有限单元法
《弹性力学问题的有限单元法》
《弹性力学问题的有限单元法》弹性力学问题的有限单元法（FiniteElementMethod，简称FEM）是一种经典的多学科跨领域的计算方法，它用于估算连续体结构中非线性材料力学性能，如强度、刚度和破坏。
有限单元法已成为工程和材料科学中最重要的数值计算方法，可用于解决各种复杂多学科优化和设计问题。
有限单元法的基本思想是把复杂的连续体结构划分成许多小的、较容易处理的有限元素，而不是像一般的解析方法那样求取整体的解析解。
基于有限元素重要的性质，即小元素经过一系列的连接后就可以构成整个结构的模型，有限单元法的本质是数值分析，也就是根据模型的物理知识，选择有效的数值化方法，用数值计算的方法求解所要求的结果，从而使这些数值计算结果符合实际结构物理知识。
有限单元法是一种有效计算弹性力学问题的方法，它可以用来求解任意形状的结构问题，无论是有边界条件还是无边界条件，无论是线性或者非线性的形状变化，有限单元法都能够有效地应用。
其优势在于以节省计算时间和消耗的成本，在特殊的材料条件下，它可以比较快速地获得弹性力学问题的有效精确解。
其精度依赖于计算模型元素的类型、形状和几何尺寸等，因此通常需要调节元素的类型、形状和尺寸，以满足计算需要。
在计算机技术的发展下，有限单元法的计算能力越来越强大，可以对更多的复杂问题进行分析，可以更有效地解决工程设计中的实际问题。
由于计算机可以模拟各种变形和应力的变化，因此有限单元法可以为工程设计和材料研究提供更可靠的结果。
有限单元法在工程应用中的实际作用是显而易见的。
它不仅可以用来计算弹性结构中的材料力学特性，还可以分析复杂结构的动态响应。
此外，有限单元法还可以用来计算弹性结构中的表面张力、刚度，以及各种材料的裂缝扩展。
通过有限单元法的应用，可以获得有效的数值结果，从而提高设计效果和工程安全性。
因此，有限单元法对于材料科学和工程设计都具有重要价值，今后还将发挥更多的功能。
有限单元法是多学科跨学科的计算方法，它可以用来有效地分析复杂形状结构的力学特性，计算出精确的结果，从而提高工程设计的效果和安全性。
有限单元法名词解释
有限单元法名词解释
有限单元法（Finite Element Method）是一种数值计算方法，常用于工程领域，用于求解复杂的物理问题。
该方法将连续体分割为有限个小区域，即“单元”，并在每个单元内近似求解。
在有限单元法中，首先将待解问题建模为数学上的形式，选择适当的数学模型
和边界条件。
然后，将物理区域分割为有限个单元，每个单元内的数学形式由逼近函数表示。
每个单元的近似解通过如三角形和四边形等简单形状来表示。
通过解决每个单
元内的数学形式，得到整个物理区域的近似解。
这些单元共同构成了一个有限元模型。
有限单元法的优势在于可以处理各种形状、复杂的物理特性和非线性问题。
它
能够准确地描述材料、结构、流体等领域的行为，并能够提供与实际现象相匹配的数值结果。
此外，有限单元法还能够提供对问题的优化和灵活性，通过改变单元的大小和
形状，可以在所需精度和计算效率之间进行权衡。
总之，有限单元法是一种强大的数值计算方法，应用广泛于各个领域，因其可
靠性和灵活性而受到广泛的青睐。
它是工程分析和设计中不可或缺的工具，为我们解决复杂问题提供了有效的数值模拟手段。
有限单元法原理及应用
有限单元法原理及应用有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值分析方法，广泛应用于工程领域中结构力学、流体力学、热传导等问题的数值求解。
它的基本思想是将一个复杂的结构或物理现象分割成有限数量的简单单元，通过对单元的力学行为进行建模，最终得到整个系统的数值解。
本文将围绕有限单元法的原理及其在工程领域中的应用进行详细介绍。
有限单元法的原理。
有限单元法的原理基于力学原理和数学方法，其基本步骤包括，建立数学模型、离散化、单元划分、建立单元刚度矩阵和载荷向量、组装和求解方程、计算结果后处理等。
在建立数学模型时，需要根据实际问题选择合适的数学方程和边界条件，将问题转化为求解一组代数方程。
离散化是指将连续的物理问题划分成若干个小单元，每个单元内的物理行为可以用简单的数学方程描述。
单元划分是将整个结构或领域划分成若干个有限单元，通常采用三角形、四边形、四面体、六面体等几何形状。
建立单元刚度矩阵和载荷向量是对每个单元进行力学行为的建模，根据材料性质和几何形状计算单元的刚度矩阵和载荷向量。
