集合之间的关系_PPT

联动思考
1．若 A 为有限集，且 card(A)＝n，你能否证明 A 的所有子集的个数为 2n. 提示：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.
2．若 A、B 为有限集，记集合 A 中元素的个数为 card(A)，用图示可验证： card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)；你能否用类比的方法表示 card(A∪B ∪C)． 提示：card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card (A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)．
集合与常用逻辑用语
集合之间的关系与运算
了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系/能用自然语言、图形语言、集合语言 (列举法或描述法)描述不同的具体问题/理解集合之间包含与相等的含义，能识别给 定集合的子集/在具体情境中，了解全集与空集的含义/理解两个集合的并集与交集 的含义/会求两个简单集合的并集与交集/理解在给定集合中一个子集的补集的含 义，会求给定子集的补集/能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算
A＝{x|－2≤x≤5}，
∵B⊆A，∴①若 B＝∅，
则 m＋1＞2m－1，
即 m＜2，此时满足 B⊆A.
②若 B≠∅，
则－m＋2≤1≤m＋2m1－，1， 2m－1≤5.
解得 2≤m≤3.
由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．
(2)若 A⊆B，
则依题意应有m2m－－6≤1＞－m2－，6， 2m－1≥5.
由图示可知 A＝{3}∪{9}＝{3,9}．
解法二：用 Venn 图可验证 A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)
因此 A＝(A∩B)∪[(∁UB)∩A]＝{3,9}．
答案：D
反思感悟：善于总结，养成习惯
集合的表示法有三种：列举法、描述法和图示法，用 Venn 图表示集合去解决集 合的相关问题简捷、直观、明了．也是数形结合思想方法在解决集合问题时的 具体体现．
2．集合间的基本关系 (1)子集、真子集及其性质 子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则 A⊆B (或 B⊇A )． 真子集：若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，则 A B(或 B A )． 性质：∅⊆A；A⊆A；A⊆B，B⊆C⇒A⊆C. 若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有 2n－1 个． (2)集合相等 若A⊆B且B⊆A，则 A＝B.
或② ab＋ ＝ba＝ ，0， ba＝1.
()
解①得ab＝ ＝1－. 1， 符合题意；②无解．因此 b－a＝2. 答案：C
反思感悟：善于总结，养成习惯
两个有限集合相等，可以从两个集合中的元素相同求解，但要注意集合元素的无
序性、互异性，如果是两个无限集合相等，从两个集合中元素相同的角度进行求
解就不方便，这时就可以根据两个集合相等的定义求解，即如果 A⊆B，B⊆A，则
答案：8
考向二 集合与集合间的基本关系
【例 2】 设 a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，ba，b，则 b－a＝ A．1 B．－1 C．2 D．－2
解析：由{1，a＋b，a}＝0，ba，b可知 a≠0， 则只能是 a＋b＝0.由集合元素的特性可知应有如下对应关系：
① abab＋ ＝ ＝ba1＝ ， ；0，
4．可以用图示显示集合与集合之间的关系，用数轴上的点表示数集，注意数形结合 思想方法的运用．
二、集合的运算 1．两个集合的交、并、补的运算分别与逻辑联结词且、或、非对应，但不能等同和
混淆． 2．数形结合的思想方法在集合的运算中也是常见的，对于一般的集合运算时可用韦
恩图直观显示，例如若 A⊆S，B⊆S，则全集 S 最多被四个集合 A∩B，A∩(∁SB)， B∩(∁SA)和∁U(A∪B)所划分；对于可以用区间表示的数集可以利用数轴进行集合 的运算． 3．五个关系式 A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁UB⊆∁UA 以及 A∩(∁UB)＝∅ 是两两等 价的．
解得 mm＞ ≤－ 4，5， m≥3.
故 3≤m≤4，
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∴m 的取值范围是[3,4]．
(3)若 A＝B，则必有2mm－－61＝＝－5，2， 解得 m∈∅.
即不存在 m 值使得 A＝B.
考向三 集合的基本运算
【例 3】设集合 A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|y＝－x2，－1≤x≤2}，则∁R(A∩B)等于( ) A．R B．{x|x∈R，x≠0} C．{0} D．∅ 解析：B＝{y|y＝－x2，－1≤x≤2}＝[－4,0]，则 A∩B＝{0}，∴∁R(A∩B)＝{x|x ∈R，x≠0}． 答案：B
基础自查
1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、 互异性 、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号 ∈ 或 ∉ 表示． (3)集合的表示法：列举法、 描述法 、图示法、自然语言． (4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R. (5)集合的分类：按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、 空集 ．
3．集合的运算及其性质 (1)集合的并、交、补运算 并集：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}； 交集：A∩B＝ {x|x∈A且x∈B} ； 补集：∁UA＝{x|x∈U且x∉A}． U为全集，∁UA表示A相对于全集U的补集． (2)集合的运算性质 ①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔ A⊆B ； ②A∩A＝A，A∩∅＝ ∅ ； ③A∪A＝A，A∪∅＝A； ④A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.
