-=-+⎩，可得()()()()f m g n g m f n =⎧⎨=⎩．因为0mn >，所以方程组22am an e an e am⎧=⎨=⎩，则0a >．当m ，0n >时，因为ax e ，2ax 均为[0，)+∞上的单调递增函数，由（1）知不存在实数m ，n ，使得()f x ，()g x 为“(,)m n 相关函数”，所以0m n <<，则由22am an e an e am ⎧=⎨=⎩，可得22()am n lna ln m n a ⎧⎪=⎪⎨⎪+-=⎪⎩，可得22()am lna ln m +-=，所以22()0amlna ln m +-+=，同理可得22()0anlna ln n ae+-+=．则22()0axlna ln x +-+=在(,0)-∞上存在两个不同的实数根．(*)记2()2()(0)axh x lna ln x x =+-+<，则2()h x x '==记2()4axp x =+，则2()(1)2ax ax p x e '=+，解()0p x '=，可得2x a=-．解()0p x '>，可得20x a -<<，所以()h x '在2(,0)a-上单调递增；解()0p x '<，可得2x a <-，所以()h x '在2(,)a-∞-上单调递减．所以()p x 在2x a =-处取得极小值2()222(44a a p e a a --=-+=+．（ⅰ）当204a e <时，2()(40p x p a e-=-+ ，此时有()0h x ' ，即()h x 在(,0)-∞单调递减．又(0h >，(220e e h e e --=-+<-+，则根据零点存在定理可得，存在唯一0(ex -∈，使得0()0h x =，即22()0axlna ln x +-+=有唯一负根0x ，不符合(*)式；（ⅱ）当24a e >时，2()40p a -=<．因为(0)0p >，且22lna a a -<-，有2(44(10lna p a -==>，根据零点存在定理可得，122(,)lna x a a ∃∈--，使得1()0p x =；22(,0)x a ∃∈-，使得2()0p x =，所以当1(,)x x ∈-∞时，有()0p x >，此时()0h x '<，()h x 在1(,)x -∞上单调递减；当1(x x ∈，2)x 时，有()0p x <，此时()0h x '>，()h x 在1(x ，2)x 上单调递增；当2(x x ∈，0)时，有()0p x >，此时()0h x '<，()h x 在2(x ，0)上单调递减．122()24h lna ln lna ln a a --=++=-+，令()4t a lna ln e=-++，24a e >，则1()t a a '=-=，因为24a e >2e >，所以t '（a ）0>，所以t （a ）在2(4e ，)+∞上单调递增，所以22()(4)(4)40t a t e ln e ln >=-+=，所以2()0h a ->，所以22()()0h x h a>->．根据零点存在定理可知，2(n x ∃∈，0)，使得()0h n =．取2anm n=<，即有()()0h m h n ==，符合题意．综上所述，a 的取值范围是2(4e ，){0}+∞ ．。

2024届山西省高考一模数学试题(解析版)

