波函数和薛定谔方程
薛定谔方程与波函数的意义
薛定谔方程与波函数的意义量子力学（Quantum Mechanics）是一种描述微观世界的理论框架，薛定谔方程（Schrodinger Equation）是其中最为基本的方程之一，而波函数（Wave Function）则是薛定谔方程的解。
薛定谔方程的提出和波函数的出现，彻底改变了人们对微观粒子行为的认识，揭示了粒子实物性质背后的波动性质。
薛定谔方程的形式为：{{Hψ = Eψ}}其中，{{H}} 是系统的哈密顿算符（Hamiltonian Operator），{{ψ}} 是波函数，{{E}} 是系统的能量。
薛定谔方程通常应用于描述微观粒子的运动和相互作用。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子的波函数，而波函数是描述粒子状态的数学函数。
波函数的意义体现在以下几个方面：1. 描述微观粒子的性质：波函数是描述微观粒子行为的工具。
通过波函数，可以获得粒子在空间中的分布概率和动量分布等信息。
波函数是一个复数函数，其模的平方表示在某一时刻发现粒子的概率密度。
波函数的平方和为1，意味着粒子必然处于某个位置。
2. 质点的波粒二象性：根据波动粒子二象性，粒子不仅可以表现出粒子性，还可表现出波动性。
波函数是描述波动性的数学工具，能够描述质点的位置、速度、动量和能量等经典物理量。
3. 波函数的求解：波函数通过薛定谔方程的求解得到。
不同的系统具有不同的哈密顿算符{{H}}，因此对于不同的物理系统，薛定谔方程的形式也会不同。
求解薛定谔方程可以得到粒子的能量和相应的波函数，从而揭示了粒子的量子性质。
4. 波函数的演化：根据薛定谔方程，波函数会随着时间的演化而变化。
在没有外界干扰的情况下，波函数的演化是由方程中的哈密顿算符所决定的。
通过对波函数的演化研究，可以得到粒子在不同时间下的状态信息。
5. 量子力学基本原理的体现：薛定谔方程和波函数是量子力学基本原理的数学表述。
通过方程的求解，可以计算粒子的行为，比如能谱、波包展开和散射等。
波函数与薛定谔方程
波函数与薛定谔方程引言：在量子力学中，波函数与薛定谔方程是两个核心概念。
波函数描述了粒子的量子态，而薛定谔方程则给出了波函数的时间演化规律。
本文旨在解释波函数与薛定谔方程的概念，并探讨它们在量子力学中的重要性。
一、波函数的定义与性质：波函数用符号Ψ表示，是随时间和空间变化的数学函数。
对于一个单粒子的量子系统，波函数Ψ(x,t)是描述其位置和时间依赖的函数，其中x表示位置，t表示时间。
波函数的模的平方|Ψ(x,t)|²（也称为概率密度）给出了在某个位置找到粒子的概率。
波函数的归一化要求概率密度在整个空间积分为1，即∫|Ψ(x,t)|²dx = 1。
另外，波函数是复数形式的，通过它可以得到粒子的相位和幅度信息。
二、薛定谔方程及其意义：薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出的，用于描述量子系统的演化。
薛定谔方程的一般形式为：ih∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，h是普朗克常数，Ψ是波函数，H是哈密顿算符。
薛定谔方程可以看作是一个时间演化方程，它告诉我们波函数如何随时间变化。
三、薛定谔方程的解与量子态的演化：薛定谔方程的解Ψ(x,t)给出了波函数在时间和空间上的演化规律。
解薛定谔方程有多种方法，其中最常见的是分离变量法、微扰法和数值计算法。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子在不同时间、不同位置的波函数。
薛定谔方程解的平方Ψ(x,t)²表示了在经典条件下，在某个位置x找到粒子的概率密度分布。
波函数的演化规律是通过薛定谢方程来描述的，因此它反映了量子态的演化过程。
波函数的演化可以告诉我们粒子的位置、动量和能量等重要信息。
四、波函数的物理意义：波函数不仅仅是一个数学概念，它具有重要的物理意义。
首先，波函数的平方给出了在某个位置找到粒子的概率密度分布。
这一点与经典物理中的粒子位置概念是不同的，因为在量子力学中，粒子的位置是模糊的，只能通过概率来描述。
其次，波函数还包含了粒子的相位信息。
量子力学中的波函数与薛定谔方程
量子力学中的波函数与薛定谔方程量子力学是研究微观粒子行为的物理学分支，它提供了一种描述微观粒子状态和性质的数学框架。
波函数和薛定谔方程是量子力学中最基本的概念和方程，它们对于理解量子世界起着至关重要的作用。
一、波函数的概念与性质在量子力学中，波函数是描述一个粒子状态的数学函数。
波函数通常用希腊字母Ψ表示，它的本质是由Schrödinger方程产生的解。
波函数的平方的绝对值表示了在给定的坐标和时间点上发现粒子的概率密度。
波函数具有以下几个重要的性质：1. 归一化性：波函数的归一化要求其在整个空间范围内的概率积分为1，保证了粒子存在的概率。
2. 连续性：波函数在连续性要求下需要满足薛定谔方程，保证了粒子的连续性。
3. 可复的性：波函数可复性表示波函数可以是复数形式，具有实部和虚部。
二、薛定谔方程薛定谔方程是描述量子体系中波函数随时间演化的基本方程，由奥地利物理学家艾尔温·薛定谔于1926年提出。
薛定谔方程可以用于求解各种量子力学问题，从而得到波函数。
薛定谔方程的一般形式为：HΨ = EΨ其中，H是哈密顿算符，Ψ是波函数，E是能量。
薛定谔方程可以通过对哈密顿算符作用于波函数得到，它描述了波函数随时间的变化规律。
三、波函数与薛定谔方程的应用波函数和薛定谔方程在量子力学的各个领域都有广泛的应用。
