待定系数法分解因式(附答案)

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待定系数法分解因式

学科：奥数教学内容：待定系数法分解因式经验谈：待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。

其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。

【内容综述】将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。

同学们要仔细体会解题的技巧。

【要点讲解】这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。

★★例1 分解因式思路1 因为所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。

解法1因为所以可设比较系数，得由①、②解得把代入③式也成立。

∴思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。

解法2 因为所以可设因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令得令得解①、②得或把它们分别代入恒等式检验，得∴说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。

若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。

★★例2 分解因式思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。

解设由恒等式性质有：由①、③解得代入②中，②式成立。

∴说明若设原式由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式★★★例3 在关于x的二次三项式中，当时，其值为0；当时，其值为0；当时，其值为10，求这个二次三项式。

思路1 先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。

可考虑利用恒待式的性质。

解法1 设关于x的二次三项式为把已知条件分别代入，得解得故所求的二次三项为思路2 根据已知时，其值0这一条件可设二次三项式为然后再求出a的值。

专题45 待定系数法(解析版)

专题45 待定系数法1.待定系数法的含义一种求未知数的方法。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

2. 待定系数法的应用（1）分解因式待定系数法是初中数学的一个重要方法。

用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。

在初中竞赛中经常出现。

a.确定所求问题含待定系数的解析式。

b.根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。

c.解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

（2）求函数解析式初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=k/x，y=kx+b的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，y=a (x－h) 2+k(a、k、h为待定系数)，y=a (x－x1)(x－x2)( a、x1、x2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h、k、a、c、b、x1、x2等待定系数．一般步骤如下：a.写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；b.把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。

c.解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数解析式。

（3）解方程例如：已知一元二次方程的两根为x1、x2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x2+mx+n=0，则有(x－x1)(x－x2)=0，即x2－(x1+x2)x+x1x2=0，对应相同项的系数得m=－(x1+x2)，n=x1x2，所以所求方程为：x2－(x1+x2)x+x1x2=0．（4）分式展开首先用未知数表示化为部分分式和的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未知数的方程组，解方程组，带入所设的部分和可得结果。

待定系数法分解因式(附答案)

待定系数法分解因式（附答案）待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。

其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。

内容综述将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。

同学们要仔细体会解题的技巧。

要点解析这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。

例1分解因式思路1因为所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m,n,的值。

解法1因为所以可设比较系数，得由①、②解得把代入③式也成立。

∴思路2前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n的值。

解法2因为所以可设因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令得令得解①、②得或把它们分别代入恒等式检验，得∴说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。

若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。

例2分解因式思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。

解设由恒等式性质有：由①、③解得代入②中，②式成立。

∴说明若设原式由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式例3在关于x的二次三项式中，当时，其值为0；当时，其值为0；当时，其值为10，求这个二次三项式。

思路1先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。

可考虑利用恒待式的性质。

解法1设关于x的二次三项式为把已知条件分别代入，得解得故所求的二次三项为思路2根据已知时，其值0这一条件可设二次三项式为然后再求出a的值。

因式分解的待定系数法

因式分解的待定系数法因式分解的待定系数法是一种求多项式表达式的因式分解式的一种方法。

这种方法可以将一个多项式表达式分解成一系列较简单的因式的乘积。

待定系数法可以用于分解一次、二次、三次以及更高次的多项式表达式。

以下是关于因式分解的待定系数法的相关参考内容（不含链接）：1. 原理和基本步骤：因式分解的待定系数法是利用多项式表达式的特定形式，假设待定系数，然后通过代入真实数值，解方程组，得到具体的系数值。

基本步骤包括：确定多项式表达式的最高次数、假设待定系数、代入已知数值求解方程组、得到具体的系数值、将多项式进行因式分解。

2. 一次多项式的因式分解：一次多项式是指最高次数为1的多项式。

一次多项式的因式分解非常简单，根据一次多项式的特定形式可以直接写出因式分解式。

3. 二次多项式的因式分解：二次多项式是指最高次数为2的多项式。

对于二次多项式的因式分解，可以假设二次多项式的因式为(ax+b)(cx+d)，然后代入真实数值，解方程组得到具体的系数值，进而得到因式分解式。

4. 三次多项式的因式分解：三次多项式是指最高次数为3的多项式。

对于三次多项式的因式分解，可以假设三次多项式的因式为(ax+b)(cx^2+dx+e)，然后代入真实数值，解方程组得到具体的系数值，进而得到因式分解式。

5. 更高次多项式的因式分解：对于更高次数的多项式，可以采用类似的方法进行因式分解。

假设多项式的因式为(ax^m+bx^n+...+zx^k)，然后代入真实数值，解方程组得到具体的系数值，进而得到因式分解式。

6. 实例分析：通过具体实例分析，可以更好地理解和应用因式分解的待定系数法。

例如，对于多项式x^3+2x^2-3x-6，假设其因式分解为(x+a)(x^2+bx+c)，然后代入已知的x取值，可以得到方程组，通过求解方程组，可以得到a、b、c的值，进而得到因式分解式。

