第五章 残数定理及其应用

0

推论2
当m=1时，式(5)即为式(4).
P(z) 设f ( z ) Q( z ) P ( z ), Q( z )在z0 处解析,
P ( z0 ) 0, Q( z0 ) 0, Q' ( z0 ) 0 P ( z0 ) z0 是f ( z )的一级极点 且 Re s[ f ( z ), z0 ] , ( 6) Q' ( z 0 ) 事实上， Q( z 0 ) 0及Q' ( z 0 ) 0


( 5)
推论1
若z0是f ( z )的一级极点 , Re s[ f ( z ), z0 ] lim( z z0 ) f ( z )
z z0
(4)
事实上，由条件 f ( z ) c m ( z z 0 ) m c 2 ( z z 0 ) 2 c 1 ( z z 0 ) 1
第五章 残数(留数)定理及其应用
第一节 残数(留数Residue)

1. 留数的定义 2. 留数定理

3. 留数的计算规则
§5.1.1. 留数的定义及留数定理
f ( z )在c所围成的区域内解析 0 c f ( z )dz 未必为0 c所围成的区域内含有( z )的奇点 f
设f ( z )
内的洛朗级数中负幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为f (z)
在 z0 的留数，记作 Res [f (z), z0] 或 Res f (z0)。
由留数定义,
Res [f (z), z0]= c–1
(1)
1 故 Re s[ f ( z ), z0 ] c1 c f ( z )dz 2i
c0 c1 ( z z0 ) , (c m 0)
以( z z0 )m 乘上式两边 得 , m m 1 ( z z 0 ) f ( z ) c m c m 1 ( z z 0 ) c 1 ( z z 0 )
c0 ( z z 0 ) m
由于p(0) 0
p' (0) (1 cos z ) z 0 0 p'" (0) cos z z 0 1 0
p" (0) sin z z 0 0
z 0是p( z )的三级零点 是f (z)的三级极点。 ,
由规则
1 z sin z z sin z Re s ,0 lim 6 3 " z ( 3 1)! z 0 z
两边求m 1阶导数得 d m 1 {( z z0 ) m f ( z )} ( m 1)! c1 m! ( z z0 ) dz m 1 m 1 d lim m 1 ( z z0 ) m f ( z ) ( m 1)! c1 , 移项得(5)式. z z dz
z dz c : 正向 z 2 例2 计算c 4 z 1
解 f ( z )有4个一级极点 1, i都在圆周 内， : c
由规则 P( z) z 1 3 2 Q' ( z ) 4 z 4z
z 故 4 dz cz 1 2i{Re s[ f ( z ), 1] Re s[ f ( z ),1] Re s[ f ( z ), i ] Re s[ f ( z ), i ]} 1 1 1 1 2i 0 4 4 4 4
2
cos z 1 dz 2i Re s[ f ( z ),0] 2i ( ) i 3 z 1 z 2
例6
计算
z n
tan zdz ( n N )
sinz 解 tan z cos z 解得z k
令 cos z 0 1 即, z k ( k 0,1,2, ) 2
n
c

n
( z z0 ) ,0 z z0 r
n
( z0是f ( z )的孤立奇点 c包含z0在其内部) ,
对上式两边沿简单闭曲 c逐项积分得： 线 dz c f ( z )dz c1 c z z0 2ic1
定义5.1
设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0 邻域
2 zk 1 2

2
2
(cot z )' z k 1 csc z
0
1 z k 为一级极点由规则III 得 , 2 1 sinz 1 Re s tan z , k ( k 0,1,) 2 (cos z )' z k
---该方法较规则II更简单！
Βιβλιοθήκη Baidu

如
(2) 由规则II 的推导过程知，在使用规则II 时，可将 m 取得比实际级数高，这可使计算更 简单。
1 d5 z sin z Re s ,0 lim 5 6 z (6 1)! z 0 dz
5
6 z sin z z z 6
若将f ( z )作Laurent级数展开:
z sin z 1 1 3 1 5 6 [ z ( z z z )] 6 z z 3! 5! 1 1 11 3 3! z 5! z
1 z sin z Re s ,0 6 5! z
D
Re s[ f ( z ), z k ]
k 1
n
c
z3 zn
z1 z2
故 f ( z )dz 2i Re s[ f ( z ), zk ]
c k 1
n
得证！

