第五章残数定理及其应用

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高等数学课件-复变函数与积分变换第五章留数 §5.1 留数定理及留数的求法

在 z 1的去心邻域
0 z 1 1
内的罗朗展开式，由于
f
z
z
1
12
z
1
1
n0
1n
z
1n
，0
z 1
1
故 z 1只能是二级极点，且 Res f z,1 1 .
留数定理
定理1 设函数 f z在区域D内除有限个
孤立奇点 z1, z2,L ，zn 外处处解析，c为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那末
的二级极点，于是
Re s
f
z,1
lim z
z1
1
z
z
1 z
12
1 4
；
Re s
f
z , 1
lim z
z1
12
z
z
1 z
12
lim
z1
z
1
12
1 4
例1.6 求函数 f z tan z 在 z k （k
2
为整数）处的留数。
解因为 tan z sin z
cos z
sin
n
Ñc f zdz 2πiRes f z, zk （1.3） k 1
证把在c内的孤立奇点 zk k 1,2,L ,n
用互不包含的正向简单闭曲线 ck 围绕起来（如图5－1）
图5－1
蜒c f zdz
c1
f
z
dz
蜒 f c2
zdz L
cn
f
z dz
以 2 i 除等式两边，得
1
式中负一次幂项 z z0 1 的系数 C1 是在逐
项积分过程中唯一留下的系数。
定义1 设 f (z)在孤立奇点z0的去心邻域 0 z z0 R

