2019最新第八章 构件的应力和变形数学
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材料力学第八章组合变形
A截面
C3
C1
C4
C3
C1
C2
C4
T
C1
C2
三、强度分析
1.主应力计算
1 2 2 1 2 ( ) 4 2 3 2 2 2 2
C1
2 0
2.相当应力计算 第三强度理论,计算相当力
r 3 1 3 4
拉
z0 z
y
z1
F F
350 n n 150
50
50 150
F
n
n
FN My
由弯矩 My产生的最大弯曲正应力为
tmax
max c
M y z0 425 7.5F MPa ( ) Iy 5310 M y z1 425 12.5 F MPa ( ) Iy 5310
杆件将发生拉伸 （压缩 ）与弯曲组合变形 示例1 F1 产生弯曲变形 F2 产生拉伸变形 示例2 F2 F1 F2
Fy 产生弯曲变形
Fx 产生拉伸变形
Fy
F
Fx
三、内力分析
横截面上内力 FS Mz
O
z x
FN
1.拉(压) :轴力 FN
2.弯曲
剪力F
弯矩 Mz
s
y
因为引起的切应力较小,故一般不考虑.
2 z 2 y
My Qy T
Mz Qz
T H1 r 510 Nm
l
强度校核
按第四强度理论
r4
1 W
M 0.75T 111 MPa [ ]
2 2
杆件的应力与强度—组合变形(建筑力学)
组合变形
教学目标
知识目标
1.理解组合变形的基本概念； 2.掌握斜弯曲梁的强度计算方法； 3.掌握单向偏心压缩（拉伸）杆件的强度计算方法。
技能目标
1.能够将组合变形问题分解为基本变形的组合； 2.能够对斜弯曲、偏心压缩（拉伸）等组合变形进行强度计算。
重点和难点
重点内容
难点内容
1.组合变形的基本概念；
压缩（拉伸）与弯曲
代入公式得： 解得：h≥280 mm Nhomakorabea此时截面中的最大压应力为：
课程研究内容
1.将组合变形问题分解为基本变形的组合；
2.简单组合变形强度计算方法。 2.应用叠加法解决工程中组合变形实际问题。
组合变形概念 • 组合变形：同时发生两种或两种以上的简单变形。
组合变形实例
组合变形实例
组合变形实例
组合变形实例
组合变形的分析方法
叠加法求解组合变形的计算步骤： （1）将构件的组合变形分解为基本变形； （2）分析、计算构件在每一种基本变形情况下产生的应力； （3）将同一点处的应力进行叠加，计算杆件危险点处的应力，然后进行强 度计算。
（2）内力分析。两个方向弯曲的最大弯矩值都是发生在固定端 截面处，分别为：
My=FL=2×2=4kN.m
斜弯曲
（3）应力分析。由变形情况可知，梁的最大拉应力发生在A点处，梁 的最大压应力发生在B点处，分别为：
故：梁的最大拉应力和最大压应力均为107.73MPa。
压缩（拉伸）与弯曲
l
φ Px 轴向力 ： Px=Pcosφ P 横向力： Py=Psinφ
斜弯曲
斜弯曲
斜弯曲
斜弯曲
【例1】如图所示为一悬臂梁，采用25a号 工字钢，已知q=5kN/m, F=2kN,Wy=48.28cm3,Wz=401.9cm3,求梁 的最大拉应力和最大压应力。
教学目标
知识目标
1.理解组合变形的基本概念； 2.掌握斜弯曲梁的强度计算方法； 3.掌握单向偏心压缩（拉伸）杆件的强度计算方法。
技能目标
1.能够将组合变形问题分解为基本变形的组合； 2.能够对斜弯曲、偏心压缩（拉伸）等组合变形进行强度计算。
重点和难点
重点内容
难点内容
1.组合变形的基本概念；
压缩（拉伸）与弯曲
代入公式得： 解得：h≥280 mm Nhomakorabea此时截面中的最大压应力为：
课程研究内容
1.将组合变形问题分解为基本变形的组合；
2.简单组合变形强度计算方法。 2.应用叠加法解决工程中组合变形实际问题。
组合变形概念 • 组合变形：同时发生两种或两种以上的简单变形。
组合变形实例
组合变形实例
组合变形实例
组合变形实例
组合变形的分析方法
叠加法求解组合变形的计算步骤： （1）将构件的组合变形分解为基本变形； （2）分析、计算构件在每一种基本变形情况下产生的应力； （3）将同一点处的应力进行叠加，计算杆件危险点处的应力，然后进行强 度计算。
（2）内力分析。两个方向弯曲的最大弯矩值都是发生在固定端 截面处，分别为：
My=FL=2×2=4kN.m
斜弯曲
（3）应力分析。由变形情况可知，梁的最大拉应力发生在A点处，梁 的最大压应力发生在B点处，分别为：
故：梁的最大拉应力和最大压应力均为107.73MPa。
压缩（拉伸）与弯曲
l
φ Px 轴向力 ： Px=Pcosφ P 横向力： Py=Psinφ
斜弯曲
斜弯曲
斜弯曲
斜弯曲
【例1】如图所示为一悬臂梁，采用25a号 工字钢，已知q=5kN/m, F=2kN,Wy=48.28cm3,Wz=401.9cm3,求梁 的最大拉应力和最大压应力。
第八章钢筋混凝土构件正常使用极限状态验算
第八章钢筋混凝土构件正常使用极限状态验算钢筋混凝土构件正常使用极限状态验算，是指在使用过程中，构件受到工作荷载作用时，保证其安全可靠地工作的一种验算方法。
该验算方法主要涉及构件的强度验算和变形验算两个方面。
首先，对于强度验算，需要计算构件所受工作荷载产生的应力和变形，与构件的抗弯强度、抗压强度、抗剪强度等进行比较。
通常，构件的设计强度可以通过相应的设计规范中的计算公式来确定。
例如，在抗弯强度验算时，可以根据规范中的受拉区和受压区的计算公式，计算出构件的最大抗弯强度。
然后，将该抗弯强度与施加在构件上的工作荷载产生的弯矩进行比较，以确定构件是否能够满足强度要求。
另外，对于变形验算，主要考虑构件在受荷状态下的变形情况，以确保构件在使用过程中不会产生过大的变形，影响正常使用。
一般来说，变形验算主要包括挠度验算和裂缝宽度验算。
挠度验算需要计算构件在工作荷载下的挠度，与规范中所要求的挠度限值进行比较，以确定构件的变形是否满足要求。
裂缝宽度验算则需要计算构件在工作荷载下的裂缝宽度，与规范中规定的最大裂缝宽度进行比较，以确保构件在使用过程中不会出现过大的裂缝。
在进行正常使用极限状态验算时，需要结合实际工程情况，确定构件的荷载组合，并考虑不同荷载组合下的最不利情况。
同时，还需要注意构件的截面尺寸、钢筋配筋、混凝土等材料的性能参数等因素的准确性，以提高验算的准确性和可靠性。
最后，进行正常使用极限状态验算的目的是为了确保钢筋混凝土构件在使用过程中不会发生破坏或损坏，保证其安全、稳定和可靠地工作。
通过合理地进行验算，可以有效避免因工作荷载超过构件承载能力而引起的结构安全隐患，提高工程质量和使用寿命。
总之，钢筋混凝土构件正常使用极限状态验算是一项重要的设计工作，需要综合考虑构件的强度和变形特性，并利用相应的设计规范和计算方法进行验算。
只有通过科学、合理的验算，才能保证结构在使用过程中的安全可靠性。
构件受力变形及其应力分析
例题6-1 如图为一吊梁，AB为木杆，其AAB=104mm2， [σ]AB=7MPa， BC为钢杆，其ABC=600mm2， [σ ]BC=160MPa，
试求B处可承受的最大许可荷载[F]。
A
B
30
解 : 1.
