第一讲 空间几何体的三视图、表面积与体积

专题五立体几何第一讲空间几何体的三视图、表面积与体积考点一空间几何体的三视图与直观图1．三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系S′＝2 4S.[对点训练]1．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()[解析]两个木构件咬合成长方体时，小长方体(榫头)完全嵌入带卯眼的木构件，易知俯视图可以为A，故选A.[答案] A2．(2018·河北衡水中学调研)正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为()[解析]过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的左视图为选项C中的图形，故选C.[答案] C3．(2018·江西南昌二中模拟)一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为( )A ．8B ．4C ．4 3D ．4 2[解析] 由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，P A ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AB ＝AC ＝4，DB ＝2，则易得S △P AC ＝S △ABC ＝8，S △CPD ＝12，S 梯形ABDP ＝12，S △BCD ＝12×42×2＝42，故选D.[答案] D4．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底面为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为________．[解析] 直观图的面积S ′＝12×(1＋1＋2)×22＝2＋12.故原平面图形的面积S ＝S ′24＝2＋ 2. [答案] 2＋ 2[快速审题] (1)看到三视图，想到常见几何体的三视图，进而还原空间几何体．(2)看到平面图形直观图的面积计算，想到斜二侧画法，想到原图形与直观图的面积比为24.由三视图还原到直观图的3步骤(1)根据俯视图确定几何体的底面．(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．(3)确定几何体的直观图形状．考点二 空间几何体的表面积与体积1．柱体、锥体、台体的侧面积公式(1)S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)；(2)S 锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)；(3)S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上下底面的周长，h ′为斜高)．2．柱体、锥体、台体的体积公式(1)V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)；(2)V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；(3)V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (不要求记忆)．3．球的表面积和体积公式S 表＝4πR 2(R 为球的半径)，V 球＝43πR 3(R 为球的半径)．[对点训练]1．(2018·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上，下底边的长分别为1 cm,2 cm ，高为2 cm ，直四棱柱的高为2 cm.故直四棱柱的体积V ＝1＋22×2×2＝6 cm 3，故选C.[答案] C2．(2018·哈尔滨师范大学附中、东北师范大学附中联考)某几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是( )A.(5－1)π2＋2 B.(5＋1)π2＋2 C.π2＋3 D.52π＋2[解析] 由三视图知，此几何体为一个半圆锥，其底圆半径为1，高为2，故母线长为22＋12＝5，所以该几何体的表面积S ＝12π×1×5＋12π×12＋12×2×2＝(5＋1)π2＋2，故选B. [答案] B3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析]由已知易得该几何体是一个以正视图为底面，高为2的四棱锥．由于正视图是一个上底边为2，下底边为4，高为2的直角梯形，故该四棱锥的底面积S ＝12×(2＋4)×2＝6，则V ＝13Sh ＝13×6×2＝4，故选D.[答案] D4．(2018·太原一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．6π＋1 B.(24＋2)π4＋1 C.(23＋2)π4＋12 D.(23＋2)π4＋1 [解析] 由几何体的三视图知，该几何体为一个组合体，其中下部是底面直径为2，高为2的圆柱，上部是底面直径为2，高为1的圆锥的四分之一，所以该几何体的表面积为4π＋π＋3π4＋2π4＋1＝(23＋2)π4＋1，故选D. [答案] D[快速审题] (1)看到求规则图形的表面积(体积)，想到相应几何体的表面积(体积)公式．(2)看到求不规则图形的表面积，想到几何体的侧面展开图．(3)看到求不规则图形的体积，想到能否用割补思想、特殊值法等解决．求几何体表面积和体积关键过好“两关”(1)还原关，即利用“长对正，宽相等，高平齐”还原空间几何体的直观图．(2)公式关，即会利用空间几何体的体积或表面积公式求简单组合体的体积或表面积．考点三 多面体与球的切接问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．角度1：与球的组合体中求棱柱(锥)的表面积或体积[解析] 设△ABC 的边长为a ，则S △ABC ＝12a ·a ·sin60°＝93，解得a ＝6(负值舍去)．