-琴生不等式,幂平均不等式
幂平均不等式的证明过程
幂平均不等式的证明过程哎呀，说到这个幂平均不等式呀，可真是有点不一般呢！咱先得搞清楚啥是幂平均不等式。
简单来说呢，就是几个数的某种幂的平均值之间存在着特定的大小关系。
那怎么证明它呢？咱就好比搭积木，一块一块来。
先从最基本的情况入手。
想象一下，就两个数 a 和 b，要证明它们在不同幂次下的平均关系。
这就好像是在走一条有点曲折的小路，得一步步稳稳地走。
我们可以通过巧妙地构造函数来入手。
比如说，设一个函数 f(x)，让它和幂平均不等式挂上钩。
然后呢，就像侦探找线索一样，去分析这个函数的性质。
看看它是递增呢还是递减呢，有没有什么特殊的地方。
再然后，我们可以利用一些已知的不等式，就像找到了宝藏的钥匙一样，把幂平均不等式给打开。
比如说基本不等式，那可是个好帮手呀！这过程可不简单哦，就像爬山一样，得一步步往上爬，有时候还可能会遇到一些小困难。
但咱不怕呀，有耐心有毅力就能搞定。
接着，当我们搞定了两个数的情况，就可以往更多个数上扩展啦。
这就好像是从一个小房子扩建到一个大城堡，要考虑的东西更多了，但原理还是那些。
在证明的过程中，还得细心再细心，不能有一点马虎。
一个小细节没注意到，可能就前功尽弃啦！这可不是开玩笑的哟！其实呀，数学里的这些证明就像是一场奇妙的冒险。
我们带着好奇的心，去探索那些隐藏的规律和秘密。
每一步都充满了惊喜和挑战。
总之呢，幂平均不等式的证明过程就像是一个精心编排的舞蹈，每一个动作都要恰到好处，才能展现出它的美妙。
虽然过程可能有点复杂，但当我们真正理解和掌握了它，那种成就感可是无与伦比的呀！所以呀，大家可别被它吓住，勇敢地去挑战，去探索吧！相信你们一定能在这个奇妙的数学世界里找到属于自己的乐趣和收获！。
八个著名的不等式
第八讲 几个著名的不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果，它们将成为我们学习数学、研究数学、应用数学的得力工具。
下面择要介绍一些著名的不等式． 1.柯西（Cauchy ）不等式 定理：设()n i R b a i i Λ2,1,=∈则()22211nn b a b a ba Λ++≤()()2222122221n n b b b a a aΛΛ++⋅++等号成立当且仅当()n i ka b i i ≤≤=1.。
[一般形式的证明] 作函数()()()()()())(222222122112222212222211≥+++++-+++=-++-+-=x b b b x b a b a b a x a a a b x a b x a b x a x f n n n n n n ΛΛΛΛ0≤∆∴ 此时044121221≤⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∑∑∑===n i i n i i ni i i b a b a⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∴∑∑∑===n i i n i i ni i i b a b a 121221，得证。
[向量形式的证明]令(),2,1n a a a A Λρ= (),2,1n b b b B Λρ=()()()22221222212211cos nn n n b b b a a aB A B A b a b a b a B A ΛΛρρρρΛρρ++⋅+++=≤=++=⋅θ()1cos 1≤≤-θ两边同时平方得：()22211nn b a b a ba Λ++≤()()2222122221n n b b b a a aΛΛ++⋅++，得证。
[柯西不等式的应用]例1.1设()()22121111,1n a a a a a a n i R a n n i ≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++≤≤∈+ΛΛ求证 解：由柯西不等式可知，原不等式可化为()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++2222122221111n na a a a a a ΛΛ()22111n n =++≥43421Λ个 当且仅当,1,1,12211n na k a a k a a k a ===Λ时等号成立即n a a a Λ==21，故原不等式得证。
第44讲 排序不等式
第四讲 排序不等式与琴生不等式本节主要内容有排序不等式、琴生不等式、幂平均不等式、切比雪夫不等式及应用．排序不等式（又称排序定理）：给定两组实数a 1，a 2，……，a n ；b 1，b 2，……，b n ．如果a 1≤a 2≤……≤a n ；b 1≤b 2≤……≤b n ．那么a 1b n ＋a 2b n －1＋……＋a n b 1（反序和）≤a 11i b ＋a 22i b ＋……＋a n n i b （乱序和）≤a 1b 1＋a 2b 2＋……＋a n b n （同序和）， 其中i 1，i 2，……，i n 是1，2，……，n 的一个排列．该不等式所表达的意义是和式∑=nj i j jba 1在同序和反序时分别取得最大值和最小值．切比雪夫不等式：设有两个有序数组a 1≤a 2≤……≤a n ；b 1≤b 2≤……≤b n ．则1n(a 1b n＋a 2b n －1＋……＋a n b 1)≤a 1＋a 2＋……＋a n n ·b 1＋b 2＋……＋b n n ≤1n(a 1b 1＋a 2b 2＋……＋a nb n )， 其中等号仅当a 1＝a 2＝……＝a n 或b 1＝b 2＝……＝b n 时取得．琴生不等式又称凸函数不等式，它建立在凸函数的基础上．定义 设连续函数f (x )的定义域是[a ，b ](开区间(a ，b )或(－∞，＋∞)上均可)，如果对于区间[a ，b ]内的任意两点x 1，x 2有f (x 1＋x 22 )≤12 [f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )为[a ，b ]上的下凸函数．如图(１)定理一．若f (x )是下凸函数，则对其定义域中的任意几个点x 1，x 2，……，x n ，恒有f (x 1＋x 2＋……＋x n n )≤1n[f (x 1)＋f (x 2)＋……＋f (x n )]．定义 设连续函数f (x )的定义域是[a ，b ](开区间(a ，b )或(－∞，＋∞)上均可)，如果对于区间[a ，b ]内的任意两点x 1，x 2有f (x 1＋x 22 )≥12 [f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )为[a ，b ]上的下凸函数．如图(2)x 1x 2M (1)P Q x 1x 2M P Q定理二：若)(x f 是上凸函数，则对其定义域中的任意n 个点n x x x ,...,,21恒有)](...)()([1)...(2121n n x f x f x f n n x x x f +++≥+++，容易验证x x x f 21log ,tan )(=分别是),0(),2,0(+∞π上的下凸函数。
幂平均不等式琴生不等式证明
幂平均不等式琴生不等式证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述幂平均不等式和琴生不等式是数学中常见的重要不等式之一，它们在数学分析、概率论和统计学等领域具有广泛的应用。
幂平均不等式是描述一组正实数的平均值与它们的幂的关系的不等式，而琴生不等式则是描述一组正实数的几何平均与它们的算术平均的关系的不等式。
在本文中，我们将重点研究幂平均不等式与琴生不等式的证明。
首先，我们将介绍幂平均的定义及其不等式的表述，主要涉及到算术平均、几何平均和调和平均。
然后，我们将探讨幂平均不等式的证明思路，分析一些常用的证明方法，例如归纳法、反证法和数学归纳法等。
接着，我们将详细介绍幂平均不等式的证明步骤，阐述其中的关键思想和推理过程。
随后，我们将转向琴生不等式的研究，首先给出琴生不等式的定义和表述，然后探讨琴生不等式的证明思路，分析其与幂平均不等式之间的关系。
在此基础上，我们将给出琴生不等式的证明步骤，详细阐述其中的推理和推导过程。
最后，我们将总结幂平均不等式与琴生不等式的关系，并对两个不等式的证明过程进行总结。
同时，我们将展望幂平均不等式与琴生不等式在数学研究和实际应用中的潜力，并对其有关领域的进一步研究方向提出展望。
综上所述，本文将通过深入研究幂平均不等式与琴生不等式的证明，旨在深化对这两个重要不等式的理解，并探索其应用领域的拓展。
通过本文的阐述，读者将能够更好地理解和运用幂平均不等式与琴生不等式，为解决实际问题提供有力的数学工具。
1.2文章结构文章结构部分应该包含以下内容：文章结构部分旨在介绍整篇文章的章节分布和内容安排，以帮助读者更好地理解文章的结构和逻辑。
本文按照以下结构来组织：1. 引言：本节将对整篇文章的概述进行介绍。
首先，介绍幂平均不等式和琴生不等式的定义和表述，以便读者对这两个不等式有个初步的了解。