第五章留数理论及其应用

第五章留数理论及其应用本章的中心问题是留数定理.借助第四章的讨论，我们引入留数概念并计算留数.我们即将看到柯西－古萨基本定理，柯西积分公式都是留数定理的特殊情况.作为留数定理的应用，我们可以把沿闭曲线的积分的计算转化为孤立奇点处的留数计算.对于高等数学中的一些定积分和广义积分，按过去的计算方法可能比较复杂，甚至难以算出结果，而用留数计算的方法则相对简便.因此留数定理在理论和实际应用中都具有重要意义.1. 留数的定义如果f (z )在z 0处解析，那么对于z 0的邻域中的任意一条简单闭曲线C ，都有()d 0Cf z z =⎰.如果z 0是f (z )的孤立奇点，那么对于解析圆环00z z δ<-<内包含z 0的正向简单闭曲线C ，上述积分只与f (z )和z 0有关，而与C 无关，但积分值不一定为零.现在我们来计算这个积分.由第四章定理4.12,f (z )在z 0的邻域内可展开成罗朗级数：()()nnn f z a z z ∞=-∞=-∑,其中101()d ,0,1,2,2π()n n Cf a n iz ξξξ+==±±-⎰特别地，11()d 2πCa f iξξ-=⎰.于是得到1()d 2πCf iaξξ-=⎰.因此a −1这个系数有它特殊的含义.我们把f (z )在z 0处的罗朗级数中(z −z 0)−1项的系数a −1称为f (z )在孤立奇点z 0处的留数，记为Res [f (z ),z 0]=a −1, (5.1) 即 Res[f (z ),z 0]=1()d 2πCf z z i⎰. (5.2)例5．1 求下列积分的值，其中C 为包含z =0的简单正向闭曲线.(1)3cos d Czz z -⎰ (2)12ed z Cz ⎰.解： (1)令f (z )=z −3cos z ，则z =0为f (z )的孤立奇点.又因cos z =2461,.2!4!6!z z z z -+-+<∞故 f (z )= 3311,0,24!6!z z z z z -+-+<<∞所以Res [f (z ),0]= 12-.(2) 令f (z )= 21e z ，则z =0为f (z )的孤立奇点.因为2e 1,,1!2!!nz n ξξξξ=++++<∞以21z ξ=代入上式，得 f (z )=1242111111,0.1!2!!nz z z n z +⋅+⋅+⋅+<<∞所以，Res[f (z ),0]=0.2. 留数定理考察积分()d Cf z z ⎰，若闭曲线C 内仅含有f (z )的一个孤立奇点，则可利用公式(5.2)来求积分值.但是如果多于一个孤立奇点，则由下述的留数定理，可以把积分的计算转化成f (z )在C 中的各孤立奇点的留数的计算.定理5.1 留数定理设函数f (z )在区域D 内除有有限个孤立奇点z 1,z 2,…,z n 外处处解析，C 是D 内包围这些奇点的一条正向简单闭曲线，那么[]1()d 2πRes (),.nkk Cf z z i f z z ==∑⎰ (5.3)证明：如图 5.1所示，以z k 为圆心，作完全含在C 内且互不相交的正向小圆C k :|z −z k |=k δ,(k =1,2,…,n )，那么由复合闭路上的柯西积分定理，有12()d ()d ()d ()d .nCC C C f z z f z z f z z f z z =+++⎰⎰⎰⎰但[]()d 2πRes (),.1,2,,.kk C f z z i f z z k n ==⎰于是有[]1()d 2πRes (),knkk C f z z i f z z ==∑⎰.一般来说，求函数在其孤立奇点z 0处的留数只须求出它在以z 0为中心的圆环域内罗朗级数中(z −z 0)−1的系数a −1就可以了，但在很多情况下，函数在孤立奇点的罗朗展开式并不易得到，因此有必要讨论在不知道罗朗展开式的情况下计算留数的方法. 3. 留数的计算方法(1) 如果z 0为f (z )的m 级极点，那么[]()(){}010011Res (),lim ()1!m mm z z d f z z z z f z m dz--→=-- (5.4)证明：因为z 0是f (z )的m 级极点，故在z 0的邻域中有f (z )=()01()g z z z m-,图5.1其中g (z )在z 0处解析，且g (z 0) 0≠.于是f (z )= ()0000000()()1()(),!!n n nn m n n g z g z z z z z z z m n n ∞∞-==-=--∑∑ 其中(z −z 0)−1的系数为()10()1!m g z m --.又g (z )=(z −z 0)m f (z )，因而得到：()()(){}011001()1lim ().1!1!m m m z z g z d z z mf z m m dz---→=---从而(5.4})成立.特别地，当m =1时，我们有下面的结果. (2) 若z 0是f (z )的一级极点，那么Res 00[(),0]lim()().z z f z z z f z →=- (5.5)例5.2 求f (z )=252(1)z z z --分别在z =0和z =1的留数.解：容易看到z =0是f (z )的一级极点，故由(5.5)得Res[f (z ),0] =21052lim ()lim2.(1)z z z z f z z →→-⋅==--而z =1是f (z )的二级极点，由(5.4)得Res[f (z ),1] =(){}22115(52)lim1()lim2.z z d z z z f z dzz→→---== 在某些情况下，下面的命题用起来更方便. (3) 设f (z )=00()()P z Q z ',P (z ),Q (z )在z 0都是解析的.如果P (z 0)0≠,Q (z 0)=0且Q '(z 0)0≠，那么z 0是f (z )的一级极点，因此有Res[f (z ),z 0]=00().()P z Q z ' (5.6)证明：事实上，因为Q (z 0)=0及Q '(z 0) 0≠，所以z 0为Q (z )的一级零点，由11()()z Q z z z ϕ=-，其中()z ϕ在z 0解析且0()0z ϕ≠，于是 f (z )=1()()z P z z z ϕ-. 因为在z 0解析且00()()0z P z ϕ≠，故z 0为f (z )的一级极点.根据(5.5)式，有0000000000()()Res[(),]lim()()lim()lim()()()()()()lim .()()()z z z z z z z z P z P z f z z z z f z z z z z Q z Q z Q z P z P z Q z Q z Q z z z →→→→=-=-=--=='-例5.3 计算f (z )= e sin zz在z =0处的留数.解: 这时P (z )=e z ,Q (z )=sin z ，于是P (0)=1,Q (0)=0,Q '(0)=1. 由(5.6)式得Res[f (z ),0]=()0(0)P Q '=1. 上述的几种方法，实质上是把留数的计算变成了微分运算，从而带来了方便.但如果z 0是f (z )的本性奇点，我们没有像上面那种简单的留数计算公式，这时只能通过求f (z )的罗朗展开来得到f (z )在z 0的留数.有时候，对于级比较高的极点，或者求导比较复杂的函数，运用上面的公式也十分复杂，选择求罗朗展开或者其它方法可能更好些.例5.4 计算f (z )= 6sin z zz-在z =0处的留数. 解：因为35663sin 111[()]3!5!1111,3!5!z z z z z z z z z z-=--⋅+⋅+=⋅-⋅+所以Res 16sin 1,0.5!z z a z --⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦此题若选择微分的方法，运算相对复杂一些，读者可做验算比较.例5．5 计算积分222d (1)(1)Czz zz -+⎰，这里C : |z –取正向.解：令f (z )=222(1)(1)zz z -+，则z 1=i , z 2=–i 为f (z )的两个一级极点，z 3=1,z 4=–1为f (z )两个二级极点.容易看出z 1,z 2,z 3位于C 的内部.由留数定理，31()d 2πRe [(),].kk Cf z z i s f z z ==∑⎰又Res [f (z ),i ]= 221lim()()lim.(1)()8z iz iz z i f z z z i →→-==-+同理Res [f (z ),–i ]=18. Res [f (z ),1] = 22211lim{(1)()}lim (1)(1)z z d d zz f z dz dz z z →→⎧⎫-=⎨⎬++⎩⎭323221311lim.