组装和求解方程是将所有单元的刚度矩阵和载荷向量组装成整个系统的刚度矩阵和载荷向量，然后通过数值方法求解代数方程组。
最后，计算结果后处理是对数值解进行分析和可视化，评估结构的性能和稳定性。
有限单元法的应用。
有限单元法在工程领域中有着广泛的应用，包括结构力学、流体力学、热传导等方面。
在结构力学中，有限单元法可以用于分析和设计各种结构，如桥梁、建筑、机械零件等。
通过对结构的受力分析，可以评估结构的安全性和稳定性，指导工程设计和施工。
在流体力学中，有限单元法可以用于模拟流体的流动行为，如水力学、空气动力学等问题的数值模拟。
在热传导中，有限单元法可以用于分析材料的热传导性能，评估材料的热稳定性和散热效果。
总结。
有限单元法作为一种数值分析方法，在工程领域中有着重要的应用价值。
通过对结构、流体、热传导等问题的数值模拟，可以为工程设计和科学研究提供重要的参考和支持。
有限单元法基础
性体在各节点处的位移解。
3、单元分析---三角形单元
y
3.1 单元的结点位移和结点力向量
从离散化的网格中任取一个单元。三个结点 按反时针方向的顺序编号为：i, j, m。
结点坐标: (xi,yi) , (xj,yj) , (xm,ym) 结点位移: (ui,vi) , (uj,yj) , (um,vm) 共有6个自由度
单元位移插值函数： u(x, y) a1 a2 x a3 y
(3.1)
v(x, y) a4 a5x a6 y
插值函数的系数： a1 aiui a ju j amum / 2 A, a4 aivi a jv j amvm / 2 A,
a2 biui bju j bmum / 2 A, a5 bivi bjv j bmvm / 2 A,
um a1 a2 xm a3 ym , vm a4 a5 xm a6 ym ,
求解以上方程组得到以节点位移和节点坐标表示的6个参数：
a1 aiui a ju j amum / 2 A, a4 aivi a jv j amvm / 2 A, a2 biui bju j bmum / 2 A, a5 bivi bjv j bmvm / 2 A, a3 ciui c ju j cmum / 2 A, a6 civi c jv j cmvm / 2 A,
研究方法
从数学上讲它是微分方程边值问题(椭圆型微分方程、抛物型微分方程和双曲型微 分方程)的一种的数值解法，是一种将数学物理问题化为等价的变分问题的解法，并作 为一种通用的数值解法成为应用数学的一个重要分支。从物理上讲是将连续介质物理 场进行离散化，将无限自由度问题化为有限自由度问题的一种解方法。从固体力学上 认识，是瑞利-里兹法的推广。
有限单元法ppt课件
06
有限单元法的发展趋势和展 望
发展趋势
工程应用领域拓展
随着科技的发展，有限单元法在解决 复杂工程问题上的应用越来越广泛， 不仅局限于结构分析，还涉及到流体 动力学、热传导等领域。
与其他方法的结合
有限单元法正与其他数值方法（如有 限差分法、边界元法等）进行交叉融 合，形成更为强大的数值分析工具。
05
有限单元法的优缺点
优点
灵活性
有限单元法允许对复杂的几何形状进 行离散化，适用于解决各种形状和大 小的问题。
高效性
有限单元法能够处理大规模问题，通 过使用计算机技术，可以快速求解。
广泛的应用领域
有限单元法被广泛应用于工程、物理 、生物等领域，是一种通用的数值分 析方法。
易于理解和实现
有限单元法的基本概念直观易懂，且 实现起来相对简单。
01
利用线性代数方法，将 各个单元的数学模型和 节点信息组合成整体方
程组。
03
将节点的未知量返回到 原问题中，得到问题的
解。
05
根据问题的物理性质和 边界条件，建立单元的 数学模型和节点信息。
02
解整体方程组，得到节 点的未知量。
04
有限单元法的特点
适用范围广
可以用于解决各种类型的问题，如弹性力学 、流体力学、传热学等。
高精度与高效率
研究者们致力于开发更高效、精确的 算法，以解决大规模、非线性、动态 等复杂问题。
并行化与云计算应用
随着计算资源的丰富，有限单元法的 计算过程正逐步实现并行化，利用云 计算平台进行大规模计算已成为趋势 。
展望
理论完善与创新
随着工程实践的深入，有限单元法的理论体系将进一步完善，同时会 有更多创新性的算法和模型出现。
有限单元法
军事工业
子弹穿甲模拟
生物力学 人体颈椎后仰应力分析
3.