然后，给出文章的目的，即通过对幂平均不等式和琴生不等式进行证明，探讨它们之间的关系和应用，以及对它们的评价。
琴生不等式【学生版】
自招竞赛 数学讲义琴生不等式和幂平均不等式不等式问题在高考中较为简单，但是在自招和竞赛中，是非常重要且富于变化的一类问题。
在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；交大华约中，不等式部分通常占10%-15%，其中还会涉及到一些考纲之外的特殊不等式。
本节介绍了琴生不等式以及它的一些简单推论诸如加权琴生和幂平均不等式，希望借助这些补充知识给同学们解决不等式问题提供一个思考的方向。
琴生不等式1. 凸函数的定义：设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 内任意两点12,x x ，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数； 反之，若有1212()()()22x x f x f x f ++≥，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。
常见的下凸（凸）函数有x y a =，[0,)2π上的tan y x =，R +上的2y x =，3y x =等常见的上凸（凹）函数有[0,)2π上的sin y x =，cos y x =，R +上的ln y x =等2. 琴生(Jensen)不等式若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则1212()()()()n n x x x f x f x f x f n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤上式等号在12...n x x x ===时取到反之显然：若()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数，则上式不等号反向 琴生(Jensen)不等式证明（数学归纳）：1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；2）假设n k =时命题成立，即1212()()()()k k x x x f x f x f x f k k++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤那么当1n k =+时，设12111k k x x x A k ++++⋅⋅⋅+=+，1211111(1)(1)(1)()()()22k k k k k k x x x x k A k A k A k k f A f f k +++++++⋅⋅⋅++-+++-==11111()(1)()(1)()11[()()][]22ki k k i k k k f x x k A f x k f A f A f k k k++=+++-+-≤+≤+∑所以112112()()()()()(1)()k k k k kf A f x f x f x f x k f A +++≤++⋅⋅⋅+++-所以1121(1)()()()()()k k k k f A f x f x f x f x +++≤++⋅⋅⋅++，变形即得证。
几个常用不等式证明不等式方法辛
不等式是高等数学中的一个重要工具。
运用它可以对变量之间的大小关系进行估计，并且一些重要的不等式在现代数学的研究中发挥着重要作用。
这里首先介绍几个常用的不等式，然后再介绍证明不等式的一些方法。
几个重要的不等式 1．平均值不等式设12,,,n a a a 非负，令111()(0)nrr r kk M a a r n =⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭∑（当r<0且至少有一0ka =时，令()0r M a =），111()()nkk A a M a a n ===∑，112()()111nn H a M a a a a -==++，11()nnk k G a a =⎛⎫= ⎪⎝⎭∏，称r M 是r 次幂平均值，A 是算数平均值，H 是调和平均值，G 是几何平均值，则有()()()H a G a A a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===；一般的，如果s>0，t<0，则有()()()t s M a G a M a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===。
2．赫尔德（Holder ）不等式设()0,0,1,2,,,1,2,,j i j a a i n j m>>==，且11mjj a==∑，则1111111()()()()m mnnna a a a m m iiii i i i a a a a ===≤∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11,1,2,,m i i nnm kki i a a i n aa=====∑∑。
3．柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz ）不等式设,,1,2,,i i a b i n =为实数，则112222111||n nni i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑。
4．麦克夫斯基(Minkowsk)不等式 设()0,1,2,,,1,2,,,1j i a i n j m r >==>，则111(1)()(1)()111[()][()][()]nnnm r r m r r r r iiiii i i a aa a===++≤++∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11()(),1,2,,()()rm ri i nnr m r kki i a a i n aa=====∑∑。
几个常用的不等式
几个常用的不等式1．柯西（Cauchy ）不等式(aa 1bb 1+aa 2bb 2+⋯+aa nn bb nn )2≤�aa 12+aa 22+⋯+aa nn 2��bb 12+bb 22+⋯bb nn 2� �aa ii bb ii ∈RR ，ii =1，2，⋯，nn �等号当且仅当 aa 1=aa 2=⋯=aa nn =0 或 bb ii =kkbb ii 时成立（kk 为常数，ii =1，2，⋯，nn ）现将它的证明介绍如下：证明：构造二次函数ff(xx)=(aa 1xx +bb 1)2+(aa 2xx +bb 2)2+⋯+(aa nn xx +bb nn )2=�aa 12+aa 22+⋯+aa nn 2�xx 2+2(aa 1bb 1+aa 2bb 2+⋯+aa nn bb nn )xx +�bb 12+bb 22+⋯bb nn 2�∵ aa 12+aa 22+⋯+aa nn 2≥0 又 ∵ ff(xx)≥0 恒成立∴ ∆=4(aa 1bb 1+aa 2bb 2+⋯+aa nn bb nn )2−4�aa 12+aa 22+⋯+aa nn 2��bb 12+bb 22+⋯bb nn 2�≤0即 (aa 1bb 1+aa 2bb 2+⋯+aa nn bb nn )2≤�aa 12+aa 22+⋯+aa nn 2��bb 12+bb 22+⋯bb nn 2�当且仅当aa ii xx +bb ii =0 � ii =1，2，⋯，nn � 即 aa1bb 1=aa2bb 2=⋯=aann bb nn时等号成立。
2．平均不等式设 aa ii ∈RR + � ii =1，2，⋯，nn � ，调和平均值 ：HH nn = nn1aa 1+ 1aa 2+ 1aa 3+ ⋯ + 1aann，几何平均值：GG nn =√aa 1∙aa 2∙aa 3∙⋯∙aa nn nn算术平均值：AA nn=aa 1+aa 2+aa 3+⋯+aa nnnn，方幂平均值 ：QQ nn =�aa 12+aa 22+aa 32+⋯+⋯aa nn2nn则 HH nn ≤GG nn ≤AA nn ≤QQ nn ，等号成立当且仅当：aa 1=aa 2=aa 3=⋯=aa nn注意：运用平均不等式需注意各项均为正数！3．排序不等式若两组实数 aa 1≤aa 2≤aa 3≤⋯≤aa nn 且 bb 1≤bb 2≤bb 3≤⋯≤bb nn ，则对于bb 1，bb 2，bb 3，⋯，bb nn 的任意排列bb ii 1，bb ii 2，bb ii 3，⋯，bb ii nn ，有：aa 1bb nn +aa 2bb nn−1+aa 3bb nn−2+⋯+aa nn bb 1≤aa 1bb ii 1+aa 2bb ii 2+aa 3bb ii 3+⋯+aa nn bb ii nn ≤aa 1bb 1+aa 2bb 2+aa 3bb 3+⋯+aa nn bb nn4．琴生不等式首先来了解凸函数的定义：一般地，设 ff(xx) 是定义在�aa ，bb �内的函数，如果对于定义域内的任意两数xx 1，xx 2 都有ff �xx 1+xx 22�≤ff(xx 1)+ff (xx 2)2，则称ff(xx) 是�aa ，bb �内的下凸函数，一般说的凸函数，也就是下凸函数，例如 yy =xx 2 ，从图像上即可看出是下凸函数，也不难证明其满足上述不等式。