根据结点 B的受力图(图b)，得平衡方程：
FNAB FNBC cos 30 0 FNBC sin 30 F 0
21
低碳钢的塑性指标： 伸长率
l1 l 100 % l
l1
20% ~ 30% (通常 >5%的材料称为塑性材料) Q235钢：
断面收缩率：
A A1 100% A
A1——断口处最小横截面面积。 Q235钢：≈60%
22
三. 拉伸和压缩时的许用应力与强度条件
塑性材料:屈服极限σs 做为破坏的极限应力 脆性材料:强度极限σ b作为破坏的极限应力
2.横截面B, C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变
形是什么关系？
26
F FN 图 +
F +
F
各段杆的变形及杆的总变 形： F (l / 3) l AB lCD EA F (l / 3) l BC EA
l l AB lCD l BC F (l / 3) EA
只有两杆同时满足强度条件才能安全，所以取较小者， [F]=40.4KN
32
总结 强度计算的三种类型
(1) 强度校核 已知拉(压)杆材料、横截面尺寸及所
受荷载，检验能否满足强度条件 max [ ]; 对于等截面直 FN ,max 杆即为 max [ ] A (2) 截面选择 已知拉(压)杆材料及所受荷载，按强
度条件求杆件横截面面积或尺寸。 FN ,max A [ ] (3) 计算许可荷载 已知拉(压)杆材料和横截面尺寸，
材料力学构件受力变形及其应力
一、低碳钢试件拉伸图
常温、静载试验 ：L=5~10d
d
F
L
F
将金属按国家标准制成图示标准拉伸试样，在拉伸试验机上 进行拉伸试验。试验结果可以自动绘出以伸长量Δ L为横坐标， 以拉伸载荷F为纵坐标的拉伸图。图示为低碳钢拉伸图。
低碳钢的拉伸图曲线分析： 试件在拉伸过程中经历
F 了四个阶段，
d
Fb
ob段—弹性变形阶段 e bc段—屈服阶段
按载荷作用性质分类： 静载荷：由零开始缓慢增加至某一定值后不随时间
变化(不使物体产生加速度）
动载荷：载荷大小随时间变化的力
（交变载荷、冲击载荷）
2. 变形的基本形式
工程实际中的构件种类繁多，根据其几何形状， 可以简化为四类：杆、板、壳、块 。 本章研究的主要对象是等截面直杆(简称等直杆) 等直杆在载荷作用下，其基本变形的形式有： 1.轴向拉伸和压缩变形；2.剪切变形； 3.扭转变形；4.弯曲变形。 两种或两种以上的基本变形组合而成的，称为组 合变形。
s
抗拉强度
b
de段—缩颈断裂阶段
O
1. 弹性阶段
比例极限σ
p
oa段是直线，应力与应变在此段成正比关系，材 料符合虎克定律 E直线oa的斜率 tan E 就是材料的弹性模量，直线部分最高点所对应的 应力值记作σ p，称为材料的比例极限。曲线超过 a点，图上ab段已不再是直线，说明材料已不符合 虎克定律。但在ab段内卸载，变形也随之消失， 说明ab段也发生弹性变形，所以ab段称为弹性阶 段。b点所对应的应力值记作σ e ，称为材料的弹 性极限。
]=
]=
b nb
s ns
n s、n b是安全系数: n s =1.2～2.5 n b ＝2.0～3.5
《材料力学》课程讲解课件第八章组合变形
强度条件（简单应力状态）——
max
对有棱角的截面，最大的正应力发生在棱角点处，且处于单向应力状态。
max
N A
M zmax Wz
M ymax Wy
x
对于无棱角的截面如何进行强度计算——
1、确定中性轴的位置；
y
F z
M z F ey M y F ez
ez F ey z
y
zk yk z
y
x
1、荷载的分解
F
Fy F cos
Fz F sin
z
2、任意横截面任意点的“σ”
x
F
y
（1）内力： M z (x) Fy x F cos x
M y (x) Fz x F sin x
（2）应力：
Mz k
M z yk Iz
My k
M y zk Iy
（应力的 “＋”、“－” 由变形判断）
F
1， 首先将斜弯曲分解
为两个平面弯曲的叠加 Fy F cos
z
L2
L2
Fz F sin
z
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
y
Mz
Fy L 4
M
y
Fz L 4
3， 计算最大正应力并校核强度
max
My Wy
Mz Wz
217.8MPa
查表： Wy 692.2cm3
4， 讨论 0
y
Wz 70.758cm3
的直径为d3，用第四强度理论设计的直径为d4，则d3 ___＝__ d4。
（填“＞”、“＜”或“＝”）
因受拉弯组合变形的杆件，危险点上只有正应力，而无切应力，
r3 1 3 2 4 2
r4
材料力学第八章组合变形
例题: 图示吊车大梁,由32a热轧普通工字钢制成，许 用应力 [σ]＝160MPa ，L＝4m 。起吊的重物重量F ＝80kN,且作用在梁的中点,作用线与y轴之间的夹角α ＝5°，试校核吊车大梁的强度是否安全。
F
Fy F cos 50
L2
L2
解：1. 外力分解
Fy F cos 80 cos 50 79.7kN Fz F sin 80 sin 50 6.96kN
材料力学
Mechanics of Materials
例：图示梁，已知F1=800N，F2=1650N，截面宽度 b=90mm，高度h=180mm。求：
1、梁上的max及所在位置； 2、若改为a=130mm的正方形截面，梁上的max； 3、若改为d=130mm圆形截面，梁上的max。
F2
F1 z
32
32 6
d3
72.6mm
取 d 73mm
构件在荷载的作用 下如发生两种或两种以 上基本形式的变形，且 几种变形所对应的应力 （和变形）属于同一数 量级，则构件的变形称 为组合变形。
❖组合变形的分析方法 线弹性小变形范围内，采用叠加原理
材料力学
Mechanics of Materials
二.组合变形分析方法 条件:线弹性小变形
组合 变形
0.642q 106 31.5 103
0.266q 106 237 103
160MPa
q 7.44kN / m
材料力学
Mechanics of Materials
M zD 0.456q
M zA 0.266q
z
M yD 0.444q
M yA 0.642q
A截面
y
max
构件应力知识点总结图表
构件应力知识点总结图表一、应力的定义和分类1. 应力的定义应力指的是单位面积上的力的作用，是描述物体内部分子间相互作用的结果。