怎样学习有限元 怎样学习有限元 ？
两条原则
一、掌握有限元的基本理论和概念，这是灵活 掌握有限元的基本理论和概念， 使用有限元方法的基础。 使用有限元方法的基础。 二、掌握一种有限元分析软件（ANSYS）， 掌握一种有限元分析软件（ ）， 做工程实际课题，在实践中提高。 做工程实际课题，在实践中提高。
有限元分析 是利用数学近似的方法对真实物理系统
（几何和载荷工况）进行模拟。利用简单而又相互作 几何和载荷工况）进行模拟。 用的元素，即单元， 用的元素，即单元，用有限数量的未知量去逼近无限 未知量的真实系统。 未知量的真实系统。
1.2有限单元法的基本思想
1. 结构的离散化：假想把连续系统(杆件、连续体、 连续介质)分割成数目有限的单元，单元之间只在 数目有限的节点处相互连接，构成一个单元集合 体来代替原来的连续系统。在节点上引进等效载 荷（或边界条件），代替实际作用于系统上的外 载荷（或边界条件）。
J J
铰接) 三维杆单元 (铰接 铰接 UX, UY, UZ
I L
I K
三维梁单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
K J
二维或轴对称实体单元 UX, UY I
J P M L I N K J O P
有限单元法原理与应用
有限单元法原理与应用
有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值分析
方法，常用于求解复杂的物理问题。
它将连续物体的区域划分为许多小的离散单元，然后在每个单元内建立局部的数学模型和方程。
通过求解这些局部模型和方程，可以得到整个物体的行为和性能。
有限单元法的基本原理是将连续问题离散化为有限数目的独立子问题。
在每个小单元内，选择一个数学函数作为近似解，并通过将近似解与原问题的偏微分方程进行数值积分和数值迭代，得到近似解的解析解。
将每个小单元的解汇总起来，可以得到整个物体的解。
有限单元法的应用非常广泛，可以用于解决各种工程和科学领域的问题。
例如，它可以用来模拟结构的强度和刚度特性，预测材料的疲劳寿命，优化产品的设计，以及研究流体和热传导等问题。
在建筑工程中，有限单元法可以用来分析建筑结构的荷载和变形，评估结构的安全性。
在汽车制造业中，它可以用来模拟车辆的碰撞和破碎行为，提高车辆的安全性。
在航空航天领域，有限单元法可以用来优化飞机的结构和翼型，提高飞机的性能。
此外，有限单元法还可以应用于地震工程、地下水流动、电磁场分析等领域。
总之，有限单元法通过离散化连续问题，将其转化为独立的子问题，然后通过求解局部模型和方程，得到整体解。
它具有广泛的应用领域，为解决多种复杂问题提供了有效的数值分析方法。
有限单元法 数学术语
有限单元法有限单元法，是一种有效解决数学问题的解题方法。
其基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
内容简述在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。
根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。
从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。
不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。
对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。
令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。
插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。
有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。
有限单元法基础
有限单元法基础
有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值计算
方法，常用于求解连续介质力学问题。