(1)(1)8z z z z z z →---+==++ 于是111π()d 2π().8884Cif z z i =+-=⎰4. 在无穷远点的留数设函数f (z )在圆环域R <|z |<∞内解析，C 为这圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线，那么称f (z )沿C 的负向积分值1()d 2πCf z z i⎰称为f (z )在∞点的留数，记作Res [f (z ),∞]=1()d 2πCf z z i⎰. (5.7)这个积分值与C 无关，且根据公式(4.23)和(4.24)得Res[f (z ),∞]=111()d ()d ,2π2πCC f z z f z z b i i--==-⎰⎰(5.8)即f (z )在∞点的留数等于它在∞点的去心邻域R <|z |<∞内的罗朗展开式中z –1的系数的相反数.由(5.7)式，我们有下述定理.定理5.2 如果函数f (z )在扩充的复平面内只有有限个孤立奇点，那么f (z )在所有奇点（包括∞点）的留数之和为零.证明：取r 充分大，使f (z )的有限个孤立奇点z k (k =1,2,…,n )都在|z |<r 中. 由留数定理，得1()d 2πRes[(),]nk k z rf z z i f z z =<=∑⎰,其中积分取圆周的正项.由(5.8})式，得Res [f (z ),∞]=()d z rf z z <-⎰.于是就有Res[f (z ),∞]+1Res[(),]nkk f z z =∑=0.例5.6 判定z =∞是函数f (z )=223zz +的什么奇点？并求f (z )在∞点的留数. 解：因为 lim ()0,z f z →∞=所以∞点是可去奇点.又f (z )在复平面内仅有3i 和–3i 为一级极点，且Res[f (z ),3i ]= 3lim3z i z i →+ =1,Res [f (z ),–3i ]= 3lim3z i z i→--=1.故由定理5.2Res[f (z ),∞] = – Res [f (z ),3i ] – Res [f (z ), –3i ] = –1–1= –2.§5.2 留数在积分计算上的应用在高等数学中我们知道，有很多函数的原函数不能用初等函数来表达，因此，通过求原函数的办法求定积分或广义积分就受到限制.利用留数理论可以求一些重要的实函数的积分.下面我们分几种类型介绍怎样利用留数求积分的值.1. 形如()d R x x ∞-∞⎰的积分这里R (x )=()()P z Q z 为有理函数，P (x )=x m +a 1x m –1+…+a m , Q (x )=x n +b 1x n –1+…+b n , P (x ), Q (x )为两个既约实多形式，Q (x )没有实零点，且n –m ≥ 2.我们取复函数R (z )=()()P z Q z ，则除Q (z )的有限个零点外，R (z )处处解析.取积分路线如图5.2所示，其中C r 是以原点为中心，r 为半径的上半圆周，令r 足够大，使R (z )在上半平面上的所有极点z k (k =1,2,…,s )都含在曲线C r 和[–r , r ]所围成的区域内.由留数定理，得1()d ()d 2πRes[(),].rrskk rC R x x R z z i f z z =-+=∑⎰⎰当r 充分大时，右端的值与r 无关.又|R (z )|=111111111111.11m m m m n mn mnnn n a z a z a z a z b z b zb z b zzz----------++++++⋅≤⋅+++-++故存在常数M ，当|z |充分大时，有图5.2|R (z )| 2.n mM M zz-≤≤令z =i re θ，于是πππ20()d (e )e d (e )d πd 0()ri i i C R z z R r ri R r r M M r r r rθθθθθθ=≤≤=→→∞⎰⎰⎰⎰因此在(5.9)式中令r →∞得1()d 2πRes[(),].nk k R x x i R z z +∞-∞==∑⎰(5.10)例5.7 计算积分242d 109x x x x x +∞-∞-+++⎰.解：记R (z )= 242109x x x x -+++，则R (z )满足(5.10)式的条件，且R (z )在上半平面内有2个一级极点z 1=i 和z 2=3i .容易得到Res [R (z ),i ]=1i 16--， Res[R (z ),3i ]= 37i48-，因此 2421i 37i 5d 2πi[]π.109164812x x x x x +∞-∞-+---=+=++⎰例5．8 计算积分24d 1x x x +∞+⎰. 解：注意到R (x )=241x x +为偶函数，于是有224401d d .121x x x x x x +∞+∞-∞=++⎰⎰ 又R (z )的分母高于分子两次，在实轴上无奇点，在上半平面上有两个一级极点1)i i +-+，且Res[R (z)i +R (z1)i -+]= 由公式(5.10})有240d 2ππ.12x x x +∞==+⎰ 故得240d π.14x x x +∞=+⎰ 2. 形如()e d (0)ix R x x αα+∞-∞>⎰的积分这里R (x )是实轴上连续的有理函数，而分母的次数n 至少要比分子的次数m 高一次(n –m ≥1).这时有1()e d 2Re [e (),].sixix k k R x x i s R z z ααπ+∞=-∞=∑⎰(5.11)其中z k (k =1,2,…,s)是R (z )在上半平面的孤立奇点.事实上，如同类型1中处理的一样，取如图(5.2)的积分曲线C r ，当r 充分大，使z k (k =1,2,…,s)全落在曲线C r 与[–r , r ]所围成的区域内.于是又n –m ≥1，故充分大的|z |，有|R (z )| M z≤. 因此sin cos 0πsin 0ππ2sin sin 0()e d (e )e d (e )e d e d 2e d .rizi r i r C i r r r R z z R r r R r r M M παθαθαθθαθαθαθθθθθ-+---=⋅≤⋅≤=⎰⎰⎰⎰⎰当π02θ≤≤时，2sin πθθ≥，所以有 ()2ππ2π()e d 2ed (1e ).2rizr r C M R z z M rθαααθ--≤=-⎰⎰ 于是，当r →∞时，()ed 0rizC R z z α→⎰，故(5.11})式成立.(5.11})还可以变形为1()cos ()sin d 2πRes[()e ,].siz k k R x xdx i R x x x i R z z ααα+∞+∞=-∞-∞+=∑⎰⎰ (5.12)例5．9 求积分2cos d 45xx x x +∞++⎰.解：设R (z )=2145x x ++，则R (z )的分母高于分子二次，实轴上无奇点，上半平面只有一个一级极点z = –2+i ，故2122()ed 2πRes[()e ,2]2πlim [(2)]()e e e2πlim2π.22ixiz izz iiz iz i R x x i R z i i z i R z i i z i i+∞→-+-∞--→-+=-+=--+==++⎰由公式(5.12})，有2cos d 45x x x x +∞-∞++⎰=Re[12e 2π2i i i --]=1πe cos 2.- 在上面两类型的积分中，都要求R (z )在实轴上无孤立奇点，这时我们取积分闭曲线为图5.2的形式.当R (z )在实轴上有奇点时，我们要根据具体情况，对积分曲线稍作改变.下面以例题说明如何计算此类型的积分.例5.10 计算积分sin d xx x+∞⎰的值. 解：取函数f (z )=e izz，并取围道如图5.3所示，在此围道中f (z )是解析的.由柯西积分定理，得e e e e d d d d 0.r Rr Rix iz ix izR C r C x z x z x z x x --+++=⎰⎰⎰⎰ 令x =–t ，则有e e e d d d .r r Rix it ixR R rx t x x t x ----==-⎰⎰⎰ 所以有e e e e d d d 0.R rRix ix iz izr C C x z z x z z --++=⎰⎰⎰ 即sin e e 2d d d 0.R rRiz izr C C x i x z z x z z ++=⎰⎰⎰现在来证明0e e lim d 0lim d π.R riz izR r C C z z i z z →∞→==-⎰⎰和由于图5.3π2e ππsin 00sin 0e e d d e d π22e d (0,sin )2ππ(1e ),i R iR izR C R R z R z R Rθθθθθθθθθ---≤⋅==≤≤≥=-⎰⎰⎰⎰时所以e lim d 0.RizR C z z→∞=⎰ 又因为1e 11(),2!!iz n nz z i i z z z n zϕ-=+-+++=+ 其中ϕ(z )在z =0解析，且ϕ(0)=i .