在力的作用下，物体产生应变，而应力是描述这种拉伸、压缩、剪切、弯曲等变形力的结果。
一般来说，应力可以用力和受力面积的比值来表示，即应力=力/受力面积。
2. 应力的分类（1）拉伸应力：当物体受到的力使其长度增加时产生的应力。
（2）压缩应力：当物体受到的力使其长度减小时产生的应力。
（3）剪切应力：当物体受到的力使其内部相对移动时产生的应力。
（4）弯曲应力：当物体受到的力使其在跨度方向产生曲折变形时产生的应力。
二、应力的计算1. 应力的计算公式（1）拉伸应力：σ = F/A其中，σ表示拉伸应力，F表示外部拉伸力，A表示受力面积。
（2）压缩应力：σ = F/A其中，σ表示压缩应力，F表示外部压缩力，A表示受力面积。
（3）剪切应力：τ = F/A其中，τ表示剪切应力，F表示外部剪切力，A表示受力面积。
2. 应力的计算方法根据具体情况，可以选择不同的计算方法，例如通过静力学方法、材料力学理论等计算方法来求解。
三、构件应力分析1. 构件应力分析的基本原理构件应力分析是通过对构件受力情况进行分析，计算出构件受力状态下的应力分布情况，从而确定构件的安全性和稳定性。
2. 构件应力分析的步骤（1）确定受力情况：首先要确定构件所受的外部力和力的作用点，包括受压、受拉、受弯和受剪等不同受力情况。
（2）计算内部应力：通过力学理论和公式计算出构件内部受力情况下的应力分布。
（3）评估构件安全性：根据计算出的应力值，判断构件的安全性和稳定性，并确定是否需要调整设计或加强构件。
3. 构件应力分析的应用范围构件应力分析适用于建筑、桥梁、机械设备等各种工程领域，能够为工程设计和施工提供重要参考依据。
四、构件应力设计1. 构件应力设计的基本原则（1）安全性原则：构件应力设计首要考虑的是保证构件在受力状态下不会产生破坏，保障人员和财产安全。
《材料力学》第八章组合变形
解 (1)外力分析，确定变形类型—拉弯组合；
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
材料力学第08章 动载荷与交变应力
x
r Ag r Aa
x
FNd FNst d Kd K d st A A
st为静荷载下绳索中的静应力
强度条件为 d K d st [ ]
P
P P a g
△d表示动变形 △st表示静变形
当材料中的应力不超过比 例极限时荷载与变形成正比
m
FNst
m
FNd
rAg
x
rAg rAa
2 st 42st 8h st 2h d st (1 1 ) 2 st 2h d st ( 1 1 ) K d st
2
st
2h 为动荷因数 其中 K d 1 1
st
Fd d Kd P st
Fd K d P
第八章
动载荷与交变应力
中北大学理学院力学系
第一节 第二节 第三节 第四节
概述 构件受加速度作用时的动应力 构件受冲击时的动应力计算 疲劳破坏及其特点
第五节
第六节 第七节
材料的持久极限
影响构件持久极限的因素 构件疲劳强度计算
总结与讨论
第一节 概述
一、基本概念
1、静荷载:荷载由零缓慢增长至最终值,然后保持不变.构件内各 质点加速度很小,可略去不计. 2、动荷载: 荷载作用过程中随时间快速变化,或其本身不稳定 （包括大小、方向）,构件内各质点加速度较大. 3、交变应力：构件内的应力随时间作交替变化。 4、疲劳失效：构件长期在交变应力作用下，虽然最大工作应力 远低于材料的屈服极限，且无明显的塑性变形，却往往发生突 然断裂。
（The point changes his location periodically with time under an unchangeable load）
力学(专)第八章 弹性体的应力和应变
（ 3）
b b 0
其中：设想直杆横截面是正方形每边长为 b，横向形变后为 b。 其中： 0 横向形变和纵向形变之比为泊松系数 横向形变和纵向形变之比为泊松系数： 泊松系数：
7
用S表示横截面面积， n 表示内力在 en 上的投影，则 表示横截面面积， 上的投影， F
F σ＝ n S
称作假想截面S上的拉伸或压缩应力，又统称正应力 称作假想截面S上的拉伸或压缩应力，又统称正应力 为正， σ为正，表示有向面元 为负， σ 为负，表示有向面元
(1) 若内力与有向假想截面外法向方向相同，则 若内力与有向假想截面外法向方向相同， 某一侧受到另外一侧的拉力， 某一侧受到另外一侧的拉力，为拉伸应力 (2) 若内力与有向假想截面外法向方向相反，则 若内力与有向假想截面外法向方向相反， 某一侧受到另外一侧的压力， 某一侧受到另外一侧的压力，为压缩应力
4
弹性力学的基本内容 弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和 弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和 基本规律有三个 运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。 运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中 许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。 许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。 连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时， 连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变 形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展 形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的 裂纹不扩展的 情况。这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。 情况。这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。 求解一个弹性力学问题，就是设法确定弹性体中各点的位移、 求解一个弹性力学问题，就是设法确定弹性体中各点的位移、应变和 应力共15个函数。从理论上讲，只有15个函数全部确定后，问题才算解决。 应力共15个函数。从理论上讲，只有15个函数全部确定后，问题才算解决。 15个函数 15个函数全部确定后 但在各种实际问题中，起主要作用的常常只是其中的几个函数， 但在各种实际问题中，起主要作用的常常只是其中的几个函数，有时甚至 只是物体的某些部位的某几个函数。所以常常用实验和数学相结合的方法， 只是物体的某些部位的某几个函数。所以常常用实验和数学相结合的方法， 就可求解。 就可求解。