通过因式分解的待定系数法，我们可以将复杂的多项式表达式分解成简单的因式的乘积，从而更好地理解和处理多项式的性质和计算。

因式分解的待定系数法

因式分解的待定系数法因式分解的待定系数法是一种通过设定待定系数，并利用已知条件解方程组来分解代数表达式的方法。

这种方法常用于分解多项式或解析函数的因式，对于一些复杂的多项式或函数，待定系数法能够提供一种简单有效的解决方案。

在待定系数法中，我们假设要分解的多项式或函数为P(x)，并设定待定系数a，b，c等，并利用已知条件建立方程组，通过求解方程组，我们可以确定待定系数的值，从而得到多项式或函数的因式。

具体来说，设定待定系数法通常分为以下几个步骤：1. 确定待定系数的个数：根据多项式或函数的次数，确定所需的待定系数的个数。

例如，对于二次多项式，我们需要设定两个待定系数。

2. 建立方程组：根据已知条件建立方程组，以求解待定系数。

已知条件通常来自于多项式或函数的根、零点、截距等，也可能包括导数的值等等。

方程组的个数应当与待定系数的个数相等。

3. 求解方程组：利用代数方法求解方程组，以确定待定系数的值。

4. 得到因式：将待定系数的值代入到多项式或函数中，得到因式的表达式。

下面通过一个具体的示例来解释待定系数法的具体过程：假设我们要分解二次多项式P(x) = ax^2 + bx + c，其中a，b，c为待定系数。

已知P(x)的图像上有一个零点为x = 1，并且在x = 2处有一个切线的斜率为3。

现在利用待定系数法分解P(x)。

根据已知条件，我们可以列出方程组：1. P(1) = a(1)^2 + b(1) + c = 02. P'(2) = 2a(2) + b = 3解这个方程组可以得到待定系数的值。

假设方程组的解为a = 2，b = 1，c = -1。

将待定系数的值代入P(x)，我们得到因式的表达式为P(x) =2x^2 + x - 1。

通过解方程组，我们成功地将二次多项式P(x)通过待定系数法分解成了三个一次因式。

这种方法同样适用于更高次的多项式或更复杂的函数，只要设定足够的待定系数，并利用已知条件建立方程组。

待定系数法分解因式附答案

待定系数法分解因式(附答案) 待定系数法是一种常用的分解因式的方法，适用于多项式的因式中有一个二次项和一个一次项的情况。

下面我将详细介绍待定系数法的步骤，并给出一个具体的例子。

假设我们要分解因式的多项式为：ax^2 + bx + c，其中a、b、c是待定系数。

步骤一：设分解因式为(x + m)(x + n)，其中m和n是待定系数。

步骤二：将待分解的多项式用分解因式展开：(x + m)(x + n) = x^2 + (m + n)x + mn。

步骤三：将展开后的多项式与原多项式进行比较，得到以下关系式：
a = 1（因为x^2的系数为1）；
b = m + n；
c = mn。

步骤四：根据关系式解出m和n的值。

步骤五：将得到的m和n代入分解因式中，即可得到最终的分解因式。

下面以一个具体的例子来说明待定系数法的使用：
例子：分解因式x^2 + 5x + 6。

步骤一：设分解因式为(x + m)(x + n)。

步骤二：展开(x + m)(x + n)得到x^2 + (m + n)x + mn。

步骤三：根据关系式得到以下方程组：
1 = a；
5 = m + n；
6 = mn。

步骤四：解方程组，得到m = 2，n = 3。

步骤五：将m和n代入分解因式中，得到(x + 2)(x + 3)。

所以，x^2 + 5x + 6可以分解为(x + 2)(x + 3)。

以上就是待定系数法分解因式的详细步骤和一个具体例子。

通过使用待定系数法，我们可以将一个多项式分解为两个一次项的乘积，从而更好地理解和运用多项式的因式分解。

因式分解待定系数法

用待定系数法分解因式就是按照已知条件，把原式设为几个因式的乘积，然后利用多项式恒等定理，求出各待定系数的值。

待定系数法的定义
待定系数法，一种求未知数的方法。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

待定系数法求因式分解
待定系数法是初中数学的一个重要方法。

因式定理的简单运用其实就是一个窍门：
如果各项系数和为0，则必含有因式（x-1)；如果奇次项系数和与偶次项系数和相等，则必含有因式（x+1）可以用一个十字相乘法来引入，因为十字相乘法是特殊的待定系数法。