琴生不等式及不等式综合(教师)
第四章 琴生不等式一、函数的凹凸性：定义：设连续函数()f x 的定义域为 (a ，b )，如果对于 (a ，b )内任意两数x 1，x 2，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤①则称()f x 为 (a ，b )上的下凸函数．注：1．若把①式的不等号反向，则称这样的()f x 为区间 (a ，b )上的上凸函数．（或凹函数）2．下凸函数的几何意义：过()y f x =曲线上的任意两作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上）．二、琴生不等式：若()f x 是区间 (a ，b ) 上的凸函数，则对任意的点x 1，x 2，…，x n ∈(a ，b )，有12121()[()()()]nn x x x f f x f x f x nn+++≤+++取“=”条件：x 1 = x 2 = … = x n 证明：注：更一般的情形：设()f x 是定义在区间 (a ，b ) 上的函数，如果对于(a ，b )上任意两点x 1，x 2，有 1212()()()pf x pf x f px qx +≥+（其中1p q R p q +∈+=，，），则称()f x 是(a ，b ) 上的下凸函数．其推广形式，即加权的琴生不等式：设12121n n q q q R q q q +∈+++=，，，，且，若()f x 是区间 (a ，b ) 上的下凸函数，则对任意的x 1，x 2，…，x n ∈(a ，b )有11221122()()()()n n n n f q x q x q x q f x q f x q f x +++≤+++．取“=”条件：12n x x x ===说明：以上各不等式反向，即得凹函数的琴生不等式． 例1 证明：(1) ()sin f x x =在[0)π，上是上凸函数(2) ()lg g x x =在(0)+∞，上是上凸函数 (3) ()tan )2h x x π=在[0，上是下凸函数证明：(1) 对12[0)x x π∀∈，，121212121212()()1(sin sin )sin cos sin ()222222f x f x x x x x x x x xx x f ++-++=+=≤=(2) 对12[0)x x ∀∈∞，，+1212lg lg lg 22x x x x++=≤ 即：1212()()()22g x g x x xg ++≤．(3) 当1202x x π≤<，时1212121212121212sin sin sin()2sin()tan tan cos cos cos cos cos()cos()x x x x x x x x x x x x x x x x +++=+==++-1212122sin()2tan cos()12x x x x x x ++≥=++ （∵sin tan 1cos 2ααα=+）即：1212()()()22h x h x x xh ++≥．例2 用琴生不等式证明均值不等式n n A G ≥，即：12nn i a a a a R n++++∈≥，则证：∵i a R +∈设()lg f x x =，则()f x 为(0)+∞，上的上凸函数 由琴生不等式：12121(lg lg lg )lg nna a a a a a n n ++++++≤即12na a a n+++≤例3 a b c+∈R ，，，且a + b + c = 39．证明：设()f x =()(0)f x ∞为，+上的凹函数．由琴生：1[()()()]()(1)333a b cf a f b f c f f ++++≤==∴ ()()()9f a f b f c ++≤．例4 ()f x 定义在 (a ，b ) 上，()f x 在 (a ，b ) 上恒大于0，且对12()x x a b ∈，，有21212()()[()]2x x f x f x f +≥． 求证：当12()n x x x a b ∈，，，时，有1212()()()[()]n nn x x x f x f x f x f n+++≥．证明：由题：对12()x x a b ∀∈，，，有21212()()[()]2x x f x f x f +≥，两边取常对： 则有1212lg ()lg ()2lg ()2x x f x f x f ++≥ 即1212lg ()lg ()lg ()22f x f x x xf ++≥于是：令()lg ()g x f x =，则()g x 为(a ，b ) 上的凸函数 由琴生不等式：对12()n x x x a b ∈，，，，有1212lg ()lg ()lg ()lg ()n nf x f x f x x x x f n n ++++++≥即1212()()()[()]n nn x x x f x f x f x f n+++≥．三个重要的不等式强化练习 （均值、柯西、排序不等式）1． 用柯西不等式证明：若(1)i a R i n +∈=，求证：21212111()()n na a a na a a ++++++≥． 证：由柯西222222212()][()()()]n na n a a a ++++++≥．2． 设1211i n a R i n a a a +∈=+++=，，且．求证：222221212111(1)()()()n n n a a a a a a n+++++++≥证明：由柯西：22221111111111()1[1()][][11]nnnn nnii ii i i i i i i i i ia a a a a a a ======+≥+=+=+∑∑∑∑∑∑ 222111[1](1)nnii i ia n a ===+≥+∑∑ ∴ 222111()(1)ni i i a n a n=+≥+∑． 3． 设a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相等的正整数．证明：32122211112323na a a a n n++++≤++++． 证明：设b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的一个排序，且b 1 < b 2 < … < b n又由于221112n <<<，由排序不等式 1212222211111122nnb b b a a a n n +++≤+++ ① (反序和) (乱序和)另一方面，∵ 1212n b b b n ≥≥≥，，， ∴ 212211122nb b b n n +++≤+++② 由①②知：212211122na a a n n +++≤+++ 其中，a k = b k = k 时，取“=”号．4． 若a b c R +∈，，，求a b cb c c a a b+++++的最小值． 解：不妨设111a b c b c c a a b≥≥≥≥+++，则 由排序不等式，有a b c b c ab c c a a b b c c a a b++≥++++++++（同≥乱） a b c c a bb c c a a b b c c a a b ++≥++++++++（同≥乱） 两式相加，可得32a b c b c c a a b ++≥+++ 当且仅当a = b = c 时取“=”号．。
全国高中数学联赛-不等式专题排序不等式与琴生不等式.pdf
1. ABC 中，求 sin A sin B sin C 的最大值。
2. f (x) ax 2 bx c ，若 a 0 ，证明 f (x) 是下凸的；若 a 0 ，证明 f (x) 是上凸的。
3. 用函数 f (x) lg x 的凸函数性质证明平均值不等式：对 ai 0 （ i 1,2,..., n ）有
2
x分
别是 (0,
), (0,)
上的下凸函数。
f
(x)
sin
x, lg
x
分别是 [0,
], (0,)
上的上凸函数。
2
定理一和定理二所表达的不等关系，统称为琴生不等式。
幂平均：
设
a1, a2 ,..., an
是任意
n
个正数，我们称 ( a1r
a2r n
...
an r
1
)r
(r
在命题与逻辑用语的学习过程中，我们常常会列举与不等式性质相关的问题作为范例. 不仅在大纲版人教社教材和课标版各教材的简易逻辑部分，都配有与此相关的例题、练习题 作为逻辑学习的载体，在各类教辅用书和重要考试的考题中， 以不等式性质或其运用作为 素材的逻辑问题也是屡见不鲜的.这不仅是因为不等式的性质具有形式简洁明确、易于体现 逻辑关系的特点，还因为它的工具作用使得我们在以许多其他教学内容作为题材提出围绕命 题与逻辑用语的问题时，也与不等式的性质相关.