数学姓名__________准考证号__________注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm 的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()()1,1,1,1a m b m =+=-，且a b ⊥，则m =（）A.1B.1- C. D.0【答案】D 【解析】【分析】利用平面向量数量积的坐标表示计算即可.【详解】由题意知()()21110a b m m m ⋅=+⨯-+== ，所以0m =.故选：D2.已知集合{}{}1,1,0,1,2,4A B =≤=-，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{}1 B.{}1,1- C.{}0,1 D.{}1,0,1-【答案】C 【解析】【分析】先求得集合A ,根据图示计算出A B ⋂即可.【详解】结合题意图中阴影部分表示的集合为A B ⋂，因为{}1A x=≤，根据幂函数的性质：y =为增函数，且0x ≥，1≤，所以有：01x ≤≤，所以{}|01A x x =≤≤，又{}1,0,1,2,4B =-，所以{}0,1A B = .故选：C3.设命题:R,x p x a kx ∃∈>，则p ⌝为（）A.R,x x a kx ∀∈>B.R,x x a kx ∃∈≤C.R,x x a kx ∀∈≤D.R,x x a kx∃∈=【答案】C 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定形式判定即可.【详解】由题意可知:R,x p x a kx ⌝∀∈≤.故选：C4.某学校高三年级组在每次考试后将全年级数学成绩的第85百分位数定为“优秀”分数线.某次考试后，张老师将自己所带100名学生的数学成绩录入计算机，并借助统计软件制作成如图所示的频率分布直方图.据此，以样本估计总体，可知此次考试的“优秀”分数线约为（）A.120B.123C.126D.129【答案】D 【解析】【分析】根据频率分布直方图，求出张老师将自己所带100名学生的数学成绩第85百分位数，以样本估计总体，即可求解.【详解】样本中[)120,135，[)135,150两个小组的频率分别为1150.2075´=，7150.071500´=，由于0.200.070.270.15+=>，故第85百分位数位于[)120,135内，设其为x ，则()10.071350.1575x +-=，解得129x =，由样本估计总体，可知此次考试的“优秀”分数线约为129.故选：D5.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，经过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，若223,4,5AF AB BF ===，则椭圆C 的离心率为（）A.22B.33C.12D.55【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆定义求出2a ，根据2ABF △边长确定290BAF ∠=︒，进而求出2c ，即可求解椭圆离心率.【详解】由题意结合椭圆定义可知：2ABF △的周长为124a =，26a =，又因为2222291625AF AB BF +=+==，所以290BAF ∠=︒，又由23AF =，知1223AF a AF =-=，故1212c F F ===，因此椭圆C 的离心率为2262c e a ===.故选：A6.已知数列{}n a 满足1121n n n n a a a a ++=--，且13a =，则2024a =（）A.15B.4- C.54D.23【答案】B 【解析】【分析】由递推公式列举数列的若干项，观察规律，利用数列的周期性计算即可.【详解】由题意可知22232314a a a =--⇒=-，同理312a =-，45678125,,,3,4534a a a a a =====- ，即{}n a 是以6为周期的数列，所以20246337224a a a ⨯+===-.故选：B7.已知函数()f x 是定义在{}0xx ≠∣上不恒为零的函数，若()()()22f x f y f xy yx=+，则（）A.()11f =B.()11f -=C.()f x 为偶函数 D.()f x 为奇函数【答案】C 【解析】【分析】根据题意，令x 、y 取特殊值逐一验证四个选项即可.【详解】令1x y ==，则()()121f f =，故()10f =，A 选项错误；令1x y ==-，则()()121f f =-，故()10f -=，B 选项错误；令1y =-，则()()()()21f f x f x f x x--=+=，故()f x 为偶函数，C 选项正确；因为()f x 为偶函数，又函数()f x 是定义在{}0xx ≠∣上不恒为零的函数，D 选项错误.故选：C8.如图，在体积为1的三棱锥A BCD -的侧棱,,AB AC AD 上分别取点,,E F G ，使::1:1,:2:1AE EB AF FC AG GD ===，记O 为平面BCG ､平面CDE ､平面DBF 的交点，则三棱锥O BCD -的体积等于（）A.14B.15C.16D.17【答案】B 【解析】【分析】先画出图形确定O 的位置，将三棱锥O BCD -的体积，转化为线段的长度比，充分利用直线的平行进行推导，求出比例即可．【详解】如图所示，假设,ED BG J CG DF I == ，连接,BI CJ ，易知BI CJ O = ，在ABD △中，设,GJ GB EJ ED λμ==，所以()2221333AJ AG GJ AD AB AD AB AD λλλ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，()1111222AJ AE ED AB AD AB AB AD μμμμ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭，则()()1112421132λμλλμμ⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-==⎪⎪⎩⎩，即14GJ GB =，同理14GI GC =，则1445JI BO BC BI =⇒=，设,,,O I G A 到底面的距离分别为,,,O I G A h h h h ，则4311,,5435O G O I I G A A h h h h h h h h ===⇒=，所以15O BCD O A BCD A V h V h --==.