它将连续的物理域划分为有限数量的离散单元（finite elements），通过在每个单元内构建近似函数来描述物理场，再根据物理方程建立离散方程组，通过求解离散方程组来得到物理场的近似解。
有限单元法的基本思路是将连续域离散化为有限数量的小单元，每个小单元内使用适当的数学函数进行插值，将大问题分解为很多个小问题，并利用变量之间的连续性建立全局的离散方程组。
然后通过求解离散方程组得到近似解。
有限单元法的基本步骤包括：
1. 网格划分：将要求解的区域划分为多个离散单元，并在每个单元内选择适当的形状函数。
2. 形函数构造：在每个单元内选择适当的形状函数，用于描述物理场的分布。
3. 整体方程组：根据物理方程在每个单元上的积分，建立整个问题的离散方程组。
4. 边界条件：根据边界条件，将边界上的节点处的值固定为已知值。
5. 求解方程组：利用数值方法求解离散方程组，得到物理场的
近似解。
6. 后处理：根据求解结果，计算所需的物理量并进行分析和验证。
有限单元法具有广泛的应用，适用于各种连续介质力学问题的数值求解，如结构力学、固体力学、流体力学、热传导等。
它可以处理复杂的几何形状和边界条件，且精度和收敛性能较高。
有限单元法
有限单元法
答：一、定义
有限单元法的基本前提是：将连续的求解域离散为一组有限个单元的组合体，这样的组合体能解析地模拟或逼近求解区域。
由于单元能按各种不同的连接方式组合在一起，且单元本身又可以有不同的几何形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域，有限元法作为一种数值分析方法的另一重要步骤是利用在每一个单元内假设的近似函数来表示全求解区域上待求的未知场函数。
单元内的近似函数通常由未知场函数在各个单元节点上的数值以及插值函数表达。
这样一来，一个问题的有限单元分析中，未知场函数的节点值就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
一旦求解出这些未知量，就可以利用插值函数确定单元组合体上的场函数。
显然，随着单元数日的增加，单元尺寸的缩小，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。
二、有限单元法主要学什么
1、有限单元法主要讲述线弹性有限元法的基本理论、matlab编程实现及相应商业有限元软件的应用，对线弹性动力有限元法及材料、几何和接触三类非线性有限元法的基本概念和程序应用也进行了介绍。
2、主要内容是：matlab编程及符号运算、分部积分、泛函极值与变分法、直接刚度法、有限元求解方法、杆单元力学基础、单元组
装、弹性固体结构、板壳结构。
有限单元法简介
3．非线性边界(接触问题) 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦 接触和摩擦的作用不可忽 接触和摩擦 视，接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到一些接触问题，如： • 齿轮传动； • 冲压成型； • 轧制成型； • 橡胶减振器； • 紧配合装配等 当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑 非线性边界条件。实际的非线性可能同时出现上述两种或三种 非线性问题。
(2)用每个单元内所假设的近似函数来分片地表示全求解 域内待求的未知场变量。 • 每个单元内的近似函数由未知场函数(或其导数)在单元各 个节点上的数值和与其对应的插值函数来表达(此表达式 通常表示为矩阵形式)。 • 由于在联结相邻单元的节点上，场函数应具有相同的数 值，因而将它们用作数值求解的基本未知量。
2．几何非线性问题 当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系 应变与位移的关系是非线性关系，这意味 应变与位移的关系是非线性关系 着结构本身会产生大位移或大转动，而单元中的应变却可大可小。 研究这类问题时一般都假定材料的应力与应变呈线性关系 假定材料的应力与应变呈线性关系。 假定材料的应力与应变呈线性关系 这类问题包括： • 大位移大应变问题 如：橡胶部件成形过程 • 大位移小应变问题 如：如结构的弹性屈曲问题