高一对函数单调性的证明， 由于学生对不等式相关知识和方法的掌握方面还很欠缺，所以
我们将证明 f (x1 )与f (x2 ) 的大小关系，转化为判断 f (x1 ) f (x2 ) 的符号问题，从而以 f (x1 ) f (x2 ) 的恒等变形作为主要步骤，避免了对运用不等式性质进行变形的依赖.
三个重要不等式
三个重要不等式目的：掌握三个重要不等式及其应用重点、难点：综合应用三个重要不等式解决竞赛数学中的不等式问题 1、排序不等式[2]设有两组数1212, ,,;,,,n n a a a b b b L L ，满1212 ,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤L L ， 则有 1122n n a b a b a b +++L （顺序和）1212n i i n i a b a b a b ≥+++L （乱序和）1211n n n a b a b a b -≥+++L （逆序和）其中12, ,,n i i i L 是1,2,,n L 的一个排列，当且仅当12= n a a a ==L 或12n b b b ===L 时等号成立.证明 先证左端 设乱序和为S ,要S 最大,我们证明必须n a 配n b ,1n a -配1n b -,L ,1a 配1b , 设n a 配n i b ()n i n <,n b 配某个()k a k n <, 则有 n n n i n k k i n n a b b a a b a b +≤+这是因为 ()()0n n n n n k i k n n i n k n i a b a b a b a b a a b b +--=--≥ 同理可证1n a -必配1n b -，2n a -必配2n b -，L ，1a 必配1b ， 所以 12121122n i i n i n n a b a b a b a b a b a b +++≤+++L L 再证右端 又1211 ,n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-L L ，由以上证明结论(乱≤ 同) 可得，()()()()()()12121112nn n n i i n i a b a b a b a b a b a b --+-++-≥-+-++-L L于是有12121112n n n n i i n i a b a b a b a b a b a b -+++≤+++L L当且仅当12= n a a a ==L 或 12n b b b ===L 时，等号成立. 证毕. 2．均值不等式设12,n a a a L 是正实数，则n n n a a a n a a a ............2121≥+++na a a n1 (112)1+++≥即n n n H G A ≥≥,等号当且仅当n a a a ===......21时成立.证明： ),......,2,1(n i R a i =∈+Θ∴设)1(log )(>=a x f xa，则)(x f 为),0(+∞内的上凸函数 由琴生不等式，得：na a a a a a nnn n n a a a aa a a a a a nn ............log)log ......log (log 12121 (2121)++≤≤+++++即所以n n G A ≥对于na a a 1,......,1,121这n 个正数，应用n n G A ≥， 得0 (1)1 (112121)>≥+++n nn a a a n a a a 所以nn n a a a na a a 1......11......2121+++≥所以n n H G ≥成立 ,故n n n H G A ≥≥ 证毕. 此外，均值不等式还可用排序不等式、数学归纳法等其它方法证明，3、柯西不等式设,(1,2....)i i a b R i n ∈=则222111()()()nnni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑当且仅当(1,2....)i i b ka i n ==时等号成立证法一（数学归纳法）(1)当(1,2...)(1,2....)i i a i n b i n ==或全为零时，命题显然成立. (2)当数组1212,,...;,...n n a a a b b b 不全为零时， 采用数学归纳法.1） 当n=1时22221111a b a b =不等式成立 2）设当1n k =-时，不等式成立.令11122123111,,k k k i i i i i i i S a S b S a b ---======∑∑∑则有2123S S S ≥3）那么当n=k 时112222221111()()kkk k i i k i k i i i i a b a a b b --====⋅=++∑∑∑∑2212()()kk S a S b =++ =22221212k kk k S S S b S a a b +++223()k k S a b ≥+22332()k k k k S a b S a b ≥++=23()k k S a b + =121()k i i k k i a b a b -=+∑=21()k i i i a b =∑当且仅当(1,2....)i i b ka i n ==时等号成立综上述，对222111,,.1,2...()nnni i i i i i i i i n N a b R i n a b a b ===∀∈∀∈=≥∑∑∑均有证法二，作关于x 的二次函数222222212112212()(...)2(...)(...)n n n n f x a a a x a b a b a b x b b b =+++++++++++若22212...0n a a a +++=则12..0n a a a ====不等式显然成立.若22212...0n a a a +++≠ 则2221122()()()...()0n n f x a x b a x b a x b =++++++≥又22212...0n a a a +++>Q 222111[2()]4()()0nnni i i i i i i a b a b ===∴-≤∑∑∑222111()n n ni i i i i i i a b a b ===∴≥∑∑∑当且仅当1212...n na a ab b b ===时等号才成立 例1、（1935年匈牙利奥林匹克）假设12,,,n b b b L 是正数12, ,,n a a a L 的某个排列，证明：1212n na a a nb b b +++≥L 证明 1 不妨设12n b b b ≤≤≤L ，则12111nb b b ≥≥≥L 由排序不等式(乱序≥逆序)得，12121212111111n n n na a ab b b b b b b b b n⋅+⋅++⋅≥⋅+⋅++⋅=L L 例[5]3 设12,,,n a a a L 是个n 互不相同的自然数，证明：即1212n na a a nb b b +++≥L 例23（第20届IMO 试题） 设12,,,n a a a L 是n 个互不相等的自然数，证明：32122211112323n a a a a n n ++++≤++++L L 证法一 （用排序不等式）设12,,,n b b b L 是12,,,n a a a L 的一个排序，且12n b b b <<<L又221112n <<<L 由逆序和<乱序和得，22112222122n n b a b a b a n n ⋅+++<+++L L 又因为 121,2,,n b b b n ≥≥≥L 所以 21221111232n b b b n n ++++≤+++L L 当k k a b k ==，()1,2,k n =L 时，等号成立.即 111123n++++L ≤21222n a a a n +++L 证法二 （用柯西不等式）依题设12,,,n a a a L 是n 个互不相等的自然数，不妨设1212,,n a a a n ≥≥≥L ，，则1111nn k k kk a ==≥∑∑ 由柯西不等式有,22111nn k k k ==⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝∑2111n n k k k k a k a ==⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ ∴2211111nn n k k k k ka k a k ===⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 111111nnk nk k kkk a ====⋅∑∑∑∴2111nn k k k a k k==≥∑∑ 即 32122211112323n a a a a n n++++≤++++L L例12设,,a b c 为任意正数，求出a b c b c c a a b+++++的最小值.解 不妨设a b c ≥≥，则a b a c b c +≥+≥+,111b c c a a b≥≥+++, 由排序不等式得，a b c b c a b c c a a b b c c a a ba b c c a b b c c a a b b c c a a b++≥++++++++++≥++++++++上两式相加则，23ab c b c c a a b ⎛⎫++≥ ⎪+++⎝⎭即 32a b c b c c a a b ++≥+++ 且当仅当a b c ==时，a b c b c c a a b +++++取最小值32. 例1[10],x y R +∈,1x y +=,求证: 11(1)(1)9x y++≥.证明: 由1x y +=,且,x y R +∈,得 11(1)(1)(1)(1)x y x y x y x y++++=++ ，(2)(2)y xx y =++52()y xx y=++又y x x y +≥ 故 11(1)(1)5229x y++≥+⋅=例2[1]若0,x > 0y >, 1x y +=,求证:221125()()2x y xy +++≥. 