故选：B【点睛】思路点睛：先根据平面性质确定交点位置，再由平面向量的线性运算计算线段比例关系得出棱锥高的比例关系即可.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数13i,z z =-+是z 的共轭复数，则（）A.32i z +-=B.z 的虚部是3iC.z 在复平面内对应的点位于第二象限D.复数z 是方程2280x x ++=的一个根【答案】AC 【解析】【分析】利用复数的定义、模长公式、几何意义、共轭复数定义与方程的解法一一判定选项即可.【详解】由题意可知32i 2i z +-=+，所以32i z +-=，故A 正确；易知z 的虚部是3，故B 错误；z 在复平面内对应的点为()1,3-，位于第二象限，故C 正确；对于2228012x x x -±++=⇒==-±，显然13i z =--不符合题意，故D 错误.故选：AC10.已知函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则（）A.当12ω=时，函数()f x 的周期为4πB.函数()f x 图象的对称轴是ππ,6k x k ωω=+∈Z C.当12ω=时，5π3x =是函数()f x 的一个最大值点D.函数()f x 在区间()0,1内不单调，则5π6ω>【答案】ACD 【解析】【分析】由正弦函数的周期，对称性及最大值判断ABC ，由导函数等于0有解判断D.【详解】对A ，当12ω=时，函数()f x 的周期为2π4πω=，故A 正确；对B ，令πππ32x k ω-=+，得5ππ,6k x k ωω=+∈Z ，故函数()f x 图象的对称轴是5ππ,6k x k ωω=+∈Z ，故B 错误；对C ，当12ω=时，()1π5πsin ,1233f x x f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为最大值，故5π3x =是函数()f x 的一个最大值点，故C 正确；对D ，函数()f x 在区间()0,1内不单调，则()πcos 03f x x ωω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭'在()0,1有解，且左右函数值异号，令πππ,333t x ωω⎛⎫=-∈-- ⎪⎝⎭，则2ππ3ω->，解得5π6ω>，故D 正确.故选：ACD.11.群的概念由法国天才数学家伽罗瓦（1811-1832）在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学､晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设G 是一个非空集合，“ ”是一个适用于G 中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称G 对“ ”构成一个群：（1）封闭性，即若,a b G ∈，则存在唯一确定的c G ∈，使得c a b = ；（2）结合律成立，即对G 中任意元素,,a b c 都有()()a b c a b c = ；（3）单位元存在，即存在e G ∈，对任意a G ∈，满足a e e a a == ，则e 称为单位元；（4）逆元存在，即任意a G ∈，存在b G ∈，使得a b b a e == ，则称a 与b 互为逆元，b 记作1a -.一般地，a b 可简记作,ab a a 可简记作22,a a a 可简记作3a ，以此类推.正八边形ABCDEFGH 的中心为O .以e 表示恒等变换，即不对正八边形作任何变换；以r 表示以点O 为中心，将正八边形逆时针旋转π4的旋转变换；以m 表示以OA 所在直线为轴，将正八边形进行轴对称变换.定义运算“ ”表示复合变换，即f g 表示将正八边形先进行g 变换再进行f 变换的变换.以形如(,pqr m p q ∈N ，并规定)00r m e ==的变换为元素，可组成集合G ，则G 对运算“ ”可构成群，称之为“正八边形的对称变换群”，记作8D .则以下关于8D 及其元素的说法中，正确的有（）A.28mr D ∈，且22mr r m =B.3r m 与5r m 互为逆元C.8D 中有无穷多个元素D.8D 中至少存在三个不同的元素，它们的逆元都是其本身【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，对选项逐一运算可得结果.【详解】我们有：1 由于两次轴对称等价与不变换，故2m e =；由于旋转45 施行8次等价于旋转360 也就是不变，故8r e =；由于先旋转再关于OA 对称和先关于OA 对称再旋转等效，故rm mr =.2 8D 一共是16个元素，变换后ABCDEFGH 逆时针排列的有8个，顺时针排列的有8个.这就说明：22mr r m =，A 正确；()()353528r m r m r r mr e ===，B 正确；8D 一共是16个元素，C 错误；8D 中，()()()22484428,,m e r r e mr mr m r e =====，D 正确.故选：ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若一个底面半径为1，高为2的圆柱的两个底面的圆周都在球O 的表面上，则球O 的表面积为__________．【答案】8π【解析】【分析】画出组合体的轴截面图，根据轴截面图可知，利用勾股定理可计算出球的半径，进而求得球的表面积.【详解】画出组合体的轴截面图如下图所示，其中BC 是球的半径，AB 是圆柱底面半径，AC 是圆柱高的一半，故222112BC AC AB =+=+=，所以球的表面积为24π8πBC ⋅=.