A＝B
迁移发散
2．已知集合 A＝{x|x2－3x－10≤10}，
(1)若 B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数 m 的取值范围；
(2)若 A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数 m 的取值范围；
(3)若 A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数 m 的取值范围． 解：(1)由 A＝{x|x2－3x－10≤0}，得
迁移发散 1．某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个
小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26、15、13，同时参加数学 和物理小组的有 6 人，同时参加物理和化学小组的有 4 人，则同时参加数学和化 学小组的有________人． 解析：设参加数学、物理、化学课外探究小组同学构成的集合分别为 A、B、C 并设 A、C 都参加的有 x 人．如图所示， 则只参加 A 的有(20－x)人，只参加 B 的有(15－6－4)人， 只参加 C 的有(9－x)人，可得： (20－x)＋(15－6－4)＋(9－x)＋x＋6＋4＝36， 解得 x＝8.
的集合是
()
A．{－1,2}
B.1，－12
C.1，0，－12
D.－1，0，12
解析：∵A∩B＝B，即 B⊆A，若 m＝0，B＝∅⊆A；
若 m≠0，B＝x|x＝－m1 ；由 B⊆A 得：－m1 ＝－1 或－m1 ＝2，∴m＝1 或 m＝－12. 综上选 C.
答案：C
3．已知集合 U＝R，A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{y|y＝x＋1，x∈A}，则 A∩(∁UB)＝________. 解析：∵－1≤x≤2，则 y＝x＋1 的值域是[0,3]，∴B＝{y|y＝x＋1，x∈A}＝[0,3]， A∩(∁UB)＝[－1,2]∩[(－∞，0)∪(3，＋∞)]＝[－1,0)． 答案：[－1,0)
4．用图示可验证以下结论：A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A ∪C)；(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)；(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B).
联动体验
1．已知全集 U＝R，则正确表示集合 M＝{－1,1,0}和 N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩
(Venn)图是
()
解析：N＝ {x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，则 N M，故选 B. 答案：B
2．已知集合 A＝{－1,2}，B＝{x|mx＋1＝0}，若 A∩B＝B，则所有实数 m 的值组成
解析：A＝{y|y＝x13，－1≤x≤1}＝[－1,1]，
B＝{y|y＝2－1x，0<x≤1}＝(－∞，1]． ∴A∩B＝[－1,1]．
答案：B
一、集合的概念
方法总结 感悟提升
1．解题时要注意集合中元素的三个性质的应用，特别是互异性，要进行解题后的检 验．注意符号语言与文字语言之间的相互转化．
2．解题时要关注空集的特殊地位，讨论时要防止遗漏． 3．元素与集合之间是从属关系，集合与集合之间是包含关系．
答案：－3
考向一 集合的概念和表示
【例 1】 (2010·辽宁理，1)已知 A、B 均为集合 U＝{1,3,5,7,9}的子集，且 A∩B＝{3}，
(∁UB)∩A＝{9}，则 A＝ A．{1,3} B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9}
()
解析：解法一：
用 Venn 图表示已知条件如下：
反思感悟：善于总结，养成习惯
解决集合问题，一般要先化简集合，以确定集合中的元素，对于可用区间表示 的数集，可借助数轴使问题直观化，以减少出现运算错误的可能性．
3．已知集合 A＝{y|y＝x13，－1≤x≤1}，B＝{y|y＝2－1x，0<x≤1}，则 A∩B＝(
)
A．(－∞，1] B．[－1,1] C．∅ D．{1}
4．已知集合 A＝{－1,3,2m－1}，集合 B＝{3，m2}．若 B⊆A，则实数 m＝________. 解析：∵B⊆A，∴m2∈A，又 m2≠3，且 m2≠－1， 则 m2＝2m－1，解得 m＝1. 答案：1
5．(2010·重庆理，12)设 U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数 m＝________. 解析：由∁UA＝{1,2}，且 U＝{0,1,2,3}知 A＝{0,3}，即方程 x2＋mx＝0 的两根分别 是 0 或 3，则 m＝－3.