下面以几个典型的例子来说明其在实际问题中的应用。
1. 粒子在势场中的行为：通过求解薛定谔方程，可以得到粒子在给定势场中的波函数。
根据波函数的模方，可以得到粒子在势场中的概率分布，进而研究其运动规律。
2. 量子力学中的双缝实验：双缝实验是量子力学的经典实验之一。
通过薛定谔方程可以得到双缝实验中的波函数，从而解释了粒子的波粒二象性。
3. 原子与分子结构：波函数和薛定谔方程在原子与分子结构的研究中发挥了关键作用。
通过求解薛定谔方程，可以得到原子与分子的能级结构和等离子态。
四、波函数与薛定谔方程的发展与挑战自薛定谔方程提出以来，波函数与薛定谔方程的研究不断发展，并面临着一些挑战。
简述薛定谔方程与波函数
简述薛定谔方程与波函数
薛定谔方程是描述量子力学中一个粒子的运动的基本方程之一，其形式为时间-空间偏微分方程。
它是由奥地利物理学家艾尔温·薛定谔于1925年提出的。
薛定谔方程是描述粒子波函数的演化的方程，其中波函数是对一个粒子可能状态的描述。
波函数是一个数学函数，它描述了粒子在给定时刻的位置和动量的所有可能状态。
薛定谔方程将波函数与粒子的能量联系起来。
它描述了波函数在时间和空间上的演化方式，并将粒子的能量表示为波函数的特征值。
薛定谔方程可以用于计算粒子在各种情况下的运动和行为。
这些情况可以是粒子在外场中的运动，或者是两个或多个粒子的相互作用。
波函数是用来描述量子系统的数学对象。
它是一个数学函数，它描述了粒子在空间中的位置和运动状态的可能性。
波函数是一个复数函数，其模的平方表示在给定位置上发现粒子的概率。
波函数的模的平方越大，粒子出现在该位置的概率越高。
波函数在时间和空间上的演化可以由薛定谔方程描述。
波函数会根据薛定谔方程在不同的时间和空间位置上演化。
波函数在时间演化的过程中，其振幅和相位不断地变化。
这些变化可以用波函数的频率和波长来描述。
薛定谔方程和波函数是量子力学的基本概念之一，它们被广泛应用于研究和理解原子、分子和固体等量子系统的行为。
薛定谔方程和波函数的发展使得人们对物质世界的认识有了深刻的改变，也为现代科技的发展做出了重要的贡献。
波函数和薛定谔方程
波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程是量子力学中两个重要的概念。
波函数是用来描述量子系统状态的数学函数，而薛定谔方程则是描述波函数随时间演化的微分方程。
本文将介绍波函数和薛定谔方程的基本原理和应用，并探讨它们对量子力学的重要性。
一、波函数的概念和性质1. 波函数的定义波函数是量子力学中用来描述量子系统的数学函数。
它通常用符号ψ来表示，且是复数函数。
波函数的模的平方表示了找到该系统处于某个状态的概率。
2. 波函数的物理意义波函数的物理意义是描述了量子系统的可能状态和其对应的概率分布。
通过对波函数的求模平方，我们可以得到量子系统在不同状态的概率分布图。
3. 波函数的归一化条件波函数必须满足归一化条件，即在整个空间内积分后等于1。
归一化条件保证了系统一定会处于某个状态，并且概率总和为1。
二、薛定谔方程的基本形式和解析解1. 薛定谔方程的基本形式薛定谔方程是描述量子系统波函数在时间上演化的基本方程。
一维情况下，薛定谔方程可以写为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m ∂²ψ/∂x² + V(x)ψ式中符号的含义为ħ为约化普朗克常数，m为粒子的质量，V(x)为势能函数。
2. 薛定谔方程的解析解对于某些特定的势能函数，薛定谔方程存在解析解。
比如自由粒子情况下的薛定谔方程的解为平面波，简谐振子情况下的薛定谔方程的解为倒谐波。
三、波函数和薛定谔方程的应用1. 粒子在势阱中的行为波函数和薛定谔方程被广泛应用于研究粒子在势阱中的行为。
通过对势能函数和初始条件的设定，可以计算出粒子的波函数演化，并分析粒子的行为，比如能量谱和态密度等。
2. 电子在固体中的行为波函数和薛定谔方程在固体物理学中有着重要的应用。
通过求解薛定谔方程，可以得到电子在晶体中的波函数，从而研究电子的能带结构、载流子运动以及材料的电导性等性质。
3. 分子和化学反应波函数和薛定谔方程在化学领域中也有广泛的应用。
通过求解薛定谔方程，可以得到分子的波函数，从而研究化学反应的动力学过程、反应速率以及分子能谱等性质。
36-1第三十六讲波函数-薛定谔方程
注 意 ：a) 波函数不是一个物理量，是用来表示测量 概率的数学量。 b) 波函数（描述的微观粒子运动状态，即 德布罗意物质波）是概率波，
它描述微观粒子的运动状态是以微观粒子在 t时刻出现在空间某处的概率来表示。
I | |2 z x iy, z x iy
由光子理论知：
n | |2
n—单位体积内粒子数，
单位体积内粒子数n正比单个粒子t时刻在该单位 体积内出现的概率。
因此：空间某处波函数模的平方与单个粒子t时刻 在该处单位体积内出现的概率成正比。
1926年波恩提出：实物粒子的德布罗意波是一种概 率波，t时刻粒子出现在
1925年薛定谔在德布罗意假设的基础上， 建立了微观粒子所遵循的方程，即薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的基本方程，它揭示 了微观物理世界物质运动的基本规律，就像牛顿 定律在经典力学中所起的作用一样。
薛定谔方程是量子力学的一个基本假设,它 既不可能从已有的经典规律推导出来,也不可能 直接从实验事实总结出来(因为波函数本身是不 可观测的).实际上是“猜” 加“凑”出来的.方 程的正确性只能靠实践检验.到目前为止,实践检 验它是正确的.