【点睛】本小题主要考查球的表面积计算，考查圆柱和球的组合体问题的求解方法，属于基础题.13.甲､乙､丙､丁､戊､己六位同学中考语文､数学､外语的成绩如下表：甲乙丙丁戊己语文108110115110118107数学110120112111100118外语110100112114110113将每人中考成绩最高的科目认定为他的“最擅长科目”，例如甲的最擅长科目为数学和外语.现从这六位同学中选出三人分别担任语文､数学､外语三个科目的科代表（每科一人，不可兼任），若每个科代表对应的科目都是他的最擅长科目，则符合要求的安排方法共有__________种.【答案】10【解析】【分析】由表格先确定六人各自擅长科目，再分类讨论即可.【详解】由表格可知：甲最擅长科目为数学和外语，乙为数学，丙为语文，丁为外语，戊为语文，己为数学.则语文可从丙、戊两位同学选，数学可从甲乙己三位同学选，外语可从甲丁两位同学选，C C4=种选法；若甲不为课代表，则只需选语文、数学科目代表即可，有1122C2=选法；若甲为课代表，则①甲为数学课代表，只需选语文课代表即可，有12C C4=种选法；②甲为外语课代表，只需选语文、数学课代表即可，有有1122综上所述，共有10种方案.故答案为：1014.已知()()1122,,,A x y B x y 为抛物线28y x =上两个不同的动点，且满足1216y y =-，则112222x y x y +++++的最小值为__________.【答案】6【解析】【分析】根据点A 、B 在抛物线上，化112222x y x y +++++为22121248y y y y ++++，设出直线AB 方程，利用韦达定理化简22121248y y y y ++++得到一元二次函数，即可求出最小值.【详解】由()11,A x y 在抛物线28y x =上可知：2118y x =，所以()2211111422088y y x y y +++=++=≥；同理可得：222222208y x y y ++=++≥，故22121122122248y y x y x y y y ++++++=+++①，设直线AB 方程为x my n =+，直线与抛物线联立，有：28x my ny x=+⎧⎨=⎩消去x 整理有：2880y my n --=，由韦达定理有：128y y m +=，又1216y y =-，故①式化为：221888862m m m ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，故：112222x y x y +++++的最小值为6.故答案为：6【点睛】关键点点睛：要求112222x y x y +++++的最小值，关键在于结合点在曲线上，化112222x y x y +++++为22121248y y y y ++++，再利用韦达定理进一步化简成一元二次函数求最值.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.ABC 中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其面积为S ，且2224S b c a =+-.（1）求A ；（2）已知a =S 的取值范围.【答案】（1）π4A =（2）02S <≤+【解析】【分析】（1）根据面积公式以及余弦定理即可求解tan 1A =，进而可求解π4A =，（2）根据余弦定理结合不等式即可求解.【小问1详解】因为三角形的面积为222441sin 2bc A S b c a ==+-⨯，则222sin cos 2b c a A A bc+-==，所以tan 1A =，又(0,π)A ∈，则π4A =；【小问2详解】由于2222cos 22b c a A bc +-==，所以22828b c bc +-=≥-，即(288bc bc -≤⇒≤+b c =取等号，故(11212sin 8222222S bc A ==⨯≤⨯+=，故02S <≤+16.如图，在三棱台111ABC A B C -中，平面11ABB A ⊥平面11111π,,4,2,2AB C BB AB AB AA AB BAC ∠⊥====.（1）证明：AC ⊥平面11ABB A ；（2）若直线BC 与11B C 距离为3，求平面11ABB A 与平面11BCC B 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得线线垂直，进而可求，（2）根据线面垂直的性质，结合平面夹角的几何法，即可求解1AB C ∠即为平面11ABB A 与平面11BCC B 所成角或其补角，根据三角形的边角关系求解长度即可求解.【小问1详解】由于平面11ABB A ⊥平面1,AB C 且交线为1AB ,又111,BB AB BB ⊥⊂平面11ABB A ，所以1BB ⊥平面1,AB C AC ⊂平面1,AB C 故1BB AC ⊥，又11,,,AB AC AB BB B AB BB ⊥⋂=⊂平面11ABB A ,故AC ⊥平面11ABB A 【小问2详解】由（1）知1BB ⊥平面1,AB C 1CB ⊂平面1,AB C 故1BB ⊥1CB ，又11,BB AB ⊥1AB ⊂平面11ABB A ,1CB ⊂平面11BCC B ,所以1AB C ∠即为平面11ABB A 与平面11BCC B 所成角或其补角，过1B 作1B D BC ⊥于D ,由于直线BC 与11B C 距离为3，故13B D =，由于111,4,2BB AB AB AB ⊥==，故1BB ==在直角三角形1BB D中，111sin 2B D DBB BB ∠==,故1π3DBB ∠=，故在直角三角形1BB C中，111tan 6B C BB DBB =∠==，（1）知AC ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A 故1AB AC ⊥，所以1Rt AB C △中，11121cos 63B A ABC CB ∠===17.某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军.