不定积分例题及答案

第4章不定积分

内容概要

课后习题全解

习题4-1

1.求下列不定积分：

知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！

★(1)

思路: 被积函数52

x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5

322

23x dx x C --==-+⎰

★(2)dx

-

⎰ 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1

14111

3332223()2

4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★(3)22x x dx +⎰（）

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：22

32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）

★(4)3)x dx -

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：3153

222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰ ★★(5)4223311x x dx x +++⎰

思路:观察到422223311311

x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x

++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)2

21x dx x +⎰

思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：22

21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)x dx x x x ⎰34

134（-+-）2 思路:分项积分。

解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x

x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 ★

(8)23(1dx x -+⎰

思路:分项积分。

解

：2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ ★★

(9)

思路

=？

看到11172488x

x ++==，直接积分。 解

：7

15888.15

x dx x C ==+⎰ ★★(10)

221(1)dx x x +⎰ 思路:裂项分项积分。

解：222222111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x

x x x x x x =-=-=--++++⎰⎰⎰⎰ ★(11)211

x x e dx e --⎰ 解：21(1)(1)(1).11

x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--⎰⎰⎰ 3x x e dx ⎰

思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然3

3x x x e e =（）

。 解：333.ln(3)x x x x e e dx e dx C e ==+⎰⎰（）（） ★★(13)2cot xdx ⎰

思路:应用三角恒等式“22cot

csc 1x x =-”。 解：22cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+⎰⎰

★★(14)23523x x

x dx ⋅-⋅⎰

思路:被积函数 235222533

x x x x ⋅-⋅=-（），积分没困难。 解：2()2352232525.33ln 2ln 3

x x

x x x dx dx x C ⋅-⋅=-=-+-⎰⎰（（）） ★★(15)2cos 2x dx ⎰ 思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。

解：21cos 11cos sin .2222

x x d dx x x C +==++⎰

⎰ ★★(16)11cos 2dx x +⎰ 思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。

解：

221111sec tan .1cos 222

2cos dx dx xdx x C x x ===++⎰⎰⎰ ★(17)cos 2cos sin x dx x x -⎰ 思路:不难，关键知道“22

cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )x x x x x x x =-=+-”。 解：

cos 2(cos sin )sin cos .cos sin x dx x x dx x x C x x =+=-+-⎰⎰

★(18)22cos 2cos sin x dx x x ⋅⎰ 思路:同上题方法，应用“22cos 2cos sin x x x =-”，分项积分。

解：22222222cos 2cos sin 11cos sin cos sin sin cos x x x dx dx dx x x x x x x x

-==-⋅⋅⎰⎰⎰⎰

★★(19)dx ⎰

思路:注意到被积函数

==，应用公式(5)即可。

解：

22arcsin .dx x C ==+⎰ ★★(20)21cos 1cos 2x dx x ++⎰

思路:注意到被积函数 22221cos 1cos 11sec 1cos 2222cos x x x x x

++==++，则积分易得。 解：221cos 11tan sec .1cos 2222

x x x dx xdx dx C x ++=+=++⎰⎰⎰ ★2、设()arccos xf x dx x C =+⎰，求()f x 。

知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：直接利用不定积分的性质1：

[()]()d f x dx f x dx =⎰即可。 解：等式两边对x 求导数得：

★3、设()f x 的导函数为sin x ，求()f x 的原函数全体。

知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。

思路分析：连续两次求不定积分即可。

解：由题意可知，

1()sin cos f x xdx x C ==-+⎰ 所以()f x 的原函数全体为：112cos sin x C dx x C x C -+=-++⎰（）。

★4、证明函数21,2

x x e e shx 和x e chx 都是s x e chx hx -的原函数 知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。

思路分析：只需验证即可。

解：2x x e e =，而22[][][]x x x x d d d e e shx e chx e ===1()