证明 由 222x y xy +≥， 得 2222()()x y x y +≥+，即 222()2x y x y ++≥，于是 22211()11()()2x y x yx y xy++++++≥21(1)2xy+=因为1x y =+≥所以14xy≥， 故 2221(1)11()()2xy x y xy++++≥252≥.此题用柯西不等式也可求解例[1]1 设0,1,2,,i x i n >=L ，求证：2222112231n n x x x x x x x x x +++≥+++L L .证明 构造均值不等式的模型 由均值不等式，得212122x x x x +≥ ， 223232x x x x +≥ ，L ，2112n n n n x x x x --+≥ ， 2112n n x x x x +≥ . 将上述n 个不等式相加得222211212231()()2()n n n x x x x x x x x x x x x +++++++≥+++L L L ， 所以 2222112231n n x x x x x x x x x +++≥+++L L .说明：该题的证明方法很多，也可以构造柯西不等式的模型. ：例[1]2 已知12,,,n a a a L 都是正数，试证：21212111()()n na a a n a a a ++++++≥L L . 证明 构造柯西不等式的模型 构造两个数组LL 利用柯西不等式，有222111([][]nn n i i i ===≤∑∑，即 21111(1)()()nnni i i i ia a ===≤∑∑∑，所以 21212111()()n na a a n a a a ++++++≥L L . 说明：该题也可以构造均值不等式的模型来求证. 例1[3]（1984年全国高中联赛题）设 12,,,n a a a L为正整数，求证：2221212231n n a a a a a a a a a +++≥+++L L证明 由柯西不等式得，()22212231231na a a a a a a a a ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭L L()2212n a a a ⎛≥=+++L L故2221212231n n a a a a a a a a a +++≥+++L L 例5]5[设12,...n a a a 都是正数，且12...1n a a a +++=求证222221212111(1)()()...()n n n a a a a a a n+++++++≥证明 由柯西不等式有221111[1()]()nn k k k k k ka n a a a ==⋅+≤+∑∑又2211111[1()]()n n n k k k k k k ka a a a ===⋅+=+∑∑∑211221(1)(1)nnk k k ka a n ===+∑∑≥+ 222111()(1)nk k k a n a n=∴+≥+∑ 例6]5[设12,...(1)n a a a n >均为实数。
_琴生不等式、幂平均不等式
高二数学竞赛班二试讲义 第一讲 琴生不等式、幂平均不等式一、知识要点：1．琴生不等式凸函数的定义：设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 任意两点12,x x ，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数； 反之，若有1212()()()22x x f x f x f ++≥，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。
琴生(Jensen)不等式（1905年提出）：若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则 1212()()()()n n x x x f x f x f x f n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤（想象n 边形的重心在图象的上方，n 个点重合时“n 边形”的重心在图象上） 琴生(Jensen)不等式证明：1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；2）假设n k =时命题成立，即1212()()()()k k x x x f x f x f x f k k++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤那么当1n k =+时，设12111k k x x x A k ++++⋅⋅⋅+=+，1211111(1)(1)(1)()()()22k k k k k k x x x x k A k A k A k k f A f f k +++++++⋅⋅⋅++-+++-==11111()(1)()(1)()11[()()][]22ki k k i k k k f x x k A f x k f A f A f k k k++=+++-+-≤+≤+∑所以112112()()()()()(1)()k k k k kf A f x f x f x f x k f A +++≤++⋅⋅⋅+++-所以1121(1)()()()()()k k k k f A f x f x f x f x +++≤++⋅⋅⋅++，得证 2．加权平均琴生(Jensen)不等式： 若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数， 且11,0n iii λλ==>∑，则11(()()n ni iiii i f x f x λλ==≤∑∑ 3．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I 具有二阶导数， （1）如果对任意x ∈I,()0f x ''>，则曲线y=f(x)在I 是下凸的； （2）如果对任意x ∈I,()0f x ''<，则y=f(x)在I 是上凸的。
世界数学史上十个著名不等式
数学史上的十个著名不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式．一、平均不等式（均值不等式）设，，…，是个实数，叫做这个实数的算术平均数．当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何平均数．当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调和平均数．设，，…，为个正数时，对如下的平均不等式：，当且仅当时等号成立．平均不等式是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一．设，，…，是个正的变数，则（1）当积是定值时，和有最小值，且；（2）当和是定值时，积有最大值，且两者都是当且仅当个变数彼此相等时，即时，才能取得最大值或最小值．在中，当时，分别有，平均不等式经常用到的几个特例是（下面出现的时等号成立；（3），当且仅当时等号成立；（4），当且仅当时等号成立．二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）对任意两组实数，，…，；，，…，，有，其中等号当且仅当时成立．柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，…，；，…，都表示实数）是：（1），，则（2）（3）柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位．三、闵可夫斯基不等式设，，…，；，，…，是两组正数，，则（）（）当且仅当时等号成立．闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解．若记，，则上式为四、贝努利不等式（1）设，且同号，则（2）设，则（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当或时，有，上两式当且仅当时等号成立．不等式（1）的一个重要特例是（）．五、赫尔德不等式已知（）是个正实数，，则上式中若令，，，则此赫尔德不等式即为柯西不等式．六、契比雪夫不等式（1）若，则；（2）若，则下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解．如图，矩形OPAQ中，，，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）．于是有，也即七、排序不等式设有两组数，，…，；，，…，满足，则有，式中的，，…，是1，2，…，的任意一个排列，式中的等号当且仅当或时成立．以上排序不等式也可简记为：反序和乱序和同序和这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解．八、含有绝对值的不等式为复数，则，左边的等号仅当的幅角差为时成立，右边的等号仅当的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式是，也可记为绝对值不等式在实数的条件下用得较多。
不等式
琴生不等式、均值不等式、对值不等式、权方和不等式、赫尔德不等式、贝努利不等式琴生不等式琴生（Jensen）不等式：（注意前提、等号成立条件）设f(x)为凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]<=[f(x1)+f(x2)+……+f (xn)]/n(下凸);f[(x1+x2+……+xn)/n]>=[f(x1)+f(x2)+……+f (xn)]/n(上凸),称为琴生不等式（幂平均）。
加权形式为：f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]<=a1f(x1)+a2f(x2) +……+anf(xn)(下凸);f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]>=a1f (x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(上凸),其中ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.凸函数的概念：【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x 1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2>=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数，或下凸函数。