使用待定系数法解题的一般步骤是：
（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式。

（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。

（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

初中数学待定系数法分解因式

初中数学待定系数法分解因式待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。

其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。

【内容综述】将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。

同学们要仔细体会解题的技巧。

【要点讲解】这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。

★★例1 分解因式2x^2+3xy-y^2+x+14y-15.? ? 思路1 因为2x^2+3xy-y^2=(x-y)(2x+3y),所以设原式的分解式是(x-y+m)(2x+3y+n),后展开，利用多项式的恒等,求出m、n的值。

? ?解法1因为2x^2+3xy-y^2=(x-y)(2x+3y),所以可设2x^2+3xy-y^2+x+14y-15=(x-y+m)(2x+3y+n)=2x^2+3xy-y^2+(2m+n)x+(3m-n)y+mn? ?比较系数得2m+n=1...(1) 3m-n=14...(2) mn=-15...(3) ?由(1)(2)得m=3,n=-5,带入(3)成立。

(想想，如果不成立说明什么?)所以2x^2+3xy-y^2+x+14y-15=(x-y+3)(2x+3y-5).? ?思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。

? ? 解法2 因为2x^2+3xy-y^2=(x-y)(2x+3y),所以设原式的分解式是(x-y+m)(2x+3y+n), 因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令x=0,y=0,得mn=-15...(1),令x=0,y=1得mn+3m-n+1=0...(2)解①、②得m=3,n=-5或m=5/3,n=-9,带入恒等式验证知m=3,n=-5.? ?说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。

专题45 待定系数法(解析版)

专题45 待定系数法1.待定系数法的含义一种求未知数的方法。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

2. 待定系数法的应用（1）分解因式待定系数法是初中数学的一个重要方法。

在初中竞赛中经常出现。

a.确定所求问题含待定系数的解析式。

b.根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。

c.解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

c.解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数解析式。

因式分解(含答案)