c) 根据玻恩的解释，波函数本身并没有直接的 物理意义，有物理意义的是波函数模的平方，
波函数模的平方 | (r, t) |2 描述微观粒子在t时 刻出现在空间某处的概率。
从这点来说，物质波在本质上与电磁波、机械 波是不同的。物质波是一种概率波，它反映微 观粒子运动的统计规律。
波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，只 给出到达各点的统计分布。一个粒子下一时刻出现在 什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）。
量子力学中的波函数与薛定谔方程
量子力学中的波函数与薛定谔方程量子力学是描述微观粒子行为的一门物理学科，它提出了一种新的描述方式——波函数。
波函数是量子力学的核心概念，它可以用来描述粒子的位置、能量、动量等性质。
而薛定谔方程则是描述波函数随时间演化的数学表达式。
本文将重点讨论波函数与薛定谔方程在量子力学中的重要性和应用。
一、波函数的概念与性质波函数（ψ）是量子力学中对粒子状态的描述。
它是一个复数函数，包含了粒子位置、能量等信息，并且满足归一化条件，即在整个空间内的积分平方和为1。
波函数的模的平方，即|ψ|²表示粒子在某个位置上的出现概率密度。
波函数具有叠加原理，也就是说多个波函数可以叠加形成新的波函数。
这个叠加过程可以用波函数的线性组合来表示，其中各个波函数所对应的系数表示了它们的相对贡献程度。
二、薛定谔方程的形式与意义薛定谔方程是描述波函数随时间演化的方程，它是由薛定谔于1925年提出的。
薛定谔方程的一般形式为：Ĥψ = Eψ其中Ĥ为哈密顿算符，E为能量本征值，ψ为波函数。
这个方程描述了体系中的粒子在不同的势场中的运动规律。
三、波函数与薛定谔方程的应用1. 原子结构与电子行为在原子结构研究中，波函数被用来描述电子在原子核周围的分布情况。
薛定谔方程可以求解出不同原子的能级和电子轨道分布，从而解释和预测原子光谱的性质。
2. 材料物性与波函数分析波函数可以用来研究材料的结构和物性。
通过计算材料中的波函数，可以得到材料的能带结构、电子密度分布等信息，从而揭示其导电性、磁性等特性。
3. 量子力学中的粒子碰撞在粒子碰撞研究中，波函数描述了入射粒子和出射粒子之间的相互作用。
利用薛定谔方程求解波函数，可以计算出散射截面、角分布等碰撞参数。
4. 量子计算和量子通信波函数的叠加性为量子计算和量子通信提供了基础。
量子计算利用波函数的叠加原理，利用量子态的叠加特性进行并行运算，从而加快计算速度；量子通信利用波函数的纠缠性质，实现了安全的信息传输。
大学物理(下册) 14.6 波函数 薛定谔方程
1.所描述的状态称为 F 的本征态，而上式则 称为本征值方程；
2.波函数的标准条件：单值、有限和连续；
例题 14.6.1 设质量为m的粒子沿x轴方向运动，其势 能为： , x 0,x a Ep u ( x) 0, 0 x a （14.6.15）
无限深势阱：该势能如图所示形如一 无限深的阱，故称无限深势阱，本问 题为求解该一维无限深势阱内粒子的 波函数。
2 2 1 f ( t ) (x, y,z ) 推出： i V (x, y,z ) f (t ) t 2m (x, y,z )
设常量E：
1 f (t ) i E f (t ) t
2
[
2m
V (x, y,z )] (x, y,z ) E (x, y,z )
o
a
x
解：分析 因为势能不随时间变化，故粒子波函数 满足定态薛定谔方程，在势阱内势能为零故其定 态薛定谔方程为：
定态薛定谔方程为：
Ep
k 2mE
d 2 k 0 2 dx
2
其通解为： ( x)
A sin kx B cos kx
o
a
x
由波函数的标准条件：单值、有限和连续可得：
2.定态薛定谔方程 势能函数： V V ( x, y, z ) 波函数可以分离为坐标函数和时间函数的乘积：
(x, y,z,t ) (x, y,z ) f (t )
（14.6.8）
将其代入薛定谔方程式：
2 f (t ) i (x, y,z ) 2 (x, y,z ) f (t ) V (x, y,z ) (x, y,z ) f (t ) t 2m
2
解之得： 定态波函数：
波函数和薛定谔方程
波函数和薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一，描述了微观粒子的运动和性质。
而波函数则是薛定谔方程的解，通过波函数可以得到粒子的位置、动量等信息。
在量子力学中，波函数起着至关重要的作用，它是一种描述微观量子系统的数学工具。
下面将详细介绍波函数和薛定谔方程的基本概念和性质。
在量子力学中，波函数通常用Ψ（psi）来表示，它是一个关于时间和空间的复数函数。
波函数的模的平方|Ψ|² 可以描述粒子存在于某个位置的概率密度，即波函数的绝对值平方代表了粒子在空间中的分布情况。
波函数Ψ满足归一化条件，即积分∫|Ψ|² dV = 1，其中dV表示体积元素。
这意味着波函数描述的是单位概率密度，即粒子存在于空间中的概率为1。
薛定谔方程是描述波函数随时间演化的方程，一般写为：iℏ∂Ψ/∂t = -ℏ²/2m ∇²Ψ + VΨ其中，i表示虚数单位，ℏ是普朗克常数的约化普朗克常数，m是粒子的质量，∇²是拉普拉斯算子，V是势能函数。
薛定谔方程包含了波函数的时间演化和空间演化，可以描述量子粒子在不同势场中的运动和行为。
波函数的物理意义在于可以通过对波函数的操作得到粒子的物理量。
例如，对波函数Ψ做位置算符作用Ψ(x)，可以得到粒子的位置期望值；对波函数Ψ做动量算符作用-iℏ∇Ψ(x)，可以得到粒子的动量期望值。
波函数还可以描述量子系统的波包运动、干涉效应等现象，展现了量子力学的奇妙之处。
总之，波函数和薛定谔方程是量子力学中的核心概念和基本方程，它们揭示了微观世界的规律性和奇特性。
通过深入理解和研究波函数和薛定谔方程，可以更好地理解量子世界的奥秘，推动量子科学的发展和应用。
希望本文的介绍对读者有所帮助，激发对量子力学的兴趣和研究。
波函数及薛定谔方程
t 时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的 粒子数与总粒子数之比
t 时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积 内的概率
t 时刻，粒子在空间的概率密度分布
注意：
物质波的波函数不表示任何实在物理 量的波动，不描述介质中运动状态（相 位）传播的过程,
NN
标准条件
Ψ是单值、有限、连续的 。
二、薛定谔方程： 是波函数 Ψ所遵从的方程 — 量子力学的基本方程 , 是量子力学的基本假设之一，其正确性由实验检验。
1. 建立 （简单→复杂， 特殊→一般）
一维自由粒子的振幅方程
Ψ (x,t)
=Ψ e−
i ℏ
(
E
t
−
px
⋅
x
)
0
=
Ψ
0e
+
i ℏ
p
x
⋅x
−i Et
2 x
2m
代入
d2ψ ( x) dx2
=
−
px ℏ2
2
ψ
(
x
)*
得
d 2ψ ( x ) dx2
+
2 mE ℏ2
ψ
(x)
=
0
即 一维自由粒子的振幅方程
p
2 x
=
2mE
一维定态薛定谔方程
粒子在力场中运动，且势能不随时间变化
E
=
Ek
+
Ep
=
p
2 x
2m
+U
px2 = 2m(E −U )
代入
d2ψ ( x) dx2
∴ 建立关于振幅函数 ψ(x)的方程 —— 振幅方程
大学物理13.3波函数薛定谔方程
2 y2
2 z 2
( x,
y, z)
2m 2
(
E
V
)
(
x,
y,
z)
0
若粒子在一维空间运动，则
d2 dx2
(
x)
2m 2
(
E
V
)
(
x)
0
1993年克罗米等人，用扫描隧道显微镜发 现了量子围栏中的驻波，再次直观地证实了电 子的波动性，支持了薛定谔波动力学.