比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分，比赛没有平局；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束.已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为12.（1）求甲乙决出冠军时比赛局数X 的分布列与数学期望()E X ；（2）求在甲获得冠军的条件下其积分达到11分的概率P .【答案】（1）分布列见解析；()238E X =（2）18【解析】【分析】（1）根据比赛规则，分析比赛可能出现的各种情况，确定X 的取值，进而求出X 的分布列与数学期望；（2）根据条件概率公式求出()()()()()P BC P BC P BC P BC P BC +++即可.【小问1详解】由比赛规则可知，1局比赛后，甲乙双方共获得4分，若比赛进行了4局还未结束，则双方共计16分，此时双方均为8分，则第5局比赛后必定有一人积分可达到11分，故比赛次数不会超过5；由比赛规则可知，若比赛共进行了n 局，()25n ≤≤，则前n 1-局不可能出现某人连胜2次（否则2连胜后比赛结束），故前n 1-局必定甲乙二人胜负交替，综上可知：比赛决出冠军时，二人比赛过程中的胜负情况有以下三种可能：第一，比赛进行n 局()24n ≤≤，前n 1-局二人胜负交替，第n 局与第n 1-局胜者相同，此人达成2连胜并获得冠军（其积分不超过33110⨯+=，故未达11分）；第二，比赛进行了5局，二人始终胜负交替，其中第5局获胜者获得11分，另一方9分，此时获胜者仅积分率先达到11分并获得冠军；第三，比赛进行了5局，前4局二人胜负交替，但第4局的获胜者在第5局连续获胜，则他同时完成2连胜且积分率先达到11分并获得冠军.即随机事件=i A “第i 局比赛中甲获胜”{}1,2,3,4,5i ∈，B =“甲达成2连胜”，C =“甲先获得11积分”；根据题意，X 的可能取值为2,3,4,5()()()2212121112222P X P A A P A A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()331231231113224P X P A A P A A A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()44123412341114228P X P A A A A P A A A A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()11115123412488P X P X P X P X ==-=-=-==---=.于是X 的分布列为：X2345P12141818故()111123234524888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】根据以上分析可知：()()()()234121231234111722216P BC P A A P A A P A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()51234511232P BC P A A A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()()51234511232P BC P A A A A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故()()()()()()()()()1113232|7118163232P BC P BC P C P P C B C P B C P BC P BC P BC ++=⋃===⋃++++.18.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>经过点()3,2A ，其右焦点为F ，且直线2y x =是C 的一条渐近线.（1）求C 的标准方程；（2）设(),M m n 是C 上任意一点，直线22:1mx nyl a b -=.证明：l 与双曲线C 相切于点M ；（3）设直线PT 与C 相切于点T ，且0FP FT ⋅=，证明：点P 在定直线上.【答案】（1）221832x y -=（2）证明过程见解析（3）证明过程见解析【解析】【分析】（1）由题意得229412a bb a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解出,a b 的值即可；（2）一方面(),M m n 是C 上任意一点，从而可得出它也在直线22:1mx nyl a b -=上面，联立椭圆方程，消元后得到一个一元二次方程，证明判别式等于0即可；（3）由（2）中结论，设出点的坐标，可得432nq mp =-，由向量数量积公式化简得-=-0-≠即可得证.【小问1详解】因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>经过点()3,2A ，且直线2y x =是C 的一条渐近线，所以229412a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得228,32a b ==，所以C 的标准方程为221832x y -=；【小问2详解】首先设(),M m n 是C 上任意一点，所以有222222221832m n m n m n m n a b a b ⋅-⋅=-=-=，这表明了点(),M m n 也在直线l 上，也可以得到22432m n -=，联立直线l 的方程与椭圆C 的方程有2218321832x y mx ny ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，化简并整理得()222246425680n mxmx n -+--=，而224320n m -=-≠，且()()()()2222222Δ6444832643240m n mnm m =+-⨯+=-⨯=，这也就是说l 与双曲线C 相切于点M ；【小问3详解】不妨设()(),,,T m n P p q ，由（2）可知过点T 的直线PT 的方程为1832mx ny -=，因为点(),P p q 在直线1832mx ny -=上，所以1832mp nq-=，即有432nq mp =-，又2240a b +=，从而()F ，所以()(),FP p q FT m n =-=-，若0FP FT ⋅=，则()40432FP FT p m qn pm p m pm ⋅=--+=-+++-)580pm p m =-++=，-=-，因为m a ≥=2105m ≠=0-≠，从而5p ==，所以点P 在定直线上2105x =上.19.