6 有限元法的发展、现状和未来 有限元法的发展、
有限元法的早期工作
•从应用数学的角度考虑，有限元法的基本思想可以追溯到Courant在1943年的工作。 他首先尝试应用在一系列三角形区域上定义的分片连续函数和最小位能原理相结合， 来求解St.Venant扭转问题。 •此后，不少应用数学家、物理学家和工程师分别从不同角度对有限元法的离散理论、 方法及应用进行了研究。 •有限元法的实际应用是随着电子计算机的出现而开始的。首先是Turner，Clough等 人于1956年将刚架分析中的位移法推广到弹性力学平面问题，并用于飞机结构的分 析。他们首次给出了用三角形单元求解平面应力问题的正确解答。三角形单元的特 性矩阵和结构的求解方程是由弹性理论的方程通过直接刚度法确定的。他们的研究 工作开始了利用电子计算机求解复杂弹性力学问题的新阶段。 •1960年Clough进一步求解了平面弹性问题，并第一次提出了“有限单元法”的名称， 使人们更清楚地认识到有限单元法的特性和功效。
有限单元法的解题思路
解有限元方程
选择合适的求解器
根据有限元方程的特点和求解规模，选择合适的求解器，如直接法、迭代法等。
求解有限元方程
利用选择的求解器，求解有限元方程，得到节点自由度的解。
结果后处理与验证
结果后处理
对求解结果进行后处理，提取有用的 信息，如位移分布、应力分布等。
结果验证
将求解结果与实验结果或已知解进行 对比，验证求解的正确性和精度。
边界条件可以分为两类：本质边界条件和自然边界条件。本质边界条件是指那些必须满足的 约束条件，如固定位移、固定载荷等；自然边界条件是指在某些特定条件下系统自动满足的 约束条件，如无滑动、无渗透等。
在有限元分析中，需要对每个单元的边界进行处理，将边界条件转化为对每个单元的约束， 以保证整个系统的能量平衡。
发展
随着计算机技术的进步，有限单元法 在20世纪60年代得到迅速发展，广泛 应用于各种工程领域。
02
有限单元法的基本原理
离散化与有限元
离散化
将连续的物理问题离散化，将连续域 划分为有限个小的单元，每个单元具 有特定的形状和大小。
有限元
在离散化的基础上，选取每个单元的 中心点或节点作为代表点，通过这些 代表点将各个单元连接起来，形成一 个整体的有限元模型。
建立数学模型
01
确定问题类型
明确问题是静态、动态还是流体 问题，以及问题的边界条件和初 始条件。
02
确定物理模型
03
建立数学方程
根据问题类型，建立相应的物理 模型，包括受力分析、位移分析 等。
根据物理模型，建立相应的数学 方程，如平衡方程、运动方程等。
离散化处理
选择合适的单元类型
根据问题特点和求解精度要求，选择合适的单元类型，如一维、 二维或三维单元。
有限单元法
M
e
AL
1
210
0
0
1
0
6
0
11 l 0 210
9 70
13 420
l
1 l2 0
13 l
1
l2
105
420 140
0
1
0
0
6
3
0
9 70
13 l 0 420
13 35
11 210
l
0
13 l 420
1 l2 140
0
11 l 210
1 l2 105
一、基本思想
2、单元矩阵
c0 w1, c1 l1, c2 3w1 3w2 2l1 l2
c3 2w1 2w2 l1 l2
w(x,t) w1(t)w1(x) 1w2 (x) w2 (t)w3 (x) 2 w4 (x)
w1(x) 1 3x l2 2x
w3(x) 3 x l 2 2 x
l
l
3 ,w2 (x) l
u(x,t)
w( x, t )
N
(
x)
q
e
N
u1
0
0
w1
0
w2
u 2
0
0
w3
0
w4
一、基本思想
2、单元矩阵
T 1 2
l 0
A
u 2
w2
Hale Waihona Puke dx1 2l
0
Au
w
u w
dx
1 2
l
A0
qeT
N
T
N
qe
dx
1 2
qe
T M e
有限单元法简介课案课件
06
结论与展望
总结有限单元法的主要内容与特点
总结内容
有限单元法是一种广泛应用于工程和科 学计算中的数值分析方法，其主要思想 是将连续的求解域离散化为一组单元的 组合体，并在每个单元内假设一个近似 函数，然后通过单元组合体的方式求解 整个域的解。其主要特点包括离散化、 单元划分、近似函数和整体组装四个方 面。