△ABC 的外接圆半径r 满足2r ＝6sin60°，得r ＝23，球心到平面ABC 的距离为42－(23)2＝2.所以点D 到平面ABC的最大距离为2＋4＝6，所以三棱锥D －ABC 体积的最大值为13×93×6＝183，故选B.[答案] B角度2：与球的组合体中求球的表面积或体积[解析] 由AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，得AC ＝10.要使球的体积V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC 的内切圆的半径为r .则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r ，所以r ＝2.2r ＝4>3，不合题意．球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R 最大．由2R ＝3，即R ＝32.故球的最大体积V ＝43πR 3＝92π，故选B.[答案] B[探究追问] 若本例中的条件变为“直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上”，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，求球O 的表面积．[解] 将直三棱柱补形为长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1，则球O 是长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1的外接球．∴体对角线BC 1的长为球O 的直径．因此2R ＝32＋42＋122＝13.故S 球＝4πR 2＝169π.“切”“接”问题的处理方法(1)“切”的处理：解决与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时要先找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则多通过多面体过球心的对角面来作截面．(2)“接”的处理：把一个多面体的几个顶点放在球面上即球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．[对点训练]1．[角度1](2018·广东惠州二模)已知三棱锥S －ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，AB ＝2，SA ＝SB ＝SC ＝2，则三棱锥S －ABC 的外接球的球心到平面ABC 的距离是( ) A.33 B ．1 C. 3 D.332[解析] ∵三棱锥S －ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，SA ＝SB ＝SC ＝2，∴S 在底面ABC 内的射影为AB 的中点，设AB 的中点为H ，连接SH ，CH ，∴SH ⊥平面ABC ，∴SH 上任意一点到A ，B ，C 的距离相等，易知SH ＝3，CH ＝1，∴Rt △SHC 中∠HSC ＝30°.在面SHC 内作SC 的垂直平分线MO ，交SH 于点O ，交SC 于点M ，则O 为三棱锥S －ABC 的外接球的球心．∵SC ＝2，∴SM ＝1，又∠OSM ＝30°，∴SO ＝233，OH ＝33，∴球心O 到平面ABC 的距离为33，故选A.[答案] A2．[角度2](2018·武汉调研)一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为( )A ．16πB ．9πC ．4πD ．π[解析] 三棱锥如右图，设外接球半径为R ，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝90°，D 为BC 中点．SD ⊥面ABC .球心O 在SD 上，SD ＝2.在直角△ODC 中，OC ＝R ，OD ＝2－R ，DC ＝ 2.则(2－R )2＋(2)2＝R 2，即R ＝32，故V －ABC 的外接圆的表面积为S ＝4πR 2＝9π，故选B.[答案] B1．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )A．217 B．2 5 C．3 D．2[解析]由圆柱的三视图及已知条件可知点M与点N的位置如图1所示，设ME与FN为圆柱的两条母线，沿FN将圆柱的侧面展开，如图2所示，连接MN，MN即为从M到N的最短路径，由题意知，ME＝2，EN＝4，∴MN＝42＋22＝25，故选B.[答案] B2．(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4[解析]由三视图得四棱锥的直观图如图所示．其中SD⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，SD＝AD＝CD＝2，AB＝1.由SD⊥底面ABCD，AD，DC，AB⊂底面ABCD，得SD⊥AD，SD⊥DC，SD⊥AB，故△SDC，△SDA为直角三角形，又∵AB⊥AD，AB⊥SD，AD，SD⊂平面SAD，AD∩SD＝D，∴AB⊥平面SAD，又SA⊂平面SAD，∴AB⊥SA，即△SAB也是直角三角形，从而SB＝SD2＋AD2＋AB2＝3，又BC＝22＋12＝5，SC＝22，∴BC2＋SC2≠SB2，∴△SBC不是直角三角形，故选C.[答案] C3．(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1D.3π2＋3[解析]由三视图可知该几何体是由底面半径为1 cm ，高为3 cm 的半个圆锥和三棱锥S －ABC 组成的，如图，三棱锥的高为3 cm ，底面△ABC 中，AB ＝2 cm ，OC ＝1 cm ，AB ⊥OC .故其体积V ＝13×12×π×12×3＋13×12×2×1×3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋1cm 3，故选A. [答案] A4．(2018·天津卷)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M －EFGH 的体积为________．