已知0a >，且1a ≠，函数()()ln 11xf x a x =++-.（1）记()()ln 1,n n a f n n n S =-++为数列{}n a 的前n 项和.证明：当89a =时，642024S <；（2）若1ea =，证明：()0xf x ≥；（3）若()f x 有3个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）直接利用等差数列、等比数列的求和公式计算即可；（2）利用导数研究()e 1xx -+的单调性与最值判定()f x 的单调性即可证明；（3）分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理及极限思想计算即可.【小问1详解】由题意可知89a =时，()()88ln 11ln 1199n nn a n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--++=+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以()64126644881998880126412016899919S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++++++-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- 6484202920428⎛⎫=⎪⎭<-⨯ ⎝；【小问2详解】易知1e a =时，()()()()()()e 1111ln 111e 1e e 1xx x x x f x x f x x x x +'=++-⇒=--=>-++，令()()()()1e 1e 1xxg g x x x x '=->⇒=+--，显然()1,0x ∈-时，()()0,0,g x x '<∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()()()000g x g f x '≥=⇒≥，所以()f x 在()1,-+∞上单调递增，又()00f =，所以()1,0x ∈-时，()()0,0,f x x <∈+∞时，()0f x >，故()0xf x ≥；【小问3详解】①若1a >，易知()f x 定义域上为单调递增函数，不会有三个零点，不符题意；②若1,1e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则()1,0x ∈-时，1e x x a <，x ∈()0,∞+时，1exx a >，由（2）可知：()1,0x ∈-时，()()1ln 110e xf x x <++-<，()0,x ∈+∞时，()()1ln 110ex f x x >++->，且()00f =，则函数()f x 只有一个零点，不符题意；③由（2）知，1ea =时，()f x 在()1,-+∞上单调递增，也不符题意；④若10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()()()1111ln 111ln 11xxx x a a a f x x x x a a -⎛⎫⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=+=>-+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()()(),l 1111111e 1n ,ln x xh x x x a a a a a h x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+>>- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭'-⇒⎭⎝-⎝⎝⎭=，显然()1,0x ∈-时，()()0,0,h x x ∞<∈+'时，()0h x '>，即()h x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，注意到()()10,01ln 0h a h a -=>=+<，(),0x h x →+∞>，所以()()121,0,0,x x ∃∈-∈+∞使得()()120h x h x ==，即()f x 在()11,x -和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，又1x →-时，()f x →-∞，()()()1200f x f f x >=>，(),0x f x →+∞>，所以在区间()()121,,,x x -+∞各存在一个零点，及0x =也是一个零点，符合题意；综上10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.【点睛】思路点睛：对于第三问，先讨论1a >，此时函数单调递增，排除；结合（2）再讨论1,ea 的大小关系，首先注意到1,1e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由1,ex x a 的大小关系及（2）的结论放缩下从而确定不符题意，再利用隐零点及零点存在性定理、极限思想来确定10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时符合题意即可.。