1.4 因式分解◆赛点归纳因式分解是中学数学的一种重要的恒等变形，也是解决许多数学问题的重要途径和方法．在初中数学竞赛中，常用的方法除教材中介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法外，还有十字相乘法、折（添）项法、换元法和待定系数法等．◆解题指导例1 （2001，重庆市竞赛）因式分解：4x2－4x－y2+4y－3=______．【思路探究】这是一个二次五项式，显然没有公因式可以提取，这就要用其他因式分解法，经观察可用分组分解法．如何分组呢？例2 （2001，大连市第八届“育英杯”）分解因式x（x－1）+y（y+1）－2xy•的结果是_________．【思路探究】显然没有公因式可以提取，所以必须先运用整式乘法将它展开，展开后的多项式与例1相似，故宜用分组分解法．例3 （2002，北京市竞赛）a4+4分解因式的结果是（）．A．（a2+2a－2）（a2－2a+2）B．（a2+2a－2）（a2－2a－2）C．（a2+2a+2）（a2－2a－2）D．（a2+2a+2）（a2－2a+2）【思路探究】本题不可分组，又无法直接运用公式法，但这两项都是完全平方数，因此可通过添项利用公式法分解．例4分解因式：x3－3x2+4．【思路探究】这是一个关于x的三次式，直接运用分组分解法是难以完成的，•可以先将二次项或常数项进行拆项，再进行恰当的分组分解．例5 分解因式：x2+xy－6y2+x+13y－6．【思路探究】这是二次六项式，运用分组分解法有困难．根据整式乘法可知，这个二次六项式可分解为两个一次三项式，且前三项二次项x2+xy－6y2可分解为（x+3y）（x－2y）．由此可知，这两个一次式的常数项待定，因此，可用待定系数法分解．例6 （2000，“五羊杯”，初三）分解因式：（x4+x2－4）（x4+x2+3）+10=______．【思路探究】这是一道八次多项式因式分解题，在展开它时，要有目标，即在运用整式乘法将它展开后，必须考虑下一步能否分解因式．由观察可知，这两个四次三项式结构相同，因此，将四次项与二次项的和作为一个整体展开可分解因式．【拓展题】分解因式：（x2+xy+y2）2－4xy（x2+y2）．◆探索研讨提取公因式法、公式法和分组分解法是因式分解的基本方法．对于一些较为复杂的多项式因式分解，就需用到换元法、拆（添）项法、待定系数法．请结合本节的例题，总结拆（添）项法、换元法可分别化归为哪些基本方法？待定系数法实质是化归为解什么问题？◆能力训练1．下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是（）．A．（x+1）（x－1）=x2－1 B．（a－b）（m－n）=（b－a）（n－m）C．ab－a－b+1=（a－1）（b－1）D．m2－2m－3=m（m－2－3m）2．把多项式x2－y2－2x－4y－3因式分解之后，正确的结果是（）．A．（x+y+3）（x－y－1）B．（x+y－1）（x－y+3）C．（x+y－3）（x－y+1）D．（x+y+1）（x－y－3）3．将多项式x2－4y2－9z2－12yz分解成因式的积，结果是（）．A．（x+2y－3z）（x－2y－3z）B．（x－2y－3z）（x－2y+3z）C．（x+2y+3z）（x+2y－3z）D．（x+2y+3z）（x－2y－3z）4．下列五个多项式：①a2b2－a2－b2－1；②x3－9ax2+27a2x－27a3；③x（b+c－d）－y（d－b－c）－2c+2d－2b；④3m（m－n）+6n（n－m）；⑤（x－2）2+4x．其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（）．A．①，②，③B．②，③，④C．③，④，⑤D．①，②，④5．已知二次三项式21x2+ax－10可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（）．A．a一定是奇数B．a一定是偶数C．a可为奇数也可为偶数D．a一定是负数6．将a4+b4+c4－2a2b2－2b2c2－2c2a2分解因式得（）．A．（a2－b2－c2）2B．（a2－b2－c2+2bc）（a2－b2－c2－2bc）C．（a+b－c）（a－b+c）（a+b+c）（a－b－c）D．（a+b－c）（b+c－a）（c+a－b）（a+b+c）7．分解因式3a2－7a－6=______．8．分解因式x2+4xy－4+4y2=_______．9．把代数式（x+y－2xy）（x+y－2）+（xy－1）2分解成因式的乘积，应当是______．10．分解因式（x2－1）（x+3）（x+5）+12=_______．11．分解因式x5+x+1=_______，x5+x－1=______．12．（2000，“五羊杯”，初二）分解因式（x－2）3－（y－2）3－（x－y）3．13．（2001，“五羊杯”，初二）分解因式（2x－3y）3+（3x－2y）3－125（x－y）3．14．（2002，“五羊杯”，初二）分解因式（1－7t－7t2－3t3）（1－2t－2t2－t3）－（t+1）6．15．分解因式（x+1）4+（x+3）4－272．16．分解因式6x2－5xy－6y2－2xz－23yz－20z2．答案:解题指导例1 （2x+y－3）（2x－y+1）．[提示：4x2－4x－y2+4y－3 =（4x2－4x+1）－（y2－4y+4）=（2x－1）2－（y－2）2=（2x+y－3）（2x－y+1）．]例2 （x－y）（x－y－1）．[提示：x（x－1）+y（y+1）－2xy =x2－x+y2+y－2xy=（x－y）2－（x－y）=（x－y）（x－y－1）．]例3 D [提示：a4+4=a4+4a2+4－4a2=（a2+2）2－（2a）2 =（a2+2a+2）（a2－2a+2）．]例4 （x+1）（x－2）2．解法1 x3－3x2+4=x3+x2－4x2+4=x2（x+1）－4（x+1）（x－1）=（x+1）（x－2）2．解法2 x3－3x2+4=x3+1－3x2+3=（x+1）（x2－x+1）－3（x+1）（x－1）=（x+1）（x2－4x+4）=（x+1）（x－2）2．