[解析] 由题意知四棱锥的底面EFGH 为正方形，其边长为22，即底面面积为12，由正方体的性质知，四棱锥的高为12.故四棱锥M －EFGH 的体积V ＝13×12×12＝112.[答案] 1125．(2017·江苏卷)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．[解析] 设圆柱内切球的半径为R ，则由题设可得圆柱O 1O 2的底面圆的半径为R ，高为2R ，∴V 1V 2＝πR 2·2R 43πR 3＝32. [答案] 321.该部分在高考中一般会以“两小”或“一小”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积．2．考查一个小题时，本小题一般会出现在第4～8题的位置上，难度一般；考查2个小题时，其中一个小题难度一般，另一小题难度稍高，一般会出现在第10～16题的位置上，本小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查．热点课题12 补形法求几何体的表面积与体积[感悟体验]1．(2018·太原一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．2 B.83C．4 D.20 9[解析]观察三视图并依托正方体，可得该几何体直观图为A1－ABEF，如图所示，其体积为V正方体－V AFD－BEC－VA1－BEC1B1－VA1－FEC1D1＝2×2×2－12×2×1×2－13×2×(1＋2)×2×12－13×1×2×2＝83，故选B.[答案] B2．(2018·合肥联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为()A．24π B．29π C．48π D．58π[解析]如图，在3×2×4的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥A－BCD)，其外接球即为长方体的外接球，表面积为4πR2＝π(32＋22＋42)＝29π，故选B.[答案] B专题跟踪训练(二十一)一、选择题1．(2017·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A．3 2 B．2 3 C．2 2 D．2[解析]由三视图得该四棱锥的直观图如图中S－ABCD所示，由图可知，其最长棱为SD，且底面ABCD是边长为2的正方形，SB ⊥面ABCD，SB＝2，所以SD＝22＋22＋22＝23，故选B.[答案] B2．(2018·益阳、湘潭高三调考)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为( )A.23B.43C.83 D ．4[解析] 由三视图可得三棱锥为如图所示的三棱锥A －PBC (放到棱长为2的正方体中)，则V A －PBC ＝13×S △PBC ×AB ＝13×12×2×2×2＝43，故选B.[答案] B3．(2018·辽宁五校联考)一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．36 B．48 C．64 D．72[解析]由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示，将几何体分割为两个三棱柱，所以该几何体的体积为12×3×4×4＋12×3×4×4＝48，故选B.[答案] B4．(2018·广东七校联考)某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是()A ．13πB ．16πC ．25πD ．27π[解析] 由三视图知该几何体是一个底面为正方形的长方体，由正视图知该长方体的底面正方形的对角线长为4，所以底面边长为22，由侧视图知该长方体的高为3，设该几何体的外接球的半径为R ，则2R ＝(22)2＋(22)2＋32＝5，解得R ＝52，所以该几何体的外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×254＝25π，故选C.[答案] C5．(2018·洛阳市高三第一次联考)已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为( )A.823πB.833πC.863πD.1623π[解析] 将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体相应面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2 2.因为球O 与正四面体的各棱都相切，所以球O 为正方体的内切球，即球O 的直径为正方体的棱长，其长为22，则球O 的体积V ＝43πR 3＝823π，故选A.[答案] A6．(2018·河北第二次质检)《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱．已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是( )A ．50B ．75C ．25.5D ．37.5[解析] 由题意及给定的三视图可知，剩余部分是在直三棱柱的基础上，截去一个四棱锥所得的，且直三棱柱的底面是腰长为5的等腰直角三角形，高为5.如图，图中几何体ABCC 1MN 为剩余部分，因为AM ＝2，B 1C 1⊥平面MNB 1A 1，所以剩余部分的体积V ＝V 三棱柱－V 四棱锥＝12×5×5×5－13×3×5×5＝37.5，故选D.7．(2018·广东广州调研)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．4＋42＋2 3 B．14＋4 2C．10＋42＋2 3 D．4[解析]如图，该几何体是一个底面为直角梯形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥S－ABCD.