有限单元法的物理原理
物理问题的离散化
将连续的物理问题离散化为有限个离 散的单元，每个单元内的物理量（例 如，位移、温度等）可以近似为常数 。
单元之间的相互作用
考虑单元之间的相互作用和边界条件 （例如，位移边界条件、温度边界条 件等），将各个单元连接起来形成一 个整体的求解对象。
有限单元法的应用范围与限制
求解方程
1 2
选择求解器
根据方程的特点和需要，选择合适的求解器进行 求解。
导入求解器
将方程导入到求解器中，进行求解。
3
分析求解结果
根据求解结果，分析方程的解是否符合要求，如 果不符合要求，需要重新进行求解。
结果分析
结果可视化
将求解结果进行可视化处理，生成模型在不同时刻的 状态图。
结果评估
对求解结果进行评估，分析模型的位移、应力、应变 等参数是否符合实际情况。
结果优化
根据结果评估的结果，对模型进行优化设计，提高模 型的性能和稳定性。
04
有限单元法的应用实例
结构分析
总结词
有限单元法在结构分析中得到广泛应用，能够解决各种复杂结构问题。
详细描述
通过将结构离散化为有限个单元，并对每个单元进行受力分析，可以得出结构的整体受力情况和变形，广泛应用 于桥梁、建筑、机械等领域。
分。
有限单元法
线性、二次和三次单元 Plate element
73
74
75
76
77
78
单元划分原则 •误差与单元尺寸成正比
79
•误差与单元单元最小内角正弦成反比
80
•分界线处单元划分
81
•载荷分布
82
网格疏密
83
•凹槽，孔
84
逐步加密
85
86
87
§4.2.3 单元分析
单元分析的主要内容： ➢ 由节点位移求单元内部任一点的位移。 ➢ 根据几何方程，任一点的位移对坐标求偏导得到该
38
例如当气流流过一个很高的铁塔时就会使 铁塔产生变形,而塔的变形又反过来影响到 气流的流动……这就需要用固体力学和流 体动力学的有限元分析结果交叉迭代求解, 即所谓"流固耦合"的问题。
39
•增强可视化的前置建模和后置数据处理功能 早期有限元分析软件的研究重点在于推导新的高
效率求解方法和高精度的单元。随着数值分析方法的 逐步完善,尤其是计算机运算速度的飞速发展,整个计 算系统用于求解运算的时间越来越少,而数据准备和 运算结果的表现问题却日益突出。在现在的工程工作 站上,求解一个包含10万个方程的有限元模型只需要 用几十分钟。
31
在国内，我国数学家冯康独立于西方提出了有限 元法。1965年，他发表论文《基于变分原理的差 分格式》，标志着有限元法在我国的诞生。冯康 的这篇文章不但提出了有限元法，而且初步发展 了有限元法。他得出了有限元法在特定条件下的 表达式，独创了“冯氏大定理”并且初步证明了 有限元法解的收敛性。虽然冯康创造的有限元法 不成熟，但他能在当时的条件下独立提出有限元 法已十分不易。对于他的这项成就，国内外专家 学者和国家领导人都有很高的评价。
有限单元法基本原理和数值方法 (2)
有限单元法基本原理和数值方法1. 引言有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种用于求解工程问题的数值计算方法。
它的基本原理是将连续体分割为离散的有限单元，通过建立有限单元间的关系，近似求解连续体的行为。
本文将介绍有限单元法的基本原理和数值方法。
2. 有限单元法基本原理有限单元法基于两个基本假设：一是一个连续物体可以用小的有限单元来近似表示；二是连续物体在每个有限单元内有近似均匀的力和位移。
有限单元法的基本原理可以概括为以下几个步骤：2.1 离散化将连续物体划分为有限个离散的单元，每个单元都有自己的性质和参数。
通常采用三角形、四边形、四面体等简单形状的单元。
2.2 建立单元间的关系通过节点和单元之间的连接关系来构建整个有限元模型。
每个单元都与相邻的单元共享一些节点，通过共享的节点建立单元间的关系。
2.3 定义单元的属性为每个单元定义材料性质、几何属性和荷载条件等参数，这些参数将用于描述单元的行为。
2.4 定义求解问题的边界条件为有限元模型定义相应的边界条件，如位移边界条件、力边界条件等。
2.5 利用单元间的关系建立方程通过应变能最小原理，利用单元间的关系建立求解整个结构的方程。
2.6 求解方程将建立的方程离散化，采用数值方法求解得到解。