解法3 x3－3x2+4=x3+x2－4x2－4x+4x+4=x2（x+1）－4x（x+1）+4（x+1）=（x+1）（x2－4x+4）=（x+1）（x－2）2．例5 设x2+xy－6y2+x+13y－6=（x+3y+m）（x－2y+n）=x2－2xy+nx+3xy－6y2+3ny+mx－2my+mn=x2+xy－6y2+（n+m）x+（3n－2m）y+mn．比较左、右两边对应项系数，得1,2,3213, 3.6.m n m n m n mn +=⎧=-⎧⎪-=⎨⎨=⎩⎪=-⎩解得 ∴x 2+xy －6y 2+x+13y －6=（x+3y －2）（x －2y+3）．例6 （x 2+2）（x+1）（x －1）（x 2+x+1）（x 2－x+1）．[提示：（x 4+x 2－4）（x 4+x 2+3）+10=（x 4+x 2）2－（x 4+x 2）－12+10=（x 4+x 2）2－（x 4+x 2）－2=（x 4+x 2－2）（x 4+x 2+1）=（x 2+2）（x 2－1）[（x 4+2x 2+1）－x 2]=（x 2+2）（x 2－1）[（x 2+1）2－x 2]=（x 2+2）（x+1）（x －1）（x 2+x+1）（x 2－x+1）．]【拓展题】设a=x+y ，b=xy ，则（x 2+xy+y 2）2－4xy （x 2+y 2）=[（x+y ）2－xy] 2－4xy[（x+y ）2－2xy]=（a 2－b ）2－4b （a 2－2b ）=a 4－6a 2b+9b 2=（a 2－3b ）2=（x 2+2xy+y 2－3xy ）2=（x 2－xy+y 2）2．能力训练1．C [提示：根据因式分解的概念判断．]2．D [提示：x 2－y 2－2x －4y －3=（x 2－2x+1）－（y 2+4y+4）=（x －1）2－（y+2）2=[（x －1）+（y+2）][（x －1）－（y+2）]=（x+y+1）（x －y －3）．]3．D [提示：x 2－4y 2－9z 2－12yz=x 2－（4y 2+9z 2+12yz ）=x 2－（2y+3z ）2=[x+（2y+3z ）][x －（2y+3z ）]=（x+2y+3z）（x－2y－3z）．]4．B [提示：②式=（x－3a）3；③式=x（b+c－d）+y（b+c－d）－2（b+c－d）=（b+c－d）（x+y－2）；④式=（m－n）（3m－6n）=3（m－n）（m－2n）．所以②、③、④式合乎要求．]5．A [提示：利用十字相乘法可推断．]6．C [提示：原式=a4－a2b2－2a2bc－a2c2－a2b2+2a2bc －a2c2+b4－2b2c2+c4=a4－a2（b2+2bc+c2）－a2（b2－2bc+c2）+（b2－c2）2 =a4－a2（b+c）2－a2（b－c）2+（b+c）2（b－c）2=[a2－（b+c）2][a2－（b－c）2]=（a+b+c）（a－b－c）（a+b－c）（a－b+c）．]7．（3a+2）（a－3）．8．（x+2y+2）（x+2y－2）．[提示：x2+4xy－4+4y2 =（x2+4xy+4y2）－4=（x+2y）2－4=（x+2y+2）（x+2y－2）．]9．（x－1）2（y－1）2．[提示：（x+y－2xy）（x+y－2）+（xy－1）2．=（x+y）2－2xy（x+y）－2（x+y）+4xy+x2y2－2xy+1 =（x+y）2－2（x+y）（xy+1）+（xy+1）2=（x+y－xy－1）2=（x－1）2（y－1）2．]10．（x2+4x－3）（x2+4x+1）．[提示：（x2－1）（x+3）（x+5）+12=（x+1）（x+3）（x－1）（x+5）+12=（x2+4x+3）（x2+4x－5）+12=（x2+4x）2－2（x2+4x）－15+12=（x2+4x－3）（x2+4x+1）．]11．（x3－x2+1）（x2+x+1）；（x3+x2－1）（x2－x+1）．[提示：x5+x+1=x2（x3－1）+（x2+x+1）=（x2+x+1）[x2（x－1）+1]=（x3－x2+1）（x2+x+1）；x5+x－1=x2（x3+1）－（x2－x+1）=（x2－x+1）[x2（x+1）－1]=（x3+x2－1）（x2－x+1）．] 12．（x－2）3－（y－2）3－（x－y）3=[（x－2）－（y－2）][（x－2）2+（x－2）（y－2）+（y－2）2]－（x－y）=（x－y）[（x－2）2+（x－2）（y－2）+（y－2）2－（x－y）2]=3（x－y）（xy－2y－2x+4）=3（x－2）（y－2）（x－y）．13．A3+B3+C3－3ABC=（A+B+C）（A2+B2+C2－BC－CA－AB）．若A+B+C=0，便有A3+B3+C3=3ABC．令A=2x－3y，B=3x－2y，C=5y－5x，则符合上述条件，易得A3+B3+C3=3ABC，即（2x－3y）3+（3x－2y）3－125（x－y）3=15（2x－3y）（3x－2y）（y－x）．14．设（t+1）3=x，y=2+t+t2，则原式=[（4+2t+2t2）－3（1+3t+3t2+t3）][（2+t+t2）－（1+3t+3t2+t3）]－[（t+1）3] 2=（2y－3x）（y－x）－x2=2x2－5xy+2y2=（2x－y）（x－2y）=[2（t3+3t2+3t+t）－（t2+t+2）][（t3+3t2+3t+1）－2（t2+t+2）]=（2t3+5t2+5t）（t3+t2+t－3）=t（2t2+5t+5）（t－1）（t2+2t+3）．15．令y=(1)(3)2x x+++=x+2，则原式=（y －1）4+（y+1）4－272=2（y 4+6y 2+1）－272=2（y 4+6y 2－135）=2（y 2－9）（y 2+15）=2（y+3）（y －3）（y 2+15）=2（x+5）（x －1）（x 2+4x+19）．16．5-422-33由上面的双十字相乘法，得2×5－3×（－4）=10－12=－2．∴6x 2－5xy －6y 2－2xz －23yz －20z 2=（2x －3y －4z ）（3x+2y+5z ）．。