构件应力知识点总结归纳
构件应力知识点总结归纳一、应力的定义应力是单位面积上的内力，是物体内部各点间的相互作用力的一种表示方式。
在实际工程中，应力是描述物体内部受到的外部力或作用力引起的内部分布情况的一种物理量。
应力可以分为正应力和剪切应力两种。
1. 正应力正应力是垂直于某一截面的内部单位面积上的内力，通常用符号σ表示。
正应力的单位是帕斯卡（Pa）。
2. 剪切应力剪切应力是平行于某一截面的内部单位面积上的内力，通常用符号τ表示。
剪切应力的单位也是帕斯卡（Pa）。
二、应力分析的相关概念1. 平衡方程在进行应力分析时，需要利用平衡方程来确保物体处于力学平衡状态。
平衡方程包括力的平衡方程和力矩的平衡方程两部分。
2. 应变应变是物体在受力作用下发生的形变，通常用符号ε表示。
应变可以分为线性弹性应变、非线性弹性应变和塑性应变等不同类型。
3. 杨氏模量杨氏模量是描述物体在受力作用下的变形程度的物理量，通常用符号E表示。
杨氏模量的单位是帕斯卡（Pa）。
4. 弹性模量弹性模量是描述物体在受到正应力作用下的应变情况的物理量，可以分为拉伸模量、剪切模量等类型。
5. 弯矩和弯曲应力在构件中，会受到弯矩的作用，这时会产生弯曲应力。
弯矩是指在构件上产生的弯曲力矩，弯曲应力则是产生的内部单位面积上的应力。
6. 热应力热应力是由于温度变化引起的构件内部的应力，通常用符号σT表示。
热应力是构件设计中需要考虑的重要因素之一。
三、构件应力分析的基本原理和方法1. 静力学原理在进行构件应力分析时，需要运用静力学原理，利用平衡方程和力的分析等方法来计算构件受力情况。
2. 应力分析方法在进行构件应力分析时，可以采用解析法、数值模拟法和实验测试法等方法。
其中，解析法是根据已知的力学理论和方程来进行应力分析计算，数值模拟法则是通过有限元分析等数值方法来模拟构件的受力情况，实验测试法则是采用实验方法来测定构件的应力情况。
3. 构件受力情况分析构件受力情况分析是指根据构件的形状和受力情况来确定构件内部的应力状态。
材料力学之应力、变形
基本变形 -------应力公式推导、强度计算
材料力学系统小结
• 材料力学——研究对象——变形固体——外力{动、静
载荷}作用下——发生
{
弹性变形（卸载后变形消失） ——材力研究范围 塑性变形（卸载后有残余变形）
•
——宏观基本假设
{
连续性 均匀性 各向同性
}
——应用于工程——
{
机械零件 结构构件
}
——主要为弹性杆——分类
等直圆杆扭转时横截面上切应力计算公式
max
T O
max
d
实验 变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系
平面假设 横截面上只有垂直 于半径的切应力， 没有正应力
观察变形 提出假设
变形的分布规律
d dx
d G dx
应力的分布规律
建立公式
d T dx GI p
dx
G
D
D'
d
O2
G'
dx
即
d dx
d dx
变形几何关系
相对扭转角沿杆长的变化率，对于给 定的横截面为常量
d dx
实验
变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系 观察变形 提出假设
平面假设 横截面上只有垂直 于半径的切应力， 没有正应力
3）. 纵向线变形后仍为平行。
相邻圆周线绕杆的轴线相对 转动，但圆周的大小、形状、 间距都未变； 纵向线倾斜了同一个角度γ ， 表面上所有矩形均变成平行四边形。
提出假设 ( Assumptions）
平面假设
等直圆杆受扭转时其横截面如同刚性平面一样绕杆 的轴线转动。 杆的横截面上只有垂直于半径的切应力，没有正应 力产生。
材料力学系统小结
• 材料力学——研究对象——变形固体——外力{动、静
载荷}作用下——发生
{
弹性变形（卸载后变形消失） ——材力研究范围 塑性变形（卸载后有残余变形）
•
——宏观基本假设
{
连续性 均匀性 各向同性
}
——应用于工程——
{
机械零件 结构构件
}
——主要为弹性杆——分类
等直圆杆扭转时横截面上切应力计算公式
max
T O
max
d
实验 变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系
平面假设 横截面上只有垂直 于半径的切应力， 没有正应力
观察变形 提出假设
变形的分布规律
d dx
d G dx
应力的分布规律
建立公式
d T dx GI p
dx
G
D
D'
d
O2
G'
dx
即
d dx
d dx
变形几何关系
相对扭转角沿杆长的变化率，对于给 定的横截面为常量
d dx
实验
变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系 观察变形 提出假设
平面假设 横截面上只有垂直 于半径的切应力， 没有正应力
3）. 纵向线变形后仍为平行。
相邻圆周线绕杆的轴线相对 转动，但圆周的大小、形状、 间距都未变； 纵向线倾斜了同一个角度γ ， 表面上所有矩形均变成平行四边形。
提出假设 ( Assumptions）
平面假设
等直圆杆受扭转时其横截面如同刚性平面一样绕杆 的轴线转动。 杆的横截面上只有垂直于半径的切应力，没有正应 力产生。
第八章 构件的应力和变形-PPT精选
19
(例8-4)：冲床将钢板冲出直径d=25mm的圆孔，钢板厚度 t=10mm。剪切极限应力b=300MPa，试求所需的冲裁力F。
t
t
20
(附加习题1)：冲床的最大冲力F=4×105N，冲头材料的许用应力 []=440MPa，被冲剪的板的剪应力[]=360MPa，求在最大冲力 作用下所能冲剪的圆孔的最小直径d和板的最大厚度t 。
输入功率PA=221kW。从动轮B、C的输出功率PB=148kW， PC=73kW， 试求轴上各截面的扭矩，并作扭矩图。（外力偶矩的计算公式为 M=9549Pk/n，式中：Pk为功率，n为转速）
TAC
TAB
27
•三. 圆轴扭转时的应力
dx＝d
ρO
C
A
B
28
•三. 圆轴扭转时的应力
t
21