13.3.3 一维无限深方势阱中运动的粒子
假设粒子只能沿x 轴作一维运动，且势能 函数具有如下形式
V ( x) 0 V ( x)
0 xa x 0和x a
V ( x)
o
a
x
由于 V与( x时) 间无关，因此在势阱中运动的 粒子处于定态，可以用一维定态薛定谔方程 求解.
在区域内 x 0和，x a ，V具( x有) 有限能量 的粒子不可能出现.
因此 (x) 0
在区域内 0 x ， a V (因x)此 有0.
薛定谔的波动方程成功地解决了氢原子光 谱等一系列重大问题.
波动力学与矩阵力学是完全等价的，是 同一种力学规律的两种不同表述，而且它们 都属于非相对论性的量子力学.
下面用一类比较简单的问题即粒子在恒定 力场中的运动，由于这种问题中势能函数V 和粒子能量E 与时间无关，这时粒子处于定 态，则粒子的定态波函数可以写成
则 4B3 2xe2Bx 2Bx2e2Bx 0
所以 x， 0 x， 1 B时x，概率密度 有 极值 .( x) 2
而只有二阶导数
d2 dx 2
(x)2
x 1 B
0
所以在 x 处1，B概率密度有最大值，即粒 子在该位置处出现的概率最大.
大学物理：量子物理第二章 波函数和薛定谔方程-1
量子力学
粒子状态的 坐标（位置） 基本描述 动量（运动速度） --都是确定量
粒子具有波粒二象性，不可 能同时具有确定的坐标和动 量，坐标和动量都是以一定 的几率出现。用波函数描写 体粒子的量子状态。
其它量
其它物理量如能量等都 所有其它量都是以一定几率
是坐标和动量的函数-- 出现--用波函数描写体粒子
电子在底片上各位置出现的几率不是常数，出现的几率大， 即出现干涉图样中的“亮条纹”；有些地方电子出现的几率 为零，没有电子到达，显示“暗条纹”。在电子双缝干涉实 验中观察到的，是大量事件所显示出来的一种概率分布。 玻恩对波函数物理意义的解释：波函数在空间某一点的 强度和在该点找到粒子的几率成正比。
8
E p2 2m
自由粒子波函数：
(x,
t
t)
i
E
( x, t )
E (x,t) i (x,t)
t
x
i
p
2
x 2
p2 2
p2
2 2
x2
2 2
i t 2m x2
3
一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：
i
t
2
2m
2
x 2
三维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：
i
t
2
2m
(
2
x2
2
y 2
都是确定量
的量子状态。
11
例如在量子力学中力学量表示为：
对于一维粒子出现在x坐标的平均值为
x x | (x) |2 dx *(x) x (x)dx
相应的涨落偏差
结论：经典力学能够表示粒子确定的位置和动量，但是量子力
学中的波函数只能给出粒子位置的平均值x 及其偏差(x)2 。 12
19-8一、波函数、二、薛定谔方程
对于在势场中作三维运动粒子薛定谔方程为： 对于在势场中作三维运动粒子薛定谔方程为：
− h2 2 ∂ψ v ψ ∇ ψ + U(r, t) = ih 2m ∂t
∇ =
2
+ 2+ 2 ∂x2 ∂y ∂z
∂
2
∂
2
∂
2
称
2 为拉普拉斯算符， 拉普拉斯算符， ∇
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16
四、定态薛定谔方程
y( x, t ) = Ae
−i 2π (νt − x λ )
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2
物质波用什么样的波函数描述？ 物质波用什么样的波函数描述？ 一个沿x轴正向运动 能量为E，动量为P的自由粒子对 轴正向运动， 一个沿 轴正向运动，能量为 ，动量为 的自由粒子对 应于沿x轴正向传播的单色平面物质波 其波函数为： 轴正向传播的单色平面物质波， 应于沿 轴正向传播的单色平面物质波，其波函数为：
ν =E h
i t x − (E −p ) e h 0
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4
ψ(x, t) =ψ
方向传播的三维情况 三维情况， 考虑到自由粒子沿 r 方向传播的三维情况， 波函数可写为： 波函数可写为：
i vv t − (E −p⋅r) e h 0
v
v ψ(r, t) =ψ
其中波函数模的平方为： 其中波函数模的平方为：
2
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17
1 − h 2 1 ∂ f (t) v 2m ∇ ϕ + U(r)ϕ = ih f (t) ∂ t ϕ
2
方程左边只是空间坐标的函数， 方程左边只是空间坐标的函数， 右边只是时间的函数， 右边只是时间的函数， 只有两边都等于一个常数等式才能成立。 只有两边都等于一个常数等式才能成立。 令这一常数为E 令这一常数为 。则：
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析在量子力学中，薛定谔方程（Schrodinger Equation）是描述微观粒子行为的基本方程。
它以奥地利物理学家厄尔温·薛定谔（Erwin Schrodinger）的名字命名，是量子力学理论的核心。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m ∇²Ψ + VΨ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常量除以2π，∂Ψ/∂t表示波函数关于时间的偏导数，m是粒子的质量，∇²Ψ表示波函数的拉普拉斯算子，V是势能函数，Ψ表示波函数。