待定系数法分解因式(含答案)-

得解可法数系定待由 �解。题问决解而进。值的 a 求可即 �1 为的小较值中式因得使且 � 式因解分式项多将法数系定待用可故 �身本它和 1 为解分能只数质为因� 路思。数质个这求 �数质个一是值的且�数然自是 a 若 6 例 ∴ � � �得④ 、③ 入代得� ②、 ①由
设可以所
为因 1 法解。值的 ,n ,m 出求
�等恒的式项多用利 �开展后然
是式解分的式原设以所为因 1 路思式因解分 1 例。等巧技 �骤步 �法方的时解分式因
行进法数系定待用会学要们学同� 程过解分式因的目题列系一过通�中分部一这。巧技的题解会体细仔要们学同。用作的中解分式因在法数系定待绍介要主讲本。法数系定待做叫法方的题问决解种这�式系关的足满所数系些某出找或 �数系的定待出求可便组程方或程方解过通后其�组程方或程方的足满应数系出得质性的式等恒据根后然。式等恒个一到得就样这 �式形的新的数系定待有含种一另成示表式项多个一将。益裨有大将必 �法数系定待握掌并好学真认 �中之程课多许的学大于至甚中高、中初于穿贯用作导指其。合场种各等题问用应决解、数系程方定确、解分式因于用运以可�法方题解的用常最为作法数系定待
得 �数系边两较比
式原设� 示提 .1 �示提或案答考参
.3.7 ∴ 得解
得� 数系较比
式原设� 示提 7-.6
得解
得� 数系较比 . 式原设� 示提 2-.5 。除整被能式项多知已 4=n �11- =m 当 ∴

三次多项式的因式分解待定系数法

三次多项式的因式分解待定系数法一、引言在代数学中，多项式的因式分解是一个重要的内容。

特别是对于三次多项式，采用待定系数法可以比较容易地进行因式分解。

本文将重点探讨三次多项式的因式分解待定系数法，并以此为例，深入探讨多项式的因式分解方法。

二、三次多项式的因式分解概述对于三次多项式$ax^3+bx^2+cx+d$，我们可以采用待定系数法进行因式分解，一般步骤如下：1. 先将三次多项式进行因式分解，设为$(px+q)(mx^2+nx+r)$。