【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x 1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2<=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凸函数，或上凸函数。
同样，如果不等式中等号只有x1=x2时才成立，我们分别称它们为严格的凹凸函数琴生不等式，对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x 2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n>=f((x1 +x2+...+xn)/n)对于任意的凹函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x 2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n<=f((x1 +x2+...+xn)/n)如果上面凹凸是严格的，那么不等式的等号只有x1= x2=...=xn才成立现在我们看看如何证明琴生不等式，下面只对凸函数加以证明。
琴生不等式
琴生（Jensen）不等式：（注意前提、等号成立条件）设f(x)为凸函数，则f[(x1+x2+……+x n)/n]<=[f(x1)+f(x2)+……+f(x n)]/n(下凸);f[(x1+x2+……+x n)/n]>= [f(x1)+f(x2)+……+f(x n)]/n (上凸),称为琴生不等式（幂平均）。
加权形式为：f[(a1x1+a2x2+……+a n x n)]<=a1f(x1)+a2f(x2)+……+a n f(x n)(下凸);f[(a1x1+a2x2+……+a n x n)]>=a1f(x1)+a2f(x2)+……+a n f(x n)(上凸),其中a i>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+a n=1.凸函数的概念：【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2>=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数，或下凸函数。
【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2<=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凸函数，或上凸函数。
同样，如果不等式中等号只有x1=x2时才成立，我们分别称它们为严格的凹凸函数琴生不等式说，对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,x n,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(x n))/n>=f((x1+x2+...+x n)/n) 对于任意的凹函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,x n,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(x n))/n<=f((x1+x2+...+x n)/n) 如果上面凹凸是严格的，那么不等式的等号只有x1=x2=...=x n才成立。
用琴生不等式证明幂平均不等式
用琴生不等式证明幂平均不等式用琴生不等式证明幂平均不等式一、引言在数学领域，不等式是一种重要的数学工具，它可以帮助我们得到一些重要的数学结论。
其中，琴生不等式和幂平均不等式都是常见的不等式，在数学分析和数学物理中有着广泛的应用。
在本文中，我们将通过用琴生不等式证明幂平均不等式，来探讨这两个重要的数学概念。
二、琴生不等式和幂平均不等式的定义和关系1. 琴生不等式琴生不等式是由俄罗斯数学家琴生于1938年提出的，它是用来描述两个随机变量之间关系的一个重要不等式。
假设X和Y是两个随机变量，琴生不等式可以表示为E(XY)≤√(E(X^2)E(Y^2))，其中E(·)表示期望。
琴生不等式实际上是描述了两个随机变量之间的协方差的关系，它指出了协方差的绝对值不会超过随机变量的方差的乘积的平方根。
2. 幂平均不等式幂平均不等式是用来描述一组正实数的平均值的不等式。
对于n个正实数x1,x2,...,xn，它的算术平均数、几何平均数和调和平均数分别定义为：算术平均数A(x)=(x1+x2+...+xn)/n几何平均数G(x)=√(x1*x2*...*xn)调和平均数H(x)=n/(1/x1+1/x2+...+1/xn)幂平均不等式指出，对于任意给定的正实数p和q（p≠q），有√((x1^p+x2^p+...+xn^p)/n)≥√((x1^q+x2^q+...+xn^q)/n)。
当p=1，q=0时，我们有几何平均不等式；当p=q=2时，我们有均值定理（也叫做平方均值不等式）。
三、用琴生不等式证明幂平均不等式现在，我们来证明幂平均不等式。
假设x1,x2,...,xn是一组正实数，不妨假设它们都是非负的，且至少有一个不为0。
我们定义一个随机变量X=ln(xi)，其中i=1,2,...,n。
显然，E(X)=(ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn))/n=ln(G(x))，其中G(x)是这组数的几何平均数。
琴生不等式及不等式综合
第四章琴生不等式一、函数的凹凸性：定：函数 f ( x) 的定域(a， b)，假如于(a， b)内随意两数 x1， x2，都有f ( x1 x2) f ( x1 ) f ( x2 )①22称 f ( x)(a， b)上的下凸函数．注：1．若把①式的不等号反向，称的 f ( x) 区(a，b)上的上凸函数．（或凹函数）2 ．下凸函数的几何意：y f ( x) 曲上的随意两作弦，弦的中点必在曲的上方（或曲上）．二、琴生不等式：若 f ( x) 是区 (a， b) 上的凸函数，随意的点x1， x2，⋯， x n(a， b)，有12L n 1[ f ( x1 ) f ( x2 ) Lf ( x n )]f ( x x x )n n 取“ =”条件： x1 = x2 = ⋯ = x n明：注：更一般的情况：f ( x) 是定在区 (a， b) 上的函数，假如于(a，b)上随意两点 x1， x2，有pf ( x1 ) pf (x2 ) f ( px1qx2 )（此中p， q R ， p q1），称 f ( x) 是 (a，b) 上的下凸函数．其推行形式，即加的琴生不等式：q ， q ，L ，qnR ，且 q q L qn1 ，若f ( x)是区(a， b)上的下凸函数，1212随意的 x12n(a， b)有f (q x q x2L q x)q f (x )q f ( x) L q f (x)．， x ，⋯， x112n n1122n n 取“ =”条件： x1x2 L x n明：以上各不等式反向，即得凹函数的琴生不等式．例 1明： (1) f ( x)sin x 在 [0，) 上是上凸函数(2)g( x)lg x 在 (0，) 上是上凸函数(3)h( x)tan x 在 [0 ， ) 上是下凸函数2明： (1)x1， x2[0， )f (x1 ) f ( x2 ) 1(sin x1 sin x2 ) sinx1x2 cosx1x2sin x1 x2f ( x1 x2)222222(2)x1， x2[0， +)lg x1即：(3)当 0lg x22g ( x1)x1， x2lg x1 x2lgx1x22g ( x2 )g (x1x2 ) ．222sin x1sin x2sin( x1x2 )2sin( x1x2 )tan x1 tan x2cos x1 cos x2cos(x1x2 )cos(x1 x2 )cos x1 cos x22sin( x1x2 )2tan x1 x2（∵sin tan）cos(x1x2 ) 12cos12即： h(x1 )h(x2 )h( x1x2)．22例 2用琴生不等式 明均 不等式A n G n ，即：iR ， a 1 a 2La nn 12 La n．ana a：∵ a iRf ( x)lg x ， f (x) (0，) 上的上凸函数由琴生不等式：1 (lg a 1 lg a2 L lg a n )lga 1 a 2La nnn即 na 1a 2 L a na 1 a 2 La nn例 3a b cR ，且 a + b + c = 3，求 ：8a 1 8b 1 8c1 9 ．， ，明： f ( x)8x 1 ， f ( x) (0， +) 上的凹函数．由琴生： 1[ f ( a) f (b)f (c)]f ( a bc )f (1) 333∴ f (a ) f (b)f (c)9 ．例 4f ( x) 定 在 (a ， b) 上， f ( x) 在 (a ， b) 上恒大于 0，且 x 1， x 2( a ， b) 有f (x 1 ) f ( x 2 ) [ f (x 1x 2 )] 2 ．2求 ：当 x 1， x 2，Lx n(a ，b ) ，有12Lnx 1x 2 L x n n．f ( x ) f ( x )f ( x ) [ f (n)]明：由 ：x 1， x 2( a ， b) ，有 f (x 1 ) f ( x 2 ) [ f (x 1x 2)] 2 ，两 取常 ：2有 lg f ( x 1 ) lg f (x 2 )2lg f (x 1x 2 )2即 lg f ( x 1 ) lg f (x 2 )lg f (x 1x 2 )22于是：令 g (x) lg f (x) ， g (x) (a ， b) 上的凸函数由琴生不等式： x 1， x 2，L x n (a ， b) ，有lg f ( x 1)lg f (x 2 ) Llg f ( x n )lg f (x 1x 2 Lx n )nn即 f ( x 1 ) f (x 2 ) L f ( x n ) [ f (x 1x 2L x n )] n ．