求沿闭曲线c的积分，归之为求在c中各孤立 奇点的留数。
5.1.2. 留数的计算规则
一般求 Res [f (z), z0] 是采用将 f (z) 在 z0 邻域内
得证！
5z 2 dz 例1 计算 : z 2 2 z( z 1) 5z 2 在 z 2 的内部有一个一级 解 f (z) 2 z ( z 1)
极点 z 0 和一个二级极点 1 z
5z 2 Re s[ f ( z ),0] lim zf ( z ) lim 2 2 z 0 z 0 ( z 1)
( 2)
固(2)式也可作为留数的定义.
2. 留数定理
定理5.1
设c是一条简单闭曲线 函数f ( z )在c内有 , 有限个孤立奇点 1 , z 2 , , z n , 除此以外, f ( z ) z 在c内及c上解析, 则
f ( z )dz 2i Re s[ f ( z ), z
cos z 例4 计算 dz 3 z 1 z cos z 解 f ( z ) 3 有一个 z 0 的三级极点 z
由 规 则 1 d Re s[ f ( z ),0] lim [ z 3 f ( z )] z 0 ( 3 1)! dz 2 1 1 lim(cos z )' ' 2 z0 2
留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积 分中应用，必须将实变函数变为复变函数，且要留数 定理只对围线积分成立。 实变函数定积分只定义要实轴上的一段[a,b]或整 个实轴（广义积分）若要变成围线积分只有以下两积 方法： 其一：把定积分的区间通过变量代换为复平面上 的围线，； 其二：把函数解析延拓到复平面，使积分区间成 为围线的一部分，且另一部分的积分容易求出（是0最 好），围线中只有有限个奇点；
1 2
故
由留数定理得：
1 2
2n Re z n tan zdz 2i k n stan z , k 2i 4ni 1 2

如
(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留 数，不要死套规则。
P ( z ) z sin z f (z) Q( z ) z6
则z0为f ( z )的 级极点,由推论1
z z0
Re s[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z ) P ( z0 ) P( z) lim z z0 Q ( z ) Q ( z 0 ) Q' ( z 0 ) z z0
Q' ( z0 ) 0
1 d 1 1 lim 5 ( z sin z ) lim( cos z ) 5! z 0 dz 5! z 0 5!
第二节 利用残数定理计算实积分
留数定理的应用--积分的计算:
在数学分析中，以及许多实际问题中，往 往要求计算出一些定积分或反常积分的值，而 这些积分中的被积函数的原函数，不能用初等 函数表示出来；例如
1 z 0为Q( z )的一级零点从而z 0为 , 的一级极点 , Q( z )
1 1 因此, (z) Q( z ) z z0
( z )在z0处解析且 ( z0 ) 0
1 故f ( z ) g ( z ) ( g ( z ) ( z ) P ( z )在z0 解析, z z0 且g ( z0 ) 0),
c k 1
n
k
]
( 3)
证明 用互不包含 互不相交的正向简单闭 ck , 曲线
( k 1,2, n)将c内孤立奇点 k围绕, z
由复合闭路定理得：
f ( z)dz
c
c1
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
c2 cn
用2i 除上式两边得: n 1 1 c f ( z )dz 2i ck f ( z )dz 2i k 1
Re s[ f ( z ), z0 ] c1 ( iii)若z z0为极点时，求 s[ f ( z ), z0 ]有以下几条 Re
规则
定理5.2 若z0是f ( z )的m级极点
1 d m 1 Re s[ f ( z ), z0 ] lim m 1 ( z z0 ) m f ( z ) ( m 1)! z z0 dz
l2
a
0
l1
b
2
§5.2.1.
R(cos x,sin x )dx
0
定理 5.4 设 R(cos x ,sin x ) 为 cos x ,sin x 的有理函数,且在
[0,2 ]上连续,则:
sin x cos x x2 dx, e dx, dx, 2 x 1 x
或者有时可以求出原函数，但计算也往往非常 复杂，例如 1
(1 x
2 2
)
dx,
留数定理的应用--积分的计算:
利用留数计算积分的特点： （1）、利用留数定理，我们把计算一些积分的 问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的 留数，从而大大化简了计算； （2）、利用留数计算积分，没有一些通用的方 法，我们主要通过例子进行讨论； （3）我们只讨论应用单值解析函数来计算积分 ，应用多值解析函数来计算积分在课本中有讨 论。由于时间的关系，我们不讨论应用多值解 析函数来计算积分的问题，同学们可以自学。
展开成洛朗级数求系数 c–1 的方法, 但如果能先知道
奇点的类型，对求留数更为有利。
以下就三类孤立奇点进行讨论：
( i )若z z0为可去奇点 c1 0 Re s[ f ( z ), z0 ] 0
( ii )若z z0为本性奇点 f ( z )
展开
cn ( z z0 ) n
由规则
1 d 2 5z 2 Re s[ f ( z ),1] lim {( z 1) } 2 z 1 ( 2 1)! dz z( z 1)
由规则 II

z 2
5z 2 2 lim( )' lim 2 2 z 1 z 1 z z f ( z )dz 2i Re s[ f ( z ),0] 2i Re s[ f ( z ),1] 0