3. 有限单元法数值方法有限单元法中常用的数值方法有直接法和迭代法。
3.1 直接法直接法是指直接求解线性方程组的方法，通常使用高斯消元法、LU分解法等。
直接法的优点是计算简单，稳定性好。
但是当方程组规模较大时，计算量会很大。
3.2 迭代法迭代法是指通过迭代逼近求解方程组的方法，常用的迭代法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法等。
迭代法的优点是计算量相对较小，适用于大规模方程组。
但是迭代法的收敛性需要保证，且需要选择合适的迭代停止准则。
4. 有限单元法应用有限单元法广泛应用于工程领域的结构分析、流体力学、电磁场分析等。
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A.400和200 B.400和160 C.484和200 D.484和160
14.在有限元分析中，划分单元时，在应力变化大的区域应该（ ）
A.单元数量应多一些，单元尺寸小一些B.单元数量应少一些，单元尺寸大一些
C.单元数量应多一些，单元尺寸大一些D.单元尺寸和数量随便确定
15.在平面应力问题中，沿板厚方向（ ）
A.应变为零，但应力不为零B.应力为零，但应变不为零
C.应变、应力都为零D.应变、应力都不为零
16.若把平面应力问题的单元刚度矩阵改为平面应变问题的单元刚度矩阵只需将（）
A. E换成E/(1-μ2)，μ换成μ/(1-μ2) B. E换成E/(1-μ2)，μ换成μ/(1-μ)
D. Fyi=-50KN Fyj=-100KN Fyk=0
18.半斜带宽矩阵r行s列的元素对应于竖带矩阵元素( )。
A.r行s列B.r行s-r列C.r行s-r+1列D.r行s-r-1列
19.已知单元的节点局部与总码的对应关系如下，单元e:1(e)2(e)3(e)――5 4 2试写出单元e在整体坐标中的单元刚度矩阵为( )。
。
15、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵是一个正交矩阵。
16、单元刚度矩阵的计算与坐标原点位置无关。
17、平面四结点单元为等参元，而常应变三角形单元不是等参元。
18、在高斯积分中，往往阶数取得越高精度越高，这是由于阶数高导致计算时间增加所致。
19、常应变三角形单元发生刚体位移时，单元中将产生应力。
4.（13分）由两根杆组成的平面刚架结构如图示，每根杆的长度都是200cm，单元（1）作用分布载荷q=5N/cm，单元（2）作用集中载荷F＝100N，节点和单元划分如图示，试求等效到析过程。
2.试用里茲发求图示悬臂梁的挠度方程和弯矩方程(取幂级数)。
C.只有边界点和节点符合位移模式D.单元内任意点均符合位移模式
9.平面应力问题中(Z轴与该平面垂直)，所有非零应力分量均位于（）
A.XY平面内B.XZ平面内C.YZ平面内D.XYZ空间内
12.刚架杆单元与平面三角形单元（）
A.单元刚度矩阵阶数不同B.局部坐标系的维数不同
C.无任何不同D.节点截荷和位移分量数不同
C．当且仅当 时引起的与 相应的杆端力；D．当 时引起的与 相应的杆端力。
5、在×单元刚度矩阵中划去第行、第列和第行、第列后，即变为非奇异的梁单元刚度矩阵。
6、由局部坐标系中的单元刚度矩阵和坐标变换矩阵求单元在整体坐标系中的刚度矩阵的计算公式为 。
7、在矩阵位移法中，自由单元刚度矩阵中的对角线两侧元素：
第二题图
3.试用最小势能原理求解图示结构。
第三题图
4.自由式单元的单元刚度矩阵为什么可由拉压杆刚度矩阵和只计弯曲杆单元的单元刚度矩阵组合而成？如果结点位移如图所示，单元刚度矩阵如何表示？
第四题图第五题图
5.试给出图示左端铰结单元的单元刚度矩阵。
6.求图示单元等效结点荷载。
第六题图
7.试用先处理法和后处理法计算图示刚架。E，I，A均为常数。
《有限元法》复习题
一.单选题
1.平面刚架单元坐标转换矩阵的阶数为（ ）
A．2 2B．2 4C．4 4D．6 6
2.图示的四根杆组成的平面刚架结构，用杆单元进行有限元分析，单元和节点的划分如图示，则总体刚度矩阵的大小为（ ）
A.8 8阶矩阵B.10 10阶矩阵C.12 12阶矩阵D.16 16阶矩阵
3.坐标转换矩阵可归类为（）
2.在有限元分析中，为什么要采用半带存储?
