初二奥数题三角形

《三角形综合》

例题1：AD，EF，BC相交于O点，且AO＝OD，BO＝OC，EO＝OF．求证：△AEB≌△DFC

例题2：P为正方形ABCD对角线BD上任一点，PF⊥DC，PE⊥BC．求证：AP⊥EF．例题3：△ABC的高AD与BE相交于H，且BH＝AC．求证：∠BCH＝∠ABC．

例题4：在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD边上的点，∠PAQ＝45°．

求证：PQ＝PB＋DQ．

例题5：过△ABC的顶点A分别作两底角∠B和∠C的角平分线的垂线，AD⊥BD 于D，AE⊥CE于E．求证：ED∥BC．

例题6：如图，P是等边三角形ABC内部的一点，PA＝2，PB＝3

2，PC＝4，求ΔABC的边长.

例题7：如图（ l ) ，凸四边形 ABCD ，如果点P满足∠APD ＝∠APB =α。且∠B P C ＝∠CPD ＝β，则称点P为四边形 ABCD的一个半等角点．

( l ）在图（ 3 ）正方形 ABCD 内画一个半等角点P，且满足α≠β。

( 2 ）在图（ 4 ）四边形 ABCD 中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法） .

( 3 ）若四边形 ABCD 有两个半等角点P

1、P

2

（如图（ 2 ) ) ，证明线段P

1

P

2

上任一点也是它的半等角点。

例题8：已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC。（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC；

（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；

（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示。

练习试题：

1．如图，在ABC △中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，

过点O 作EF BC ∥交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D ．下列四个结论： 1902

BOC A ∠=∠①°+； ②以E 为圆心、BE 为半径的圆与以F 为圆心、CF 为半径的圆外切； ③设OD m AE AF n =+=，，则AEF S mn =△；

④EF 不能成为ABC △的中位线．

其中正确的结论是_____________．（把你认为正确结论的序号都填上）

2．如图1，AB 、CD 是两条线段，M 是AB 的中点，DMC S ∆、DAC S ∆和DBC S ∆分别表示△DNC 、△DAC 、△DBC 的面积。当AB ∥CD 时，有DMC S ∆＝2

DBC DAC S S ∆∆+ (1) （1）如图2，若图1中AB 与CD 不平行时，(1)式是否成立？请说明理由。

（2）如图3，若图1中AB 与CD 相交于点O 时，DMC S ∆、DAC S ∆和DBC S ∆有何种相等关系？试证明你的结论。

图1M B

D A 图2M

B D C

A

O

图3M

B

D

C A

3．如图，设△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD＝62o，则∠AEB的度数是【】

（A）124o （B）122o（C）120o（D）118o

4．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN＝60°.试探究MB、MN、CN 之间的数量关系，并给出证明.

5．如图，在△ABC中，∠ABC＝600，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC

＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝_____________ A

B

C P

6．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，︒

=

∠60

BAD，则=

∠EDC__________

7．（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；

（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.

8．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E

，，在同一条直线上，连结DC．

（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；

（2）证明：DC BE

．

9．如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是__________________。（把所有正确答案的序号都填写在横线上）①∠BAD＝∠ACD ②∠BAD＝∠CAD，③AB＋BD＝AC＋CD ④AB－BD＝AC－CD