(习题8-9)：拖车挂钩靠销钉来联接，如图所示，已知销钉材料 的许用剪切力[]=20MPa，拖车的拉力F=15×103N，试选择销钉 的直径d。
22
(习题8-10)：一螺栓联接如图所示。已知外力F=200×103N，螺栓 的许用剪切力[]=80MPa。试求螺栓所需的直径d。
23
(习题8-11)：在厚度t=5mm的薄钢板上，冲出一个如图所示形状 的孔，钢板的极限剪应力b=320MPa，求冲床必须具有的冲力F。
6
(例8-1)：在图示的阶梯杆中，已知FA=10kN， FB=20kN， l =100mm，AB段与BC段的横截面面积分别为AAB=100mm2, ABC=200mm2,材料的弹性模量E=200GPa。试求杆的总伸长 量及端面A与D-D截面间的相对位移。
2 1
1
2
7
(例8-2)：两钢杆各长50mm，用铰链联接，如图所示，B点作 用有向下的垂直力F，F=980N，[]=164MPa， E=205.8GPa, 在未受力前=30。求两杆横截面尺寸及B点的挠度（垂直位 移量）。
(例8-4)：冲床将钢板冲出直径d=25mm的圆孔，钢板厚度 t=10mm。剪切极限应力b=300MPa，试求所需的冲裁力F。
t
t
20
(附加习题1)：冲床的最大冲力F=4×105N，冲头材料的许用应力 []=440MPa，被冲剪的板的剪应力[]=360MPa，求在最大冲力 作用下所能冲剪的圆孔的最小直径d和板的最大厚度t 。
输入功率PA=221kW。从动轮B、C的输出功率PB=148kW， PC=73kW， 试求轴上各截面的扭矩，并作扭矩图。（外力偶矩的计算公式为 M=9549Pk/n，式中：Pk为功率，n为转速）
TAC
TAB
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•三. 圆轴扭转时的应力
dx＝d
ρO
C
A
B
28
•三. 圆轴扭转时的应力
t
21
(习题8-9)：拖车挂钩靠销钉来联接，如图所示，已知销钉材料 的许用剪切力[]=20MPa，拖车的拉力F=15×103N，试选择销钉 的直径d。
22
(习题8-10)：一螺栓联接如图所示。已知外力F=200×103N，螺栓 的许用剪切力[]=80MPa。试求螺栓所需的直径d。
23
(习题8-11)：在厚度t=5mm的薄钢板上，冲出一个如图所示形状 的孔，钢板的极限剪应力b=320MPa，求冲床必须具有的冲力F。
6
(例8-1)：在图示的阶梯杆中，已知FA=10kN， FB=20kN， l =100mm，AB段与BC段的横截面面积分别为AAB=100mm2, ABC=200mm2,材料的弹性模量E=200GPa。试求杆的总伸长 量及端面A与D-D截面间的相对位移。
2 1
1
2
7
(例8-2)：两钢杆各长50mm，用铰链联接，如图所示，B点作 用有向下的垂直力F，F=980N，[]=164MPa， E=205.8GPa, 在未受力前=30。求两杆横截面尺寸及B点的挠度（垂直位 移量）。
材料力学 孙训方
与y的夹角。
14
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第八章 组合变形及连接部分的计算
tanq
Iy Iz
tan
这就表明，只要 Iy≠Iz ，中性轴的方向
就不与合成弯矩M的矢量重合，亦即合
成弯矩M 所在的纵向面不与中性轴垂直， 或者说，梁的弯曲方向不与合成弯矩M 所在的纵向面重合。正因为这样，通常 把这类弯曲称为斜弯曲（oblique
29
z
inertia)。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第八章 组合变形及连接部分的计算
显然当梁的横截面具有一个对称轴时，这个对称轴和它垂
直的形心轴都是形心主惯性轴，外力产生的弯矩作用在包含其
中任何一根轴的纵向面内时梁都发生平面弯曲。
下节讲述对于没有对称轴的截面确定主惯性轴和主惯性矩
的相关问题。
键连接（图b）中，键主要受剪切及挤压。
7
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第八章 组合变形及连接部分的计算
工程计算中常按连接件和构件在连接处可能产生的破
坏情况，作一些简化的计算假设（例如认为螺栓和铆钉的 受剪面上切应力均匀分布）得出名义应力（nominal stress）, 然后与根据在相同或类似变形情况下的破坏试验结果所确 定的相应许用应力比较，从而进行强度计算。这就是所谓
第八章 组合变形及连接部分的计算
2. 作梁的计算简图（图b），并分别作水平弯曲和竖直弯曲
的弯矩图—My 图和Mz 图（图c ,d）。
21
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
3. 确定此梁的危险截面。
A截面上My最大，MyA=0.642 qa2,该截面上Mz虽不是最大，但
因工字钢Wy<<Wz ，故A截面是可能的危险截面。 D 截面上Mz 最大： MzD=0.456 qa2 ， 且 MyD= 0.444 qa2，
第八章组合变形及连接部分的计算
P2 a
m
z
x
P1
m
x
y
m
z x
My
m
y
P1 在 m—m 面内产生的弯矩为 My = P1 x （使梁在 XZ 平面内弯曲，y 为中性轴）
P2 a
m
z
x
P1
m
x
y
m
MZ z x
My
m
y
P2 在 m—m 面内产生的弯矩为 MZ = P2 (x-a) （使梁在 XY 平面内弯曲，z 为中性轴）
二 、 梁横截面上的应力分析 （任意点 C(y, z) 的正应力）
z
tg Iy tg
Iz
M
y
梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线，故梁的扰曲线方程仍应分别 按两垂直面内的弯曲来计算，不能直接用合成弯矩进行计算。
四、 强度分析
中性轴
Байду номын сангаас
作平行于中性轴的两直线分别与
D1 z
o
横截面周边相切于 D1 、D2两点
，D1 、D2 两点分别为横截面上
最大拉应力点和最大压应力点。
D2
A 截面： D 截面：
(max
)A
M zA Wz
M W
yA y
(21.5103)q
(max
)D
M zD Wz
M yD Wy
(16.02103)q
梁的危险点在 A 截面棱角处
max
(max )A
M zA Wz
M yA Wy
(21.5103)q
[]
160106
[q] 160103 7.44kN/m 21.5