2. 然后将两个因式进行乘法展开，得到一个关于$p,q,m,n,r$的表达式。

3. 将三次多项式与乘法展开后的表达式进行对比，得到关于$p,q,m,n,r$的方程组。

4. 解方程组，得到$p,q,m,n,r$的值。

5. 将得到的$p,q,m,n,r$带入因式分解中，就可以得到原三次多项式的因式分解。

三、深入探讨三次多项式的因式分解待定系数法1. 待定系数法的优势待定系数法相对于其他因式分解方法，最大的优势在于其简单直观。

通过待定系数法，我们可以将原三次多项式进行简化，然后通过对比系数的方法得到未知系数的值，从而得到因式分解的具体形式。

2. 代数方程的解法在待定系数法中，我们需要通过对比系数的方法得到方程组，然后解方程组来确定未知系数的值。

这一步可以进一步巩固我们对代数方程求解的能力，提高数学解题的技巧。

3. 多项式的结构分析通过待定系数法，我们可以深入分析三次多项式的结构，通过因式分解的形式来理解多项式的根与系数之间的关系。

这种结构分析有助于我们更深入地理解多项式函数的性质。

四、总结与回顾通过本文的讨论，我们深入探讨了三次多项式的因式分解待定系数法。

我们了解了待定系数法的优势，并能够通过对比系数的方法得到方程组，进而求解出未知系数的值，从而完成三次多项式的因式分解。

通过这一过程，我们不仅加深了对代数方程求解的能力，还对多项式的结构有了更深入的理解。

五、个人观点和理解在多项式的因式分解中，待定系数法是一个非常实用的方法。

待定系数法因式分解

待定系数法因式分解
1等待定系数法因式分解
等待定系数法因式分解是一种比较常用的分解公式的方法，它可以将复杂的公式分解成若干相等的两项式，能更便捷的求出我们想要的结果。

它的基本原理是，首先，把公式中的两项乘积分别记作a和b，其中a作为第一项，b作为第二项。

然后，把两个平方差记作c，把b乘以c称为d。

最后，把c除以a，即可得到第二项。

使用等待定系数法因式分解的方法，我们可以比较容易地将比较复杂的多项式分解成相等的两项式，以更快捷，更方便地求出我们需要的结果。

比如，当需要求出多项式$x^5-5x^4+6x^3-5^2x+2的值的时候，我们可以将它分解为（x-2）（x^4-3x^3+4x^2-2x+1），然后通过乘法，加法等其他储备的求解方法，比直接求出所有项快得多。

所以，等待定系数法因式分解是一种比较实用的分解公式的方法，它可以显著提高求解的效率，节省时间和解题的步骤，受到广大人士的欢迎。

三次因式分解待定系数法

三次因式分解待定系数法嘿，朋友们，今儿咱们来聊聊数学里头的一个酷炫技巧——三次因式分解的待定系数法。

别瞅着这名字听起来挺高深莫测的，其实啊，它就像咱们玩拼图一样，只要找到那块对的“拼图”，问题就迎刃而解啦！想象一下，你手里拿着一道三次方程式的题目，就像拿着一大串复杂的密码锁，每个数字都像是精心设计的谜题，等着你去解开。

这时候，待定系数法就像是给了你一把万能钥匙，虽然不是直接告诉你密码是多少，但它告诉你怎么去尝试，怎么去拼凑。

咱们先来点热身，说说这待定系数法是个啥。

简单来说，就是你先预设一些未知数，就像是在心里默默许愿：“哎呀，我希望这个式子能分解成这样三个因式相乘。

”然后，你就开始动手，把这些预设的未知数代入原式，通过比较两边的系数，来找出这些未知数的真实值。

这就像是你跟数学玩了一场“我猜我猜我猜猜猜”的游戏，只不过这次你是用脑子去猜，而且猜中的概率还挺高的。

现在，咱们来点儿实战演练。

比如你遇到了一个三次方程：x^3 + 5x^2 + 6x + 2 = 0，看起来是不是挺吓人的？别急，咱们一步步来。

首先，你得有个感觉，这个式子大概能分解成什么样的因式。

凭直觉（当然，有时候也得靠点经验），你可以试着把它拆成(x + a)(x + b)(x + c)这样的形式。

接下来，就是见证奇迹的时刻了。

你把这三个因式乘开，然后跟原式进行对比。

哎呀，不对不对，系数怎么都对不上号呢？别急，咱们慢慢调。

就像是在调色盘里找颜色，一点点地试，直到调出那个最完美的色彩。

在这个过程中，你可能会遇到一些挫折，比如试了半天都找不到合适的a、b、c值。

这时候，千万别灰心丧气，数学嘛，就是要有点耐心和毅力的。

你可以换个思路，比如试试分组分解法，看看能不能先简化一下问题。

终于，在你坚持不懈的努力下，你找到了那个完美的组合：a=1, b=2, c=1。

代入原式一检验，哇塞，完全正确！这时候的你，是不是感觉就像是解开了一个千古谜题一样，心里那个爽啊，简直无法用言语来形容。

待定系数法分解因式(附问题详解)