波函数Ψ是描述量子粒子的状态的数学函数。
它包含了粒子的位置、动量、自旋等信息。
根据量子力学的基本假设，波函数Ψ的模的平方|Ψ|² 可以解释为在不同位置找到粒子的概率密度。
薛定谔方程是一个偏微分方程，求解它得到的波函数解析表达式可以提供关于粒子行为的重要信息。
然而，对于复杂系统，薛定谔方程的解析求解并不容易。
因此，通常采用数值方法或近似方法进行求解。
对于简单系统，我们可以得到薛定谔方程的解析解。
以一维简谐振子为例，假设势能函数V(x) = 1/2 mω²x²，其中ω是振动频率。
代入薛定谔方程，可以得到一维简谐振子的波函数解析解：Ψ(x) = (mω/πħ)^(1/4) * exp(-mωx²/2ħ) * H(n) ((mω/ħ)^(1/2)x)其中H(n)是埃尔米特多项式（Hermite Polynomial），n为非负整数。
除了一维简谐振子，薛定谔方程的解析解还可以得到其他简单系统的波函数解。
例如，无限深势阱、方势垒、氢原子等都有其特定的波函数解析表达式。
对于更复杂的系统，如多粒子体系或相互作用系统，薛定谔方程的解析解非常困难。
这时，我们常常采用数值方法，如薛定谔方程的数值求解算法（如分裂算子法、变分法等）来获得波函数的近似解。
总之，薛定谔方程与波函数解析是量子力学研究中的重要内容。
量子力学中的波函数与薛定谔方程
量子力学中的波函数与薛定谔方程量子力学是一门研究微观粒子行为和性质的科学，它有着广泛的应用，涉及领域包括原子物理、凝聚态物理以及纳米技术等。
在量子力学中，波函数和薛定谔方程是两个核心概念，它们在理解和描述微观粒子的行为中起着重要的作用。
一、波函数的概念及性质波函数是描述微观粒子的状态的数学函数，通常用Ψ表示。
在三维空间中，波函数是位置矢量r和时间t的函数，即Ψ(r, t)。
波函数一般是复数，其绝对值的平方表示粒子出现在某个位置的概率密度。
根据波函数的性质，可以得出以下几点：1. 法波叠加性：如果物理系统同时存在多个可能的状态，波函数可以叠加这些状态，并通过线性组合来描述。
这是量子力学与经典力学的明显区别之一。
2. 规范化条件：波函数必须满足归一化条件，即∫Ψ*(r, t)Ψ(r, t)dV = 1，其中dV表示三维空间的体积元。
3. 相位不确定性：波函数乘以一个常数因子并不改变物理量的概率密度，因此相位的选择并不固定，只有波函数的相位差才是物理可观测的。
二、薛定谔方程的基本原理薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一，描述了波函数随时间演化的规律。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ(r, t)/∂t = -ħ²/2m∇²Ψ(r, t) + V(r)Ψ(r, t)其中ħ是普朗克常数的约化常数，m是粒子的质量，V(r)是粒子在位置r上的势能。
薛定谔方程是一个偏微分方程，通过求解薛定谔方程可以得到粒子的波函数，从而获得粒子的态信息。
薛定谔方程的解决方法有很多种，常见的包括分离变量法、变换法和数值方法等。
波函数的演化可以用薛定谔方程的解析解或数值解来描述，从而预测粒子的行为和性质。
三、波函数与量子态的关系波函数不仅仅是描述微观粒子的数学函数，它还与量子态有着密切的关系。
量子态可以看作是波函数的集合，表示了物理系统的所有可能状态。
波函数的演化过程中，量子态也相应地发生变化。
例如，一个具有确定能量的量子态会随着时间的推移而演化为多个能量本征态的叠加。
波函数与薛定谔方程
定态Schr dinger方程的解 Schrödinger 2．定态Schr dinger方程的解 ψ ( x) = 0 x > a （3） 有限， 因 ψ(x) 及 E 有限，由（2） 令 （1）
α
2
2 µE = h2
d 2ψ + α 2ψ ( x) = 0 dx 2
从物理考虑， 从物理考虑，粒 （4） 子不能透过无穷 高的势壁。 高的势壁。 （4） 4
◆ 波函数的标准条件
Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation
r r 2 根据Born统计解释， Born统计解释 ω （1）根据Born统计解释， (r , t ) = ψ (r , t ) 是粒子在 t
r 点的几率，这是一个确定的数， 时刻出现在 r 点的几率，这是一个确定的数，所以 r r 的单值函数且有限。 要求 ψ (r , t ) 应是 (r , t ) 的单值函数且有限。
(6)
nπ αn = 2a
（n为奇数） 为奇数）
(7)
(6)和(7)两式统一写成 (6)和(7)两式统一写成
nπ αn = , 2a
2µ E α = 2 h
2
n = 1,2,3, L
（8）
n2π 2 h2 本征能量： 本征能量： En = 8µ a 2
（9）
11
一维无限深势阱（ §2.6 一维无限深势阱（续4）
（3）写出定态波函数 即得到对应第 n 个 本征值 En 的定态波 函数
∞
4.求解定态问题的步骤 4.求解定态问题的步骤
r r Ψ n ( r , t ) = Cnψ n (r ) e
−
i En t h
波函数和薛定谔方程