n三个重要的不等式加强练习（均值、柯西、排序不等式）1． 用柯西不等式 明：若 a iR (i 1L n) ，求 ： (a 1a 2 La n )( 1 1 L1 ) n 2．a 1 a 2a n：由柯西[( a 1 )2( a 2 ) 2 L( a n )2 ] g[( 1 )2( 1 )2 L( 1 )2 ] n 2 ．a 1a 2a n2． a iR ，i1L n ，且 a 1a 2L a n1 ．1 )21 ) 21 ) 222求 ： ( a 1(a 2L ( a n( n1)a 1a 2a n n明：由柯西：n12n1 [n12[nn12[1 1 g n12(a)g1 g(a)]a i]]ia iia ii 1a ii 1a ii 1i 1 i 1i 1[1na i n1] 22 )2ga i (1 ni 1 i 1n( a i1 )2 1(1 n 2 )2． ∴i 1a in3．a 1， a 2，⋯， a n 是 n 个互不相等的正整数．11 L1 a 1a 2a 3La n．明： 13n 22222 3n明： b 1， b 2，⋯， b n 是 a 1 ，a 2，⋯， a n 的一个排序，且b 1 < b 2 < ⋯ < b n又因为1L 11 ，由排序不等式22n2b 1 g1 b 2 g1111 2L b n g2a 1g1 a 2 g 2L a n g 2 ①2n2n(反序和 )(乱序和 )另一方面，∵b 1 1， b 2 2，L ，b n n 1 L 1 b 1 b 2Lb n②∴ 1n 2222n由①②知： 11 L1 a 1a 2La n2n2n 22此中， a k = b k = k 时，取“ =”号．4 ． 若 a ， b ， c R ，求a b c 的最小值．cc a ab b解：不如设 abc ，则 111c c aa bb 由排序不等式，有a b c bca （同乱）b c c a a b b c c a a babccab（同乱）b c c a a b b c c a a b两式相加，可得a b c 3b c c aab2当且仅当 a = b = c 时取“ =”号．。
-琴生不等式,幂平均不等式
高二数学竞赛班二试讲义 第一讲琴生不等式、幕平均不等式一、知识要点：1 •琴生不等式 凸函数的定义：设连续函数 f (X)的定义域为 a,b ，对于区间 a,b 内任意两点 为, x 2，都f(X 1) f(X 2)有f — 2 反之，若有f (彳 2 1 2 琴生(Jensen)不等式(1905年提出)：若 X 2 f( ，则称f(x)为a,b 上的下凸(凸)函数;2 )f (X 1) f (X 2) ) z ， f (X i ) f (X 2) 则称f(x)为a,b 上的上凸(凹)函数。
X 1 X 2 X n ) n n (想象n 边形的重心在图象的上方， n 个点重合时 琴生(Jensen)不等式证明： 1) n 2时，由下凸(凸)函数性质知结论成立； f(X 1 X 2 X k )(k X k 12)假设n k 时命题成立，即 那么当n k 1时，设A k 1X-I X 2 f(A i ) f( (k 1)人1 (k 1)人1)2k 1 匚[f (人) 2 所以2kf (A kf (x k 1 (k 1)A k 1)]k 1) f (X 1) f (X 2) 所以(k 1)f(A k 1) f(xj f(X 2)2 •加权平均琴生(Jensen)不等式： 若f (X)为a,b 上的下凸(凸)函数,3 .曲线凸性的充分条件：设函数 (1) 如果对任意 (2) 如果对任意 x € I, f (x)x € I, f (X)4 .幕平均不等式：若，且，， f (X )为a, b 上的下凸(凸)函数，则 f (X n ) “ n 边形”的重心在图象上) f(^)侬) f(X k ) f( X 1 x 2k k , f(X i ) 2 kX kx k 1(k1)Ak 1k —g) (k 1)f(AkJ] f(X k ) f(X k 1) (k 1)f (A k 1) f(X k ) f (X k 1)，得证 n且 i 1f(x)在开区间I 内具有二阶导数， 贝U曲线y=f(x)在I 内是下凸的； 则y=f(x)在I 内是上凸的。
不等式中级水平必备(1)
(1 x1 )(1 x2 )...(1 xn ) 1 x1 x2 ... xn (18)
2、当 x1 x2 , ..., xn x 时：
第4页
(1 x)n 1 nx (19)
可见， (19) 式是 (18) 式的特例， (18) 式更普遍.
七、切线法不等式 即：设限法 1、切线法：设 f ( x) 为实值向下凸函数， m, n R ， x (m, n) ，直线 y ax b 与 f 相切 于 (m, n) ，假设：在 x (m, n) 区间，始终有： f ( x) ax b (20)
sym
cyc
cyc
x3 y x3 y x3z y3z y3x z3x z3 y
sym
x3 ( y z) xy( x2 y2 ) x( y3 z3 ) .
cyc
cyc
cyc
三积求和： xyz 6 xyz .
sym
x2 yz x2 yz x2 zy y2 zx y2 xz z2 xy z2 yx 2 xyz x ；
3、在 r 1 点：由 (2) 式得：
1
M (1)
x11
x21 ... n
xn1
1
x1
x2 n
...
xn
An
(5)
故 r 1 的幂平均值是算术平均值.
4、在 r 2 点：由 (2) 式得：
1
M (2)
x12
x22 n
...
xn2
2
n
x12 x22 ... xn2
1
cyc
cyc
cyc
第6页
x3 x3 y3 2( x3 y3 z3 ) 2 x3 .
sym
cyc
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高二数学竞赛班二试讲义 第一讲 琴生不等式、幂平均不等式一、知识要点：1．琴生不等式凸函数的定义：设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 内任意两点12,x x ，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数； 反之，若有1212()()()22x x f x f x f ++≥，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。
琴生(Jensen)不等式（1905年提出）：若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则1212()()()()n n x x x f x f x f x f n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤（想象n 边形的重心在图象的上方，n 个点重合时“n 边形”的重心在图象上） 琴生(Jensen)不等式证明：1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；2）假设n k =时命题成立，即1212()()()()k k x x x f x f x f x f k k++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤那么当1n k =+时，设12111k k x x x A k ++++⋅⋅⋅+=+，1211111(1)(1)(1)()()()22k k k k k k x x x x k A k A k A k k f A f f k +++++++⋅⋅⋅++-+++-==11111()(1)()(1)()11[()()][]22kik k i k k k f x x k A f x k f A f A f k k k++=+++-+-≤+≤+∑ 所以112112()()()()()(1)()k k k k kf A f x f x f x f x k f A +++≤++⋅⋅⋅+++-所以1121(1)()()()()()k k k k f A f x f x f x f x +++≤++⋅⋅⋅++，得证 2．加权平均琴生(Jensen)不等式： 若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数， 且11,0n iii λλ==>∑，则11(()()n ni iiii i f x f x λλ==≤∑∑ 3．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I 内具有二阶导数， （1）如果对任意x ∈I,()0f x ''>，则曲线y=f(x)在I 内是下凸的； （2）如果对任意x ∈I,()0f x ''<，则y=f(x)在I 内是上凸的。
4．幂平均不等式： 若αβ>，且0,0αβ≠≠，0i x >，则1111()()nniii i xx n nαββα==≥∑∑．二、例题精析例1．设0i x >(1,2,,)i n =⋅⋅⋅，11nii x==∑，⋅⋅⋅+≥例2．已知,,0a b c >，1a b c ++=13≤例3．应用琴生(Jensen)不等式证明幂平均不等式： 若αβ>，且0,0αβ≠≠，0i x >，则1111()()nniii i xx n nαββα==≥∑∑例4．应用琴生(Jensen)不等式证明赫尔德（Holder ）不等式： ,(1)i i a b i n ≤≤是2n 个正实数，,0,1αβαβ>+=，则11221212()()n n n n a b a b a b a a a b b b αβαβαβαβ++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+三、精选习题1．在圆内接n 边形中，试证明正n 边形的面积最大。