四.计算题（共46分）
1.（13分）图示结构中两个三角形单元的刚度矩阵相同，即
试求：(1)总体刚度矩阵
(2)引入支承条件和载荷的平衡方程。
2. (7分)由六根弹簧组成一个弹簧系统，彼此间的连接方式、各弹簧的刚度系数、节点所受载荷及支承条件如图所示.写出该系统的总体平衡方程。
7.平面桁架中，节点3处铅直方向位移为已知，若用置大数法引入支承条件，则应将总体刚度矩阵中的（）
A.第3行和第3列上的所有元素换为大数A B.第6行第6列上的对角线元素乘以大数A
C.第3行和第3列上的所有元素换为零D.第6行和第6列上的所有元素换为零
8.在任何一个单元内（）
A.只有节点符合位移模式B.只有边界点符合位移模式
3、电算分析中，结构原始刚度矩阵引入边界条件后：
．一定是奇异矩阵；．可能是奇异矩阵，也可能是非奇异矩阵，要视具体支承条件而定；
C．当引入的支承条件多于个时，则一定是非奇异矩阵；D．一定是非奇异矩阵。
4、单元刚度矩阵中元素 的物理意义是：
．当 时引起的 相应的杆端力；．当且仅当 时引起的与 相应的杆端力；
C. E换成E/(1-μ)，μ换成μ/(1-μ2) D. E换成E/(1-μ)，μ换成μ/(1-μ)
17.图示三角形单元非节点载荷的节点等效载荷为（）
A.Fyi=-100KN Fyj=-50KN Fyk=0
B. Fyi=-80KN Fyj=-70KN Fyk=0
C. Fyi=-70KN Fyj=-80KN Fyk=0
A.正交矩阵B.奇异矩阵C.正定矩阵D.对称矩阵
4.图示弹簧系统的总体刚度矩阵为（）
A B.
C. D.
5.确定已知三角形单元的局部码为1(e),2(e),3(e)，对应总码依次为3，6，4，则其单元的刚度矩阵中的元素k24应放在总体刚度矩阵的( )。
A.1行2列B.3行12列C.6行12列D.3行6列
第七题图
8.试求图示结构综合等效荷载矩阵(用先处理法)。
第八题图
9.求图示单元的形函数矩阵，并用最小势能原理进行单元列式。
第九题图第十题图
10.试计算图示常应变单元的等效结点荷载。
有限单元法综合练习
1、杆件单元刚度矩阵是反映该单元杆端位移列阵与杆端力列阵之间关系的。
2、整体坐标系单元刚度矩阵 和局部坐标系单元刚度矩阵 均为对称矩阵。
A.奇异性B.对称性C.稀疏性D.非奇异性E.分块性
3.平面刚架与平面桁架的不同之处表现在（ ）
A.单元刚度矩阵的阶数不同B.每个节点的位移分量数不同C.单元形状不同
D.每个单元的节点数不同E.坐标转换矩阵的阶数不同
三.简答题
1.对于平面桁架中的杆单元，其单元刚度矩阵在局部坐标系中是几阶方阵?在整体坐标系中是几阶方阵?分析出两坐标系间的坐标转换矩阵。
A. = B. =
C. = D. =
20.下列哪一步属于有限元后处理的范畴?( )
A.对变形结果图象化显示B.网格的划分
C.对节点进行自动编码D.各节点坐标值
二.多选题（每题2分，共6分）
1..整体坐标系中，单元刚度矩阵具有( )
A.奇异性B.正定性C.对称性D.分块性E.稀疏性
2.总体刚度矩阵在用划去行列法引入支承条件后具有的特性有（）
11、图示结构编码如图，用后处理法组装结构原始刚度矩阵，半带宽最小的是：
12、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵是一个正交矩阵。
13、考虑各杆件轴向变形，图示结构若用边界条件先处理法，结构刚度矩阵全存储时的容量为：
．×；．×；
C．×；D．×。
14、图示结构，单元①、②的固端弯矩列为 ，则等效结点荷载列阵为：
．部分可能为零；．全部可能为正值；
C．全部可能为负值；D．全部一定为零。
8、一般情况下,平面杆件结构的单元刚度矩阵，就其性质而言，是：
．非对称、非奇异矩阵；．奇异、对称矩阵；
C．对称、非奇异矩阵；D．非对称、奇异矩阵。
9、结构刚度方程的矩阵形式为： 。它是整个结构所应满足的变形协调条件。
10、在矩阵位移法中，结构在等效结点荷载作用下的位移，与结构在原有荷载作用下的位移相同。
6.对一根只受轴向载荷的杆单元，k12为负号的物理意义可理解为（）
A.当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的载荷与其方向相同
B.当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的载荷与其方向相反
C.当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的位移与其方向相同
D.当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的位移与其方向相反