连接AC，因为AC＝22＋42＝25，SC ＝(25)2＋22＝26，SD＝SB＝22＋22＝22，CD＝22＋22＝22，SB2＋BC2＝(22)2＋42＝24＝SC2，故△SCD为等腰三角形，△SCB 为直角三角形．过D作DK⊥SC于点K，则DK＝(22)2－(6)2＝2，△SCD的面积为12×2×26＝23，△SBC的面积为12×22×4＝4 2.所求几何体的表面积为12×(2＋4)×2＋2×12×2×2＋42＋23＝10＋42＋23，故选C.8．(2018·河南濮阳二模)已知三棱锥A －BCD 中，△ABD 与△BCD 是边长为2的等边三角形且二面角A －BD －C 为直二面角，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为( )A.10π3 B ．5π C ．6π D.20π3[解析] 取BD 中点M ，连接AM ，CM ，取△ABD ，△CBD 的中心即AM ，CM 的三等分点P ，Q ，过P 作面ABD 的垂线，过Q 作面CBD 的垂线，两垂线相交于点O ，则点O 为外接球的球心，其中OQ ＝33，CQ ＝233，连接OC ，则外接球的半径R ＝OC ＝153，表面积为4πR 2＝20π3，故选D.[答案] D9．(2018·广东揭阳一模)某几何体三视图如图所示，则此几何体的表面积为( )A ．4π＋16B ．2(2＋2)π＋16C ．4π＋8D ．2(2＋2)π＋8[解析] 由三视图知，该几何体是一个棱长为2的正方体和一个底面半径为2、高为1的圆柱的组合体，其表面积S 表＝5×22＋2π·2·1＋2π·(2)2－22＝2(2＋2)π＋16，故选B[答案] B10．(2018·福建福州质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为( )A ．64－32π3B ．64－8πC ．64－16π3 D ．64－8π3[解析] 由三视图可知该几何体是由棱长为4的正方体截去14个圆锥和14个圆柱所得到的，且圆锥的底面半径为2，高为4，圆柱的底面半径为2，高为4，所以该几何体的体积为43－14⎝⎛⎭⎪⎫π3×4×4＋π×4×4＝64－16π3，故选C.[答案] C11．(2018·湖南十三校联考)三棱锥S －ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如下图所示，则该三棱锥S －ABC 的外接球的表面积为( )A ．32π B.1123π C.283πD.643π[解析] 设外接球的半径为r ，球心为O .由正视图和侧视图可知，该三棱锥S －ABC 的底面是边长为4的正三角形．所以球心O 一定在△ABC 的外心上方．记球心O 在平面ABC 上的投影点为点D ，所以AD ＝BD ＝CD ＝4×32×23＝433，则由题可建立方程r 2－⎝⎛⎭⎪⎫4332＋r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫4332＝4，解得r 2＝283.所以该三棱锥S －ABC 的外接球的表面积S ＝4πr 2＝1123π，故选B.[答案] B12．(2018·中原名校联考)已知A ，B ，C ，D 是球O 表面上四点，点E 为BC 的中点，点AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，∠AED ＝120°，AE ＝DE ＝3，BC ＝2，则球O 的表面积为( )A.73πB.28π3 C ．4πD ．16π[解析] 由题意可知△ABC 与△BCD 都是边长为2的正三角形，如图，过△ABC 与△BCD 的外心M ，N 分别作面ABC 、面BCD 的垂线，两垂线的交点就是球心O .连接OE ，可知∠MEO ＝∠NEO ＝12∠AED ＝60°，在Rt △OME 中，∠MEO ＝60°，ME ＝33，所以OE ＝2ME ＝233，连接OB ，所以球O 的半径R ＝OB ＝OE 2＋BE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＋12＝213，所以球O 的表面积为S ＝4πR 2＝283π，故选B.[答案] B二、填空题13．(2018·沈阳质检)三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC 的体积为V 2，则V 1V2的值为________．[解析] 如图，设S △ABD ＝S 1，S △P AB ＝S 2，E 到平面ABD 的距离为h 1，C 到平面P AB 的距离为h 2，则S 2＝2S 1，h 2＝2h 1，V 1＝13S 1h 1，V 2＝13S 2h 2，所以V 1V 2＝S 1h 1S 2h 2＝14.[答案] 1414．(2018·宁夏银川一中模拟)如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为________．[解析]由三视图知，该几何体是一个高为2，底面直径为2的圆柱被一平面从上底面最右边缘斜向下45°切开所剩下的几何体，其体积为对应的圆柱的体积的一半，即V＝12×π×12×2＝π.[答案]π15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱长为________．[解析]依题意知，几何体是如图所示的三棱锥A－BCD.其中∠CBD＝120°，BD＝2，点C到直线BD的距离为3，BC＝2，CD＝23，AB ＝2，AB⊥平面BCD，因此AC＝AD＝22，所以该几何体最长的棱长为2 3.[答案]2 316．(2018·厦门一模)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．[解析]该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长、宽、高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为S＝S长方体表－S半圆柱底－S圆柱轴截面＋S半圆柱侧＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋12×2π×1＝26.[答案]26。