2．设2m ≥是实数，则在ABC ∆中，有tan tan tan 3tan 3A B C m m m mπ∠∠∠++≥3．设0,0a b >>，且1a b +=4．已知函数()ln g x x x =，0a b <<，证明：()()2()02a bg a g b g ++->5．已知,,0x y z >，且1x y z ++=，求证：322211128()()()()3x y z x y z +++≥6．若0i x ≥，且12100n x x x ++⋅⋅⋅+=，求证：10≤≤7．已知,,0x y z ≥，且12x y z ++=≤8．已知3x ≥（1）当01t <<时，有不等式(1)(2)(3)ttttx x x x --<---；（2）当1t >时，有不等式(1)(2)(3)ttttx x x x -->---。
9．设P 是ABC ∆内一点，求证：,,PAB PBC PCA ∠∠∠中至少有一个小于或等于30o。
10．设0i x π<<(1,2,,)i n =⋅⋅⋅，且12n x x x x n ++⋅⋅⋅+=，证明：1sin sin nni i ix xx x =≤∏四、拓展提高：11．已知,,0a b c >，且1ab bc ca ++=1abc≤高二数学竞赛班二试讲义第一讲 琴生不等式、幂平均不等式例1．【分析】11nii x==∑，适合应用琴生不等式【解答】设函数()f x =，则322()2(1)x f x x -'=-，31312222332(1)(2)3(1)(1)3(1)()04(1)4(1)x x x x x f x x x --+-⋅--+-''==>-- 所以()f x 在(0,1)上下凸，121nx x x n ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅≥+≥≤≥+⋅⋅⋅≥【思考】构造函数，用二阶导数判断函数的凸性，求导运算是关键。
例2．【分析】两边取自然对数，把积化为和【解答】111(1)ln (1)ln (1)ln 222a ab bc c =-+-+- 因为()ln f x x =在(0,)+∞上是上凸函数，且111(1)(1)(1)1222a b c -+-+-=由加权平均琴生不等式111111(1)ln (1)ln (1)ln ln[(1)(1)(1)]222222a ab bc c a a b b c c -+-+-≤-+-+- 222111ln[()]ln 223a b c ≤-++≤（2222()133a b c a b c ++++≥=）13≤【思考】“两边取自然对数，把积化为和”是处理乘积问题的常用手段例3．【分析】11111111()()()()()nnnnnniiiiiii i i i i i xxxxxx n nnnnnααβαββββααβββα======≥⇔≥⇔≥∑∑∑∑∑∑构造()f x x αβ=解题【解答】证明：0αβ>>时，()f x x αβ=为下凸函数，1212()n n x x x x x x n n ααααββββ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤，111212()()n n x x x x x x n n αααββββα++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤ 用i x β代替i x ，得证。
当0αβ>>和0αβ>>时，有同样的结论。
【思考】1111()()nniii i xx nαββα==≥∑∑两边同形，把i x β看成i x 是关键。
≥例4．【分析】变形：112212121()()n nn n a b a b a b a a a b b b αβαβαβαβ++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+，再变形1112121212()()()()1n n n n n na b a b a a a b b b a a a b b b αβαβ⋅+⋅⋅⋅+⋅≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 对第i 项取自然对数，得1212ln ln n nn na b a a a b b b αβ+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+是加权平均琴生(Jensen)不等式的形式。
【解答】证明：令1212,n n A a a a B b b b =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，()ln f x x =上凸，lnln ln()i i i i a b a b A B A B αβαβ+≤⋅+⋅，所以()()i i i i a b a bA B A Bαβαβ≤⋅+⋅ 累加得111[()()]1nni i ni i i i i a b a b A B A B αβαβαβ===≤⋅+⋅=+=∑∑∑，得证。
推广：0ij a >，对10,1ni ii k k=>=∑，有121212121111()()()()n n n n n nk k k k k k jjnjj j nj j j j j a a a a a a ====⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅∑∑∑∑证明：12112112111111lnlnlnln()jjnjjnjn n nnnnnjjnjjnjj j j j j a a a a a k k k k k aaaaa=====++⋅⋅⋅+≤⋅+⋅⋅⋅+⋅∑∑∑∑∑【思考】好方法是在有目的的变形之后想到的。
1．设圆半径为r ，内接正n 边形的面积为S ，各边所对圆心角分别为12,,,n θθθ⋅⋅⋅，2121(sin sin sin )2n S r θθθ=++⋅⋅⋅+ 函数()sin f x x =在区间()0,π上是上凸函数，（因为()sin 0f x x ''=-<） 所以1212sin sin sin sin n nn nθθθθθθ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤故2212112(sin sin sin )sin 22n S r r n nπθθθ=++⋅⋅⋅+≤当122n n πθθθ==⋅⋅⋅==时，正n 边形的面积最大，最大值为212sin 2r n nπ2．当2m ≥时，()tan xf x m=在区间()0,π上是下凸函数，（因为2sin 11()cos cos x m f x x xm m m '⎛⎫ ⎪'== ⎪ ⎪⎝⎭，232sin ()0cos x m f x x m m ''=>） 所以tan tan tan 3tan 3tan 33A B CA B C m m mm mπ∠∠∠++∠∠∠++≥= 3．()fx =221y x -=的上支，在区间R 上是下凸函数，所以()()1()()222f a f ba b f f ++≥==≥4．1()ln 1,()0g x x g x x '''=+=>，所以()ln g x x x =在(0,)+∞上是下凸函数所以()()2()02a bg a g b g ++->5．令222111()()()g x y z x y z =+++，则222111ln ln()ln()ln()g x y z x y z=+++++设21()ln()f x x x=+，则342()x f x x x -'=+，6342102()0()x x f x x x -++''==>+ 所以21()ln()f x x x =+在(0,1)上是下凸函数，于是，由琴生不等式得23222111128ln ln()ln()ln()3ln(3)ln()33g x y z x y z =+++++≥+=328()3g ≥6．由y≤=≤212n x x x =++⋅⋅⋅++12100nx x x ≥++⋅⋅⋅+=10故10≤≤7．令()41f x x =+，2()f x '=，2()f x''=， 其中，102x <<，112a <=<，0b => 故可知()0f x ''<，()f x 是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是上凸函数由琴生不等式1363()416y x z f z ++≤⨯=+ 8．设()t f x x =，则12(),()(1)t t f x tx f x t t x --'''==-，（1）当01t <<时，2()(1)0t f x t t x -''=-<，()tf x x =在(0,)+∞上是上凸函数，所以()(2)2()(1)22f x f x x x f f x +-+-<=-（因为2x x ≠-，所以等号不能取）所以()(1)(1)(2)f x f x f x f x --<---递推得(1)(2)(2)(3)f x f x f x f x ---<---，从而有()(1)(2)(3)f x f x f x f x --<---，故(1)(2)(3)ttttx x x x --<---（2）当1t >时，2()(1)0t f x t t x -''=->，()tf x x =在(0,)+∞上是下凸函数，类似（1）可证(1)(2)(3)ttttx x x x -->---9．如图，引进,,,,,αβγαβγ'''，,,sin sin sin sin sin sin PB PA PC PB PA PCαββγγα==='''所以sin sin sin sin sin sin αβγαβγ'''=设()ln sin f x x =，则2cos 1(),()0sin sin x f x f x x x-'''==<所以()f x 在(0,)π时上是上凸函数，2ln(sin sin sin )ln(sin sin sin sin sin sin )αβγαβγαβγ'''=ln sin ln sin ln sin 6ln sin6αβγαβγαβγ'''+++++'=++⋅⋅⋅+≤所以1sin sin sin 8αβγ≤,,αβγ中必有一个其正弦值不大于12，设1sin 2α≤，当30α≤o 时，命题成立，当150α≥o时，必有30β'≤o ，命题也成立。