因此当|z |充分小时，可设|ϕ(z )|≤2.由于e d d ()d ,r r riz C C C z z z z z z ϕ=+⎰⎰⎰ 而πd e d πe r i i C z ir i z r θθθ==-⎰⎰ 和π()d (e)d 2π.Ri C z z r r r θϕϕθ≤≤⎰⎰故有0e lim d π.rizr C z i z →=-⎰ 综上所述，令R →∞,r →0,则有sin πd .2x x x +∞=⎰3. 形如2π(sin ,cos )d R θθθ⎰的积分这里R (x ,y )是两个变量x ,y 的有理函数，比如R (x ,y )= 2222641x y x y -+-.计算这种积分的一种方法是把它化为单位圆周上的积分.事实上，令z =e i θ，那么21111sin (e e )(),222i i z z i i z iz θθθ--=-=-=21111cos (e e )(),222i i z z i i z izθθθ-+=+=+=1d d .z izθ=从而原积分化为沿正向单位圆周的积分，即2π2201111d (cos ,sin )d [,]()d ,22z z z z zR R f z z z iz iz θθθ==+-==⎰⎰⎰其中f (z )=R [2211,22z z z iz +-]1iz⋅为z 的有理函数，且在单位圆周|z |=1上分母不为零，因而可用留数定理来计算.例5．11 计算积分2π4cos 4d θθ⎰. 解：令z =e (02π)i θθ≤≤,则4444cos 4()2z z θ-+=, 42π448441701111(1)cos 4d ()d d 216z z z z z z z iz i z θθ-==++==⎰⎰⎰ 在0z <<1内，被积函数的罗朗展开式为48179117(1)113.161648z z z z z ---+=+++故2π8441701(1)3cos 4d [2πRes[,0]]π.164z i i z θθ+==⎰ 总结上述的方法，我们发现，由于留数是与闭曲线上的复积分相联系的.因此利用留数来计算定积分需要有两个主要的转化过程：1) 将定积分的被积函数转化为复函数；2) 将定积分的区间转化为复积分的闭路曲线. 根据这种思路，我们可以计算更多的积分.比如，Fresnel 积分2cos d x x ∞⎰和2sin d x x ∞⎰.这两个积分在光学的研究中很有作用.取函数f (z )=2eix ，取积分围道如图5.4，因为f (z )在闭围道内解析，由柯西积分定理，有222e d e d e d 0.ix izix OABOABx z z ++=⎰⎰⎰当z 在OA 上时，z =x , 0≤x ≤r ,22e d e d .rix ixOAx x =⎰⎰当z 在AB 上时，z =r e i θ,0θ≤π4≤，此时4sin 2πθθ≥，所以2422πsin 2e e e.r iz rθθ--=≤故π42422ππe d ed (1e )0,().4r iz r ABz r r rθθ--≤⋅=-→→∞⎰⎰ 当z 在BO 上时，z =x 4πe i ,0,x r ≤≤πππ222444e 0e d ee d ee d .i ri i iz ix x BOrz x x -=⋅=-⎰⎰⎰ 令r →∞，于是(5.13})变为224e d 0ee d ,i ix x x x π∞∞-+-⎰⎰ 又2πe d xx ∞-=⎰, 因此22440πe d ee d e .2i i ix x x x ππ∞∞-==⎰⎰ 上式两边分别取实部和虚部，即得221πcos d sin d .x x x x ∞∞==⎰⎰ 小结留数定义为：011Res[(),]()d 2πCf z z a f z z i-==⎰其中1a -是函数()f z 在0z 点的罗朗展开式的10()z z --的系数，C 是0z 的去心邻域0<0z z -<R 内的包含0z 的任意一条正向简单闭曲线.图5.4留数定理：若函数()f z 在区域D 内除了有限个孤立奇点21,,,n z z z -外处处解析，C是D 内包含这些起点的一条正向简单闭曲线，则有：1()d 2πRes[(),]nji fCf z z i f z z ==∑⎰.留数定理将积分路径内包含有限个孤立奇点的复积分的计算问题转化为对这些奇点的留数的计算. 如何计算留数，我们有下列方法：⑴ 一般方法：设0z 为函数()f z 的孤立奇点（无论是可去奇点、极点或本性奇点），将()f z 在0z 处展开为罗朗级数，并求出系数1a -，则有01Res[(),]f z z a -=.特别是当0z 为本性奇点时，这个方法是比较常用的方法.⑵ 一级极点情形：若0z 为()f z 的一级极点，则有00Res[(),]lim()()z z f z z z z f z →=-⑶ m 级极点情形：若0z 为()f z 的m 级极点，则有010011Res[(),]lim [()()]!m m m z z d f z z z z f z m dz--→=-⑷ 化为零点问题：若()f z =()()P z Q z ,()P z 和()Q z 在0z 点解析，且()P z ≠0，()Q z =0，'()Q z ≠0,则0z 为()f z 的一级极点，且有000()Res[(),]'()P z f z z Q z =当()f z 为函数时，这个方法是常用的方法.⑸ 可去奇点情形，若0z 是函数f (z )的可去奇点时，则有0Res[(),]0f z z =.无穷远点∞处的留数定义为：设()f z 在R ﹤z ﹤∞内解析，C 为该区域内的绕原点的任意一条正向简单闭曲线，则()f z 在孤立奇点∞处的留数为11Res[(),]()d 2πCf z a f z z i-∞==⎰.若()f z 在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，则()f z 的所有奇点（包括无穷远点∞）的留数的总和等于零.应用留数定理，可以计算一些实积分，称为围道积分方法.重要介绍是下列三种类型的实积分：⑴()d R x x ∞-∞⎰; ⑵()ed ,0iaxR x x a ∞-∞>⎰;⑶2π(cos ,sin )d R x θθθ⎰.在利用围道积分时，主要做两方面的工作.一是找一个与所求积分的被积函数密切相关的复变函数()F z ;二是找一条合适的闭路曲线C ，使得在这条闭曲线所围成的区域D 内()F z 只有有限个孤立奇点. ()F z 沿着C 的积分与实积分紧密相关，这样就可以应用留数定理计算实积分.重要术语及主题留数留数定理扩充复平面无穷远点的留数留数计算留数定理的应用习题五1.求下列函数的留数.⑴ 5e 1()zf z z -=在0z =处； ⑵ 11()e z f z -=在1z =处.2. 利用各种方法计算()f z 在有限孤立奇点处的留数. ⑴ 232()(2)z f z z z +=+; ⑵ 1()sin f z z z=.3. 利用罗朗展开式求函数21(1)sin z z+在∞处的留数. 4.求函数1()()m mz a z b --(,a b m ≠为整数)在所有孤立奇点（包括∞点）处的留数.5. 计算下列积分. ⑴tan πd Cz z ⎰, n 为正整数，C 为z =n 取正向;⑵10d ()(1)(3)Czz i z z +--⎰, C :z =2,取正向. 6. 计算下列积分.⑴ π0cos d 54cos m θθθ-⎰; ⑵2π20cos3d 12cos a a θθθ-+⎰ ,a >1; ⑶ +2222-d ,()()xx a x b ∞∞++⎰a >0,b >0: ⑷ 22220,()x x a ∞+⎰a >0: ⑸+222sin d ,()x xx x b β∞+⎰β>0, b >0: ⑹+22-e d ,ixx x a∞∞+⎰a >0: 7. 计算下列积分.⑴20sin 2d (1)xx x x ∞+⎰; *⑵ 21d 2πza z i zΓ⎰,其中Γ为直线Re x c =,c >0,0<a <1.。