波函数和薛定谔⽅程波函数和薛定谔⽅程⼀、波函数的统计解释、叠加原理和双缝⼲涉实验微观粒⼦具有波粒⼆象性（德布罗意假设）；德布罗意关系（将描述粒⼦和波的物理量联系在⼀起） k n h p h E ====λων物质波（微观粒⼦—实物粒⼦）引⼊波函数（概率波幅）—描述微观粒⼦运动状态对于微观粒⼦来说，如果不考虑“⾃旋”⼀类的“内禀”态，单值波函数是其物理状态的最详尽描述。
⾄少在⽬前量⼦⼒学框架中，我们不能获得⽐波函数更多的物理信息。
微观粒⼦的状态⽤波函数完全描述——量⼦⼒学中的⼀条基本原理该原理包含三⽅⾯内容：粒⼦的状态⽤波函数表⽰、波函数的统计解释和对波函数性质的要求。
要明确“完全”的含义是什么。
按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述体系的量⼦态，若已知单粒⼦（不考虑⾃旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒⼦的位置概率分布，⽽且如动量等粒⼦的其它⼒学量的概率分布也均可通过波函数⽽完全确定。
由此可见，只要已知体系的波函数，便可获得该体系的⼀切物理信息。
从这个意义上说，有关体系的全部信息已包含在波函数中，所以说微观粒⼦的状态⽤波函数完全描述。
必须强调指出，波函数给出的有关粒⼦的“信息”本质上是统计性质的。
例如，在适当条件下制备动量为p 的粒⼦，然后测量其空间位置，我们根本⽆法预⾔测量的结果，我们只能知道获得各种可能结果的概率。
很⾃然，⼈们会提出这样的疑问：既然量⼦⼒学只能给出统计结果，那就只需引⼊⼀个概率分布函数（象经典统计⼒学那样），何必假定⼀个复值波函数呢？事实上，引⼊复值波函数的物理基础，乃是量⼦⼒学中的⼜⼀条基本原理——叠加原理。
这条原理告诉我们，两种状态的叠加，绝不是概率相加，数学求和）。
正因如此，在双缝⼲涉实验中，我们才能看见屏上的⼲涉花纹。
实物粒⼦双缝⼲涉实验分析我们⾸先只打开⼀条狭缝，根据粒⼦的波动性，可以预⾔屏上将显⽰波长p / =λ（p 为粒⼦动量）的单缝衍射花纹。
但是，根据粒⼦的微粒性，它们将是⼀个⼀个打上去的，怎样将这两种性质的描述调和起来呢？为此，我们想象将⼊射粒⼦束强度降低，直到只⼀个粒⼦通过狭缝，这时屏上会出现很微弱的衍射花纹吗？当然不会！单个粒⼦只能作为⼀个不可分割的整体打到屏上的⼀个点，从⽽出现⼀个⼩斑点。
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析量子力学是一门对于微观世界的描述和研究的科学，而薛定谔方程则是量子力学的核心公式之一。
薛定谔方程的提出不仅改变了科学界对于微观世界的认知，而且对于现代科技的发展也有着深远的影响。
本文将探讨薛定谔方程的内容以及与之相关的波函数解析。
首先，我们需要了解薛定谔方程的基本形式。
薛定谔方程是一个描述粒子在量子力学中运动的方程，它的一般形式可以写作：iħ∂ψ/∂t = Ĥψ其中，ψ是波函数，t是时间，ħ是普朗克常数，Ĥ是哈密顿算符。
薛定谔方程的这种形式被称为时间-相关薛定谔方程，它描述了波函数随时间演化的规律。
在解析波函数之前，我们首先需要了解波函数的物理意义。
波函数的平方模的绝对值的平方在某一点上的积分值，也就是密度波，表示了在这一点上找到粒子的概率。
因此，波函数可以看作是描述粒子在空间中分布的函数。
解析波函数是指通过薛定谔方程求得波函数的具体形式。
对于简单的系统，如自由粒子、势垒和谐振子等，可以通过求解薛定谔方程的定态解来得到波函数的具体形式。
定态解是指波函数不随时间变化的解，可以表示为：ψ(r,t) = Σ C_n ψ_n(r) e^(-iE_n t/ħ)其中，C_n是展开系数，ψ_n(r)是波函数的空间部分，E_n是能量。
对于不定态解，即波函数随时间变化的解，我们可以将波函数按能量本征态（定态解）展开。
这样，就可以得到波函数的解析表达式。
波函数的具体形式与实际问题密切相关。
对于一维自由粒子，其波函数的解析表达式为ψ(x,t) = A e^(ikx-ωt)，其中A是归一化常数，k是波数，ω是角频率。
这个解析表达式描述了自由粒子在空间中传播的波动性质。
对于势垒问题，波函数的解析解也可以通过求解薛定谔方程得到。
在势垒的两侧，波函数可以分别表示为反射波和透射波。
量子力学中的概率幅分布的特点使得粒子在势垒处发生反射和透射现象。
在实际的研究中，波函数的解析解不仅提供了精确的理论描述，还为物理定律的验证和应用提供了基础。
波函数和薛定谔方程
d ∫ ρd τ = −∫∫ J (r , t )⋅ dS → 0 dt V S
物理量
d f ( x) dt = ∫ f ( x) ∂ρ ( x, t ) ∂t
显然， J (r , t )⋅ dS 具有通量的物理含义。 对于任意物理量的 f ( x) ，有
dx
进一步，有
d f ( x) dt = −∫ f ( x ) ∂J x ( x , t ) dx ∂x
J (r , t ) 为三维矢量。
连续性
依据连续性方程，显然有
+∞ ∂ d +∞ 2 J x ( x, t ) dx ψ dx = −∫ −∞ ∂x dt ∫−∞
连续性方程的积分形式为
∫
V
∂ρ d τ = −∫∫∫ ∇⋅ J (r , t ) d 3 r ∂t V
= −J x ( x, t ) −∞ = J x (−∞, t ) − J x (+∞, t )
波函数和薛定谔方程
物理系
统计性诠释
牛顿方程
υ= dx dt F = ma
m
F ( x, t )
x (t )
∂V d2x m 2 =− ∂x dt x0 = x (0)
x (t ) = ?
