大学高数考试试题

高数作业

一、单项选择题

1. 曲线x y ln =上某点的切线平行于直线32-=x y ，该点的坐标是（ B ）

A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛2ln ,21；

B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-2ln ,21；

C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛21ln

,2； D 、⎪⎭

⎫

⎝⎛

-21ln ,2 2.2x =是函数

22

1

32x y x x -=-+的( A )间断点 A.可去 B.跳跃 C.无穷 D.振荡

3. ()y x f ,在点()b a ,处两个偏导数存在是()y x f ,在点()b a ,处连续的( D )条件 A.充分而非必要 B.必要而非充分

C.充分必要

D.既非充分也非必要 4. 已知

2

()()x ay dx ydy

x y +++为某函数的全微分，则a 为( D )

A ．－1

B ． 0

C ．1

D ． 2 5. 设f(x)＝lg3，则f(x+1)+f(x-1)＝( A )

A.2lg3

B.0

C.1

D.2 二、填空题 6. 函数f(x)=

6

12

--x x 的定义域是 ｛x ＞3或x ＜-2｝

7.

lim

+∞

→x 1

21

2

2

-+x x = 21

8. 设3x y =，则函数在1=x 处的微分为 2 dx

9. 设二元函数y x xy z 3

2

+=，则=∂∂∂y

x z 2

232x y + 10. 曲面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面方程为 4260x y z +--= 三、计算题

11.计算=I ⎰⎰-2

2

2

x

y dy

e dx

)1(21

42

020

2

20

2

2

2

-----=

==⎰⎰⎰⎰⎰

e dy ye dx e

dy dy e

dx y y

y x

y

12.

求极限n →∞

⋅⋅⋅+

n →∞

+⋅⋅⋅+

1

=⎰

6

π=

13.计算322

d (1)

x x +⎰

令1tan ,arctan ,,sec 022cos x t t x t t ππ⎛⎫

==∈-=

> ⎪⎝⎭

， 原式

=dt

cos sin sec tdt t c c t ==+=+⎰

⎰

14.设曲线方程为sin cos 2x t y t =⎧⎨=⎩，求此曲线在点4t π

=处的切线方程

因为4

t π

=

时，2x =

，0y =，

4

4

2sin 2cos t t dy t

dx t

ππ==

-==-

故曲线在,0)2

点处的切线方程为：y x =--

15.求函数()()y y x e y x f x 2,22++=的极值

解：解方程组()()

()()⎪⎩⎪⎨⎧=+==+++=022,01422,22

2y e y x f y y x e y x f x

y

x x ，得驻点⎪⎭⎫

⎝⎛-1,21。由于()()124,22+++==y y x e y x f A x xx ，()()142+==y e xy f B x xy ，()x

yy e y x f C 22,==在点⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21处，02>=e A ，0=B ，e C 2=，

224e B AC =-，所以函数在点⎪⎭

⎫

⎝⎛-1,21处取得极小值，极小值为21,21e f -=⎪⎭

⎫

⎝⎛-。

四、证明题

16.设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，()g x 在[,]a b 上不变号，证明：至少存在一点[,]a b ξ∈，使得()()d ()()d b

b

a

a

f x

g x x f g x x ξ=⎰⎰．

证明：()m f x M ≤≤

()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤ ()()()()b

b

b

a a

a

m g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰

⎰

()()/()b

b a

a

m f x g x dx g x dx M ≤≤⎰

⎰

17.当0x ≥，对()f x 在[0,]b 上应用拉格朗日中值定理有： ()(0)()(0,)f b f f b b ξξ'-=∈

对于函数()arcsin f x x =，求极限0lim b b

ξ→ 解： ()arcsin f x x =在[0,]b 上应用拉格朗日中值定理有：

arcsin (0,)b b ξ=∈ 所以

221()(0,)arcsin b

b b

ξξ=-∈

因此22

222222224

00001()(arcsin )sin arcsin lim lim lim lim (arcsin )b b b t b

b b t t b b b b b t ξ→→→→---=== 222422000sin 22cos 221lim lim lim 3126t t t t t t t t t t →→→--====

故0lim b b ξ→=