五章留数及其应用

第五章留数及其应用§1. 孤立奇点一.孤立奇点的分类1. 孤立奇点的概念定义：若函数在点不解读，但在点的某一去心邻域内处处解读.则称为的孤立奇点.一.求下列函数的奇点，并各奇点是否为孤立奇点.<1） <2）<3）<4）注意:孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤立奇点.2. 孤立奇点的分类设为的孤立奇点,在点的洛朗展式为.(ⅰ> 若有恒成立，则称为的可去奇点.(ⅱ> 若有,但对于有恒成立，则称为的m阶极点.(ⅲ> 若有,则称为的本性奇点.说明: (1>为的洛朗展式，其和函数为在点解读的函数.(2> 无论函数在点是否有定义，补充定义则函数在点解读.3. 孤立奇点的类型的判断(1> 可去奇点的判定方法定理1设在点的某一邻域内解读,则为的可去奇点的充分必要条件是:.定理1’设是的孤立奇点,则为的可去奇点的充分必要条件是:在内有界.(2> 极点的判定方法结论：是的m阶极点的充要条件是:其中在邻域内解读,且.定理2设在点的某一邻域内解读,则为的极点的充要条件是:是的m阶极点的充要条件是:其中为一确定的非零复常数,m为正整数.(3> 本性奇点的判定方法定理3设在点的某一邻域内解读,则为的本性奇点的充要条件是:极限与均不成立.一.判断下列函数的奇点的类型：<1） <2）<3）二. 函数的零点与极点的关系定义：若有正整数m,使得,其中在点解读且,则称为的m阶零点.定理4若在点解读,则为的m阶零点的充要条件是:但一.判断函数的零点及其阶数.定理5 若为的m阶极点,则为的m阶零点.反之亦然.一.判断函数的极点及其阶数.三.函数在无穷远点的性态定义：若存在R>0,有函数在无穷远点的邻域内解读,则称无穷远点为的孤立奇点.设在无穷远点的邻域内的洛朗展式为那么规定:(ⅰ> 若有恒成立，则称为的可去奇点.(ⅱ> 若有,但对于有恒成立，则称为的m阶极点.(ⅲ> 若有,则称为的本性奇点.定理6设在区域内解读,则为的可去奇点、极点和本性奇点的充要条件分别是:极限存在、为无穷及即不存在,也不是无穷.一.判断下列函数的奇点的类型：<1）<2）<3）<4）例6. 判断函数的孤立奇点的类型.§2. 留数一.留数的概念及留数定理定义：设为解读函数的孤立奇点,其洛朗展式为,称系数为在处的留数,记作Res.例6求在孤立奇点0处的留数.例7求在孤立奇点0处的留数.例8求在孤立奇点0处的留数.定理7(柯西留数定理> 设在区域D内除有限多个孤立奇点外处处解读,C是D内包围各奇点的任意一条正向简单闭曲线,那么说明：留数定理把计算周线上的积分的整体问题转化为函数在周线所围成的区域内的各个孤立奇点处的留数的局部问题.例9 计算积分.二. 函数在极点的留数法则Ⅰ如果为的简单极点,则Res.例10 求在各孤立奇点处的留数.法则Ⅱ设,其中在点解读,如果为的一阶零点,则为的一阶极点,且例11 求在的留数.法则Ⅲ如果为的m阶极点,则Res.例12求在孤立奇点0处的留数.例13 计算积分例14 计算积分三. 无穷远点的留数定义：设函数在区域内解读,即为函数的孤立奇点,则称为在的留数,记作Res.定理8如果函数在z平面只有有限多个孤立奇点(包括无穷远点>,设为.则在所有孤立奇点处的留数和为零.法则Ⅳ(无穷远点的留数> 若为函数的孤立奇点,则Res Res.例15 求在它各有限奇点的留数之和.例16计算积分其中C为正向圆周§3. 留数在定积分计算中的应用一.形如的积分思想方法:把定积分化为一个复变函数沿某条周线的积分 .两个重要工作:1> 积分区域的转化,2> 被积函数的转化.当从0到时,z沿单位圆的正向绕行一周.例17 计算的值.二. 形如的积分设为复函数的实值形式,其中满足条件:(1> 。

高等数学第四册第三版数学物理方法答案(完整版)

高等数学第四册（第三版）数学物理方法答案（完整版）第一章复数与复变函数（1）1.计算)(1)2;i i i i i -=-=-()122(12)(34)(2)5102122.;345(34)(34)591655i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551(3).;(1)(2)(3)(13)(3)102i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4;i i i -=-=-=-1122())]a bi =+=112224sin )]()(cossin );22i a b i θθθθ=+=++3.设1z=2;z i =试用三角形式表示12z z 及12z z 。

解：121cossin;(cos sin );44266z i z i ππππ=+=+121155[cos()sin()](cos sin );2464621212z z i i ππππππ=+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231;z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆z =1的正三角形的顶点。

证明：1230;zz ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=--122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。

1231z z z ===123,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。

即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。

.17.证明：三角形内角和等于π。

证明：有复数的性质得：3213213arg;arg ;arg ;z z z z z z αβγ---=== 21z z z z -•-arg(1)2;k αβγπ∴++=-+0;k ∴=;αβγπ∴++=第一章复数与复变函数（2）7.试解方程()4400z a a +=>。

数学物理方法留数定理及其应用

1 dx , cosh x 1 dx 3 cosh x
对于条件(1)

奇点 z=/2i, 3/2i,
数学物理方法2015.02
第二节应用留数定理计算实函数的积分
计算积分设 f ( z)

1 dx cosh x
y=
1 cosh z
奇点 z=/2i, 3/2i, ，周期 2i -R

0
O
R
R

eix 1 dx cosh x 1 e
eiz C cosh z dz
0 eiR y eiR y dy i dy cosh( R iy ) cosh( R iy )
2 i iz Res f ( z ) e 1 e z i / 2
第二节应用留数定理计算实函数的积分
计算积分设 f ( z)

eix dx cosh x
y=
y=/2 y=0
1 cosh z
奇点 z=/2i, 3/2i, ，周期 2i -R
eiz C cosh z dz R R eix eix dx dx R cosh x R cosh( x i ) i
| z z0 |
f z dz a z z dz
n | z z0 | n n 0

z0
2 ia1
如何计算留数，或系数a-1
数学物理方法2015.02
第一节留数及留数定理
留数的计算方法
(1) 一般方法：利用留数的定义来求留数 (2) 根据孤立奇点的类型来计算留数

残数定理在复变函数中的应用

残数定理在复变函数中的应用樊婷（西安文理学院数学系，陕西西安 710065）摘要：残数定理是复变函数中的重要内容，本文主要讨论了残数定理与实积分、复积分之间的关系，最后给出了残数定理在实际中的一些简单应用。

关键词：残数定理;孤立奇点;辅角原理;儒歇定理残数定理是复变函数论中的基本理论，它是复积分和复级数理论相结合的产物，它与解析函数在孤立奇点的洛朗展开式，柯西复合闭路定理有着密切的联系，我们研究的残数定理就是柯西积分理论的延续。

首先，利用残数定理可以计算一些复杂的实积分；其次，它与计算周线积分的问题有着密切的关系，应用残数定理可以解决大范围的积分计算问题；再者，我们可以利用残数定理推导出辅角原理，进一步推导出儒歇定理，利用儒歇定理可以考察区域内零点分布问题；最后，残数定理也可以解决一些实际问题,例如本文所讨论的利用残数定理证明恒等式。