薛定谔方程
与经典力学中牛顿方程的地位类似； 2 ∂ψ ∂ 2ψ ψ ( x, t ) 为粒子的波函数； =− +U ψ i ∂t 2m ∂x 2 波函数遵从薛定谔方程，决定性地演化。 ψ0 = ψ ( x, 0)
( j ) = ( j + 1) − j
归一化
我们回到波函数的统计解释上来， 显然的，粒子必然存在于全空间，
则对于任意的正数 ε，总存在 X > 0 ， 当 x > X 时，恒有
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波函数和薛定谔方程一、波函数的统计解释、叠加原理和双缝干涉实验 微观粒子具有波粒二象性（德布罗意假设）；德布罗意关系（将描述粒子和波的物理量联系在一起） k n h p h E ====λων 物质波（微观粒子—实物粒子）引入波函数（概率波幅）—描述微观粒子运动状态 对于微观粒子来说，如果不考虑“自旋”一类的“内禀”态，单值波函数是其物理状态的最详尽描述。
至少在目前量子力学框架中，我们不能获得比波函数更多的物理信息。
微观粒子的状态用波函数完全描述——量子力学中的一条基本原理该原理包含三方面内容：粒子的状态用波函数表示、波函数的统计解释和对波函数性质的要求。
要明确“完全”的含义是什么。
按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述体系的量子态，若已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如动量等粒子的其它力学量的概率分布也均可通过波函数而完全确定。
由此可见，只要已知体系的波函数，便可获得该体系的一切物理信息。
从这个意义上说，有关体系的全部信息已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述。
必须强调指出，波函数给出的有关粒子的“信息”本质上是统计性质的。
例如，在适当条件下制备动量为p 的粒子，然后测量其空间位置，我们根本无法预言测量的结果，我们只能知道获得各种可能结果的概率。
很自然，人们会提出这样的疑问：既然量子力学只能给出统计结果，那就只需引入一个概率分布函数（象经典统计力学那样），何必假定一个复值波函数呢？事实上，引入复值波函数的物理基础，乃是量子力学中的又一条基本原理——叠加原理。
这条原理告诉我们，两种状态的叠加，绝不是概率相加，数学求和）。
正因如此，在双缝干涉实验中，我们才能看见屏上的干涉花纹。
实物粒子双缝干涉实验分析我们首先只打开一条狭缝，根据粒子的波动性，可以预言屏上将显示波长p / =λ（p 为粒子动量）的单缝衍射花纹。
但是，根据粒子的微粒性，它们将是一个一个打上去的，怎样将这两种性质的描述调和起来呢？为此，我们想象将入射粒子束强度降低，直到只一个粒子通过狭缝，这时屏上会出现很微弱的衍射花纹吗？当然不会！单个粒子只能作为一个不可分割的整体打到屏上的一个点，从而出现一个小斑点。
如果让这种微弱的粒子束（几乎让粒子一个一个地通过狭缝）长时间照射狭缝（相当于一个粒子的多次行为），结果发现，屏上一个一个斑点逐渐增加，最后形成一种接近连续的分布，它恰恰就是单缝衍射花纹！（单个粒子具有波动性的有力证明）这提示：粒子的波动性只是一种“概率波”，或者干脆说只是一种概率分布而已。
这种看法对吗？这种说法容易造成误解，因为它忽略了叠加原理的要求。
为了说明这一点，我们继续分析双缝干涉实验。
在屏上选择一个小区域P ，分别打开狭缝1和狭缝2，计数单位时间内落到区域P 的粒子数，分别记为N 1和N 2；然后同时打开两条狭缝，试问：这时单位时间内落在小区域P 内的粒子数是否是来自狭缝1的N 1个粒子和来自狭缝2的N 2个粒子之和呢？不是，21N N N +≠！这个结果表明，似乎原先通过狭缝1的粒子，在打开狭缝2时会影响它落在屏上的位置，也就是说，作为单个不可分割的粒子，竟然同时从两个狭缝通过！可以看出，仅仅将波动性理解为概率分布是不够的，因为单个粒子也具有波动性。
设1ψ和2ψ是分别打开狭缝1和狭缝2时的波函数，21ψ和22ψ则是相应的概率分布。
如果我们把粒子的波动性仅仅理解为概率分布，我们就很容易把打开双缝后的概率分布写成2221ψψ+，即21N N N +=；但量子力学叠加原理告诉，21N N N +≠，双缝干涉的正确概率分布是最后一项是“干涉项”，是概率幅的叠加效应，产生双缝干涉花样的机制所在，换句话说，在双缝干涉实验中，不能应用概率叠加法则，而必须采用波函数叠加原理。
最后说明一下，按照波恩的统计解释，波函数应该是归一化的，即12=⎰τψd ，但是，象平面波那样的波函数却是不能归一化的，这时2ψ不表示绝对概率密度，只表示相对概率密度，即粒子分别处于点1和2的概率之比为τψd 2)1(：τψd 2)2( 如果ψ是具有确定能量的本征态，当∞<⎰τψd 2，即ψ是可归一化的，我们即说这是一个“束缚态”；否则，ψ描述的是一个“散射态”。
二、薛定谔方程物理体系在其外部环境条件完全确定的情况下，体系的初始状态应该唯一的决定以后的状态，这就要求描述状态变化的方程是对时间t 的一阶微分方程，且它必须是线性的（满足叠加原理的要求）。
在量子力学中是薛定谔方程量子力学中的又一条基本原理当单粒子在势阱U 中运动时，可推得概率分布2ψ=w 随时间变化的连续方程 0=⋅∇+∂∂J t w我们将J 解释为局部的概率流密度矢量。
为了求得体系状态随时间的演化，我们必须从已知初态出发，利用薛定谔方程求出唯一解。