§8-1 概述
一、 组合变形概念 : 构件在荷载作用下发生两种或两种 以上的基本变形,则构件的变形称为组合变形。
变形及应力基本知识
形量远小于构件的尺寸
外力与内力
外力：
按 体积力:是连续分布于物体内部各点的力 外 如物体的自重和惯性力 力 作 如油缸内壁的压力，水坝受 用 分布力： 到的水压力等均为分布力 的 面积力: 方 集中力： 若外力作用面积范围远小于构 件表面的尺寸，可作为作用于 式 一点的集中力。如火车轮对钢 轨的压力等 按 静载： 缓慢加载（a≈0） 时 间 动载： 快速加载（a≠0），或冲击加载
的永久变形(塑性变形)构件在外载作用下，抵抗破坏的能力。 例如 储气罐不应爆破。（破坏 —— 断裂或变形过量不能恢复）
F F F F
a
钢 筋
b
材料力学的研究对象
塑形变形示例
荷载未作用时 F
荷载作用下
荷载去除后
材料力学的研究对象
Ⅱ. 具有足够的刚度——荷载作用下的弹性变形不超过工程 允许范围。构件在外载作用下，抵抗可恢复变形的能力。 例如机床主轴不应变形过大，否则影响加工精度。导轨、 丝杠等。
F
荷载未作用时
荷载作用下
弹性变形
荷载去除后
材料力学的研究对象
Ⅲ. 满足稳定性要求——对于理想中心压杆是指荷载作用下杆件能 保持原有形态的平衡。 构件在某种外载作用下，保持其原有平衡状 态的能力。例如柱子不能弯等。
偏心受压直杆
材料力学的基本假设
1．连续性假设：认为整个物体体积内毫无空隙地充 满物质 （数学） 2．均匀性假设：认为物体内的任何部分，其力学性 能相同 （力学） 3．各向同性假设：认为在物体内各个不同方向的力 学性能相同（物理） 4. 小变形假设：指构件在外力作用下发生的变
使用性能是为了保证机械零件设备结构件等能正常工作材料所应具备的使用性能主要有力学性能强度硬度刚度塑性韧性等物理性能密度熔点导热性热膨胀性等化学性能耐蚀性热稳定性等
材料力学之应力、变形共180页
说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
材料力学之应力、变形
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
材料力学之应力、变形
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
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8
(习题8-8)：如图所示为一阶梯形钢杆，AC段的截面面积为 AAB=ABC=500mm2， CD段的截面面积为ACD=200mm2。杆的各段 长度及受力情况如图所示。已知钢杆的弹性模量E=20×104MPa， 其许用应力[]=100MPa。试求：（1）各段杆横截面上的内力和 应力；（2）校核钢杆的强度；（3）杆的总长度变形。
11
(习题8-4)：一钢制阶梯形直杆，其受力如图所示，已知 []=260MPa，各段截面面积分别为A1=A3=300mm2， A2=200mm2， E=20×104MPa。试求：（1）各段的轴向力为多 少？最大轴向力发生在哪一段内？杆的强度是否安全？（2）计 算杆的总变形。
3
2
1
RA
A
B
3
C
D
2
•第8章 构件的应力和变形
•一. 基本概念
•8.1 概述
弹性变形：可恢复
变形
塑性变形：不可恢复
强度
材料抵抗塑性变形和断裂的能力
刚度
材料抵抗弹性变形的能力
稳定性
构件保持其原有平衡形态能力
二. 构件变形的情况----对象（直杆或梁）
1. 拉伸或压缩
2. 剪切
组合变形
3. 扭转
4. 弯曲 1
•8.2 直杆的轴向拉伸与压缩
轴的许用剪切力[]=30MPa，许用扭转角[]=1/m，剪切弹性模量
G=8×104MPa，试按强度条件和刚度条件设计轴的直径d。
M＝9549 P n
30
•(习题8-12)：做图示轴的扭矩图。
31
(习题8-13)：直径为75mm的等截面轴上装有四个皮带轮，作用在皮
带轮上的外力偶矩如图所示。已知：G=8×104MPa，要求（1）作扭 矩图；（2）求每段内的最大剪应力；（3）求轴的总扭转角。
塑性材料:屈服极限σs s做为破坏的极限应力 脆性材料:强度极限δb作b 为破坏的极限应力
静载常温下延伸率小于5％的材料－－玻璃、灰铸铁
•强度公式： N [ ]
A
5
•四. 受拉（压）杆件的变形
•刚度公式：l Nl •(虎克定律) EA
弹性模量E
E •应力和应变公式：
F RA
N
合成正应力
弯曲正应力
56
•二.弯曲与扭转的联合作用
RA
RB
强度条件公式：
(最大剪应力理论)
max
M 2 T 2
W
57
(例8-11)：平面磨床磨轮轴工作时受力情况如图所示， F1=196N， F2=78.4N， 轴的直径d＝20mm ，材料的许用应力[]=49MPa， 试用最大剪应力理论校核强度。
RAx
RAx
MA RAy
MA RAy
RAx
RAy
RB
RA
RB
40
(习题8-17)：试列如图所示各梁的剪力方程及弯矩方程，并作剪 力图和弯矩图。
Fa
3Fa
F
F/2
F/2 RA=0
RB=0
41
(习题8-17)：试列如图所示各梁的剪力方程及弯矩方程，并作剪 力图和弯矩图。
RA
RB RA
RB
RA
RC
42
凹向下M为负
顺时针Q为正 逆时针Q为负 凹向上M为正
38
(例8-8)：如图所示为一受集中力F作用的简支梁。设F、l及a均 已知，试列出剪力方程式与弯矩方程式，并绘剪力图与弯矩图。
RA
RB
M(x1)
RA
Q(x1) Q(x2)
RB
M(x2)
39
(习题8-17)：试列如图所示各梁的剪力方程及弯矩方程，并作剪 力图和弯矩图。
抗弯截面模量W
W Iz ymax
46
(习题8-16)：如图所示为一受均布载荷的梁，其跨度l＝200mm， 梁截面的直径d＝25mm，许用弯曲应力[]=150MPa。试问沿梁 每米长度上可能承受的最大载荷q为多少？
RA
RB
47
(习题8-18)：如图所示外伸梁由25a工字钢制成，其跨度l＝6m， 全梁上受均布载荷q作用，为使支座处截面A、B及跨度中央截面 C上的最大正应力均为140MPa，W=401.88cm3。试求外伸部分的 长度a及载荷集度q？
输入功率PA=221kW。从动轮B、C的输出功率PB=148kW， PC=73kW， 试求轴上各截面的扭矩，并作扭矩图。（外力偶矩的计算公式为
M=9549Pk/n，式中：Pk为功率，n为转速）
TAC
TAB