1．残数及其残数定理 1.1函数在孤立奇点的残数设函数)(z f 以有限点a 为孤立奇点，即)(z f 在点a 的某空心邻域R a z <-<0内解析，则积分)0,:()(21R a z dz z f i <<=-Γ⎰Γρρπ为)(z f 在点a 的残数，记为)(Re z f s az =. 1.2函数在无穷远点的残数设∞为函数)(z f 的一个孤立奇点，即)(z f 在去心邻域N-{∞}:+∞<≤r 0内解析，则称):(,)(21r z dz z f i >=Γ⎰-Γρπ为)(z f 在∞的残数，记为)(Re z f s z ∞=，这里-Γ是指顺时针方向（这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向）.1.3残数第一定理设函数)(z f 在围线或复围线C 所围的区域D 内，除n a a a a 321,,外解析，在闭域C D D +=上除n a a a a 321,,外连续，则)(Re 2)(1z f s i dz z f nk z z ck ∑⎰===π.注意：残数第一定理的应用范围，首先n a a a a 321,, 必须是孤立奇点；其次孤立奇点应该为有限个.但 W.托克奇指出，当)(z f 在D 内有无限多个孤立奇点时残数定理也成立． 1.4残数第二定理设)(z f 在扩充复平面除有限个孤立奇点n z z z ,,,21 及∞外解析，则)(z f 在诸孤立奇点的残数为零，即 0)(Re )(Re 1=+∞===∑z f s z f s z nk z z k. 注意：利用残数第二定理，当)(z f 的有限奇点较少且有限点的残数容易计算时，通过计算有限奇点的残数可得∞处的残数.反之，若)(z f 在∞处的残数能够求得时，计算)(z f 沿闭曲线的积分，是非常有效的.例1 计算积分dz z z z I z ⎰=++=5343320)1()4( 解：在圆周5=z 内，被积函数)(z f 有7个3级极点，计算它们的残数是比较困难的.在扩充复平面上)(z f 只有7个有限奇点，由第二残数定理，有)(Re 2z f s i I z ∞=-=π,而34332)1()14(11)1(++=⨯z z z z z f ， 11)1(Re )(Re 20-=⨯-==∞=zz f s z f s z z ，所以i I π2=.2.应用残数定理计算实积分残数定理是复变函数论中的基本理论之一，它有着十分重要的应用，尤其是对原函数不易求得的定积分和反常积分，是一个很有效的方法.为此，需要做两方面的工作：①选取恰当的复变函数作为被积函数；②选取恰当的闭曲线作为积分路径.分以下几种情况来说明如何用残数定理来计算特殊的实积分。

论文留数定理及其应用

石河子大学本科毕业论文（设计）留数定理及其应用院系师范学院专业数学与应用数学姓名向必旭指导老师曹月波职称讲师摘要留数，也称残数，是指函数在其孤立奇点处的积分。

综观复分析理论的早期发展，这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义。

同时，它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段，通过函数的选取，积分路径的选取等等，求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况，为积分理论的发展奠定了充分的基础。

1825 年，柯西在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中，基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题，并给出了关于留数的定义。

随后，柯西进一步发展和完善留数的概念，形成了定义。

柯西所给的这一定义一直沿用到了现在，推广到了微分方程，级数理论及其他一些学科，并在相关学科中产生了深远影响，成为一个极其重要的概念。

因而很自然地产生了这样一个问题：柯西为什么要定义这一概念或者说，什么因素促使柯西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想，揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义。

随着留数的发展，复积分的相关问题得到了极大的进步，并解决了一些广义积分和特殊定积分的计算问题。

关键字：留数；留数定理；积分目录摘要···············································1. 引言·············································2. 留数············································· 2.1 留数的定义及留数定理························ 2.2 留数的求法·································· 2.3 函数在无穷远处的留数························3. 用留数定理计算实积分3.1 计算形如∫f (cos x ,sin x )dx 2π0的积分············ 3.2 计算形如∫f (x )+∞−∞dx 的积分···················· 3.3 计算形如∫P (x )Q (X )+∞−∞e imx dx 的积分················3.4 计算形如∫P (x )Q (x )+∞−∞cos mxdx 和∫P (x )Q (x )+∞−∞sin mxdx 的积分3.5 计算积分路径上有奇点的积分···················· 参考文献1. 引言留数理论是柯西积分理论的延续。

5-第五章-留数定理

因此
z ez
e e1
C
z2
dz 1
2 π i( 2
) 2 πi ch1 2
：我们也可以用规则III来求留数
| Res[ f (z),1] z ez e ; 2z z1 2
| Res[ f (z),1] z ez e1 . 2z z1 2
这比用规则1要简单些，但要注意应用的条件。
z
例7
环域内绕原点的任何一条简单闭曲线，则积分
1
2π i f (z) d z C
称其为f (z)在点的留数，记作
1
Res[ f (z), ]
f (z)d z
2i C
这里积分路径的方向是顺时针方向，这个方向很自然
地可以看作是围绕无穷远点的正向。
将 f (z)在 R<|z|<+∞内的罗朗展式为
f
(z)
z 4z3
1 4z2
,故z1111C源自z4d 1z
2π
i( 4
4
4
4)
0
Ñ 例 8
计算积分
C
ez z(z 1)2
dz,
C
为正向圆周|z|=2.
[解] z=0为被积函数的一级极点, z=1为二级极点, 而
Res[ f (z),0] lim z0
z
ez z(z 1)2
lim z0
ez (z 1)2
1.
一、留数的定义
定义若f (z)在去心邻域 0 z z0 R内解析，
z0是f (z)的孤立奇点，C是 0 z z0内包R 围z0的
任意一条正向简单闭曲线，定义积分
1
2i
C
f
(z)d
z

§5.1-留数定理【VIP专享】

Res f (z)
z
由定义可以看出：Res z
f (z) c1
1
2 i C
f (z)dz
例1、求 f (z) ze1/z 在z=0的留数。
解：首先在z=0做Laurant展开：
f (z)
ze1/ z
z
n0
1 n!
1 zn
n0
11 n! z n1
显然：c1 1 / 2
则：Res f (z) 1
cos
z
1 2
所以：
cos
z3
z 1
z
2
i
1 2
i
例2、求
z 1
z sin 1 ez
z
3
dz
。
解：可以看出， z=0为被积函数的孤立奇点，且：
1 ez 1 zn z zn1 zg(z)
n0 n!
n1 n!
z
sin
z
z
n0
1n 2n 1!z
2
n1
z2h(z)
这里g(z),h(z)在z=0点皆为非0解析函数，所以：
显然：
n
1
1!
lim
z
d n1 dz n1
( z
)n
f
( z)
c1
则定理得证明。
推论1：设为f(z)的1阶极点，则：Res f (z) lim(z ) f (z)
z
z
推论2：设f(z)=(z)/(z)， (z),(z)在点解析，且()0，而
为(z)的一阶0点，即()=0, ’()0，则：
1 d0 d1(z ) c2 (z )2 L 1 g(z)
z
c1 c2 (z ) L