既然对于许多常见体系（一维方势阱、谐振子、库仑中心势……）能量本征函数是已知的，我们就可以利用这一有利条件，直接写出解)(t ψ，其步骤如下：首先，把初态0ψ在能量本征态{}n ϕ上展开（其中能量本征态满足n n n E H ϕϕ=ˆ），∑=nn n c ϕψ0； 然后直接写下∑-=n t E i n n n ec t ϕψ)(例如，一维无限深势阱（势阱位于a x <内部）中粒子初始波函数为a x a x a x 2sin 2cos 24)(20ππψ= a x < 将0ψ在能量本征态{}n ϕ上展开，其中⎪⎩⎪⎨⎧><+=a x a x a x a n a x n 0)(2sin 1)(πϕ得（直接用三角函数的积化和差） )(21)(21)(310x x x ϕϕψ+= 考虑到22228a n E n μπ =，最后写出态随时间的演化表达式 )(21)(21),(3131x e x e t x t E it E i ϕϕψ --+= a x e a a x e a a t i a t i 23cos 212cos 2122228/98/ππμπμπ ---=三、一维定态问题前面例子可以告诉我们，可以把求解含时间的薛定谔方程问题，化解成求解能量本征值问题：EE E H ϕϕ=ˆ。
在求解能量本征值问题时，对于波函数的一般要求是波函数及其导数必须单值、连续、有限(实际只要求其平方可积，并非要求其处处有限)（更为合理的阐述见曾谨言教程）。
在理想化的情形中，势能可能出现间断（如方势阱）、无限大（如无限深势阱）等情况，这时对波函数的要求可以通过由连续、有限势向间断或无限大势的极限过渡程序得到。
在一维情形中：①如果势是有限的，不管它是否连续，都要求波函数及其导数连续，虽然在势具有有限间断点情形下，波函数的二阶导数出现跳变；②如果势具有无限高的垂直壁垒（如无限深势阱），则要求在壁外0=ψ，这时波函数的一阶导数出现间断，但波函数本身是连续的；③如果势具有δ函数形式，则要求波函数连续而其一阶导数具有δ函数给出的跳变量；④此外，对于束缚态，我们要求波函数在远处趋于零，并且不管是否散射态，根据波函数的统计解释，不允许波函数在远处趋于无限大。
下面详细讨论δ势导致波函数的一阶导数跳变问题。
设势)()(x a x U δ=，即原点有一非常尖锐的势峰，定态方程 )()()(2222x E x x a dx d ϕϕδμ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+- 在充分小的区间[]εε+-,上对x 积分得 [])0()0()()(22ϕεϕεϕεϕμE a =+-'-'-令0→ε，可看出)(x ϕ的一阶导数在x=0处出现跳变对于一维分段常数势（如方势阱、方势垒、无限深势阱、δ函数势等），定态波函数应分段设解，并应用衔接条件，无限远处的发散条件和归一化条件，最后确定波函数，并在束缚态情况下确定能级。
现指出有关“节点数目”的一个定理。
所谓“节点”，是指波函数的根，即0)(=x ϕ的解。
常微分方程理论中的斯特姆定理告诉我们：一维薛定谔方程束缚态定态解的节点数目等于其激发态的顺序数。
如果按能级的高低排列定态解0ϕ为基态，0E E =；1ϕ为第一激发态，1E E =；…；n ϕ为第n 激发态，n E E =;…,则0)(=x n ϕ有n 个实根（节点）。
基态无节点。
例如，对于一维谐振子，定态解 )()(221ξϕξn n n H e N x -= x αξ=它具有确定的宇称 )()1()(x x n n nϕϕ-=- 可见，当n=奇数时，0=x 是一个节点，其它节点则左右对称分布；当n=偶数时，节点左右对称分布。
由此可以断言)(ξn H 具有下列形式（因为)(ξn H 是ξ的n 次函数）⎩⎨⎧=--=--∝偶数奇数n n H n ))(())(()(222212222212ξξξξξξξξξξ例1 对于一维自由运动粒子，设)()0,(x x δψ=求2),(t x ψ。
解：题给条件太简单，可以假设一些合理的条件，既然是自由运动，可设粒子动量是p ，能量是E ，为了能代表一种最普遍的一维自由运动，可以认为粒子的波函数是个波包（许多平面波的叠加），其波函数为 p d e p t x i E px i )()(21),(-∞∞-⎰= φπψ （1）这是一维波包的通用表示法，是一种福里哀变换，上式若令0=t 应有 p d e p x px i⎰∞∞-=)(21)0,(φπψ （2） 但按题意，此式等于)(x δ。
但我们知道一维δ函数的一种表示为k d e x ikx ⎰∞∞-=πδ21)( （3）将（2）（3）二式比较：知道 p k =，并且求得πφ21)(=p ，于是（1）成为p d e t x i E px i )(21),(-∞∞-⎰= πψ （4）这是符合初条件的波函数，但E p ,之间尚有约束条件m p E 22=（因为是自由粒子，总能量等于动能），代入（4）p d e t x i m p px i ⎰∞∞--=)2(221),( πψ （5）将此式变形成高斯积分，容易得到所需结果： p d e et x i mx p m it t imx ⎰∞∞---=)2(22221),( πψ （6） 利用积分απξαξ=⎰∞∞--d e 2t i m e t x t imx ππψ 221),(22= t m t m t x πππψ22)2(1),(22=⨯=例二 质量为m 的粒子沿x 正方向以能量E 向x=0处势垒运动。
当0≤x 时，势能为零；当0>x 时，势能为E V 430=。
问在x=0处粒子被反射的几率和透射几率各多大？ 解：S-eq 为⎩⎨⎧≥=+''≤=+''000022221211x k x k ψψψψ其中221/2 mE k = 4//)(2212022k V E m k =-=由题意知 0≤x 区域 既有入射波，又有反射波；0≥x 区域仅有透射波故方程的解为 x ik x ik re e 111-+=ψ 0≤xx ik te 22=ψ 0≥x在x=0处，ψ及ψ'都连续，得到 t r =+1 t k r k 2)1(11=-由此解得 912==r R 透射率2t T ≠ 因为12k k ≠将 x ik e 1，x ik re 1-，x ik te 2分别代入几率流密度公式 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=**2ψψψψx x m i j 得 入射粒子流密度 m k j 10 =反射粒子流密度 21r mk j R -= 透射粒子流密度 22t m k j T =由此得 反射率 9120===r j j R R透射率 982120===t k k j j T T 1=+TR。