待定系数法分解因式(附答案)
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例2分解因式
思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。
解设
由恒等式性质有：
由①、③解得 代入②中，②式成立。
∴
说明若设原式
由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式
例3在关于x的二次三项式中，当 时，其值为0；当 时，其值为0；当 时，其值为10，求这个二次三项式。
把 代入上式，得
解得
故所求的二次三项式为 即
说明要注意利用已知条件，巧设二次三项式的表达式。
例4已知多项式 的系数都是整数。若 是奇数，证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
思路先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是不可能的。
证明：设 （m,n,r都是整数）。
例5已知 能被 整除，求证：
思路：可用待定系数法来求展开前后系数之间的关系。
证明：设 展开，比较系数，得
由①、②，得 ，
代入③、④得： ，
∴来自百度文库
例6若a是自然数，且 的值是一个质数，求这个质数。
思路：因为质数只能分解为1和它本身，故可用待定系数法将多项式分解因式，且使得因式中值较小的为1，即可求a的值。进而解决问题。
解：由待定系数法可解得
由于a是自然数，且 是一个质数，
∴
解得
当 时， 不是质数。
当 时， 是质数。
∴ =11 .
培优训练
A级
★★★1、分解因式 _______.
★★★2、若多项式 能被 整除，则n=_______.
★★3、二次三项式当 时其值为-3，当 时其值为2，当 时其值为5，这个二次三项式是_______.
★★4、m, n是什么数时，多项式 能被 整除？
B级
★★★5、多项式 能分解为两个一次因式的积，则k=_____.
★★★6、若多项式 能被 整除，则 _______.
★★7、若多项式 当 2时的值均为0，则当x=_____时，多项式的值也是0。
★★★8、求证： 不能分解为两个一次因式的积。
参考答案或提示：
提示：设原式
比较系数，得
解得
∴
7.3.
提示：设原式
比较系数，得
解得c=3.
∴当x=3时，多项式的值也是0.
8.设原式 且 展开后比较系数，得
由④、⑤得 代入③，再由①、③得 将上述 入②得 .而这与③矛盾，即方程组无解。故命题得证。
1.
提示：设原式
比较两边系数，得
由①、②解得
将 代入③式成立。
∴原式
2、-4。
提示：设原式
=
比较系数，得
由①、②解得
代入③得
3、
提示：设二次三项式为
把已知条件代入，得
解得
∴所求二次三项式为
4.
设
比较系数，得
解得
∴当m=-11，n=4已知多项式能被 整除。
5.-2
提示：设原式
.
比较系数，得
解得
6.-7
比较系数，得
因为 是奇数，则 与d都为奇数，那么mr也是奇数，由奇数的性质得出m,r也都是奇数。
在①式中令 ，得 ②
由 是奇数，得 是奇数。而m为奇数，故 是偶数，所以 是偶数。这样②的左边是奇数，右边是偶数。这是不可能的。
因此，题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
说明：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明。
思路1先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。可考虑利用恒待式的性质。
解法1设关于x的二次三项式为 把已知条件分别代入，得
解得
故所求的二次三项为
思路2根据已知 时，其值0这一条件可设二次三项式为 然后再求出a的值。
解法2由已知条件知当 时，这个二次三项式的值都为0，故可设这个二次三项式为
待定系数法分解因式（附答案）
待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。
内容综述
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。
要点解析
这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。
例1分解因式
思路1因为
所以设原式的分解式是 然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。
解法1因为 所以可设
比较系数，得
由①、②解得 把 代入③式也成立。
∴
思路2前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n的值。
解法2因为 所以可设
因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令 得
令 得
解①、②得 或
把它们分别代入恒等式检验，得
∴
说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。
思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。
解设
由恒等式性质有：
由①、③解得 代入②中，②式成立。
∴
说明若设原式
由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式
例3在关于x的二次三项式中，当 时，其值为0；当 时，其值为0；当 时，其值为10，求这个二次三项式。
把 代入上式，得
解得
故所求的二次三项式为 即
说明要注意利用已知条件，巧设二次三项式的表达式。
例4已知多项式 的系数都是整数。若 是奇数，证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
思路先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是不可能的。
证明：设 （m,n,r都是整数）。
例5已知 能被 整除，求证：
思路：可用待定系数法来求展开前后系数之间的关系。
证明：设 展开，比较系数，得
由①、②，得 ，
代入③、④得： ，
∴来自百度文库
例6若a是自然数，且 的值是一个质数，求这个质数。
思路：因为质数只能分解为1和它本身，故可用待定系数法将多项式分解因式，且使得因式中值较小的为1，即可求a的值。进而解决问题。
解：由待定系数法可解得
由于a是自然数，且 是一个质数，
∴
解得
当 时， 不是质数。
当 时， 是质数。
∴ =11 .
培优训练
A级
★★★1、分解因式 _______.
★★★2、若多项式 能被 整除，则n=_______.
★★3、二次三项式当 时其值为-3，当 时其值为2，当 时其值为5，这个二次三项式是_______.
★★4、m, n是什么数时，多项式 能被 整除？
B级
★★★5、多项式 能分解为两个一次因式的积，则k=_____.
★★★6、若多项式 能被 整除，则 _______.
★★7、若多项式 当 2时的值均为0，则当x=_____时，多项式的值也是0。
★★★8、求证： 不能分解为两个一次因式的积。
参考答案或提示：
提示：设原式
比较系数，得
解得
∴
7.3.
提示：设原式
比较系数，得
解得c=3.
∴当x=3时，多项式的值也是0.
8.设原式 且 展开后比较系数，得
由④、⑤得 代入③，再由①、③得 将上述 入②得 .而这与③矛盾，即方程组无解。故命题得证。
1.
提示：设原式
比较两边系数，得
由①、②解得
将 代入③式成立。
∴原式
2、-4。
提示：设原式
=
比较系数，得
由①、②解得
代入③得
3、
提示：设二次三项式为
把已知条件代入，得
解得
∴所求二次三项式为
4.
设
比较系数，得
解得
∴当m=-11，n=4已知多项式能被 整除。
5.-2
提示：设原式
.
比较系数，得
解得
6.-7
比较系数，得
因为 是奇数，则 与d都为奇数，那么mr也是奇数，由奇数的性质得出m,r也都是奇数。
在①式中令 ，得 ②
由 是奇数，得 是奇数。而m为奇数，故 是偶数，所以 是偶数。这样②的左边是奇数，右边是偶数。这是不可能的。
因此，题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
说明：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明。
思路1先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。可考虑利用恒待式的性质。
解法1设关于x的二次三项式为 把已知条件分别代入，得
解得
故所求的二次三项为
思路2根据已知 时，其值0这一条件可设二次三项式为 然后再求出a的值。
解法2由已知条件知当 时，这个二次三项式的值都为0，故可设这个二次三项式为
待定系数法分解因式（附答案）
待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。
内容综述
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。
要点解析
这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。
例1分解因式
思路1因为
所以设原式的分解式是 然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。
解法1因为 所以可设
比较系数，得
由①、②解得 把 代入③式也成立。
∴
思路2前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n的值。
解法2因为 所以可设
因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令 得
令 得
解①、②得 或
把它们分别代入恒等式检验，得
∴
说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。