第5章留数定理及其应用

2 1 2 πi 2π = ∫ dz = = 2 2 i | z|=1 2 z + ε ( z + 1) i 1− ε 1− ε 2
例2：
∫
2π
0
1 dθ 3 − 2 cos θ + sin θ
第二节应用留数定理计算实函数的积分类型二
∫
+∞
−∞
f (x )dx
其中被积函数在实轴上无奇点；积分区间为(- , ) 无穷积分的收敛性柯西主值
∫
∞
0
F(x) cos mxdx π i = G(x)sin mxdx =π
∑Re s[F(b )e
k=1 n k k
n
imb k
] Imz>0 ] Imz>0
∫
∞
0
∑Re s[G(b )e
k=1
imb k
证明：证明： ∞
∫
0
F(x) cos mxdx = ∫ F(x) 0
∞
e
imx
∞ 1 ∞ −imx imx = [∫ F(x)e dx + ∫ F(x)e dx] 0 2 0 1 ∞ imx = ∫ F(x)e dx 2 −∞
−∞
cos x dx 3 cosh x
第二节应用留数定理计算实函数的积分类型三
(x )eimx dx ∫−∞ f
其中被积函数 f (x) 在实轴上无奇点；积分区间为(- , ),m > 0 -R O R
+∞
CR
∫
∞
−∞
f ( x)eimx dx = 2π i × { f ( z )eimz 在上半平面内所有奇点处的留数和}
第二节应用留数定理计算实函数的积分类型一

5 留数及其应用【VIP专享】

定理如果 z0是 f (z)的m级极点, 则z0就是 f 1(z)的m级零点, 反过来也成立.
这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法.
例 1 函数1 sin z有些什么奇点? 如果是极点, 指出它的级.
[解] 函数 1/sin z 的奇点显然是使 sin z=0 的点.这些奇点是
z=k (k=0,1,2,…).由于(sin z)'|z=k = cos z|z=k = (-1)k 0,
对f
w
(z)的研究变为在0
|
w |
1
内对j (w)的研究.显然j (w)
在 0 | w | 1
R
内解析, 所以w=0是孤立奇点.
R
lim f z limj w f (z)在无穷远点 z= 的奇点类型
z
w0
等价于j (w)在w=0的奇点类型。
即z=是f (z)的可去奇点, 极点或本性奇点, 完全看极限
z 2 z
求函数在孤立奇点z0处的留数即求它在洛朗级数中 (z-z0)-1 项的系数 c-1 即可. 但如果知道奇点的类型, 对求留数可能更有利.
如果 z0是 f (z)的可去奇点, 则 Res[f(z),z0]=0 . 如果 z0 是本性奇点, 则只好将其按洛朗级数展开. 如果 z0 是极点, 则有一些对求 c-1有用的规则.
Q(z) z - z0 其中j (z)在 z0 解析, 且j (z0)0. 故 z0 为 f (z)的一级极点.
根据规则
1, Res[
f
( z ),
z0
]
lim ( z
zz0
-
z0 )
f
( z ) ,而
Q(z0)=0.
所以

(整理)数学物理方法教案

中国海洋大学数学系教案
------《数学物理方法》
课程英文名称：Methods of Mathematical Physics
课程总学时：85
总学分：5
教材：高等数学（四）
编者：四川大学数学系
出版社：高等教育出版社
出版时间及版次：1985年6月第2版
授课对象：全校理工科学生
撰写人：尹彦彬赵元章王丽萍
撰写时间：2006年3月
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《数学物理方法》教案。

残数在组合计算中的应用

ｃ：＋ｃ＋＋：２・＋ｃ＋一：ｌｃ＋＋・・：ｌ
）测 ≠ 簪．０
设为ｆ（ｚ）的一个孤立奇点，则称
＝
也＋
出
・
上）为ｚ点处残，Ｒ（．一出）的数￣Ｊｓ）ｚ在ｅｆ
如果－）扩充ｚ面上只有有限个孤立奇厂在（平
．
出，
１
对于第二个积分，，２设（）＝
则妒在扩充平面上有奇点：０＝一１（）＝，丁
则Ｒｓｅ。
（
对于第２个积分
ｌ＿＋ｃ
＋＋＋） — … Ｉｚｚ， — ｌ．
＋＋．。＋．
：
ｌｉ
：ｍ
上
ｍｆ
（＋）１ …
‘＋
出
维普资讯
数学教学研究
２０年第１０８期
＝
１［等一
… ＋
２一
＋ —丁
解左【＝【
＋
＋笋・
】出
出
】出
＝
：
一
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残数基本定理的推广与应用

残数基本定理的推广与应用
残数基本定理是指任何一个多项式相当于一个基本元素的n次幂，即可求得其系数。

这个定理被广泛应用在代数中。

首先，残数基本定
理可以更深入地认识根和基本元素之间的关系，例如对任意多项式P （x），若α是其根，则α是其基本元素；同时，若α为基本元素，则其幂次k就是根的次数，也就是说任意多项式都可以拆分成一系列
不同根和不同次数的基本元素的乘积的形式。

此外，残数基本定理还可以帮助我们求解单项式多项式的系数，
可以将多项式作为基本元素的n次幂，即可求出系数；而零多项式可
以看作是常数，因此可以求出任意多项式的系数。

同样，仿射函数的
系数也可以用残数基本定理来求解，我们只需要将x变量的乘积或者
乘方转化为另一个变量的n次幂即可，再通过残数基本定理求出系数。

此外，残数基本定理还可以应用于分析Craig格子的周期，它的
周期等于残数基本定理的n，因此在求解Craig格子的周期时可以用残
数基本定理来求解。

残数基本定理在物理学中也有重要的意义。

在物理学中，残数基
本定理可以解释非线性系统的研究，例如波动方程，可以用残数基本
定理来求出其解，从而解决一类复杂的物理问题。

同时，残数基本定
理也可以用来求解熵变量之间的关系，因此也是熵的重要理论框架。

总之，残数基本定理是一个十分有价值、综合性的数学理论，在
代数中、物理学中以及熵的研究中有着广泛的应用，同时也有助于我
们更深入地探索多项式的内部特性，是对数学研究表现出的一种重要
的理论支撑。