27
•三. 圆轴扭转时的应力
dx＝ d
ρO
C
A
B
28
•三. 圆轴扭转时的应力
24
8.4 圆轴扭转
•一. 圆轴扭转的变形特征 纵向线
圆周线 （1）各纵向线倾斜了同一微小角度γ，正方形格子歪斜成菱形； （2）各圆周线围绕轴线旋转一个微小的角度，圆周线长度、形 状及距离没变；
25
பைடு நூலகம்
•二. 扭矩和扭矩图
26
(例8-5)：一等圆截面传动轴如图所示，其转速n=300r/min。主动轮A的
14
(习题8-7)：气动夹具如图所示。已知气缸内径D=140mm，气 压p=0.6MN/m2，活塞材料为20号钢，其许用应力[]=80MPa。 试设计活塞杆的直径d(活塞杆的直径远小于活塞的直径)。
15
•一. 剪切作用的特点
8.3 剪切
特点：一对大小相等、方向相反的力作用在物体的两侧，两力作 用线间的距离相距很近，物体受上述两力作用后，受剪面发生相 对错动，成为剪切；
t
21
(习题8-9)：拖车挂钩靠销钉来联接，如图所示，已知销钉材料 的许用剪切力[]=20MPa，拖车的拉力F=15×103N，试选择销 钉的直径d。
22
(习题8-10)：一螺栓联接如图所示。已知外力F=200×103N，螺 栓的许用剪切力[]=80MPa。试求螺栓所需的直径d。
23
(习题8-11)：在厚度t=5mm的薄钢板上，冲出一个如图所示形状 的孔，钢板的极限剪应力b=320MPa，求冲床必须具有的冲力F。
特点：直杆；所受外力的合力与杆轴线重合；沿轴线方向发生 伸长或缩短变形
•一. 直杆轴向拉伸或压缩时的内力和应力
应力为正
应力为负
2
•二. 材料在轴向拉伸或压缩时的机械性质
力
屈服 阶段
强化 阶段
弹性变 形阶段
局部变 形阶段
变形
3
应力
屈服 极限
弹性 极限
强度 极限
应变
4
•三. 强度条件 静载常温下延伸率大于5％的材料－－结构钢、硬铝
6
(例8-1)：在图示的阶梯杆中，已知FA=10kN， FB=20kN， l =100mm，AB段与BC段的横截面面积分别为AAB=100mm2, ABC=200mm2,材料的弹性模量E=200GPa。试求杆的总伸长 量及端面A与D-D截面间的相对位移。
2 1
1
2
7
(例8-2)：两钢杆各长50mm，用铰链联接，如图所示，B点作 用有向下的垂直力F，F=980N，[]=164MPa， E=205.8GPa, 在未受力前=30。求两杆横截面尺寸及B点的挠度（垂直位 移量）。
(习题8-17)：试列如图所示各梁的剪力方程及弯矩方程，并作剪 力图和弯矩图。
3qa/4
qa/4 F/2
3F/2
qa/2
5qa/2
43
•二. 梁弯曲时的应力及强度计算 横线
变形方面
纵向线
M M
中性层 中性轴
44
变形方面
M
M 中性层
45
静力学方面
y
My Iz
max
Mymax Iz
M W
34
8.5 梁的平面弯曲
特点：等直梁；截面有对称轴线；外力或外力偶矩在杆件的纵对称面 内；变形后在纵对称面内成一条平面曲线。
纵对称面
纵对称面
35
•梁的基本类型
简支梁 悬臂梁 外伸梁
36
•一. 梁弯曲时的内力：
剪力与弯矩
RA M
Q RA
Q M
RB
37
RB
•一. 梁弯曲时的内力：剪力与弯矩的方向
z
m
n
59
F
F
M
=
M F
拉伸变形
M
+
F
M 弯曲变形
=
+
=
+
拉应力σm 压应力σn
60
(习题8-21)：简易起重架由N018号工字钢AB及拉杆AC组成，滑 车可沿AB移动，如图所示，如滑车自重及载重共计F=25×103N， 试校核梁AB是否安全。梁AB的许用应力[]=120MPa， A=30.6cm2，W=185cm3。
53
(习题8-19)：试用叠加法求图示梁A截面的挠度及B截面的转角， 抗弯刚度EI均为常量。
54
(习题8-20)：试用叠加法求图示外伸梁自由端C处的挠度。已知l， F，M=2Fl，抗弯刚度EI为常量。
55
8.6 复杂变形时的强度计算
•一. 弯曲与拉伸（压缩）的联合作用
RAx RAy
RB
压缩正应力
32
(习题8-14)：一钢制阶梯状轴如图所示，已知M1=10kN.m， M2=7kN.m， M3=3kN.m。试计算最大剪应力。
33
(习题8-15)：某机器的传动轴如图所示，转速n=5r/s，主动轮的 输入功率N1=367kW。三个从动轮的输出功率N2=N3=110kW， N4=147kW。 []=40MPa，许用扭转角[]=0.3/m，剪切弹性模 量G=80GPa，试设计轴的直径d。
(习题8-8)：如图所示为一阶梯形钢杆，AC段的截面面积为 AAB=ABC=500mm2， CD段的截面面积为ACD=200mm2。杆的各段 长度及受力情况如图所示。已知钢杆的弹性模量E=20×104MPa， 其许用应力[]=100MPa。试求：（1）各段杆横截面上的内力和 应力；（2）校核钢杆的强度；（3）杆的总长度变形。
11
(习题8-4)：一钢制阶梯形直杆，其受力如图所示，已知 []=260MPa，各段截面面积分别为A1=A3=300mm2， A2=200mm2， E=20×104MPa。试求：（1）各段的轴向力为多 少？最大轴向力发生在哪一段内？杆的强度是否安全？（2）计 算杆的总变形。
3
2
1
RA
A
B
3
C
D
2
•第8章 构件的应力和变形
•一. 基本概念
•8.1 概述
弹性变形：可恢复
变形
塑性变形：不可恢复
强度
材料抵抗塑性变形和断裂的能力
刚度
材料抵抗弹性变形的能力
稳定性
构件保持其原有平衡形态能力
二. 构件变形的情况----对象（直杆或梁）
1. 拉伸或压缩
2. 剪切
组合变形
3. 扭转
4. 弯曲 1
•8.2 直杆的轴向拉伸与压缩
轴的许用剪切力[]=30MPa，许用扭转角[]=1/m，剪切弹性模量
G=8×104MPa，试按强度条件和刚度条件设计轴的直径d。
M＝9549 P n
30
•(习题8-12)：做图示轴的扭矩图。
31
(习题8-13)：直径为75mm的等截面轴上装有四个皮带轮，作用在皮
带轮上的外力偶矩如图所示。已知：G=8×104MPa，要求（1）作扭 矩图；（2）求每段内的最大剪应力；（3）求轴的总扭转角。
塑性材料:屈服极限σs s做为破坏的极限应力 脆性材料:强度极限δb作b 为破坏的极限应力
静载常温下延伸率小于5％的材料－－玻璃、灰铸铁
•强度公式： N [ ]
A
5
•四. 受拉（压）杆件的变形
•刚度公式：l Nl •(虎克定律) EA
弹性模量E
E •应力和应变公式：
F RA