待定系数法分解因式（附答案）待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。

其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。

内容综述将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。

同学们要仔细体会解题的技巧。

要点解析这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。

例1 分解因式思路1 因为所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。

解法1因为所以可设比较系数，得由①、②解得把代入③式也成立。

∴思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。

若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。

例2 分解因式思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。

解设由恒等式性质有：由①、③解得代入②中，②式成立。

思路1 先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。

可考虑利用恒待式的性质。

解法1 设关于x的二次三项式为把已知条件分别代入，得解得故所求的二次三项为思路2 根据已知时，其值0这一条件可设二次三项式为然后再求出a的值。

换元法、待定系数法因式分解

板块一：换元法【例1】分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++【例2】分解因式：22(52)(53)12x x x x ++++-【例3】分解因式：(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++【例4】分解因式：(1)(2)(3)(4)24a a a a -----【例5】分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++-【例6】证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．【例7】若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数.换元法、待定系数法因式分解【例8】在有理数范围内分解因式：()()()()166********x x x x --+-+=【例9】分解因式：()()()()26121311x x x x x ----+=【例10】分解因式：()()()()461413119x x x x x ----+=【例11】分解因式2(25)(9)(27)91a a a +---【例12】分解因式：22(68)(1448)12x x x x +++++【例13】分解因式：22222()4()x xy y xy x y ++-+【例14】分解因式22(32)(384)90x x x x ++++-【例15】分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-【例16】分解因式：2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-【例17】分解因式：()()()2113212xy xy xy x y x y ⎛⎫+++-++-+- ⎪⎝⎭【例18】分解因式：44(1)(3)272x x +-+-【例19】分解因式：4444(4)a a ++-【例20】分解因式：()()()3332332125x y x y x y -+---【例21】分解因式：43241x x x x +-++【例22】分解因式：()()4413272x x +++-板块二：因式定理因式定理：如果x a =时，多项式1110...n n n n a x a x a x a --++++的值为0，那么x a -是该多项式的一个因式.有理根：有理根p c q=的分子p 是常数项0a 的因数，分母q 是首项系数n a 的因数.【例23】分解因式：32252x x x ---【例24】分解因式：65432234321x x x x x x ++++++【例25】分解因式：43265332x x x x ++--【例26】分解因式：322392624x x y xy y -+-【例27】分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-【例28】分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+板块三：待定系数法如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即，如果 12112112101210n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a b x b x b x b x b--------+++++=+++++那么n n a b =，11n n a b --=，…，11a b =，00a b =.【例29】用待定系数法分解因式：51x x ++【例30】要使()()()()1348x x x x m -+--+为完全平方式，则常数m 的值为________【例31】用待定系数法分解：541x x ++【例32】分解因式：333()()()a b c b c a c a b -+-+-【例33】关于x y ，的二次式22754324x xy my x y ++-+-可分解为两个一次因式的乘积，则m 的值是【例34】 421x x -+是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积?【例35】 631x x +-能否分解为两个整系数的三次因式的积?【例36】 k 为时，多项式222352x xy ky x y -++-+能分解为两个一次因式的乘积【例37】分解因式：43223x x x x ++-+板块四：轮换式与对称式对称式：x y 、的多项式x y +，xy ，22x y +，33x y +，22x y xy +，…在字母x 与y 互换时，保持不变．这样的多项式称为x y 、的对称式．类似地，关于x y z 、、的多项式x y z ++，222x y z ++，xy yz zx ++，333x y z ++， 222222x y x z y z y x z x z y +++++，xyz ，…在字母x y z 、、中任意两字互换时，保持不变．这样的多项式称为x y z 、的对称式．轮换式：关于x y z 、、的多项式x y z ++，222x y z ++，xy yz zx ++，333x y z ++，222x y y z z x ++，222xy yz zx ++，xyz …在将字母x y z 、、轮换(即将x 换成y ，y 换成z ，z 换成x )时，保持不变．这样的多项式称为x y z 、、的轮换式．显然，关于x y z 、、的对称式一定是x y z 、、的轮换式．但是，关于x y 、，z 的轮换式不一定是对称式．例如，222x y y z z x ++就不是对称式．次数低于3的轮换式同时也是对称式．两个轮换式(对称式)的和、差、积、商(假定被除式能被除式整除)仍然是轮换式(对称式)．【例38】分解因式：222-+-+-x y z y z x z x y()()()【例39】分解因式：222222-+-+-()()()xy x y yz y z zx z x。