对残数定理的进一步研究及推广

对残数定理的进一步研究及推广
残数定理是一种用于计算模运算的方法。

在模运算中，给定被模数n 和模数m，我们希望计算出a mod m的值，其中a是任意的整数。

残数定理告诉我们，如果我们将a除以m得到的余数称为a的残数，那么a mod m可以表示为以m为模数的残数类中与a同余的最小的非负整数。

残数定理具有广泛的应用，如加密、校验和、哈希函数等。

除了在模运算中的应用，残数定理也可以推广到其他领域。

比如在线性代数中，我们可以定义一个数在模意义下的残数类为所有对模数取模后余数相同的数的集合。

这样，我们可以用残数类代替底数，将矩阵运算和线性方程组求解等问题转化为残数类的运算和求解问题。

在图论和组合数学中，我们也可以使用残数定理。

比如在图的连通性问题中，我们可以考虑一个图在某个模数下的生成树个数的残数。

这个残数可以通过计算图的基尔霍夫矩阵的行列式在模意义下的值来得到。

总之，残数定理不仅在模运算中应用广泛，还可以推广到其他领域。

在这些领域中，残数定理通常被用于求解复杂问题，提高计算效率，具有重要的理论和实践意义。

残数法名词解释

残数法名词解释
嘿，你知道残数法吗？这玩意儿可神奇啦！就好比你有一块拼图，
看似不完整，但通过一些巧妙的方法，就能把它缺失的部分给找出来。

残数法呢，其实就是一种在数学和科学领域中超级有用的方法。

比如说，在计算一些复杂的积分时，我们就可以用残数法。

就好像
你在解一道超级难的谜题，其他方法都搞不定，但残数法就像一把神
奇的钥匙，能一下子打开那扇困住你的门。

“哎呀，这积分可怎么算呀！”这时候残数法就闪亮登场啦！它能帮
我们找到那些隐藏在复杂表达式背后的关键信息。

你看，这多厉害呀！
想象一下，你在一个迷宫里，到处都是弯弯绕绕，找不到出路。

残
数法就像是突然出现的指示牌，告诉你该往哪儿走。

再举个例子，在研究物理问题时，残数法也能发挥大作用呢！它就
像一个神奇的工具，能帮我们理解那些看似复杂无比的物理现象。

我记得有一次，我们在课堂上遇到一个特别难的物理问题，大家都
愁眉苦脸的。

结果老师用残数法一分析，哇塞，一下子就豁然开朗了！同学们都忍不住惊叹：“原来还可以这样啊！”
残数法真的是太神奇啦，它就像一个隐藏在数学和科学世界里的秘
密武器，能帮我们解决好多难题呢！它不是那种死板的方法，而是充
满了灵活性和创造性。

所以呀，可千万别小瞧了残数法哦！。

残数演算

残数演算
术语“残数”首次出现于柯西在1826年写的一篇论文中(文献[1]，(2)15)．他认为残数演算已成为“一种类似于微积分的新型计算方法”，可以应用于大量问题，“例如……直接推出拉格朗日插值公式，等根或不等根情形下分解有理函数，适合于确定定积分值的各种公式，大批级数尤其是周期级数的求和．具有有限或无限小差分和常系数、末项带或不带变量的线性方程的积分，拉格朗日级数或其他类似级数，代数或超越方程的解，等等．”
他给出了m阶极点x1处的残数公式
他先后得到关于矩形、圆和一般平面区域的残数定理
∫f(z)dz=2πiEf(z)，
其中E表示“提取残数”即求f(z)在区域内所有极点处残数之和．他还详细讨论了极点位于矩形边界时如何适当修正系数2πi(文献[1]，(2)6，pp．124—145)．
1843年，柯西向科学院递交了很多短论，表明残数演算可用于椭圆函数论．次年刘维尔发表了有界双周期函数恒等于一常数的定理后，柯西立即指出它可以从残数理论推出并可推广到一般情形．1855年，他证明了
其中Z(z)是在区域S中只有孤立极点的函数，积分沿S的边界，N，P分别为Z(z)在S中零点和极点的个数(文献[1]，(1)12，pp．285—292)．他对残数演算的兴趣终生不减，去世前三月还发表题为《残数新理论》(Théorie nouvelle des residues，见文献［1］，(1)12)的论文．残数演算很快引起了同时代数学家的注意，越出了法国国界．1834与1837年在意大利和英国分别出现了有关的综述．M．P．H．洛朗(Laurent)于1865年出版了专著《残数理论》(Théorie des residues)．俄国第一篇关于复变函数的论文是Ю．索霍茨基(Сохоцкий)1868年发表的关于残数及其应用的学位论文．。

留数定理及其应用

+∞
f (z) =
cnzn,
n=−∞
§5
实积分
2π 0
R(cos
θ,
sin
θ)
dθ
6
则
cn
=
1 2πi
Γ

f (z) zn+1
dz.
令 n = −1，得
c−1
=
1 2πi
f (z) dz.
Γ
与式 (8) 比较，即得
Res f (∞) = −c−1.
(9)
如果函数 f (z) 在 z 平面上只有有限个孤立奇点，那么 ∞ 点当然也是孤立奇点．这时候，它们的留
(r < ρ < ∞)
(8)
称为 f (z) 在 ∞ 点的留数，记作 Res f (z)，或简记为 Res f (∞)，或 Res(f, ∞)．
z=∞
注以上积分取 Γ 的负方向，这正是包围 ∞ 点的正方向．显然，只要 r < ρ < ∞，上述积分的数值
与 ρ 的大小无关．
设 f (z) 在 r < |z| < ∞ 内的 Laurent 展开式为
z=0
= 1,
Res f (1) =
1 z
= −1,
z=1
故 I = 2πi[Res f (0) + Res f (1)] = 0．
注如果没有留数定理，我们可以作两个小圆周分别包围一阶极点 z = 0 和二阶极点
z = 1，根据 Cauchy 积分定理，原积分等于沿两个小圆周的积分之和，后两个积分可以分别
式，故 I = 2πi sin 0 = 0．
例3 I=
e1/z dz．
|z|=1
解本题的被积函数 f (z) = e1/z 在圆周 |z| = 1 的内部有一个本性奇点 z = 0，它在