高三数学一模试卷答案

一、选择题1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3B. 2C. -2D. 1答案：C解析：绝对值表示数与0的距离，因此绝对值最小的数是离0最近的数，即-2。

2. 已知函数f(x) = 2x + 3，若f(x)的图像上存在两点A和B，且AB的斜率为2，则AB的中点坐标是（）A. (1, 5)B. (2, 5)C. (3, 5)D. (4, 5)答案：B解析：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则根据斜率公式，有$$ \frac{y2 - y1}{x2 - x1} = 2 $$又因为f(x) = 2x + 3，所以$$ y1 = 2x1 + 3, \quad y2 = 2x2 + 3 $$代入斜率公式，得$$ \frac{2x2 + 3 - (2x1 + 3)}{x2 - x1} = 2 $$化简得$$ \frac{2(x2 - x1)}{x2 - x1} = 2 $$所以x2 - x1 = 1。

由于AB的中点坐标为$$ \left( \frac{x1 + x2}{2}, \frac{y1 + y2}{2} \right) $$代入x2 - x1 = 1，得$$ \left( \frac{x1 + x1 + 1}{2}, \frac{2x1 + 3 + 2x1 + 3}{2} \right) = (x1 + \frac{1}{2}, 2x1 + 3) $$因为x2 - x1 = 1，所以x1 = 1，代入得中点坐标为(2, 5)。

3. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，首项为a1，且S10 = 100，S20 = 200，则d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：由等差数列的前n项和公式$$ S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d] $$代入S10 = 100，得$$ 100 = \frac{10}{2} [2a_1 + 9d] $$化简得$$ 20a_1 + 90d = 100 $$同理，代入S20 = 200，得$$ 200 = \frac{20}{2} [2a_1 + 19d] $$化简得$$ 40a_1 + 190d = 200 $$解这个方程组，得$$ a_1 = 1, \quad d = 2 $$4. 下列函数中，在定义域内是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^4答案：C解析：奇函数满足f(-x) = -f(x)，代入选项C，得$$ f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x) $$因此C是奇函数。

高三第一次模拟考试卷数学

一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列函数中，在其定义域内是奇函数的是（）A. f(x) = x^2 + 1B. f(x) = x^3 - xC. f(x) = 1/xD. f(x) = x^2 - 2x + 12. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 2，f(-1) = 0，且f(x)的图像开口向上，则a的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 03. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则角A的正弦值是（）A. 3/5B. 4/5C. 5/3D. 3/44. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an = 2^n - 1，则数列{an}的第5项是（）A. 31B. 32C. 33D. 345. 下列不等式中，正确的是（）A. log2(3) > log2(2)B. log2(4) < log2(3)C. log2(9) > log2(8)D. log2(16) < log2(15)6. 已知复数z = 1 + i，则|z|^2 + |z|^3的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 67. 在极坐标系中，点P(2, π/6)对应的直角坐标是（）A. (√3, 1)B. (1, √3)C. (-√3, 1)D. (1, -√3)8. 已知函数f(x) = e^x + e^(-x)，则f(x)的图像关于（）A. x轴对称B. y轴对称C. 原点对称D. 直线y=x对称9. 下列各式中，表示二项式展开式的通项公式的是（）A. (a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + ... + C(n, n)b^nB. (a - b)^n = C(n, 0)a^n - C(n, 1)a^(n-1)b + ... - C(n, n)b^nC. (a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b^2 + ... + C(n, n)b^nD. (a - b)^n = C(n, 0)a^n - C(n, 1)a^(n-1)b^2 + ... - C(n, n)b^n10. 下列函数中，在区间(0, +∞)上单调递减的是（）A. f(x) = x^2 - 2x + 1B. f(x) = 2x - 1C. f(x) = 1/xD. f(x) = e^x二、填空题（每小题5分，共50分）11. 函数f(x) = (x - 1)/(x + 1)的对称轴方程是______。