N
合成正应力
弯曲正应力
56
•二.弯曲与扭转的联合作用
RA
RB
强度条件公式：
(最大剪应力理论)
max
M 2 T 2
W
57
(例8-11)：平面磨床磨轮轴工作时受力情况如图所示， F1=196N， F2=78.4N， 轴的直径d＝20mm ，材料的许用应力[]=49MPa， 试用最大剪应力理论校核强度。
RAx
RAx
MA RAy
MA RAy
RAx
RAy
RB
RA
RB
40
(习题8-17)：试列如图所示各梁的剪力方程及弯矩方程，并作剪 力图和弯矩图。
Fa
3Fa
F
F/2
F/2 RA=0
RB=0
41
(习题8-17)：试列如图所示各梁的剪力方程及弯矩方程，并作剪 力图和弯矩图。
RA
RB RA
RB
RA
RC
42
凹向下M为负
顺时针Q为正 逆时针Q为负 凹向上M为正
38
(例8-8)：如图所示为一受集中力F作用的简支梁。设F、l及a均 已知，试列出剪力方程式与弯矩方程式，并绘剪力图与弯矩图。
RA
RB
M(x1)
RA
Q(x1) Q(x2)
RB
M(x2)
39
(习题8-17)：试列如图所示各梁的剪力方程及弯矩方程，并作剪 力图和弯矩图。
抗弯截面模量W
W Iz ymax
46
(习题8-16)：如图所示为一受均布载荷的梁，其跨度l＝200mm， 梁截面的直径d＝25mm，许用弯曲应力[]=150MPa。试问沿梁 每米长度上可能承受的最大载荷q为多少？
RA
RB
47
(习题8-18)：如图所示外伸梁由25a工字钢制成，其跨度l＝6m， 全梁上受均布载荷q作用，为使支座处截面A、B及跨度中央截面 C上的最大正应力均为140MPa，W=401.88cm3。试求外伸部分的 长度a及载荷集度q？
输入功率PA=221kW。从动轮B、C的输出功率PB=148kW， PC=73kW， 试求轴上各截面的扭矩，并作扭矩图。（外力偶矩的计算公式为
M=9549Pk/n，式中：Pk为功率，n为转速）
TAC
TAB
27
•三. 圆轴扭转时的应力
dx＝ d
ρO
C
A
B
28
•三. 圆轴扭转时的应力
24
8.4 圆轴扭转
•一. 圆轴扭转的变形特征 纵向线
圆周线 （1）各纵向线倾斜了同一微小角度γ，正方形格子歪斜成菱形； （2）各圆周线围绕轴线旋转一个微小的角度，圆周线长度、形 状及距离没变；
25
பைடு நூலகம்
•二. 扭矩和扭矩图
26
(例8-5)：一等圆截面传动轴如图所示，其转速n=300r/min。主动轮A的
14
(习题8-7)：气动夹具如图所示。已知气缸内径D=140mm，气 压p=0.6MN/m2，活塞材料为20号钢，其许用应力[]=80MPa。 试设计活塞杆的直径d(活塞杆的直径远小于活塞的直径)。
15
•一. 剪切作用的特点
8.3 剪切
特点：一对大小相等、方向相反的力作用在物体的两侧，两力作 用线间的距离相距很近，物体受上述两力作用后，受剪面发生相 对错动，成为剪切；
t
21
(习题8-9)：拖车挂钩靠销钉来联接，如图所示，已知销钉材料 的许用剪切力[]=20MPa，拖车的拉力F=15×103N，试选择销 钉的直径d。
22
(习题8-10)：一螺栓联接如图所示。已知外力F=200×103N，螺 栓的许用剪切力[]=80MPa。试求螺栓所需的直径d。
23
(习题8-11)：在厚度t=5mm的薄钢板上，冲出一个如图所示形状 的孔，钢板的极限剪应力b=320MPa，求冲床必须具有的冲力F。
特点：直杆；所受外力的合力与杆轴线重合；沿轴线方向发生 伸长或缩短变形
•一. 直杆轴向拉伸或压缩时的内力和应力
应力为正
应力为负
2
•二. 材料在轴向拉伸或压缩时的机械性质
力
屈服 阶段
强化 阶段
弹性变 形阶段
局部变 形阶段
变形
3
应力
屈服 极限
弹性 极限
强度 极限
应变
4
•三. 强度条件 静载常温下延伸率大于5％的材料－－结构钢、硬铝
6
(例8-1)：在图示的阶梯杆中，已知FA=10kN， FB=20kN， l =100mm，AB段与BC段的横截面面积分别为AAB=100mm2, ABC=200mm2,材料的弹性模量E=200GPa。试求杆的总伸长 量及端面A与D-D截面间的相对位移。
2 1
1
2
7
(例8-2)：两钢杆各长50mm，用铰链联接，如图所示，B点作 用有向下的垂直力F，F=980N，[]=164MPa， E=205.8GPa, 在未受力前=30。求两杆横截面尺寸及B点的挠度（垂直位 移量）。
(习题8-17)：试列如图所示各梁的剪力方程及弯矩方程，并作剪 力图和弯矩图。
3qa/4
qa/4 F/2
3F/2
qa/2
5qa/2
43
•二. 梁弯曲时的应力及强度计算 横线
变形方面
纵向线
M M
中性层 中性轴
44
变形方面
M
M 中性层
45
静力学方面
y
My Iz
max
Mymax Iz
M W
34
8.5 梁的平面弯曲
特点：等直梁；截面有对称轴线；外力或外力偶矩在杆件的纵对称面 内；变形后在纵对称面内成一条平面曲线。
纵对称面
纵对称面
35
•梁的基本类型
简支梁 悬臂梁 外伸梁
36
•一. 梁弯曲时的内力：
剪力与弯矩
RA M
Q RA
Q M
RB
37
RB
•一. 梁弯曲时的内力：剪力与弯矩的方向
z
m
n
59
F
F
M
=
M F
拉伸变形
M
+
F
M 弯曲变形
=
+
=
+
拉应力σm 压应力σn
60
(习题8-21)：简易起重架由N018号工字钢AB及拉杆AC组成，滑 车可沿AB移动，如图所示，如滑车自重及载重共计F=25×103N， 试校核梁AB是否安全。梁AB的许用应力[]=120MPa， A=30.6cm2，W=185cm3。
53
(习题8-19)：试用叠加法求图示梁A截面的挠度及B截面的转角， 抗弯刚度EI均为常量。
54
(习题8-20)：试用叠加法求图示外伸梁自由端C处的挠度。已知l， F，M=2Fl，抗弯刚度EI为常量。
55
8.6 复杂变形时的强度计算
•一. 弯曲与拉伸（压缩）的联合作用
RAx RAy
RB
压缩正应力
32
(习题8-14)：一钢制阶梯状轴如图所示，已知M1=10kN.m， M2=7kN.m， M3=3kN.m。试计算最大剪应力。
33
(习题8-15)：某机器的传动轴如图所示，转速n=5r/s，主动轮的 输入功率N1=367kW。三个从动轮的输出功率N2=N3=110kW， N4=147kW。 []=40MPa，许用扭转角[]=0.3/m，剪切弹性模 量G=80GPa，试设计轴的直径d。