2024年长沙市第一中学高考数学一模卷+答案解析

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则下列集合为空集的是( )备战2024高考—名师原创数学一模卷A.B. C. D.2.若复数z 满足，，则( )A. B.C.D.3.在中，若，，则( )A. B. C. D. 4.设是等比数列的前n 项和，若，，则的最小值为( )A. 1B.C.D.5.若过点可以作三条直线与曲线相切，则m 的取值范围为( )A.B.C.D. 6.已知函数的最小正周期为，且在上单调递减，在上单调递增，则实数m 的取值范围是( )A. B.C. D.7.已知，点P 为直线上的一点，点Q 为圆上的一点，则的最小值为( )A.B.C.D.8.已知直三棱柱的外接球表面积为S ，体积为V ，且，若，则V 的最大值为( )A. B. C. D. 4二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.如图，在正方体中，则( )A.平面 B. 与平面相交C. 平面D. 平面平面10.工厂生产某零件，其尺寸D服从正态分布单位：其中k由零件的材料决定，且当零件尺寸大于或小于时认为该零件不合格；零件尺寸大于且小于时认为该零件为优质零件；其余则认为是普通零件.已知当随机变量时，，，，则下列说法中正确的有( )A. k越大，预计生产出的优质品零件与不合格零件的概率之比越小B. k越大，预计生产出普通零件的概率越大C. 若，则生产200个零件约有9个零件不合格D. 若生产出优质零件、普通零件与不合格零件盈利分别为3a，2a，，则当时，每生产1000个零件预计盈利2580a11.已知抛物线的准线l的方程为，过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，以A，B为切点分别作C的两条切线，且两切线交于点M，则下列结论正确的是( )A. C的方程为B.C. M恒在l上，且MF恒为的高线D.12.设定义在R上的函数与的导函数分别为和，若，，若为奇函数，则A. B.C. ；D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三年级一模试卷数学

高三年级一模试卷数学一、选择题（每题5分，共40分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = xD. f(x) = x^42. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1 = 2，d = 3，那么a_5的值为：A. 14B. 17C. 20D. 233. 函数y = 2x - 1的图象与x轴交点的横坐标为：A. 0.5B. 1C. 0D. -0.54. 已知圆C的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，圆心C的坐标为：A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (3, 2)D. (-3, 2)5. 下列不等式中，解集为R的是：A. x^2 - 4x + 4 > 0B. x^2 - 4x + 4 < 0C. x^2 - 4x + 4 = 0D. x^2 - 4x + 4 ≤ 06. 已知集合A = {x | x^2 - 6x + 8 < 0}，集合B = {x | x > 3}，则A∩B的解集为：A. (2, 4)B. (4, +∞)C. (2, 3)D. (3, 4)7. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4在区间(1, 2)上是：A. 增函数B. 减函数C. 先减后增D. 先增后减8. 已知等比数列{a_n}的前三项依次为2，6，18，则其公比q为：A. 2B. 3C. 1/3D. 1/2二、填空题（每题5分，共30分）9. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 5，求f(1)的值为______。

10. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_3 = 9，S_6 = 24，则a_4 + a_5 + a_6的值为______。

11. 已知直线y = 2x + 3与y轴的交点坐标为______。

12. 已知圆x^2 + y^2 - 6x + 8y - 24 = 0的半径为______。